高二精选题库 数学8-6北师大版
高二精选题库 数学检测8北师大版
单元质量检测(八)一、选择题1．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0 解析：由sin α＋cos α＝0，得tan α＝－1. ∴α＝135°，即a ＝b ，a －b ＝0. 答案：D2．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( )A ．－x ＋2y －4＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0 解析：由题意知所求直线与2x －y －2＝0垂直． 又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)．故所求直线方程为y ＋2＝－12(x －0)，即x ＋2y ＋4＝0. 答案：D3．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋7＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解法一：因为直线x －2y ＋3＝0的斜率是12，所以所求直线方程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.解法二：设所求直线方程为x －2y ＋c ＝0，将点(－1,3)代入得－1－2×3＋c ＝0，解得c ＝7， ∴所求直线方程为x －2y ＋7＝0. 答案：A4．过点M (2,1)的直线l 与x 轴，y 轴分别交于P 、Q 两点且 |MP |＝|MQ |，则l 的方程是( )A ．x －2y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x ＋y －5＝0D ．x ＋2y －4＝0 解析：由题意知，M 是线段PQ 的中点． 设直线的方程为y ＝k (x －2)＋1，分别令y ＝0，x ＝0，得P (2－1k，0)，Q (0,1－2k )，由中点坐标公式得2－1k ＋02＝2，∴k ＝－12，所以直线的方程为y ＝－12(x －2)＋1，即x ＋2y －4＝0. 答案：D5．直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为( )A.32B.34 C ．25 D.355解析：圆心(2，－3)到EF 的距离d ＝|2＋6－3|5＝ 5.又|EF |＝29－5＝4，∴S △ECF ＝12×4×5＝2 5.答案：C6．双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为( )A ．(－7，0)、(7，0)B ．(0，－7)、(0，7)C ．(－5,0)、(5,0)D ．(0，－5)、(0,5)解析：c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25，c ＝5. 答案：C7．已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( )A.233B.263C. 3D ．2解析：如右图所示，双曲线的渐近线方程为：y ＝±2ax .若∠AOB ＝π3，则θ＝π6，tan θ＝2a ＝33.∴a ＝6> 2.又∵c ＝a 2＋b 2＝6＋2＝22，∴e ＝c a ＝226＝233.答案：A8．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝52，点(3,5)在圆内，点与圆心的距离为1，故最长弦长为直径10，最短弦长为252－12＝46，∴四边形ABCD 的面积S ＝12×10×46＝20 6.答案：B9．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．7B ．6C ．5或1D ．9 解析：由题意知双曲线焦点在x 轴上，∴b a ＝32，∴b 2a 2＝94， ∴a 2＝4，∴a ＝2，又双曲线实轴长为4>3， ∴点P 在双曲线左支上， ∴|PF 2|＝|PF 1|＋2a ＝3＋4＝7. 答案：A10．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点．若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24解析：由题意2a ＝2，|PF 1|－|PF 2|＝12|PF 2|＝2∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4，又2c ＝213由余弦定理得：cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0∴三角形为直角三角形，∴S △PF 1F 2＝12×6×4＝12答案：B11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是( )A ．aB ．b C.ab D.a 2＋b 2解析：圆的半径即为双曲线C 的右焦点到渐近线的距离，渐近线方程为y ＝bax ，即bx－ay ＝0，所以r ＝|bc |a 2＋b2＝b .答案：B12．设x 1，x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”；x 1*x 2＝(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2，若x ≥0，则动点P (x ， x a )的轨迹方程是( )A ．y 2＝4axB ．y 2＝4ax (y ≥0)C ．x 2＝4ay (x ≥0) D ．x 2＝4ay 解析：∵x a ＝(x ＋a )2－(x －a )2＝4ax ， ∴动点P 的轨迹方程为y 2＝x a ＝4ax (y ≥0)． 答案：B 二、填空题13．在坐标平面内，与点A (1,3)的距离为2，且与点B (3,1)的距离为32的直线共有________条．解析：以A (1,3)为圆心，以2为半径作圆A ，以B (3,1)为圆心，以32为半径作圆B .∵|AB |＝(1－3)2＋(3－1)2＝22＝32－2， ∴两圆内切，公切线只有一条． 答案：114．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，A (x ，y )，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A12C 3填入)．解析：若条件是①，则|AB |＋|AC |＝6>4，故A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆(除去长轴两端点)，故方程为C 3.若条件是②，则12×|BC |×|y |＝10，∴|y |＝5，即y 2＝25，故方程为C 1，若条件是③，则A 点轨迹是以BC 为直径的圆(去掉B 、C 两点)，故方程为C 2. 答案：C 3，C 1，C 2 15．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为__________．解析：设正方形边长为1，则AB ＝2c ＝1，∴c ＝12.AC ＋BC ＝1＋2＝2a ，∴a ＝2＋12∴e ＝ca ＝122＋12＝2－1.答案：2－116．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝__________. 解析：由题意知椭圆的焦点是(－4,0)和(4,0)， 点B 在椭圆上，∴|AB |＋|BC |＝2a ＝10，AC ＝8.由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝108＝54.答案：54三、解答题17．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m ；解：(1)(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，∴m <5. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2， 则x 1x 2＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2 ∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0① ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2y x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋m ＋8＝0∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5代入①得，m ＝85.18．已知点M ，N 分别在直线y ＝mx 和y ＝－mx (m >0)上运动，点P 是线段MN 的中点，且|MN |＝2，动点P 的轨迹是曲线C . (1)求曲线C 的方程，并讨论方程所表示的曲线类型；(2)设m ＝22时，过点A (－263，0)的直线l 与曲线C 恰有一个公共点，求直线l 的斜率．解：(1)设P (x ，y )，M (x 1，mx 1)，N (x 2，－mx 2)， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2x mx 1－mx 2＝2y(x 1－x 2)2＋(mx 1＋mx 2)2＝22消去x 1，x 2，整理得x 21m 2＋y 2m 2＝1，当m >1时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆， 当0<m <1时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆， 当m ＝1时，方程表示圆．(2)当m ＝22时，方程为x 22＋y 212＝1，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋263)，⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 212＝1y ＝k (x ＋263)消去y 得(1＋4k 2)x 2＋1663k 2x ＋32k 23－2＝0，根据已知可得Δ＝0，故有(1663k 2)2－4(1＋4k 2)(32k 23－2)＝0，k 2＝34.∴直线l 的斜率为k ＝±32.19．已知直线l ：x －y ＋3＝0，一光线从点A (1,2)处射向x 轴上一点B ，又从B 点反射到l 上一点C ，最后又从C 点反射回A 点．(1)试判断由此得到的△ABC 是有限个还是无限个？(2)依你的判断，认为是无限个时求出所有这样△ABC 的面积中的最小值；认为是有限个时求出这样的线段BC 的方程．解：(1)如右图所示，设B (m,0)，点A 关于x 轴的对称点为A ′(1，－2)． 点B 关于直线x －y ＋3＝0的对称点为B ′(－3，m ＋3)．根据光学性质，点C 在直线A ′B 上，点C 又在直线B ′A 上．求得A ′B 的直线方程为y ＝2m －1(x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2m －1(x －m )y ＝x ＋3，得x c ＝3－5mm －3.B ′A 的直线方程为y －2＝－m －14(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝－m －14(x －1)y ＝x ＋3，得x c ＝m －3m ＋5.则3－5m m －3＝m －3m ＋5，得3m 2＋8m －3＝0， ∴m ＝13或m ＝－3.而当m ＝－3时，点B 在直线x －y ＋3＝0上，不能成为三角形，故这样的△ABC 只有一个．(2)当m ＝13时，B (13，0)，C (－12，52)．∴线段BC 的方程为3x ＋y －1＝0(－12≤x ≤13)．20．已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆x 2＋y 2－4x －2y ＋52＝0交于A 、B 两点，AB 恰是该圆的直径，且AB 的斜率为－12，求此椭圆的方程．解：圆的方程变为(x －2)2＋(y －1)2＝52，其圆心为(2,1)，直径|AB |＝10.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又k AB ＝－12，即y 1－y 2x 1－x 2＝－12.A 、B 在椭圆上，有x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b2＝0， b 2a 2＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝14. ∴a 2＝4b 2.∴椭圆方程变为x 2＋4y 2＝4b 2.直线AB 的方程为y －1＝－12(x －2)，即y ＝－12x ＋2.把直线方程代入椭圆方程得x 2＋4(－12x ＋2)2＝4b 2，即x 2－4x ＋8－2b 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝8－2b 2. ∵|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，∴10＝[1＋(－12)2][(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝54[16－4(8－2b 2)]， 解得b 2＝3，∴a 2＝12.所求椭圆方程为x 212＋y 23＝1.21．如右图，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°.曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；(2)设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F .若△OEF 的面积不小于22，求直线l 斜率的取值范围．解：(1)解法一：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2,0)，B (2,0)，D (0,2)，P (3，1)， 依题意，得||MA |－|MB ||＝|P A |－|PB |＝(3＋2)2＋12－(3－2)2＋12＝22<|AB |＝4， ∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线． 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2,2a ＝22，∴a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2.∴曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.解法二：同解法一建立平面直角坐标系， 则依题意可得||MA |－|MB ||＝|P A |－|PB |<|AB |＝4，∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2－12b 2＝1a 2＋b 2＝4，解得a 2＝b 2＝2.∴曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.(2)依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入双曲线C 的方程并整理，得 (1－k 2)x 2－4kx －6＝0①∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0Δ＝(－4k )2＋4×6×(1－k 2)>0 ⇔⎩⎨⎧k ≠±1－3<k <3， ∴k ∈(－3，－1)∪(－1,1)∪(1，3)② 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则由①式得x 1＋x 2＝4k 1－k 2，x 1x 2＝－61－k 2， 于是|EF |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·223－k 2|1－k 2|，而原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2， ∴S △OEF ＝12d ·|EF |＝12·21＋k 2·1＋k 2·223－k 2|1－k 2|＝223－k 2|1－k 2|.若△OEF 面积不小于22，即S △OEF ≥22，则有223－k 2|1－k 2|≥22⇔k 4－k 2－2≤0， 解得－2≤k ≤ 2.③综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为 [－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2]．22．已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)， 得y ＝k (x ＋1)代入x 2＋3y 2＝5，消去y 整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)>0， ①x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1. ② 由线段AB 中点的横坐标是－12，得x 1＋x 22＝－3k 23k 2＋1＝－12，解得k ＝±33，适合①.所以直线AB 的方程为x －3y ＋1＝0，或x ＋3y ＋1＝0.(2)假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA →·MB →为常数． (ⅰ)当直线AB 与x 轴不垂直时，由(1)知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1.③所以MA →·MB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2 ＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2. 将③代入，整理得MA →·MB →＝(6m －1)k 2－53k 2＋1＋m 2 ＝(2m －13)(3k 2＋1)－2m －1433k 2＋1＋m 2 ＝m 2＋2m －13－6m ＋143(3k 2＋1).注意到MA →·MB →是与k 无关的常数，从而有6m ＋14＝0，m ＝－73，此时MA →·MB →＝49.(ⅱ)当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A ，B 的坐标分别为(－1，23)、(－1，－23)， 当m ＝－73时，亦有MA →·MB →＝49.综上，在x 轴上存在定点M (－73，0)，使MA →·MB →为常数．。
北师大版高二数学选修试题及答案
高二数学选修2－1质量检测试题（卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至6页。
考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 顶点在原点，且过点(4,4)-的抛物线的标准方程是A.24y x =- B.24x y =C.24y x =-或24x y = D. 24y x =或24x y =- 2. 以下四组向量中，互相平行的有（ ）组.(1) (1,2,1)a =r ,(1,2,3)b =-r ； (2) (8,4,6)a =-r,(4,2,3)b =-r ；（3）(0,1,1)a =-r ,(0,3,3)b =-r ； （4）(3,2,0)a =-r,(4,3,3)b =-rA. 一B. 二C. 三D. 四3. 若平面α的法向量为1(3,2,1)n =r ，平面β的法向量为2(2,0,1)n =-r，则平面α与β夹角的余弦是A.14 B. 10 C. 14- D. －10 4.“5,12k k Z αππ=+∈”是“1sin 22α=”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件5. “直线l 与平面?内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面?垂直”的（ ）条件 A ．充要 B ．充分非必要 C ．必要非充分 D ．既非充分又非必要6.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B 与1D E 所成角的余弦值为A B C D 7. 已知两定点1(5,0)F ，2(5,0)F -，曲线上的点P 到1F 、2F 的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为A.221916x y -= B.221169x y -= C.2212536x y -= D. 2212536y x -= 8. 已知直线l 过点P(1,0,－1)，平行于向量(2,1,1)a =r，平面α过直线l 与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是 A. (1,－4,2) B.11(,1,)42- C. 11(,1,)42-- D. (0,－1,1)9. 命题“若a b <，则a c b c +<+”的逆否命题是A. 若a c b c +<+，则a b >B. 若a c b c +>+，则a b >C. 若a c b c +≥+，则a b ≥D. 若a c b c +<+，则a b ≥10 . 已知椭圆221102x y m m +=--，若其长轴在y 轴上.焦距为4，则m 等于 A.4. B.5. C. 7. D .8.11．以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（1）“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件； (2) “a b >”是“22a b >”的充要条件；(3) “3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件； （4）“A B B =I ”是“A φ=”的必要不充分条件. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个12。
北师大版高二数学必修模块考试题及答案
高二年级必修5宝鸡铁一中 张爱丽班级： 姓名：一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知数列{a n }的通项公式为a n =121-2n,在下列各数中,( )不是数列{a n }的项A. 1B. -1C. 2D. 32.某厂的产值若每年平均比上一年增长10%，经过x 年后，可以增长到原来的2倍，在求x 时，所列的方程正确的是( )A. (1+10%)x-1=2B. (1+10%)x =2C. (1+10%)x+1=2D. x=(1+10%)23.已知数列{a n }中，a n /a n-1=2,(n ≥2),且a 1=1，则这个数列的第10项为（ ）A ．1024B ．512C ．256D ．1284.在△ABC 中，一定成立的等式是( )=b sinB =b cosB=b sinA =b cosA5.在△ABC 中,a=1,b=3,∠A=30°,则∠B 等于 （ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°6．两个等差数列，它们的前n 项和之比为1235-+n n ，则这两个数列的第9项之比是（ ） A ．35 B ．58 C ．38 D ．47 7.已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 （ ）A ．41-B ．41C ．32- D ．32 8. 设a= 3-x, b=x-2,则a 与b 的大小关系为( )A . a>b B. a=b C . a<b D. 与x 有关9.若实数a 、b 满足a +b =2，是3a +3b 的最小值是（ ）A ．18B ．6C ．23D ．24310.等式11(-x)(x -)023>的解集为（ ） 11.知点（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a 的取值范围是（ ）A ．a<-7或a>24B ．a=7或a=24C ．-7<a<24D ．-24<a<712.图, 不等式(x+y)(x-y)<0表示的平面区域是（）二.填空题 （ 每小题4分，共16分）13.数224y =x +x +1的最小值是___ 14.比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ，S4 =____． 15.某高山上的温度从山脚起，每升高100米降低0.7C ︒，已知山顶处的温度是14.8C ︒，山脚温度是26C ︒，则这山的山顶相对于山脚处的高度是 ．、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0,01222y x y x y x ，目标函数z=3x+y 的最小值为____．三、 解答题：(共44分)17.（6分）解不等式 ( x 2 － 3x ＋2 ) ( 3 －x ) ＞018.（12分）等差数列{a n }的前n 项和为Sn,已知 a 10 =30，a 20 =50.(1)求通项a n(2)若Sn=242，求n分）在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45? 求A 、C 及c20.（14分）假设某市2004年新建住房400万2m ，其中有250万2m 是中低价房。
最新北师大版高中数学必修二测试题全套含答案解析
最新北师⼤版⾼中数学必修⼆测试题全套含答案解析最新北师⼤版⾼中数学必修⼆测试题全套含答案解析章末综合测评(⼀)⽴体⼏何初步(时间120分钟，满分150分)⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的)1.下列推理错误的是()A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?lαB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC.l?/α，A∈l?A?αD.A∈l，lα?A∈α【解析】若直线l∩α＝A，显然有l?/α，A∈l，但A∈α，故C错.【答案】 C2.下列说法中，正确的是()A.经过不同的三点有且只有⼀个平⾯B.分别在两个平⾯内的两条直线⼀定是异⾯直线C.垂直于同⼀个平⾯的两条直线是平⾏直线D.垂直于同⼀个平⾯的两个平⾯平⾏【解析】A中，可能有⽆数个平⾯；B中，两条直线还可能平⾏、相交；D中，两个平⾯可能相交.【答案】 C3.已知⽔平放置的△ABC是按“斜⼆测画法”得到如图1所⽰的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的⾯积是()图1 A. 3 B.2 2C.32 D.34【解析】由题图可知，原△ABC的⾼为AO＝3，∴S△ABC ＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故选A.【答案】 A4.下列四个命题判断正确的是()A.若a∥b，a∥α，则b∥αB.若a∥α，bα，则a∥bC.若a∥α，则a平⾏于α内所有的直线D.若a∥α，a∥b，b?/α，则b∥α【解析】A中b可能在α内；B中a与b可能异⾯；C中a可能与α内的直线异⾯；D 正确.【答案】 D5.已知⼀个圆锥的展开图如图2所⽰，其中扇形的圆⼼⾓为120°，底⾯圆的半径为1，则该圆锥的体积为()图2A.22π3 B.2π3C.2π3 D.3π【解析】因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，⾼为22，所求体积V＝1 3×π×12×22＝22π3.【答案】 A6.如图3所⽰，在正⽅体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()图3A.ACB.BDC.A1DD.A1D1【解析】CE平⾯ACC1A1，⽽BD⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平⾯ACC1A1，所以BD⊥CE.【答案】 B7.正⽅体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成⾓的余弦值是()A.12 B.33 D.62【解析】连接BD1，则BD1∥EF，∠BD1A是异⾯直线AD1与EF所成的⾓.∵AB⊥AD1，∴cos∠BD1A＝AD1BD1＝63.【答案】 C8.如图4所⽰，则这个⼏何体的体积等于()图4 A.4 B.6C.8D.12【解析】由三视图得⼏何体为四棱锥，如图记作S -ABCD ，其中SA ⊥平⾯ABCD ， SA ＝2，AB ＝2，AD ＝2，CD ＝4，且ABCD 为直⾓梯形，∠DAB ＝90°，∴V ＝13SA ×12(AB ＋CD )×AD ＝13×2×12×(2＋4)×2＝4，故选A. 【答案】 A9.如图5，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正⽅体，下⾯结论错误的是( )图5A.BD ∥平⾯CB 1D 1B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平⾯CB 1D 1D.异⾯直线AD 与CB 1所成的⾓为60°【解析】由于BD ∥B 1D 1，易知BD ∥平⾯CB 1D 1；连接AC ，易证BD ⊥平⾯ACC 1，所以AC 1⊥BD ；同理可证AC 1⊥B 1C ，因BD ∥B 1D 1，所以AC 1⊥B 1D 1，所以AC 1⊥平⾯CB 1D 1；对于选项D ，∵BC ∥AD ，∴∠B 1CB 即为AD 与CB 1所成的⾓，此⾓为45°，故D 错.【答案】 D10.圆柱被⼀个平⾯截去⼀部分后与半球(半径为r )组成⼀个⼏何体，该⼏何体三视图中的主视图和俯视图如图6所⽰.若该⼏何体的表⾯积为16＋20π，则r ＝( )图6D.8【解析】如图，该⼏何体是⼀个半球与⼀个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底⾯半径为r，⾼为2r，则表⾯积S＝12＋2×4πrπr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.⼜S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.【答案】 B11.如图7，以等腰直⾓三⾓形ABC的斜边BC上的⾼AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平⾯后，某学⽣得出下列四个结论：图7①BD⊥AC；②△BCA是等边三⾓形；③三棱锥D-ABC是正三棱锥；④平⾯ADC⊥平⾯ABC.其中正确的是()A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④【解析】由题意知，BD⊥平⾯ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直⾓三⾓形斜边BC上的⾼，平⾯ABD⊥平⾯ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三⾓形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，⼜由②知③正确；由①知④错.故选B.【答案】 B12.已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球⾯上，△ABC 是边长为1的正三⾓形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22【解析】由于三棱锥S -ABC 与三棱锥O -ABC 底⾯都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S -ABC 的⾼是三棱锥O -ABC ⾼的2倍，所以三棱锥S -ABC 的体积也是三棱锥O -ABC 体积的2倍.在三棱锥O -ABC 中，其棱长都是1，如图所⽰， S △ABC ＝34×AB 2＝34，⾼OD ＝12－? ??332＝63，∴V S -ABC ＝2V O -ABC ＝2×13×34×63＝26. 【答案】 A⼆、填空题(本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13.设平⾯α∥平⾯β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平⾯α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________.【解析】由⾯⾯平⾏的性质得AC ∥BD ，AS BS ＝CSSD ，解得SD ＝9. 【答案】 914.如图8所⽰，将等腰直⾓△ABC 沿斜边BC 上的⾼AD 折成⼀个⼆⾯⾓，此时∠B ′AC ＝60°，那么这个⼆⾯⾓⼤⼩是________.图8【解析】连接B ′C ，则△AB ′C 为等边三⾓形，设AD ＝a ，则B ′D ＝DC ＝a ，B ′C ＝AC ＝2a ，所以∠B ′DC ＝90°.【答案】 90°15.若⼀个底⾯边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在⼀个球⾯上，则此球的体积为________.【解析】球的直径等于正六棱柱的体对⾓线的长.设球的半径为R ，由已知，可得2R ＝62×22＋(6)2＝23，R ＝ 3. 所以球的体积为43πR 3＝4π3×(3)3＝43π. 【答案】 43π16.将正⽅形ABCD 沿对⾓线BD 折成直⼆⾯⾓A -BD -C ，则异⾯直线AB 与CD 所成的⾓等于________.【解析】如图所⽰，分别取BC ，AC 的中点G 、F ，连接EG ，GF ，EF ，则EG ∥CD ，GF ∥AB ，∴∠EGF 就是AB 与CD 所成的⾓. 由题意EG ＝GF ＝EF ＝a2，∴△EFG 是等边三⾓形，∴∠EGF ＝60°. 【答案】 60°三、解答题(本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本⼩题满分10分)如图9所⽰，四棱锥V -ABCD 的底⾯为边长等于2 cm 的正⽅形，顶点V 与底⾯正⽅形中⼼的连线为棱锥的⾼，侧棱长VC ＝4 cm ，求这个正四棱锥的体积.图9 【解】连接AC，BD相交于点O，连接VO，∵AB＝BC＝2 cm，在正⽅形ABCD中，求得CO＝ 2 cm，⼜在直⾓三⾓形VOC中，求得VO＝14 cm，∴V V－ABCD＝13S ABCD·VO＝13×4×14＝4314(cm3).故这个正四棱锥的体积为4314cm3.18.(本⼩题满分12分)如图10所⽰，P是?ABCD所在平⾯外⼀点，E，F分别在P A，BD 上，且PE∶EA＝BF∶FD.求证：EF∥平⾯PBC.图10【证明】连接AF延长交BC于G，连接PG.在?ABCD中，易证△BFG∽△DF A，∴GFF A＝BFFD＝PEEA，∴EF∥PG.⽽EF?/平⾯PBC，PG平⾯PBC，∴EF ∥平⾯PBC .19.(本⼩题满分12分)如图11，长⽅体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平⾯α与此长⽅体的⾯相交，交线围成⼀个正⽅形.图11(1)在图中画出这个正⽅形(不必说明画法和理由)； (2)求平⾯α把该长⽅体分成的两部分体积的⽐值. 【解】 (1)交线围成的正⽅形EHGF ，如图：(2)作EM ⊥AB ，垂⾜为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正⽅形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56， S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长⽅体被平⾯α分成两个⾼为10的直棱柱，所以其体积的⽐值为97? ????79也正确.20.(本⼩题满分12分)如图12所⽰，在长⽅体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点.证明：平⾯ABM ⊥平⾯A 1B 1M .图12【证明】由长⽅体的性质可知A1B1⊥平⾯BCC1B1，⼜BM平⾯BCC 1B1，所以A1B1⊥BM.⼜CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中，B1M＝B1C21＋MC21＝2，同理BM＝BC2＋CM2＝2，⼜B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从⽽BM⊥B1M.⼜A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平⾯A1B1M，因为BM平⾯ABM，所以平⾯ABM⊥平⾯A 1B1M.21.(本⼩题满分12分)如图13，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底⾯ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点.图13(1)求证：AE⊥平⾯PCD；(2)求⼆⾯⾓A-PD-C的正弦值.【解】(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，因P A⊥底⾯ABCD，CD平⾯ABCD，故CD⊥P A.由条件CD⊥AC，P A∩AC＝A，∴CD⊥平⾯P AC，⼜AE平⾯P AC，∴AE⊥CD.由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.⼜PC∩CD＝C，∴AE⊥平⾯PCD.(2)过点E作EM⊥PD，垂⾜为M，连接AM，如图所⽰.由(1)知，AE⊥平⾯PCD，AM在平⾯PCD内的射影是EM，则AM⊥PD.因此∠AME是⼆⾯⾓A-PD-C的平⾯⾓.由已知，可得∠CAD＝30°.22.(本⼩题满分12分)⼀个空间⼏何体的三视图及部分数据如图14所⽰.图14(1)请画出该⼏何体的直观图，并求它的体积；(2)证明：A1C⊥平⾯AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平⾏于平⾯AB1C1，并证明你的结论.【解】(1)⼏何体的直观图如图.四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝3，BC＝1，四边形AA1C1C是边长为3的正⽅形，且垂直于底⾯BB1C1C，∴其体积V＝12×1×3×3＝32.(2)证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平⾯ACC1A1，∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C.∵四边形ACC1A1为正⽅形，∴A1C⊥AC1.∵B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平⾯AB1C1.(3)当E为棱AB的中点时，DE∥平⾯AB1C1.证明：如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.∵AB1平⾯AB1C1，EF?/平⾯AB1C1，∴EF∥平⾯AB1C1.∵FD∥B1C1，∴FD∥平⾯AB1C1，⼜EF∩FD＝F，∴平⾯DEF∥平⾯AB1C1.⽽DE平⾯DEF，∴DE∥平⾯AB1C1.章末综合测评(⼆)解析⼏何初步(时间120分钟，满分150分)⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的)1.空间两点A(3，－2,5)，B(6,0，－1)之间的距离为()A.6B.7C.8D.9【解析】|AB|＝(3－6)2＋(－2－0)2＋(5＋1)2＝7，故选B.【答案】 B2.过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜⾓是45°，则m 的值是( ) A.－1 B.3 C.1D.－3【解析】由k AB ＝m －4－2－m＝tan 45°＝1，解得m ＝1.【答案】 C3.过点(－1,3)且平⾏于直线x －2y ＋3＝0的直线⽅程为( ) A.x －2y ＋7＝0 B.2x ＋y －1＝0 C.x －2y －5＝0D.2x ＋y －5＝0【解析】∵直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的⽅程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.【答案】 A4.已知直线l 1：ax －y －2＝0和直线l 2：(a ＋2)x －y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( ) A.－1 B.0 C.1D.2【解析】 l 1的斜率为a ，l 2的斜率为a ＋2，∵l 1⊥l 2，∴a (a ＋2)＝－1，∴a 2＋2a ＋1＝0即a ＝－1. 【答案】 A 5.如图1，在正⽅体OABC -O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )图1A.(2,2,1)B.? ?2，2，23 C.? ?2，2，13 D.? ?2，2，43【解析】∵|EB |＝2|EB 1|，∴|EB |＝23|BB 1|＝43. ⼜E 在B 1B 上，∴E 的坐标为? ?2，2，43.【答案】 D6.若以点C (－1,2)为圆⼼的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.? ????0，255 B.? ????0，355 C.(0，5)D.(0,25)【解析】设圆⼼到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋(－2)2＝255.若直线与圆没有公共点，则05，故选A.【答案】 A7.已知直线l 1的⽅程为x ＋Ay ＋C ＝0，直线l 2的⽅程为2x －3y ＋4＝0，若l 1，l 2的交点在x 轴上，则C 的值为( )A.2B.－2C.±2D.与A 有关【解析】在2x －3y ＋4＝0中，令y ＝0，得x ＝－2，即直线2x －3y ＋4＝0与x 轴的交点为(－2,0).∵点(－2,0)在直线x ＋Ay ＋C ＝0上，∴－2＋A ×0＋C ＝0，∴C ＝2.【答案】 A8.若a ，b 满⾜a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ) A.? ????－12，－16 B.? ????12，－16 C.? ??12，16 D.? ??－12，16 【解析】令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线⽅程分别为－x ＋3y ＋1＝0，x ＋3y ＝0，其交点为? ??12，－16，此即为直线所过的定点.故选B.【答案】 B9.已知平⾯内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2， 5－2，则满⾜条件的直线l的条数为()A.1B.2C.3D.4【解析】由题知满⾜题意的直线l在线段AB两侧各有1条，⼜因为|AB|＝5，所以还有1条为过线段AB上的⼀点且与AB垂直的直线，故共3条.【答案】 C10.若圆⼼在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O 的⽅程是()A.(x－5)2＋y2＝5B.(x＋5)2＋y2＝5C.(x－5)2＋y2＝5D.(x＋5)2＋y2＝5【解析】设圆⼼O(a,0)，(a<0)，则5＝|a|1＋22，∴|a|＝5，∴a＝－5，∴圆O的⽅程为(x＋5)2＋y2＝5.【答案】 D11.直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦长为()A.2 2B.2C. 2D.与k的取值有关【解析】由于圆x2＋y2＝2的圆⼼在直线y＝kx上，所以截得弦为圆x2＋y2＝2的直径，⼜其半径为2，故截得的弦长为2 2.【答案】 A12.已知点P(x，y)是直线y＝22x－4上⼀动点，PM与PN是圆C：x2＋(y－1)2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN 的最⼩⾯积为()A.43 B.23。
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第8章 第6节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2011·陕西]设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A. y 2＝－8x B. y 2＝8x C. y 2＝－4x D. y 2＝4x答案：B解析：由抛物线的准线方程为x ＝－2，则焦点F (2,0)， ∴p2＝2，∴p ＝4. 故抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选B.2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－2答案：C解析：设标准方程为x 2＝－2py (p >0)，由定义知P 到准线距离为4， 故p2＋2＝4，∴p ＝4， ∴方程为x 2＝－8y ，代入P 点坐标得m ＝±4.3．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝－36x 2C ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2 答案：D解析：分两类a >0，a <0可得 y ＝112x 2，y ＝－136x 2. 4. [2012·湖北武汉]设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (－1,0)的直线在第一象限交抛物线于A 、B ，且AF →·BF →＝0，则直线AB 的斜率k 等于( )A.2B. 22 C. 3D.33答案：B解析：焦点F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB ：y ＝k (x ＋1)，代入y 2＝4x 中，得k 2(x 2＋2x ＋1)＝4x ， k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 则x 1＋x 2＝4－2k 2k2x 1·x 2＝1.又AF →·BF →＝(1－x 1)(1－x 2)＋y 1y 2 ＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋2x 1·2x 2 ＝1－4－2k 2k 21＋4×1＝0， ∴k ＝22或k ＝－22(舍去)， 故选B.5. 已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的点，设点P 到抛物线准线的距离为d 1，到圆(x ＋3)2＋(y －3)2＝1上的一动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A. 3B. 4C. 5D. 32＋1答案：B解析：设抛物线焦点为F ，圆的圆心为C ，点P 到抛物线准线的距离为d 1，即点P 到抛物线焦点的距离为d 1，要使d 1＋d 2的值最小，所以有d 1＋d 2＝|PF |＋|PQ |≥|PF |＋|PC |－1≥|CF |－1＝5－1＝4，∴d 1＋d 2的最小值是4.故选B.6．已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|·|M P →|＋MN →·N P →＝0，则动点P (x ，y )到点M (－3,0)的距离的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 6答案：B解析：因为M (－3,0)，N (3,0)，所以MN →＝(6,0)，|MN →|＝6，MP →＝(x ＋3，y )，NP →＝(x －3，y )．由|MN →|·|MP →|＋M N →·N P →＝0得6(x ＋3)2＋y 2＋6(x －3)＝0，化简整理得y 2＝－12x ，从而可知点M 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到点M 的距离的最小值就是原点到点M (－3,0)的距离为3.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·北京朝阳]已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝__________.答案：3解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1. 根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4， 则M 的横坐标为3.8. 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是__________．答案：2解析：直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，动点P 到l 2的距离等于动点P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，问题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离d ，即d ＝|4－0＋6|5＝2.9．已知以坐标原点为顶点的抛物线C ，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．答案：y 2＝4x解析：由题意知，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，所以可设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)．将直线方程和抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax y ＝x ，得：x 2－ax ＝0，解得x 1＝0，x 2＝a ，故AB 中点的横坐标为x 0＝12(x 1＋x 2)＝12a ，由题意得12a ＝2，解得a ＝4.所以该抛物线的方程为y 2＝4x .三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝2x ＋1截得的弦长为15，求抛物线的方程． 解：设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，直线y ＝2x ＋1与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax ，y ＝2x ＋1，消去y 得4x 2＋(4－a )x ＋1＝0， 则x 1＋x 2＝a －44，x 1x 2＝14.由|AB |＝(1＋22)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －442－4×14＝15， 解得a ＝12或a ＝－4，均满足Δ＝(4－a )2－16＞0. 所以抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .11. 如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上．过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 向点B 运动时，求△ABP 面积的最大值． 解：(1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2， 抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＝－2py 得x 2＋2pkx －4p ＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4， ∴OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)． ∵OA →＋OB →＝(－4，－12)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线方程为x 2＝－2y .(2)据题意，当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△APB 的面积最大． 设点P (x 0，y 0)，由y ′＝－x ， 故由－x 0＝2得x 0＝－2，则y 0＝－12x 20＝－2，故P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离 d ＝|2×(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0. 故|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋22·(－4)2－4×(－4)＝410， 故△ABP 的面积的最大值为 12·|AB |·d ＝12×410×455＝8 2. 12. [2011·浙江]已知抛物线C 1：x 2＝y ，圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为点M .(1)求点M 到抛物线C 1的准线的距离；(2)已知点P 是抛物线C 1上一点(异于原点)，过点P 作圆C 2的两条切线，交抛物线C 1于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：y ＝－14，所以圆心M (0,4)到准线的距离是174.(2)设P (x 0，x 20)，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，由题意得x 0≠0， x 0≠±1，x 1≠x 2.设过点P 的圆C 2的切线方程为y －x 20＝k (x －x 0)， 即y ＝kx －kx 0＋x 20.① 则|kx 0＋4－x 20|1＋k2＝1，即(x 20－1)k 2＋2x 0(4－x 20)k ＋(x 20－4)2－1＝0.设PA ，PB 的斜率为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1，k 2是上述方程的两根，所以 k 1＋k 2＝2x 0(x 20－4)x 20－1，k 1k 2＝(x 20－4)2－1x 20－1.将①代入y ＝x 2，得x 2－kx ＋kx 0－x 20＝0，由于x 0是此方程的根，故x 1＝k 1－x 0，x 2＝k 2－x 0，所以k AB ＝x 21－x 22x 1－x 2＝x 1＋x 2＝k 1＋k 2－2x 0＝2x 0(x 20－4)x 20－1－2x 0，k MP ＝x 20－4x 0.由MP ⊥AB ，得k AB ·k MP ＝(2x 0(x 20－4)x 20－1－2x 0)·(x 20－4x 0)＝－1，解得x 20＝235，即点P 的坐标为(±235，235)，所以直线l 的方程为y ＝±3115115x ＋4.。
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第2模块 第8节[知能演练]一、选择题1．函数f (x )＝(x －1)ln xx －3的零点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由f (x )＝(x －1)ln xx －3＝0得：x ＝1，∴f (x )＝(x －1)ln xx －3只有一个零点，故选B.答案：B2．若函数f (x )在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分( )A ．5次B ．6次C ．7次D ．8次解析：设对区间(1,2)至少二等分n 次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为12，第2次二等分后区间长为122，第3次二等分后区间长为123，…，第n 次二等分后区间长为12n ，依题意得12n <0.01，∴n >log 2100由于6<log 2100<7，∴n ≥7，即n ＝7为所求．答案：C3．f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0.则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且周期是3，f (2)＝0，∴f (2)＝f (5)＝f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.答案：B4．设函数y ＝x 3与y ＝(12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：令g (x )＝x 3－22－x ，可求得：g (0)<0，g (1)<0，g (2)>0，g (3)>0，g (4)>0，易知函数g (x )的零点所在区间为(1,2)．答案：B二、填空题5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式a ·f (－2x )>0的解集是________．解析：由于f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3， 即方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根是－2和3，因此⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a －2·3＝b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－6，因此f (x )＝x 2－x －6， 所以不等式a ·f (－2x )>0， 即－(4x 2＋2x －6)>0，即2x 2＋x －3<0，解集为{x |－32<x <1}．答案：{x |－32<x <1}6．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两根x 1、x 2满足m <x 1<n <x 2<p ，则f (m )·f (n )·f (p )________0(填“>”、“＝”或“<”)．解析：∵a >0，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上．∴f (m )>0，f (n )<0，f (p )>0. 答案：<三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈(0，12)，使f (x 0)＝x 0.解：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g (12)＝f (12－12＝－18，∴g (0)·g (12)<0.又函数g (x )在[0，12]上连续，所以存在x 0∈(0，12，使g (x 0)＝0.即f (x 0)＝x 0.8．函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5－λ在区间[－1,2]上有三个零点，求λ的值．解：设g (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，则g ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， ∴g (x )在(－1，－23)和(1,2)上单调递增，在(－23，1)上单调递减．又g (－1)＝112，g (－23)＝15727，g (1)＝72，g (2)＝7，由题意知g (x )＝λ有三个根，∴λ∈[112，15727)． [高考·模拟·预测]1．为了求函数f (x )＝2x－x 2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x 和函数值f (x )的部分对应值(精确到0.01)如下表所示：则函数f (x )的一个零点所在的区间是( )A ．(0.6,1.0)B ．(1.4,1.8)C ．(1.8,2.2)D ．(2.6,3.0) 解析：∵f (1.8)·f (2.2)＝0.24×(－0.24)<0， ∴零点在(1.8,2.2)上．故选C. 答案：C2．已知函数f (x )＝(13)x －log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0.则f (x 1)的值为( )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0解析：∵f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递减，当x →0时，f (x )→＋∞， ∵f (x 0)＝0，∴f (x )＝0只有一个实根． ∴当0<x 1<x 0时，f (x 1)>0恒成立，故选A. 答案：A3．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x －1D ．f (x )＝ln(x －12)解析：∵g ′(x )＝4x ln4＋2>0，∴g (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．又g (0)＝1－2＝－1<0，g (12＝2＋1－2＝1>0，∴g (x )只有一个零点x 0，且x 0∈(0，12)．对于选项A ：f (x )＝4x －1，其零点为x ＝14，∴|14－x 0|<14A 符合．答案：A4．已知方程|x |－ax －1＝0仅有一个实根且小于0，则a 的取值范围为________．解析：利用数形结合判断显然有a ≥1. 答案：a ≥15．已知函数f (x )＝e x －k －x ，其中x ∈R . (1)k ＝0时，求函数f (x )的值域；(2)当k >1时，函数f (x )在[k,2k ]内是否存在零点，并说明理由． 解：(1)k ＝0时，f (x )＝e x－x ，f ′(x )＝e x－1， 令f ′(x )＝0，得x ＝0.又x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(－∞，0)内单调递减． x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)内单调递增． ∴x ＝0时，f (x )取到极小值．又∵这个极小值是R 上的唯一的极小值， ∴x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝1. 即函数f (x )的值域为[1，＋∞)． (2)f (k )·f (2k )＝(e k －k －k )·(e 2k －k －2k ) ＝(1－k )·(e k －2k )． ∵k >1，∴1－k <0.令g (k )＝e k －2k ，g (1)＝e 1－2>0， 又g ′(k )＝e k －2，当k >1时，g ′(k )>e 1－2>0， ∴k ∈(1，＋∞)，g (k )为增函数． ∴g (k )>g (1)>0.∴k >1时，e k －2k >0.∴f (k )·f (2k )<0.∴即函数f (x )当k >1时在[k,2k ]内存在零点．[备选精题]6．已知二次函数y ＝g (x )的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g (x )在x ＝－1处取得极小值m －1(m ≠0)．设f (x )＝g (x )x.(1)若曲线y ＝f (x )上的点P 到点Q (0,2)的距离的最小值为2，求m 的值． (2)k (k ∈R )如何取值时，函数y ＝f (x )－kx 存在零点，并求出零点． 解：设二次函数为g (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∵y ＝g ′(x )＝2ax ＋b 的图象与直线y ＝2x 平行， ∴a ＝1.又∵y ＝g (x )在x ＝－1处取得极小值m －1， ∴－b 2a＝－1，g (－1)＝a (－1)2＋b (－1)＋c ＝m －1，∴b ＝2，c ＝m ，从而f (x )＝g (x )x ＝mx＋x ＋2.(1)已知m ≠0，设曲线y ＝f (x )上点P 的坐标为P (x ，y )，则点P 到点Q (0,2)的距离为 |PQ |＝(x －0)2＋(y －2)2＝x 2＋(m x＋x )2＝2x 2＋m 2x2＋2m≥22x 2·m2x 2＋2m ＝22|m |＋2m ，当且仅当2x 2＝m 2x 2⇒x ＝±|m |2时等号成立．∵|PQ |的最小值为2，∴22|m |＋2m ＝2⇒2|m |＋m ＝1. ①当m >0时，解得m ＝12＋1＝2－1.②当m <0时，解得m ＝11－2＝－2－1.故m ＝2－1或m ＝－2－1.(2)y ＝f (x )－kx 的零点即方程mx ＋(1－k )x ＋2＝0的解，∵m ≠0，∴mx ＋(1－k )x ＋2＝0与(k －1)x 2－2x －m ＝0有相同的解． ①若k ＝1，(k －1)x 2－2x －m ＝0⇒x ＝－m2≠0，∴函数y ＝f (x )－kx 有零点x ＝－m2.②若k ≠1，(k －1)x 2－2x －m ＝0的判别式Δ＝4[1＋m (k －1)]． 若Δ＝0⇒k ＝1－1m ，此时函数y ＝f (x )－kx 有一个零点x ＝－m .若Δ>0⇒1＋m (k －1)>0，∴当m >0，k >1－1m ，或m <0，k <1－1m 时，方程(k －1)x 2－2x －m ＝0有两个解 x 1＝1＋1＋m (k －1)k －1和x 2＝1－1＋m (k －1)k －1.此时函数y ＝f (x )－kx 有两个零点x 1和x 2. ③若Δ<0⇒1＋m (k －1)<0，∴当m >0，k <1－1m ，或m <0，k >1－1m时，方程(k－1)x2－2x－m＝0无实数解．此时函数y＝f(x)－kx没有零点．。
2023年最新北师大版高二数学综合练习
2023年最新北师大版高二数学综合练习2023年最新北师大版高二数学综合练习一、第一章函数与方程1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会求函数的定义域和值域。
2.了解函数的单调性、奇偶性和周期性，会判断函数的各种性质。
3.掌握常见函数图像的画法及图像变换，理解函数图像的性质及意义。
4.掌握函数与方程的关系，熟悉函数零点与方程根的关系，会用二分法求方程的近似解。
5.了解指数函数、对数函数和幂函数的性质，会解指数不等式、对数不等式和幂不等式。
6.掌握函数与方程在实际问题中的应用，会用所学知识解决实际问题。
二、第二章数列1.理解数列的概念，掌握数列的通项公式和递推公式，会求数列的前n项和。
2.了解等差数列和等比数列的概念、性质和判定方法，会求等差数列和等比数列的通项公式和前n项和。
3.掌握数列的极限概念，理解数列的收敛性和发散性，会求数列的极限。
4.了解数列的应用，会用数列知识解决实际问题。
三、第三章三角函数1.掌握三角函数的概念、性质和图像，会求三角函数的值域和最值。
2.了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式，会进行简单的三角函数运算。
3.理解正弦定理和余弦定理的概念和应用，会解三角形。
4.掌握三角函数在实际问题中的应用，会用三角函数知识解决实际问题。
四、第四章向量与复数1.掌握向量的概念、性质和运算，会用向量表示向量投影和向量的数量积。
2.理解复数的概念、表示方法和运算，会求复数的模和辐角。
3.掌握复数与向量之间的关系，会用复数表示向量并进行向量运算。
4.了解复数在实际问题中的应用，会用复数知识解决实际问题。
五、第五章解析几何1.掌握直线、圆、椭圆、双曲线等常见曲线的方程和性质，会求曲线的交点、距离和面积。
2.理解直线的斜率和截距的概念及求解方法，会求直线的方程。
3.掌握圆的方程和性质，会求圆的标准方程和一般方程。
4.理解椭圆、双曲线和抛物线的方程和性质，会求椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。
5.掌握解析几何在实际问题中的应用，会用解析几何知识解决实际问题。
北师大版高二数学练习册试题及答案
北师大版高二数学练习册试题及答案【导语】当一个小小的心念变成成为行为时，便能成了习惯；从而形成性格，而性格就决定你一生的成败。
成功与不成功之间有时距离很短——只要后者再向前几步。
xx高二频道为莘莘学子整理了《北师大版高二数学练习册试题及答案》，希望对你有所帮助！【一】1．以下说法中不正确的选项是()A．数列a，a，a，…是无穷数列B．1，－3，45，－7，－8，10不是一个数列C．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D．数列{an}，那么{an＋1－an}也是一个数列解析：选B.A，D显然正确；对于B，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．应选B.2．数列{an}的通项公式为an＝1＋〔－1〕n＋12，那么该数列的前4项依次为()A．1，0，1，0B．0，1，0，1C.12，0，12，0D．2，0，2，0解析：选A.当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.3．数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，那么()A．30是数列{an}的一项B．44是数列{an}的一项C．66是数列{an}的一项D．90是数列{an}的一项解析：选C.分别令2n2－n的值为30，44，66，90，可知只有2n2－n＝66时，n＝6(负值舍去)，为正整数，故66是数列{an}的一项．4．数列的通项公式是an＝2，n＝1，n2－2，n≥2，那么该数列的前两项分别是()A．2，4B．2，2C．2，0D．1，2解析：选B.当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝22－2＝2.5.如图，各图形中的点的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是()A．an＝n2－n＋1B．an＝n〔n－1〕2C．an＝n〔n＋1〕2D．an＝n〔n＋2〕2解析：选C.法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果．图形中，点的个数依次为1，3，6，10，代入验证可知正确答案为C.法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系，然后归纳一个通项公式．观察点的个数的增加趋势可以发现，a1＝1×22，a2＝2×32，a3＝3×42，a4＝4×52，所以猜测an＝n〔n＋1〕2，应选C.6．假设数列{an}的通项满足ann＝n－2，那么15是这个数列的第________项．解析：由ann＝n－2可知，an＝n2－2n.令n2－2n＝15，得n＝5.答案：57．数列{an}的前4项为11，102，1003，10004，那么它的一个通项公式为________．解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1003＝103＋3，10004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是an＝10n＋n.答案：an＝10n＋n8．数列{an}的通项公式为an＝2022－3n，那么使an>0成立的正整数n的值为________．解析：由an＝2022－3n>0，得n76，n 当且仅当n＝2时，上式成立，故区间13，23内有数列中的项，且只有一项为a2＝47.【二】1．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，那么分段的间隔为()A．50B．40C．25D．20解析：选C.根据系统抽样的特点，可知分段间隔为100040＝25.2．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2000户，其中农民家庭1800户，工人家庭100户，知识分子家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，以调查家庭收入情况，那么在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法有()①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．A．②③B．①③C．③D．①②③有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从三类家庭中抽出假设干户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样方法．3．从2022名学生中选取50名组成参观团，假设采用下面的方法选取：先利用简单随机抽样从2022人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，那么每人入选的时机()A．不全相等B．均不相等C．都相等D．无法确定可能的，每人入样的机率均为502022.4．总体容量为524，假设采用系统抽样，当抽样的间距为以下哪一个数时，不需要剔除个体()A．3B．4C．5D．6解析：选B.由于只有524÷4没有余数，应选B.5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，那么抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为()A．11B．12C．13D．14解析：选B.法一：分段间隔为84042＝20.设在1，2，…，20中抽取的号码为x0，在[481，720]之间抽取的号码记为20k＋x0，那么481≤20k＋x0≤720，k∈N*，所以24120≤k＋x020≤36.因为x020∈120，1，所以k＝24，25，26， (35)所以k值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.法二：使用系统抽样的方法，从840人中抽取42人，即每20人中抽取1人，所以在区间[481，720]抽取的人数为720－48020＝12.6．为了了解1203名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，现采用选取的号码间隔一样的系统抽样方法来确定所选取样本，那么抽样间隔k＝________．解析：由于120340不是整数，所以从1203名学生中随机剔除3名，那么抽样间隔k＝120220＝30.答案：307．某高三(1)班有学生56人，学生编号依次为01，02，03，…，56.现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，编号为06，34，48的同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号应该是________．解析：由于系统抽样的样本中个体编号是等距的，且间距为564＝14，所以样本编号应为06，20，34，48.答案：208．为了了解学生对某网络游戏的态度，高三(11)班方案在全班60人中展开调查．根据调查结果，班主任方案采用系统抽样的方法抽取假设干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号：01，02，03，…，60.抽取的学生中最小的两个编号为03，09，那么抽取的学生中的编号为________．解析：由最小的两个编号为03，09可知，抽样距为k＝9－3＝6，而总体容量N＝60，所以样本容量n＝Nk＝10，即抽取10名同学，的编号为第10组抽取的个体的编号，故编号为3＋9×6＝57.答案：579．某批产品共有1564件，产品按出厂顺序编号，号码从1到1564，检测员要从中抽取15件产品做检测，请你给出一个系统抽样方案．解：(1)先从1564件产品中，用简单随机抽样的方法抽出4件产品，将其剔除．(2)将余下的1560件产品编号：1，2，3， (1560)(3)取k＝156015＝104，将总体均分为15组，每组含104个个体．(4)从第一组，即1号到104号利用简单随机抽样法抽取一个编号s.(5)按编号把s，104＋s，208＋s，…，1456＋s共15个编号选出，这15个编号所对应的产品组成样本．10．下面给出某村委会调查本村各户收入情况做的抽样，阅读并答复以下问题．本村人口数：1200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30；抽样间隔：120030＝40；确定随机数字：从标有1～30的号码中随机抽取一张，为12.确定第一样本户：编号12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52，52号为第二样本户；…(1)该村委会采用了何种抽样方法？(2)抽样过程存在哪些问题？试修改；(3)何处是用简单随机抽样？解：(1)系统抽样．(2)此题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔30030＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：从标有1～10的号码中随机抽取一张，为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12，12号为第二样本户．(3)确定随机数字：从标有1～30的号码中随机抽取一张，为12.[B能力提升]11．为了检测125个电子元件的质量，欲利用系统抽样的方法从中抽取容量为1Δ(Δ中的数字被墨水污染，无法分辨)的样本进行检测，假设在抽样时首先利用简单随机抽样剔除了5个个体，那么Δ中的数字有()A．1种可能B．2种可能C．3种可能D．4种可能解析：选C.由于125－5＝120＝10×12＝15×8，故有3种可能，分别为0，2，5.12．某种型号的产品共有N件，且40＜N＜50，现需要利用系统抽样抽取样本进行质量检测，假设样本容量为7，那么不需要剔除；假设样本容量为8，那么需要剔除1个个体，那么N＝________．解析：因为样本容量为7时，不需要剔除，所以总体的容量N为7的倍数，又40＜N＜50，所以N＝42或49.假设N＝42，因为42除以8的余数为2，所以当样本容量为8时，需要剔除2个个体，不符合题意；假设N＝49，因为49除以8的余数为1，所以当样本容量为8时，需要剔除1个个体，满足题意，故N＝49. 答案：4913．为了调查某路口一个月的车流量情况，*采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为*这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改良？如果是调查一年的车流量情况呢？解：*所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．改良方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可．如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不适宜，比拟简单可行的方法是把样本距改为8.14．(选做题)一个总体中的1000个个体编号为0，1，2，…，999，并依次将其均分为10个小组，组号为0，1，2，…，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)假设所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．解：(1)由题意知此系统抽样的间隔是100，根据x＝24和题意得，24＋33×1＝57，第1组抽取的号码是157；由24＋33×2＝90，那么在第2组抽取的号码是290，…故依次是24，157，290，323，456，589，622，755，888，921.(2)由x＋33×0＝87得x＝87，由x＋33×1＝87得x＝54，由x＋33×2＝87，得x＝21，由x＋33×3＝187得x＝88…，依次求得x值可能为21，22，23，54，55，56，87，88，89，90.。
北师大版高二数学上试题及答案.doc
高二数学试题（选修2-1）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共36分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，在试题卷上作答无效。
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
） 1.下列命题是真命题的是A 、“若0=x ，则0=xy ”的逆命题；B 、“若0=x ，则0=xy ”的否命题；C 、若1>x ，则2>x ；D 、“若2=x ，则0)1)(2(=--x x ”的逆否命题 2.已知p:522=+，q:23>，则下列判断中，错误．．的是 A 、p 或q 为真，非q 为假； B 、p 且q 为假，非p 为真； C 、p 且q 为假，非p 为假；D 、p 且q 为假，p 或q 为真；3．对抛物线24y x =，下列描述正确的是A 、开口向上，焦点为(0,1)B 、开口向上，焦点为1(0,)16C 、开口向右，焦点为(1,0)D 、开口向右，焦点为1(0,)164．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件5.经过点)62,62(-M 且与双曲线13422=-y x 有共同渐近线的双曲线方程为 A ．18622=-y x B ．18622=-x y C ．16822=-y x D ．16822=-x y 6.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆13432=+y x 上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是A.23B. 8C.34D. 47．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若11,,,CA a CB b CC c A B ====则 A ．-+ B ．+- C ．-+- D ．++- 8. 关于曲线||||1x y -=所围成的图形，下列判断不正确．．．的是 A ．关于直线y = x 对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x 轴对称9. 若抛物线22(0)y px p =>上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点横坐标为 A ．6 B ．8 C ．1或9 D ．10 10．下列各组向量中不平行．．．的是 A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a B ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g11. 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形12. 抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于A ．2B ．23C ．25D ．3二.填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。
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第8章第3节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 直线ax＋by－b＋a＝0与圆x2＋y2＋x－3＝0的位置关系是()A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法判断答案：A解析：直线方程化为a(x＋1)＋b(y－1)＝0，可知直线过定点(－1,1)，将(－1,1)代入圆的方程，(－1)2＋12－1－3＝－2<0，则定点在圆内，所以直线与圆总相交．2. [2012·山东淄博]“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案：A解析：“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”⇔“圆心(a，b)到直线y＝x＋2的距离d＝r”，即|a－b＋2|2＝2，|a－b＋2|＝2，解得a－b＝0或a－b＝－4.所以，“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的充分不必要条件．3. [2012·武汉联考]若直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2恰有一个公共点，则b的取值范围是()A. b∈[－1,1]B. b＝－ 2C. b＝±2D. b∈(－1,1]或b＝－ 2答案：D解析：由x＝1－y2知，曲线表示如图所示的半圆，让直线y＝x＋b在图形中运动，可知，当－1<b≤1时与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时|b|2＝1，求得b＝2(舍去)或b＝－ 2.故选D.4．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是() A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0答案：D解析：两圆关于直线l 对称，则直线l 为两圆圆心连线的垂直平分线．圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，圆x 2＋y 2－6x ＋6y ＋14＝0的圆心为P (3，－3)，则线段OP 的中点为Q (32，－32)，其斜率k OP ＝－32－032－0＝－1，则直线l 的斜率为k ＝1，故直线l 的方程为y －(－32)＝x －32，即x －y －3＝0，故选D.5．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A 、B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0答案：A解析：结合圆的几何性质处理会更简捷．由圆的一般方程可得圆心O (－1,2)，由圆的性质易知O (－1,2)，C (－2,3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB ×k O C ＝－1⇒k AB ＝1，故直线AB 的方程为：y －3＝x ＋2整理得：x －y ＋5＝0.6. [2012·广东揭阳]已知直线l ：x ＋y －6＝0和圆M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，点A 在直线l 上，若直线AC 与圆M 至少有一个公共点C ，且∠MAC ＝30°，则点A 的横坐标的取值范围是( )A. (0,5)B. [1,5]C. [1,3]D. (0,3] 答案：B 解析：如图，设点A 的坐标为(x 0,6－x 0)，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4，圆心M 到直线AC 的距离为d ，则d ＝|AM |sin30°，因直线AC 与圆M 有交点，所以d ＝|AM |sin30°≤2⇒(x 0－1)2＋(5－x 0)2≤16⇒1≤x 0≤5，故选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，其中的劣弧最短时，直线l 的方程为________．答案：x －2y ＋3＝0解析：设圆心为N ，点N 的坐标为(2,0)，由圆的性质得直线l 与MN 垂直时，形成的劣弧最短，由点斜式得直线l 的方程为x －2y ＋3＝0.8. [2012·东北联考]若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为__________．答案：2 3解析：由题意可知圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为24－(c a 2＋b2)2，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3.9．设直线3x ＋4y －5＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，若圆C 2的圆心在线段AB 上，且圆C 2与圆C 1相切，切点在圆C 1的劣弧AB 上，则圆C 2的半径的最大值是________．答案：1解析：圆C 1的圆心C 1(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离为|0＋0－5|32＋42＝1，圆C 1的半径为2，AB 弧上的点到直线3x ＋4y －5＝0距离最大为2－1＝1，因此圆C 2的半径最大为1.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 已知以点C (t ，2t )(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． 解：(1)∵圆C 过原点O ，∴r 2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2.令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴A (2t,0)，B (0，4t )，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12·|2t |·|4t |＝4，即△OAB 的面积为定值4.(2)∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程是y ＝12x ，∴2t ＝12t ，解得t ＝2或－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点；当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，∴t ＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.11．已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？解：(1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4m m 2＋1，直线l 的斜率k ＝m m 2＋1，∴|k |≤|m |m 2＋1.①m ＝0时，k ＝0. ②m ≠0时，0<|k |＝1|m |＋|1m |≤12(当且仅当|m |＝1时等号成立) ∴－12≤k ≤12且k ≠0.综合①②，∴－12≤k ≤12，所以斜率k 的取值范围是[－12，12]．(2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x －4)，其中|k |≤12.圆C 的圆心为C (4，－2)，半径r ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k 2. 由|k |≤12，得d ≥45>1，即d >r 2.从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3.所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧．12．已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA 、QB 分别切⊙M 于A 、B 两点． (1)如果|AB |＝423，求直线MQ 的方程； (2)求动弦AB 的中点P 的轨迹方程． 解：(1)由P 是AB 的中点，|AB |＝423， 可得|MP |＝|MA |2－(|AB |2)2＝1－(223)2＝13.由射影定理，得|MB |2＝|MP |·|MQ |，得|MQ |＝3， 在Rt △MOQ 中，|OQ |＝|MQ |2－|MO |2|＝32－22＝ 5. 故Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)所以直线MQ 的方程是：2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)连结MB ，MQ ，设P (x ，y )，Q (a,0)，点M 、P 、Q 在一条直线上，当a ≠0时，得2－a ＝2－y－x .②由射影定理有|MB |2＝|MP |·|MQ |， 即x 2＋(y －2)2·a 2＋4＝1.③ 由②及③消去a ，并注意到y <2，可得 x 2＋(y －74)2＝116(y <2)．当a ＝0时，易得P 点为(0，32)，满足方程x 2＋(y －74)2＝116(y <2)．即中点P 的轨迹方程为x 2＋(y －74)2＝116(y <2)．。
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第8章 第4节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·江西联考]方程x 2sin2＋cos2－y 2cos2－sin2＝1所表示的曲线是( )A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D. 焦点在y 轴上的双曲线 答案：B解析：∵π2<2<3π4，∴sin2>0，cos2<0且|sin2|>|cos2|，∴sin2＋cos2>0，cos2－sin2<0且sin2－cos2>sin2＋cos2，故表示焦点在y 轴上的椭圆．2. [2012·广东联考]椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A. 14B. 12C. 2D. 4答案：A解析：将原方程变形为x 2＋y 21m＝1，由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，∴a ＝1m ，b ＝1，∴1m ＝2，∴m ＝14，故选A.3. [2012·河北唐山]P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1、F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于( )A. 3B. 3C. 2 3D. 2答案：D解析：由题意可得|F 1F 2|＝2，|PF 1|＋|PF 2|＝4， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos60° ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|，所以4＝42－3|PF 1||PF 2|，|PF 1||PF 2|＝4， PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|·cos60°＝4×12＝2，故选D.4. [2012·辽宁协作体]已知椭圆x 236＋y29＝1上有两个动点P 、Q ，E (3,0)，EP ⊥EQ ，则E P →·Q P →的最小值为( )A. 6B. 3－ 3C. 9D. 12－6 3答案：A解析：设P (x 0，y 0)，则EP →·Q P →＝|E P →|·|QP →|cos 〈EP →，Q P →〉＝|E P →|2＝(x 0－3)2＋y 20＝(x 0－3)2＋9－1420＝34x 20－6x 0＋18＝34[(x 0－4)2－16]＋18≥6，当x 0＝4时取“＝”，故选A. 5．[2012·抚顺一模]已知椭圆x 24y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233 B.263 C.33D. 3答案：B解析：由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3 ①.又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24 ②.将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.6. 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是 ( )A.32B.22C. 2－1D. 2答案：C解析：∵△ABF 2是等腰直角三角形，设点A (x 0，y 0)在x 轴上方，∴|AF 1|＝|F 1F 2|.将x 0＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得A (－c ，b 2a )，从而b2a ＝2c ，即a 2－c 2＝2ac ，整理得e 2＋2e －1＝0，解得e ＝－1±2.由e ∈(0,1)得e ＝2－1.故选C. 二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·长春调研]已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为__________．答案：2－1解析：依题意c ＝p 2，b2a ＝p ，∴b 2＝2ac ，∴c 2＋2ac －a 2＝0， ∴e 2＋2e －1＝0，又∵e >0，∴解得e ＝2－1.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4，0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________.答案：54解析：利用椭圆定义得a ＋c ＝2×5＝10，b ＝2×4＝8，利用正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝a ＋c b ＝108＝54.9. [2011·江西]若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．答案：x 25＋y 24＝1解析：由图知切点A (1,0)，设另一切线y －12＝k (x －1)，即kx －y －k ＋12＝0，圆心(0,0)到切线距离d ＝|－k ＋12|k 2＋1＝1，∴k ＝－34，则OB 的直线方程为y ＝43x ，∴y ＝43x 与x 2＋y 2＝1联立得B (35，45)，∴AB 方程为y ＝－2(x －1)，得椭圆右焦点(1,0)、上顶点(0,2)， ∴c ＝1，b ＝2，a 2＝5， ∴椭圆方程x 25＋y241.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．[2012·山东东营]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－2，1)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →＋F 2M →＝0.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上任一动点M (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为M 1(x 1，y 1)，求 3x 1－4y 1的取值范围． 解：(1)由已知点P (－2，1)在椭圆上， ∴2a 2＋1b2＝1.① 又∵PM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上， ∴M 为PF 2的中点． ∴－2＋c ＝0，c ＝ 2. ∴a 2－b 2＝2.②由①②，解得b 2＝2(b 2＝－1舍去)， ∴a 2＝4.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点M (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为M 1(x 1，y 1)， ∴⎩⎨⎧ y 0－y1x 0－x 1×2＝－1，y 0＋y 12＝2×x 0＋x12，解得⎩⎨⎧x 1＝4y 0－3x5，y 1＝3y 0＋4x5∴3x 1－4y 1＝－5x 0.∵点M (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y221上，∴－2≤x 0≤2， ∴－10≤－5x 0≤10.即3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]．11. [2011·辽宁]如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 解：(1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设 C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x2a2＝1(a >b >0)，设直线l ：x ＝t (|t |<a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得 A (t ，a b a 2－t 2)，B (t ，baa 2－t 2)．当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)当t ＝0时的l 不符合题意，当t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b a a 2－t 2t ＝a ba 2－t 2t －a . 解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e 2e 2·a . 因为|t |<a ，又0<e <1，所以1－e 2e 2<1，解得22<e <1. 所以当0<e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22<e <1时，存在直线l ，使得BO ∥AN . 12. [2012·北京东城]已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为12，且椭圆的左顶点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (0，m )的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且AP →＝3PB →，求实数m 的取值范围． 解：(1)设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a ＋c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.所以所求椭圆方程为x 24＋y23＝1.(2)若过点P (0，m )的斜率不存在，则m ＝±32.若过点P (0，m )的直线斜率存在， 设直线l 的方程为y －m ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，可得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. Δ＝64m 2k 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)． 因为直线l 与椭圆C 交于不同两点， 所以Δ>0，整理得4k 2－m 2＋3>0. 即4k 2>m 2－3，① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.②由已知AP →＝3P B →，因为AP →＝(－x 1，m －y 1)，P B →＝(x 2，y 2－m )． 所以－x 1＝3x 2.③将③代入②得－3(4km 3＋4k 2)2＝4m 2－123＋4k 2，整理得16m 2k 2－12k 2＋3m 2－9＝0，将k 2＝9－3m 216m 2－12代入①式得4k 2＝9－3m 24m 2－3>m 2－3. 4m 2(m 2－3)4m 2－3<0，解得34<m 2<3. 所以－3<m <－32或32<m < 3. 综上可得，实数m 的取值范围为(－3，－32]∪[32，3)．。
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第10章 第8节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分) 1．随机变量ξ的分布列为，则E (5ξ＋4)等于( ) A ．13 B ．11 C ．2.2 D ．2.3 答案：A 解析：由已知得E (ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8， ∴E (5ξ＋4)＝5E (ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13. 2. [2012·荆州质检]随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝3，则D (ξ)的值是( )A. 13B. 23 C. 59 D. 79答案：C解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1，且E (ξ)＝－1×a ＋1×c ＝c －a ＝13，∴a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59.3. 设ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13x 1<x 2，又已知E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，则x 1＋x 2的值为( ) A. 53B. 73C. 3D.113答案：C解析：由E (ξ)＝43，D (ξ)＝29得：⎩⎨⎧23x 1＋13x 2＝43(x 1－43)2·23＋(x 2－43)2·13＝29，解得：⎩⎨⎧x 1＝53x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1x 2＝2，由于x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.4. [2012·浙江嘉兴]甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数ξ的期望是( )A. 43B.119C. 1D. 89答案：A解析：依题意，ξ的取值为0,1,2. 且P (ξ＝0)＝(1－23×(1－23)＝19，P (ξ＝1)＝23×(1－23)＋(1－23)×23＝49，P (ξ＝2)＝23×23＝49.故ξ的期望E (ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝129＝43.5．已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie－(x －μi )22σ2i(x ∈R，i ＝1,2,3)的图像如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 答案：D解析：正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图像一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6. 若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数，则2D (ξ)－1E (ξ)的最大值为( )A. 2＋2 2B. 2 2C. 2－ 2D. 2－2 2答案：D解析：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，∴E (ξ)＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，D (ξ)＝(0－p )2·(1－p )＋(1－p )2·p ＝p －p 2，∴2D (ξ)－1E (ξ)＝2－(2p ＋1p )，∵0<p <1，∴2p ＋1p≥ 22，当且仅当2p ＝1p p ＝22时等号成立，因此当p ＝22时，2D (ξ)－1E (ξ)取最大值2－2 2. 二、填空题(每小题7分，共21分)7．[2011·上海]马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝__________.答案：2解析：设P (ξ＝1)＝x ，则P (ξ＝2)＝1－2x ，P (ξ＝3)＝x ， ∴E (ξ)＝1·x ＋2·(1－2x )＋3·x ＝2.8．[2012·广东江门]已知X ～N (μ，σ2)，P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.68，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.95，某次全市20000人参加的考试，数学成绩大致服从正态分布N (100,100)，则本次考试120分以上的学生约有__________．答案：500解析：依题意可知μ＝100，σ＝10， 由于P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.95， 所以P (80<X ≤120)＝0.95，因此本次考试120分以上的学生约有 20000×(1－0.95)2＝500.9．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________． 答案：乙解析：甲、乙的均值分别为Eξ＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1， Eη＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以Eξ>Eη， 故乙的技术较好．三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q 的值，并求E (ξ)，D(ξ)的值.解：(1)0≤P i ≤1 i ＝1,2，...； (2)p 1＋p 2＋ (1)所以有⎩⎪⎨⎪⎧12＋1－2q ＋q 2＝1，0≤1－2q ≤1，q 2≤1，解得q ＝1－12. 故ξ的分布列应为：所以E (ξ)＝(－1)×12＋0×(2－1)＋1×(32－2)＝1－2，D (ξ)＝[－1－(1－2)]2×12＋[0－(1－2)]2×(2－1)＋[1－(1－2)]2×(32－2)＝2－1.11. [2011·天津]学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)．(1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X )． 解：(1)设A i ＝“在1次游戏中摸出i 个白球”(i ＝0,1,2,3)，则①P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15，②P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12.又A 2与A 3互斥，∴P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.即获奖的概率为710.(2)X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝(1－710)2＝9100，P (X ＝1)＝C 12·710·(1－710)＝2150， P (X ＝2)＝C 22(710)2＝49100.所以X 的分布列是∴X 的数学期望E (X )＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.12. [2011·福建]某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：且X 1的数学期望E (X 1)(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．解：(1)因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6， 即6a ＋7b ＝3.2.又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1， 即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X 2的概率分布列如下：所以E (X 2)＝3P 22222＝7)＋8P (X 2＝8) ＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性．现由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性．。
2013高中数学总复习 8-6课后演练知能检测 北师大版
2013北师大版数学总复习课后演练知能检测8-6 Word版含答案(时间：60分钟，满分：80分)一、选择题(共6小题，每小题5分，满分30分)1．(2012年合肥第一次质检)过点(0,1)作直线，使它与拋物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合题意分析可知，满足条件的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与拋物线相切的直线(非直线x＝0)．答案：C2．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A．相离B．相交C．相切D．不确定解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线l上的射影，则|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，于是M到l的距离d＝12(|AA1|＋|BB1|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|＝半径，故相切．答案：C3．(2012年沈阳调研)已知过拋物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角为( )A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3D.π2解析：由焦点弦长公式|AB|＝2psin2θ得6sin2θ＝12，∴sin θ＝22，∴θ＝π4或3π4.答案：B4．(2011年湖北高考)将两个顶点在拋物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此拋物线焦点的正三角形个数记为n，则( )A．n＝0 B．n＝1C．n＝2 D．n≥3解析：设直线y ＝33(x －p 2)，与拋物线y 2＝2px 联立可得x ＝7±432p ，故可得两交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7－432p ，3p －2p 和⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋432p ，3p ＋2p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫7－432p ，3p －2p 与(p 2，0)之间的距离为2(2－3)p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋432p ，3p ＋2p 与(p2，0)之间的距离为2(2＋3)p ，故等边三角形有两个，选C. 答案：C5．设斜率为2的直线l 过拋物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O为坐标原点)的面积为4，则拋物线的方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ． y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：由题可知拋物线焦点坐标为(a4，0)，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2(x －a4)，令x ＝0，可得A 点坐标为(0，－a2)，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，∴a ＝±8.答案：B6．(2011年课标全国)已知直线l 过拋物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：设拋物线方程为y 2＝2px ，则焦点坐标为(p 2，0)，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，∴p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，∴△PAB 的面积为12×6×12＝36. 答案：C二、填空题(共3小题，每小题5分，共15分)7．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升12米后，水面的宽是________．解析：设抛物线方程为x 2＝－2py ，将(4，－2)代入方程得16＝－2p ·(－2)，解得2p ＝8，故方程为x 2＝－8y ，水面上升12米，则y ＝－32，代入方程，得x 2＝－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12，x ＝±2 3.故水面宽43米． 答案：43米8．在平面直角坐标系xOy 中，已知拋物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P (2,4)，则该拋物线的方程是________．解析：由题意设拋物线的方程为y 2＝2ax (a >0)，由于其过点P (2,4)，所以42＝2a ×2⇒a ＝4，故该拋物线的方程是y 2＝8x . 答案：y 2＝8x9．已知点M 是拋物线y 2＝4x 上的一点，F 为拋物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2＋(y －1)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为________．解析：依题意得|MA |＋|MF |≥(|MC |－1)＋|MF |＝(|MC |＋|MF |)－1，由拋物线的定义知|MF |等于点M 到拋物线的准线x ＝－1的距离，结合图形(图略)不难得知，|MC |＋|MF |的最小值等于圆心C (4,1)到拋物线的准线x ＝－1的距离，即为5，因此所求的最小值为4. 答案：4三、解答题(共3小题，满分35分)10．(2011年江西高考)已知过拋物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交拋物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该拋物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为拋物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解析：(1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以：x 1＋x 2＝5p4，由拋物线定义得：|AB |＝ x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而拋物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)；设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.11．(2012年沈阳模拟)如图，F 为抛物线y 2＝2px 的焦点，A (4,2)为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，且|PA |＋|PF |的最小值为8. (1)求该抛物线的方程；(2)如果过F 的直线l 交抛物线于M 、N 两点，且|MN |≥32，求直线l 的倾斜角的取值范围．解析：(1)设P 点到抛物线的准线x ＝－p2的距离为d ，由抛物线的定义知d ＝|PF |，∴(|PA |＋|PF |)min ＝(|PA |＋d ) min ＝p2＋4，∴p2＋4＝8⇒p ⇒8，∴抛物线的方程为y 2＝16x . (2)由(1)得F (4,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，显然k ≠0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，把直线方程代入抛物线，得k 2x 2－(8k 2＋16)x ＋16k 2＝0，x 1＋x 2＝8k 2＋16k2，x 1·x 2＝16， ∴|MN |＝1＋k 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2× ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋16k 22－64 ＝1＋k 2×64k 4＋162k 2＋162－64k4k 2＝1＋k2k 2×161＋k 2＝161＋k2k 2≥32，∴k 2≤1，即－1≤k ≤1，∴直线l 斜率的取值范围为[－1,0)∪(0,1]， ∴直线l 倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 12．(2011年福建高考)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与拋物线C ：x 2＝4y相切于点A . (1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与拋物线C 的准线相切的圆的方程．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与拋物线C 相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0. 解得b ＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0.解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，故点A(2,1)．因为圆A与拋物线C的准线相切，所以圆A的半径r就等于圆心A到拋物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.。
高二数学北师大版试卷
高二数学北师大版试卷考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知集合，则（）A． B． C． D．2.极坐标方程和参数方程所表示的图形分别是（）A．直线，直线B．直线，圆C．圆，圆D．圆，直线3.已知两直线与平行，则的值为（）A．1 B．－1 C．1或－1 D．24.甲、乙两工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所列：则有结论（）A．甲的产品质量比乙的产品质量好一些 B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些C．两人的产品质量一样好 D．无法判断谁的质量好一些5.设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M—N=240，则展开式中项的系数为（）A．150 B．500 C．—150 D．—5006.设点是以为左、右焦点的双曲线左支上一点，且满足，则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．7.若集合，，则（）A． B． C． D．8.是直线与曲线仅有一个公共点的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9.垂直于同一平面的两条直线一定（）A．相交 B．平行 C．异面 D．以上都有可能10.已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则实数的值是（）A． B． C．6 D．11.的值为（）A．0 B． C．2 D．412.某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费用为9万元，这种生产设备的维护费用：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，则这套生产设备最多使用（）年报废最划算。
A．3 B．5 C．7 D．1013.设，则的大小关系是A． B． C． D．14.已知e为自然对数的底数,设函数,则( )．A．当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B．当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C．当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D．当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值15.曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为（）A． B． C． D．16.给出以下四个命题：①“若x＋y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若，则有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．其中真命题是 ( )A．①②B．②③C．①③D．③④17.设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件18.方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的条件是（）A． B．m＞1 C． D．或m＞119.．从4台甲型和5台乙型电视机中任选3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法有（）A．35 B．70 C．84 D．14020.函数的零点所在的大致区间是 ( )A． B． C． D．二、填空题21.若向量，则_________。
高二数学北师大版试卷
高二数学北师大版试卷考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.除以8的余数为A．1 B．3 C．5 D．72.已知是虚数单位，则复数（）A． B． C． D．3.设，则方程不能表示的曲线为（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆4.10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第次才取得次红球的概率为（）A．B．C．D．5.利用数学归纳法证明…且）时，第二步由到时不等式左端的变化是（）A ．增加了这一项B ．增加了和两项C ．增加了和两项，同时减少了这一项D ．以上都不对6.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 为C 1D 1的中点，则二面角P-AC-D 的余弦值是 A ． B ．C ．D ．7.双曲线C ：的虚轴长是实轴长的2倍，那么其中一个焦点坐标为（ ） A ．B ．C ．D ．8.若复数满足，则复数的虚部为A ．B ．C ．D ．9.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．10.已知向量=(3,4),=(2,-1),如果向量与垂直，则x 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．211.设是虚数单位，则复数的虚部是 （ ）A ．B ．C ．D ．12.独立性检验，适用于检查变量之间的关系（ ）A ．线性B ．非线性C ．解释与预报D ．分类 13.“”是“表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分又不必要条件14.若是纯虚数（其中是虚数单位），且，则的值是（）A． B． C． D．15.下列说法正确的是（）A．任意三点可确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．一条直线和一个点确定一个平面16.从0，1，2，3，4，5，6七个数字中，选出2个偶数和1个奇数，组成无重复数字的三位数，能被5整除的三位数有_____________个．（用数字作答）17.已知，则与的夹角为（）A．30° B．60° C．45° D．90°18.设，，c，则（）A． B． C． D．19.如果平面外有两点、，它们到平面的距离都是，则直线和平面的位置关系一定是（）．A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．20.如图，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点．若，则的离心率是（）A． B． C． D．二、填空题21.若是的充分不必要条件，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件22.下面程序运行后输出的结果是____________.程序框图：23.椭圆上一点Ｐ到左焦点的距离为，则Ｐ到左准线的距离为_________24.．已知，式中变量，满足约束条件，则的最小值为▲．25.投掷红、蓝两颗均匀的骰子，观察出现的点数，至多一颗骰子出现偶数点的概率是_____。
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第8模块 第6节[知能演练]一、选择题1．椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则m 的值为 ( )A ．2或12B ．2 C.14或4D.14解析：∵x 2＋my 2＝1，即x 2＋y 21m＝1是椭圆，∴m >0.当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝1，b 2＝1m ，c 2＝a 2－b 2＝1－1m ，此时m >1，由e ＝ca＝c 2a2＝1－1m ＝32⇒m ＝4；当焦点在y 轴上时，a 2＝1m ，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1m －1，此时0<m <1，由e ＝ca ＝c 2a 2＝1m －11m＝32⇒m ＝14.故选C. 答案：C2．动点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的( )A ．椭圆B ．双曲线的右支C ．抛物线D ．一条直线解析：如右图所示，设三个切点分别为M 、N 、Q ， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PM |＋|F 2N |＝|F 1M |＋|F 2N |＝|F 1N |＋|F 2N |＝|F 1F 2|＋2|F 2N |＝2a ，∵|F 2N |＝a －c ，∴N 点是椭圆的右顶点，∴CN ⊥x 轴，∴C 点轨迹为直线．答案：D3．以坐标轴为对称轴，离心率为32且经过点(2,0)的椭圆方程是 ( )A.x 24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 216＋y24＝1 C.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 D.x 24＋y 2＝1或y 216＋x24＝1 解析：由于椭圆的焦点位置不确定，从而分两种情况：(1)当焦点在x 轴时，设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由⎩⎨⎧b a＝a 2－c 2a 2＝1－c 2a2＝1－(32)2＝12，22a 2＋02b 2＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，(2)当焦点在y 轴时，设椭圆方程为y 2a 2＋x2b 2＝1(a >b >0)，由⎩⎨⎧b a＝a 2－c 2a 2＝1－c 2a2＝1－(32)2＝12，02a 2＋22b 2＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝4，故选D.答案：D4．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，点P 为该椭圆上一动点，则当PF 2→·PA 1→取最小值时，|PF 2→＋PA 1→|的值为( )A ．2 2B ．3C ．2 3D.13解析：由已知得：a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以F 2(1,0)，A 1(－2,0)，设P (x ，y )，所以PF 2→·PA 1→＝(－2－x )(1－x )＋y 2，又点P 在椭圆上，所以y 2＝3－34x 2，代入上式可得：PF 2→·PA 1→＝(x ＋2)(x －1)＋y 2＝14x 2＋x ＋1＝14x 2＋4x ＋4)＝14(x ＋2)2，显然当x ＝－2时PF 2→·PA 1→取得最小值，所以P (－2,0)，容易知|PF 2→＋PA 1→|＝3. 答案：B 二、填空题5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是__________．解析：设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，c ＝23，a 2＝b 2＋c 2解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，c ＝2 3.∴标准方程为x 216＋y 24＝1.答案：x 216＋y 24＝16．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a为半径作圆M .若过点P (a 2c ，0)所作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为__________．解析：如右图，切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故a 2c ＝2a ，解得e ＝c a ＝22. 答案：22三、解答题7．求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6；(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23.解：(1)如下图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18. 故所求的椭圆的方程为x 218＋y29＝1.(2)∵椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA ＝23，∴A 不是长轴的端点(是短轴的端点)． ∴|OF |＝c ，|AF |＝a ＝3，∴c 3＝23.∴c ＝2，b 2＝32－22＝5.∴椭圆的方程是x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.8．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关． 解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos60°. ∵m ＋n ＝2a ，∴m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4a 2－2mn ， ∴4c 2＝4a 2－3mn .即3mn ＝4a 2－4c 2.又mn ≤(m ＋n 2)2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，∴4a 2－4c 2≤3a 2，∴c 2a 2≥14，即e ≥12.∴e 的取值范围是[12，1)．(2)证明：由(1)知mn ＝43b 2，∴S △PF 1F 2＝12mn sin60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．[高考·模拟·预测]1．如右图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ和Ⅱ的长半轴长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，则下列结论不正确的是( )A ．a 1＋c 1>a 2＋c 2B ．a 1－c 1＝a 2－c 2C ．a 1c 2<a 2c 1D ．a 1c 2>a 2c 1解析：由题意知，a 1＝2a 2，c 1>2c 2，则有a 1c 2<a 2c 1，故不正确的结论为D. 答案：D2．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22B.33C.12D.13解析：∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°， ∴|PF 1|＝12PF 2|，∴32|PF 2|＝2a⇒|PF 2|＝43，|PF 1|＝23a ，在Rt △PF 1F 2中，|PF 1|2＋|F 1F 2|2＝|PF 2|2，∴(23a )2＋(2c )2＝(43a )2⇒e ＝c a ＝33，故选B.答案：B3．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：由题意直线m 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋2)x 22＋y 2＝1得 (1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，∴x 1＋x 2＝－8k 211＋2k 21，∴y 1＋y 2＝4k 11＋2k 21， ∴P (－4k 211＋2k 21，2k 11＋2k 21)， ∴k 2＝2k 11＋2k 21－4k 211＋2k 21＝－12k 1，∴k 1k 2＝－12. 答案：D4．椭圆x 29＋y22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__________；∠F 1PF 2的大小为__________．解析：依题知a ＝3，b ＝2，c ＝7.由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝6，∵|PF 1|＝4， ∴|PF 2|＝2.又|F 1F 2|＝27.在△F 1PF 2中由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.答案：2；120°5．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14x 2的焦点，离心率为255.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)，抛物线方程化为x 2＝4y ，其焦点为(0,1)， 则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b ＝1， 由e ＝c a＝a 2－b 2a 2＝255，∴a 2＝5， ∴椭圆C 的标准方程为x25＋y 2＝1.(2)易求出椭圆C 的右焦点为F (2,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)，显然直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，代入方程x25＋y 2＝1并整理，得(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0，∴x 1＋x 2＝20k21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k 2， 又MA →＝(x 1，y 1－y 0)，MB →＝(x 2，y 2－y 0)，AF →＝(2－x 1，－y 1)，BF →＝(2－x 2，－y 2)， 而MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，即(x 1，y 1－y 0)＝λ1(2－x 1，－y 1)，(x 2，y 2－y 0)＝λ2(2－x 2，－y 2)， ∴λ1＝x 12－x 1，λ2＝x 22－x 2∴λ1＋λ2＝x 12－x 1＋x 22－x 2＝2(x 1＋x 2)－2x 1x 24－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝－10. [备选精题]6．设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ，b >0)，过M (2，2)，N (6，1)两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)将M 、N 的坐标代入椭圆E 的方程得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，6a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：假设满足题意的圆存在，其方程为x 2＋y 2＝R 2，其中0<R <2. 设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点， 当直线AB 的斜率存在时，令直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，① 将其代入椭圆E 的方程并整理得 (2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0. 由韦达定理得x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1②因为OA →⊥OB →， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.③ 将①代入③并整理得(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0.联立②得m 2＝83(1＋k 2)．④因为直线AB 和圆相切，因此R ＝|m |1＋k2，由④得R ＝263，所以存在圆x 2＋y 2＝83满足题意．当切线AB 的斜率不存在时，易得x 21＝x 22＝83，由椭圆E 的方程得y 21＝y 22＝83，显然OA →⊥OB →.综上所述，存在圆x 2＋y 2＝83满足题意．当切线AB 的斜率存在时，由①②④得|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k2(－4km2k 2＋1)2－4×2m 2－82k 2＋1 ＝42k 2＋12k 2＋11－23×k 2＋12k 2＋1.令t ＝k 2＋12k 2＋1，则12t ≤1，因此|AB |2＝32t (1－23t )＝－643(t －34)2＋12.所以323≤|AB |2≤12， 即463|AB |≤2 3. 当切线AB 的斜率不存在时，易得|AB |＝463，所以463≤|AB |≤2 3.综上所述，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝83满足题意，且463≤|AB |≤2 3.。