伯努利原理

伯努利原理

伯努利的流体动力学原理，伯努利的原则，无粘流，在流体速度增加，同时发生在压力或流体中的潜在能量的减小而减小。[ 1 ] [ 2 ]

有不同类型的流伯努利方程的不同形式。伯努利原理的简单形式是有效的可压缩流（例如大多数液体流动）和可压缩流动（如气体）在低马赫数流动。更先进的形式，在某些情况下可能是在较高的马赫数可压缩流动（见伯努利方程的推导）。

伯努利的原则，可根据能量守恒原理。这表明，在一个稳定的流动，各种形式的机械能等于流体沿流线的流线各点在相同的总和。这就要求的动能和势能的总和保持不变。因此，流体的速度成比例的增加发生在它的动态压力和动能的增加，和在它的静态压力和潜在的能量降低。

空气流进入文丘里管。在流体动能随着压力增加而增加，如图所示，两个水柱高度差。流体粒子只承受压力和自己的体重。如果一个流体水平流动或沿着一条流线流动，如果速度增加，这可能仅仅是因为这部分流体已经从较高的压力区域流到压力较低的区域；如果它的速度下降，它只能是因为它已经从对低压力区域流动到压力较高的区域。因此，水平的流体流动的时候，最高的流速发生在压力最低的区域，与最低的流速发生在压力是最高的区域。

可压缩流方程

在大多数流动液体，和gasesat低马赫数，可以认为是恒定的流体的包裹的密度，无论压力流量的变化。因此在这样的流动的流体可以被认为是这些流可以被描述为可压缩流动。

一个常见的伯努利方程的形式，有效的在任意点沿流线在重力常数，是：

(A)

其中：V，是在一个精简一点的流体流动速度，

Z，是一个参考平面上点的高程，用积分的Z方向朝上–所以在相反方向的重力加速度，

P，是在选定的点的压力

ρ，在流体中的所有点的流体密度

以下两个条件必须满足伯努利方程的应用：[ 7 ]

沿流线，流体必须被压缩–即使压力变化，密度必须保持不变；

粘性力，摩擦可以忽略不计。

乘以流体密度ρ，方程(A)可改写为

或

其中。

是动态压力，

为液压头（的标高Z和压头的总和）[ 8 ] [ 9 ]和

,是总的压力（的静压力P和Q的动态压力的总和）。[ 10 ]

伯努利方程中的常数可恢复正常。一种常见的方法是在头部或头的总能量

上述方程表明，在压力为零的流动速度，并在更高的速度，压力是负的。通常，气体和液体是不可否定的绝对压力，甚至零压力，所以显然伯努利方程停止在零压力达到有效。

简化形式

伯努利方程中的许多应用，ρ g z项沿流线的变化是如此之小，相比较其他方面它可以忽略。例如，在飞机飞行的情况下，高度沿流线的改变是如此的小，ρg z项可以省略。这允许上述方程是在下面的简化形式

其中p0为总压力，和Q是动态压力。[ 11 ]许多作者参考压力P作为区别于总压P0和动态压力和静态压力

伯努利方程的简化形式可以归纳为以下方程：

静压+动态压力=总压[ 12 ]

如果流体的流动是无旋的，每一个精简的总压力不变和伯努利的原则可以概括为总压流体流中处处相同。[ 13 ]这是合理的假设，无旋流动的存在，在任何情况下，大量的流体流过固体。（此时雷诺数很小）的例子是飞行中的航空器，船舶运动在水开机构。然而，重要的是要记住，伯努利的原则不适用于边界层或流体流过长管。

如果流体流动在一些点沿溪线带来休息，这一点称为驻点，在这一点上的总压力等于驻点压力。

驻点

一个驻点是在当地流场中流体的速度一点是零。[ 1 ]的驻点存在在流场中物体的表面，其中的流体是由对象休息了。伯努利方程表明，静态压力最高时的速度为零，因此静态压力达到最大值在驻点。这种静态的压力称为驻点的压力。[ 2 ] [ 3 ]

伯努利方程适用于可压缩流动显示，驻点的压力等于动态压力和静态压力。总压也等于动态压力和静压力，在流动的，驻点的压力等于总压力。[ 3 ]（在可压缩流动，驻点压力）[ 4 ]

驻点压力

驻点的压力是静压力在流体流动的停滞点。[ 1 ]

在驻点的流体的速度是零，所有的动能被转换成压力能（等熵）。驻点的压力等于自由流动态压力和自由流静压的总和。[ 2 ]

非定常势流

伯努利方程的非定常势流是用于海洋表面波浪和声学理论。

对于一个无旋流动，流速可以被描述为一个潜在的φ速度梯度∇φ。在这种情况下，和一个恒定的密度ρ，欧拉方程的动量方程可以被集成到：[14]

这是一个伯努利方程也有效的非定常–或时间相关的–流。在这里，∂φ/∂T表示随时间t的速度势φ偏导数，和V = |∇φ|是流动的速度。函数f（t）只取决于时间和不在流体中的位置。作为一个结果，在某些时刻T伯努利方程不仅适用于沿一定的简化，但在整个流体域。为一个稳定的无旋流动的特殊情况下，这也是真实的，在这种情况下，F是一个常数。[14]

Further f(t) can be made equal to zero by incorporating it into the velocity potential using the transformation

进一步的F（t）可以等于零纳入它的速度势用变换

注意潜在的流动速度的关系不受这一转型影响：∇Φ=∇φ

可压缩流方程

伯努利方程只适用于可压缩流体和可压缩流体，在非常低的速度（也许多达1 / 3的流体中的声速）。它可以使用物理的基本原则（如牛顿的运动或热力学第一定律。定律）开发类似的方程适用于可压缩流体。

对于可压缩流体，与正压状态方程，与保守力作用下，

[15]

（沿流线不变）

其中

P是压力

ρ是密

V是流动的速度

Ψ与保守力场相关的潜在的，经常的引力

伯努利方程的推导

对于可压缩流体的伯努利方程

伯努利方程的可压缩流体可以通过集成的欧拉方程，或能量守恒定律在两段将沿流线，忽略粘性，可压缩性，热效应。

对于可压缩性流体的伯努利方程

对于可压缩性流体的推导是相似的。再次，推导取决于（1）质量守恒，能量守恒