格林定理+惟一性定理
《物理场论》矢量场基本定理
算子
'
x'
ex
y '
ey
z
'
ez
，是对源点坐标微分，
积分是对源点坐标积分。
5、亥姆霍兹定理
证明：利用反证法，
设在无界空间有两个矢量函数
F
和
G
，有相同的
散度和旋度，即，
F G
F G
设
F
G
，令，
F
G
4、唯一性定理
定理描述：设 A 为定义在空间区域V内的一个矢
量场，S表示区域V内的边界闭合曲面。若在区域
V内
A
的散度
A
、旋度
A
以及在边界S上
A
的
切向分量
A（t 或
A
的法向
An 分 量 ） 已给 定 ， 则 矢
量场 A在V内将被唯一地确定。
证明：利用反证法， 假V内设散在度区相域同V内 同A1时 存在A2、两旋个度矢相量同场A1A和1 A2，A2 以在
区域V内存在一个标量函数
u
，使得
A
u，代
入（1）式，可以得到：
A u 2u 0
((u)2 u2u)dV (uu) dS
V
S
(u)2 dV (uu) dS
V
S
（3） （4） （5）
4、唯一性定理
矢量 A在边界面S上的切向分量为
《物理场论》第1篇：物理场论基础
第4节 矢量场基本定理
张元中
格林公式及其应用
格林公式及其应用一元函数积分学:)()()('a F b F dx x F ba -=⎰§17-1 格林公式及曲线积分与路径无关的条件１ 格林公式的内容格林公式是高等教学中一个著名的计算公式,它建立了曲线积分与二重积分之间的联系．它的条件,结论叙述如下： １.１ 单连通区域设为一平面或空间区域,对于内任意一条闭曲线,总可以在内连续的收缩成内一点则称为单连通区域,否则称是多连通区域． １.２ 格林公式Ⅰ设是平面有界闭域,是有限条封闭的彼此不相交的可求长曲线是并集,则其中表示边界是正向,若是的一条封闭曲线,则定向如下：当人沿进行时,使区域在它的左边,或在上一点作一右手系标架使指向的外法线方向,则的指向即为的方向． １.３ 格林公式Ⅱ设是平面有界闭域,是有限条封闭的彼此不相交的逐段光滑曲线则为边界曲线的外法线方向．例1:计算椭圆12222=+by a x 所围面积A.解: Γ:常数方程 t a x cos = t b y sin =[]ab dt t a t b t b t a ydx xdy A ππ=-⋅-⋅=-=⎰⎰Γ20)sin (sin cos cos 2121例2:计算⎰Γ+-=22y x ydxxdy I ,其中Γ是(1)使所含区域D 不含原点的分段光滑封闭曲线,沿正向(2) 含原点但不径原点解:22y x y P +-= 22y x xQ += 22222)(y x x y y p x +-=∂∂=∂∂θ (1) 满足Green Th 连续条件 ⎰⎰⎰==+-=ΓDd y x ydxxdy I 0022σ(2) 不满足Green Th 连续条件选取适当小的0>ε,作圆周 :222ε=+y x (使 全部含于Γ所围区域) 记 +Γ围成D, 于是在1D 内, 格林公式成立 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++ΓΓΓ=-=+==001D d σ 故⎰⎰+-=+-Γ 2222y x ydxxdy y x ydx xdy 法一:右式πθθθθεθεπ2)sin (cos 2sin ,cos 202=+==========⎰d y x 学数方程法二:右式⎰⎰⎰≤+=⋅==-=222221122επσεεy x G d ydx xdy公式二、平面上单边通区域内曲线积分与路径无关的等价条件概念:曲线积分⎰Γ+Qdy Qdx 与路径无关:⎰⎰ΓΓ+=+12Qdy Pdx Qdy Pdx图示 (且公与B A y y ,有关)定理:),(),,(y x Q y x P 和平面单连通域D 上具连续一阶偏导,则如下四条件等价.(1)xQy P ∂∂=∂∂ D y x ∈),( (2)⎰Γ=+0Qdy Pdx D ∈Γ 分段光滑闭曲线 (3)积分⎰Γ+A BQdy Pdx 在D 内与路径Γ无关,公与A,B 位置有关(4)存在单值函数),(y x u u =, D y x ∈),( 使它全微分 Qdy Pdx dy y u dx x u du +=∂∂+∂∂=即P x u =∂∂ Q yu =∂∂ 证明:同证)2()1(⇔, )3()2(⇔ 下证)1()4(⇒, )4()3(⇒, )1()4(⇒ 存在函数),(y x u 使 dy y x Q dx y x P du ),(),(+= 则),(y x P x u =∂∂ ),(y x Q yu=∂∂ 于是 y P y x u ∂∂=∂∂∂2 x Qx y u ∂∂=∂∂∂2 由条件 x y uy x u ∂∂∂=∂∂∂22 (连续) 故xQy P ∂∂=∂∂ )4()3(⇒ 曲线积分⎰Γ+A BQdy Pdx 仅与 ),(00y x A ,),(y x B 有关, 记⎰+=),(),(00),(y x B y x A Qdy Pdx y x u (说明右式是y x ,函数)下证 P x u =∂∂ Q yu =∂∂xy x u y x x u x u x ∆-∆+=∂∂→∆),(),(lim 0xQdyPdx Qdy Pdx y x x y x y x y x x ∆+-+=⎰⎰∆+→∆),(),(),(),(00000limx dxy x P x QdyPdx xx xx y x x y x x ∆=∆+=⎰⎰∆+→∆∆+→∆),(limlim0),(),(0),(),(lim ),(lim 1y x P y P xxy P x x Th 连续中值===∆∆===→→∆ξξξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆+=∆∆∆+===→∆→∆≤≤),(),(lim ),(lim 0010y x P y x x P x x y x x P x x θθθ同理,),(y x Q yu=∂∂ 故 Qdy Pdx dy yu dx x u du +=∂∂+∂∂=推出公式: 图示 CB AC AB +=⋂AC:0y y = 10x x x ≤≤ 0=dy CB:1x x = 10y y y ≤≤ 0=dx 曲线积分计算公式dy y x Q dx y x P Qdy Pdx Qdy Pdx y y y x B y x A x x A B),(),(11100121),(),(0⎰⎰⎰⎰+=+∆+Γ原函数计算公式C dy y y Q dx y x P C Qdy Pdx y x u yy y x y x xx Th ++=++===⎰⎰⎰),(),(),(00000),(),(0过程特D ∈)0,0( ⎰⎰++=xy C dy y x Q dx x P y x u 0),()0,(),( 可证 ),(),(),(0011),(),(1100y x u y x u y x u Qdy Pdx Qdy Pdx A By x B y x A B A -==+=+⎰⎰Γ ------曲线积分的N-2公式 例3:计算dy x xydx OA⎰Γ+22 三路径.解: 图示 xy y x P 2),(= 2),(x y x Q =xQx y P ∂∂==∂∂2 11)002(2212102)1,1()0,0(22=+⋅+⋅=+=+⎰⎰⎰⎰Γdy x dx x dy x xydx dy x xydx OA例4:计算dy y x x y dx x y y x I )sin sin 2()cos cos 2(22-++=⎰Γ.Γ是1)1(22=+-y x 的上半圆周.从)0,0(O 到)0,2(A解:xQy P ∂∂=∂∂.I 值与路径无关0=⋅→y OA 0=O x 1=A x ,0=dy则⎰⎰===→242xdx I OA⎰Γ-=-=2I例5:dy x y x x y dx x y y x I )sin sin 2()cos cos 2(221+-++=⎰Γ.Γ:例5.解一:xQy P ∂∂+∂∂:不能用与路径无关的相关公式. Γ非闭 :才能用Green 公式.原始方法(第二类曲线积分) 图示 ⎩⎨⎧=+=t y t x sin 1cos 几乎不可能解二:(设法满足二之一: Γ闭)x y y x y Pcos 2sin 2+-=∂∂,1sin 2cos 2+-=∂∂y x x y x Q设1Γ:(从A 到O 直线段)0,0,1,0====dy x x y O A ,则1Γ+Γ构成闭曲线,顺进针.1Γ+Γ所围闭域D:πθ≤≤0, θcos 20≤≤r 由Green 公式2)(1πσσ-=-=∂∂-∂∂-=⎰⎰⎰⎰⎰Γ+ΓD Dd d y P x Q (即⎰⎰ΓΓ-=+12π)而dy x y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(221+-++⎰Γ⎰-==0242xdx故⎰⎰ΓΓ-=--==12421ππI .解三:(设法满足二之另一,xQy P ∂∂=∂∂) .cos cos 22x y y x P += 设y x x y Q sin sin 221-= x Q =2 21Q Q Q +=则xQ y P ∂∂=∂∂1dy Q Pdx ⎰Γ+1与路径无关. dy Q dy Q Pdx I ⎰⎰ΓΓ++=2111⎰⎰⋅++=20cos )cos 1(2πtdtt xdx24π-=例6:(得用曲线积分求)dy y xy x dx y xy x )2()2(2222--+-+的原函数),(y x u . 并求⎰)2,2()0,1(.(其中Γ是从A(1,0)到B(2,2)的曲线段)解:222y xy x P -+= 222y xy x Q --= y x xQ y P 22-=∂∂=∂∂ C dy y xy x dx y xy x y x u y x +--+-+=⎰)2()2(),(222),()0,0(2C y xy y x x C dy y xy x dx x yx+--+=+--+=⎰⎰3223202023131)2(31),()2()2()2,2()0,1(222)2,2()0,1(2-==--+-+⎰y x u dy y xy x dx y xy x例7 设L 是任意一条分段光滑的闭曲线，求证220Lxydx x dy +=⎰证明 令22,P xy Q x ==则P Qx y x∂∂==∂∂在全xOy ，这个单连通区域G 内成立．故由格林公式可得2200LDxydx x dy dxdy +=±=⎰⎰⎰ ．(2)当考虑积分L Pdx Qdy +⎰ 时，若L 为平面区域G 内一条简单闭曲线，而区域G 为含有“点洞”M 的复连通区域，函数P 、Q 除点M 外，处处有连续偏导数存在，且满足P Qy x∂∂=∂∂．当闭路L 不包围点M 时，此曲线积分的值为零．当闭路L 包围点M 时，一般说来，此线积分不再为零，积分值为一常数，具体求法如下：只要选择一个适当小的包围点M 的正向闭曲线C 来将点M 扣掉，则曲线积分在以L 和C 围成的复连通区域G 内仍可用格林公式计算，并有结论：LCPdx Qdy Pdx Qdy +=+⎰⎰其中C 为闭路正向．#综上可知,格林公式可使曲线积分的计算大大简化,因此在场论、流体力学、热力学、电学及微分方程等学科中得到广泛的应用.。
唯一性定理
唯一性定理唯一性定理是数学中的重要定理之一，它指出了在某些条件下，特定类型的方程或问题只有唯一解。
唯一性定理最经典的形式是微分方程的唯一性定理，它在微积分和微分方程的研究中占据重要的地位。
微分方程是描述自然现象和物理规律的重要工具，通过对微分方程的求解，可以得到问题的解析解，从而更好地理解和预测现象。
然而，并不是所有的微分方程都能够得到解析解，有些方程可能只能通过数值方法进行求解。
因此，唯一性定理提供了一种重要的判据，用于确定方程是否有唯一解。
在微分方程的唯一性定理中，通常需要满足连续性和局部利普希茨条件。
连续性要求方程中的函数在某个区域内是连续的，这是非常基本的要求，因为连续性是数学分析中的重要概念。
局部利普希茨条件则要求方程中的函数在一定范围内具有有界的导数，这个条件保证了方程的解在某个区间内是唯一的。
微分方程的唯一性定理可以通过三个步骤来证明。
首先，需要利用泰勒级数展开将微分方程转化为一个无穷级数。
其次，需要证明无穷级数的解存在且唯一。
最后，通过局部利普希茨条件和连续性条件，得到解的存在范围。
除了微分方程的唯一性定理，数学中还有一些其他类型问题的唯一性定理。
例如，线性代数中的矩阵方程的唯一性定理，数论中的素因数分解的唯一性定理等等。
这些定理都有一个共同点，即在满足一定条件下，问题的解是唯一的。
唯一性定理在数学研究和应用中有着广泛的应用。
通过这些定理，我们可以确定问题是否存在唯一解，从而帮助我们深入研究和理解问题。
唯一性定理也经常被用于证明其他定理，深化了我们对数学的认识和理解。
总之，唯一性定理是数学中的一类重要定理，它指出了在满足特定条件下，方程或问题具有唯一解的情况。
微分方程的唯一性定理是其中最经典和重要的定理之一，它在微积分和微分方程的研究中扮演着重要的角色。
唯一性定理的应用广泛，帮助我们理解和解决各种数学问题，并进一步推动数学的发展。
唯一性定理除了在微分方程中应用广泛，还在其他数学领域中有重要的应用。
静电场边值问题唯一性定理
场分布。
02
指导数值计算
在数值计算中，唯一性定理为我们提供了判断计算结果正确性的依据。
如果计算结果不满足唯一性定理，则说明计算过程中存在错误或近似方
法不够精确。
03
简化问题求解
在某些情况下，唯一性定理可以帮助我们简化问题的求解过程。例如，
在某些对称性问题中，我们可以利用唯一性定理直接得出部分解或特殊
01 02 03
深入研究复杂边界条件下的静电场边值问题
目前的研究主要集中在简单边界条件下的问题，对于复杂 边界条件的研究相对较少。未来可以进一步探讨复杂边界 条件下的静电场边值问题，为实际应用提供更广泛的理论 支持。
发展高效稳定的数值计算方法
尽管现有的数值计算方法已经取得了显著的进展，但在处 理大规模、高维度问题时仍面临挑战。未来可以致力于发 展更高效稳定的数值计算方法，以应对日益复杂的实际问 题。
导体表面的电荷分布
导体表面电荷分布的特点
在静电平衡状态下，导体表面电荷分布是不 均匀的，电荷密度与导体表面的曲率有关， 曲率越大电荷密度越大。
导体表面电荷与电场的关系
导体表面电荷产生的电场与导体内部电荷产生的电 场相互抵消，使得导体内部电场为零。
导体表面电荷分布的求解 方法
可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到 导体表面的电荷分布。
数值计算方法的改进
针对静电场边值问题的求解，提出了一系列高效的数值计算方法，如有限元法、有限差分法等，这些方法在保持计算 精度的同时，显著提高了计算效率。
实际应用领域的拓展
将静电场边值问题唯一性定理应用于多个实际领域，如电子工程、生物医学等，成功解决了一系列具有 挑战性的实际问题。
对未来研究的展望
解，从而简化计算过程。
电动力学uniquenesstheorem唯一性定理完全解读
引入标量函数Φ ,令Φ = '- ″
2 , 2 , 2 0
i
i
在区域边界面S 上
S
S
0 S
(给定第一类边界条件)
或 ,
n S n S
0
n S
(给定第二类边界条件)
下面需要证明旳是,满足以上方程和边界条件旳'和
1) 绝缘介质静电问题旳唯一性定理及证明 在有限旳边界区域V 内有几种均匀旳绝缘介质Vi 、εi
(i = 1、2、3 …) ，V 中旳自由电荷分布(ρ或σ) 为已知，那
么，当V 旳边界面S 上旳电势 给 定(或电势旳法向导数边
界条件) ，则V 内旳电场有唯一拟定旳解。
数学表述如下:
2 i
i
(在每个小区Vi)
V′旳全部内、外表面上都有一定旳值或 值，应用有关绝缘介
质旳唯一性定理，则V′内旳电场必有唯一解. n
b）区域V 内有若干导体,假设除导体以外旳区域V′内旳自由电荷分
布ρ已知，V′旳外表面S 上有已知旳值或 值，另外，若每个导
n 体所带旳总电量Qi 为已知，则区域V′内旳电场有唯一解。
数学表达为:
场有唯一解。这么，有导体存在时静电问题旳唯一性定理 也得到证明。
最终需要强调一点,尽管唯一性定理并不给出求解泊松方程旳详细措 施与环节,但它对于处理实际旳边值问题有着主要旳意义. 首先,它明 确了在哪些条件下能够唯一地拟定一种静电场,即给出了求解静电场 旳根据;其次,它使我们能够灵活地选用最简朴、最合适旳解题措施, 甚至能够猜一种解(即提出尝试解) . 只要这个解确实满足了问题中 旳场方程和全部定解条件,那么,根据唯一性定理我们就能够肯 定地说,它就是该问题中旳唯一正确旳解.
ZJH_2-2 唯一性定理_p18
∂n
S
V
Qi ∂n
∫
证明( 证明(反证法) 反证法)：设有两个不同的电势均满足泊松方程 令 Φ = ϕ '−ϕ " ∂ϕ ' Qi − dS = Laplace Eq. ∇2Φ = 0 对每个导体 ∫S ∂Φ i ∂n −∫ dS = 0 ε P276 (I.7) Si ∂n ∂ϕ " Qi 面积分 −∫ dS = →体积分 对于扣除导体的空间体积，考虑积分 Si ∂n ε 对于扣除导体的空间体积V内给定自由电荷分布 ρ（ ρ ϕ 满足∇2ϕ = − V ρ（ x） ε ∂ϕ 在V边界S上给定 电势 ϕ S 或电势的法向导数 ,
则V内的电场(静电场)唯一地确定。 唯一地确定。 (1) 在区域V中每个均匀的子区域Vi内满 ρ 2 足泊松方程 ∇ϕ = (i = 1,2,......)
§2-2-1 均匀单一介质情形的唯一性定理 x） 对均匀单一介质, 区域V内给定自由电荷分布 ρ（ ϕS ρ 2 ϕ 满足∇ ϕ = − V ρ（ x） ε ∂ϕ ∂ϕ 在V边界S上给定 电势 ϕ S 或电势的法向导数 , ∂n S 则V内的电场(静电场)唯一地确定。 唯一地确定。 ∂n S 或： 若给定求解区域V内自由电荷ρ 内自由电荷ρ分布和介质的性质ε 分布和介质的性质ε， 以及在边界面上的 （1）电势值（ 电势值（第一类边界条件）， 第一类边界条件）， 或（2）电势法向导数（ 电势法向导数（第二类边界条件）， 第二类边界条件）， 或（3）一部分的电势值， 一部分的电势值，其余部分的电势法向导数值 （第三类边界条件）， 第三类边界条件）， （则在区域V内Possion方程（ 方程（或Laplace方程） 方程）的解是惟一的。 的解是惟一的。
§2 格林公式及其应用
1
力场势函数） 。 力场势函数）
1 F ( M ) 可理解为电荷体密度或质量密度。 称为体位势： 可理解为电荷体密度或质量密度。 − ∆ V ( M 0 ) 称为体位势： 4π
(2.11)
证 明： 将调和函数基本积分公式应用到Γa 上有：
1 ∂ 1 1 ∂u u( M 0 ) = − ∫∫ u r − r dS = 0 4π Γa ∂n r r ∂n
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1 1 1 ∂ 1 在Γa 上 = ， r = − 2 ，所以 r a ∂n r a 1 ∂u 1 ∂u r r ∫∫ r ∂n dS = a ∫∫ ∂n dS = 0 Γa Γa
1 1 1 ∂u ∂ 1 1 ∂u − ∫∫∫ ∆udΩ = ∫∫ u r − r dS + 2 ∫∫ udS − ∫∫ r dS r ∂n r r ∂ n ε Γε ∂n ε Γε Ω\ Kε Γ
ε ε ε
上页 下页 返回
1 ∂u 1 ∂u dS ， 即 u∗ 和 udS ， r = 记u = 2 ∫∫ r 2 ∫∫ 4πε Γε ∂n 4πε Γε ∂n
当 u 是Ω 内的调和函数， M 0 ≠ Ω ，则由格林第二公式 有：
∂ 1 u( M ) r ∫∫ ∂n rM 0 M Γ
1 ∂u( M ) − r dS = 0 r ∂n M0M
当 u 是 Ω 内的调和函数，M 0 ∈ ∂Ω = Γ ，类似基本积分公 内的调和函数， 式的推导， 式的推导，记 Γε′ = Γε I Ω ， Γ ′ = Γ \ K ε ，则有
唯一性定理的内容及其意义
唯一性定理的内容及其意义
唯一性定理是数学中的一个重要概念，它表明一个函数的极限存在着唯一的可能性，也就是说，在一定的条件下，任何一个可以组成极限函数的一系列函数都只能有一个极限。
即使函数的系数都不同，其形式也不同，但是它们的极限仍然是一样的。
这就是唯一性定理提出的。
唯一性定理的定义也非常简单，就是指在特定的条件下，任何一个收敛的函数序列都只能存在一个极限值。
在实际应用中，唯一性定理要求极限函数必须存在，而且必须满足一定的数学模型和性质。
唯一性定理的具体内容包括：
一、极限函数的存在：极限函数是指在定义域内，当给定变量x 的值逐渐增加或减少时，函数f(x)可以达到一个确定的最终值，这个确定的最终值就是函数的极限值。
二、唯一性定理的证明：当极限函数的存在可以被证明时，唯一性定理的证明也就容易了。
就是说，在一定条件下，任意一个收敛的函数序列只有一个极限值，其他的所有的函数序列的极限值都是一样的。
三、唯一性定理的应用：唯一性定理在数学应用当中具有很重要的意义，它能帮助我们验证各种数学性质，如函数解析和微积分等。
另外，唯一性定理还可以用于描述从函数变换中产生的相应的形态变化情况。
综上所述，唯一性定理是数学中一个重要的概念，它表明，在一
定条件下，任何一个可以组成极限函数的一系列函数都只能有一个极限，即使函数的系数和形式都不同，它们的极限仍然是一样的。
唯一性定理的具体内容是极限函数的存在，以及证明唯一性定理的方法，它在数学应用当中发挥着重要作用，上述内容对于更好地理解唯一性定理是很有帮助的。
2.2唯一性定理
结束
第二章∶静电场
因此
i i i
i
dsi ds n
Si
ds S
S
这里S为区域(总)边界， 代 表总边界处介质的介电常数，
S [ ] ds = V ( )d = ( ) ( ) d V
i
i
2
i
2 [ ] ds ( ) ( ) d
Si
Vi
令 i i ， = i 注意到 2 i 0，有
i i
(应为一确定值)
故可从积分号内提出来，于是
V
( ) d
2
Si
ds n
现在分析：
Si
ds ? n
结束
第二章∶静电场
因为Si表示电场中第i个导体的表面。静电平衡时， 导体外紧靠导体表面处的场强方向与表面垂直，场 强的大小与表面对应点的面电荷密度成正比，即
2
S 0 or 0 n S
2
V ( ) d Si n ds
结束
第二章∶静电场
这里导体表面Si处的电势并没有给定，但由于导体
在静电平衡时为一等势体。虽然Si与Si不一
定相等，但对同一导体而言，两者在导体表面各
处的差值
S S i
Si
i i i dsi = i ( i )2 d i
Vi
考虑左边的面积分，在两个均匀区域Vi 和Vj 的界 面上, 由于 j i i j , i j n n 结束
唯一性定理
则 1 2
n n n
即
1 2 0
则
n ( )dV
n
n
ds 0
V
S n
S曲面内 0 C
S曲面上
0
n
S曲面上
2019/11/18
6
故
( )2dV
ds
0
V
S
n
即 0 S曲面内 C(常数)
S曲面上 0
C 0
故在S曲面内，其解是唯一的。 1 2
2019/11/18
5
第二章 2.7
2.
n
f2 (s)
二类边值问题
仍然采用反证法证明.设有两个解满足拉氏方程.
边值问题:
第二章 2.7
1.
给定边界上的电位函数,即已
知
f1(s)
s
，
S为边界 上的点。(狄里克利边界条件)
2. 给定边界上的电位函数的法向导数,即已知
n
f 2(s) 。（牛曼边界条件）
1
3. 边界 1 2 ，即已知
2
2019/11/18
1
2
拉普拉斯方程
泊松方程
2019/11/18
2
第二章 2.7
见书218面，
由格林第一恒等式：对任意标量函数
(2
V
)dV
s
n
ds
令 则
(2
ds
n
2019/11/18
格林定律七大规则
格林定律七大规则
格林定律是指人和环境相互作用的规律，其七大规则分别是：
1. “无中生有”的法则（The Law of Void and Substance）：物质不会从无中产生，也不会消失，只会改变形态。
2. “相对性”的法则（The Law of Relativity）：物质和能量的性质和行为是相对的，没有绝对的标准。
3. “共振”的法则（The Law of Resonance）：物质和能量会在频率匹配的情况下相互共振，产生类似的波动。
4. “对等”的法则（The Law of Equivalency）：物质和能量在交换过程中需要保持平衡，有损必有益。
5. “互惠”的法则（The Law of Reciprocity）：物质和能量在交互作用中有着相互给予和接受的关系，形成互惠互利的循环。
6. “循环”的法则（The Law of Cycles）：物质和能量的变化和行为会呈现周期性，存在着循环往复的规律。
7. “绝对”的法则（The Law of Absolute）：物质和能量存在着一些绝对的规律，不同形态之间也有共性。
一、格林(Green)公式及其应用
y
封闭曲线) 封闭曲线 有 L + ( L′ ) = C (封闭曲线
Aoຫໍສະໝຸດ LB CG
L′
x
∫
得
L+( L′ )
Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy = 0
C
即 ∫ L Pdx + Qdy +∫ L′ Pdx + Qdy = 0
坐标轴的折线， 坐标轴的折线，即 折线
0 0
( x0 , y0 ) → ( x, y0 ) → ( x, y ) ( x, y) y P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy ∫( x , y ) ( ) ( x, y )
= ∫ P( x, y0 )dx+∫ Q( x, y)dy x
( x, y )
Pdx +∫
( x+x, y) ( x, y )
Qdy =0
u( x + x, y) u( x, y)= ∫
( x +x , y ) ( x, y)
P ( x , y )d x 定积分
由积分中值定理 = P (ξ , y )x ξ ∈ [ x , x + x ]
u( x + x, y) u( x, y)= P (ξ , y )x
23 = . 15
1
1
O
1
x
Q P = 时,存在u ( x, y ) , 注2： ： 由定理2知 当 由定理 知： 满足 x y
使du = P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy 全微分
3.1 唯一性定理
y
U0
( x,0) 0, ( x, b) U 0
o
a
y
b
U0
x
（第一类边值问题）
例：
0 x
0 x
o
20:14:58
a
x
2 2 2 0 2 x y x 0 0, xa 0 x x ( x,0) 0, ( x, b) U 0
V ( )dV S n dS
2
V
3.1
唯一性定理
S
对于第一类边界条件： * S 1 S 2 S 0
1和2 我们在引入电位函数时就曾指出，电位 的绝对值无意义， 代表的是同一电场，所以 2和2 C 实际上是一个解，亦即解 20:14:58 8 是唯一的。
第一类边值问题或狄里赫利问题已知场域边界面上的位函数的法向导数值即已知场域一部分边界面上的位函数值而另一部分边界面上则已知位函数的法向导数值即第三类边值问题或混合边值问题第二类边值问题或纽曼问题有限值自然边界条件无界空间周期边界条件衔接条件不同媒质分界面上的边界条件如二唯一性定理内容
第三章 静态场边值问题的解法
2
a
Q
因而腔内场唯一确定。 已知点电荷产生的电位为
1
Q 4 0 r Q 4 0 a
但它在边界上 1 |S
20:14:58
不满足 |S 0
12
3.1
Q 4 0 r
唯一性定理
Q 4 0 a
要使边界上任何一点电位为0，可设
2 它满足 0 |S 0
根据唯一性定理，它是腔内的唯一 解。
E Q 4 0 r r (r a) 3
10-3格林定理
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格林公式:
∂Q ∂P ∫∫( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy .
D
用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L, 则
A = 1 ∫ xdy − ydx . 2 L 例1 求椭圆x=acosθ, y=bsinθ 所围成图形的面积A.
解 设L是由椭圆曲线, 则
x =ψ1( y)
E D
x =ψ2 ( y)
= ∫CBE Q( x , y )dy − ∫CAE Q ( x , y )dy
= ∫CBE Q ( x , y )dy + ∫EAC Q ( x , y )dy
= ∫L Q ( x , y )dy
c o
C
x
同理可证
∂P − ∫∫ dxdy = ∫L P ( x , y )dx D ∂y
⇔ ∫ Pdx + Qdy + ∫
L1
Jlin Institute of Chemical Technology
L2
−
Pdx + Qdy = 0 ⇔ ∫
L1 + ( L2 )
−
Pdx + Qdy = 0 .
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二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
2
3
= ( ∫L + ∫L + ∫L )( Pdx + Qdy ) = ∫L Pdx + Qdy
2 3 1
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
Jlin Institute of Chemical Technology
2.2唯一性定理
i
成立，给定区域
S ij
或
n
S
S
。在分界面上， i
i n
Sij
j
1
或
S ij
j
j n
Sij
i
3
v s
区域V内电场唯一确定
2
二、有导体存Biblioteka 时的唯一性定理导体中当 ，求 V 内的电势。
或
已知，
、
S
Q2
（或 Q1、Q2 ）为已知，则区域 V 内电场唯一确定。
第二节
唯一性定理
一、静电问题的唯一性定理
有介质存在的情况的分析
把一个区域V分为许多
小区域Vi，每一个小区域内介 电常数为 i ，它是各向同性的。 每一个区域给定电荷分布
V
Vk k
(x) ,
x V
dsi
Vi
i
ds j
S
Vj j
S ij
则 （1）在每个均匀区域中满足
V
由于 () 2 0
积分为零必然有 0 常数
（1）若给定的是第一类边值关系 S 0
即常数为零。1 2 电场唯一确定且 电势也是唯一确定的。
（2）若给定的是第二类边值关系
常数， 虽不唯一，但电场 相差一个常数，
是唯一确定的。
2. 介质分区均匀（不包含导体）
V 内 已知，
2
S
2 n
S
n S
令 1 2
1 2 0
S
1
S
2
S
0
由格林第一公式
2-2 唯一性定理
对第i 个均匀介质分区，运用高斯定理，有
si vi vi
2 2 d s dv dv i i i i i i i dvi
vi
i dvi
2
2 d s dvi i i i i Si i vi
令在每个均匀分区内有在每个均匀分区内有在两均匀介质分区的分界面上在两均匀介质分区的分界面上个均匀介质分区运用高斯定理有个均匀介质分区运用高斯定理有dvdvdvdv对于上式左端积分在分界面两边有对于上式左端积分在分界面两边有所以在内部分界面上的积分为所以在内部分界面上的积分为00dsds第一种情形
§2.2 唯一性定理
0
1 2 常数，1 , 2 相差一个常数， 虽不唯一，但电场 E 是唯一确定的。
(反证法 ) 2. 介质分区均匀（不包含导体） 假设存在两个不同的解
,
满足方程和边界条件。令 ，在每个均匀分区内有 2 3 1 2 i 0 v 2 i 2 s 在两均匀介质分区的分界面上 , i i j j
给定
或
（i）电势 S
（ii）电势的法向导数 n
S
则V内的电场唯一地确定。
也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区 域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足 边值关系，并在V的边界S上满足给定的 S 或 n S 值。
1．均匀单一介质
2 区域内 分布已知， 满足 S 已知，或V边界上 已知，则 V
2 2
则
S
S
由于 () 2 0
2-2习题
2.2 唯一性定理本内容将回答两个问题：其一要具备怎么样条件才能求解静电问题；所求的解的是否唯一。
1、电问题的唯一性定理(1)有介质存在的情况对于一个区域V （包含多个子区域），每个子区域的介电常数一定，并且是各向同性；在每一个区域内电荷的分布也确定的情况下：（唯一性定理）已知：a 在每个均匀区域中满足ii ερϕ-=∇2，（也就是有几个区域就是几个Poisson 方程）；b 在各个均匀区域的交界面上，满足j i i j i nn )()(, j ∂∂=∂∂=ϕεϕεϕϕ （上面两个条件是唯一定理成立的首先必要条件）至此，不知道边界条件，即不知道区域的边界S 上的一些条件。
这个问题正是唯一性定理所要解决的，下面讨论之。
唯一性定理：设区域V 内给定自由电荷)(xρ，在V 的边界S 上给定(i) 电势S ϕ确定 或(ii)，则V 内的电场唯一地被确定。
证明：设有两组不同的解ϕ'和ϕ''满足唯一性定理的条件，只要得常数=''-'=ϕϕϕ即可。
现令ϕϕϕ''-'=在均匀区域V i 内有0 , , 22=∇→-=''∇-='∇ϕερϕερϕii 两均匀边界上有,, , nn n n n n j j ii j j i i j j i i j i j i j i ∂∂=∂∂→∂''∂=∂''∂∂'∂=∂'∂=→''='''='ϕεϕεϕεϕεϕεϕεϕϕϕϕϕϕ 在整个区域V 的边界S 上有0 0=''-'=→=''='S S S S S ϕϕϕϕϕϕ或者0=∂''∂-∂'∂=∂∂SS Sn n nϕϕϕ为了处理边界问题，考虑第i 个区域V i 的界面S i 上的积分问题，根据格林定理，对已知的任意两个连续函数ψ和ϕ必有：{}⎰⎰⎰∂∂=∇∇+∇iiS V ds n d ϕψτψϕϕψ))((2令ϕεψi =且{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅∇=∇∴=∇∂∂=∇∇+∇iiiiS i V i S i V i i sd d ds ndϕϕετϕεϕϕϕετϕεϕϕϕε222)( 0)()(对所有区域求和得到∑∑⎰⎰⎰⋅∇=∇i 2)(iS i V i iis d dϕϕετϕε进一步分析：在两个均匀区域V i 和V j 的界面上，由于ϕ和ϕε∇的法向分量相等，又有j i s d s d-=，因此内部分界面的积分为=∂∂-∂∂=⋅∇-⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰jiijjiijjiijijS i j j j S i iii S ij j j S i i i i S jj j j S i i i i S i ds n ds n s d s d s d s d s d ϕεϕϕεϕϕϕεϕϕεϕϕεϕϕεϕϕε（这里nn E E D D j j ii jn j in i jn in ∂∂=∂∂==ϕεϕεεε , , ） 因此⎰⎰∑⎰⎰⋅∇=⋅∇Si iS i s d s d iϕϕεϕϕε故∑⎰⎰⎰∇=⋅∇i V i Si id s d τϕεϕϕε2)(而在S 面上，0 , 0=∂∂=SS nϕϕ或，从而有∑⎰=∇iiid 0)(2τϕε由于0)(2≥∇ϕεi ，而0≠i ε，只有0=∇ϕ，所以只要使得∑⎰∇iV iid τϕε2)(成立，唯一地是在V 内各点上都有0=∇ϕ即在V 内任一点上，常数=ϕ。
格林公式知识点总结
第三节 格林公式及其应用教学目的：理解和掌握格林公式及应用 教学重点：格林公式教学难点：格林公式的应用 教学内容： 一、Green 公式单连通区域.设D 为单连通区域，若D 内任一闭曲线所围的部分都属于D .称D 为单连通区域（不含洞），否则称为复连通区域（含洞）.规定平面D 的边界曲线L 的方向，当观看者沿L 行走时，D 内在他近处的那一部分总在他的左边，如定理1. 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 和),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数，则有dxdy y Px Q D⎰⎰∂∂-∂∂)(=⎰-L Qdy Pdx .L 为D 的取正向的边界曲线.即格林公式既为x - 型又为y -型区域2L ：)(2x y ϕ=∵y P∂∂连续，证：对⎰⎰∂∂D dxdy y P=dyy y x P dx x x b a ⎰⎰∂∂)()(21),(ϕϕ=dxx x P x x P ba})](,[)](,[{1121⎰-ϕϕ1L ：)(1x y ϕ= 又⎰⎰⎰+=21L L L Pdx Pdx Pdx=dxx x P ba⎰)](,[11ϕ+dxx x P ba⎰)](,[21ϕ=dxx x P x x P ba})](,[)](,[{2111⎰-ϕϕ∴⎰⎰⎰=∂∂-LD Pdx dxdy y PyxlLoyxL 1L 2ab对于y -型区域，同理可证 ⎰⎰∂∂D dxdy y Q=⎰L Qdx ∴原式成立对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在4321,,,D D D D 上应用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证.几何应用，在格林公式中，取x Q y P =-=,，⎰⎰Ddxdy2=⎰-Lydx xdy∴21=A ⎰-L ydx xdy说明：1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立2）记法⎰-L ydx xdy =⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y x3）在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重积分.4）几何应用.例1． 计算⎰++-Cdy y x dx x y )3()( L ：9)4()1(22=-+-y x解： 原式=⎰⎰=-D dxdy π18)13(， 3=∂∂x Q ，1=∂∂y P例1． 计算星形线⎩⎨⎧==t a y t a x 33sin cos 围成图形面积)20(π≤≤t⎰⎰⋅+⋅=-=π202223)sin cos 3sin cos sin 3cos (2121dtt t a t a t t a t a ydx xdy A L=832a π二 平面上曲线积分与路径无关的条件1） 与路无关：是G 为一开区域，),(),,(y x Q y x P 在G 内具有一阶连续偏导数，若G 内任意指定两点B A ,及G 内从A 到B 的任意两条曲线21,L L⎰⎰+=+21L L Q d yP d x Q d y P d x 恒成立，则称⎰+LQdy Pdx 在G 内与路径无关.否则与路径有关.例1．⎰-++Ldy y x dx y x )()( 1L ：从)1,1(到)3,2(的折线2L 从)1,1(到)3,2(的直线解：⎰+1L QdyPdx =25)1()2(2131=++-⎰⎰dx x dy y 32L ：)2(23-+=x y ,即 12-=x y⎰-++2)()(L dyy x dx y x =25)]1(2)12[(21=-+-+⎰dx x x x定理：设),(y x P ，),(y x Q 在单连通区域D 内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件相互等价（1）内任一闭曲线C ，⎰+CQdy Pdx =0. （2）对内任一曲线L ，⎰+LQdyPdx 与路径无关（3）在D 内存在某一函数),(y x μ使Qdy Pdx y x d +=),(μ在D 内成立.（4）x Qy P ∂∂-∂∂，在D 内处处成立. 证明：（1）⇒（2） 在D 内任取两点B A ,，及连接B A ,的任意两条曲线⋂AEB ，⋂AGB ∴⋂⋂+=BGA AGB C 为D 内一闭曲线知⎰+CQdyPdx ， 由（1）⎰⋂+AGBQdyPdx +⎰⋂+BEAQdy Pdx =0即⎰⋂+AGBQdy Pdx =⎰⋂+BEAQdyPdx∴（2）⇒（3）若⎰+LQdy Pdx 在D 内与路径无关.当起点固定在（0,yx ）点，终点为),(y x 后，则⎰+),(),(00y x y x Qdy Pdx 是y x ,的函数，记为),(y x u .下证：),(y x u =⎰+),(),(00y x y x QdyPdx 的全微分为),(y x du =Qdy Pdx +.∵),(y x P ，),(y x Q 连续，只需证),(y x P x u =∂∂， ),(y x Q y u =∂∂，由定义=∂∂x u x y x u x x u x ∆-∆+→∆),()(lim 0=∆+),(y x x u ⎰∆++),(),(00y x x y x QdyPdx =),(y x u +⎰∆++),(),(y x x y x QdyPdx=),(y x u +⎰∆+xx xPdx∴-∆+),(y x x u ),(y x u =⎰∆+xx xPdx =x P ∆，),(y x x P P ∆+=θ)10(≤≤θoyx(2,3)(1,1)L2L1oyxEBAGx ∆),(000y x M oyxM(x,y)N(x+,y)即),(y x P x u =∂∂， 同理),(y x Q y u =∂∂.（3）⇒（4）若),(y x du =Qdy Pdx +，往证y P ∂∂=x Q ∂∂，=P x P∂∂，=Q y Q ∂∂y x P y P ∂∂∂=∂∂，x y Qx Q ∂∂∂=∂∂， 由Q P ,具有连续的一阶偏导数=∂∂∂y x u 2x y u ∂∂∂2 故y P ∂∂=x Q ∂∂（4）⇒（1）设C 为D 内任一闭曲线，D 为C 所围成的区域.⎰+CQdyPdx =dxdy y Px Q D⎰⎰∂∂-∂∂)(=0.例2．曲线积分⎰-++=Lx y dyy xe dx x e I )2()(， L 为过)0,0(，)1,0(和)2,1(点的圆弧.解： 令x e P y+=，y xe Q y2-=，则ye x Q=∂∂，ye y P =∂∂ ∴I 与路径无关. 取积分路径为AB OA +.=I ⎰+OAQdyPdx +⎰+ABQdyPdx=⎰⎰-++201)2()1(dy y e dx x y=272-e例2． 计算⎰+-Cy x ydxxdy 22， （1）c 为以)0,0(为心的任何圆周.（2）c 为以任何不含原点的闭曲线. 解：（1）令22y x y P +-=，22y x x Q +=，22222)(y x x y y P +-=∂∂，22222)(y x x y x Q +-=∂∂，∴在除去)0,0(处的所有点处有y P ∂∂=x Q∂∂，做以0为圆心，r为半径作足够小的圆使小圆含在C 内，∴⎰⎰++rC CQdyPdx =0，即=+⎰CQdy Pdx θθπd r r x r ⎰+202222sin cos =π2≠0（2）∵y P ∂∂=x Q∂∂ ∴=+⎰C Qdy Pdx 0 三、二元函数的全微分求积oyxBAoyx∵ ⎰+C QdyPdx 与路径无关，则Qdy Pdx +为某一函数的全微分为),(y x u =⎰+),(),(00y x y x QdyPdx =⎰+xx QdyPdx 0+⎰+yy QdyPdx 0注：),(y x u 有无穷多个.例3． 验证：ydy x dx y x cos )sin 2(++是某一函数的全微分，并求出一个原函数.解：令y x P sin 2+=，y x Q cos =y x Q cos =∂∂，y y P cos =∂∂∴原式在全平面上为某一函数的全微分，取)0,0(),(00=y x ，⎰+=),()0,0(),(y x Q d yP d x y x u =⎰⎰+x yydy x xdx 00cos 2=y x x sin 2+例5． 计算⎰-+-Cx x dym e y dy my e y )3()(23，c 为从E 到F 再到G ，⋂FG 是半圆弧解：令my e y P x-=3， m e y Q x-=23m e y y P x -=∂∂23，x e y y Q23=∂∂，m y Px Q =∂∂-∂∂添加直线GE，则，原式+⎰+GEQdy pdx =⎰⎰-Dmdxdy=])22(211221[2π⋅+⋅⋅-m =)41(π+-m ∴原式=m )41(π+-⎰-310dx =)41(π+-m 例6．设)(x f 在),(+∞-∞上连续可导，求dy y x f y y x dx y y x f y L L ⎰⎰++)],([),(1222，其中为从点)32,3(A 到)2,1(B 的直线段. ),(00y x ),(y x oyx),(y x )0.(x oyxo yxF (2,1)E (1,0)G (3,0)oy xB A C解；令y y x f y P ),(12+=， ]1),([22-=y x f y y x Q222),(1)],(),(2[y y x f y y y x f xy y x yf y P --'+=∂∂=2321),(),(y y x f xy y x f y -+=∂∂x Q ='+-)],([]1),([13222y x f y y x y x f y y 2321),(),(y y x f xy y x f y -+x Q y P ∂∂=∂∂，故原积分与路径无关，添CB AC +构成闭路，∴原式+0=+⎰⎰AC BC∴原式=⎰⎰+AC CB =dx x f dy y f y y )]32(941[23]1)([11322322++-⎰⎰ dy y y f dx x f ⎰⎰-++=132322]1)([)]32(3223[u x =3241)()(2323223223213-=+++⎰⎰y dy y f du u f x练习：1.证明：若)(u f 为连续函数，而C 为无重点的按段光滑的闭曲线，则)()(22=++⎰ydy xdx y xf c.2.确定的n 值，使在不经过直线0=y 的区域上，dy y y x x dx y y x x I c nc n ⎰⎰+-+=222222)()(与路径无关，并求当C 为从点)1,1(到点)2,0(B 的路径时I 的值.21-=n ，21-=I3．设),(y x f ，),(y x g 为L 上的连续函数，证明dsg f gdy fdx L L ⎰⎰+≤+22小结： 1. 格林公式及应用，积分与路径无关的四个等价命题，全微分求积.2. 格林公式使有些问题简化，有时可计算不封闭曲线积分，只需添上一条线使之成为封闭曲线，再减去所添曲线的积分值即可.作业：P153 2，3，5。
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1. 边值问题的分类：
Ⅰ. 整个边界上的电位函数已知即 s= s (r)
第一类边界条件
Ⅱ.整个边界上的电位函数的导数已知即n s f s (r )
第二类边界条件
Ⅲ.整个边界上一部分电位函数已知即 s1= s1(r)
另一部分边界的法向导数已知
n
s2 fs2 (r)
第三类混合边界条件
若边界是导体，则上述三类边界问题分别变为
第 2 章 静电场
2.7 格林定理 唯一性定理
一. 格林定理
—— 处理边界问题的恒等式
令A= ——（ 、是在区域内的两个任意标量场）
由 • A d S A • d S S A • n d S
•A = •( ) = 2+ •
A• n • n
( 2
n
• )d
S
积分法 分离变量法 镜像法 微分方程法 保角变换法
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法
Ⅰ.已知各导体表面的电位1s、2s、…Ns
Ⅱ.已知各导体表面的总电量q1 、q2 、…qN Ⅲ.一部分导体电位已知，另一部分导体电量已知
1s、2s、…is， qi+1 、qi+2 、…qN
微分方程
边值问题
边界条件
2
2 0
第一类 边界条件
已知场域边界 上各点电位值
S fs (r)
场域 边界条件
n
dS
格林第一恒等式
( 2
• )d
S ndS将 与 对：( 2• )d
S
n
dS
两式相减：
( 2
2 ) d
S (
n
)dS n
格林第二恒等式（格林定理）
二. 唯一性定理
定理内容：在某区域τ中，满足下列给定边界条件之一的泊松
方程、拉普拉斯方程的解是唯一的。
分界面 衔接条件
自然 边界条件
第二类 边界条件
1 2
1
1
n
2
2
n
s
第三类
边界条件
参考点电位 及
有限值电位
已知场域边界上
各点电位的法向
导数
n S
fs (r)
一、二类边界条件的线性组 合，即
s1 s1 (r )
n
S2
fs2 (r)
边值问题 研究方法
作图法 计算法 实验法
定性 定量 解析法
数值法 实测法 模拟法