大一高等数学第九章第二节二重积分的计算法.
大学高数下 二重积分的计算
1 ( )
D
,
1 ( ) 2 ( ).
2 ( )
o
A
f ( cos , sin )dd
D
d
2 ( )
1 ( )
f ( cos , sin ) d .
二重积分化为二次积分的公式（２）
D
1 33 4 [ x ( x x ) ( x x )]dx . 0 2 140
1 2 2
例3
改变积分
0 dx 0
1
1 x
f ( x , y ) dy 的次序.
解
D : 0 y 1 x, 0 x 1
y 1 x
积分区域如图
改写D : 0 x 1 y, 0 y 1
( xy cos x sin y )dxdy (
D D1
A)
( A) 2 cos x sin ydxdy ; (C ) 4 ( xy cos x sin y )dxdy ;
D1
( B ) 2 xydxdy ;
D1
( D) 0
例 2：I | xy | dxdy , 其中 D : x y 1
分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由
区域 D 的几何形状确定的，因此计算二重积分应 先画出积分区域 D 的图形. 2) 第一次积分的上、下限是函数或常数，而第二 次积分中的上、下限一定是常数，且下限要小于
上限.
3) 积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，
且区域的划分要尽量地简单.
例 2 求 ( x 2 y )dxdy ，其中 D 是由抛物线
§9.2二重积分的计算
y
2
2
y
1
x y
x2
o
x
2 y 例 2．计算 xyd ，其中 D 由 x 和 y x 2 所围成。
D
y
解法 1：先积 x 后积 y，
2
1 y 2, D ： 2 ， y x y 2
y
x y2
( 4, 2 )
x y 2
o
1
xyd 1dy y 2
o
a
b
x
如图所示的积分区域称为 X 型区域。
z f ( x , y ) f ( x , y )d 所表示的柱体 x x 下面用切片法来计算二重积分 z z f ( x , y ) D
的体积。
z
A( x )
D
y 2 ( x )
y 1 ( x )
b
A( x )
x 1 ( x ) 2 ( x ) y
i 1
f ( i , i ) i 。若当各小闭区域的最大直径
n
区域 D 上的二重积分，记作 f ( x , y )d ，即
D
l i m f ( i , f ( x , y )d d 0
D i 1
n
i ) i
§9.2 二重积分的计算 9.2.1利用直角坐标计算二重积分
注：①化二重积分为二次积分时，积分限的确定顺序 与积分顺序相反。 ②在计算内积分时，外积分变量是常数。
解法 2：D 是 Y 型的。
x 2 xyd 1dy y xydx 1[ y 2 ] y dy
2 2 2 D
4 y3 y 2 2 9 [2 y ]dy [ y ] . 1 2 8 1 8 2
二重积分的定义和计算方法
二重积分的定义和计算方法引言：二重积分在数学中扮演着重要的角色，用于求解平面区域上的面积、质量分布、物理量等。
本文将介绍二重积分的定义以及常用的计算方法，帮助读者更好地理解和应用二重积分。
一、二重积分的定义二重积分用于计算平面上某个有界区域的面积或者其他类型的物理量。
其定义如下：设函数f(x,y)在闭区域D（边界为C）上连续，其中D的边界C由有限个简单光滑的曲线组成。
将D划分为m×n个小区域，区域在第i 行第j列的小区域记为ΔSij，并任选ΔSij上一点(xi,yi)。
当ΔSij趋近于零且区域D趋近于闭区间上的有限个点时，若二重极限$$\lim_{\substack{m,n \to\infty}}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(xi,yi)\Delta Sij$$存在，且与D的划分和点(xi,yi)的选择无关，则称该极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记为$$\iint_D f(x,y)dS$$其中，dS表示面积元素。
二、二重积分的计算方法1. 直角坐标系下的二重积分计算当函数f(x,y)在闭区域D上连续或者分段连续时，二重积分的计算可以通过以下两个步骤进行：步骤一：确定积分区域D的范围和边界方程。
根据题目的描述或者所给的图形，确定积分区域D的边界曲线的方程。
可以使用直线、圆等几何图形的方程来描述。
步骤二：建立二重积分的积分式，计算积分。
根据所给的积分区域D，在直角坐标系下建立对应的积分式，然后进行计算。
根据题目需求，可以选择使用直角坐标系的面积元素dS = dxdy或者极坐标系的面积元素dS = r dr dθ。
2. 极坐标系下的二重积分计算当函数f(r,θ)在极坐标系下连续或者分段连续时，二重积分的计算可以通过以下步骤进行：步骤一：确定积分区域D的范围和边界方程。
根据题目给出的信息或者图形，确定积分区域D在极坐标系下的范围和边界曲线的方程。
步骤二：建立二重积分的积分式，计算积分。
高等数学《二重积分的计算》
D
y x , x 1 所围.
y
解 将 D 看作 y — 型区域 , 则 1
D={(x , y)| y x 1 ，0 y 1 } , y y x
xydxdy
1
0
dy
1 y
y2
sin
xy
d
x
o
1x
D
1
[
y cos
y2
y cos
y]dy
0
1 sin 2
y2
y
sin
y
cos
y
1
0
1
cos 1
d
2
dx
1
x 1 x
x2 y2
dy
D
2(x3
1
x)dx
1 4
x
4
1 2
x
2
2 1
9. 4
例 5 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
D {(x, y) | 0 x y , 0 y 1} ,
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x )
d dy 2( y) f ( x, y)dx.
c
1( y)
为计算方便,可选择积分次序,采用哪一种次序积分 通常取决于被积函数的结构.
必要时还可以交换积分次序.
例2 计算 y2 sin xydx dy , 其中 D 由 y 0,
0
1 1 y2
y2 x y 2x x2
例 8
高等数学 课件 PPT 第九章 重积分
若函数ρ(x,y)=常数，则薄片的质量可用公式 质量=面密度×面积 来计算.现在面密度ρ(x,y)是变化的，故不能用上述公式来求. 这时仍可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量.分为下列 几个步骤：
一、二重积分的概念
(1)分割将D分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn（小区域 的面积也用这些符号表示），第i个小块的质量记为 ΔMi(i=1,2,…,n)，则平面薄片的质量
于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-11
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例3】
计算
，D是由抛物线y2=2x与直线y=x－4所
围成的区域．
解 画出积分区域D的草图如图9-12所示．若先对x积分，
则有
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-12
一、在直角坐标系下计算二重积分
若先对y积分，则需将D分为两个区域D1和D2， 于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例1】
试将
化为两种不同次序的累次积分，其中
D是由y=x,y=2－x和x轴所围成的区域．
解 积分区域D如图9-9所示．首先说明如何用“穿线法”
确定累次积分的上、下限．如果先积x后积y，即选择Y型积
分区域，将区域D投影到y轴，得区间［0,1］，0与1就是对y
积分的下限与上限，即0≤y≤1，在［0,1］上任意取一点y，
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有类似的性质.假设 下面所出现的积分是存在的.
二、二重积分的性质
性质1
设c1,c2为常数,则
性质2
若闭区域D分为两个闭区域D1与D2，则
二、二重积分的性质
性质3
(σ为D的面积）.
性质4
二重积分的计算法
01
解
02
积分区域如图
01
积分区域如图
解
01
单击此处添加大标题内容
解
原式
例4. 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X–型区域, 则
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
例5. 计算
其中D 是抛物线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
及直线
则
例6. 计算
其中D 是直线
所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知,
因此取D 为X – 型域 :
先对 x 积分不行,
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
解: 由被积函数可知,
例7．求I=
取D 为X – 型域 :
因此取D 为Y – 型域 :
先对 y 积分不行,
例8．求I=
若D为Y –型区域
则
当被积函数
单击此处添加小标题
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10%
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的
Y型区域的特点： 直线与区域边界相交不多于两个交点. 直线与区域边界相交不多于两个交点. 计算中的技巧（问题）： 、先画积分区域草图； 、有无奇偶对称性: 穿过区域且平行于x 轴的
第二节
二重积分的计算法 与直系下二次积分互化
由曲顶柱体体积的计算可知, 且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
高等数学 9-2二重积分的计算法
解 根据对称性有 D = 4D1
在极坐标系下
D1
x + y = a ⇒ r = a,
2 2 2
( x + y ) = 2a ( x − y )
2 2 2 2 2 2
⇒ r = a 2 cos 2θ ,
r = a 2 cos 2θ π , 得交点 A = ( a, ) , 由 6 r=a
1
2− y 1− y
2
f ( x , y )dx .
例 3 求 ∫∫ ( x + y )dxdy ，其中 D 是由抛物线
2
所围平面闭区域. y = x 和 x = y 所围平面闭区域
2 2
D
解 两曲线的交点
x = y2
y = x ⇒ (0,0) , (1,1), 2 x = y
2
y = x2
y
A(x0 )
x
y = ϕ1(x)
ϕ2 ( x) ϕ1 ( x )
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫ dx ∫
a D
f ( x , y )dy .
c 如果积分区域为： 如果积分区域为： ≤ y ≤ d , ϕ 1 ( y ) ≤ x ≤ ϕ 2 ( y ).
［Y－型］ －
d
d
x = ϕ1( y)
x2 + y2 = 1
1 , 直线方程为r = sinθ + cosθ
所以圆方程为 r = 1,
x+ y =1
∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫ dθ ∫
2
π
1
D
0
1 sinθ +cosθ
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
高等数学 上、下册9_2 二重积分的计算法
个公式的成立并不受此条件限制.类似地，如果积分区域D 可用不等式
1(y)x2(y),cyd
表示（图9-5），其中1(y),2(y)在区间c,d 上连续，这样的
区域称为Y-型区域，
y
y
d
D
d
x 2(y)
x 1 ( y) x 2 ( y)
x 1 (y)
c
D c
O
x
O
x
(a)
(b)
图 9-5
其特点是：穿过 D 内部且平行 x 轴的直线与 D 的边 界相交不多于两点，则有
B 是穿出区域 D 的点，它的纵坐标 2 (x)是积分的上限，把计
算的结果（是 x 的函数）再对 x 在其变化区间a,b上作定积分.
同理可得 Y-型区域的定限方法.
注意 以上说的 X 型
（Y 型）区域都要求平行于 y
y
轴（ x轴）的直线与区域D 的 边界曲线相交不多于两点，如 果不满足这个条件时
(
y
2)2
y
y5
dy
1 2
y4 4
4 3
y3
2y2
y6 6
2 1
55 8
若 按 x- 型 区 域 计 算，用公式（1），则由 于下方边界曲线
y
y x
(4,2)
y 1(x) 在区间[0,1] 及
[1, 4]上的表达方式不一
y x2
D1 D2
致，所以要用经过交点
Ox 1
x4 x
(1, 1) 且 平 行 于 y 轴 的 y x (1,-1)
0
0
D
1 0
x2
y
3
1 0
x
2
dx
大学高等数学课件——9-2_二重积分的计算法
d e
0 0
R
R2 rdr (1 e ); 4 2 R2 ); dxdy (1 e 4
同理 I 2 e
D2
x2 y2
I1 I I 2 ,
R R2 x2 2 2 R2 (1 e ) ( e dx ) (1 e ); 0 4 4
D {( x, y) | a x b, c y d}， 则
f ( x, y)dxdy [
D
b
a
f1 ( x)dx][ f 2 ( y )dy ]
c
d
求 3x y d， 练习2：
2 2
D
其中D是由x轴, y轴和抛物线y 1 x2所围成的
在第一象限内的区域．
原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.
解
在极坐标系下
D：0 r a ，0 2 .
e
D
x2 y2
dxdy d e
0 0
a2
2
a
r 2
rdr
(1 e
).
例3
求广义积分 0 e dx .
x2
解 D1 {( x , y ) | x 2 y 2 R 2 }
0 1 x x
(1,1)
sin y dy y
比较麻烦
例5
求 x e
D
2 y2
dxdy ，其中 D 是以(0,0), (1,1),
(0,1) 为顶点的三角形.
解 e
y2
dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x
D
2 y2
e
dxdy dy x e
高等数学 二重积分的计算法
解 在极坐标系下
D：0 a ，0 2.
ex2 y2dxdy
2 d
0
a e 2 d
0
D
(1 e a2 ).
利用上面结果可以求广义积分 ex2dx. 0
D1 {( x, y) | x 2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x 2 y2 2R2 }
2a
x
图 A
2 cos
yo
D
x
a 2
图 B
解 由对称
性
V 4 4a2 x2 y2dxdy
D
其中 D 为半圆 y 2ax x2及 x 轴所围
周的闭区域 . 在极坐标系中，成闭区域 D
可用不等式0 来表示 . 于
2
cos
,
0
2
是 V 4 4 2 2 dd
D
4 2 d
则
x
v
2
u
,
y
v
2
u.
D D, 即 x 0 u v; y 0 u v;
y x2
( x 2
y)dxdy
1dx 0
x
x
2
(
x
2
y)dy
D
1[ x2(
0
x
x2)
1 2
(
x
x4 )]dx
33 140
.
例 4
1
计算积分 I 2 dy
y
e
y x
dx
1dy
y
e
y x
dx
.
1
1
4
2
1 2
y
y
解 e xdx不能用初等函数表示
二重积分的几种计算方法
二重积分的几种计算方法二重积分是数学中的一种重要计算方法，用于计算二元函数在平面区域上的累计效应。
在实际问题中，二重积分常常用于计算平面区域上的面积、质量、重心、转动惯量等物理量。
在计算二重积分时，可以采用多种方法，如直角坐标系下的直接计算、极坐标系下的转化、换元积分法等。
接下来，我们将详细介绍这些计算方法。
一、直角坐标系下的直接计算方法二、极坐标系下的计算方法在一些情况下，特别是当被积函数具有旋转对称性时，我们可以利用极坐标系对二重积分进行变换，从而简化计算过程。
具体而言，对于形如$f(r,\theta)$的二元函数，我们可以通过进行坐标变换得到$f(x,y)$的形式，然后按照直角坐标系下的直接计算方法计算积分。
换句话说，我们先将极坐标系下的$r$和$\theta$表示转化为直角坐标系下的$x$和$y$表示，然后按照直角坐标系下的计算方法进行计算。
例如，对于极坐标下的面积分，我们有如下变换关系：$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，从而可以将极坐标下的面积分转化为直角坐标下的面积分。
三、换元积分法在一些情况下，被积函数本身可能比较复杂，或者积分的区域形状比较复杂，这时可以通过换元积分法将原问题转化为更简单的形式，从而方便计算。
例如，对于形如$f(x,y)$的二元函数，我们可以通过变量替换将其转化为新的二元函数$g(u,v)$，并找到合适的Jacobian行列式来计算变换后的二重积分。
具体而言，变量替换的过程包括两个步骤：首先，通过$u=g_1(x,y)$，$v=g_2(x,y)$的关系找到$x$和$y$与$u$和$v$之间的函数关系；然后，计算Jacobian行列式$J=\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$，并将其带入变换后的二重积分中进行计算。
需要注意的是，选取合适的变量替换和Jacobian行列式是成功应用换元积分法的关键。
综上所述，二重积分的计算方法包括直角坐标系下的直接计算、极坐标系下的转化和换元积分法等。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在高等数学中，二重积分是一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用，比如物理学、工程学、经济学等。
理解和掌握二重积分的计算方法对于解决相关的实际问题和理论研究都至关重要。
二重积分的定义是在平面区域上对函数进行积分。
直观地说，它可以用来计算平面区域上某个量的总和，比如平面薄片的质量、平面区域的面积等。
那么，如何计算二重积分呢？常见的计算方法主要有直角坐标法和极坐标法。
直角坐标法是我们最常接触的方法之一。
当积分区域是由直线边界围成的矩形、三角形或者其他简单形状时，直角坐标法往往比较适用。
我们先来看 X 型区域。
如果积分区域可以表示为＼（a\leq x\leqb\），＼（＼varphi_1(x)＼leq y\leq ＼varphi_2(x)＼），那么二重积分可以写成：＼＼int\！＼！＼int_D f(x,y) d\sigma ＝＼int_{a}＾｛b}dx ＼int_{＼varphi_1(x)｝＾｛＼varphi_2(x)｝ f(x,y) dy＼这里要先对＼（y\）积分，再对＼（x\）积分。
再来看 Y 型区域。
如果积分区域可以表示为＼（c\leq y\leq d\），＼（＼psi_1(y)＼leq x\leq ＼psi_2(y)＼），那么二重积分可以写成：＼＼int\！＼！＼int_D f(x,y) d\sigma ＝＼int_{c}＾｛d}dy ＼int_{＼psi_1(y)｝＾｛＼psi_2(y)｝ f(x,y) dx＼在使用直角坐标法计算二重积分时，关键是要正确确定积分区域的类型，以及积分的上下限。
接下来我们说一说极坐标法。
当积分区域具有圆形、扇形或者是与圆相关的形状时，极坐标法通常会更加简便。
在极坐标系中，点用＼（（＼rho,＼theta)＼）表示，其中＼（＼rho\）表示点到原点的距离，＼（＼theta\）表示极角。
如果积分区域可以表示为＼（＼alpha\leq\theta\leq\beta\），＼（＼varphi_1(＼theta)＼leq\rho\leq\varphi_2(＼theta)＼），那么二重积分可以写成：＼＼int\！＼！＼int_D f(x,y) d\sigma ＝＼int_{＼alpha}＾｛＼beta}d\theta ＼int_{＼varphi_1(＼theta)｝＾｛＼varphi_2(＼theta)｝ f(＼rho\cos\theta,＼rho\sin\theta)＼rho d\rho＼在极坐标法中，要注意＼（＼rho\）的积分上下限以及函数在极坐标下的表达式。
高等数学第九章习题课二重积分的计算
习题课二重积分的计算一、主要内容二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：①作出积分区域的草图②选择适当的坐标系③选定积分次序，定出积分限1。
关于坐标系的选择这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑看图定限 —穿越法定限 和不等式定限先选序，后定限①直角坐标系ⅰ。
先 y 后 x ，过任一x ∈ [ a , b ],作平行于 y 轴的直线穿过D 的内部从D 的下边界曲线)(1x y ϕ=穿入—内层积分的下限从上边界曲线)(2x y ϕ=穿出—内层积分的上限ⅱ。
先 x 后 yy 过任一 yy ∈[ c , d ] 作平行于 x 轴的直线定限左边界)(1y x ψ=——内层积分的下限右边界)(2y x ψ=——内层积分的上限则将D 分成若干个简单区域再按上述方法确定每一部分的上下限分片计算，结果相加②极坐标系积分次序一般是θ后先r 过极点O 作任一极角 为 θ]),[(βαθ∈的射线从D 的边界曲线 )(1θr 穿入从 )(2θr 穿出ⅲ。
如D 须分片)(1θr ——内下限)(2θr —内上限具体可分为三种情况)()(,21θθβθαr r r ≤≤≤≤⑵极点在D 的边界上)()(,21θθβθαr r r ≤≤≤≤是边界在极点处的切线的极角βα,)(1θr 绝大多数情况下为0⑶极点在D 的内部)(0,20θπθr r ≤≤≤≤化累次积分后外限是常数内限是外层积分变量的函数或常数极坐标系下勿忘 r⑴极点在D 的外部∫∫∫∫=D Ddxdy x y f dxdy y x f ),(),(——称为关于积分变量的轮换对称性是多元积分所独有的性质奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的性质简述为“你对称，我奇偶”①、②、③简单地说就是④若 DD 关于直线 y = x 对称。
二重积分计算方法
二重积分计算方法引言二重积分是高等数学中的重要内容，常用于计算平面区域上的面积、质量、重心等问题。
计算二重积分时，需要掌握一些常见的计算方法，本文将介绍三种常见的计算方法：直角坐标系下的累次积分法、极坐标系下的累次积分法以及变量代换法。
直角坐标系下的累次积分法直角坐标系下的累次积分法是最常用的计算二重积分的方法之一。
对于平面上的一个区域D，可以将其分解为若干个小矩形区域，然后通过对每个小矩形区域进行积分求和，从而得到整个区域的二重积分值。
具体步骤如下： 1. 将区域D划分为若干个小矩形区域，每个小矩形区域的面积可以通过计算两个相邻顶点之间的距离得到。
2. 对每个小矩形区域进行积分，积分的上限和下限分别是该小矩形区域在x轴和y轴上的边界。
3. 将每个小矩形区域的积分结果求和，得到整个区域D的二重积分值。
极坐标系下的累次积分法在一些特殊的情况下，采用极坐标系进行计算可以简化计算过程。
极坐标系下，平面上的点由极径和极角两个参数决定，适用于具有旋转对称性的问题。
具体步骤如下： 1. 将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分。
极坐标系下，二重积分的积分变量可以表示为r和θ。
2. 将区域D在极坐标系下表示出来，确定积分的上限和下限。
3. 对每个小区域进行积分，积分的上限和下限分别是在极坐标系下的边界。
4. 将每个小区域的积分结果求和，得到整个区域D的二重积分值。
变量代换法变量代换法是一种常用的计算二重积分的方法，通过引入新的变量进行积分变换，从而简化计算过程。
具体步骤如下： 1. 引入新的变量，将二重积分中的自变量进行变换。
2. 将原来的二重积分转换为新的变量下的二重积分。
3. 对新的二重积分进行计算，可以使用上述的直角坐标系下的累次积分法或者极坐标系下的累次积分法。
4. 将计算得到的结果转换回原来的变量，得到整个区域D的二重积分值。
总结本文介绍了三种常见的二重积分计算方法：直角坐标系下的累次积分法、极坐标系下的累次积分法以及变量代换法。
大一高等数学第九章第二节二重积分的计算法.
第二节二重积分的计算法• 一、二重积分在直角坐标系中的计算法 • 二、二重积分在极坐标系中的计算法 •三、小结思考题练习题一、二重积分在直角坐标系中的计 算法a < x <^h 9 (p t (x) V y V (pAx).—型]其中函数©（劝、02（兀）在区间［“,6上连续・如果积分区域为:1 1J = <p 2(x)」_屮心)1 1 ab的值等于以。
为底，以曲面z =f(x,y)为曲顶柱体的体积.应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,SRcy=fdyr 2>f(x,y)dx.兴 切(丿)y =©(x)y =^(x)A(x (JX型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式n 勿+u •D D、D2 D、例1 改变积分f(x y y)dy的次序.解例2改变积分’/（X 』）心的次序.解积分区域如图2J = 2-x X、»= \ 2x -5^• ■ 70.91\ *・53原式=』dy J二缶f f(x,y)dx.例 3 改变积分j ^-p/(x,j)Jy (« >0) 的次序.f(x^y)dx+他(：丹八3)必+f"dy0gy)必.x 2 =>x =a ± x a 2 -y 2=\ 2ax —::2例4求jj(x 2 + y )dxdy ,其1=1©是由抛物线解两曲线的交点 产二=>(0,0) ,(1,1), 1兀=厂+ y)dxdy {x 1+y)dyD=x - x 2) + ^(x-x 4)]rfx =豊・Jo2 140例5 求JJ x 2e'y2dxdy ,其中 D 是以0,0),(1,1),(<M)为顶点的三角形.x 2e~ydxdy =^dy^ x 2e ydx D□□y =，和兀=b 所围平面闭区域.解・・・“》心无法用初等函数表示・・・积分时必须考虑次序- 卩 f 了 -e x dx^ \dy \ e x dx.y解^e xdx 不能用初等函数表示・•・先改变积分次序. =f x(e —e x)dx = -e — -<e.码 8 2例7求由下列曲面所围成的立体体积， z = x +j, z = xy 9 x+ ‘=l, x =0, j =0.原式=I = e^dy例6计算积分成的立体如图.所围立体在xoy 面上的投影是•・• 0< x4-j < 1, x + y> xy 9 所求 =JJ(x +j- xy)daD(x-hy-xy)dy訂：住(1 一兀)+ £(1-兀尸血=召二、二重积分在极坐标系中计算 法 1 ^1 .Aa,=-（巧 + ZV;$ ・一 乙叮・=-(2r ； + zXr f )Ar ； •2-"+叫・M “A2=片• Ar z•〃亍△o \JJ f (x9y)dxdy = f (rcosG3rsinO)rdrd0.D D二重积分化为二次积分的公式（1）区域特征如图a<0<. p y(p\O}<r < 02(&)・JJ f(rcos0^rsin0)rdrd0D=f (r cos^,r sin^)rJr.JaJ 卩i (0)区域特征如图a V & V 0，0（&）＜厂 V 02（&）・JJ f (rcos09rsin0)rdrdO =\p dor O}Ja J®©) 01 (0)f (rcosG yrsin0)rdr.CQE二重积分化为二次积分的公式（2 ）JJ f (r cos^,r sin0)rdrdOD“r (p2、=J do] f(r cos^,rsin^)rJr.二重积分化为二次积分的公式（3）|| f (r cos^,r sinff)rdrd0 D极坐标系下区域的面积a = \\rdrdO./(rcos^,rsin^)rJr.区域特征如图0 < r < 0（&）・SB区域特征如图0 V & V 2眄例8写出积分\\f(x.y)dxdy 的极坐标二次积分形 式，其中积分注域D = {(x 9y)\ 1-x < y < \ l-x\O<x<l}.所以圆方程为厂=1,直线方程为厂=^―1—-sin& + cos &SR例9 计算^e~x ^ydxdy ，其中D 是由中心在 原点，半径站的圆周所围成的闭区域. 解在极坐标系下D ： 0<r <« , 0<0<2兀・\\e~x ~ydxdy= J 冷町：”皿解在极坐标系下{X = rcos 0 y= rsin &\\f(x.y)dxdy= [}dd^ xf (r cos G^rsinG)rdr.豈」A ^e~x2~y ：dxdy<帖宀怙心 ffe'^ dxdy.D tSD 2又•・• 1 = ^e~x dxdys=e~xl dx e~y dy =([ e~' dx)2; =jje~xydxdyD\同理笃=fj e~x' ydxdy=^(\-e~1R");UH例10 求广义积分Jx ・ 解9={(%』)1云 +，2<尺2}D 2={(x 9y)\x 2^y 2<2R 2}S = {(2)\0<x<Rfi<y<R}{x 5:0, j >0}显然有 D] u S u 。
第二节 二重积分的计算法(全面版)资料
第二节二重积分的计算法（全面版）资料第二节 二重积分的计算法教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容：利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分f x y d D(,)σ⎰⎰的计算问题.讨论中,我们假定f x y (,)≥0；假定积分区域D 可用不等式 a x b x y x ≤≤≤≤ϕϕ12()()表示,其中ϕ1()x , ϕ2()x 在[,]a b 上连续.据二重积分的几何意义可知,f x y d D(,)σ⎰⎰的值等于以D 为底,以曲面z f x y =(,)为顶的曲顶柱体的体积.在区间[,]a b 上任意取定一个点x 0,作平行于yoz 面的平面x x =0,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[(),()]ϕϕ1020x x 为底,曲线z f x y =(,)0为曲边的曲边梯形,其面积为A x f x y dy x x ()(,)()()001020=⎰ϕϕ一般地,过区间[,]a b 上任一点x 且平行于yoz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为A x f x y dy x x ()(,)()()=⎰ϕϕ12利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为V A x a dx f x y dy dx bx x a b ==⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎰⎰⎰()(,)()()ϕϕ12从而有dx dy y x f d y x f ba x x D⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)(2)(1),(),(ϕϕσ (1)上述积分叫做先对Y,后对X 的二次积分,即先把x 看作常数,),(y x f 只看作y 的函数,对),(y x f 计算从)(1x ϕ到)(2x ϕ的定积分,然后把所得的结果( 它是x 的函数 )再对x 从a 到b 计算定积分.这个先对y , 后对x 的二次积分也常记作f x y d dx f x y dy Dabx x (,)(,)()()σϕϕ⎰⎰⎰⎰=12在上述讨论中,假定了0),(≥y x f ，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的),(y x f (在D 上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 I x d D x y x y D=-=-≤≤≤≤⎰⎰(){(,)|,}111022σ解: []dx y xdy x dx I 21122211)1()1(⎰⎰⎰---=-=38322)1(2113112=-=-=--⎰x x dx x类似地,如果积分区域D 可以用下述不等式c yd y x y ≤≤≤≤,()()φφ12表示,且函数φ1()y ,φ2()y 在[,]c d 上连续,f x y (,)在D 上连续,则f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c dc d y y (,)(,)(,)()()()()σφφφφ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=1212 (2)显然,(2)式是先对x ,后对y 的二次积分.二重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I 型(或II 型)区域, 用平行于y 轴(x 轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I 型(或II 型)区域的并集.2、积分限的确定二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法-- 几何法.画出积分区域D 的图形(假设的图形如下 )在],[b a 上任取一点x ,过x 作平行于y 轴的直线,该直线穿过区域D ,与区域D 的边界有两个交点))(,(1x x ϕ与))(,(2x x ϕ,这里的)(1x ϕ、)(2x ϕ就是将x ,看作常数而对y 积分时的下限和上限；又因x 是在区间[,]a b 上任意取的,所以再将x 看作变量而对x 积分时,积分的下限为a 、上限为b .例1计算322x y d D⎰⎰σ,其中D 是由x 轴,y 轴和抛物线yx =-12在第一象限内所围成的区域.类似地,D y x y :,0101≤≤≤≤-[]==-⎰⎰-x y dy y y dy y3211322011()令y t t t dt =⋅=⋅--=⎰sin cos sin ()!!()!!!!24502224151916315π例2计算xyd D⎰⎰σ, 其中D 是由抛物线y x 2=及直线y x =-2所围成的区域.3322012201x y d dy x y dx D y⎰⎰⎰⎰=-σD y y x y :,-≤≤≤≤+1222xyd dy xydx x y dy D y y y y σ⎰⎰⎰⎰⎰==⎡⎣⎢⎤⎦⎥-+-+12221222212[]=+-=-⎰1224582512y y y dy () 例3求由曲面zx y =+222及z x y =--6222所围成的立体的体积.解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在xoy 面上的投影区域消去变量z 得一垂直于xoy 面的柱面 x y 222+=,立体镶嵌在其中,立体在xoy 面的投影区域就是该柱面在xoy 面上所围成的区域 D x y :222+≤2、列出体积计算的表达式V x y x y d D=---+⎰⎰[()()]6222222σ =--⎰⎰()63323x y d Dσ3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算V d x d y d DDD=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰63322σσσ而 d Dσπ⎰⎰=2由x ,y 的对称性有 x d y d DD22σσ⎰⎰⎰⎰=x d x dx dy x x dx Dx x 22222222222222σ⎰⎰⎰⎰⎰==------=-=⎰⎰42442222202xx dx sin cos θθπ=⋅--+⋅162121222()!!()!!()!!π=⋅⋅⋅⋅1611422π=π所求立体的体积为V =-=1266πππ二、利用极坐标计算二重积分1、变换公式按照二重积分的定义有f x y d f Di i i i n(,)lim (,)σξησλ⎰⎰∑=→=01∆现研究这一和式极限在极坐标中的形式.用以极点0为中心的一族同心圆 r =常数以及从极点出发的一族射线θ=常数,将D 剖分成个小闭区域.除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域∆σi的面积可如下计算i i i i i i i i i i r r r r r r θθθσ∆∆∆+=∆-∆∆+=∆)2(2121)(2122i i i i i i i i r r r r r r θθ∆∆=∆∆∆++=2)(其中,r i 表示相邻两圆弧半径的平均值.(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)在小区域∆σi 上取点(,)r i iθ,设该点直角坐标为(,)ξηi i ,据直角坐标与极坐标的关系有ξθηθi i i i i i r r ==cos ,sin于是lim (,)lim (cos ,sin )λλξησθθθ→=→=∑∑=⋅0101f f r r r r i i i i n i ni i i i i i i ∆∆∆即f x y d f r r rdrd DD(,)(cos ,sin )σθθθ⎰⎰⎰⎰=由于f x y d D (,)σ⎰⎰也常记作f x y dxdy D (,)⎰⎰, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式f x y dxdy f r r rdrd D D(,)(cos ,sin )⎰⎰⎰⎰=θθθ (1)(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,rdrd θ就是极坐标中的面积元素.(1)式的记忆方法:x r →cos θy r →sin θdxdy rdrd →θf x y dxdyD(,)⎰⎰f r r rdrd D(cos ,sin )θθθ⎰⎰2、极坐标下的二重积分计算法极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算. 【情形一】积分区域D 可表示成下述形式αθβϕθϕθ≤≤≤≤12()()r其中函数ϕθ1(), ϕθ2()在[,]αβ上连续.则 f r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()()θθθθθθαβϕθϕθ⎰⎰⎰⎰=12【情形二】积分区域D 为下述形式显然,这只是情形一的特殊形式ϕθ10()≡( 即极点在积分区域的边界上 ).故 f r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()θθθθθθαβϕθ⎰⎰⎰⎰=0【情形三】积分区域D 为下述形式显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域D 的内部 ),D 可剖分成D 1与D 2,而D r D r 120020:,():,()≤≤≤≤≤≤≤≤θπϕθπθπϕθ故 D r :,()020≤≤≤≤θπϕθ则 f r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()θθθθθθπϕθ⎰⎰⎰⎰=020由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域D 用极坐标变量r ,θ表示成如下形式αθβϕθϕθ≤≤≤≤,()()12r下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示. 例4将下列区域用极坐标变量表示 1、D x y y 1222:+≤2、D R x R R y R R x 222:,-≤≤≤≤+-D x y 31:+≤先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围[,]αβ；再过[,]αβ内任一点θ作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围[(),()]ϕθϕθ12.注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.利用此题结果可求出著名概率积分 Iedx x =-+∞⎰2.而被积函数满足022>--y x e,从而以下不等式⎰⎰⎰⎰⎰⎰------<<22222122D y x Sy x D y x dxdy edxdy edxdy e成立，再利用例二的结果有)1(42122RDy x e dxdy e ----=⎰⎰π, )1(422222RDy x e dxdy e ----=⎰⎰π , ⎰⎰⎰⎰⎰⎰------==Ry RxRyx R S yx dy e dx e dy edx dxdy e22222220000022222⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰-----Rx R x R x Ry Rx dx e dx e dx e dy e dx e于是不等式可改写成下述形式ππππ441414222022R R x R R R e e dx e →+∞---→+∞←−−−−-<⎛⎝ ⎫⎭⎪<-−→−−−⎰()()故当R →+∞时有edx x-+∞⎰⎛⎝ ⎫⎭⎪=224π, 即 Iedx x ==-+∞⎰22π.3、使用极坐标变换计算二重积分的原则(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； (2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含()x y 22+α, α为实数 ). 例6计算I dxdyx y a x y a axa a x =+⋅-+>⎰⎰--+-022*******()()解此积分区域为D x a x y a a x :,022≤≤-≤≤-+-区域的简图为该区域在极坐标下的表示形式为D r a :,sin -≤≤≤≤-πθθ4002I rdrd r a rd dra r r a d Da a =-=-=⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰⎰⎰⎰⎰----θθθπθθπ44222402202024sin sin arcsin=-=-=--⎰()θθθπππd 42421232 小结 二重积分计算公式直角坐标系下 ⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφ X —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕ Y —型极坐标系下 ⎰⎰⎰⎰=Ddr r r f d rdrd r r f βαϑφϑφϑϑϑϑϑϑ)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (作业 教材P 161 习题2（I ）（2）（3）3（1）（3）4（2）（4）第二节教学目标1. 了解小提琴常见的演奏技法，及其音乐表现特色。
第二节二重积分的计算
第九章
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
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一、利用直角坐标计算二重积分
若D为 X – 型区域
y
y 2 ( x)
1 ( x) y 2 ( x) D: a xb
则
b
D f ( x, y) dx d y a d x ( x)
D
d x2 ( y )
1
c
D f ( x, y) d c d y x ( y )
f ( x, y ) d x
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x x1 ( y ) x
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极坐标系情形: 若积分区域为
则
D
f ( x, y ) d
D r 2 ( )
f (r cos , r sin ) rd r d
D3
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o
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x
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例１. 计算
解:
2 cos( x y ) 2 d y 0 0 2[sin y cos y ] d y
0
cos y sin y
2
0
2
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例２. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
2
y x2
4 x
y2 2 1 2 x y d y 2 y 1 2
1
y
xy d x
1 2 [ y ( y 2) 2 y 5 ] d y 2 1
二重积分计算方法
二重积分计算方法二重积分是微积分中的一种重要概念，用于计算平面上的曲面面积、一些物理量的总量等问题。
在本文中，我将向您介绍二重积分的计算方法。
首先，我们需要了解二重积分的定义。
对于一个定义在闭区域D上的函数f(x,y)，其在D上的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA其中，dA表示微小面积元素，可以看作是一个非常小的正方形区域。
为了计算二重积分，我们需要确定积分区域D以及函数f(x,y)的表达式。
接下来，将介绍几种常用的计算方法。
1.直角坐标系下的二重积分在直角坐标系下，二重积分的计算可以分为两种情况：先积x再积y，或者先积y再积x。
在具体计算时，我们可以采用以下步骤：a)确定积分区域D，并在坐标平面上对其进行准确定位。
b)根据题目给出的条件，写出函数f(x,y)的表达式。
c)根据积分顺序，分别计算内、外积分的上下限，并对函数f(x,y)进行必要的变换（如换元、利用对称性等）。
d)将上下限代入函数f(x,y)的表达式，计算出积分的被积函数。
e)对内、外积分依次进行计算，并最终得出结果。
2.极坐标系下的二重积分在一些问题中，使用直角坐标系来计算二重积分可能比较复杂，此时可以尝试使用极坐标系来简化计算。
计算极坐标系下的二重积分的步骤如下：a)确定积分区域D，并在坐标平面上对其进行准确定位。
b)根据题目给出的条件，写出函数f(r,θ)的表达式，其中r为极径，θ为极角。
c)根据积分顺序，确定被积函数中r和θ的上下限，并对函数f(r,θ)进行必要的变换。
d)将上下限代入函数f(r,θ)的表达式，计算出积分的被积函数。
e)对内、外积分依次进行计算，并最终得出结果。
3.利用对称性简化计算在一些情况下，函数f(x,y)具有一定的对称性，可以通过利用对称性来简化二重积分的计算过程。
常见的对称性包括奇偶性、轮换对称性、中心对称性等。
例如，如果函数f(x,y)是关于y轴对称的，则可以将计算范围限制在x≥0的情况下，并将最终结果乘以24.利用变换简化计算在一些问题中，我们可以通过变换的方法将二重积分转化为其中一种标准形式，然后使用标准形式的计算公式来求解。
二重积分的计算法
rkrkk
d rd rd
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k
rk
rk
20
Df(x,y)dD f(rco ,srsin )rdrd
rd d
1. 极点在积分区域外
dr
d r
Dr2()
r2()
o
r1()o r1()
设 D: 1() r 2(),则 D f(rc o,rsi)n rdrd
d
1 2 ( ())f(rco,rs si)n rdr
（先对 x 积分，视 y 为常量， 对y 积分，视 x 为常量)
⑤、何时不得不将积分域D分块？ 穿入穿出不唯一。
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9
例 1 改 变 积 分 1 dx 1xf(x,y)d的 y次 序 . 00
解 积分区域如图
0 x1 Dx :0 x1x
0 y1 Dy :0 x1 y
y1x
原 式
2(y) f(x,y)dx
D
c
1(y)
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4
当被积函数 f(x,y)在D上变号时, 由于
f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)
2
2
f1(x,y)
f2(x,y)均非负
D f ( x ,y ) d x d y D f 1 ( x ,y ) d x d y
D f2(x,y)dxdy
0
0
0
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1 e y2 2
1 0
1 2
1
1 e
.
17
例8．求I= x y1 x 2 y 2 d x d y ,D :y x ,x 1 ,y 1 围 成 ；
D
y
二重积分计算方法总结
二重积分计算方法总结二重积分是微积分中的重要概念，用于求解平面区域上的面积、质量、重心等物理量。
本文将总结二重积分的计算方法，并介绍其应用领域和注意事项。
一、二重积分的基本概念二重积分是将一个二元函数在一个有界的平面区域上进行积分运算。
具体地说，对于定义在平面区域D上的函数f(x,y)，其二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA其中，dA表示平面区域D上的面积元素。
二重积分的计算方法有多种，下面将分别介绍。
二、二重积分的计算方法1. 基本方法：将平面区域D划分为若干个小矩形，计算每个小矩形上函数值与面积的乘积，再将所有小矩形的乘积求和即可得到二重积分的近似值。
当小矩形的数量无限增加时，近似值趋近于准确值。
2. 极坐标法：对于具有极坐标方程的平面区域D，可以通过转换成极坐标系来简化计算。
具体做法是将二重积分转化为极坐标下的二重积分，并利用极坐标的相关性质进行计算。
3. 变量代换法：对于某些具有特殊形式的平面区域D，可以通过变量代换来简化计算。
常见的变量代换方法有矩形坐标系到极坐标系、直角坐标系到柱坐标系等。
4. 先y后x法：当被积函数的表达式较为复杂时，可以通过先对y 进行积分，再对x进行积分的方法来简化计算。
这种方法常用于计算面积和质心等物理量。
三、二重积分的应用领域二重积分在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 计算平面区域的面积：通过对二维平面区域上的函数进行二重积分，可以得到该区域的面积。
2. 计算平面区域的质量：假设平面区域上每个点的密度为ρ(x,y)，则通过对ρ(x,y)与面积元素dA进行二重积分，可以计算出该区域的质量。
3. 计算平面区域的重心：通过对二维平面区域上的函数f(x,y)与x、y的乘积进行二重积分，可以求解出该区域的重心坐标。
4. 计算平面区域的矩：通过对二维平面区域上的函数f(x,y)与x的幂次进行二重积分，可以计算出该区域的各阶矩。
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第二节二重积分的计算法• 一、二重积分在直角坐标系中的计算法 • 二、二重积分在极坐标系中的计算法 •三、小结思考题练习题一、二重积分在直角坐标系中的计 算法a < x <^h 9 (p t (x) V y V (pAx).—型]其中函数©（劝、02（兀）在区间［“,6上连续・如果积分区域为:1 1J = <p 2(x)」_屮心)1 1 ab的值等于以。
为底，以曲面z =f(x,y)为曲顶柱体的体积.应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,SRcy=fdyr 2>f(x,y)dx.兴 切(丿)y =©(x)y =^(x)A(x (JX型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式n 勿+u •D D、D2 D、例1 改变积分f(x y y)dy的次序.解例2改变积分’/（X 』）心的次序.解积分区域如图2J = 2-x X、»= \ 2x -5^• ■ 70.91\ *・53原式=』dy J二缶f f(x,y)dx.例 3 改变积分j ^-p/(x,j)Jy (« >0) 的次序.f(x^y)dx+他(：丹八3)必+f"dy0gy)必.x 2 =>x =a ± x a 2 -y 2=\ 2ax —::2例4求jj(x 2 + y )dxdy ,其1=1©是由抛物线解两曲线的交点 产二=>(0,0) ,(1,1), 1兀=厂+ y)dxdy {x 1+y)dyD=x - x 2) + ^(x-x 4)]rfx =豊・Jo2 140例5 求JJ x 2e'y2dxdy ,其中 D 是以0,0),(1,1),(<M)为顶点的三角形.x 2e~ydxdy =^dy^ x 2e ydx D□□y =，和兀=b 所围平面闭区域.解・・・“》心无法用初等函数表示・・・积分时必须考虑次序- 卩 f 了 -e x dx^ \dy \ e x dx.y解^e xdx 不能用初等函数表示・•・先改变积分次序. =f x(e —e x)dx = -e — -<e.码 8 2例7求由下列曲面所围成的立体体积， z = x +j, z = xy 9 x+ ‘=l, x =0, j =0.原式=I = e^dy例6计算积分成的立体如图.所围立体在xoy 面上的投影是•・• 0< x4-j < 1, x + y> xy 9 所求 =JJ(x +j- xy)daD(x-hy-xy)dy訂：住(1 一兀)+ £(1-兀尸血=召二、二重积分在极坐标系中计算 法 1 ^1 .Aa,=-（巧 + ZV;$ ・一 乙叮・=-(2r ； + zXr f )Ar ； •2-"+叫・M “A2=片• Ar z•〃亍△o \JJ f (x9y)dxdy = f (rcosG3rsinO)rdrd0.D D二重积分化为二次积分的公式（1）区域特征如图a<0<. p y(p\O}<r < 02(&)・JJ f(rcos0^rsin0)rdrd0D=f (r cos^,r sin^)rJr.JaJ 卩i (0)区域特征如图a V & V 0，0（&）＜厂 V 02（&）・JJ f (rcos09rsin0)rdrdO =\p dor O}Ja J®©) 01 (0)f (rcosG yrsin0)rdr.CQE二重积分化为二次积分的公式（2 ）JJ f (r cos^,r sin0)rdrdOD“r (p2、=J do] f(r cos^,rsin^)rJr.二重积分化为二次积分的公式（3）|| f (r cos^,r sinff)rdrd0 D极坐标系下区域的面积a = \\rdrdO./(rcos^,rsin^)rJr.区域特征如图0 < r < 0（&）・SB区域特征如图0 V & V 2眄例8写出积分\\f(x.y)dxdy 的极坐标二次积分形 式，其中积分注域D = {(x 9y)\ 1-x < y < \ l-x\O<x<l}.所以圆方程为厂=1,直线方程为厂=^―1—-sin& + cos &SR例9 计算^e~x ^ydxdy ，其中D 是由中心在 原点，半径站的圆周所围成的闭区域. 解在极坐标系下D ： 0<r <« , 0<0<2兀・\\e~x ~ydxdy= J 冷町：”皿解在极坐标系下{X = rcos 0 y= rsin &\\f(x.y)dxdy= [}dd^ xf (r cos G^rsinG)rdr.豈」A ^e~x2~y ：dxdy<帖宀怙心 ffe'^ dxdy.D tSD 2又•・• 1 = ^e~x dxdys=e~xl dx e~y dy =([ e~' dx)2; =jje~xydxdyD\同理笃=fj e~x' ydxdy=^(\-e~1R");UH例10 求广义积分Jx ・ 解9={(%』)1云 +，2<尺2}D 2={(x 9y)\x 2^y 2<2R 2}S = {(2)\0<x<Rfi<y<R}{x 5:0, j >0}显然有 D] u S u 。
2•・・ /J < / < I 29兀“ -R 2 \/-X 2 J \2 兀-2R 2 \••• (l-<? )<( e dx) < (1-e );4 J 。
4TTIt当 /?—>8 时，人一> G /Tr4 4故当Z?T8时，即(J ；厂必)'弓' 所求广义积分^e'x2dx=耳・例11 计算+ y 2)dxdy,其D 为由Dx 2-F y 2= 2y 9 X 2-by 2= 4,及直线工 _ 3y= 0 , 丿一\3*=0所围成的平面闭区域.x — \ 3 j = 0 n 0、=手6X 2 4-j 2= 2j => r = 2sin&Jj(x 2y 2)dxdy =%2-rdr = 15(寸一、3)・D6 S n/j — \ 3x =0— 02 = x 24-j 2= 4y => 尸=4sin&例12 计算二重积分□沁字¥二必小, 其中积分区域为D={(X9J)I1^X2+ J2<4}.解由对称性，可只考虑第一象限部分，D = 4D\注意：被积函数也要有对称性.=4『坷：警"=-4・SB例13 求曲线(x2 + y2)2=2a2(x2-y2)和x2+j2所围成的图形的面积.解根据对称性有D = 4巧在极坐标系下2 2 2x +y =a => r =ay(x2 + )2)2 = 2a2(x2— y2) r=“、2cos2&,r =a、2cos2& -—'得交点心叫),所求面积<r = JJ dxdy = 4jJ dxdy D D tfa . 2cos20=4£ je£rdr= a2(V3-^).三、小结二重积分在直角坐标下的计算公式jjf(x,y)dcr = y)dy.[X —型]f(x,y)dcr =f ＜；: /(x,y)〃x.[Y—型](在积分中要正确选择积分次序)二重积分在极坐标下的计算公式Jj f (r cos^,r s\r\O)rdrdG" Pp叭(8)=J dffj $ f (rcos0^rsin0)rdr・« = J dOy f (rcos0^rsinO)rdr・=0 f(rcos0,rsin0)rdr.(在积分中注意使用对称性)思考题1设/(X)也0,1］上连续，并设£/(x)dr =A, 求JM f(x)f(y)dy ・思考题1解答v 不能直接积出，・・・改变积分次序. 令/ =jdxj x f(x)f(y)dy9 则原^=jdy^f(x)f(y)dx ・= j/(x)dx^ f(y)dy,故2“ =」：/(兀)必[/(刃心+ £/(x)Jx£' f(y)dy = £/(x)Jx[(£ +f )f(y)dy]思考题2交换积分次序：C- pacosQ/=』/礼f(r,Q)dr(a A 0)<练习题1填空题：］、Jj(x ' + 3x2y + j ')rfo- = ___________________ •其中DDWSMlgyMl.2、JJxcos(x + y)da = ___________________ .其中^ 是顶£分别为(。
小)，(“°),(兀皿)的三角形闭区域・3、将二重积分其中°是构轴及半x2+j2=r2(j> 0)所围成的闭区域，化为先对后对工的二次积分，应为_______________________________________.HR 4、将二壓积分J打其中D是由直线I)y = X,X = 2及双曲线y = i(X > 0)所围成的闭区X域化为先对后对的二次积分，应为5.将二次积分『力丄：改换积分次序,应为_____________ 〔_______ .6、将二次积分改换积分次序，应为____________________________ ・7.将二次积分心仁f(x.y)dx改换积分次序，应为_____________________________ •二. 画出积分区域，并计算下列二重积分：1、其和是由|X|+|J|<1所确定的闭区域.D2、JJX+h 一其和是由直线y = 2』=x及j = 2兀所围成的闭区域3、沪(“必=讼「厂叫如4* -*心如其中° ： -lSxSl,US_yS2.三、设平面薄片所占的闭区域"由直线x + y = 2,y = x和r轴所围成，它的面密度p(x.y) = x2 + y2f求该薄片的质量・四、求由曲面z = +2丁’及z = 6-2x?-〉，？，所成的立体的体积.练习题1答案"如宀f(x,y)dy；4、Ji*rfy£ /(x, y)dx + j'rfyj /(x, y )dx；5、J匈:;F/g皿：.0 . ”_ pl . /»/r-arcsln y 6、丄切亠“丿小处订叽的/(工』皿;I7、£rfx£*x/(x’yMy・5.将［必匸(h+X 戸心化为极坐标形式的二次积 分为二、计算下列二重积分： jjln(l + x : + j 2)rfcr,其中D 是由圆周*+ J 2 =1 £坐标轴所围成的在第一象限内的区域. JJ(x 2 +j 2)Jcr 其中"是由直线，=x, y = x+a,y=a 9y^ %(a > °)所围成的区域. fj \2-壬_ y 2da 9其中。