大一高等数学第九章第二节二重积分的计算法.

第二节二重积分的计算法

• 一、二重积分在直角坐标系中的计算法 • 二、二重积分在极坐标系中的计算法 •

三、小结思考题练习题

一、二重积分在直角坐标系中的计 算法

a < x <^h 9 (p t (x) V y V (pAx).

—型]

其中函数©（劝、02（兀）在区间［“,6上连续・

如果积分区域为:

1 1

J =

」_屮心)

1 1 a

b

的值等于以。为底，以曲面z =

f(x,y)为曲顶柱体的体积.

应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,

SR

cy=fdyr 2>

f(x,y)dx.

兴 切(丿)

y =©(x)

y =^(x)

A(x (J

X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

若区域如图，则必须分割.

在分割后的三个区域上分别

使用积分公式

n 勿+u •

D D、D2 D、

例1 改变积分f(x y y)dy的次序.

解

例2改变积分

’/（X 』）心的次序.

解积分区域如图

2

J = 2-x X

、

»= \ 2x -

5^

• ■ 7

0.9

1

\ *

・5

3

原式=』dy J

二缶

f f(x,y)dx.

例 3 改变积分j ^-p/(x,j)Jy (« >0) 的次序.

f(x^y)dx

+他(：丹八3)必+f"dy0gy)必.

x 2 =>x =a ± x a 2 -y 2

=\ 2ax —::2

例4求jj(x 2 + y )dxdy ,其1=1©是由抛物线

解两曲线的交点 产二=>(0,0) ,(1,1), 1兀=厂

+ y)dxdy {x 1

+

y)dy

D

=x - x 2

) + ^(x-x 4

)]rfx =豊・

Jo

2 140

例5 求JJ x 2

e'y2

dxdy ,其中 D 是以0,0),(1,1),

(

x 2

e~y

dxdy =^dy^ x 2

e y

dx D

□□

y =，和兀=b 所围平面闭区域.

解・・・“》心无法用初等函数表示

・・・积分时必须考虑次序

- 卩 f 了 -

e x dx^ \dy \ e x dx.

y

解^e x

dx 不能用初等函数表示

・•・先改变积分次序. =f x(e —e x

)dx = -e — -

码 8 2

例7求由下列曲面所围成的立体体积， z = x +j, z = xy 9 x

+ ‘=l, x =0, j =0.

原式=I = e^dy

例6计算积分

成的立体如图.

所围立体在xoy 面上的投影是

•・• 0< x4-j < 1, x + y> xy 9 所求 =JJ(x +j- xy)da

D

(x-hy-xy)dy

訂：住(1 一兀)+ £(1-兀尸血=召

二、二重积分在极坐标系中计算 法 1 ^

1 .

Aa,=-（巧 + ZV;$ ・一 乙

叮

・

=-(2r ； + zXr f )Ar ； •

2

-"+叫・M “

A

2

=片• Ar z

•

〃亍

△o \

JJ f (x9y)dxdy = f (rcosG3rsinO)rdrd0.

D D

二重积分化为二次积分的公式（1）

区域特征如图

a<0<. p y

(p\O}

JJ f(rcos0^rsin0)rdrd0

D

=f (r cos^,r sin^)rJr.

Ja

J 卩i (0)

区域特征如图

a V & V 0，

0（&）＜厂 V 02（&）・

JJ f (rcos09rsin0)rdrdO =\p dor O}

Ja J®©) 01 (0)

f (rcosG y

rsin0)rdr.

CQE

二重积分化为二次积分的公式（2 ）

JJ f (r cos^,r sin0)rdrdO

D

“

r (p2

、

=J do] f(r cos^,rsin^)rJr.

二重积分化为二次积分的公式（3）

|| f (r cos^,r sinff)rdrd0 D

极坐标系下区域的面积a = \\rdrdO.

/(rcos^,rsin^)rJr.

区域特征如图

0 < r < 0（&）・

SB

区域特征如图

0 V & V 2眄