第四章桥梁结构地震反应分析

P 质点加速度（0～dt）： a g x m P g dt dt x dt时刻的速度： V m
1P dt时刻的位移： d (dt) 2 0 2m
地面冲击作用后，体系不再受外界任何作用，将做自由振动 自由振动初速度为
g dt V x
g dtet x
初位移、初速度引起 迅速衰减，可不考虑
地面运动 引起
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对上式求导可得振子相对速度与绝对加速度反应积分公式：
t ( t ) (t ) e g ( ) cos[d (t )]d 0
t 基于上面公式，用数值积分的方法，可得出各反应的时程 (t ) (t ) e (t ) ( ) sin[ (t )]d g g d 0 曲线。以不同单自由度体系的周期为横坐标，以不同阻尼 比为参数，绘出最大相对位移、最大相对速度和最大绝对 加速度的谱曲线，分别称为相对位移反应谱、拟相对速度 反应谱和拟加速度反应谱 （分别简称为位移反应谱、速度 反应谱和加速度反应谱），并用符号记为SD、PSV和PSA
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4.1 结构抗震动力学初步概念
4.1.1 结构地震振动方程
根据达朗贝（D’Alembert）原理
EI h dz Fs dz FI dz FD dz (c)
(t ) g
z
g ( z, t )
FI FD FS 0
其中，
m
)dz FI dz m( g


PSA 2 SD
忽略小阻尼比的影响，有：
地震 1 地震 2 光滑平均
T1 T 2 T 3
T4 max
T5
T
反应谱 max max max
(t ) g
max T1 T2 图 4.5 T3 反应谱概念 T4 T5
反应谱还具有以下两条基本特性：
a. 绝对刚性结构（ ） ：SD 0 , SV 0 , SA g , max
单质点体系 (c) 多、高层建筑
(d) 烟囱
集中化描述举例 (a) 水塔 (a) 水塔 c、多、高层建筑
(b) 厂房 厂房 (b) d、烟囱
(c) 多、高层建筑 c) 多、高层建筑 主要质量：楼盖部分
(d) 烟囱 烟囱 (d) 结构无主要质量部分
结构分成若干区域
集中到各区域质心
多质点体系
多质点体系
x(t)
体系自由振动 ——无阻尼状态
1 ， r1 r2 x(t ) (c1 c2 t )e t
1 ，r1

=0
体系不振动 ——临界阻尼状态 体系不振动 ——过阻尼状态
r 2 为负实数 、
x(t ) c1e r1t c2 e r2t
0 1
1 1
一个自由质点,若不考 虑其转动,则相对于空 间坐标系有3个独立的 分量,因而有三个自由 度；在平面内，如果忽 略直杆的轴向变形,则 在平面内与直杆相连的 质点只有一个位移分量, 即只有一个自由度。
在动力问题中由于要考虑惯性力，因此还要研究质量 在运动过程中的自由度问题。在动力问题中，体系的 自由度指确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所 需的独立几何参数的数目。 集中质量法把连续分布的质量集中在若干质点上，把 无限自由度问题简化为有限自由度问题，从而简化了 m3 动力问题的分析。 M3
时间（秒）
4.1.2 结构动力特性
齐次方程的通解代表结构的固有振动或自由振动
通解为，
( z , t ) ( z ) f (t )

C C Ccr 2m
m C EI 0
自振挠曲线的形状，即振型 振幅的衰减函数
wt C1 cos d t C2 sin d t f ( t ) e 其中，
m2
不考虑竖向振动时，平 面结构的集中质量法
M2 M1
m1
集中化描述举例
a、水塔建筑 b、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）
h
h h
主要质量：水箱部分 次要质量：塔柱部分 水塔 水箱全部质量 部分塔柱质量 集中到水箱质心
(a) 水塔
(b) 厂房
主要质量：屋面部分 集中到各跨屋盖标高处 厂房
厂房各跨质量 (b)
图 单自由度体系简谐地面强迫振动振幅放大系数
g / 1

达到最大值
共振
2.方程的特解II——冲击强迫振动
地面冲击运动：
g x g ( ) x 0
g x m P 0
0 dt dt
0 dt
对质点冲击力：
dt
图 地面冲击运动
2.方程的特解I——简谐强迫振动
地面简谐运动
设
使体系产生简谐强迫振动
，代入运动方程
x g (t ) A sin g t
x 2 x 2 x Ag 2 sin g t
(0) 0 ）： 方程的特解（零初始条件 x(0) 0 x
g 2 g A( ) 1 ( ) sin g t 2 cos g t x(t ) 2 2 g 2 g 1 ( ) 2 ( )
2 d 1 2f d Td
2
A C12 C22
4.2桥梁结构地震反应分析方法
结构抗震设计理论发展过程主要经历三个阶段—— 静力法、动力反应谱法和动态时程分析法 4.2.1.静力理论阶段---静力法
1920年，日本大森房吉提出。 假设建筑物为绝对刚体。 地震作用：
g (t ) x
m
g (t ) m x
---地震系数：反映震级、震中距、地基 等的影响 将F作为静荷载，按静力计算方法计算结构的地震效应
4.2.2动力反映谱法
作用在质点上的三种力：
惯性力 、阻尼力
fI
、弹性恢复力
fr
fc
＊惯性力 ＊阻尼力
g ) f I m( x x
f c cx
4.1
1.基本概念：
概述
地震作用——地震引的结构振动，在结构中产生动力荷载效 应（内力、变形等），属于间接作用。地震作用是建筑抗震 设计的基本依据，取决于地震强弱、场地、结构动力特性等。 地震作用效应——地震作用在结构中产生的内力和变形。 结构动力特性——结构固有的动力性能，如自振周期、阻尼、 振型等。 动力自由度——动力分析时，具有一定质量的质点的振动方 向，与静力自由度有差异。 地基一般假定为不发生转动，地基运动仅考虑一个竖向 分量和两个水平分量。 上部结构的地震响应分析也仅考虑这 三个方向。
0 x(t ) c1 cos t c2 sin t t (c1 cos D t c2 sin D t ) （2）若 0 1 ，r1 、r 2 为共轭复数 x(t ) e 体系产生振动 2 其中 D 1 ——欠阻尼状态
（3）若
（4）若
二、运动方程的解
2x 2 x 0 齐次方程： x
自由振动：在没有外界激励的 情况下结构体系的运动
1.方程的齐次解——自由振动
方程的解：
特征方程 r 2 2 r 2 0
（1）若
特征根
r2 2 1
r1 2 1
当
t
1
c r 2m
临界阻尼系数：
临界阻尼比（简称阻尼比）
图 各种阻尼下单自由度体系的自由振动

c cr
初始条件: 则
0 x (0) 初始位移 x 0 x(0) , 初始速度 x
c2 0 x0 x
c1 x0
D
体系自由振动位移时程 x(t ) e
2
g
化简为 x(t ) B sin( g t )
振幅放大系数
B A ( g / ) 2
g 2 g 1 ( ) 2 ( )
2
2
A —地面运动振幅 B —体系质点的振幅

1 2
0.2
0.5
1
2
5
g /
——由结构内摩擦及结构周围介质（如空气
水等）对结构运动的阻碍造成
C —— 阻尼系数
＊弹性恢复力 ——由结构弹性变形产生
f r kx
k —— 体系刚度
力的平衡条件：
f I fc fr 0
cx kx m g m x x
令
c k 2m m
2x 2 x g x x
根据自由振动位移方程，可 得
x(t )
D
sin D t
图 体系自由振动
4.方程的特解III —— 一般强迫振动
地震地面运动一般为不规则往复运动
地面运动加速度时程曲线
求解方法：
将地面运动分解为很多个脉冲运动
t
时刻的地面运动脉冲
g ( )d x
引起的体系反应为：
0 t g ( )d x dx(t ) e (t ) sin D (t ) t D
叠加：体系在t时刻的地震反应为：
地面运动脉冲引起的单自由度体系反应
1 t ( t ) x(t ) dx(t ) xg ( )e sin D (t )d 0 D 0
t
杜哈密积分 方程通解（单自由度体系）： 体系地震反应（通解）=自由振动（齐次解）+强迫振动（特解）
dz FD dz C
Fs dz EI dz
所以，
(a)
g (t )
u
(b)
图3Leabharlann Baidu2 桥墩地震水平挠曲振动示意图
0.4 0.3
m C EI m
加 速 g度 (g)
0.2 0.1 0.0 -0.1 -0.2 -0.3 0 5 10 15 20 25
例题3-1 已知一水塔结构，可简化为单自由度体系（见图）。
m 10000kg， k 1kN/cm
求该结构的自振周期。
h h
m 解：直接由式 T 2 k
并采用国际单位可得:
(a) 水塔
2
m 10000 T 2 2 1 . 99 s k 1 10 3 / 10 2
当
t
[ x0 cos D t
0 x0 x
D
sin D t ]
0 （无阻尼） x(t ) x0 cos t x0 sin t 无阻尼单自由度体系 自由振动为简谐振动 k ——固有频率
T 2
m

2
m k
——固有周期
有阻尼体系 自振的振幅将不断衰减，直至消失
b. 无限柔性结构（ 0 ） ： SD g ,max , SV g ,max , SA 0