结构动力学第二章 运动方程的建立
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非保守力做功的变分等于0。
t2 (T V )dt t2 Wncdt 0
t1
t1
Wnc Pncju j
j
其中：
T —— 体系的总动能； V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Wnc—— 作用于体系上非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的功； δ —— 指（在指定时间段内）所取的变分。
对弹性体系也被称为弹性恢复力 弹性恢复力：大小等于弹簧刚度与位移（弹簧变形）的乘积，
方向指向体系的平衡位置。
fs ku
s— 表示弹簧（Spring） k— 弹簧的刚度（Spring Stiffness） u— 质点位移
2.1 基本动力体系
单层框架结构的水平刚度
k
24EIc h3
3 3
1 4
Ib / Ic
fs fs(u ,u)
Fs 是位移和速度的 非线性函数。
图2.6 非弹性体系中结构构件的力与位移关系
2.2 运动方程的建立
1. 利用牛顿（Newton）第二定律
F ma
F p(t) fD fs
图2.7单质点体系的受力分析
ma fD fs p(t)
a u fD cu fs ku
D’Alembert原理的贡献：建立了动力平衡概念
2.2 运动方程的建立
3. 虚位移原理
虚位移原理：在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时， 外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。
虚位移是指满足体系约束条件的无限小位移。
设体系发生一个虚位移δu，则平衡力系在δu 上做的总虚功为:
p(t)u fIu fDu fsu 0
2.2 运动方程的建立
4. Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法)
Hamilton原理的优点：不明显使用惯性力和弹性力，而分别用 对动能和位能的变分代替。因而对这两项来讲，仅涉及处理 纯的标量，即能量。
而在虚位移中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和 虚位移则都是矢量。
动能：集中质量 T 1 mu2
图2.8 单质点体系的受力分析
p(t) fI fD fs 0
fI mu fD cu
fs ku
mu cu ku p(t)
2.2 运动方程的建立
2. D’Alembert原理（直接动力平衡法）
D’Alembert原理的优点：静力问题是人们所熟悉的，有了
D’Alembert 原理之后，形式上动力问题就变成了静力问题， 静力问题中用来建立控制方程的方法，都可以用于建立动力 问题的平衡方程，使对动力问题的思考有一定的简化。对很 多问题，D’Alembert原理是用于建立运动方程的最直接、最 简便的方法。
对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些
2.2 运动方程的建立
4. Hamilton原理
应用变分法来建立结构体系的运动方程。 动力学中广泛应用的变分法是Hamilton原理 体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值, 一般是极小值。
Hamilton原理：在任意时间区段[t1, t2]内，体系的动能和位能的变分加上
结构动力学
第二章 运动方程的建立
运动方程：描述结构中力与位移关系的数学表达式 （有时称动力方程）
运动方程是进行结构动力分析的基础 运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
2.1 基本动力体系
单自由度体系：SDOF（Single－Degree－of－Freedom－System）
结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定
mu cu ku p(t)
单质点体系运动时要满足的控制方程—运动方程
2.2 运动方程的建立
利用牛顿第二定律的优点 牛顿第二定律是基于物理学中已有知识的直接应用 以人们最容易接受的知识建立体系的运动方程
2.2 运动方程的建立
2. D’Alembert原理（直接动力平衡法）
D’Alembert原理：在体系运动的任一瞬时，如果除了实际作用结构的主动力 （包括阻尼力）和约束反力外，再加上（假想的）惯性力， 则在该时刻体系将处于假想的平衡状态（动力平衡）。
p(t) fI fD fs 0 fI mu fD cu fs ku
mu cu ku p(t)
图2.8 单质点体系的受力分析
2.2 运动方程的建立
3. 虚位移原理
虚位移原理的优点：虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之 上，而虚功是一个标量，可以按代数方式运算，因 而比Newton第二定律，或D’Alembert原理中需要采 用的矢量运算更简便。
h—框架结构的高度 E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩
ρ→∞：Baidu Nhomakorabea
k
24EIc h3
ρ→0
：
k
6EIc h3
2.1 基本动力体系
3. 阻尼力（Damping Force）
阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用 阻尼来源（物理机制）： (1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。
粘滞(性)阻尼力可表示为：
fD cu
D — 阻尼（damping）
uc
— —
阻尼系数（Damping 质点的运动速度
coefficient）
2.1 基本动力体系 4. 非弹性体系 (Inelastic System)
结构构件的力—变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数。 构件（或弹簧）的恢复力可表示为
惯性：保持物体运动状态的能力 惯性力： 大小等于物体的质量与加速度的乘积，
方向与加速度的方向相反。
fI mu
I — 惯性（Inertial）； m— 质量（mass） ； ü — 质点的加速度。
坐标方向：向右为正
2.1 基本动力体系
2. 恢复力（Resisting Force of Spring）
2
转动质量 T 1 J2
2
位能：拉伸弹簧 V 1 ku2
2
图2.1 结构动力分析中常用的单自由度体系力学模型
2.1 基本动力体系
（a）单层框架结构 （b）弹簧―质点体系
两个典型的单自由度体系
物理元件： 质量
阻尼器 弹簧
集中质量m 阻尼系数c 弹簧刚度k
两个力学模型完全等效
两个体系的运动方程相同
2.1 基本动力体系
1. 惯性力（Inertial Force）
t2 (T V )dt t2 Wncdt 0
t1
t1
Wnc Pncju j
j
其中：
T —— 体系的总动能； V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Wnc—— 作用于体系上非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的功； δ —— 指（在指定时间段内）所取的变分。
对弹性体系也被称为弹性恢复力 弹性恢复力：大小等于弹簧刚度与位移（弹簧变形）的乘积，
方向指向体系的平衡位置。
fs ku
s— 表示弹簧（Spring） k— 弹簧的刚度（Spring Stiffness） u— 质点位移
2.1 基本动力体系
单层框架结构的水平刚度
k
24EIc h3
3 3
1 4
Ib / Ic
fs fs(u ,u)
Fs 是位移和速度的 非线性函数。
图2.6 非弹性体系中结构构件的力与位移关系
2.2 运动方程的建立
1. 利用牛顿（Newton）第二定律
F ma
F p(t) fD fs
图2.7单质点体系的受力分析
ma fD fs p(t)
a u fD cu fs ku
D’Alembert原理的贡献：建立了动力平衡概念
2.2 运动方程的建立
3. 虚位移原理
虚位移原理：在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时， 外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。
虚位移是指满足体系约束条件的无限小位移。
设体系发生一个虚位移δu，则平衡力系在δu 上做的总虚功为:
p(t)u fIu fDu fsu 0
2.2 运动方程的建立
4. Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法)
Hamilton原理的优点：不明显使用惯性力和弹性力，而分别用 对动能和位能的变分代替。因而对这两项来讲，仅涉及处理 纯的标量，即能量。
而在虚位移中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和 虚位移则都是矢量。
动能：集中质量 T 1 mu2
图2.8 单质点体系的受力分析
p(t) fI fD fs 0
fI mu fD cu
fs ku
mu cu ku p(t)
2.2 运动方程的建立
2. D’Alembert原理（直接动力平衡法）
D’Alembert原理的优点：静力问题是人们所熟悉的，有了
D’Alembert 原理之后，形式上动力问题就变成了静力问题， 静力问题中用来建立控制方程的方法，都可以用于建立动力 问题的平衡方程，使对动力问题的思考有一定的简化。对很 多问题，D’Alembert原理是用于建立运动方程的最直接、最 简便的方法。
对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些
2.2 运动方程的建立
4. Hamilton原理
应用变分法来建立结构体系的运动方程。 动力学中广泛应用的变分法是Hamilton原理 体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值, 一般是极小值。
Hamilton原理：在任意时间区段[t1, t2]内，体系的动能和位能的变分加上
结构动力学
第二章 运动方程的建立
运动方程：描述结构中力与位移关系的数学表达式 （有时称动力方程）
运动方程是进行结构动力分析的基础 运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
2.1 基本动力体系
单自由度体系：SDOF（Single－Degree－of－Freedom－System）
结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定
mu cu ku p(t)
单质点体系运动时要满足的控制方程—运动方程
2.2 运动方程的建立
利用牛顿第二定律的优点 牛顿第二定律是基于物理学中已有知识的直接应用 以人们最容易接受的知识建立体系的运动方程
2.2 运动方程的建立
2. D’Alembert原理（直接动力平衡法）
D’Alembert原理：在体系运动的任一瞬时，如果除了实际作用结构的主动力 （包括阻尼力）和约束反力外，再加上（假想的）惯性力， 则在该时刻体系将处于假想的平衡状态（动力平衡）。
p(t) fI fD fs 0 fI mu fD cu fs ku
mu cu ku p(t)
图2.8 单质点体系的受力分析
2.2 运动方程的建立
3. 虚位移原理
虚位移原理的优点：虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之 上，而虚功是一个标量，可以按代数方式运算，因 而比Newton第二定律，或D’Alembert原理中需要采 用的矢量运算更简便。
h—框架结构的高度 E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩
ρ→∞：Baidu Nhomakorabea
k
24EIc h3
ρ→0
：
k
6EIc h3
2.1 基本动力体系
3. 阻尼力（Damping Force）
阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用 阻尼来源（物理机制）： (1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。
粘滞(性)阻尼力可表示为：
fD cu
D — 阻尼（damping）
uc
— —
阻尼系数（Damping 质点的运动速度
coefficient）
2.1 基本动力体系 4. 非弹性体系 (Inelastic System)
结构构件的力—变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数。 构件（或弹簧）的恢复力可表示为
惯性：保持物体运动状态的能力 惯性力： 大小等于物体的质量与加速度的乘积，
方向与加速度的方向相反。
fI mu
I — 惯性（Inertial）； m— 质量（mass） ； ü — 质点的加速度。
坐标方向：向右为正
2.1 基本动力体系
2. 恢复力（Resisting Force of Spring）
2
转动质量 T 1 J2
2
位能：拉伸弹簧 V 1 ku2
2
图2.1 结构动力分析中常用的单自由度体系力学模型
2.1 基本动力体系
（a）单层框架结构 （b）弹簧―质点体系
两个典型的单自由度体系
物理元件： 质量
阻尼器 弹簧
集中质量m 阻尼系数c 弹簧刚度k
两个力学模型完全等效
两个体系的运动方程相同
2.1 基本动力体系
1. 惯性力（Inertial Force）