第六章导行电磁场

这三种模式情况下得到的场极化的简化， 很容易就能求出各个场量，但是实际上 的很多应用场合，单独一种模式不能满 足所有的边界条件，但它们的线性组合 总能满足这些特殊要求，并且提供一个 完整的普遍的解，这时的波称为混合波。
6.2 矩形波导中的导行电磁波


1、矩形波导（如图6.1）
矩形波导由良导体制成，一 般为了提高导电性能和抗腐 蚀性能，在波导内壁上镀上 一层高电导率的金或银，为 了简化分析，一般把波导的 良导电体壁近似为理想导体 壁矩形波导中只能存在TM波 或TE波，不可能存在TEM波。
6.5光导纤维问题


光纤是圆柱状介质波导，石英光纤中光 的波长通常在0.8~1.8μm的红外光范围 内，光纤的模式理论是电磁场与电磁波 的重要应用之一。图6.10光纤的结构光 纤的结构如图6.10所示，是由纤芯和包 层组成。纤芯的半径为a，折射率一般 用n1表示，包层的半径为b，折射率为 n2，这里没有画出涂覆层及护套。 光纤的种类繁多，按折射率分布可分为 阶跃型光纤和渐变型光纤。所谓阶跃型 光纤是纤芯的折射率n1为常数，不随半 径发生变化； 而渐变型光纤是纤芯的 折射率随半径发生变化，即n1=n1(r)。
根据电磁场的边界条件，得到面电流密度的瞬时表达式：
绘出波导壁电流分布如图6.6所示 从TE10模面电流密度的瞬时表达式或波导 壁电流分布还可以看出在宽边的中央 位置（即 y=0 或 y=b 面上 x=a/2 ），面 电流密度 Js 只有 z 轴方向的分量。利用 这个性质，可以在宽边沿中央位置切 一很小的细缝，实现观测而对波导内 场分布的影响可以忽略。

由U和W可以引入归一化频率V,定义为
V2=U2+W2
（6.9.10）
式中：
所以：
（6.9.11）
式中：
导波截止时的归一化频率称为归一化截止频率Vc。 ∴V>Vc 称为导波条件。 下面分别来求各种模式的归一化截止频率Vc。
（1） TE0n和TM0n

取m=0，截止时W→0，则 Vc=Uc=u0n 式中 u01=2.405 u02=5.520 u03=8.654… 即 Vc(TE01)=Vc(TM01)=2.405, Vc(TE02)=Vc(TM02)=5.520, Vc(TE03)=Vc(TM03)=8.654
4.截止频率和截止长度

不同模式的电磁波，其截止频率fc或截止波长 λc是不相同的。几个低阶模的截止波长：
5. 相速、群速和波阻抗

（1） 相速vp TE波或TM波：
式中： TEM波：
（6.2.9）
（6.2.10）
由此可见,TE波或TM波的相速与TEM波的相速并不相同。
（2） 群速vg（调幅波包络的运动速度，也就是能 量的传播速度） （6.2.11）
TE波或TM波：
TEM波：
（6.2.12）
TE波或TM波与TEM波的群速也不相同。TE波或TM波的相 速大于介质中的光速，而群速要小于介质中的光速。
（3） 波阻抗（波导电子波阻抗定义为相互垂直的 横向电场分量与横向磁场分量之比） TE波：
（6.2.13）
TM波： 式中：
（6.2.14）
TE波与TM波的波阻抗是不同的。
（1） TM模的截止波长
（6.4.13） （6.4.14） umn的前几个值由表6.1给出
（2） TE模的截止波长
（6.4.15） （6.4.16） U’mn的前几个值由表6.2给出

按照以上方法可分别求出 几种低阶模的截止波长λc： TE01： 1.64a TE11： 3.41a TE21： 2.06a TM01： 2.62a TM11： 1.64a TM21： 1.22a 把这些截止波长λc按其大小 排列，如图6.9所示。

2 c 2 2

一般情况下，电场和磁场不仅有横向分 量，还有纵向分量，则电场强度E和磁场 强度H可表示为：
E Et Ez Et ez Ez H Ht H z Ht ez H z
（6.1.3） （6.1.4）
把(6.1.3)和(6.1.4)代入(6.1.1)和(6.1.2)，得：
（6.1.5）
（6.1.6）
（6.1.7）
（6.1.8）
（6.1.6）和（6.1.8）是两个标量偏微分方程，很容易 求 Ez和Hz

利用麦克斯韦方程即可求出Et和Ht E z H z 1 E x 2 ( j ) （6.1.9）
kc x y E z H z 1 E y 2 ( j ) kc y x H z E z 1 H x 2 ( j ) kc x y H z E z 1 H y 2 ( j ) kc y x
2、矩形波导中的TM波
（6.2.1） （6.2.2） （6.2.3） （6.2.4） 式中：
波导中传输的TM波有如下特性：



（1） m、n为整数，m=1,2,3,…,n=1,2,3,…。m和n 取值不同，TM波的场结构模式不同。 （2） TM波的场结构模式可以用TMmn表示。不同模 式的场，即不同的m和n的取值，有两个方面不同： 一是横截面的场分布不同，二是传播的相位系数不同。 （3） 由于m和n不能取零，所以矩形波导中TM00、 TM0n、TMn0波形不能存在，TM波中最简单的波形是 TM11。矩形波导中TM11和TM21的场结构如图6.2所示。 （“——”为电力线，“”为磁力线）
2. 圆波导中的TE波
（6.4.9）
（6.4.10）
（6.4.11） （6.4.12）
3. 截止波长

不同m和n的电磁场结构是不同的，人 们把圆波导中的电磁场用TEmn、TMmn 来表示，其中m表示场量沿波导的圆周 出现最大值的对数，n表示场量沿波导 的半径出现的最大值的个数。截止波长 即为传播常数γ=0时的波长，不同模式 的截止波长是不相同的。下面分别求出。
（6.1.10） （6.1.11） （6.1.12）

Ex
圆对称形波导往往采用圆标坐标系。在圆坐标 坐标系中，横向场的表达式为： （6.1.13） E z 1 1 H z
k
2 c
(
r
j
r
)
E Hr H
H z 1 1 E z ( j ) 2 kc r r H z 1 1 E z ( j ) 2 kc r r
第六章 导行电磁波
6.1 导行电磁波的一般分析方法
电磁波沿着波导传播，设波导中的正弦电磁 波是沿着z轴方向传播，即各场量都包含e-rz 因子，并利用横向微分算子 t 的概念，得： 波导中电场的波动方程： 2 2 T E kc E 0 （6.1.1） 式中： k k 波导中磁场的波动方程： 2 2 T H kc H 0 （6.1.2）
例6.2 3种型号的空气填充的矩形波导，尺寸为 BJ-4058.20mm×29.10mm BJ-10022.86mm×10.16mm BJ-12019.05mm×9.52mm分别求出其单模范围。

解：矩形波导单模工作时 λc(TE20)<λ<λc(TE10)，即 a<λ<2a 所以其频率范围为 c/2a<f<c/a 将以上3种型号波导尺寸代入得 BJ-40：2.57~5.15GHz BJ-100：6.562~13.12GHz BJ-120：7.88~15.7GHz
3. 矩形波导中的TE波
（6.2.5） （6.2.6） （6.2.7） （6.2.8） 式中：
由式(6.2.5)~(6.2.8)可以看出：



（1） m和n取值不同，TE波的场结构模式也不相同。 为了保证Hx、Hy、Hz、Ex、Ey这5个场量不全为零， m和n不能同时为零。 （2） TE波的场结构模式可以用TEmn表示，不同模 式的场也有横截面上的场分布和传播的相位常数两 个方面的不同。 （3） 由于m和n不能同时为零，所以矩形波导中 TE00波型不能存在，TE波最低模式是TE10。矩形波 导中TE10、TE11、TE21、TE02的场结构如图6.3所示。 （“——”为电力线，“”为磁力线）
（6.1.14） （6.1.15） （6.1.16）
E y 1 1 H z 2 ( j ) kc r r
在均匀波导的电磁波也可分为三种模式：
①
②
③
横电磁波，简称TEM波，这种模式的电磁波 在传播方向上没有电场分量，也没有磁场 分量，即Ez=Hz=0 横磁波，简称TM波，这种模式的电磁波在 传播方向上有电场分量，但是没有磁场分 量，即 H z 0 横电波，简称TE波，这种模式的电磁波在 传播方向没有电场分量，但是有磁场分量， Ez 0 即
从图6.9可以清楚看到，λc(TE11) 最长，所以TE11是圆波导主模。 在λ>λc(TE11)时，所有模式都处 于截止状态； 当 λc(TE11)>λ>λc(TM01)时，只有 TE11一种模式传输，所以圆波 导的单模传输条件为 2.62a<λ<3.41a
4. 简并现象





圆波导中的导行波存在着简并现象，即不同模式的电磁场具 有相同的截止波长、相同的传输特性的现象，分为E-H简并和 极化简并。 （1） E-H简并 从图6.9可以看出，TE01和TM11的截止波长是相同的，从贝塞 尔函数可以证明TE0n和TM1n模简并。 （2） 极化简并 从前面推导出来的公式可以任何一个场量都包含cosmφ和 sinmφ两个线性无关的互相正交的独立成分。但这两种独立成 分却有相同的截止波长、传输特性和完全相同的场结构。所 以它们是互相简并的，称为极化简并。 圆波导中的TE11模也存在极化简并，这对于长距离传输电磁信 号是不利的，因为圆波导由于机械加工等原因，会出现不圆 度，将使极化简并模破坏。
例6.1空气填充的矩形波导a=22.86mm,b=10.16mm，频率 为f=14GHz的电磁波在该波导中有哪些模式是传导模？当 该波导填充εr=2、μr=1的介质后，在同一频率下，又有哪 些模式是传导模?
6.3矩形波导中的TE10波

矩形波导单模传输时，传输的是TE10，因此TE10也 称为矩形波导的主模或工作模。TE10作为矩形波导 的工作模式，具有以下突出的优点： （1） 可以通过设计波导尺寸实现单模传输； （2） 具有最宽的工作频带； （3） 在同一截止波长下，传输TE10波所要求的a边尺 寸最小，而且与b边无关，所以可节约材料。理论上， b边越小，越节省材料，但考虑到波导击穿和衰减增 大等问题，波导较小时，b取0.4a~0.5a； 波导较大 时b取0.1a~0.2a。波导尺寸已经标准系列化，可由 微波工程手册查到； （4） 在给定频率下具有最小衰减。
1. 阶跃光纤的电磁场解 （6.5.1） （6.5.2）
（6.5.3）
（6.5.4）
（6.5.5）
（6.5.6） （6.5.7） （6.5.8） 特征方程：
（6.5.9）
2. 导波模式
（1） 光导纤维不存在TEM模 （2） 存在TE0n和TM0n （3） 存在HEmn和EHmn
3. 归一化截止频率Vc
6.4圆柱形波导的导行电磁波

圆柱形波导是横截面为圆形的 空心金属波导管，其结构如图 6.7所示，图中圆柱形波导的内 半径为a。
（6.4.1） （6.4.2） （6.4.3）
（6.4.4）
1. 圆波导中的TM波

TM波的场量为：
（6.4.5） （6.4.6） （6.4.7） （6.4.8）
式中E0为常数，它的大小由激励源决定。

TE10模只有Ey、Hx、Hz三个场分量，这三个场分量均 与坐标y无关，电磁场沿y轴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ向无变化，呈现均匀 分布。Ey、Hx、Hz的瞬时值表达式为:
（6.3.1）
（6.3.2）
（6.3.3）

TE10模电磁场结 构立体图如图 6.5所示。随时 间t增加，TE10模 的场结构以相速 vp向+z方向运动
（2） EH模 Vc=Uc=umn （3） HE模 m=1时，Vc(HE11)=0,Vc(HE1n)=u1,n-1 m≥2时，Vc=Uc=um-2,n 把以上讨论总结为表6.3。表中标量模是标 量近似法得出的，因为具有线性偏振性，又 称线性偏振模