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24.4弧长及扇形面积(第1课时)课件
r
例1 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘 米，求这个扇形的面积和周长．（π≈3.14） 解:因为n＝60°，r＝10厘米，所以扇形面积为
nr 2 60 3.14 10 2 S ≈52.33(平方厘米)； 360 360
扇形的周长为
l nr 60 3.14 10 2r 20 180 180
90 图 23.3.2 360
图 23.3.2
45 360 n 360
图 23.3.2
n r 2 360
图 23.3.2
结论：
如果扇形面积为s，圆心角度数为n，圆半径 是r，那么扇形面积计算公式为
Q l n° r O
扇形面 积S
n 2 s r 360 nr r 1
180
lr 2 2
D
有水部分的面积 = S扇+ S△
A
E
B
0
0.24 0.09 3
C
4、如图所示，分别以n边形的顶点为圆心， 以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之 和为 个平方单位．
一、弧长的计算公式
n nr l 2r 360 180
二、扇形面积计算公式
n 1 2 s r 或s lr 360 2
n nr 50 l 2r = 3 cm 360 180
50 答：此圆弧的长度为 cm 3
例2制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长 度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度 L(单 位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB
180
的长
L 100 900 500 1570（mm）
3
2
3
cm
人教版九年级数学上册第24章 圆 弧长和扇形面积
24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
1.通过自主探究得出弧长的计算公式，体验从特殊到一般的学习
方法，发展学生的推理能力.
2.通过小组讨论推导出扇形面积公式，会推导弧长和扇形面积之
间的关系，学会利用类比的思想方法解决问题.
3.通过练习恰当熟练地运用公式计算弧长、扇形的面积，增强学
生的数学运用能力.
3
4.试着总结圆心角为 ᵒ的扇形面积公式.
扇形 =
=
教师讲评
知识点1．弧长（重点）
n°的圆心角所对的弧长为l= .
知识点2．扇形面积（重点）
1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如
图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
2.扇形面积：
旧知回顾
还记得小学学过的圆的周长和面积公式吗？
(C=πd=2πr,S=πr²)
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐朝诗人王之涣在《登鹳雀楼》一诗中的诗句
，那么同学们想过没有，如果真的要看千里之遥，要“站”多高呢？
如图，地球上B、C两点间的距离指的是球面上两点间的距离，也就是什么的
长？（弧BC的长）
假设弧BC的长为500km，如果地球的半径是6400km，你能算出视线AC的
(2)由(1)易得 =
,
=
, ∠
= °.
∴阴影部分的面积=扇形OAB的面积 −△ 的面积
=
×
− × ×
×
= −
.
第1课时 弧长和扇形面积
1.通过自主探究得出弧长的计算公式，体验从特殊到一般的学习
方法，发展学生的推理能力.
2.通过小组讨论推导出扇形面积公式，会推导弧长和扇形面积之
间的关系，学会利用类比的思想方法解决问题.
3.通过练习恰当熟练地运用公式计算弧长、扇形的面积，增强学
生的数学运用能力.
3
4.试着总结圆心角为 ᵒ的扇形面积公式.
扇形 =
=
教师讲评
知识点1．弧长（重点）
n°的圆心角所对的弧长为l= .
知识点2．扇形面积（重点）
1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如
图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
2.扇形面积：
旧知回顾
还记得小学学过的圆的周长和面积公式吗？
(C=πd=2πr,S=πr²)
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐朝诗人王之涣在《登鹳雀楼》一诗中的诗句
，那么同学们想过没有，如果真的要看千里之遥，要“站”多高呢？
如图，地球上B、C两点间的距离指的是球面上两点间的距离，也就是什么的
长？（弧BC的长）
假设弧BC的长为500km，如果地球的半径是6400km，你能算出视线AC的
(2)由(1)易得 =
,
=
, ∠
= °.
∴阴影部分的面积=扇形OAB的面积 −△ 的面积
=
×
− × ×
×
= −
.
【课件】24.4弧长和扇形面积
∴AF＝ AB2＋BF2＝ 22＋12＝ 5.由平行四边形的性质，△FEC≌
△CGF，∴S△FEC＝S△CGF，∴S 阴影＝S 扇形 BAC＋S△ABF＋S△FGC－S 扇形 FAG
＝90×3π60×22＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90×π
×（ 360
5）2＝52－π4
16．(2014·昆明)如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，D 是边 AC 上的一点，连接 BD，使∠A＝2∠1，E 是 BC 上的一点，以 BE 为直径的⊙O 经过点 D.
(1)求证：AC 是⊙O 的切线； (2)若∠A＝60°，⊙O 的半径为 2，求阴影部分的面积．(结果
保留根号和π)
解：(1)连接 OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠BDO，∴∠DOC＝2 ∠1＝∠A.在 Rt△ABC 中，∠A＋∠C＝90°，即∠DOC＋∠C＝90 °，∴∠ODC＝90°，即 OD⊥DC，∴AC 为圆 O 的切线
3．已知扇形的圆心角为 45°，弧长等于π2 ，则该扇形的半径是 ___2__．
4．(2014·兰州)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30
°，AB＝2.将△ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋转 60°得△A′B′C，则点
B 转过的路径长为(B )
π A. 3
3π B. 3
2π C. 3
∠FAB＝90°.∵线段 AF 绕点 F 顺时针旋转 90°得线段 FG，∴∠
AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC
∥FG.∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四边形 EFGC 是平行四
边形，∴EF∥CG
(2)∵AB＝2，E 是 AB 的中点，∴FB＝BE＝12AB＝12×2＝1，
24.4 弧长和扇形面积(第1课时)
24.4 弧长和扇形面积(第1课时)一、学习目标：1. 了解扇形的概念，理解n •°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用。
2. 通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长L=2180n Rπ和扇形面积S 扇=2360n R π的计算公式，并应用这些公式解决一些题目。
二、学习重点、难点：1. 重点：n°的圆心角所对的弧长L=180n R π，扇形面积S 扇=2360n R π及其它们的应用。
2. 难点：两个公式的应用。
三、学习过程： （一）温故知新1．圆的周长公式是 。
2．圆的面积公式是 。
3．什么叫弧长？ （二）自主学习自学教材P 110----P 111，思考下列内容：1.圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 1°的圆心角所对的弧长是_______。
2°的圆心角所对的弧长是_______。
4°的圆心角所对的弧长是_______。
……n°的圆心角所对的弧长是_______。
2.什么叫扇形？3.圆的面积可以看作 度圆心角所对的扇形的面积； 设圆的半径为R ，1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______。
设圆的半径为R ，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
设圆的半径为R ，5°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______。
……设圆的半径为R ，n°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______。
4.比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长表示扇形的面积？（三）合作探究例1．如右图，水平放置的圆柱形排水管道的界面半径是0.6m，其中水面高0.3m。
求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求AB的长（•结果精确到0．1）和扇形AOB的面积结果精确到0．1）（四）巩固练习1.有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81度，求这段圆弧的半径R（精确到0.1m）2.如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以a/2为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积。
人教版九年级数学上册《弧长和扇形面积》圆PPT课件(第1课时)
（2）弧长单位和半径单位一致.
创设情境
探究新知
应用新知
巩固新知
做一做
弧长公式
：
l=
π
180
1.在半径为24 cm的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 4π cm，
60°的圆心角所对的弧长为 8π cm，120°的圆心角所对的弧
长为
16π cm.
2.半径为6 cm的圆中，75°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm；
D．80°
，扇形OAB的面积为15π，则
(
巩固新知
π，半径是6，那么此扇形的
AB 所对的圆心角是（ B ）
课堂小结
布置作业
A．120°
B．72°
C．36°
D．60°
创设情境
随堂练习
3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水
探究新知
面高0.9 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
线，垂足为D，交
于点C，连接
O●
巩固新知
课堂小结
布置作业
AC.
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
∴OD=OC-DC=0.3（m）.
∴OD=DC.
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
A
D
C
B
创设情境
典型例题
【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，
探究新知
圆心角
有关，
创设情境
典型例题
【例1】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，
探究新知
再下料，试计算图所示管道的展直长度L (结果取整数) .
A
创设情境
探究新知
应用新知
巩固新知
做一做
弧长公式
：
l=
π
180
1.在半径为24 cm的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 4π cm，
60°的圆心角所对的弧长为 8π cm，120°的圆心角所对的弧
长为
16π cm.
2.半径为6 cm的圆中，75°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm；
D．80°
，扇形OAB的面积为15π，则
(
巩固新知
π，半径是6，那么此扇形的
AB 所对的圆心角是（ B ）
课堂小结
布置作业
A．120°
B．72°
C．36°
D．60°
创设情境
随堂练习
3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水
探究新知
面高0.9 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
线，垂足为D，交
于点C，连接
O●
巩固新知
课堂小结
布置作业
AC.
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
∴OD=OC-DC=0.3（m）.
∴OD=DC.
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
A
D
C
B
创设情境
典型例题
【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，
探究新知
圆心角
有关，
创设情境
典型例题
【例1】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，
探究新知
再下料，试计算图所示管道的展直长度L (结果取整数) .
A
第二十四章圆 24.4 第1课时
2
课前预习
1. 圆心角为60°，半径为2 cm的扇形的弧长是 __________cm. 2. 已知扇形的半径为3 cm，面积为6π cm2，则该扇形 的弧长等于___4_π___c_m__ .
3
课堂讲练
典型例题
知识点1：弧长的计算 【例1】 在半径为6 cm的圆中，求120°的圆心角所对 的弧长.
解：（1）∵弧长l=
=20ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
∴r=
=24（cm）.
（2）扇形面积= lr= ×20π×24=240π（cm2）.
10
课堂讲练
3. 如图24-4-3，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB， ∠CAD=30°，求阴影部分的面积. （结果保留π） 解：如答图24-4-2所示，连接OC,OD. ∵∠CAD=30°，∴∠COD=60°. ∵AB∥CD，∴S△ACD=S△COD ∴阴影部分的面积=S弓形CD+S△ACD=扇形OCD的面积=
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积（一）
1
课前预习
A. 弧长及扇形面积公式： （1）弧长公式：__________（其中n为弧所对的圆心角 的度数）； （2）扇形面积公式：______________或_____=____l_R__ （其中n为弧长所对的圆心角的度数，l为扇形的弧长， R为半径）.
A. 175π cm2
C.
cm2
B. 350π cm2 D. 150π cm2
13
分层训练
3. 如图24-4-6，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为 90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ A ） A. π-2 B. π-4 C. 4π-2 D. 4π-4 4. （2017菏泽）一个扇形的圆心角为100°，面积为 15πcm2，则此扇形的半径长为__________.
课前预习
1. 圆心角为60°，半径为2 cm的扇形的弧长是 __________cm. 2. 已知扇形的半径为3 cm，面积为6π cm2，则该扇形 的弧长等于___4_π___c_m__ .
3
课堂讲练
典型例题
知识点1：弧长的计算 【例1】 在半径为6 cm的圆中，求120°的圆心角所对 的弧长.
解：（1）∵弧长l=
=20ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
∴r=
=24（cm）.
（2）扇形面积= lr= ×20π×24=240π（cm2）.
10
课堂讲练
3. 如图24-4-3，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB， ∠CAD=30°，求阴影部分的面积. （结果保留π） 解：如答图24-4-2所示，连接OC,OD. ∵∠CAD=30°，∴∠COD=60°. ∵AB∥CD，∴S△ACD=S△COD ∴阴影部分的面积=S弓形CD+S△ACD=扇形OCD的面积=
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积（一）
1
课前预习
A. 弧长及扇形面积公式： （1）弧长公式：__________（其中n为弧所对的圆心角 的度数）； （2）扇形面积公式：______________或_____=____l_R__ （其中n为弧长所对的圆心角的度数，l为扇形的弧长， R为半径）.
A. 175π cm2
C.
cm2
B. 350π cm2 D. 150π cm2
13
分层训练
3. 如图24-4-6，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为 90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ A ） A. π-2 B. π-4 C. 4π-2 D. 4π-4 4. （2017菏泽）一个扇形的圆心角为100°，面积为 15πcm2，则此扇形的半径长为__________.
弧长和扇形面积公式课件
06
习题与答案
习题部分
总结词
弧长和扇形面积公式的基本概念 与计算方法
详细描述
本节旨在帮助学员了解弧长和扇形 面积的概念及计算方法。通过典型 例题的解析，让学员掌握弧长和扇 形面积公式的应用。
题目1
求半径为5的圆中，1/4圆的弧长。
习题部分
分析
本题考察弧长公式的应用， 需注意1/4圆的弧长是圆周 长的一部分。
解答
根据弧长公式，弧长=圆 周长×(弧所对圆心角 /360°)，1/4圆的弧长为 5π×(1/4/360°)。
题目2
求半径为4的圆中，1/6圆 的扇形面积。
习题部分
分析
本题考察扇形面积公式的应用，需注意1/6 圆的扇形是圆面积的一部分。
解答
根据扇形面积公式，面积=(圆半径^2)×(弧 所对圆心角/360°)，1/6圆的扇形面积为 4^2×(1/6/360°)。
常运转。
物理学
在物理学中，弧长和扇形面积被 用来描述和计算各种圆形物体或 粒子的运动轨迹和能量分布等。
04
弧长和扇形面积公式的实践应用
在数学中的运用
弧长公式
弧长公式常用于解决与圆弧或曲线的长 度相关的问题，例如在几何学或解析几 何中。
VS
扇形面积公式
扇形面积公式在解决几何学问题中非常有 用，例如计算多边形的面积或了解星球的 形状和大小。
α=θ/360°×2π，其中θ为 角度制。
角度与弧度转换
1弧度=57.3°，1°=π/180 弧度。
弧长公式的推导
推导过程
由圆的周长公式C=2πR，可得弧长公式L=C×∣θ/360°∣，进一步可得 L=∣α∣×R。
圆周角与圆心角关系
圆周角θ与圆心角α之间的关系为α=θ/360°。