协方差和相关系数的计算.ppt

由 E( X) ? E(Y) ? 0,
E(X2) ? ? 2
D( X) ? D(Y) ? ? 2
E(Y2) ? ? 2
cov(U ,V) ? (a 2 ? b2)? 2
而 D(U ) ? a 2D( X) ? b2D(Y) ? (a 2 ? b2 )? 2
D(V) ? a 2D( X) ? b2D(Y) ? (a 2 ? b2 )? 2
相互独立
X，Y 不相关．
例3 设 X，Y 相互独立，且都服从 N (0，? 2)， U = aX + bY ，V= aX - bY，a，b为常数，且都不为零， 求? UV ．
解 cov(U ,V) ? E(UV) ? E(U )E(V) ? a 2E( X 2 ) ? b2E(Y2 )
? ?aE (X) ? bE(Y)?a?E ( X) ? bE(Y)?
当D(X ) > 0， D(Y ) > 0 时，当且仅当
P(Y ? E(Y) ? t0 ( X ? E( X))) ? 1
时，等式成立 —Cauchy-Schwarz 不等式．
证明 令
g(t) ? E[(Y ? E(Y)) ? t(X ? E(X))]2 ? D(Y) ? 2t cov(X,Y) ? t 2D( X)
若 ? XY ? 0, 称 X，Y不相关．
无量纲 的量
协方差和相关系数的计算
—— 利用函数的期望或方差计算协方差
? cov(X,Y) ? E( XY) ? E( X)E(Y) ? ? 1 ?D(X ? Y) ? D( X) ? D(Y)?
2
? 若(X，Y)为离散型，
??
cov(X,Y) ? ?? (xi ? E( X))( yj ? E(Y))pij i?1 j?1
? ? cov(X,Y) ? ?? ?? (x ? ?1)(y ? ? 2) f (x, y)dxdy
令x??1? s
?1
? ? y??2?t
?2
?
? 1? 2
2? 1? ?2
ste dsdt ?? ??
?
1 2(1? ? 2
(s? )
?
t)2?
1t 2
2
?? ??
? ? 令s?? t?u ?
?1? 2
??
??
t(?
t
?
?
u)e
dudt u2
2(1? ?
2)?12t2
2? 1? ?2 ?? ??
? ? ? ? 1? 2?
e du t e dt u2
? ? ? 2(1? ? 2 )
??
2
?
1 t
2
2
2? 1? ? 2 ??
??
? ? 1? 2?
? XY ? ?
若 ( X，Y ) ~ N (? 1，? 12，? 2，? 22，?)，则X，Y
若D (X) > 0， D (Y) > 0 ，称
E??( X ? E( X))(Y ? E(Y) ?? ? ? D( X) D(Y) ?
为X，Y 的相关系数 ，记为
cov( X,Y) D( X) D(Y)
? XY ?
cov( X , Y) D ( X ) D (Y)
事实上，? XY ? cov( X? ,Y? )．
XY 1 0 P pq
E(X) ? p, E(Y) ? p, D(X) ? pq, D(Y) ? pq, E(XY) ? p, D(XY) ? pq,
cov(X,Y) ? pq, ? XY ? 1
例2 设 ( X ，Y ) ~ N ( ? 1，? 12，?2，? 22，?)， 求 ? XY．
解
?? ??
协方差和相关系数的定义
定义 称 E?( X ? E(X))(Y ? E(Y))?为X，Y的
协方差．记为 cov(X,Y) ? E?(X? E(X))(Y? E(Y))?．
称
? ?
D(X)
cov( X ,Y) ??
?cov(X,Y) D(Y) ?
为(X，Y)的协方差矩阵 ．
可以证明协方差矩阵为半正定矩阵．
即Y 与X 有线性关系的概率等于 1，这种线性关 系为
P??Y ? E(Y) ? ? X ? E( X) ?? ? 1
? D(Y)
D(X) ?
相关系数的性质
? | ? XY |? 1
? | ? XY |? 1 Cauchy-Schwarz 不等式的等号成
对任何实数 t ，g(t) ? 0
4cov2 (X,Y) ? 4D(X)D(Y) ? 0
即 | cov(X,Y) |2 ? D( X)D(Y)
等号成立
g(t) ? 0 有两个相等的实零点
t0
?
cov( X,Y) D( X)
?
??? ?
g(t0 ) ? 0 即
D(Y) ?? D(X) ?
E[(Y ? E(Y)) ? t0( X ? E( X))]2 ? 0 又显然 E[(Y ? E(Y)) ? t0 ( X ? E( X))] ? 0
故
? UV
?
a2 a2
? ?
b2 b2
继续讨论： a，b 取何值时， U，V 不相关？
此时，U，V 是否独立？
协方差和相关系数的性质
协方差的性质
? cov( X ,Y ) ? cov(Y , X ) ? E(XY ) ? E( X )E(Y ) ? cov(aX ,bY) ? ab cov(X,Y) ? cov(X ? Y, Z) ? cov(X, Z) ? cov(Y, Z) ? cov(X, X) ? D( X) ? | cov(X,Y) |2? D( X)D(Y)
D[(Y ? E(Y)) ? t0( X ? E( X))] ? 0 P[(Y ? E(Y)) ? t0( X ? E( X)) ? 0] ? 1 P[(Y ? E(Y)) ? t0 ( X ? E( X)) ? 0] ? 1 即 P[(Y ? E(Y)) ? t0( X ? E( X))] ? 1
§3.3.1 协方差和相关系数
问题 对于二维随机变量 (X ，Y)：
已知联合分布
边缘分布
这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各 自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系 ．问 题是用一个什么样的数去反映这种联系 ．
数 E(( X ? E( X))(Y ? E(Y))) 反映了随机变量 X ，
Y 之间的某种关系．
? 若(X，Y)为连续型，
? ? cov(X,Y) ? ?? ?? (x ? E(X))(y ? E(Y)) f (x, y)dxdy． ?? ??
例1 已知 X，Y的联合分布为：
pij X
Y
1
0
1
p
0
0
பைடு நூலகம்
0
q
求 cov (X，Y)，?XY．
解
0 < p <1 p+q= 1
X 10 P pq
Y 10 P pq