多尺度几何分析详解

多尺度几何分析详解

一、从小波分析到多尺度几何分析

小波分析取在从多学科领域中取得巨大成功的一个关键原因在于它比傅里叶分析能更“稀疏”地表示一维分段光滑或者有界变差函数。遗憾的是，小波分析在一维时所具有的优异特性并不能简单的推广到二维或更高维。这是因为一维小波张成的可分离小波(Separable wavelet)只具有有限的方向，不能“最优”表示含线或者面奇异的高维函数，但事实上具有线或面奇异的函数在高维空间中非常普遍，例如，自然物体光滑边界使得自然图像的不连续性往往体现为光滑曲线上的奇异性，而并不仅仅是点奇异。换句话说，在高维情况下，小波分析并不能充分利用数据本身特有的几何特征，并不是最优的或者说“最稀疏”的函数表示方法；而继小波分析之后发展起来的多尺度几何分析（Multiscale Geometric Analysis,MGA）发展的目的和动力正是要致力于发展一种新的高维函数的最优表示方法，为了检测、表示、处理某些高维空间数据，这些空间的主要特点是：其中数据的某些重要特征集中体现于其低维子集中（如曲线、面等）。比如，对于二维图像，主要特征可以由边缘所刻画，而在3-D图像中，其重要特征又体现为丝状物（filaments）和管状物（tubes）。

由一维小波张成的二维小波基具有正方形的支撑区间，不同的分辨率下，其支撑区间为不同尺寸大小的正方形。二维小波逼近奇异曲线的过程最终表现为用“点”来逼近线的过程。在尺度j，小波

支撑区间的边长近似为2-j，幅值超过2-j的小波系数的个数至少为O(2j)阶，当尺度变细时，非零小波系数的数目以指数形式增长，出现了大量不可忽略的系数，最终表现为不能“稀疏”表示原函数。因此，我们希望某种变换在逼近奇异曲线时，为了能充分利用原函数的几何正则性，其基的支撑区间应该表现为“长条形”，以达到用最少的系数来逼近奇异曲线。基的“长条形”支撑区间实际上是“方向”性的一种体现，也称为这种基具有“各向异性(anisotropy)”。我们希望的这种变换就是“多尺度几何分析”。

图像的多尺度几何分析方法分为自适应和非自适应两类，自适应的方法一般先进行边缘检测再利用边缘信息对原函数进行最优表示，实际上是边缘检测和图像表示方法的结合，此类方法以Bandelet和Wdgelet为代表；非自适应的方法并不要先验地知道图像本身的几何特征，而是直接将图像在一组固定的基或框架上进行分解，

这就摆脱了对图像自身结构的依赖，其代表为Ridgelet、Curvelet和Contourlet变换。

二、几种多尺度几何分析

1、脊波(Ridgelet)变换

脊波(Ridgelet)理论由EmmanuelJ Candès于1998年在其博士论文中提出，这是一种非自适应的高维函数表示方法，具有方向选择和识别能力，可以更有效地表示信号中具有方向性的奇异特征。脊波变换首先对图像进行Radon变换，即把图像中的一维奇异性比如图像中的直线映射成Randon域的一个点，然后用一维小波进行奇异性的检测，从而有效地解决了小波变换在处理二维图像时的问题。然而自然图像中的边缘线条以曲线居多，对整幅图像进行Ridgelet分析并不十分有效。为了解决含曲线奇异的多变量函数的稀疏逼近问题，1999年，Candes又提出了单尺度脊波(MonoscaleRidgelet)变换，并给出了其构建方法。另一种方法是对图像进行分块，使每个分块中的线条都近似直线，再对每个分块进行Ridgelet变换，这就是多尺度Ridgelet。脊波变换对于具有直线奇异的多变量函数有良好的逼近性能，也就是说对于纹理（线奇异性）丰富的图像，Ridgelet可以获得比小波更加稀疏的表示；但是对于含曲线奇异的多变量函数，其逼近性能只相当于小波变换，不具有最优的非线性逼近误差衰减阶。

2、曲波(Curvelet)变换

由于多尺度Ridgelet分析冗余度很大，Candès和Donoho于

1999年在Ridgelet变换的基础上提出了连续曲波（Curvelet）变换，即第一代Curvelet变换中的Curvelet99； 2002年，Strack、Candès和Donoho提出了第一代Curvelet变换中的Curvelet02。第一代Curvelet 变换实质上由Ridgelet理论衍生而来，是基于Ridgelet变换理论、多尺度Ridgelet变换理论和带通滤波器理论的一种变换。单尺度脊波变换的基本尺度是固定的，而Curvelet变换则不然，其在所有可能的尺度上进行分解，实际上Curvelet变换是由一种特殊的滤波过程和多尺度脊波变换(Multiscale Ridgelet Transform)组合而成：首先对图像进行子带分解；然后对不同尺度的子带图像采用不同大小的分块；最后对每个分块进行Ridgelet分析。如同微积分的定义一样，在足够小的尺度下，曲线可以被看作为直线，曲线奇异性就可以由直线奇异性来表示，因此可以将Curvelet变换称为“Ridgelet变换的积分”。

第一代Curvelet的数字实现比较复杂，需要子带分解、平滑分块、正规化和Ridgelet分析等一系列步骤，而且Curvelet金字塔的分解也带来了巨大的数据冗余量，因此Candès等人于2002年又提出了实现更简单、更便于理解的快速Curvelet变换算法，即第二代Curvelet (FastCurvelet transform)。第二代Curvelet与第一代Curvelet 在构造上己经完全不同。第一代Curvelet的构造思想是通过足够小的分块将曲线近似到每个分块中的直线来看待，然后利用局部的Ridgelet分析其特性，而二代的Curvelet和Ridgelet理论并没有关系，实现过程也无需用到Ridgelet，二者之间的相同点仅在于紧支撑、框架等抽象的数学意义。2005年，Candès和Donoho提出了两种基于

第二代Curvelet变换理论的快速离散Curvelet变换实现方法，分别是：非均匀空间抽样的二维FFT算法（Unequally-Spaced FastFourier Transform，USFFT）和Wrap算法（Wrapping-BasedTransform）。对于Curvelet变换，可在网上下载Matlab程序包Curvlab；Curvlab包里有Curvelet的快速离散算法的Matlab程序和C++程序。

3、轮廓波(Contourlet)变换

2002年，MN Do和Martin Vetterli提出了一种“真正”的图像二维表示方法：Contourlet变换，也称塔型方向滤波器组(Pyramidal Directional Filter Bank, PDFB)。Contourlet变换是利用拉普拉斯塔形分解(LP)和方向滤波器组(DFB)实现的另一种多分辨的、局域的、方向的图像表示方法。

Contourlet变换继承了Curvelet变换的各向异性尺度关系，因此，在一定意义上，可以认为是Curvelet变换的另一种快速有效的数字实现方式。Contourlet基的支撑区间是具有随尺度变化长宽比的“长条形”结构，具有方向性和各向异性，Contourlet系数中，表示图像边缘的系数能量更加集中，或者说Contourlet变换对于曲线有更“稀疏”的表达。Contourlet变换将多尺度分析和方向分析分拆进行，首先由LP(Laplacian pyramid)变换对图像进行多尺度分解以“捕获”点奇异，接着由方向滤波器组(Directional Filter Bank, DFB)将分布在同方向上的奇异点合成为一个系数。Contourlet变换的最终结果是用类似于轮廓段(Contour segment)的基结构来逼近原图像，这也是所以称之为