数值分析(计算方法)第一章
数值分析(计算方法)总结
第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限）为的相对误差，当较小时，令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即：绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。
例：设x==…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。
科学计数法：记有n位有效数字，精确到。
由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限）的和2.x-y近似值为3.xy近似值为4.1．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数3．避免大数吃小数4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为(a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|<E为止，此时取x*≈(x k+x k-1)/2作为近似根。
2.二分法设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0, f(b)>0.将[a0,b0]对分，中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0)。
3.比例法一般地，设[a k,b k]为有根区间，过(a k, f(a k))、(b k, f(b k))作直线，与x轴交于一点x k,则：1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。
数值分析第1章
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误差来源
• • • • 模型误差 方法误差 观测误差 舍入误差
2014/11/24
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来源一 : 模型误差
• 模型误差:在建立数学模型过程中,不可能将 所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这 就带来了与实际问题的误差。
2014/11/24
数值运算的误差估计
* * 四则运算，设x1, x2为准确值, x1 , x2为近似值，则误差限：
* * * ( x1* x2 ) ( x1 ) ( x2 ), * * * * * ( x1* x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 ), * * * * | x | ( x ) | x | ( x * * 1 2 2 1) ( x1 / x2 ) . * 2 | x2 |
3
• 方法可行性分析包含以下内容： 1.计算速度。 例 如,求解一个20 阶线性方 程组,用消元法需3000 次乘法运 算;而用克莱姆法则要进行20 10 7 . 9 ×次运算,如用每秒1 亿次乘法运 算的计算机要30 万年。 2.存储量。 大型问题有必要考虑。 3.精度。
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x x e 1 x ห้องสมุดไป่ตู้ 2! 3!
若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式, 由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差
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来源四: 舍入误差
• 计算机长有限 3.14159
• 注意:少量运算的舍入误差一般是微不足道的,但是 在计算 机上完成千白万次运算后 误差的积累很惊人.
数值分析1-误差及有效数字
（避免绝对值很大的数为乘数）
x1 1 x1 e e x ex 2 （避免 x2 为很小的数为除数） 1 2 x x x2 2 2
er x1 x2 x1 x2 er x1 er x 2 x1 x2 x1 x2
er x1 x2
这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
x s p
其中， s =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1],
s 中的正负号用一位数字区分；
β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。
1.4 误差危害的防止 （1）使用数值稳定的计算公式
数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足
en 1 1 en
，则称该计算公式是绝对稳定的
例：建立积分In=
1
0
xn dx x5
（n=0,1.........,20）
递推关系式，并分析误差传播影响。
解： I +5I
n
n-1=
x 5x 0 x 5 dx
1 n n -1
1
0
x n-1dx
x n
n
1
0
1 n
I 0=
1 0 x 5dx
1
ln x 5
1 0
=ln6-ln5
1 In -5In -1 n ∴递推式： I 0 ln6 - ln5
2
x1 x 2
2
e x1 e x 2
数值分析与计算方法 第一章 插值法
同 理 ： (t) 至 少 有n 个 互 异 零 点；
(t) 至 少 有n 1 个 零 点 ；
(n1) (t ) 至 少 有 一 个 零 点 ； 即 (a ，b)，
(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x)n1(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x) (n
1)!
f (n1) ( ) K ( x) (n 1)! 0
x x0 x1 x2 xn ， y f ( x)？ y y0 y1 y2 yn
（1）有的函数没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的 函数值可能不在该表格中。
（2）如果函数表达式本身比较复杂，计算量会很大；
对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单
的函数 P x来近似代替 f ( x)，求 P x 的方法称为插值法。
Ln1( x)
为此我们考虑对Lagrange插值多项式进行改写； ——由唯一性，仅是形式上的变化
期望：Ln ( x) 的计算只需要对Ln1( x)作一个简单的修正.
考虑 h( x) Ln ( x) Ln1( x) h( x) 是次数 n 的多项式，且有
h( x j ) Ln ( x j ) Ln1( x j ) 0 ，j 0 ，1，2 ，L ，n 1 ；
)
3
)
1 2
(x
(
4
6
6
)( x
)(
4
3
)
3
)
1
(
x
6
)(
x
4
)
2
(
3
6
)(
3
4
)
3 2
数值分析(计算方法)总结
第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是的绝对误差,是的误差，为的绝对误差限(或误差限）为的相对误差，当较小时，令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即:绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。
例:设x==3。
1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位.科学计数法：记有n位有效数字，精确到。
由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差(限）的和2.x-y近似值为3.xy近似值为4.1．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数3．避免大数吃小数4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1。
逐步搜索法设f (a) <0, f (b）〉 0，有根区间为 (a, b）,从x0=a出发，按某个预定步长（例如h=（b-a）/N）一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k）=f（a+kh）的符号，若f（x k)〉0(而f（x k-1）<0)，则有根区间缩小为［x k-1，x k] （若f（x k）=0,x k即为所求根)，然后从x k—1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：｜x k—x k-1｜< 为止，此时取x*≈(x k+x k-1）/2作为近似根.2。
二分法设f（x）的有根区间为［a,b]= [a0，b0], f（a）<0，f（b)〉0。
将［a0,b0]对分,中点x0= （(a0+b0)/2），计算f（x0）。
3.比例法一般地,设 [a k，b k］为有根区间，过（a k，f（a k）)、 (b k, f（b k）)作直线，与x轴交于一点x k，则:1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛.2。
数值分析第一章实验 误差分析
1. 计算11n x nI ex e dx -=⎰(n=0,1,2,……)并估计误差。
由分部积分可得计算n I 的递推公式111101,1,2,e 1.nn x I nI n I e dx e ---=-=⎧⎪⎨==-⎪⎩⎰……. （1） 若计算出0I ，代入（1）式，可逐次求出 12,,I I …的值。
要算出0I 就要先算出1e -，若用泰勒多项式展开部分和21(1)(1)1(1),2!!ke k ---≈+-+++…并取k=7,用4位小数计算，则得10.3679e -≈，截断误差14711|0.3679|108!4R e --=-≤<⨯.计算过程中小数点后第5位的数字按四舍五入原则舍入，由此产生的舍入误差这里先不讨论。
当初值取为000.6321I I ≈= 时，用（1）式递推的计算公式为 010.6321A 1nn I I nI -⎧=⎨=-⎩ （），n=1,2，…。
计算结果见表1的n I 列。
用0I 近似0I 产生的误差000E I I =- 就是初值误差，它对后面计算结果是有影响的.表1 计算结果从表1中看到8I 出现负值，这与一切0n I >相矛盾。
实际上，由积分估值得111110001011(im )(max)11x n n n x x e e m e x dx I e x dx n n ---≤≤≤≤=<<=++⎰⎰ （2） 因此，当n 较大时，用n I 近似n I 显然是不正确的。
这里计算公式与每步计算都是正确的，那么是什么原因合计算结果出现错误呢？主要就是初值0I 有误差000E I I =- ，由此引起以后各步计算的误差n n nE I I =- 满足关系1,1,2,n n E nE n -=-=….由此容易推得0(1)!n n E n E =-，这说明0I 有误差0E ，则n I 就是0E 的n!倍误差。
例如，n=8，若401||102E -=⨯，则80||8!||2E E =⨯>。
数值分析_第1章
x * 的第一位非零数字为止的所有数字
称为 有效数字。 x * 的有效数字。
（关心有效数字的位数） 关心有效数字的位数）
数学语言描述： 数学语言描述：
设 x = ± 0 .a 1 a 2 L × 10 m ,
x * = ± 0 .a1 a 2 L a n × 10 m
= ± ( a 1 × 10 − 1 + a 2 × பைடு நூலகம்0 − 2 L a n × 10 − n ) × 10 m ,
1 而 ε r ( x) = , 8726
y* = 0.8727 × 10 99 .
1 ε r ( y) = . 8726
ε ( x) = 0.0001×10 −99 , ε ( y ) = 0.0001×1099 .
三．有效数字 如果近似值
x * 的绝对误差限不超过
的某一位上的半个单位， x * 的某一位上的半个单位，则从该位起到
取 x * = xR = sR ×10 P , 则xR为 x 的舍入, xR ∈ F 且
1 1 −t P ×10 ×10 ×10−t xR − x 2 1 1−t 1 −t 2 ≤ = ≤ ×10 ×10 = ×10 . P x s ×10 s 2 2
p -1
s = 0 . d1 d 2 L d t L
1 (19) ( ≤ 10) s (20)
d1 ≠ 0 , d i = 0,1, L 9, i = 2, 3, L ,
0 . d1d 2 L d t 1.舍入法 : sR = 0 . d1d 2 L d t + 10 −t
0 ≤ d t +1 ≤ 4 < 5 1 d t +1 ≥ 5 = ×10 2
计算方法第一章 绪论
知称道，实为Er际近(x)计似算值时x的通相常对取误差，由于精确值 一般x不*
x* x
Er (x)
作为近似值x的相对误差。
x
若能求出一个正数 ，使r 得
E，r (x则) 称r 为近似r
值x的相对误差限。它是无量纲的数，通常用百分
比表示。
2021/6/26
整理课件
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例：甲用米尺测量10M长的物体，所产生的绝对 误差为2cm，乙用同一米尺测量1M长的物体，所产 生的绝对误差为1cm，他们谁的测量精度好？
用计算机解决科学计算问题的一般过程，可以概括为：
实际问题→数学模型→计算方法→ 程序设计→上机计算→结果分析
整理课件
由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立
数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务。 而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程 序上机算出结果，进而对计算结果进行分析，这 一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法 的研究对象。
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要 求，对近似算法要保证方法的收敛性和数值稳定性，还要对 误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
第三，要有好的计算复杂性（即时间复杂性和空间复杂 性）；时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省 存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否 在计算机上实现。
x x * 0.04 0.05 1 101 2
x 又 （0.3289） 1,故02该不等式又可写为
x x * 1 10 23 2
x 故 有3位有效数字，分别是 3,2，8。 x x 由于 中的数字9不是有效数字,故 不是有效数。
思考： 3.1415有几位有效数字？
2021/6/26
数值分析原理课件第一章
第一章 绪 论本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题．§1.1 引 言计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。
由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法． 这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括(1)非线性方程的近似求解方法；(2)线性代数方程组的求解方法；(3)函数的插值近似和数据的拟合近似；(4)积分和微分的近似计算方法；(5)常微分方程初值问题的数值解法；(6)优化问题的近似解法；等等从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”． 之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关．计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差．我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断，从而产生截断误差． 如的计算是无穷过程，当用作为的 +++=!21!111e !1!21!111n e n ++++= e 近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了截断误差．e e n - 当用计算机计算时，因为舍入误差的存在，我们也只能得到的近似值，也就是n e n e *e 说最终用近似，该近似值既包含有舍入误差，也包含有截断误差．*e e 当参与计算的原始数据是从仪器中观测得来时，也不可避免得有观测误差．由于这些误差的大量存在，我们得到的只能是近似结果，进而对这些结果的“可靠性”进行分析就是必须的，它成为计算方法的第二个显著特点． 可靠性分析包括原问题的适定性和算法的收敛性、稳定性．所谓适定性问题是指解存在、惟一，且解对原始数据具有连续依赖性的问题． 对于非适定问题的求解，通常需要作特殊的预处理，然后才能做数值计算． 在这里，如无特殊说明，都是对适定的问题进行求解．对于给定的算法，若有限步内得不到精确解，则需研究其收敛性． 收敛性是研究当允许计算时间越来越长时，是否能够得到越来越可靠的结果，也就是研究截断误差是否能够趋于零．对于给定的算法，稳定性分析是指随着计算过程的逐步向前推进，研究观测误差、舍入对于同一类模型问题的求解算法可能不止一种，常希望从中选出高效可靠的求解算法． 如我国南宋时期著名的数学家秦九韶就提出求n 次多项式值0111a x a x a x a n n nn ++++-- 的如下快速算法；n a s =； k n a t -=t sx s +=),,2,1(n k =它通过n 次乘法和n 次加法就计算出了任意n 次多项式的值． 再如幂函数可以通过如下64x 快速算法计算出其值；x s =；循环6次s s s ⋅=如上算法仅用了6次乘法运算，就得到运算结果．算法最终需要在计算机上运行相应程序，才能得到结果，这样就要关注算法的时间复杂度(计算机运行程序所需时间的度量)、空间复杂度(程序、数据对存储空间需求的度量)和逻辑复杂度(关联程序的开发周期、可维护性以及可扩展性)． 事实上，每一种算法都有自己的局限性和优点，仅仅理论分析是很不够的，大量的实际计算也非常重要，结合理论分析以及相当的数值算例结果才有可能选择出适合自己关心问题的有效求解算法． 也正因如此，只有理论分析结合实际计算才能真正把握准算法．§1.2 误差的度量与传播一、误差的度量误差的度量方式有绝对误差、相对误差和有效数字．定义1.1 用作为量的近似，则称为近似值的绝对误差．*x x )(:**x e x x =-*x 由于量x 的真值通常未知，所以绝对误差不能依据定义求得，但根据测量工具或计算情况，可以估计出绝对误差绝对值的一个较小上界，即有ε (1.1)ε≤-=x x x e **)(称正数为近似值的绝对误差限，简称误差． 这样得到不等式ε*x εε+≤≤-**x x x 工程中常用ε±=*x x 表示近似值的精度或真值x 所在的范围．*x 误差是有量纲的，所以仅误差数值的大小不足以刻划近似的准确程度． 如量 (1.2)m m cm s μ50001230000005.023.15.0123±=±=±=为此，我们需要引入相对误差定义1.2 用作为量的近似，称为近似值的相对误差． 当0*≠x x )(:**x e xxx r =-*x 是x 的较好近似时，也可以用如下公式计算相对误差*x (1.3)***)(xx x x e r -= 显然，相对误差是一个无量纲量，它不随使用单位变化． 如式(1.2)中的量s 的近似，无论使用何种单位，它的相对误差都是同一个值．同样地，因为量x 的真值未知，我们需要引入近似值的相对误差限，它是相*x )(*x r ε对误差绝对值的较小上界． 结合式(1.1)和(1.3)，相对误差限可通过绝对误差限除以近似*x 值的绝对值得到，即(1.4)***)()(xx x r εε=为给出近似数的一种表示法，使之既能表示其大小，又能体现其精确程度，需引入有效数字以及有效数的概念．定义1.3 设量的近似值有如下标准形式x *x p n ma a a a x 21*.010⨯±= (1.5)()pm p n m n m m a a a a ----⨯++⨯++⨯+⨯±101010102211 ＝其中且，m 为近似值的量级． 如果使不等式}9,,1,0{}{1 ⊂=pi i a 01≠a (1.6)n m x x -⨯≤-1021*成立的最大整数为n ，则称近似值具有n 位有效数字，它们分别是、、… 和 ． *x 1a 2a n a 特别地，如果有，即最后一位数字也是有效数字，则称是有效数．p n =*x 从定义可以看出，近似数是有效数的充分必要条件是末位数字所在位置的单位一半是绝对误差限． 利用该定义也可以证明，对真值进行“四舍五入”得到的是有效数． 对于有效数，有效数字的位数等于从第一位非零数字开始算起，该近似数具有的位数． 注意，不能给有效数的末位之后随意添加零，否则就改变了它的精度．例1.1 设量，其近似值，，． 试回答这三个近π=x 141.3*1=x 142.3*2=x 722*3=x 似值分别有几位有效数字，它们是有效数吗？解 这三个近似值的量级，因为有1=m 312*110211021005.000059.0--⨯=⨯=≤=- x x 413*2102110210005.00004.0--⨯=⨯=≤=- x x571428571428.3*3=x 312*310211021005.0001.0--⨯=⨯=≤=- x x 所以和都有3位有效数字，但不是有效数． 具有4位有效数字，是有效数．*1x *3x *2x 二、误差的传播这里仅介绍初值误差传播，即假设自变量带有误差，函数值的计算不引入新的误差． 对于函数有近似值，利用在点处),,,(21n x x x f y =),,,(**2*1*n x x x f y =),,,(**2*1n x x x 的泰勒公式(Taylor Formula)，可以得到 )(),,,()(*1**2*1**i i ni n i x x x x xf y y y e -≈-=∑=(1.7))(),,,(*1**2*1i ni n i x e x x xf ∑== 其中，是的近似值，是的绝对误差． 式(1.7)表明函ii x f f ∂∂=:*i x i x )(*i x e *i x ),,2,1(n i =数值的绝对误差近似等于自变量绝对误差的线性组合，组合系数为相应的偏导数值． 从式(1.7)也可以推得如下函数值的相对误差传播近似计算公式 (1.8))(),,,()(***1**2*1*i r i ni ni r x e yx x x x f y e ∑=≈对于一元函数，从式(1.7)和(1.8)可得到如下初值误差传播近似计算公式)(x f y = (1.9))()()(***x e x f y e '≈ (1.10))()()(*****x e yx x f y e r r '≈式(1.9)表明，当导数值的绝对值很大时，即使自变量的绝对误差比较小，函数值的绝对误差也可能很大．例1.2 试建立函数的绝对误差(限)、相对误差n n x x x x x x f y +++== 2121),,,(的近似传播公式，以及时的相对误差限传播公式．{}ni i x 1*0=> 解 由公式(1.7)和(1.8)可分别推得和的绝对误差、相对误差传播公式如下(1.11)∑∑==≈ni i ini nix e x e x x xf y e 1**1**2*1*)()(),,,()(＝ (1.12)∑∑==≈ni i r i i r i ni ni r x e yx x e y x x x x f y e 1******1**2*1*)()(),,,()(＝ 进而有∑∑∑===≤≤≈ni i n i ini ix x e xe y e 1*1*1**)()()()(ε于是有和的绝对误差限近似传播公式 ∑=≈ni ixy 1**)()(εε当时，由式(1.3)推得相对误差限的近似传播公式{}ni i x 1*=>)(max )(max )(max )()()(*11***11***11****1**i r ni ni i ir n i ni i i r n i ni i r i ni ir x yx x yx x x y x yxy εεεεεε≤≤=≤≤=≤≤====≤=≈∑∑∑∑ 例1.3使用足够长且最小刻度为1mm 的尺子，量得某桌面长的近似值3.1304*=a mm ，宽的近似值mm (数据的最后一位均为估计值)． 试求桌子面积近似值的绝8.704*=b 对误差限和相对误差限．解 长和宽的近似值的最后一位都是估计位，尺子的最小刻度是毫米，故有误差限 mm ，mm 5.0)(*=a ε5.0)(*=b ε面积，由式(1.7)得到近似值的绝对误差近似为ab S =***b a S = )()()(*****b e a a e b S e +≈进而有绝对误差限 mm 255.10045.03.13045.08.704)()()(*****=⨯+⨯=+≈b a a b S εεε相对误差限 %11.00011.08.7043.130455.1004)()(***=≈⨯=≈S S S r εε§1.3 数值实验与算法性能比较本节通过几个简单算例说明解决同一个问题可以有不同的算法，但算法的性能并不完全相同，他们各自有自己的适用范围，并进而指出算法设计时应该注意的事项． 算例1.1 表达式，在计算过程中保留7位有效数字，研究对不同)1(1111+=+-x x x x 的x ，两种计算公式的计算精度的差异．说明1：Matlab 软件采用IEEE 规定的双精度浮点系统，即64位浮点系统，其中尾数占52位，阶码占10位，尾数以及阶码的符号各占1位． 机器数的相对误差限(机器精度)eps=2－52≈2.220446×10－16，能够表示的数的绝对值在区间(2.2250739×10－308，1.797693×10308)内，该区间内的数能够近似表达，但有舍入误差，能够保留至少15位有效数字． 其原理可参阅参考文献[2, 4]．分析算法1： 和算法2： 的误差时，精确解用双精111)(1+-=x x x y )1(1)(2+=x x x y 度的计算结果代替． 我们选取点集中的点作为x ，比较两种方法误差的差异．301}{=i i π 从图1.1可以看出，当x 不是很大时，两种算法的精度相当，但当x 很大时算法2的精度明显高于算法1． 这是因为，当x 很大时，和是相近数，用算法1进行计算时出x 111+x 现相近数相减，相同的有效数字相减后变成零，于是有效数字位数急剧减少，自然相对误差增大． 这一事实也可以从误差传播公式(1.12)分析出． 鉴于此，算法设计时，应该避免相近数相减．在图1.2中我们给出了当x 接近时，两种算法的精度比较，其中变量x 依次取为1-． 从图中可以看出两种方法的相对误差基本上都为，因而二者的精度相当．{}3011=--i iπ710-图1.1 算例1.1中两种算法的相对误差图（）+∞→x图1.2 算例1.1中两种算法的精度比较)1(-→x 算例1.2 试用不同位数的浮点数系统求解如下线性方程组⎩⎨⎧=+=+2321200001.02121x x x x 说明2：浮点数系统中的加减法在运算时，首先按较大的阶对齐，其次对尾数实施相应的加减法运算，最后规范化存入计算机．算法1 首先用第一个方程乘以适当的系数加至第二个方程，使得第二个方程的的系1x 数为零，这时可解出；其次将带入第一个方程，进而求得(在第三章中称该方法为高2x 2x 1x 斯消元法)． 当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法，分别记之为算法1a 和算法1b ． 算法 2 首先交换两个方程的位置，其次按算法1计算未知数 (第三章中称其为选主元的高斯消元法)． 当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法，分别记之为算法2a 和算法2b ．方程组的精确解为， ，用不同的算法计算出的...25000187.01=x ...49999874.02=x 结果见表1.1．表1.1 对算例1.2用不同算法的计算结果比较算例1.2*1x )(*1x r ε*2x )(*2x r ε算法1a 0.00000.10×1010.50000.25×10－7算法2a 0.25000.75×10－70.50000.25×10－7算法1b 0.26000000.40×10－10.49999870.10×10－6算法2b0.25000200.50×10－80.50000000.25×10－7对于算例1.2，表中的数据表明，当用4位尾数计算时，算法1给出错误的结果，算法2则给出解很好的近似． 这是因为在实现算法1时，需要给第一个方程乘以加00001.0/2－至第二个方程，从而削去第二个方程中的系数，但在计算的系数时需做如下运算1x 2x(1.13)661610000003.0104.0103.0104.03200001.02⨯⨯⨯⨯=+⨯＋＝－＋－－对上式用4位尾数进行计算，其结果为． 因为舍入误差，给相对较大的数加以6104.0⨯－相对较小的数时，出现大数“吃掉”小数的现象． 计算右端项时，需做如下运算(1.14)661610000002.0102.0102.0102.02100001.02⨯⨯⨯⨯=+⨯＋＝－＋－－同样出现了大数吃小数现象，其结果为． 这样，得到的变形方程组6102.0⨯－⎩⎨⎧⨯-=⨯-⨯=⨯+⨯62612114102.0104.0101.0102.0101.0x x x 中没有原方程组中第二个方程的信息，因而其解远偏离于原方程组的解． 该算法中之所以出现较大数的原因是因为运算，因而算法设计中尽可能避免用绝对值较大的数00001.0/2－除以绝对值较小的数． 其实当分子的量级远远大于分母的量级时，除法运算还会导致溢出，计算机终止运行．虽从单纯的一步计算来看，大数吃掉小数，只是精度有所损失，但多次的大数吃小数，累计起来可能带来巨大的误差，甚至导致错误． 例如在算法1a 中出现了两次大数吃小数现象，带来严重的后果． 因而尽可能避免大数吃小数的出现在算法设计中也是非常必要的． 当用较多的尾数位数进行计算，舍入误差减小，算法1和2的结果都有所改善，算法1的改进幅度更大些．算例1.3 计算积分有递推公式，已知⎰+=1055dx x x I n ),2,1(511 =-=-n I nI n n ． 采用IEEE 双精度浮点数，分别用如下两种算法计算的近似值．56ln 0=I 30I算法1 取的近似值为，按递推公式计算0I 6793950.18232155*0=I *1*51--=n n I nI *30I 算法2 因为，取的近似值为)139(5156)139(611039103939+⨯=<<=+⨯⎰⎰dx x I dx x 39I ，按递推公式计算3333330.004583332001240121*39≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=I ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-**1151n n I n I *30I 算法1和算法2 的计算结果见表1.2． 误差绝对值的对数图见图1.3．表1.2 算例1.3的计算结果算法1算法2n *nI n n I I -*n *nI nn I I -*18.8392e-002 1.9429e-01639 4.5833e-0033.9959e-0042 5.8039e-0029.8532e-016384.2115e-0037.9919e-0053 4.3139e-002 4.9197e-01537 4.4209e-003 1.5984e-0054 3.4306e-002 2.4605e-01436 4.5212e-003 3.1967e-0065 2.8468e-002 1.2304e-01335 4.6513e-003 6.3935e-0076 2.4325e-002 6.1520e-01334 4.7840e-003 1.2787e-007………33 4.9255e-003 2.5574e-00825 1.1740e+001 1.1734e+00132 5.0755e-003 5.1148e-00926-5.8664e+001 5.8670e+00131 5.2349e-003 1.0230e-00927 2.9336e+002 2.9335e+002 305.4046e-003 2.0459e-01028-1.4667e+003 1.4668e+003 297.3338e+0037.3338e+003 30-3.6669e+004 3.6669e+004图1.3 算例1.3用不同算法计算结果的误差绝对值的对数图从表1.2中的计算结果可以看出，算法1随着计算过程的推进，绝对误差几乎不断地以5的倍数增长，即有0*02*221*1*555I I I I I I I I n n n n n n n -≈≈-≈-≈----- 成立． 对于逐步向前推进的算法，若随着过程的进行，相对误差在不断增长，导致产生不可靠的结果，这种算法称之为数值不稳定的算法． 对于算法1绝对误差按5的幂次增长，但真值的绝对值却在不断变小且小于1，相对误差增长的速度快于5的幂次，导致产生错误的结果，因而算法1数值不稳定，不能使用． 而算法2随着计算过程的推进，绝对误差几乎不断地缩小为上一步的1/5，即有m m n m n n n n n n n I I I I I I I I 5/5/5/*22*21*1*++++++-≈≈-≈-≈- 成立． 绝对误差不断变小，真值的绝对值随着过程向前推进却在变大，这样相对误差也越来越小，这样的方法称之为数值稳定的算法． 算法1和算法2的误差对数示意图见图1.3． 这个算例告诉我们应该选用数值稳定的算法．知识结构图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧算法设计要点数值方法的稳定性数值方法的收敛性算法多元函数一元函数传播有效数字相对误差（限）绝对误差（限）度量截断误差舍入误差误差的产生误差误差与算法习题一1 已知有效数，，． 试给出各个近似值的绝对误105.3*1-=x 4*210125.0⨯=x 010.0*3=x 差限和相对误差限，并指出它们各有几位有效数字．2 证明当近似值是x 的较好近似时，计算相对误差的计算公式和相差一个*x x x x -***xxx -和同阶的无穷小量．2*⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x x 3 设x 的近似值具有如式(1.5)的表示形式，试证明*x 1)若具有n 位有效数字，则相对误差；*x n r a x e -⨯≤11*1021)(2)若相对误差，则至少具有n 位有效数字．n r a x e -⨯+≤11*10)1(21)(*x 4 试建立二元算术运算的绝对误差限传播近似计算公式．5 试建立如下表达式的相对误差限近似传播公式，并针对第1题中数据，求下列各近似值的相对误差限．1) ； 2) ； 3) *3*2*1*1x x x y +=3*2*2x y =*3*2*3/x x y =6若例题1.3中使用的尺子长度是80mm ，最小刻度为1mm ，量得某桌面长的近似值mm ，宽的近似值mm ． 试估计桌子长度、宽度的绝对误差限，并3.1304*=a 8.704*=b 求用该近似数据计算出的桌子面积的绝对误差限和相对误差限．7 改变如下计算公式，使其计算结果更为精确．1) 且0,cos 1≠-x xx1<<x 2)1,1ln )1ln()1(ln 1>>--++=⎰+N N N N N xdx N N3) 1,133>>-+x x x 8 (数值试验)试通过分析和数值试验两种手段，比较如下三种计算近似值算法的可靠性．1-e 算法1 ；∑=--≈mn nn e 01!)1( 算法2 ；101!1-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛≈∑m n n e算法3 ；101)!(1-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈∑m n n m e9 (数值试验)设某应用问题归结为如下递推计算公式 ，，72.280=y 251-=-n n y y,2,1=n 在计算时取为具有5位有效数字的有效数． 试分析近似计算公式的2*c **1*5c y y n n -=-绝对误差传播以及相对误差传播情况，并通过数值实验验证 (准确值可以用IEEE 双精度浮点运算结果代替)，该算法可靠可用吗？。
数值分析-第一章ppt课件
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4
《数值分析》课程主要介绍几类数学问题的经典 算法. 在学习中既要重视实际应用, 又要重视有关理论, 必须注意理解算法的设计原理和处理技巧, 重视基本 概念和理论——误差分析, 收敛性与稳定性. 认真完成 习题中的理论证明和计算方面的相关问题, 手算与上 机计算相结合, 同时注意培养利用计算机进行科学计 算的能力.
似值 x*的绝对误差限, 简称为误差限. 在工程技术中常记作 x=x*±*。 例如, 电压V=100±2(V), V*=100(V)是V的一个近
似值, 2(V)是V*的一个误差限, 即
| V–V*| 2(V)
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二、相对误差与相对误差限
对于两个数值
x1=100±2, x2=10±1
[4] Rainer Kress. Numerical Analysis. New York:
Springer-Verlag, 2003.
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1
实际问题
否
解释 实际问题
是
结束
抽象
建立数学模型
简化
类方 型法
结果分析 求解计算
应用于实践
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2
数值分析研究的主要内容:是各类数学问题的近 似解法——数值方法, 是从数学模型(由实际问题产生 的一组解析表达式或原始数据)出发, 寻求在有限步内 可以获得数学问题满足一定精度近似解的运算规则, 这种规则称为算法, 它包括计算公式, 计算方案和整个 计算过程.
值x的比值为近似值x*的相对误差, 并记作er(x*),
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12
数值计算方法第一章 误差
6
误差的来源
4.舍入误差 在计算过程中往往要对数字进行舍入。 如受机器 字长的限制，无穷小数和位数很多的数必须舍入成 一定的位数。 这样产生的误差称为“舍入误差”。 本课程只讨论截断误差与舍入误差对计算结 果的影响。
§1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
7
绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.1
绝对误差与相对误差
17
x* 0.a1a2 an 10m
如果
1 x x 10 m n 2
*
(1-5)
(1-6)
* x 则称近似值 有n位有效数字。
1 5 x 0 . 003400 10 例如 表示近似值0.003400准确 2
到小数点后第5位,有3位有效数字。
上面的讨论表明，可以用有效数字位数来刻划 误差限。 形如式(1-5)的数，当m一定时，其有效数字 数位n越大，则误差限越小。
但可以根据测量 能算出绝对误差 e( x*) 的准确值， 工具或计算的情况估计出它的取值范围，
8
绝对误差、相对误差和有效数字
即估计出误差绝对值的一个上界
e( x ) x x
* *
*
(1-2)
通常称 为近似值 x 的绝对误差限，简称误差限。 显然误差限不是唯一的。 有了误差限及近似值，就可以得到准确值 的范围 * * 即准确值 x
* 显然，误差限与近似值绝对值之比 * 为 x 的 一 x
个相对误差限。
例 取3.14作为 相对误差限.
的四舍五入的近似值,试求其
13
绝对误差、相对误差和有效数字
1 2 3 . 14 0 . 0016 10 解: 2 相对误差限 1 2 10 2 0.159 % * x 3.14 又如 由实验测得光速近似值为 c * 2.997925 105 km/s， 其误差限为 0.1 km/s， 于是
数值分析 第1章
3．计算复杂性尽可能小 从实际需要出发，我们还需要考虑计算量的大小， 即所谓计算复杂性问题。它由以下两个因素决定的： 使用中央处理器 CPU）的时间，主要由四则运算 使用中央处理器（ 的时间 主要由四则运算 的次数决定； 占用内存储器的空间，主要由使用的数据量来决 定。
4．要有数值化结果 数值计算的许多方法是建立在离散化的基础上进 行的， 其解决问题的最终结果不是解析解而是数值近似 解。对于给定的数学模型，采用不同的离散手段可以导 致不同的数值方法，应该通过计算机进行数值试验，进 行分析、比较来选定算法。 对新提出的算法，有的在理论上虽然还未证明其 收敛性，但可以从具体试验中发现其规律，为理论证明 提供线索。
x2 =
−b − b 2 − 4ac 2c = 2a −b + b 2 − 4ac
9
来严重影响 应尽量避免 来严重影响，应尽量避免。 例3
，
在 4 位浮点十进制数下，用消去法解线性方程
⎧0.00003 x1 − 3 x 2 = 0.6 ⎨ x1 + 2 x 2 = 1 . ⎩
组
2 ×10 =1 . 109 + 109
§1.1
预备知识
一、集合
把一些确定的彼此不相同的事物汇集在一起成为一 个整体，称为集合。 表示方法：描述法；列举法。 分类：有限集；无限集（可列集，不可列集） 。
9
10
可列集（可数集） ： 设 A 是无限集，若 A 中的一切元素可以用自然数 编号（即 A 与自然数集 N 一一对应） ，使 A 写成 A={ A { a1 , a2 , a3 ,L an ,L },则称 A 为可列集 （或可数集） 。 否则，称为不可列集。 如：有理数集是可列集，数列构成的集合是可列 集；无理数集、[0，1]中的全体实数构成的集合是不 可列集。
数值分析课件第一章
Pn ( x) an x n an1x n1 a1x a0 .
秦九韶算法：
S n an , S k xS k 1 ak , (k n-1,,0) P ( x) S . n 0
例： x 3.1415926 , 取三位 取五位 1 * * x3 3.14, | e3 | 0.0015926 0.005 10 2 , 2 1 * * x5 3.1416 | e5 | 0.0000073 0.00005 10 4 . , 2
I 0 1 e1.
* I 9 0.0684, I 0 0.6321, ( A) I n 1 nI n1, n 1,2,. ( B) * * I n1 1 (1 I n ), n 9,8,,1. n 1 1 e1 ( I 9 ( ) 0.0684) 2 10 10
* *
§3 误差定性分析、避免误差危害
一、算法的数值稳定性
定义3 一个算法若输入数据有 误差, 而在计算过程中舍入 误差不增长, 则称此算法是数值稳定 的, 否则是不稳定的.
例5
1 1 n x 计算I n e x e dx, n 0,1,, 0
并估计误差.
I n 1 nI n1 , n 1,2,,
数值分析
数学学院 李胜坤
第1章
一、什么是数值分析
引论
§1 数值分析的研究对象与特点
数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数 学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题 的数值计算方法及其理论与软件实现. 步骤：实际问题→数学模型→数值计算方法 →程序设计→上机计算求出结果
《数值分析》第一章答案
《数值分析》第一章答案习题11．以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。
（1）*1x ＝451.023， 1x ＝451.01；（2）*2x ＝－0.045 113， 2x ＝－0.045 18；（3）*3x ＝23.421 3， 3x ＝23.460 4；（4）*4x ＝31， 4x ＝0.333 3；（5）*5x ＝23.496， 5x ＝23.494；（6）*6x ＝96×510， 6x ＝96.1×510；（7）*7x ＝0.000 96， 7x ＝0.96×310-；（8）*8x ＝－8 700， 8x ＝－8 700.3。
解：(1) =*1x 451.023 =1x 451.01=-1*1x x 0.01311021-?≤，1x 具有4位有效数字。
→1x 451.0(2) -=*2x 0.045 113 -=2x 0.045 18=-<?-2*241021x x 0.045 18045113.0-=0.000 06731021-?<2x 具有2位有效数字，045.02-→x(3)=*3x 23.4213 =3x 23.4604=-3*3x x =-4604.234213.23=-4213.234604.231 10210391.0-?≤3x 具有3位有效数字，4.233→x (不能写为23.5) (4) =*4x 31 ，=4x 0.3333=-4*4x x 41021000033.0-?<,4x 具有4位有效数字，=4x 0.3333(5) =*5x 23.496，=5x 23.494=-5*5x x =-494.23496.2321021002.0-?<5x具有4位有效数字，→5x 23.50 (不能写为23.49)(6) =*6x 51096?71096.0?==6x 5101.96?710961.0?==-6*6x x 710001.0-?72101021--??≤6x 具有2位有效数字，57610961096.0?=?=x (7) =*7x 0.00096 371096.0-?=x3*71096.0-?=x =-7*7x x 0 7x 精确(8) 8700*8-=x 8x 3.8700-=8*8x x -010213.0?≤=8x 具有4位有效数字，8x 8700-=精确2.以下各数均为有效数字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747?6.83;(2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。
数值计算方法第一章误差的基本知识
推理证明能力； 5、认真进行数值计算的训练。
§1.2 误差知识
一、误差的来源及其分类 二、误差的度量 三、误差的传播
一、误差来源及其分类
1) 模型误差（描述误差） 反映实际问题有关量之间的计算公式
（数学模型）通常是近似的。
x1*
x
0 .0 00 5 9
0.005
1 1013 2
3位有效数字，非有效数
x
* 2
x
0 .0 00 4 0
0.0005
1 1014 2
Remark2: 相对误差及相对误差限是无量纲的，但绝对 误差以及绝对误差限是有量纲的。
3.有效数字
为了规定一种近似数的表示法，使得用它表示的 近似数自身就直接指示出其误差的大小。为此需要引 出有效数字和有效数的概念。
定义：设 x 的近似值 x* 有如下标准形式
x* 10m 0.x1x 2 x n x n1 x p ，
本课程主要内容
鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解 为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几 个方面问题的求解算法： 非线性方程的近似求解方法； 线性代数方程组的求解方法； 函数的插值近似和数据的拟合近似； 积分和微分的近似计算方法； 常微分方程初值问题的数值解法； 矩阵特征值与特征向量的近似计算方法； ……
第一章 绪 论
内容提要
§1.1 引 言 §1.2 误差的度量与传播 §1.3 选用算法时应遵循的原则
§1.1 引 言
课程特点
数值分析或数值计算方法主要是研究如何 运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和 方法。
对那些在经典数学中，用解析方法在理论 上已作出解的存在，但要求出他的解析解又十 分困难，甚至是不可能的这类数学问题，数值 解法就显得不可缺少，同时有十分有效。
数值分析：第一章绪论PPT课件
x
*
是指对每一个 1 i
n
都有lim k
xi( k )
x
* i
可以。理解为 | |
x
(
k
)
x*
||
0
定义1.2.3
若存在常数
C1、C2
>
0
使得，
C1 || x ||B || x ||A C2 || x ||B
则称 || ·||A 和|| ·||B 等价。
可以理解为对任何
向量范数都成立。
数值分析课程中所讲述的各种数值方 法在科学与工程计算、信息科学、管理 科学、生命科学等交叉学科中有着广泛 的应用
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应用问题举例
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1、一个两千年前的例子
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗；
上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉， 实三十四斗；
上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉， 实二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾 一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四 分斗之三。-------《九章算术》
定理1.2.1 Rn 上一切范数都等价。
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二. 矩阵范数
定义1.2.4
Rmn空间的矩阵范数 || ·|| 对任意A, B R满mn足： (1) || A || 0 ; || A || 0 A 0 （正定性)
(2) || A || | | || A || 对任意 C (齐次性) (3) || A B || || A|| || B || （三角不等式)
1 1
(1
I1*
)
0.63
212056
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我们仅仅是幸运吗?
计算方法_第一章_绪论
第一章绪论1.1 "数值分析"研究对象与特点"数值分析"是计算数学的一个主要部分.而计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现.计算数学几乎与数学科学的一切分支有联系，它利用数学领域的成果发展了新的更有效的算法及其理论，反过来很多数学分支都需要探讨和研究适用于计算机的数值方法.因此，"数值分析"内容十分广泛.但本书作为"数值分析"基础，只介绍科学与工程计算中最常用的基本数值方法，包括线性方程组与非线性方程求根、插值与最小二乘拟合、数值积分与常微分方程数值解法等.这些都是计算数学中最基础的内容.近几十年来由于计算机的发展及其在各技术科学领域的应用推广与深化，新的计算性学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算经济学等等，不论其背景与含义如何，要用计算机进行科学计算都必须建立相应的数学模型，并研究其适合于计算机编程的计算方法.因此，计算数学是各种计算性科学的联系纽带和共性基础，是一门兼有基础性、应用性和边缘性的数学学科.计算数学作为数学科学的一个分支，当然具有数学科学的抽象性与严密科学性的特点，但它又具有广泛的应用性和边缘性特点.现代科学发展依赖于理论研究、科学实验与科学计算三种主要手段，它们相辅相成，互相独立，可以互相补充又都不可缺少，作为三种科学研究手段之一的科学计算是一门工具性、方法性、边缘性的新学科，发展迅速，它的物质基础是计算机(包括其软硬件系统)，其理论基础主要是计算数学.计算数学与计算工具发展密切相关，在计算机出现以前，数值计算方法只能计算规模小的问题，并且也没形成单独的学科，只有在计算机出现以后，数值计算才得以迅速发展并成为数学科学中一个独立学科--计算数学.当代计算能力的大幅度提高既来自计算机的进步，也来自计算方法的进步，计算机与计算方法的发展是相辅相成、互相促进的.计算方法的发展启发了新的计算机体系结构，而计算机的更新换代也对计算方法提出了新的标准和要求.例如为在计算机上求解大规模的计算问题、提高计算效率，诞生并发展了并行计算机.自计算机诞生以来，经典的计算方法业已经历了一个重新评价、筛选、改造和创新的过程，与此同时，涌现了许多新概念、新课题和能充分发挥计算机潜力、有更大解题能力的新方法，这就构成了现代意义下的计算数学.这也是数值分析的研究对象与特点.概括地说，数值分析是研究适合于在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值计算方法.具体说就是：第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的算法，即算法只能由计算机可执行的加减乘除四则运算和各种逻辑运算组成.第二，要有可靠的理论分析，数值分析中的算法理论主要是连续系统的离散化及离散型方程数值求解.有关基本概念包括误差、稳定性、收敛性、计算量、存储量等，这些概念是刻画计算方法的可靠性、准确性、效率以及使用的方便性.第三，要有良好的复杂性及数值试验，计算复杂性是算法好坏的标志，它包括时间复杂性(指计算时间多少)和空间复杂性(指占用存储单元多少).对很多数值问题使用不同算法，其计算复杂性将会大不一样，例如对20阶的线性方程组若用代数中的Cramer法则作为算法求解，其乘除法运算次数需要，若用每秒运算1亿次的计算机计算也要30万年，这是无法实现的，而用"数值分析"中介绍的Gauss消去法求解，其乘除法运算次数只需3 060次，这说明选择算法的重要性.当然有很多数值方法不可能事先知道其计算量，故对所有数值方法除理论分析外，还必须通过数值试验检验其计算复杂性.本课程虽然只着重介绍数值方法及其理论，一般不涉及具体的算法设计及编程技巧，但作为基本要求仍希望读者能适当做一些计算机上的数值试验，它对加深算法的理解是很有好处的.讲解：（1）计算数学是研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现，"数值分析"是计算数学的主要部分。
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1
0
1 dx ln 6 ln 5 ln( 1.2) x5
递推公式
I 0 ln( 1.2) 1 I n 5I n 1 , n
（1.8）
( n 1, 2, , 8)
按 (1.8) 式就可以逐步算出
I1 1 5I 0 0.09
1 I 2 5I 1 0.05 2
在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时， 两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取 单精度时就成为： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010
b b 2 4ac x1 10 9 , 2a b b 2 4ac x2 0 2a
b sign(b) b 2 4ac 109 算法2：先解出 x1 2a c c 109 再利用 x1 x2 x2 9 1 a a x1 10
算法犹如乐谱， 软件犹如CD盘片， 而硬件如同CD唱机。
现代科学研究的三大支柱
理 论 研 究 科 学 实 验 科 学 计 算
计算数学
算法的研究和应用正是本课程的主题 ！
21世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在” “数学无处不在” 21世纪信息社会对科技人才的要求： --会“用数学”解决实际问题
机器字长有限 —— 舍入误差
用计算机、计算器和笔算，都只能用有限位小数
来代替无穷小数或用位数较少的小数来代替位数较多 的有限小数，如：
= 3.1415926…
x = 8.12345
1 0.3333 3
四舍五入后……
1 3.1416 0.0000074
1 2 0.333 0.000033 3
数值计算的主要内容
数值代数：方程求根、线性方程组求解、 特征值和特征向量的计算、 非线性方程组的求解； 数值逼近：插值、数值微分和积分、 最小二乘法； 微分方程数值解： 常微分方程数值解； 偏微分方程数值解： 差分法 有限元法 有限体积法
教材 数值计算方法 徐涛 参考书目
编著 （吉林科学技术出版社）
--会用计算机进行科学计算
建立数学模型
选取计算方法
编写上机程序
计算得出结果
科学计算解题过程
一、计算数学的产生和早期发展
计算数学是数学的一个古老的分支，虽然数学不仅仅
是计算，但推动数学产生和发展的最直接原因还是
计算问题。
二、二十世纪计算数学的发展
数值代数 最优化计算 数值逼近 计算几何 概率统计计算 蒙特卡罗方法 微分方程的数值解法 微分方程的反演问题
例 2:若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长， 大约为1.45米，求1.45米的绝对误差。
1.45米的 绝对误差=？
不知道！
但实际问题往往可以估计出 e(x) 不超过某个正数，即，
x x * ，则称 为绝对误差限，有了绝对误差限
就可以知道x范围为
x x x
* *
1. 来源与分类
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 例1:质量为m的物体，在重力作用下，自由下落， 其下落距离s 与时间t 的关系是：
d 2s m 2 mg dt
其中 g 为重力加速度。
（1.1）
通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差
求近似解 —— 方法误差 (截断误差）
注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。
例8：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算
1 + 2 + 3 + … + 40 + 109
4. 先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。
一般来说，计算机处理下列运算的速度为
, , exp
5.算法的递推性
计算机上使用的算法常采用递推化的形式，递推 化的基本思想是把一个复杂的计算过程归结为简单过程 的多次重复。这种重复在程序上表现为循环。递推化的 优点是简化结构和节省计算量。 多项式求值：给定的x 求下列n 次多项多的值。
输出无解信息
二、算法的优劣
计算量小 例：用行列式解法求解线性方程组: n阶方程组，要计算n + 1个n阶行列式的值， 总共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法运算。
n=20 需要运 算多少次？ n=100?
存贮量少 逻辑结构简单
§3 数值计算中的误差
一、 误差的背景介绍
S4 输出计算的结果
x1 , x2
开始 输入
a11 , a12 , a21 , a22 , b1 , b2
D=a11a22-a12a21 Yes No
D=0
x1 (b1 a 22 b2 a12 ) / D x 2 (b2 a11 b1 a 21 ) / D
输出 x1, x2 结 束
2、将（1.10）改写为
y x 1 x 1 x 1 x
则
y = 0.01581
类似地
sin( x ) sin x 2 cos x sin 2 2
x ln x ln y ln y
2. 绝对值太小的数不宜作除数
例6：
2.7182 2718.2 0.001
(i) (ii)
高斯消 去法
48 17 2 7 只小兔 2
10只小鸡
x y 17 (II) (4 2) y 48 - 17 2
48 17 2 y 7 只小兔 42
例：求解二元一次联立方程组
a11 x1 a12 x 2 b1 a 21 x1 a 22 x 2 b2
用行列式解法：首先判别
D a11a22 a21a12
是否为零，存在两种可能：
（1）如果
D 0 ，则令计算机计算 x1 b1a22 b2 a12 D , x2 b2（2）如果D= 0，则或是无解，或有无穷多组解。
P( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
解：1. 用一般算法，即直接求和法； 2. 逐项求和法； 3. 秦九韶方法；
例9：用秦和韶方法求多项式
P( x) 1 x 0.5x 2 0.16667 x 3 0.04167 x 4 0.00833x 5
如分母变为0.0011，也即分母只有0.0001的变化时
2.7182 2471.1 0.0011
3. 避免大数吃小数
例7：用单精度计算 x 2 (109 1) x 109 0 的根。 精确解为
x1 109 , x2 1
b b 2 4ac x 2a
算法1：利用求根公式
例1：一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共48，
要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？
算术方法 ：
若没有小兔，则鸡应是17只 总腿数 ：2＊17＝34 一只小兔增加 2条腿， 应该有
代数方法 ：
设有x只小鸡，y只小兔 ，
x y 17 ( I) 2 x 4 y 48
(-2)*(i) +(ii) , 得
3.14159 10 5
1 2
有效数位为3位 有效数位为5位 有效数位为4位
3.1416 0.0000074
3.1415 0.0000926
误差的传播与积累
例3：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北 京就刮起台风来了？！
NY
BJ
以上是一个病态问题
即x落在 [ x * , x * ] 内。在应用上，常常采用下列 写法来刻划x*的精度。
x x*
2．相对误差和相对误差限 定义2：设x是准确值，x*是近似值，称
e x x* x x
（1.6）
为近似值x的相对误差，相应地，若正数 r，
满足
x x* r x
（1.9）
不妨设I9 I10，于是由
1 1 I9 I 10 50 5
可求得I9 0.017，按公式（1.9）可逐次求得
I8 0.019
I6 0.024
I7 0.021
I8 0.028
I4 0.034
I2 0.058
I3 0.043
I1 0.088
稳定的算法 ！
3 x 8.1235 0.000044
在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误差 （包括初始数据的误差）对计算结果的影响！
二、绝对误差、相对误差和有效数字
1．绝对误差与绝对误差限 定义1：设x是准确值，x*为x的一个近似值，称
e( x) x x *
（1.5）
是近似值x的绝对误差,简称为误差。
数 值 分析
中国计量学院理学院
§1 数值计算方法的意义、内容与方法
20 世纪最伟大的科学技术发明---计算机
计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维智能；
计算机的发展和应用，已不仅仅是一种科学技术
现象，而且成了一种政治、军事、经济和社会现象；
没有软件的支持，超级计算机只是一堆废铁而已；
软件的核心就是算法。
令
D a11a22 a21a12
通过求解过程，可以总结出算法步骤如下：
S1 输入
a11, a12 , a21, a22 , b1, b2 S2 计算 D a11a22 a21a12
S3 如果
D0
则输出原方程无解或有无穷多组解的信息;
否则
D0
a22b1 a12b2 a11b2 a21b1 x1 x2 D D