平面向量单元测试题(含答案)
重点中学平面向量单元测试题(含答案)
平面向量单元测试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．向量a =（1，－2），向量a 与b 共线，且|b |=4|a |．则b =（ ）A ．（－4，8）B ．（－4，8）或（4，－8）C ．（4，－8）D ．（8，4）或（4，8）2．已知a=（2，1），b =（x ，1），且a ＋b 与2a －b 平行，则x 等于（ ）A ．10B ．－10C ．2D ．－23．已知向量a 和b 满足|a |=1，|b |=2，a ⊥（a －b ）．则a 与b 的夹角为（ ） A ．30º B ．45º C ．75º D ．135º4．设e 1、e 2是两个不共线向量，若向量 a =3e 1＋5e 2与向量b =m e 1－3e 2共线，则m 的值等于（ ）A ．－ 53B ．－ 95C ．－ 35D ．－ 595．设□ABCD 的对角线交于点O ，AD → =（3，7），AB → =（－2，1），OB → =（ ）A ．（ －52 ，－3）B ．（52 ，3）C ．（1，8）D ．（12 ，4） 6．设a 、b 为两个非零向量，且a ·b =0，那么下列四个等式①|a |=|b |；②|a ＋b |=|a －b |； ③a ·（b ＋a ）=0；④（a ＋b ）2=a 2＋b 2．其中正确等式个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．下列命题正确的是（ ）A ．若→a ∥→b ，且→b ∥→c ，则→a ∥→c B ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 C ．向量AB 的长度与向量BA 的长度相等D ．若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线8．a =），（21-，b =），（1-1，c =），（2-3用a 、b 作基底可将c 表示为c =p a ＋q b ，则实数p 、q 的值为（ ）A ．p =4 q =1B ． p =1 q =4C ． p =0 q =4D ． p =1 q =09．设平面上四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（DB → ＋DC → －2DA → ）·（AB→ －AC → ）=0．则ΔABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形10．设()()2211,,,y x b y x a ==定义一种向量积()()().,,,21212211y y x x y x y x b a =⊗=⊗已知,0,3,21,2⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=πn m 点()y x P ,在x y sin =的图象上运动，点Q 在()x f y =的图象上运动，且满足()，为坐标原点其中O n OP m OQ +⊗=则()x f y =的最大值A 及最小正周期T 分别为（ ） A ．π，2 B ．，2π4 C ．,21π4 D ．π，21二、填空题：每小题5分，共25分．11．已知()2,1,10==b a ，且b a //，则a 的坐标为_______ 12．已知向量a 、b 满足a=b =1，b a 23-=3，则 b a +3 =13．已知向量a =（ 2 ，－ 2 ），b =（ 3 ，1）那么（a ＋b ）·（a －b ）的值是 ． 14．若a =（2，3），b =（－4，7），a ＋c =0，则c 在b 方向上的投影为 ．15．若对n 个向量 a 1，a 2，a 3，…，a n ，存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1 a 1＋k 2a 2＋…＋k n a n =0成立，则称a 1，a 2，…，a n 为“线性相关”．依此规定，能使a 1=（1，0），a 2=（1，－1），a 3=（2，2）“线性相关”的实数k 1，k 2，k 3 依次可以取 ． 三、解答题16．（本题满分13分）已知向量a =(sin 2x ，cos 2x)，b =(sin 2x ，1), )(x f )=8a ·b ．（1）求)(x f 的最小正周期、最大值和最小值．（2）函数y=)(x f 的图象能否经过平移后，得到函数y=sin4x 的图象，若能，求出平移向量m ；若不能，则说明理由．17．（本题满分12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .已知222a c b -=，且sin 4cos sin B A C =，求b .18．（本题满分13分）如图，在矩形ABCD 中，，，22==BC AB 点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若，2=⋅AF AB 求BF AE ⋅的值.19． （本题满分12分）已知向量OA→ =3i －4j ，OB → =6i －3j ，OC → =（5－m ）i －（4＋m ）j ，其中i 、j 分别是直角坐标系内x 轴与y 轴正方向上的单位向量．（1）若A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； （2）若ΔABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．20．（本题满分12分）已知向量.1,43),1,1(-=⋅=n m m n m 且的夹角为与向量向量π（1）求向量n ； （2）设向量)sin ,,(cos ),0,1(x x b a ==向量，其中R x ∈，若0=⋅a n ，试求||b n +的取值范围.21． （本题满分13分）已知向量a 、b 、c 、d ，及实数x 、y ，且|a |=1，|b |=1，c =a ＋（x 2－3）b ，d =－y a ＋x b ，如果a ⊥b ，c ⊥d ，且|c |≤10 ．（1）求x 、y 的函数关系式y =f （x ）及定义域；（2）判断f （x ）的单调性，指出单调区间，并求出函数的最大值、最小值．ECA BDF答案一、选择题1.B2.C3.B4.B5.A6.C7.C8.B9. B 10. D 二、填空题11．），），（（22-2-22,2 12．23 13．0 14.－ 65515．－4，2，1 . 16.解：（1）f(x)=8a ·b =8(sin 2x ，cos 2x)·(sin 2x ，1) = 8(sin 4x ＋cos 2x)= 2(1－cos2x)2＋4(1＋cos2x) =2(1－2cos2x ＋cos 22x)＋4＋4cos2x =6＋2cos 22x=7＋cos4x ．∴f(x)的最小正周期为最大值为8，最小值为6．（2）假设它的图象可以按向量m =(h,k)平移后得到y=sin4x 的图象．故按向量平移后便得到y=sin4x 的图象．17．3818．略19. （1）AB → =（3，1） ，AC → =（2－m ，－m ），AB → 与AC →不平行则m ≠1 .（2）AB → · AC → =0 m =2320．解：（1）令⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+⋅-=+=1001143cos 21),(22y x y x y x y x y x n 或则π )1,0()0,1(-=-=∴n n 或 3分（2）)1,0(0),0,1(-=∴=⋅=n a n a 4分)1sin ,,(cos -=+x x b n 6分b n +=222)1(sin cos -+x x =x sin 22-=)sin 1(2x -； 8分∵ ―1≤sinx ≤1, ∴ 0≤b n +≤2, 10分21. 提示：（1） 由 |c |≤10 ，及a ·b = 0得 －6≤ x ≤6 又由c ⊥d 得 y =x 3－3x（2）单调增区间为[－6，－1]、[1，6]，单调减区间为[－1，1] 最大值为f （6）=36,最小值为f （－6）=－36 .。
平面向量单元测试题及答案
平面向量单元测试题（一）2一，选择题：1，下列说法中错误的是 （ ）A ．零向量没有方向B ．零向量与任何向量平行C ．零向量的长度为零D ．零向量的方向是任意的2，下列命题正确的是 （ ）A. 若→a 、→b 都是单位向量，则 →a ＝→bB . 若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形C. 若两向量→a 、→b 相等，则它们是始点、终点都相同的向量D. AB 与BA 是两平行向量3，下列命题正确的是 （ ）A 、若→a ∥→b ，且→b ∥→c ，则→a ∥→c 。
B 、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。
C 、向量AB 的长度与向量BA 的长度相等,D 、若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。
4，已知向量(),1m =a ，若，a=2，则m =（ ）A ．3 C. 1± D.3±5，若→a =（1x ，1y ），→b =（2x ，2y ），，且→a ∥→b ，则有（ ）A ，1x 2y +2x 1y =0，B ， 1x 2y ―2x 1y =0，C ，1x 2x +1y 2y =0，D ， 1x 2x ―1y 2y =0，6，若→a =（1x ，1y ），→b =（2x ，2y ），，且→a ⊥→b ，则有（ ）A ，1x 2y +2x 1y =0，B ， 1x 2y ―2x 1y =0，C ，1x 2x +1y 2y =0，D ， 1x 2x ―1y 2y =0，7，在ABC ∆中，若=+，则ABC ∆一定是 （ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定8，已知向量,,a b c 满足||1,||2,,a b c a b c a ===+⊥，则a b 与的夹角等于 （ ）A ．0120B 060C 030D 90o二，填空题：（5分×4=20分）9。
已知向量a 、b 满足==1，a 3-=3，则a +3=10，已知向量a ＝（4，2），向量b ＝（x ，3），且a //b ,则x ＝11，.已知 三点A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cos ∠BAC =12，.把函数742++=x x y 的图像按向量a 经过一次平移以后得到2x y =的图像， 则平移向量a 是（用坐标表示）三，解答题：（10分×6 = 60分）13，设),6,2(),3,4(21--P P 且P 在21P P =,，则求点P的坐标14，已知两向量),1,1(,),31,,31(--=-+=b a 求a 与b 所成角的大小，15，已知向量a =（6，2），b =（－3，k ），当k 为何值时，有（1），a ∥b ?（2），a ⊥b ?（3），a 与b 所成角θ是钝角？16，设点A （2，2），B （5，4），O 为原点，点P 满足OP =OA +AB t ，（t 为实数）；（1），当点P 在x 轴上时，求实数t 的值；（2），四边形OABP 能否是平行四边形？若是，求实数t 的值 ；若否，说明理由， 17，已知向量OA =（3, －4）, OB =（6, －3）,OC =（5－m, －3－m ）,（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；（2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．18，已知向量.1,43),1,1(-=⋅=n m m n m 且的夹角为与向量向量π（1）求向量n ；（2）设向量)sin ,,(cos ),0,1(x x b a ==向量，其中R x ∈， 若0=⋅a n ，试求||b n +的取值范围.平面向量单元测试题2答案：一，选择题：A D C D B C C A二，填空题： 9，23； 10，6； 11，13132 12，)3,2(- 三，解答题：13，解法一：设分点P （x,y ），∵P P1=―22PP ，λ=―2 ∴ (x ―4,y+3)=―2(―2―x,6―y),x ―4=2x+4, y+3=2y ―12, ∴ x=―8,y=15,∴ P(―8,15)解法二：设分点P （x,y ），∵P P1=―22PP ， λ=―2 ∴ x=21)2(24---=―8,y=21623-⨯--=15, ∴ P(―8,15)解法三：设分点P （x,y ），∵212PP P P =,∴―2=24x+, x=―8,6=23y+-, y=15, ∴ P(―8,15)14，解：a=22, b =2 , cos ＜a ,b ＞=―21, ∴＜a ,b ＞=1200， 15，解：（1），k=－1; (2), k=9; (3), k ＜9,k ≠－116，解：（1），设点P （x ，0），AB =(3,2),∵OP =OA +AB t ，∴ (x,0)=(2,2)+t(3,2),⎩⎨⎧+=+=,22032,t t x 则由∴⎩⎨⎧-=-=,11t x 即(2),设点P （x,y ），假设四边形OABP 是平行四边形，则有OA ∥BP , ⇒ y=x ―1,OP ∥AB ⇒ 2y=3x ∴⎩⎨⎧-=-=32y x 即……①,又由OP =OA +AB t ，⇒(x,y)=(2,2)+ t(3,2),得 ∴⎩⎨⎧+=+=t y t x 2223即……②,由①代入②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2534t t ，矛盾，∴假设是错误的， ∴四边形OABP 不是平行四边形。
完整版)平面向量单元测试卷及答案
完整版)平面向量单元测试卷及答案平面向量单元测试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.下列命题中的假命题是（）A、AB与BA的长度相等；B、零向量与任何向量都共线；C、只有零向量的模等于零；D、共线的单位向量都相等。
2.若a是任一非零向量，b是单位向量；①|a|。
|b|；②a∥b；③|a|。
|b|；④|b|= ±1；⑤a=|a|b，其中正确的有（）A、①④⑤B、③C、①②③⑤D、②③⑤3.设a，b，c是任意三个平面向量，命题甲：a+b+c=0；命题乙：把a，b，c首尾相接能围成一个三角形。
则命题甲是命题乙的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、非充分也非必要条件4.下列四式中不能化简为AD的是（A、(AB+CD)+BCB、(AM+MB)+(BC+CD)C、(AC+AB)+(AD-CB)D、OC-OA+CD5.设a=(-2,4)，b=(1,-2)，则（A、a与b共线且方向相反B、a与b共线且方向相同C、a与b不平行D、a与b是相反向量6.如图1，△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA和AB 的中点，G是△ABC中的重心，则下列各等式中不成立的是（）A、BG=2BE/3B、DG=AG/2C、CG=-2FGD、DA+FC=BC7.设a=(-2,1-cosθ)，b=(1+cosθ,-4)，且a∥b，则锐角θ=( )A、π/4B、π/6C、π/3D、5π/6 或7π/68.若C分AB所成比为-3，则A分CB所成的比是（A、-3/2B、3/2C、-2/3D、-29.XXX<0，则a与b的夹角θ的范围是（）A、[π/2，π)B、[0，π/2)C、(π/2，π)D、(0，π/2]10.设a与b都是非零向量，若a在b方向的投影为3，b 在a方向的投影为4，则a的模与b的模之比值为（）A、3/4B、4/3C、3/7D、4/7cos(－)a·b=cos(－)=1/2sin(－)=±√3/2又∵∈（,），=，且sin(－)＞0sin(－)=√3/2π/3sin cos－cos sin=1/2sin(＋)=√3/22π/3sin=√3/217．（1）|a+b|=|e1+e2|=√2a+b|2=2a|2+|b|2+2a·b=2a·b=-1/2又kab·(a－3b)=0ka·a－3kb·b=0k=9/52）ka·b+3kb·b=0k=-3/5四、19．（1）设所求向量为c，则c·a=0，c·b=0 c·(a+b)=0又∵a+b=（1,1,1），∴c·（1,1,1）=0c与（1,1,1）垂直又∵c·(a－b)=0c·（1，－1，0）=0c与（1，－1，0）垂直c∥（0，0，1）c=k（0，0，1）又∵c·a=0k=－1/3所求向量为（0，0，1/3）2）设所求向量为c，则c∥a×b又∵a×b=（1，1，1）c∥（1，1，1）c=k（1，1，1）又∵c·a=0k=-1/3所求向量为（－1/3，－1/3，－1/3）165∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ+sinαsinβcos(α-β)∵α∈(-π/2,π/2)sin(α-β)=-sinα=-(-cos(α-β)sinβ/cosβ)=cos(α-β)sinβ/cosβ5/4*sinβ+3/5*cosβ17.解：1) |a+b|²=|-2e₁+4e₂|²=4e₁²+16e₂²-8e₁e₂又e₁⊥e₂，e₁·e₂=0，e₁²+e₂²=1a+b|²=20a+b|=√20=2√5又|e₁|=|e₂|=1a|=|b|=√22) (ka+b)·(a-3b)=k|a|²-2k(a·b)+b·a-3|b|²又|a|=|b|=√2ka+b)·(a-3b)=2k-6+2=2k-4又(a+b)·(a-3b)=-4k=1918.解：1)a·b=cosx·cosx-sinx·sinx=cos2xa+→b|=√(4cos²x+4)=2√(cos²x+1)2)f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos2x-4λcosx2cos²x-1-4λcosx2(cosx-λ)²-2λ²-1当λ<0时，f(x)无最小值当0≤λ≤1时，f(x)在cosx=λ时取得最小值-2λ²-1当λ>1时，f(x)在cosx=1时取得最小值1-4λ要使f(x)取得最小值-3，需解方程-2λ²-1=-3，解得λ=√2/2。
《平面向量》单元检测题-高中数学单元检测题附答案(最新整理)
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.整理得：2te21＋(2t2＋7)e1·e2＋7te2<0.(*)
∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°.∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1 1
∴(*)式化简得：2t2＋15t＋7<0.解得：－7<t<－ . 2
当向量 2te1＋7e2 与 e1＋te2 夹角为 180°时，设 2te1＋7e2＝λ(e1＋te2) (λ<0)．
5
3 由 5c＝－3a－4b 两边平方得 a·b＝0，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝－ .故选 B.
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【第 12 题解析】若 a＝(m，n)与 b＝(p，q)共线，则 mq－np＝0，依运算“⊙”知 a⊙b＝0，故 A 正确．由
于 a⊙b＝mq－np，又 b⊙a＝np－mq，因此 a⊙b＝－b⊙a，故 B 不正确．对于 C，由于 λa＝(λm，λn)，
k＋t2 y＝－ka＋tb，且 x⊥y，试求 的最小值．
t
→
→
→
20．(本小题满分 12 分)设OA＝(2,5)，OB＝(3,1)，OC＝(6,3)．在线段 OC 上是否存在点 M，使 MA⊥MB？
若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．(本小题满分 12 分)设两个向量 e1、e2 满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2 的夹角为 60°，若向量 2te1＋7e2 与 e1＋te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围．
14．a，b 的夹角为 120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
1 15．已知向量 a＝(6,2)，b＝(－4， )，直线 l 过点 A(3，－1)，且与向量 a＋2b 垂直，则直线 l 的方程为
平面向量单元测试卷及答案
《平面向量》单元测试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列命题中的假命题是（ ） A 、→-→-BA AB 与的长度相等； B 、零向量与任何向量都共线； C 、只有零向量的模等于零；D 、共线的单位向量都相等。
2．；；④；③∥；②是单位向量；①是任一非零向量，若1|b |0|a |b a |b ||a |b a ±=>>→→→→→→→→），其中正确的有（⑤→→→=b a a|| A 、①④⑤B 、③C 、①②③⑤D 、②③⑤3．首尾相接能，，；命题乙：把命题甲：是任意三个平面向量，，，设→→→→→→→→→→=++c b a 0c b a c b a 围成一个三角形。
则命题甲是命题乙的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、非充分也非必要条件 4．）的是（下列四式中不能化简为→-AD A 、→-→-→-++BC CD AB ）（B 、）（）（→-→-→-→-+++CD BC MB AM C 、）（）（→-→-→-→--++CB AD AB ACD 、→-→-→-+-CD OA OC5．），则（），（，），（设21b 42a -=-=→→A 、共线且方向相反与→→b a B 、共线且方向相同与→→b a C 、不平行与→→b aD 、是相反向量与→→b a6．如图1，△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 和AB 的中点，G 是△ABC 中的重心，则下列各等式中不成立的是（ ）A 、→-→-=BE 32BG B 、→-→-=AG 21DG C 、→-→--=FG 2CG D 、→-→-→-=+BC 21FC 32DA 317．）（，则锐角∥，且），（，），（设=-+=--=→→→→θθθb a 41cos 1b cos 12aA B C D EFG ͼ1A 、4πB 、6πC 、3πD 、36ππ或 8．）所成的比是（分，则所成比为分若→-→--CB A 3AB C A 、23-B 、3C 、32-D 、-29．）的范围是（的夹角与，则若θ→→→→<⋅b a 0b a A 、)20[π，B 、)2[ππ，C 、)2(ππ，D 、]2(ππ，10．→→→→→→→→b a 4a b 3b a b a 的模与，则方向的投影为在，方向的投影为在都是非零向量，若与设 的模之比值为（ ） A 、43B 、34 C 、73 D 、74二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 11．。
平面向量单元测试(含答案)
《平面向量》单元测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点， 则向量=CD （ ）A ．BA BC 21+- B ．BA BC 21--C ．BA BC 21-D ．BA BC 21+2．与向量a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛b ,21,27⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是（ ）A ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54B ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 C ．⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 D ．⎪⎭⎫-⎝⎛31,322或⎪⎭⎫⎝⎛-31,322 3．设a r 与b r 是两个不共线向量，且向量a b λ+r r 与()2b a --r r共线，则λ=（ ）A ．0B ．－1C ．－2D ．0.54．已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a ，则b =（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D ．（1，0）5．如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量 的数量积中最大的是（ ）A ．3121P P P P ⋅B ．4121P P P P ⋅C ．5121P P P P ⋅D ．6121P P P P ⋅ 6．在OAB ∆中，OA a =u u u r ，OB b =u u u r ，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=u u u r u u u r，则实数λ等 于 （ ）A ．2()a b a a b⋅-- B ．2()a a b a b⋅--C ．()a b a a b⋅--D ．()a a b a b⋅--7．设1(1,)2OM =u u u u r ，(0,1)ON =u u u r ，则满足条件01OP OM ≤⋅≤u u u r u u u u r ，01OP ON ≤⋅≤u u u r u u u r 的动点P 的 变化范围（图中阴影部分含边界）是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．将函数f (x )=tan(2x +3π)+1按向量a 平移得到奇函数g(x )，要使|a |最小，则a =（ ）A ．（,16π-）B ．（,16π-）C ．（,112π）D ．（,112π--）9．已知向量a r 、b r 、c r 且0a b c ++=r r r r ，||3a =r ，||4b =r ，||5c =r .设a r 与b r 的夹角为1θ，b r与c r 的夹角为2θ，a r 与c r的夹角为3θ，则它们的大小关系是（ ）A ．123θθθ<<B ．132θθθ<<C ．231θθθ<<D ．321θθθ<<10．已知向量),(n m a =，)sin ,(cos θθ=b ，其中R n m ∈θ,,.若||4||b a =，则当2λ<⋅b a 恒成立时实数λ的取值范围是（ ）A ．2>λ或2-<λB ．2>λ或2-<λC ．22<<-λD ．22<<-λ11．已知1OA =u u u r，OB =u u u r ，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，点C 在AOB ∠内，且30oAOC ∠=，设OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r (,)m n R ∈，则mn等于（ ）A ．13B ．3 C．3D12．对于直角坐标平面内的任意两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，定义它们之间的一种“距离”：2121.AB x x y y =-+-给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则;AC CB AB += ②在ABC ∆中，若90,o C ∠=则222;AC CB AB +=③在ABC ∆中，.AC CB AB +> 其中真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．在中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r _______.（用a b r r 、表示）14．已知()()2,1,1,1,A B O --为坐标原点，动点M 满足OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r，其中,m n R ∈且2222m n -=，则M 的轨迹方程为 .15．在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(+⋅的最小值为 .16．已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量)sin 1,sin 1(x x -=，)2cos ,2(x =.（1）若]2,0(π∈x ，试判断与能否平行？（2）若]3,0(π∈x ，求函数x f ⋅=)(的最小值.18．（本小题满分12分）（2006年湖北卷）设函数()()c b a x f +⋅=，其中向量()()x x b x x a cos 3,sin ,cos ,sin -=-=，()R x x x c ∈-=,sin ,cos .（1）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（2）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .19．（本小题满分12分）（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（1）若a⊥b，求θ；（2）求｜a＋b｜的最大值．20.（本小题满分12分）在ABC △中，2AB AC AB AC ⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r． （1）求22AB AC +u u u r u u u r 的值；（2）当ABC △的面积最大时，求A ∠的大小．21．（本小题满分12分）（2006陕西卷）如图，三定点A (2,1)，B (0,－1)，C (－2,1); 三动点D ，E ，M 满足]1,0[,,,∈===t t t t （1）求动直线DE 斜率的变化范围; （2）求动点M 的轨迹方程.22．（本小题满分14分）已知点P 是圆221x y +=上的一个动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，设OM OP OQ =+u u u u r u u u r u u u r .（1）求点M 的轨迹方程；（2）求向量OP uuu r 和OM u u u u r夹角的最大值，并求此时P 点的坐标参考答案1．21+-=+=，故选A ． 2．B 设所求向量e r=（cos θ,sin θ）,则由于该向量与,a b r r 的夹角都相等,故e b e a e b e a ⋅=⋅⇔=⋅||||||||7117cos sin cos sin 2222θθθθ⇔+=-⇔3cos θ=-4sin θ,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B 选项成立,故选B ．3．D 依题意知向量a b λ+r r 与-2共线，设a b λ+r rk =（-2），则有)()21(=++-k k λ，所以⎩⎨⎧=+=-0021λk k ，解得5.0=k ，选D ． 4．解选B ．设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y =+=1,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 5．解析:利用向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =u u u u r u u u rg 的几何意义:数量积121i PP PP u u u u r u u u rg 等于12P P u u u u r的长度12PP u u u u r 与1i PP u u u r 在12P P u u u u r 的方向上的投影1121cos ,i iPP PP PP <>u u u r u u u u r u u u r的乘积.显然由图可知13P P u u u u r 在12P P u u u u r 方向上的投影最大.所以应选(A).6．B (),,AD AB OD OA OB OA λλ=∴-=-u u u r u u u r u u u r u u u r Q 即得()()11,OD OA OB a b λλλλ=-+=-+u u u r u u u r u u u r又OD Q 是AB 边上的高，0OD AB ∴⋅=u u u r u u u r即()()()0,10OD OB OA a b b a λλ⋅-=∴-+⋅-=⎡⎤⎣⎦u u u r u u u r u u u r ，整理可得()2(),b a a a b λ-=⋅-即得()2a ab a bλ⋅-=-，故选B ． 7．A 设P 点坐标为),(y x ，则),(y x =.由01OP OM ≤⋅≤u u u r u u u u r ，01OP ON ≤⋅≤u u u r u u u r得⎩⎨⎧≤≤≤+≤10220y y x ，在平面直角坐标系中画出该二元一次不等式组表示的平面区域即可，选A ．8．A 要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)=tan(2x+3π)+1的图象向下平移1个单位，再向右平移)(62Z k k ∈+-ππ个单位.即应按照向量))(1,62(Z k k a ∈-+-=ππ进行平移.要使|a|最小，应取a=（,16π-），故选A ．9．B 由0a b c ++=r r r r得)(+-=，两边平方得1222cos ||||2||||||θ++=，将||3a =r ，||4b =r ，||5c =r 代入得0cos 1=θ，所以0190=θ；同理，由0a b c ++=r r r r得)(b c a +-=，可得54cos 2-=θ，53cos 3-=θ，所以132θθθ<<.10． B 由已知得1||=b ，所以4||22=+=n m a ，因此)sin(sin cos 22ϕθθθ++=+=⋅n m n m b a 4)sin(4≤+=ϕθ，由于2λ<⋅恒成立，所以42>λ，解得2>λ或2-<λ.11．答案B ∵ 1OA =u u u r，OB =u u u r，0OA OB ⋅=u u u r u u u r∴△ABC 为直角三角形，其中1142AC AB ==∴11()44OC OA AC OA AB OA OB OA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴31,44m n == 即3m n= 故本题的答案为B ． 12．答案B 取特殊值、数形结合A BC在ABC ∆中， 90oC ∠=，不妨取A （0，1）， C （0，0），B （0，1），则 ∵2121AB x x y y =-+- ∴ 1AC = 、1BC =、|10||01|2AB =-+-= 此时222AC CB +=、24AB = 、222AC CB AB +≠；AC CB AB +=即命题②、③是错误的.设如图所示共线三点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则1313||||||||||||AC x x y y AC CC ''-+-=+＝＝||||||||AB B C C C C C ''''''''+++ ＝||||||||AB B B BC C C ''''''+++1212||||||||||||AB x x y y AB BB ''=-+-=+ 2323||||||||||||BC x x y y BC C C ''''=-+-=+∴ AC CB AB += 即命题①是正确的. 综上所述，真命题的个数1个，故本题的答案为B ．13．解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12AM a b =+u u u u r r r，所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r .14．2222=-y x 设),(y x M ，则),(y x =，又)1,1(),1,2(-=-=，所以由OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r 得),(),2(),(n n m m y x -+-=，于是⎩⎨⎧+-=-=nm y n m x 2，由2222m n -=消去m, n 得M 的轨迹方程为：2222=-y x . 15．2- 如图，设x AO =，则x OM -=2，所以)(+⋅OM OA OM OA ⋅⋅-=⋅=222)1(242)2(222--=-=--x x x x x ，故当1=x 时，OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r取最小值-2.AC 'CBB 'C ''16．21≠m 因为)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，所以),1(),1,3(m m ---==.由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以与不共线，而当AB 与BC 共线时，有m m -=--113，解得21=m ，故当点A 、B 、C 能构成三角形时实数m 满足的条件是21≠m .17．解析：（1）若与平行，则有2sin 12cos sin 1⋅-=⋅x x x ，因为]2,0(π∈x ，0sin ≠x ，所以得22cos -=x ，这与1|2cos |≤x 相矛盾，故a 与b 不能平行.（2）由于x f ⋅=)(xx x x x x x x x sin 1sin 2sin sin 21sin 2cos 2sin 2cos sin 22+=+=-=-+=，又因为]3,0(π∈x ，所以]23,0(sin ∈x ， 于是22sin 1sin 22sin 1sin 2=⋅≥+x x x x ，当xx sin 1sin 2=，即22sin =x 时取等号.故函数)(x f 的最小值等于22.18．解：（Ⅰ）由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx －cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π). 所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π. （Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ， 于是d ＝（832ππ-k ，－2），,4)832(2+-=ππk d k ∈Z. 因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求. 19．解析：解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．20．解：（Ⅰ）由已知得：222,2 4.AB AC AB AB AC AC ⎧⋅=⎪⎨-⋅+=⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 因此，228AB AC +=u u u r u u u r ． （Ⅱ）2cos AB AC A AB AC AB AC⋅==⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur ， 1sin 2ABC S AB AC A =⋅u u ur u u u r △12AB =⋅u u ur u u=≤=．（当且仅当2AB AC ==u u u r u u u r 时，取等号），当ABC △1cos 2AB AC A AB AC⋅==⋅u u u r u u u ru u u r u u u r，所以3π=∠A . 解：（I ）由条件知： 0a b =≠r r 且2222(2)444a b a b a b b +=++=r r r r r r r g42-=⋅， 设a b r r 和夹角为θ，则41||||cos -==b a θ， ∴1cos 4arc θπ=-，故a b r r 和的夹角为1cos 4arc π-，（Ⅱ）令)a a b -r r r和(的夹角为βQ a b a -===r r r， ∴41021cos 222=+===β∴ )a a b -r r r和(的夹角为21．解析：如图，（Ⅰ）设D(x 0,y 0),E(x E ,y E ),M(x ,y).由AD →=tAB →, BE → = t BC →,知(x D －2,y D －1)=t(－2,－2). ∴⎩⎨⎧x D =－2t+2y D =－2t+1 同理 ⎩⎨⎧x E =－2ty E =2t －1.∴k DE = y E －y D x E －x D = 2t －1－(－2t+1)－2t －(－2t+2)= 1－2t. ∴t ∈[0,1] , ∴k DE ∈[－1,1].（Ⅱ） 如图, OD →=OA →+AD → = OA →+ tAB →= OA →+ t(OB →－OA →) = (1－t) OA →+tOB →,OE →=OB →+BE → = OB →+tBC → = OB →+t(OC →－OB →) =(1－t) OB →+tOC →,OM → = OD →+DM →= OD →+ tDE →= OD →+t(OE →－OD →)=(1－t) OD →+ tOE →= (1－t 2) OA → + 2(1－t)tOB →+t 2OC →.设M 点的坐标为(x ,y),由OA →=(2,1), OB →=(0,－1), OC →=(－2,1)得 ⎩⎨⎧x=(1－t 2)·2+2(1－t)t ·0+t 2·(－2)=2(1－2t)y=(1－t)2·1+2(1－t)t ·(－1)+t 2·1=(1－2t)2 消去t 得x 2=4y, ∵t ∈[0,1], x ∈[－2,2]. 故所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2]22．解析：（1）设(,)P x y o o ，(,)M x y ，则(,)OP x y =o o u u u r ，(,0)OQ x =o u u u r，(2,)OM OP OQ x y =+=o o u u u u r u u u r u u u r222212,1,124x x x x x x y y y y y y⎧==⎧⎪∴⇒+=∴+=⎨⎨=⎩⎪=⎩o o o o o o Q .（2）设向量OP uuu r 与OM u u u u r的夹角为α，则22cos ||||OP OMOP OM α⋅===⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r 令231t x =+o，则cos α==≥当且仅当2t =时，即P点坐标为(时，等号成立.第21题解法图OP u u u r 与OM u u u u r夹角的最大值是.。
平面向量单元测试题与答案
平面向量单元测试姓名: 班级: 学号一、选择题: 本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知,3,2,==⊥b a b a且b a 23+与b a -λ垂直,则实数λ的值为---------A . ;23-B . ;23C . ;23±D . ;1 2．已知A 、B 、C 三点共线,O 是这条直线外一点,设,a OA =,b OB =,c OC =且存在实数m ,使30ma b c -+=成立,则点A 分BC 的比为 ------A . 31-B . 21-C . 31D . 213．已知向量(2,2),(4,1)OA OB ==,在x 轴上有一点P ,使AP BP 有最小值,则点P 的坐标为 (3,0)A - B .2,0 C . 3,0 D .4,0 4．已知向量(6,4),(0,2),,a b OC a b λ===+若点C 在函数sin 12y x π=的图象上,则实数λ的值为 A52 B 32 C 52- D 32- 5．在△ABC 中,若a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且cos 2B ＋cosB ＋cosA －C ＝1,则 A 、a 、b 、c 等比 B 、a 、b 、c 等差 C 、a 、c 、b 等比 D 、a 、c 、b 等差 6．已知函数y ＝－3cos 2x ＋错误!＋4按向量错误!平移后所得图象表示的函数y ＝fx 是奇函数,则向量错误!可以是 A 、－错误!,－4 B 、－错误!,－4 C 、错误!,4 D 、－错误!,47．在ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且ccb A 22cos 2+=,则ABC 的形状为 A ．正三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰直角三角形 8．在△ABC 中,内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ,若a ＋c ＝2b ,则cot 错误!＝ A 、－2 B 、－3 C 、2 D 、39．O 是ABC ∆所在平面内一点,且满足()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=,则ABC ∆的形状是 A 正三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 斜三角形 10．已知向量a ≠e ,|e |＝1,对任意t ∈R ,恒有|a －t e |≥|a －e |,则A a ⊥eB a ⊥a －eC e ⊥a －eD a ＋e ⊥a －e11.在OAB ∆中,a OA =,b OB =,M 为OB 的中点,N 为AB 的中点,P点,则=APA ．b a 3132-B ．b a 3132+-C ．b a 3231-D ．b a 3231+-12．在同一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ满足关系式：222222OA BC OB CA OC AB +=+=+,则Ｏ为ABC ∆的13、已知),3(λ=a,)3,4(-=b ,若a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围为________ 14．在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,所对的得边长,若B aC B A c b a sin 3)sin sin )(sin (=-+++,则=C ．A15．在△ABC 中,tanB=1,tanC=2,b=100,则a =______.16．在△ABC 中,BC 边上的中线长为m a ,用三边a 、b 、c 表示m a ,其公式是__________. 17．若 a 、b 、c 为△ABC 的三边,其面积S △ABC =123,bc =48,b －c =2,则a=_________. 三．解答题共32分18．10分已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3, 且BC AB BC AB 与,6=⋅的夹角为θ．Ⅰ求θ的取值范围；Ⅱ求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f 的最值及相应的θ的值．19．10分 某市现有自市中心O 通往正东方向和北偏西30°方向的两条主要公路,为了解决该市交通拥挤问题,市政府决定修建一条环城公路,分别在正东方向和北偏西30°方向的两条主要公路上选取A 、B 两点,使环城公路在A 、B 间为直线段,要求AB 路段与市中心O 的距离为10km ,且使A 、B 间距离|AB |最小,请你确定A 、B 两点的最佳位置.20．12分已知向量错误!＝cos 错误!x ,sin 错误!x ,错误!＝cos 错误!,－sin 错误!,其中x ∈0,错误!1求错误!·错误!及|错误!＋错误!|；2若fx ＝错误!·错误!－2λ|错误!＋错误!|的最小值为－错误!,求λ的值选择题答案见题目.参考答案13、4λ<且94λ≠-14．60ο15．605 16．222)(221a c b -+17．a =213或237.18．解：Ⅰ,6cos ||||=⋅=⋅θBC AB BC AB ① ,sin ||||21θBC AB S ⋅=② ②÷①得：,tan 3,tan 216θθ==S S 由3≤S ≤3,得,3tan 33≤≤θ-----2分 A B 30°,1tan 33≤≤θ ∴ ]4,6[ππθ∈．--------------------------------------5分 Ⅱθθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f ＝２θθ2cos 2sin ++＝)42sin(22πθ++．]43,127[42πππθ∈+．--------------------------------8分当6,12742πθππθ==+时,2325)(max +=θf ； 当4,4342πθππθ==+时,3)(min =θf ．------------------------------------------10分19．作OC ⊥AB 于C ,并设∠AOC ＝α,于是|AB |＝|AC |＋|BC |＝10tan α＋10tan 120°－α ＝10错误!＝错误! ＝错误! ＝错误!当cos 2α－120°＝1,即2α－120°＝0°,也即α＝60°时, |AB |最小,可求得,此时|OA |＝|OB |＝20km 满足条件. 20、1错误!·错误!＝cos 错误!xcos 错误!－sin 错误!xsin 错误!＝cos 2x ,|错误!＋错误!|＝错误!＝2cosx2fx ＝错误!·错误!－2λ|错误!＋错误!|＝cos 2x －4λcosx ＝2cos2x －1－4λcosx ＝2cosx －λ2－2λ2－1注意到x ∈0,错误!,故cosx ∈0,1,若λ＜0,当cosx ＝0时fx 取最小值－1.不合条件,舍去.若0≤λ≤1,当cosx ＝λ时,fx 取最小值－2λ2－1,令－2λ2－1＝－错误!且0≤λ≤1,解得λ＝错误!, 若λ＞1,当cosx ＝1时,fx 取最小值1－4λ, 令1－4λ＝－错误!且λ＞1,无解综上：λ＝错误!为所求.A OB 30° Cα。
(完整版)平面向量单元测试卷含答案
平面向量单元达标试卷一、选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1．化简BC AC AB --等于( ) A ．0B ．2BCC ．BC 2-D ．AC 22．已知四边形ABCD 是菱形，有下列四个等式：①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=-④||||BC AB BC AB -=+，其中正确等式的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．13．如图，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD ＝( )A ．BA BC 21+- B ．BA BC 21-- C ．BA BC 21-D ．BA BC 21+4．已知向量a 、b ，且b a 2+=MN ，b a 65+-=NQ ，b a 27-=QR ，则一定共线的三点是( )A ．M 、N 、QB ．M 、N 、RC ．N 、Q 、RD ．M 、Q 、R5．下列各题中，向量a 与b 共线的是( )A ．a ＝e 1＋e 2，b ＝e 1－e 2B ．2121e e a +=，2121e e b += C ．a ＝e 1，b ＝－e 2D ．2110131e e a -=，215132e e b +-=二、填空题6．一飞机从甲地按南偏东15°的方向飞行了2000千米到达乙地，再从乙地按北偏西75°的方向飞行2000千米到达丙地，则丙地相对于甲地的位置是________.7．化简=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-)76(4131)34(32b a b b a ________. 8．已知数轴上三点A 、B 、C ，其中A 、B 的坐标分别为－3、6，且｜CB ｜＝2，则｜AB ｜＝________，数轴上点C 的坐标为________．9．已知2a ＋b ＝3c ，3a －b ＝2c ，则a 与b 的关系是________．三、解答题10．已知向量a、b，求作a＋b，a－b．(1)(2)(3)(4)11．如图所示，D、E是△ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知BC＝a ，BD＝b．试用a、b表示DE、CE和MN．12．已知梯形ABCD中，AB∥DC，设E和F分别为对角线AC和BD的中点，求证EF 平行于梯形的底边．单元达标1．C 2．C 3．A 4．B 5．D6．丙地在甲地南偏西45°方向上，且距甲地2000千米． 7．b a 181135- 8．9，4或8 9．a ＝b10．图略11．由三角形中位线定理，知a 2121==BC DE ，b a +-=++=DE BD CB CE b a a +-=+2121．b a a -+-=++=++=21412121BC DB ED BN DB MD MN 即b a -=41MN ．12．证：a =AB ，b =BC ，c =CD ，d =DA ，则a ＋b ＋c ＋d ＝0，∵DC AB // 故可设c ＝m a (m 为实数且m ≠－1)，又BF AB EA EF ++=，但2121==CA EA )(21)(d c +=+DA CD ，)(21)(2121c b +=+==CD BC BD BF 故++=)(21d c EF a ＋21(b ＋c )＝21(a ＋b ＋c +d )＋21(a ＋c )＝21(a ＋c )＝21(m ＋1)a ，所以AB EF //，又因为EF 与AB 没有公共点，所以EF ∥AB ．。
平面向量单元测试 Word版 含答案
平面向量一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在边长为3的等边三角形ABC 中，2CD DB = ，则AB CD ⋅等于( )A．-B ．3-C ．3D．【答案】C2．12、无论),,(321x x x a =，),,(321y y y b =，),,(321z z z c =,是否为非零向量，下列命题中恒成立的是( ) A ． 232221232221332211,cos y y y x x x y x y x y x b a ++⋅++++>=<B ．若//，//，则//C ． c b a ∙∙)()(c b a ∙∙=D ．【答案】D3．下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C4．已知,a b均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b += ( )A ．B ．C ． 4D ． 13【答案】A5．在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅的取值范围是( )A. [7,)+∞B.（0，16）C. (7,16] D ．[7,16)【答案】D6．设e 1,e 2是夹角为450的两个单位向量,且a=e 1+2e 2,b=2e 1+e 2,,则|a+b|的值( ) A ．23 B ．9 C ．2918+ D ．223+ 【答案】D7．对于非0向时a,b,“a//b ”的正确是( )A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 【答案】A8．已知的夹角是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( )A ．14B ．12C ．1D ．2 【答案】B 10．在ABC ∆中，b AC c AB ==,。
平面向量 单元测试(含答案)
《平面向量》一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5===（ ）A ．)35(2121e e +B ．)35(2121e e -C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 2．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -3．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（ ）A ．c b a =+B ．d b a =-C ．d a b =-D ．b a c =-5．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为 （ ） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5） C ．（5，－5）或（－3，－5） D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5） 7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 8．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为（ ）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或)135,1312(--D ．)135,1312(±±9．若32041||-=-b a ，5||,4||==b a ，则b a 与的数量积为（ ）A ．103B ．－103C ．102D ．1010．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为( ）A ．)223,22(--B ．)223,22(C ．)22,223(-D ．)22,223(-11．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=Q 一定不平行的向量是 （ ）A ．),(k k b =B ．),(k k c --=C ．)1,1(22++=k k dD ．)1,1(22--=k k e12．已知12||,10||==b a ，且36)51)(3(-=b a ，则b a 与的夹角为（ ）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°二、填空题13．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 .14．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 15．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= .16．已知e 为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π32，则e a 在方向上的投影为 . 三、解答题17．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥18．已知在△ABC 中，)3,2(=AB ，),,1(k AC =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值.19、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.20．已知2||=a 3||=b ,b a 与的夹角为60o,b a c 35+=,b k a d +=3,当当实数k 为何值时，⑴c ∥dc⑵d21．如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证：①PA=EF；②PA⊥EF.22．如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.参考答案一．选择题：二、填空题：13． 120°； 14． 矩形 15、 1± 16． 2- 三、解答题： 17．证：()()22ba b a -=+⇒+=+⇒-=+0222222=⇒+-=++⇒b a b b a a b b a a为非零向量又b a ,b a ⊥∴18．解：)3,1()3,2(),1(--=-=-=k k AB AC BC0)3,1(),1(0=--⋅⇒=⋅⇒⊥⇒∠∠k k BC AC BC AC RT C 为 21330312±=⇒=-+-⇒k k k19．()212121432e e e e e e CB CD BD-=+--=-=若A ，B ，D 三点共线，则BD AB 与共线，BD AB λ=∴设即212142e e e k e λλ-=+由于不共线与21e e 可得：221142e e k e e λλ-==故8,2-==k λ20.⑴若c ∥d 得59=k ⑵若d c ⊥得1429-=k21.解以D 为原点DC 为x 轴正方向建立直角坐标系 则A(0,1), C:(1,0) B:(1,1))22,22(,r r P r DP 则设= )221,22(r r PA --=∴)0,22(:),22,1(r F r E 点为 )22,122(r r EF --=∴ 22)221()22(||r r PA -+-=∴ 22)22()221(||r r EF -+-=∴故EF PA =EF PA EF PA ⊥⇒=⋅0而22.证:PA PC AC PB PD BD-=-=,22222222||2||)(||||2||)(||PA PA PC PC PA PC AC PB PD PB PD PB PD BD +-=-=+-=-=∴0,,,=⋅=⋅⇒⊥⊥PC PA PB PD PC PA PB PD AC BD 故为直径 222222||||||||||||PD PC PB PA AC BD +++=+∴即2222222844r PD PC PB PA r r =+++=+。
平面向量及其应用单元测试题+答案 百度文库
一、多选题1．题目文件丢失！2．下列说法中正确的是（ ）A ．对于向量,,a b c ，有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的充分而不必要条件D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则0λμ+=3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >D ．sin sin sin +=+a b cA B C4．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°D ．()//2a a b +5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ）A ．B ．C ．8D ．6．下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++ D ．AB AC BD CD -+- 7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ）A ．若a b >，则sin sin AB >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形8．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1()2AD AB AC =+ C ．8BA BC ⋅=D ．AB AC AB AC +=-9．下列命题中，结论正确的有（ ） A ．00a ⨯=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若//AB CD ，则A ､B ､C ､D 四点共线；D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形. 10．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b =B ．a b =C ．a 与b 的方向相反D ．a 与b 都是单位向量11．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)-B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)12．点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形13．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 14．下列说法中错误的是( )A ．向量AB 与CD 是共线向量,则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线 C ．若,a b b c ==，则a c =D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 15．下列命题中正确的是( )A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =二、平面向量及其应用选择题16．已知ABC 的面积为30，且12cos 13A =，则AB AC ⋅等于（ ） A ．72B ．144C ．150D ．30017．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（ ）A ．5B ．22C ．4D ．1618．下列说法中说法正确的有（ ）①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④B ．①②④C ．①②⑤D ．③⑥19．设θ为两个非零向量,a b →→的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →→-的最小值为1，则（ ）A ．若θ确定，则||a →唯一确定 B ．若θ确定，则||b →唯一确定 C ．若||a →确定，则θ唯一确定D ．若||b →确定，则θ唯一确定20．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若22sin cos sin a b cA B B===，则ABC ∆的面积为（ ） A ．2B ．4C ．2D ．2221．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．4322．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m23．已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，则12S S = A ．310 B．38C ．25D ．421 24．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()20BC OB OC OA ⋅+-=，则ABC 一定为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形25．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）A ．62-B ．1(62)2- C ．62+D ．1(62)2+26．题目文件丢失！27．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（ ）． A ．4B ．3C ．-4D ．528．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）A ．34B ．58C ．38D ．2329．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，则①AD ＝－b －12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．430．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，1AD =，则BD AC ⋅=（ ）A ．2-B ．3-C ．2D ．531．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（ ）A ．6B C ．D32．已知ABC 中，1,30a b A ︒===，则B 等于（ ）A ．60°B ．120°C ．30°或150°D ．60°或120°33．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC - C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+34．题目文件丢失！35．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=︒==，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．12D ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．无 2．BCD 【分析】．向量数量积不满足结合律进行判断 ．判断两个向量是否共线即可 ．结合向量数量积与夹角关系进行判断 ．根据向量线性运算进行判断 【详解】解：．向量数量积不满足结合律，故错误， ．， 解析：BCD 【分析】A ．向量数量积不满足结合律进行判断B ．判断两个向量是否共线即可C ．结合向量数量积与夹角关系进行判断D ．根据向量线性运算进行判断 【详解】解：A ．向量数量积不满足结合律，故A 错误，B ．1257-≠，∴向量1(1,2)e =-，2(5,7)e =不共线，能作为所在平面内的一组基底，故B 正确，C ．存在负数λ，使得m n λ=，则m 与n 反向共线，夹角为180︒，此时0m n <成立，当0m n <成立时，则m 与n 夹角满足90180θ︒<︒，则m 与n 不一定反向共线，即“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的充分而不必要条件成立，故C 正确，D ．由23CD CB =得2233CD AB AC =-， 则23λ=，23μ=-，则22033λμ+=-=，故D 正确故正确的是BCD ， 故选：BCD ． 【点睛】 本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．3．ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确； 对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误； 对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角解析：ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在ABC ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2A B π+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错误；对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以A B >，故C 正确；对于D ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 4．AC【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】 由向量，， 则，故A 正确； ，故B 错误；解析：AC 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量()1,0a =，()2,2b =，则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；222b =+=，故B 错误；2cos ,21a b a b a b⋅<>===⋅+，又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确； 由()1,0a =，()25,4a b +=，140540⨯-⨯=≠，故D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.5．AC 【分析】利用余弦定理：即可求解.在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：， 即，解得. 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基解析：AC 【分析】利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，即216310a a -+=，解得8a = 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.6．BD 【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】对于选项：，选项不正确； 对于选项： ，选项正确； 对于选项：，选项不正确； 对于选项： 选项正确. 故选：解析：BD 【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确； 对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确； 对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；对于选项D ：()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.7．AC 【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判解析：AC 【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误. 【详解】对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>，故A 正确； 对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒= 所以A B =或2A B π+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2A π=，ABC 是直角三角形，故③正确；对D ，因为2220a b c +->，所以222cos 02a b c A ab+-=>，A 为锐角.但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误. 故选：AC 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.8．BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确； 对于C 选项：，故正确； 对于D 选项：，而，故【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错； 对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，()111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=，故正确；对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.9．BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】解：对于A ，，故A 错误；对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确； 对于C ，，则或与共线，故C 错误； 对于D ，在四边形中，若解析：BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】解：对于A ，00a ⨯=，故A 错误； 对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+，2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确； 故选：BD 【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.10．AC【分析】根据共线向量的定义判断即可. 【详解】对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若与的方向相反，解析：AC 【分析】根据共线向量的定义判断即可. 【详解】对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意；对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意；对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意. 故选：AC. 【点睛】本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.11．ABC 【分析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】 第四个顶点为， 当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为； 当时，， 解得解析：ABC 【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-； 当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)； 当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-． 故选:ABC . 【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.12．AD 【解析】 【分析】由条件可得，再两边平方即可得答案. 【详解】∵P 是所在平面内一点，且， ∴， 即， ∴，两边平方并化简得， ∴，∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故解析：AD 【解析】 【分析】由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案. 【详解】∵P 是ABC ∆所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=， ∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=， 即||||CB AC AB =+， ∴||||AB AC AC AB -=+， 两边平方并化简得0AC AB ⋅=， ∴AC AB ⊥，∴90A ︒∠=，则ABC ∆一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故不可能是钝角三角形，等边三角形，故选：AD. 【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.13．AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A 正确； 向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据解析：AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A 正确； 向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据相等向量的概念知，D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．14．AD 【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B解析：AD 【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B 正确； 若,a b b c ==，则a c =，故C 正确；温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误. 故选：AD 【点睛】本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.15．ABD 【详解】解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确． 对解析：ABD 【详解】解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：()m a b ma mb -=-，故A 正确．对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．二、平面向量及其应用选择题16．B 【分析】首先利用三角函数的平方关系得到sin A ，然后根据平面向量的数量积公式得到所求． 【详解】解：因为ABC 的面积为30，且12cos 13A =，所以5sin 13A =，所以1||||sin 302AB AC A ⨯=，得到||||626AB AC ⨯=⨯， 所以12|||||cos 62614413AB AC AB AC A =⨯=⨯⨯=； 故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积；属于中档题． 17．C 【分析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =,再代入余弦定理求解即可. 【详解】ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,∴4A π=.∵1sin 1)24ABCSbc A ===-,∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 18．A 【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若//a b ，则()a b R λλ=∈，必须有0b ≠，故②错误； 对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，a 与c 不共线，故③错误； 对于④：a b a b +≥+，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若0AB BC CA ++=，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 19．B 【分析】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a aθ⋅==时，222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈，所以当2cos b a b t a aθ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2||b ta -的最小值也为1，即222min244()()14a b a b f t a-⋅==，222||cos 1b b θ-=，所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ=，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B 【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 20．A 【分析】首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积. 【详解】 由正弦定理可知2sin sinsin a b cr A B C=== 已知sin cos sin a b cA B B===sin cos B B =和sin sin C B =， 所以45B =，45C=，所以ABC 是等腰直角三角形，由条件可知ABC，即等腰直角三角形的斜边长为 所以122ABCS=⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 21．A 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan2C，从而求得tan C ． 【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan 2CC C ⨯===---， 故选：A ． 【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力． 22．D 【分析】由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得：sin120sin 45BC302sin 45203sin120BC3tan 3020320ABBC故选D【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题． 23．A 【解析】∵2350OA OB OC ++=，∴()()23OA OC OB OC +=-+． 设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-,∵MN为ABC 的中位线，且32 OMON=，∴36132255410OAC OMC CMN ABC ABCS S S S S⎛⎫==⨯=⨯=⎪⎝⎭，即12310SS=．选A．24．C【分析】由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC+-=+，所以()0BC AB AC⋅+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD⊥，进而可得AB AC=，即可得出答案.【详解】由题意，()()2OB OC OA OB OA OC OA AB AC+-=-+-=+，所以()0BC AB AC⋅+=，取BC的中点D，连结AD，并延长AD到E，使得AD DE=，连结BE，EC，则四边形ABEC为平行四边形，所以AB AC AE+=.所以0BC AE⋅=，即BC AD⊥，故AB AC=，ABC是等腰三角形.故选：C.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.25．A【分析】由条件求得∠BCD＝150°，∠CBE＝15°，故∠ABE＝30°，可得∠AEB＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB=︒︒，化简求得AE =-． 【详解】由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°4=， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB=︒︒，∴12AE=，∴AE =）， 故选:A ． 【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．26．无27．C 【分析】先对等式AB AC AB AC +=-两边平方得出AB AC ⊥，并计算出BC CA ⋅，然后利用投影的定义求出BC 在CA 方向上的投影． 【详解】对等式AB AC AB AC +=-两边平方得，222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，整理得，0AB AC ⋅=，则AB AC ⊥，()216BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，设向量BC 与CA 的夹角为θ，所以，BC 在CA 方向上的投影为16cos 44BC CA BC CA BC BC BC CACAθ⋅⋅-⋅=⋅===-⋅， 故选C ． 【点睛】本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题． 28．A【分析】设出()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得()2113m AP AB m AD +=+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+， 因为2CF DF =，所以1133DF DC AB ==， 所以()2113m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点， 所以1122AE AB BC AB AD =+=+. 因为AP AE λ=， 所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭， 则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得34λ=. 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 29．D 【分析】本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案． 【详解】①如图可知AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋12CB ＝－CA －12BC＝－b －12a ，故①正确． ②BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②正确． ③CF ＝CA ＋AE ＝CA ＋12AB ＝b ＋12(－a －b ) ＝－12a ＋12b ，故③正确． ④AD ＋BE ＋CF ＝－DA ＋BE ＋CF＝－(DC ＋CA )＋BE ＋CF＝－(12a ＋b )＋a ＋12b －12a ＋12b ＝0，故④正确． 故选D.【点睛】 本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量．30．A【解析】分析：根据向量加法、减法法则将BD AC ⋅转化为()()AD AB AB BC -+即可求解. 详解：由题可得：BD AC ⋅=()()AD AB AB BC -+=2211()()24222BC AB AB BC BC AB -+=-=-=-,故选A. 点睛：考查向量的线性运算，将问题转化为已知的信息()()AD AB AB BC -+是解题关键. 31．B【分析】由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果.【详解】由条件可知：22226c a b ab =+-+，①由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，②所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，则ABC 的面积为11sin 622S ab C ==⨯=. 故选：B【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.32．D【分析】 由正弦定理可得，3sin 2B =，根据b a >，可得B 角的大小. 【详解】由正弦定理可得，sin 3sin b A B a ==， 又0,,π<<>∴>B b a B A ，60︒∴=B 或120B =.故选：D【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目. 33．A 【分析】作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OC AC AO =-可得出结果.【详解】如下图所示：D 为BC 的中点，则()1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+， 2AO OD =，211333AO AD AB AC ∴==+， 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.34．无35．A【分析】由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值【详解】由题意，可得如下示意图令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33b CM CB == ∴由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠2221216()332333a ab ab ab ab b =+-⨯≥-=，当且仅当3a b =时等号成立 ∴有48ab ≤ ∴113sin 48123222ABC S ab C ∆=≤⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值。
平面向量单元测试题(含答案)
平面向量单元测试题(含答案) 平面向量单元检测题学校：______ 姓名：______ 学号：______ 成绩：______一、选择题（每小题5分，共60分）1.若ABCD是正方形，E是CD的中点，且AB=a，AD=b，则BE的长度为（）A。
b-1/2a。
B。
a-1/2b。
C。
b+1/2a。
D。
a+1/2b2.下列命题中，假命题是（）A。
若a-b=0，则a=bB。
若ab=0，则a=0或b=0C。
若k∈R，ka=0，则k=0或a=0D。
若a，b都是单位向量，则XXX成立3.设i，j是互相垂直的单位向量，向量a=(m+1)i-3j，b=i+(m-1)j，(a+b)⊥(a-b)，则实数m为（）A。
-2.B。
2.C。
-1/2.D。
不存在4.已知非零向量a⊥b，则下列各式正确的是（）A。
a+b=a-b。
B。
a+b=a+b。
C。
a-b=a-b。
D。
a+b=a-b5.在边长为1的等边三角形ABC中，设BC=a，CA=b，AB=c，则a·b+b·c+c·a的值为（）A。
3/2.B。
-3/2.C。
1/2.D。
06.在△OAB中，OA=(2cosα，2sinα)，O B=(5cosβ，5sinβ)，若OA·OB=-5，则△OAB的面积为（）A。
3.B。
3/2.C。
53.D。
53/27.在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=-4a-b，CD=-5a-3b，则四边形ABCD的形状是（）A。
长方形。
B。
平行四边形。
C。
菱形。
D。
梯形8.把函数y=cos2x+3的图象沿向量a平移后得到函数y=sin(2x-π/6)，则向量a的坐标是（）A。
(π/3，-3)。
B。
(π/6，3)。
C。
(π/12，-3)。
D。
(-π/12，3)9.若点F1、F2为椭圆x^2/4+y^2/9=1的两个焦点，P为椭圆上的点，当△F1PF2的面积为1时，PF·PF的值为（）A。
4.B。
1.C。
3.D。
平面向量测试题及答案
平面向量测试题及答案【篇一：平面向量单元测试与答案】1．已知△abc的三个顶点a、b、c及所在平面内一点p满足pa?pb?pc?ab，则点p与△abc的关系为( )a．p在△abc内部b．p在△abc外部 c．p在ab边所在直线上 d. p在△abc的ac边的一个三等分点上2．已知向量op?(1,1),op?(4,?4)，且p2点分有向线段pp 所成的比为－2，则op的坐标是112( )a．(?53532,2)b．(2,?2)c．（7，－9） d．（9，－7） 3．设?i,?j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，op?3cos??i?3sin??j，??(0,??2),oq??i。
若用?来表示op与oq的夹角，则?等于a．?b．?2??c．?2??d．???5．设平面上有四个互异的点a、b、c、d，已知（db?dc?2da)?(ab?ac)?0,则△abc的形状是( )a．直角三角形b．等腰三角形 c．等腰直角三角形d．等边三角形6．设非零向量a与b的方向相反，那么下面给出的命题中，正确的个数是（）b．c．15d．168．下列命题中：a?b?b?c则b?c,当且仅当a?0时成立其中正确命题的序号是a．①⑤ b．②③④ c．②③ d．①④⑤（） 9．在△abc中，已知|ab|?4,|ac|?1,s?abc?3,则ab?ac的值为a．－2b．210．已知，a（2，3），b（－4，5），则与ab共线的单位向量是a．e?(?310,)b．e?(?3,)或(3101010,?1010)c．e?(?6,2)d．e?(?6,2)或(6,2)11．设点p分有向线段p31p2所成的比为4，则点p1分p2p所成的比为a．?37b．?74c．?7 d．?43712．已知a?(1,2),b?(?3,2),ka?b与a?3b垂直时k值为a．17 b．18 c．19 d．2013．已知向量a,b的夹角为?3，|a|?2,|b|?1,则|a?b|?|a?b|? ．( )）））））（（（（（14．把一个函数图像按向量a?(?3,?2)平移后，得到的图象的表达式为y?sin(x??6)?2，则原函数的解析式为15．已知|a|=5,|b|=5, |c|=25,且a?b?c?0,则a?b?b?c?c?a=_______16．已知点a(2，0)，b(4，0)，动点p在抛物线y2＝－4x运动，则使ap?bp取得最小值的点p的坐标是17．设向量oa?(3,1),ob?(?1,2)，向量oc垂直于向量ob，向量bc 平行于oa，则od?oa?oc时,od的坐标为_________?????????????18．已知m＝(1+cos2x，1)，n＝(1，3sin2x+a)(x，a∈r，a是常数)，且y=om2on (o是坐标原点)⑴求y关于x的函数关系式y=f(x)；??⑵若x∈[0，]，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+)的图象26经过怎样的变换而得到．(8分)19．已知a（－1，0），b（1，0）两点，c点在直线2x?3?0上，且ac?ab,ca?cb，ba?bc成等差数列，20．已知：a 、b、c是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1，2）⑴若|c|?25，且c//a，求c的坐标；⑵若|b|=21．已知向量a?(cos32x,sin32x),b?(cosx2,?sinx2),且x?[0,52?2],求 32,求?的值;(8分)⑴a?b及|a?b|;⑵若f(x)?a?b?2?|a?b|的最小值是参考答案?1．d 2．c 3．d 4．b 5．b 6．a 7．c 8．c 9．d 10．b 11．c 12．c13．2114．y?cosx 15．-2516．(0，0) ????????????????????17．解：设oc?(x,y),?oc?ob ，∴oc?ob?0，∴2y?x?0①又?bc//oa,bc?(x?1,y?2)3(y?2)?(x?1)?0即：3y?x?7② ?????????????????x?14,联立①、②得? ∴ oc?(14,7),于是od?oc?oa?(11,6)y?7?．18．解：⑴y=om2on＝1+cos2x+3sin2x+a，得f(x)=1+cos2x+3sin2x+a；⑵f(x) =1+cos2x+3sin2x+a化简得f(x) =2sin(2x+当x＝?6?6)+a+1，x∈[0，?6?2]。
第二章平面向量单元综合测试卷(带答案新人教A版必修4 )
第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ）第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ） (120分钟 150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(2013•三明高一检测)化简 - + - 得( ) A. B. C. D.0 2.已知a，b都是单位向量，则下列结论正确的是( ) A.a•b=1 B.a2=b2C.a∥b a=bD.a•b=0 3.已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量 =(1，1)，n=(1，-1)，且n• =2，则n• 等于( ) A.-2 B.2 C.0 D.2或-2 4.点C在线段AB上，且 = ，若 =λ，则λ等于( ) A. B. C.- D.- 5.若a=(1，2)，b=(-3，0)，(2a+b)∥(a-mb)，则m= ( ) A.- B. C.2 D.-2 6.(2013•牡丹江高一检测)已知a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，则a在c方向上的投影是( ) A. B.-11C.-D.11 7.(2013•兰州高一检测)若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 8.已知△ABC满足2= • + • + • ，则△ABC是( ) A.等边三角形B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形9.(2013•西城高一检测)在矩形ABCD中，AB= ，BC=1，E是CD上一点，且• =1，则• 的值为( ) A.3 B.2 C. D. 10.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3).若向量c满足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，则c= ( ) A. B. C. D.11.(2013•六安高一检测)△ABC中，AB边上的高为CD，若 =a， =b，a•b=0，|a|=1，|b|=2，则 = ( ) A. a- b B. a- b C. a- b D. a- b 12.在△ABC所在平面内有一点P，如果 + + = ，则△PAB与△ABC 的面积之比是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.已知a=(2，4)，b=(-1，-3)，则|3a+2b|= . 14.已知向量a=(1， )，b=(-2，2 )，则a与b的夹角是. 15.(2013•江西高考)设e1，e2为单位向量.且e1，e2的夹角为，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b 方向上的射影为. 16.(2013•武汉高一检测)下列命题中：①a∥b 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③|a•a•a|=|a|3；④a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若a•b=b•c且b≠0，则a=c. 其中正确命题的序号是. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°，CD=DA= AB. 求证：AC⊥BC. 18.(12分)(2013•无锡高一检测)设 =(2，-1)， =(3，0)， =(m，3). (1)当m=8时，将用和表示. (2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件. 19.(12分)在边长为1的等边三角形ABC中，设=2 ， =3 . (1)用向量，作为基底表示向量 . (2)求• . 20.(12分)(2013•唐山高一检测)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1，2). (1)若|b|=2 ，且a∥b，求b的坐标. (2)若|c|= ，且2a+c与4a-3c垂直，求a与c的夹角θ. 21.(12分)(能力挑战题)已知a=(1，cosx)，b=（，sinx），x∈(0，π). (1)若a∥b，求的值. (2)若a⊥b，求sinx-cosx的值. 22.(12分)(能力挑战题)已知向量a，b满足|a|=|b|=1， |ka+b|= |a-kb|(k>0，k∈R). (1)求a•b 关于k的解析式f(k). (2)若a∥b，求实数k的值. (3)求向量a与b夹角的最大值.答案解析 1.【解析】选D. - + - = + - = - =0. 2.【解析】选B.因为a，b都是单位向量，所以|a|=|b|=1，所以|a|2=|b|2，即a2=b2.3.【解析】选B.因为n• =n•( - ) =n• -n• ，又n• =(1，-1)•(1，1)=1-1=0，所以n• =n• =2.4.【解析】选C.由 = 知，| |∶| |=2∶3，且方向相反(如图所示)，所以 =- ，所以λ=- .5.【解析】选A.因为a=(1，2)，b=(-3，0)，所以2a+b=(-1，4)，a-mb=(1+3m，2)，又因为(2a+b)∥(a-mb)，所以(-1)×2=4(1+3m)，解得m=- . 【拓展提升】证明共线(或平行)问题的主要依据 (1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b=λa，则向量a与b共线(平行). (2)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若x1y2-x2y1=0，则向量a∥b. (3)对于向量a，b，若|a•b|=|a|•|b|，则a与b共线. 向量平行的等价条件有两种形式，其一是共线定理，其二是共线定理的坐标形式.其中，共线定理的坐标形式更具有普遍性，不必考虑向量是否为零和引入参数的存在性及唯一性. 6.【解析】选C.a•c=[(a+b)-b]•c=(a+b)•c-b•c. 因为a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，所以a•c=(a+b)•c =(1，2)•(-3，-4)=1×(-3)+2×(-4)=-11，所以a在c方向上的投影是 = =- . 7.【解析】选C.因为c=a+b，c⊥a，所以c•a=(a+b)•a=a2+b•a=0，所以a•b=-a2=-|a|2=-12=-1，设向量a与b的夹角为θ，则cosθ= = =- ，又0°≤θ≤180°，所以θ=120°. 8.【解析】选C.因为= • + • + • ，所以2= • + • + • ，所以•( - - )= • ，所以•( - )= • ，所以• =0，所以⊥ ，所以△ABC是直角三角形. 【变式备选】在四边形ABCD中， =a+2b， =-4a-b， =-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形【解析】选C.因为 = + + =-8a-2b=2 ，所以四边形ABCD为梯形. 9.【解析】选B.如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. A(0，0)，B( ，0)，C( ，1)，设点E 坐标为(x，1)，则 =(x，1)， =( ，0)，所以• =(x，1)•( ，0)= x=1，x= ，所以• = •( ，1)= × +1×1=2. 10.【解析】选D.设c=(x，y)，则c+a=(x+1，y+2)， a+b=(1，2)+(2，-3)= ，因为(c+a)∥b，c⊥(a+b)，所以即解得所以c= . 【误区警示】解答本题易混淆向量平行和垂直的坐标表示，导致计算错误. 11.【解析】选D.因为a•b=0，所以⊥ ，所以AB= = ，又因为CD⊥AB，所以△ACD∽△ABC，所以 = ，所以AD= = = ，所以 = = = (a-b)= a- b. 12.【解题指南】先对 + + = 进行变形，分析点P所在的位置，然后结合三角形面积公式分析△PAB与△ABC的面积的关系. 【解析】选A.因为 + + = = - ，所以2 + =0， =-2 =2 ，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示). 所以△PAB与△ABC的面积之比是 . 13.【解析】因为3a+2b=3(2，4)+2(-1，-3) =(6，12)+(-2，-6)=(4，6)，所以|3a+2b|= =2 . 答案：2 14.【解析】设a与b的夹角为θ，a•b=(1，)•(-2，2 )=1×(-2)+ ×2 =4， |a|= =2，|b|= =4，所以cosθ= = = ，又0°≤θ≤180°，所以θ=60°. 答案：60° 15.【解析】设a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上的射影为|a|cosθ=|a| = ，而a•b=(e1+3e2)•2e1=2+6cos =5，|b|=2，所以所求射影为 . 答案： 16.【解析】①错误.a∥b且a≠0 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②正确.e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③正确. = = = ；④错误.当b=0时，a与b共线，b与c共线，则a与c不一定共线；⑤错误.只要a，c在b方向上的投影相等，就有a•b=b•c. 答案：②③17.【证明】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设AD=1，则A(0，0)，B(2，0)， C(1，1)，D(0，1)，所以 =(-1，1)， =(1，1)，• =-1×1+1×1=0，所以AC⊥BC. 18.【解析】(1)当m=8时， =(8，3)，设 =x +y ，则 (8，3)=x(2，-1)+y(3，0)=(2x+3y，-x)，所以所以所以 =-3 + . (2)因为A，B，C三点能构成三角形，所以，不共线， =(1，1)， =(m-2，4)，所以1×4-1×(m-2)≠0，所以m≠6. 19.【解析】(1) = + =- + . (2) • = •(- + ) = •(- )+ • =| |•| |cos150°+ | |•| |cos30° = ×1× + × ×1× =- . 20.【解析】(1)设b=(x，y)，因为a∥b，所以y=2x；① 又因为|b|=2 ，所以x2+y2=20；② 由①②联立，解得b=(2，4)或b=(-2，-4). (2)由已知(2a+c)⊥(4a-3c)，(2a+c)•(4a-3c)=8a2-3c2-2a•c=0，又|a|= ，|c|= ，解得a•c=5，所以cosθ= = ，θ∈[0，π]，所以a与c的夹角θ= . 21.【解题指南】一方面要正确利用向量平行与垂直的坐标表示，另一方面要注意同角三角函数关系的应用. 【解析】(1)因为a∥b，所以sinx= cosx⇒tanx= ，所以 = = =-2. (2)因为a⊥b，所以 +sinxcosx=0⇒sinxcosx=- ，所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= . 又因为x∈(0，π)且sinxcosx<0，所以x∈ ⇒sinx-cosx>0，所以sinx-cosx= . 22.【解题指南】(1)先利用a2=|a|2，将已知条件两边平方，然后根据数量积定义和运算律化简、变形求f . (2)先根据k>0和a∥b，判断a与b同向，再利用数量积的定义列方程求k的值. (3)先用求向量a与b夹角的公式表示出夹角的余弦值，再利用配方法求余弦值的最小值，最后根据余弦函数的单调性求夹角的最大值. 【解析】(1)由已知|ka+b|= |a-kb| 有|ka+b|2=( |a-kb|)2，k2a2+2ka•b+b2=3a2-6ka•b+3k2b2. 又因为|a|=|b|=1，得8ka•b=2k2+2，所以a•b= 即f(k)= (k>0). (2)因为a∥b，k>0，所以a•b= >0，则a与b同向. 因为|a|=|b|=1，所以a•b=1，即 =1，整理得k2-4k+1=0，所以k=2± ，所以当k=2± 时，a∥b. (3)设a，b的夹角为θ，则cosθ= =a•b = = = .当 = ，即k=1时，cosθ取最小值，又0≤θ≤π，所以θ= . 即向量a与b夹角的最大值为 .。
平面向量测试题(含答案)
平面向量章末检测一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 2．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．）＋＋（B ．（C ．；－＋BM AD MB D ．；＋－CD OA OC 3．已知a =（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（ ）A ．6563B ．65C ．513 D ．134． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么3a b +=（ ）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）（A ） 1()2a b →→-（B ） 1()2b a →→-（C ） →a ＋12b → （D ） 1()2a b →→+6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→−BC 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（ ）（A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数8．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P 点的坐标为（ ）（A ） （－14，16） （B ）（22，－11） （C ）（6，1） （D ） （2，4） 9．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（ ）（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±10、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（ ）A. 2-或0；B. C. 2或 D. 2或10.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分.11．若),4,3(=Ａ点的坐标为（-2，-1），则Ｂ点的坐标为 ． 12．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．13、已知向量3,(1,2)a b ==，且b a⊥，则a 的坐标是_________________。
(完整版)平面向量测试题及详解
平面向量第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1．(文)(2011·北京西城区期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] C[解析] AB →＝(3，y －1)，∵AB →∥a ，∴31＝y －12，∴y ＝7.(理)(2011·福州期末)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．2[答案] D[解析] a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)， ∵a ＋b 与4b －2a 平行，∴36＝x ＋14x －2，∴x ＝2，故选D.2．(2011·蚌埠二中质检)已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] B[解析] AB →＝(2,3)，∵AB →⊥a ，∴2(2k －1)＋3×2＝0，∴k ＝－1，∴选B.3．(2011·北京丰台期末)如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( )A ．－3B ．2C ．－17D.17[答案] A[解析] 由条件知，存在实数λ<0，使a ＝λb ，∴(k,1)＝(6λ，(k ＋1)λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6λ(k ＋1)λ＝1，∴k ＝－3，故选A.4．(文)(2011·北京朝阳区期末)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43C.43D.49[答案] A[解析] 由条件知，P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·(2PM →) ＝P A →·AP →＝－|P A →|2＝－⎝⎛⎭⎫23|MA →|2＝－49.(理)(2011·黄冈期末)在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →、BC →分别为a 、b ，则AH →＝( )A.25a －45bB.25a ＋45b C ．－25a ＋45bD ．－25a －45b[答案] B[解析] AF →＝b ＋12a ，DE →＝a －12b ，设DH →＝λDE →，则DH →＝λa －12λb ，∴AH →＝AD →＋DH →＝λa＋⎝⎛⎭⎫1－12λb ， ∵AH →与AF →共线且a 、b 不共线，∴λ12＝1－12λ1，∴λ＝25，∴AH →＝25a ＋45b .5．(2011·山东潍坊一中期末)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3[答案] D[解析] ∵a ＋b ＝(3,1＋n )，∴|a ＋b |＝9＋(n ＋1)2＝n 2＋2n ＋10， 又a ·b ＝2＋n ，∵|a ＋b |＝a ·b ，∴n 2＋2n ＋10＝n ＋2，解之得n ＝3，故选D.6．(2011·烟台调研)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．是定值6 C ．最小值为2 D ．与P 的位置有关[答案] B[解析] 设BC 边中点为D ，则 AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·(2AD →)＝2|AP →|·|AD →|·cos ∠P AD ＝2|AD →|2＝6.7．(2011·河北冀州期末)设a ，b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件[答案] B[解析] |a ＋b |＝|a |＋|b |⇔a 与b 方向相同，或a 、b 至少有一个为0；而a 与b 共线包括a 与b 方向相反的情形，∵a 、b 都是非零向量，故选B.8．(2011·甘肃天水一中期末)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°[答案] C[解析] 由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°.∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.9．(文)(2011·福建厦门期末)在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] B[解析] 解法1：如图以C 为原点，CA 、CB 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (3,0)，B (0,3)，设M (x 0，y 0)，∵BM →＝2MA →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2(3－x 0)y 0－3＝2(－y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2y 0＝1，∴CM →·CB →＝(2,1)·(0,3)＝3，故选B. 解法2：∵BM →＝2MA →，∴BM →＝23BA →，∴CB →·CM →＝CB →·(CB →＋BM →)＝|CB →|2＋CB →·⎝⎛⎭⎫23BA → ＝9＋23×3×32×⎝⎛⎭⎫－22＝3.(理)(2011·安徽百校联考)设O 为坐标原点，点A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最大值时，点B 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数[答案] A[解析] x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，即(x －1)2＋(y －1)2≥1，画出不等式组表示的平面区域如图，OA →·OB →＝x ＋y ，设x ＋y ＝t ，则当直线y ＝－x 平移到经过点C 时，t 取最大值，故这样的点B 有1个，即C 点．10．(2011·宁夏银川一中检测)a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1·λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝0[答案] D[分析] 由于向量AC →，AB →有公共起点，因此三点A 、B 、C 共线只要AC →，AB →共线即可，根据向量共线的条件可知存在实数λ使得AC →＝λAB →，然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消去λ即得结论．[解析] ∵A 、B 、C 共线，∴AC →，AB →共线，根据向量共线的条件知存在实数λ使得AC →＝λAB →，即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＝λλ1λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.11．(文)(2011·北京学普教育中心)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量运算a ⊕b ＝(a 1，a 2)⊕(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝⎛⎭⎫2，12，n ＝⎝⎛⎭⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊕OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值及最小正周期分别为( )A ．2；πB ．2；4π C.12；4π D.12；π [答案] C[解析] 设点Q (x ′，y ′)，则OQ →＝(x ′，y ′)，由新定义的运算法则可得： (x ′，y ′)＝⎝⎛⎭⎫2，12⊕(x ，y )＋⎝⎛⎭⎫π3，0 ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，12y ， 得⎩⎨⎧x ′＝2x ＋π3y ′＝12y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′－π6y ＝2y ′，代入y ＝sin x ，得y ′＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x ′－π6，则 f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，故选C. (理)(2011·华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考)如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →其中λ，μ∈R ，则λ＋μ是( )A.83B.32C.53 D ．1[答案] B[解析] OF →＝OB →＋BF →＝OB →＋13OA →，OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋13OB →，相加得OE →＋OF →＝43(OA →＋OB →)＝43OC →，∴OC →＝34OE →＋34OF →，∴λ＋μ＝34＋34＝32.12．(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12，则△ABC 的形状为( )A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形 [答案] A[分析] 根据平面向量的概念与运算知，AB →|AB →|表示AB →方向上的单位向量，因此向量AB →|AB →|＋AC→|AC →|平行于角A 的内角平分线．由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0可知，角A 的内角平分线垂直于对边，再根据数量积的定义及AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12可求角A .[解析] 根据⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0知，角A 的内角平分线与BC 边垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12可知A ＝120°.故三角形是等腰非等边的三角形．[点评] 解答本题的关键是注意到向量AB →|AB →|，AC →|AC →|分别是向量AB →，AC →方向上的单位向量，两个单位向量的和一定与角A 的内角平分线共线．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(文)(2011·湖南长沙一中月考)设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于________．[答案]5[解析] 3a ＋b ＝(3,6)＋(－2，y )＝(1,6＋y )， ∵a ∥b ，∴－21＝y2，∴y ＝－4，∴3a ＋b ＝(1,2)，∴|3a ＋b |＝ 5.(理)(2011·北京朝阳区期末)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.[答案] 2 3[解析] a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝2×1×12＝1，|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝4＋4＋4×1＝12， ∴|a ＋2b |＝2 3.14．(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知a ＝(2＋λ，1)，b ＝(3，λ)，若〈a ，b 〉为钝角，则λ的取值范围是________．[答案] λ<－32且λ≠－3[解析] ∵〈a ，b 〉为钝角，∴a ·b ＝3(2＋λ)＋λ＝4λ＋6<0， ∴λ<－32，当a 与b 方向相反时，λ＝－3，∴λ<－32且λ≠－3.15．(2011·黄冈市期末)已知二次函数y ＝f (x )的图像为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有f (1＋x )＝f (1－x )．若向量a ＝(m ，－1)，b ＝(m ，－2)，则满足不等式f (a ·b )>f (－1)的m 的取值范围为________．[答案] 0≤m <1[解析] 由条件知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)，∵m ≥0，∴a ·b ＝m ＋2≥2，由f (a ·b )>f (－1)得f (m ＋2)>f (3)， ∵f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴m ＋2<3，∴m <1，∵m ≥0，∴0≤m <1.16．(2011·河北冀州期末)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin θ，14，b ＝(cos θ，1)，c ＝(2，m )满足a ⊥b 且(a ＋b )∥c ，则实数m ＝________.[答案] ±522[解析] ∵a ⊥b ，∴sin θcos θ＋14＝0，∴sin2θ＝－12，又∵a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos θ，54，(a ＋b )∥c ， ∴m (sin θ＋cos θ)－52＝0，∴m ＝52(sin θ＋cos θ)，∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝12，∴sin θ＋cos θ＝±22，∴m ＝±522.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知向量a ＝(－cos x ，sin x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ，x ∈[0，π]．(1)求函数f (x )的最大值；(2)当函数f (x )取得最大值时，求向量a 与b 夹角的大小． [解析] (1)f (x )＝a ·b ＝－cos 2x ＋3sin x cos x ＝32sin2x －12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12. ∵x ∈[0，π]，∴当x ＝π3时，f (x )max ＝1－12＝12.(2)由(1)知x ＝π3，a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，设向量a 与b 夹角为α，则cos α＝a ·b |a |·|b |＝121×1＝12， ∴α＝π3.因此，两向量a 与b 的夹角为π3.18．(本小题满分12分)(2011·呼和浩特模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证MF 1→·MF 2→＝0.[解析] (1)解：∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ， ∵过(4，－10)点，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(－3＋23，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝－3＋m 2，又∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0，即MF 1→⊥MF 2→.19．(本小题满分12分)(2011·宁夏银川一中月考，辽宁沈阳二中检测)△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2sin B,2－cos2B )，n ＝(2sin 2(π4＋B2)，－1)，m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值．[分析] 根据向量关系式得到角B 的三角函数的方程，解这个方程即可求出角B ，根据余弦定理列出关于c 的方程，解这个方程即可．[解析] (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0， ∴4sin B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋B 2＋cos2B －2＝0， ∴2sin B [1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋B ]＋cos2B －2＝0， ∴2sin B ＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0， ∴sin B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π6或56π.(2)∵a ＝3，b ＝1，∴a >b ，∴此时B ＝π6，方法一：由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴c 2－3c ＋2＝0，∴c ＝2或c ＝1. 方法二：由正弦定理得b sin B ＝asin A，∴112＝3sin A ，∴sin A ＝32，∵0<A <π，∴A ＝π3或23π， 若A ＝π3，因为B ＝π6，所以角C ＝π2，∴边c ＝2；若A ＝23π，则角C ＝π－23π－π6＝π6，∴边c ＝b ，∴c ＝1. 综上c ＝2或c ＝1.20．(本小题满分12分)(2011·山东济南一中期末)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈[π2，π]．(1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)求函数f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值． [解析] (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2⎝⎛⎭⎫cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2 ＝2＋2cos2x ＝2|cos x |， ∵x ∈[π2，π]，∴cos x <0，∴|a ＋b |＝－2cos x .(2)f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32 ∵x ∈[π2，π]，∴－1≤cos x ≤0，∴当cos x ＝－1，即x ＝π时f max (x )＝3.21．(本小题满分12分)(2011·河南豫南九校联考)已知OA →＝(2a sin 2x ，a )，OB →＝(－1,23sin x cos x ＋1)，O 为坐标原点，a ≠0，设f (x )＝OA →·OB →＋b ，b >a .(1)若a >0，写出函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[π2，π]，值域为[2,5]，求实数a 与b 的值．[解析] (1)f (x )＝－2a sin 2x ＋23a sin x cos x ＋a ＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b ， ∵a >0，∴由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )(2)x ∈[π2，π]时，2x ＋π6∈[7π6，13π6]，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1，12] 当a >0时，f (x )∈[－2a ＋b ，a ＋b ]∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4， 当a <0时，f (x )∈[a ＋b ，－2a ＋b ]∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2－2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝3综上知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4 22．(本小题满分12分)(2011·北京朝阳区模拟)已知点M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若－187≤NA →·NB →≤－125，求直线l 的斜率的取值范围．[解析] 设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →＝(1－x ，－y )．由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得3x 2＋4y 2＝12，得x 24＋y 23＝1. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1 消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为N 在椭圆内，所以Δ>0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.因为NA →·NB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(1＋k 2)(x 1－1)(x 2－1)＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝(1＋k 2)4k 2－12－8k 2＋3＋4k 23＋4k 2＝－9(1＋k 2)3＋4k 2， 所以－187≤－9(1＋k 2)3＋4k 2≤－125.解得1≤k 2≤3. 所以－3≤k ≤－1或1≤k ≤ 3.。
新课标数学必修4第2章平面向量单元测试题(含答案)
新课标数学必修4第2章平面向量单元测试题（1）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、化简 AC －BD ＋CD —AB 得………………………………………………（ ） A ．AB B ． C ．BC D ．02、下列命题正确的是………………………………………………………………（ ）A ．单位向量都相等B ．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 是共线向量C ．||||b a b a -=+，则0a b =D ．若0a 与0b 是单位向量，则0a 0b 1=3、下列命题中错误的是………………………………………………………………（ ）A ．对于任意向量a ，b ，有|a +b |≤|a |+|b |B ．若 a b =0，则 a =0或 b =0C ．对于任意向量a ，b ，有||a b ≤||||a bD ．若a ，b 共线，则 a b = ±|a ||b |4、按向量→a 将点)3,2(-平移到点)2,1(-，则按向量→a 将点)3,2(-平移到……（ ）A.)4,3(-B.)2,1(-C.)3,4(-D.)1,2(-5、把542++=x x y 的图像按向量经过一次平移后得到2x y =的图像，则为( )A. )1,2(B. )1,2(-C. )1,2(--D. (2,1-)6、已知12(4,7),(1,0),P P --且点P 在线段21P P 的延长线上，且12||2||PP PP =，则点P的坐标………………………………………………………………………………（ ） A.)11,2(- B.)1,34(C.)3,32( D.)7,2(- 7、已知△ABC 中，A=45°，a=2，b=2，那么∠B 为………………………………（ ）A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°8、在△ABC 中，c =C 为……………………………………（ ）A ．4π B ．3π C ．23π D ．3π或23π9、若三点A(2,3)，B(3,a)，C(4,b)共线，则有……………………………………（ ）A ．a=3,b=-5B ．a-b+1=0C ．2a-b=3D ．a-2b=0 10、||1,||2a b ==，且()0a b a +=，则a 、b 的夹角为…………………………（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°11、△ABC 中,||=5,||=8,²=20,则||为……………………（ ）A. 6B. 7C. 8D. 912、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是…………………………………………………………（ ） A.2B.3C.23D.32第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.13、已知||=3,｜｜＝2，与的夹角为600，则｜－｜＝ 14、已知(3,4),(2,3)a b =-=，则2||3a a b -=15、已知向量→a =（1，2），→b =（－2，3），→c =（4，1），用→a 和→b 表示→c ，则→c =__________16、在△ABC 中,若B=300，AB=23，AC=2，则△ABC 的面积S 是 ；三、解答题：本大题共6小题；共74分.17、（8分）已知ABCD 的顶点A （0，-9），B （2，6）， C （4，5），求第四个顶点D 的坐标．18、（14分）如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为DE 、BF 交点。
高中数学必修四第二章《平面向量》单元测试题(含答案)
高中数学必修四第二章单元测试题《平面向量》（时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-2．已知向量31,22BA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（ ） A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π33.已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 24．已知向量，若，则实数m 的值为 （ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（ ）A. 4B. 4-C. 2D. 2-7．已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =， 1b =，则a b +=（ ）A. 2B. 37 D. 48．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-9.已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为 A. 1 B. 1- C. 3 D. 3-10.已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A. 322 B. 2 C. 322- D. 3152- 11．在矩形ABCD 中， 3AB =， 3BC =， 2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（ ）A. 0B. 833C. 4-D. 4 12．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为 （ ）A. 3-B. 6-C. 2-D. 83-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________．14.已知单位向量a ， b 满足()1•232a ab -=，则向量a 与b 的夹角为__________． 15．在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点O ， E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______（用a ， b 表示）.16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________； DE DB ⋅的取值范围为__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +）（1）求证： AB BC ⊥；(2) //AD BC ，求实数m 的值.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-．（1）求a b +与a b -的夹角；（2）若()a ab λ⊥+，求实数λ的值．19．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求；（2）求与的夹角.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）求实数的值；（2）记，，试用表示向量，，.21．（本小题12分）已知向量a 与b 的夹角为120︒， 2,3a b ==， 32,2m a b n a kb =-=+. （I ）若m n ⊥，求实数k 的值； （II ）是否存在实数k ，使得//m n ？说明理由.22.（本小题12分）已知点(1,0),(0,1)A B -，点(,)P x y 为直线1y x =-上的一个动点.（1）求证：APB ∠恒为锐角；（2）若四边形ABPQ 为菱形，求BQ AQ ⋅的值.高中数学必修四第二章单元测试题《平面向量》参考答案（时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）．A. 20B. 10C. 10-D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． 故选：C ．2．【2017届北京房山高三上期末】已知向量31,22BA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（ ）A. π6B. π4C. π3D. 2π3【答案】C3.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=,故选：C.4．已知向量，若，则实数m 的值为 （ ） A. 0 B. 2 C.D. 2或 【答案】C 【解析】∵向量，且 ∴， ∴.选C. 5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e【答案】C6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（ ）A. 4B. 4-C. 2D. 2-【答案】A【解析】()1,2A --, ()()0,1,5B C a -，三点共线ABAC λ∴→=→即()()1162a λ=+，，()16{ 12a λλ==+ 16λ∴=, 4a = 故答案选A .7．【2018届全国名校大联考高三第二次联考】已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =， 1b =，则a b +=（ ） A. 2 B. 23 C. 7 D. 4 【答案】C 8．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． 故选：C ．9.【2018届福建省福安市一中上学期高三期中】已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为A. 1B. 1-C. 3D. 3-【答案】D【解析】()23,3a b -=，因为（2a b -）与c 互相垂直，则()233303a b c k k -⋅=+=⇒=-，选D. 10.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A. 322B. 2C. 322-D. 3152-【答案】B【解析】()()1,1.5,5AB CD ==则向量AB 在CD 方向上的投影为10cos ,252AB CDAB AB CD AB AB CD ⋅=⋅==故选B.11．【2018届黑龙江省齐齐哈尔地区八校高三期中联考】在矩形ABCD 中， 3AB =，3BC =， 2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（ ）A. 0B. 833 C. 4- D. 4【答案】C【解析】12．【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为 （ ）A. 3-B. 6-C. 2-D. 83-【答案】B【解析】如图建立坐标系， (()()0,23,2,0,2,0A B C -，设(),P x y ，则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--，()()()22,232,22243PA PB PC x y x y x y ∴⋅+=-⋅--=+-(222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦，∴最小值为6-，故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________．【答案】12-【解析】由题意得()11:2:12λλ=-∴=- .14.【2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】已知单位向量a ， b 满足()1•232a ab -=，则向量a 与b 的夹角为__________． 【答案】60°（或3π） 【解析】因为()1232a a b ⋅-=，化简得： 2123232a a b a b -⋅=-⋅=，即12a b ⋅=，所以1cos ,2a b a b a b⋅==⋅，又0,a b π≤≤，所以,3a b π=，故填3π. 15．【2018届福建省三明市第一中学高三上学期期中】在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______（用a ，b 表示）.【答案】2133a b + 【解析】∵AC a =， BD b =，∴11112222AD AC BD a b =+=+. ∵E 是OD 的中点，∴＝，∴DF＝AB .∴111111332266DF AB AC BD a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， ∴111121226633AF AD DF a b a b a b =+=++-=+. 16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________； DE DB ⋅的取值范围为__________． 【答案】 1 []1,2【解析】如图，以D 为坐标原点，以DC ， DA 分别为x ， y 轴，建立平面直角坐标系， ()0,0D ， ()0,1DE x ， ()1,1B ， ()0,1CB ，()1,0C ， ()1,1DB ， ()0,1E x ， []00,1x ∈，∴1DE CB ⋅=， 01DE DB x ⋅=+，∵001x ≤≤，0112x ≤+≤，∴DE DB ⋅的取值范围为[]1,2，故答案为1， []1,2.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +） （1）求证： AB BC ⊥； (2) //AD BC ，求实数m 的值. 【答案】(1)见解析(2) 12-或1 【解析】试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出AB BC ，算出AB BC ⋅（2）由向量的平行进行坐标运算即可. 试题解析：(1)依题意得， ()()2,3,3,2AB BC =-= 所以()23320AB BC ⋅=⨯+-⨯= 所以AB BC ⊥.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-． （1）求a b +与a b -的夹角； （2）若()a ab λ⊥+，求实数λ的值． 【答案】（1）34π；（2）1-． 【解析】（1）因为()1,2a =，()3,4b =-，所以()2,6a b +=-，()4,2a b -=- 所以()()2,64,2202cos ,240204020a b a b -⋅--+-===-⨯⨯，由[],0,a b a b π+-∈，则3,4a b a b π+-=； （2）当()a ab λ⊥+时，()0a a b λ⋅+=，又()13,24a b λλλ+=-+，所以13480λλ-++=，解得：1λ=-.19．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求； （2）求与的夹角. 【答案】(1);(2)与的夹角为.【解析】试题分析：（1）向量点积的运算规律可得到再展开根据向量点积公式得最终结果；（2）同第一问，由向量点积公式展开=0.∵是夹角为的两个单位向量，∴，(1)(2) ,,∴，∴与的夹角为.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）求实数的值；（2）记，，试用表示向量，，.【答案】(1)；(2)，，.【解析】试题分析：（1）根据平面向量共线定理得到，由系数和等于1，得到即。
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平面向量单元检测题学校学号成绩一、选择题（每小题5分，共60分）1.若ABCD是正方形，E是CD的中点，且AB a=，AD b=，则BE =（）A．12b a+B．12b a-C．12a b+D．12a b-2.下列命题中，假命题为（）A．若0a b-=，则a b=B．若0a b⋅=，则0a =或0b =C．若k∈R，k0a =，则0k=或0a =D．若a，b都是单位向量，则a b⋅≤1恒成立3.设i，j是互相垂直的单位向量，向量13()a m i j=+-，1()b i m j=+-，()()a b a b+⊥-，则实数m为（）A．2-B．2 Ｃ．12-Ｄ．不存在4.已知非零向量a b⊥，则下列各式正确的是（）A．a b a b+=-B．a b a b+=+... . .... . .C ．a b a b -=-D ．a b +=a b -5. 在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC a =，CA b =，AB c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅的值为 （）A ．32B ．32-C ．0D ．36. 在△OAB中，OA =（2cos α，2sin α），OB =（5cos β，5sin β），若5OAOB ⋅=-，则S △OAB（）A B ．2C ．5D ．527. 在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则四边形ABCD 的形状是 （）A ．长方形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形8. 把函数23cos y x =+的图象沿向量a 平移后得到函数的图象，则向量 是 （ ）A ．（33,π-） B ．（36,π） C ．（312,π-） D ．（312,π-）9. 若点1F 、2F 为椭圆 的两个焦点，P 为椭圆上的点，当△12F PF 的面积为1时， 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．62sin()y x π=-6a 2214x y +=12PF PF ⋅... . .10. 向量a =（-1，1），且a 与a +2b 方向相同，则a b ⋅的围是 （ ）A ．（1，+∞）B ．（-1，1）C ．（-1，+∞）D ．（-∞，1）11. O 是平面上一点，A ，B ，C 是该平面上不共线的三个点，一动点P 满足OP OA =+()AB AC λ+，λ∈（0，+∞），则直线AP 一定通过△ABC 的（ ）A ．心B ．外心C ．重心D ．垂心12. 已知D 是△ABC 中AC 边上一点，且 22+，∠C =45°，∠ADB =60︒，则 = （ ） A ．2 B ．0 Ｄ．1二、 填空题（每小题4分，共16分）13. △ABC 中，已知4a =，6b =，sinB = ，则∠A = 。
14. 已知M (3，4)，N (12，7)，点Q 在直线MN 上，且13||:||:QM MN =，则点Q 的坐标为 。
15. 已知|a |=8，|b |=15，|a +b |=17，则a 与b 的夹角θ为 。
16. 给出下列四个命题：①若||||||a b a b ⋅=⋅，则a ∥b ； ②()()b c a c a b ⋅-⋅与c 不垂直；③在△ABC 中，三边长BC 5=，AC 8=，AB 7=，则20BC CA ⋅=；④设A(4，a )，B(b ，8)，C(a ，b )，若OABC 为平行四边形（O 为坐标原点），则AB DB ⋅A DDC=34... . .∠AOC = . 其中真命题的序号是 （请将你正确的序号都填上）。
三、 解答题（74分）17. （本小题满分12分）设向量OA =（3，1），OB =（1-，2），向量OC OB ⊥，BC ∥OA ，又OD +OA =OC ，求OD 。
18. （本小题满分12分）已知A(2，0)，B(0，2)，C(cos α，sin α)，(0<α<π)。
（1）若7||OA OC +=O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角； （2）若AC BC ⊥，求tan α的值。
4π19.（本小题满分12分）如图，O，A，B三点不共线，2=，OB b=。
=，设OA a=，3OC OAOD OB（1）试用,a b表示向量OE；（2）设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线。
20.（本小题满分12分）在直角坐标系中，A (1，t)，C（-2t，2），OB OA OC=+（O是坐标原点），其中t∈（0，+∞）。
⑴求四边形OABC在第一象限部分的面积S(t)；⑵确定函数S(t)的单调区间，并求S(t)的最小值。
... . .... . .21. （本小题满分12分）如图，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，其中 .在距离港口O为3（a 为正常数）海里北偏东β角的A 处有一个供给科学考察船物资的小岛，其中cos β 。
现指挥部紧急征调沿海岸线港口O 正向m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科学考察船，该船沿BA 方向不变全速追赶科学考察船，并在C 处相遇。
经测算，当两船运行的航线OZ 与海岸线OB 围成的三角形OBC 面积S 最小时，补给最合适。
（1）求S 关于m 的函数关系式S(m)； （2）当m 为何值时，补给最合适？2=13tan α=... . .22. （本小题满分14分）已知在直角坐标平面上，向量a =（-3，2λ），b =（-3λ，2），定点A （3，0），其中0<λ<1。
一自点A 发出的光线以a 为方向向量射到y 轴的B 点处，并被y 轴反射，其反射光线与自点A 以b 为方向向量的光线相交于点P 。
（1）求点P 的轨迹方程；（2）问A 、B 、P 、O 四点能否共圆（O 为坐标原点），并说明理由。
平面向量答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1． B ；2．B ；3．A ；4．D ；5．B ；6．D ；7．D ；8．A ；9．A ；10．C ；11．C ；12．B10．C ．解析：注意与+2同向，可设+2=λ（λ>0），则=a 21-λ，从而01212>-=-=⋅λλ。
11．C ．解析：OA OP =+)(AC AB +λ，即)(AC AB AP +=λ，即AP 与AC AB +同向。
12．B ．解析：解三角形可得∠ABD=90°。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．30° 14．(6,5) 或(0,3) 15．2π16．①④三、解答题：本大题共6小题，共74分。
17．（本小题满分12分）解： 设OC =（x ,y ），∵⊥，∴0=⋅，∴2y – x =0，①又∵BC ∥OA ，BC =（x +1，y-2），∴3( y-2) – (x +1)=0，即：3y – x-7=0，② 由①、②解得，x =14，y=7，∴=（14，7），则=-=（11，6）。
18．（本小题满分12分）... . .解：⑴∵)sin ,cos 2(αα+=+OC OA ，7||=+OC OA ， ∴7sin )cos 2(22=++αα，∴21cos =α． 又),0(πα∈，∴3πα=，即3π=∠AOC ，又2π=∠AOB ，∴与的夹角为6π．⑵)sin ,2(cos αα-=AC ，)2sin ,(cos -=ααBC ， 由⊥，∴0=⋅， 可得21sin cos =+αα， ① ∴41)sin (cos 2=+αα，∴43cos sin 2-=αα， ∵),0(πα∈，∴),2(ππα∈， 又由47cos sin 21)sin (cos 2=-=-αααα，ααsin cos -＜0， ∴ααsin cos -＝－27，②由①、②得471cos -=α，471sin +=α，从而374tan +-=α． 19．（本小题满分12分）解：(1)∵B ，E ，C 三点共线，∴=x +(1-x )=2 x a+(1-x )，① 同理，∵A ，E ，D 三点共线，可得，OE =y a+3(1-y)b ，②比较①，②得，⎩⎨⎧-=-=)1(31,2y x y x 解得x=52， y=54,∴OE =b a5354+。
... . .（2）∵2+=，103421OM +==，232)(21+=+=， 10126OM ON MN +=-=，102OM OL ML +=-=， ∴6=，∴L ，M ，N 三点共线。
20．（本小题满分12分）解：（1）∵+=，∴OABC 为平行四边形， 又∵0=⋅OC OA ，∴OA ⊥OC ，∴四边形OABC 为矩形。
∵+==(1-2t ，2+t)，① 当1-2t>0，即0<t<21时，A 在第一象限， B 在第一象限，C 在第二象限，（如图1） 此时BC 的方程为：y-2=t(x +2t)，令x =0，得BC 交y 轴于K(0,2t 2+2), ∴S(t)=S OABC -S △OKC =2(1-t+t 2-t 3).② 当1-2t ≤0，即t ≥21时，A 在第一象限，B 在y 轴上或在第二象限，C 在第二象限，（如图2）此时AB 的方程为：y-t=t 1- (x -1)，令x =0，得AB 交轴于M(0,t+t1),∴S(t)= S △OAM =)1(21tt +.∴S(t)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-).21(),1(21),210(),1(232t t t t t t t（2）当0<t<21时，S(t) =2(1-t+t 2-t 3)，S ′(t) =2(-1+2t-3t 2)<0，∴S(t)在（0，21）上是减函数。
... . .当t ≥21时，S(t) =)1(21t t +，S ′(t) =)11(212t-，∴S(t)在[21，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数。
∴当t=1时，S(t)有最小值为1。
21．（本小题满分12分）解：（1）以O 为原点，正北方向为轴建立直角坐标系。
直线OZ 的方程为y=3x ，①设A(x 0，y 0)，则x 0=3a 13sin β=9a ，y 0=3a 13cos β=6a ，∴A(9a ，6a )。
又B(m ，0)，则直线AB 的方程为y=ma a-96(x -m) ② 由①、②解得，C(am ama m am 76,72--)， ∴S(m)=S △OBC =21|OB||y c |= a m am 732- ，(a m 7>)。
（2）S(m)=3a [(m-7a )+a a m a 147492+-]≥84a 2。
当且仅当m-7a =am a 7492-，即m=14a >7a 时，等号成立，故当m=14a 为海里时，补给最合适。