第2课时真命题假命题与定理

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高考第2课四种命题和充要条件

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第2课四种命题和充要条件【自主学习】第2课四种命题和充要条件(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修2-1P8习题1改编)命题：“若x2<1，则-1<x<1”的逆否命题是. 【答案】若x≥1或x≤-1，则x2≥12.(选修2-1P7练习改编)命题“若x<0，则x2>0”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中正确命题的个数为.【答案】2【解析】原命题为真，所以逆否命题为真；逆命题为“若x2>0，则x<0”为假命题，所以否命题为假.3.(选修2-1P20习题改编)判断下列命题的真假.(填“真”或“假”)(1)命题“在△ABC中，若AB>AC，则C>B”的否命题为命题.(2)命题“若ab=0，则b=0”的逆否命题为命题.【答案】(1)真(2)假4.(选修2-1P9习题4(2)改编)“sin α=sin β”是“α=β”的条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“ 充要”或“ 既不充分也不必要”)【答案】必要不充分5.(选修2-1P20习题改编)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则r是q的条件，p是q的条件.【答案】充要必要【解析】q⇒s⇒r⇒q，所以r是q的充要条件；q⇒s⇒r⇒p，所以p是q的必要条件.1.记“若p则q”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p”，逆否命题为“若非q则非p”.其中互为逆否命题的两个命题同真假，即等价，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价.因此，四种命题为真的个数只能是偶数.2.对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当它是假命题时，记作p⇒/q，称p是q的非充分条件，q是p的非必要条件.3.①若p⇒q，且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；②若p⇒/q，且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件，记作p⇔q；④若p⇒/p，且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件.4.证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).【要点导学】要点导学各个击破命题真假的判断例1在△ABC中，已知命题p：若C=60°，则sin2A+sin2B-sin A sin B=sin2C.(1)求证：命题p是真命题；(2)写出命题p的逆命题，判断逆命题的真假，并说明理由.【思维引导】(1)利用正弦定理将待证式转化为a2+b2-ab=c2，然后利用余弦定理即证；(2)分清命题p的条件与结论，正确地对原命题的条件和结论进行互换或否定.【解答】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)因为C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos 60°，即c2=a2+b2-ab.由正弦定理sin a A =sin b B =sin cC ，得sin 2C=sin 2A+sin 2B-sin A sin B. 故命题p 是真命题.(2)命题p 的逆命题：在△ABC 中，若sin 2A+sin 2B-sin A sin B=sin 2C ，则C=60°. 它是真命题.证明如下：由sin 2A+sin 2B-sin A sin B=sin 2C 和正弦定理得c 2=a 2+b 2-ab.而由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，得cos C=12. 因为0°<C<180°，所以C=60°.【精要点评】对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.变式给出以下四个命题：①“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤-1，则x 2+x+q=0有实数根”的逆否命题； ④若a+b 是偶数，则整数a ，b 都是偶数. 其中真命题是 .(填序号) 【答案】①③【解析】①显然正确；②不全等的三角形的面积不相等，故②不正确；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确；④若a+b 是偶数，则整数a ，b 都是偶数或都是奇数，故④不正确.【精要点评】对命题真假的判断，正确的命题要加以论证；不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式.在判断命题真假的过程中，要注意简单命题与复合命题之间的真假关系；要注意四种命题之间的真假关系.原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.因此，四种命题中真命题的个数只能是0，2或4.充要条件的判断例2从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中，选出一种适当的填空.(1)(2015·泰安期末)已知a∈R，则“a2<a”是“a<1”的条件.(2)(2015·保定期末)若集合A={0，1}，B={-1，a2}，则“A∩B={1}”是“a=1”的条件.【思维引导】(1)找到不等式a2<a的解集为(0，1)，然后根据“小范围能推大范围，大范围推不出小范围”进行判断.(2)判断充要条件时，可先分清条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足；若由结论能推出条件，则必要性满足.【答案】(1)充分不必要(2)必要不充分【解析】(1)因为由a2<a，可得0<a<1，所以“a2<a”是“a<1”的充分不必要条件.(2)若A∩B={1}，则a2=1，a=±1，所以充分性不满足，必要性满足，故“A∩B={1}”是“a=1”的必要不充分条件.【精要点评】在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个是条件，哪个是结论；其次，要从两个方面，即“充分”与“必要”分别考查.判定时，对于有关范围的问题也可以从集合观点看，如p，q对应的范围为集合A，B，若AB，则A是B 的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A，B互为充要条件.变式从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中，选出一种适当的填空.(1)“x=2kπ+π4(k∈Z)”是“tan x=1”的；(2)“22x y >⎧⎨>⎩，”是“44x y xy +>⎧⎨>⎩，”的；(3)“m<12”是“一元二次方程x 2+x+m=0有实数解”的； (4)对于数列{a n }，“a n+1>|a n |(n ∈N *)”是“数列{a n }为递增数列”的；(5)“函数f (x )=x 3+2x 2+mx+1在(-∞，+∞)上单调递增”是“m ≥289x x +对任意的x>0恒成立”的 .【思维引导】判定p 是q 的什么条件，实际上就是判断“若p 则q ”和它的逆命题“若q 则p ”的真假，这部分内容经常与其他知识点相结合考查.【答案】(1)充分不必要条件 (2)充分不必要条件 (3)必要不充分条件 (4)充分不必要条件 (5)充要条件【解析】(1)因为x=2k π+π4(k ∈Z )⇒tan x=1，但反过来不一定成立，即tan x=1⇒x=k π+π4(k ∈Z )，(2)因为x>2，y>2，根据不等式的性质易得x+y>4，xy>4，但反过来不一定成立，如x=13，y=24.(3)一元二次方程x 2+x+m=0有实数解⇔m ≤14，因为m ≤14⇒m<12，反之不成立，所以是必要不充分条件.(4)因为a n+1>|a n |(n ∈N *)，所以当n ≥2时，a n >0，即当n ≥2时，a n+1>a n . 若a 1≥0，有a 2>|a 1|=a 1，若a 1<0，a 2>a 1显然成立，充分性得证.当数列{a n }为递增数列时，设a n =1-2n⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a 2>|a 1|不成立.(5)函数f (x )=x 3+2x 2+mx+1在(-∞，+∞)上单调递增⇔f'(x )=3x 2+4x+m ≥0恒成立⇔Δ=16-12m ≤0⇔m ≥43.m ≥289xx +对任意x>0恒成立⇔m ≥2max 89x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，又289x x +=89x x +≤892x x ⋅=43，所以m ≥43. 【精要点评】在判断时注意反例的应用；在判断“若p 则q ”较繁琐时，可以利用它的逆否命题“若非q 则非p ”，判断其是否正确；有时将某些条件转化为与它等价的条件再与另一条件进行判断会更简单 .结合充要条件求参数例3 已知集合M={x|x<-3或x>5}，P={x|(x-a )(x-8)≤0}. (1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P={x|5<x ≤8}的充要条件； (2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P={x|5<x ≤8}的一个充分不必要条件； (3)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P={x|5<x ≤8}的一个必要不充分条件. 【思维引导】求a 的取值范围使它成为M ∩P 的不同条件，可借助集合的观点，根据要求，求出成立时a 的取值范围.【解答】(1)由M ∩P={x|5<x ≤8}，得-3≤a ≤5，因此M ∩P={x|5<x ≤8}的充要条件是-3≤a ≤5.(2)即在集合{a|-3≤a ≤5}中取一个值，如取a=0，此时必有M ∩P={x|5<x ≤8}；反之，M ∩P={x|5<x ≤8}未必有a=0，故a=0是所求的一个充分不必要条件. (3)即求一个集合Q ，使{a|-3≤a ≤5}是集合Q 的一个真子集.如果{a|a≤5}，那么未必有M∩P={x|5<x≤8}，但是M∩P={x|5<x≤8}时，必有a≤5，故a≤5是所求的一个必要不充分条件.【精要点评】解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.变式(2015·南通期中)若不等式x-1x>0成立的充分不必要条件是x>a，则实数a的取值范围是.【答案】[1，+∞)【解析】由不等式x-1x>0，得(1)(-1)x xx>0，得-1<x<0或x>1.由充分不必要条件的含义可知{x|x>a}为不等式解集的真子集，进而得到a≥1.充要条件的证明例4已知a，b，c都是实数，求证：方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.【思维引导】证明充分性，由“ac<0”推出“方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”，证明必要性是由“方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”推出“ac<0”，主要根据判别式、一元二次方程的根与系数的关系进行论证.【解答】设原方程的两根分别为x1，x2.①充分性：由ac<0，得a，c异号，所以Δ=b2-4ac>0，且x1x2=ca<0.故方程ax2+bx+c=0有一正一负两个实根.所以ac<0是原方程有一正一负两个实根的充分条件.②必要性：若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，不妨设x1>0，x2<0，则x1x2<0，即ca<0，所以a，c异号，即ac<0.故ac<0是原方程有一正一负两个实根的必要条件.综上，ac<0是原方程有一正一负两个实根的充要条件.【精要点评】充要条件的证明应注意：(1)一般地，条件已知，证明结论成立是充分性，结论已知，推出条件成立是必要性.(2)有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论.变式设数列{a n}，{b n}，{c n}满足：b n=a n-a n+2，c n=a n+2a n+1+3a n+2(n=1，2，3，…)，求证：数列{a n}为等差数列的充要条件是{c n}为等差数列且b n≤b n+1(n=1，2，3，…).【解答】必要性：设{a n}是公差为d1的等差数列，则b n+1-b n=(a n+1-a n+3)-(a n-a n+2)=(a n+1-a n)-(a n+3-a n+2)=d1-d1=0，所以b n≤b n+1(n=1，2，3，…)成立.又c n+1-c n=(a n+1-a n)+2(a n+2-a n+1)+3(a n+3-a n+2)=d1+2d1+3d1=6d1(常数)(n=1，2，3，…)，所以数列{c n}为等差数列.充分性：设数列{c n}是公差为d2的等差数列，且b n≤b n+1(n=1，2，3，…).因为c n=a n+2a n+1+3a n+2，①所以c n+2=a n+2+2a n+3+3a n+4，②①-②，得c n-c n+2=(a n-a n+2)+2(a n+1-a n+3)+3(a n+2-a n+4)=b n+2b n+1+3b n+2.因为c n-c n+2=(c n-c n+1)+(c n+1-c n+2)=-2d2，所以b n+2b n+1+3b n+2=-2d2，③从而有b n+1+2b n+2+3b n+3=-2d2，④④-③，得(b n+1-b n)+2(b n+2-b n+1)+3(b n+3-b n+2)=0.⑤因为b n+1-b n≥0，b n+2-b n+1≥0，b n+3-b n+2≥0，所以由⑤得b n+1-b n=0(n=1，2，3，…).由此不妨设b n=d3(n=1，2，3，…)，则a n-a n+2=d3(常数).由此c n=a n+2a n+1+3a n+2⇒c n=4a n+2a n+1-3d3，从而c n+1=4a n+1+2a n+2-3d3，两式相减得c n+1-c n=2(a n+1-a n)-2d3，因此a n+1-a n=12(cn+1-c n)+d3=12d2+d3(常数)(n=1，2，3，…)，所以数列{a n}为等差数列.综上，数列{a n}为等差数列的充要条件是{c n}为等差数列且b n≤b n+1(n=1，2，3，…).1.(2014·安徽卷)“x<0”是“ln(x+1)<0”的条件.【答案】必要不充分【解析】由ln(x+1)<0，得0<1+x<1，所以-1<x<0，而(-1，0)是(-∞，0)的真子集，所以“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.2.(2015·安徽卷)设命题p：1<x<2，q：2x>1，则p是q的条件.【答案】充分不必要【解析】由q：2x>1=20，解得x>0，所以p⇒q，但q p，所以p是q的充分不必要条件.3.(2015·南通模考)已知集合M={x|x-2<0}，N={x|x<a}，若“x∈M”是“x∈N” 的充分条件，则实数a的取值范围是.【答案】[2，+∞)【解析】由题意得M={x|x-2<0}={x|x<2}，因为“x∈M”是“x∈N”的充分条件，所以M⊆N，所以a≥2.4.求证：方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根的充要条件是0<m<1 3.【解答】①充分性：因为0<m<13，所以方程mx2-2x+3=0的判别式Δ=4-12m>0，且3m>0，所以方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根.②必要性：若方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根，则有124-1203mx xm∆=>⎧⎪⎨=>⎪⎩，，所以0<m<13.综上，得证.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第3~4页.【检测与评估】第2课四种命题和充要条件一、填空题1.命题“若a>b，则a+1>b”的逆否命题是.2.(2014·启东中学)若使“x≥1”与“x≥a”恰有一个成立的充要条件为{x|0≤x<1}，则实数a的值是.3.(2015·重庆卷)“x>1”是“lo12g(x+2)<0”的条件.4.设集合S={0，a}，T={x∈Z|x2<2}，则“a=1”是“S⊆T”的条件.5.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是.6.设n∈N*，则一元二次方程x2-4x+n=0有整数解的充要条件是n=.7.已知命题p：|x|>a，q：-12-1xx>0.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.8.(2015·郑州质检)给定方程：12x⎛⎫⎪⎝⎭+sin x-1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(-∞，0)内有且只有一个实数根；④若x0是方程的实数根，则x0>-1.其中正确的命题是.(填序号)二、解答题9.(2014·惠州一模)已知集合A=2331224|y y x x x⎧⎫⎡⎤=-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，，，B={x|x+m2≥1}.若命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围.10.设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c2.11.已知函数f(x)=4sin2π4x⎛⎫+⎪⎝⎭-23cos 2x-1，且给定命题p：x<π4或x>π2，x∈R.若命题q：-2<f(x)-m<2，且¬p是q的充分条件，求实数m的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知集合A={x|x2+2x-3≤0}，B={x|(x-2a)[x-(a2+1)]≤0}.若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.13.(2015·黄山质检)在平面直角坐标系中，定义两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“直角距离”为d(P，Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.现有以下命题：①已知两点P(2，3)，Q(sin2α，cos2α)，则d(P，Q)为定值；②原点O到直线x-y+1=0上任意一点P的直角距离d(O，P)的最小值为2 2；③若PQ表示P，Q两点间的距离，那么PQ≥22d(P，Q)；其中为真命题的是.(填序号) 【检测与评估答案】第2课四种命题和充要条件1.若a+1≤b ，则a ≤b2.0 【解析】由题意可得1x x a <⎧⎨≥⎩，或1x x a ≥⎧⎨<⎩，成立的充要条件为{x|0≤x<1}，所以a=0.3.充分不必要【解析】lo 12g (x+2)<0⇔x+2>1⇔x>-1，故“x>1”是“lo12g (x+2)<0”的充分不必要条件.4.充分不必要【解析】当a=1时，S={0，1}，又T={-1，0，1}，则S ⊆T ，所以充分性成立；当S ⊆T 时，a=1或-1，所以必要性不成立.5.[-3，0] 【解析】因为命题“ax 2-2ax-3>0不成立”是真命题，则有a=0或204120a a a <⎧⎨+≤⎩，，解得a ∈[-3，0].6. 3或4 【解析】由x 2-4x+n=0，得(x-2)2=4-n ，即x=2±4-n .因为n ∈N *，方程要有整数解，所以n=3或4，故当n=3或4时方程有整数解.7. (-∞，0) 【解析】由命题p ：|x|>a ⇔R 0-0x a x a x a a ∈<⎧⎨<>≥⎩，，或，，q ：-12-1x x >0⇔x<12或x>1.因为p 是q 的必要不充分条件，所以使命题q 成立的不等式的解集是使命题p 成立的不等式解集的子集，所以a<0.8.②③④ 【解析】由题意可知方程12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+sin x-1=0的解等价于函数y=1-12x⎛⎫ ⎪⎝⎭与y=sin x 的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中分别作出它们的图象如图所示.(第8题)由图象可知：①该方程存在小于0的实数解，故①错误；②该方程有无数个实数解，故②正确；③该方程在(-∞，0)内有且只有一个实数解，故③正确；④若x 0是该方程的实数解，则x 0>-1，故④正确.9.由y=x 2-32x+1，配方得y=23-4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+716.因为x ∈324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以y min =716，y max =2，即y ∈7216⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以A=7|216y y ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. 由x+m 2≥1，得x ≥1-m 2，B={x|x ≥1-m 2}. 因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，所以1-m 2≤716，解得m ≥34或m ≤-34.故实数m 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦∪34∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，.10.设m 是两个方程的公共根，显然m ≠0. 由题设知m 2+2am+b 2=0， ① m 2+2cm-b 2=0， ② 由①+②得2m (a+c+m )=0，所以m=-(a+c)，③将③代入①得(a+c)2-2a(a+c)+b2=0，化简得a2=b2+c2，所以所给的两个方程有公共根的必要条件是a2=b2+c2.下面证明充分性.因为a2=b2+c2，所以方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0，它的两个根分别为x1=-(a+c)，x2=c-a.同理，方程x2+2cx-b2=0的两根分别为x3=-(a+c)，x4=a-c.因为x1=x3，所以方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根.综上所述，方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c2.11.由q可得()-2() 2. m f xm f x>⎧⎨<+⎩，因为¬p是q的充分条件，所以在π4≤x≤π2的条件下，()-2()2m f xm f x>⎧⎨<+⎩，恒成立.由已知得，f(x)=2π1cos22x⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-23cos 2x-1=2sin 2x-23cos 2x+1=4sinπ2-3x⎛⎫⎪⎝⎭+1.由π4≤x≤π2，知π6≤2x-π3≤2π3，所以3≤4sinπ2-3x⎛⎫⎪⎝⎭+1≤5.故当x=5π12时，f(x)max=5，当x=π4时，f(x)min=3，所以只需5-232mm>⎧⎨<+⎩，成立，即3<m<5.所以m的取值范围是(3，5).12.3--2∞⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】因为集合A={x|x2+2x-3≤0}={x|-3≤x≤1}，B={x|2a≤x≤a2+1}.因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A B，所以2112-3aa⎧+≥⎨≤⎩，，且等号不能同时取得，解得a≤-32，故实数a的取值范围是3--2∞⎛⎤⎥⎝⎦，.13.①③【解析】已知两点P(2，3)，Q(sin2α，cos2α)，则d(P，Q)=|2-sin2α|+|3-cos2α|=2-sin2α+3-cos2α=4，所以①正确；设直线上任意一点为(x，x+1)，则原点O 到直线x-y+1=0上任意一点P的直角距离d(O，P)=|x|+|x+1|≥|x+1-x|=1，即其最小值为1，所以命题②错误；由基本不等式a2+b2≥12(a+b)2得PQ=221212(-)(-)x x y y+≥22(|x1-x2|+|y1-y2|)=22d(P，Q)，所以命题③成立，综上所述，正确的命题为①③.。

初中数学八年级《命题与证明第二课时证明》公开课教学设计

命题与证明令令的知识储备，同时，学生已经具有了基本的图形认识能力和初步的~ 1 ~空间想象能力，但学生可能对寻觅证明思路，书写证明过程必须步步有据等接受有艰难。

令1.理解定义、基本事实、定理、证明的意义，能区分基本事实、定理和命题。

2.通过具体例子了解综合法证明的步骤和书写格式，体验证明的必要性和数学推理的严密性。

3.了解推理过程步步有据的重要性，能够证明一些简单的几何问题，增强学生的推理论证意识，培养学生的演绎推理习惯和能力。

4.通过对欧几里得的《几何原本》的简单介绍渗透数学文化教育。

令令令情境教学法、引导发现法、自主探索法~ 2 ~令本节课教学流程共分为五个环节，挨次是：环节一创设情境，引入新课环节二知识回顾，认识概念环节三合作探索，学习新知环节四学以致用，深化理解环节五课堂小结，分层作业令微课视频简单介绍欧几里得的《几何原本》 .教师介绍古希腊数学家欧几里得，引入本节课题“证明”.通过微课介绍，激发学生的兴趣，渗透数学文化教育.(一)思量请判断下列命题是真命题还是假命题.1.如果|a| = |b|，那末a = b .2.在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.3.同位角相等，两直线平行.4.内错角相等，两直线平行.(二)从基本事实或者其他真命题出发，用推理方法判断为正确~ 3 ~的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.师生行为： (1)教师引导学生复习命题相关知识，并进一步探索真命题的分类. (2)学生回顾已学的基本事实和定理. (3)教师引导学生归纳定理的概念.教师充分发挥学生的主体作用，让学生从自己的视点去观察、归纳，让学生亲身经历概念形成的全过程，感受数学概念形成的自然性与合理性，加深学生对概念的理解，突出本节课的重点.通过回顾基本事实为下面的证明做好铺垫.1.例题已知：如图，直线c与直线a ，b相交，且∠1=∠2求证：a∥b .2.从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或者演绎法) .3.演绎推理的过程，叫做演绎证明，简称证明.师生行为： (1)教师点拨证明的书写格式及证明过程要步步有据. (2)学生探索证明方法，师生共同完成证明过程，教师板演.(3)教师引导学生观察例题证明过程，归纳演绎推理和演绎证明的~ 4 ~~ 5 ~概念.通过对学生熟悉的“内错角相等，两直线平行”的论证，使学生理解严格的数学证明要有理有据，感悟学习演绎证明的必要.通过对例题的反思归纳演绎推理和演绎证明的概念，加深学生对概念的理解.此例题是由基本事实“同位角相等，两直线平行”推理得出的定理，让学生体味欧式几何公理化的演绎范式.练习已知：如图，直线c 与直线a ，b 相交，且∠1+∠2=180° 求证： a ∥b .师生行为： (1)学生自主探索完成练习题. (2)投影展示学生解题过程并请学生自评.在例题中通过基本事实证明出定理“内错角相等，两直线平行”后出示此练习题，再用定理“内错角相等，两直线平行”证明另一个命题的正确性，再次体味欧式几何公理化的演绎范式.例题已知：如图，∠A0B + ∠B0C = 180° ，0E 平分∠A0B ，0F 平分∠B0C .求证： 0E ⊥ 0F.~ 6 ~师生行为： (1)学生独立思量完成例题，如有艰难可同桌交流探索. (2)投影展示学生的证明过程，学生自评互评，教师适时点 .通过具体例子了解综合法证明的步骤和书写格式，体验证明的必要性和数学推理的严密性.体味推理过程步步有据的重要性，突破本节课的难点.练习请在下题的括号内，填上推理的依据：已知：如图，点B 、A 、E 在一条直线上，∠1 = ∠B . 求证：∠C = ∠2.证明： ∵ ∠1 = ∠B ( )∴ AD ∥ BC ( )∴ ∠C = ∠2 ( )变式一：已知：如图，点B 、A 、E 在一条直线上，∠1 = ∠2，∠EAC =拨~ 7 ~2∠B .求证： AD ∥ BC .变式二：已知：如图，点B 、A 、E 在一条直线上， AD ∥ BC ，∠B = ∠C . 求证：∠1 = ∠2.师生行为： (1)学生自主探索完成证明过程，同桌互评. (2)教师根据此题编出变式练习题，由学生完成完整的证明过程.通过练习让学生进一步体味证明过程要步步有据. 变式练习设计目的是进一步巩固证明过程的书写，增强学生的推理论证意识，培养学生的演绎推理习惯和能力.小结：请同学们静思一下，想一想这节课你有哪些新的收获？师生行为： (1)学生思量后回答. (2)教师在学生总结的基础上，把学生反思与教师总结相结合，使学生对本节课知识有一个完整系统的认识.让学生自己小结，发挥学生的主体作用，提高了他们的表达能力，尊重学生的个性发展，促进了学生综合素质的提高. 先请同学回顾，然后教师通过PPT 课件展示本节课的知识结构，学生将自我回顾与其融合，完善本节课知识体系.分层作业：必做题：课本P84 习题13.2 第5 、6 题.选做题：思量如何证明三角形内角和等于180° .必做题是对本节课内容的巩固和反馈，选做题是对下节课知识的预习，为下节课的学习做准备.附：板书设计13.2.1 命题与证明~ 8 ~。

命题的概念和真假命题

命题的概念和真假命题一、命题的概念和真假命题1、命题（1）命题的概念判断一件事情的语句叫做命题。

命题必须是一个完整的语句，它必须对事情作出肯定或否定的判断。

命题由题设和结论两部分组成，题设就是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

数学中的命题常可以写成“如果$\cdots\cdots$那么$\cdots\cdots$”或“若$\cdots\cdots$则$\cdots\cdots$”的形式。

“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。

对于题设和结论不明显的命题，需先把命题改写为“如果$\cdots\cdots$那么$\cdots\cdots$”的形式再进行判断。

（2）真命题、假命题命题包括两种：真命题（正确的命题）；假命题（错误的命题）。

如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。

题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。

要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例即可。

2、逆命题把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题。

（1）正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论。

（2）每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。

3、互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。

如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。

4、公理、定理（1）公理如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，那么这样的真命题叫做公理。

如：“经过两点，有且只有一条直线”“两点之间线段最短”等。

（2）定理经过推理证实得到的真命题叫做定理。

定理都是真命题，而真命题不一定是定理。

如“如果$∠1=∠2$，$∠2=∠3$，那么$∠1=∠3$”，它是一个真命题，但不是定理。

5、证明（1）证明从命题的题设出发，通过推理来判断命题的结论是否成立的过程叫做证明。

2.2 命题与证明第2课时真假命题与定理课件2024-2025学年湘教版数学八年级上册

正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题。
判断命题是真命题方法——证明
判断命题是假命题方法——举反例
2.证明的依据：
定义、公理、基本事实、定理、推论
07
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列真命题能作为基本事实的是（ C）
A.对顶角相等
B.三角形的内角和是180°
C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（4）同角的补角相等。
上面四个命题中，命题（4）是正确的，命题（1），（2），（3）
都是错误的.
我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题。
03
新知讲解
一、真假命题概念及判断方法
1.如何判断一个命题是真命题？
因此判断命题是真命题方法——证明
证明过程：
命题（判断真假）
从命题条
件出发
.
(2)如果a，b互为相反数，那么a+b=0;
解:有逆定理，它的逆定理:如果a+b=0，那么a，b互为相反数。
(3)两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行那么同旁内角互补.
解：有逆定理，它的逆定理:两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角
互补，那么这两条直线平行
06
课堂小结
真假命题和定理
1.真假命题概念及判定方法：
2
05
课堂练习
【综合拓展类作业】
6.下列定理有逆定理吗?如果有，把它写出来;如果没有，举一个反例说明
.
(1)对顶角相等;
解:没有逆定理
反例:三角形的一个内角被角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角。(
反例不唯一)
05
课堂练习
【综合拓展类作业】

湘教版初中数学八年级上册2.2 第2课时真命题、假命题与定理1

湘教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！湘教版初中数学和你一起共同进步学业有成！第2课时　真命题、假命题与定理1．会判定一个命题的真假；(重点)2．理解定理、推论、逆定理、互逆定理的概念；(难点)3．会用基本事实去判定其他命题的真假．(难点)一、情境导入下列命题中，哪些正确，哪些错误？说出你的理由．(1)角的两边是一条射线；(2)一个数如果能被2整除，那么这个数一定能被4整除；(3)同位角与内错角不会相等．让同学们小组讨论交流，从而引出真命题、假命题的概念．二、合作探究探究点一：真命题、假命题【类型一】判断真命题与假命题下列命题中，是真命题的是( )A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0解析：选项A中，a·b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；选项B中，a·b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；选项C中，a·b＝0可得a、b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；选项D中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或二者同时为0，是真命题．故选D.方法总结：判断一个命题是真命题还是假命题，就是判断一个命题是否正确，即由条件能否得出结论．如果命题正确，就是真命题，如果命题不正确，就是假命题．【类型二】举反例举反例说明下列命题是假命题．(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；(2)若ab＝0，则a＋b＝0.解析：分清题目的条件和结论，所举的例子满足条件，但不满足结论．解：(1)如：两条直线平行时的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等；(2)如：当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.方法总结：举反例时，所举的例子应当满足题目的条件，但不满足题目的结论．举反例时常见的几种错误：①所举例子满足题目的条件，也满足题目的结论；②所举例子不满足题目的条件，但满足题目的结论；③所举例子不满足题目的条件，也不满足题目的结论．探究点二：基本事实与定理【类型一】基本事实下列命题是定理但不是基本事实的是( )A．对顶角相等B．同位角相等，两直线平行C．两点之间，线段最短D．两点确定一条直线解析：选项A是定理但不是基本事实，选项B，C，D都是基本事实，故选A.方法总结：①基本事实是不需要推理论证的真命题，它可以作为判断其他命题真假的依据．②定理是真命题，它的正确性可以以基本事实或其他定理为基础进行证明，可以作为判断其他命题真假的依据．【类型二】逆定理下列定理没有逆定理的是( )A．直角三角形的两锐角互余B．对顶角相等C．等角的补角相等D ．两直线平行，同旁内角互补解析：选项A 的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，这个逆命题正确，原定理有逆定理．选项B 的逆命题是：相等的角是对顶角，这个逆命题不正确，原定理没有逆定理．选项C 的逆命题是：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，这个逆命题正确，原定理有逆定理．选项D 的逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，这个逆命题正确，原定理有逆定理．故选B.方法总结：判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆定理．三、板书设计命题{真命题{基本事实定理——证明)假命题——举反例)本节课学习了真命题和假命题，通过具体事例让学生感受到要说明一个定理成立，应当证明；要说明一个命题是假命题，可以举反例．涉及的概念较多，应当让学生在理解的基础上进行识记．常出的错误是：由于“任何一个命题都有逆命题”是正确的，于是错误地认为“任何一个定理都有逆定理”也是正确的．相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。

新版湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题真命题假命题与定理教学设计

新版湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题真命题假命题与定理教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题真命题假命题与定理是本册教材中的重要内容。

本节内容主要引导学生认识真命题、假命题和定理，学会如何判断命题的真假，并能运用定理解决实际问题。

教材通过丰富的例题和练习题，让学生在实践中掌握相关知识。

二. 学情分析八年级的学生已具有一定的数学基础，对于命题和定理的概念有一定的了解。

但在判断命题的真假和运用定理解决实际问题上，还需进一步引导和培养。

此外，学生的学习兴趣、学习习惯和学习方法等方面也需要关注。

三. 教学目标1.了解真命题、假命题和定理的概念，理解它们之间的关系。

2.学会判断命题的真假，并能运用定理解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

4.激发学生的学习兴趣，培养良好的学习习惯和学习方法。

四. 教学重难点1.重点：真命题、假命题和定理的概念，判断命题的真假，运用定理解决实际问题。

2.难点：判断命题的真假，特别是复合命题的真假判断，以及定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究真命题、假命题和定理的概念及关系。

2.运用实例分析法，让学生在实际问题中学会判断命题的真假，运用定理解决问题。

3.采用合作学习法，培养学生团队合作、交流分享的良好学习习惯。

4.利用多媒体辅助教学，提高课堂教学效果。

六. 教学准备1.准备相关教学课件，展示真命题、假命题和定理的例子。

2.准备一些实际问题，让学生在解决实际问题中运用定理。

3.准备一些判断命题真假的练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些与三角形相关的实际问题，引导学生思考如何利用已学知识解决问题。

从而引出真命题、假命题和定理的概念。

2.呈现（10分钟）讲解真命题、假命题和定理的定义，通过举例让学生理解它们之间的关系。

让学生认识到真命题是正确的命题，假命题是错误的命题，而定理是经过证明的真命题。

人教版数学七年级下册5-3-2命理、定理、证明(第2课时) 课件

①BC平分∠ABE； ②∠BCE＋∠D＝90°； ③AC∥BE； ④∠DBF＝2∠ABC. 其中正确的有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．若a＝b，则a2＝b2是____真_____命题(选填“真”或“假”)，其中“a＝b”是_题__设_______，“a2＝b2”是_结__论________．
7．如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1 ＝∠2，则图中互相平行的直线是__E_F_∥__C_D__，__B_C_∥__D_E___________．
8．如图，给出下面的推理，其中正确的是____①__②__④________． ①因为∠B＝∠BEF，所以AB∥EF； ②因为∠B＝∠CDE，所以AB∥CD； ③因为∠B＋∠BEC＝180°，所以AB∥EF； ④因为AB∥CD，CD∥EF，所以AB∥EF.
9．如图，AC⊥BC，垂足为点C，∠BCD是∠B的余角．求证： ∠ACD＝∠B.
证明：∵AC⊥BC(已知)， ∴∠ACB＝90°(______垂__直__的__定__义________)， ∴∠BCD是∠ACD的余角． ∵∠BCD是∠B的余角(已知)， ∴∠ACD＝∠B(____同__角__的__余__角__相__等______)．
c
2
a
证明的一般步骤： 1.分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； 2.根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； 3.经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程.
如何判定一个命题是假命题呢？
只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论即可.
歌德的话蕴含了什么数学道理？
合作探究

湘教版八年级数学上册命题与证明真命题假命题与定理教案

第2课时真命题、假命题与定理1．会判定一个命题的真假；(重点)2．理解定理、推论、逆定理、互逆定理的概念；(难点)3．会用基本事实去判定其他命题的真假．(难点)一、情境导入下列命题中，哪些正确，哪些错误？说出你的理由．(1)角的两边是一条射线；(2)一个数如果能被2整除，那么这个数一定能被4整除；(3)同位角与内错角不会相等．让同学们小组讨论交流，从而引出真命题、假命题的概念．二、合作探究探究点一：真命题、假命题【类型一】判断真命题与假命题下列命题中，是真命题的是( )A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0解析：选项A中，a·b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；选项B中，a·b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；选项C中，a·b＝0可得a、b 中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；选项D中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或二者同时为0，是真命题．故选D.方法总结：判断一个命题是真命题还是假命题，就是判断一个命题是否正确，即由条件能否得出结论．如果命题正确，就是真命题，如果命题不正确，就是假命题．【类型二】举反例举反例说明下列命题是假命题．(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；(2)若ab＝0，则a＋b＝0.解析：分清题目的条件和结论，所举的例子满足条件，但不满足结论．解：(1)如：两条直线平行时的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等；(2)如：当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.方法总结：举反例时，所举的例子应当满足题目的条件，但不满足题目的结论．举反例时常见的几种错误：①所举例子满足题目的条件，也满足题目的结论；②所举例子不满足题目的条件，但满足题目的结论；③所举例子不满足题目的条件，也不满足题目的结论．探究点二：基本事实与定理【类型一】基本事实下列命题是定理但不是基本事实的是( )A ．对顶角相等B ．同位角相等，两直线平行C ．两点之间，线段最短D ．两点确定一条直线解析：选项A 是定理但不是基本事实，选项B ，C ，D 都是基本事实，故选A.方法总结：①基本事实是不需要推理论证的真命题，它可以作为判断其他命题真假的依据．②定理是真命题，它的正确性可以以基本事实或其他定理为基础进行证明，可以作为判断其他命题真假的依据．【类型二】逆定理下列定理没有逆定理的是( )A ．直角三角形的两锐角互余B ．对顶角相等C ．等角的补角相等D ．两直线平行，同旁内角互补解析：选项A 的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，这个逆命题正确，原定理有逆定理．选项B 的逆命题是：相等的角是对顶角，这个逆命题不正确，原定理没有逆定理．选项C 的逆命题是：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，这个逆命题正确，原定理有逆定理．选项D 的逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，这个逆命题正确，原定理有逆定理．故选B.方法总结：判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆定理．三、板书设计命题⎩⎪⎨⎪⎧真命题⎩⎪⎨⎪⎧基本事实定理——证明假命题——举反例本节课学习了真命题和假命题，通过具体事例让学生感受到要说明一个定理成立，应当证明；要说明一个命题是假命题，可以举反例．涉及的概念较多，应当让学生在理解的基础上进行识记．常出的错误是：由于“任何一个命题都有逆命题”是正确的，于是错误地认为“任何一个定理都有逆定理”也是正确的．。

第2课时真命题、假命题与定理

第2课时真命题、假命题与定理1.会判断一个命题的真假,并且知道要判定一个命题是真命题需要证明;要判定一个命题是假命题,只需举反例.2.知道基本事实、定理和逆定理的含义,以及它们之间的内在联系.3.知道公理与定理的区别,认识公理是进行逻辑推理的基本依据.自学指导：阅读课本P53-55，完成下列问题.知识探究1.真命题和假命题的区别是什么?解：正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.2.如何判断一个命题为真命题,这个过程叫什么?如何判断一个命题为假命题,这种方法叫什么?解：如何判断一个命题为真命题,这个过程叫作证明.何判断一个命题为假命题,这种方法叫作举反例.3.推论的依据是什么?解：略.4.逆定理就是逆命题吗?为什么?解：不是.逆定理是一个定理的逆命题能被证明是真命题，而逆命题不一定是真的.基本事实和定理的相同点:都是真命题;不同点:基本事实是不需要证明的,而定理是需要经过证明.自学反馈1.下列命题中,哪些是真命题,哪些是假命题.(1)直角三角形的两锐角互余;(2)如果a>b,那么a2>b2.2.判断.(正确的打“√”,错误的打“✕”)(1)定理和公理都是真命题.()(2)定理是命题,命题未必是定理.()(3)公理是真命题,真命题是公理.()(4)“对顶角相等”与“相等的角是对顶角”是互逆定理.()3.如果x=y,那么x+m=y+m,在这个命题中所涉及的公理或基本事实是.活动1 小组讨论例1有下面命题：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）钝角三角形的两个内角互补；（3）两个锐角的和一定是直角；（4）两点之间线段最短.其中，真命题有（B）A.1个B.2个C.3个D.4个例2 判断下列命题的真假，举出反例.大于锐角的角是钝角；如果一个实数有算术平方根，那么它的算术平方根是整数如果AC=BC,那么点C是线段AB的中点.解：假命题.的反例：90°的角大于锐角，但不是钝角.的反例：5有算术平方根，但算术平方根不是整数.的反例：如果AC=BC，而点A,B,C三点不在同一直线上，那么点C就不是AB的中点.活动2 跟踪训练1.下列命题是真命题吗?若不是请举出反例.(1)只有锐角才有余角;(2)若x2=4,则x=2;(3)a2+1≥1;(4)若=-a,则a<0.2.写出定理“垂直于同一条直线的两直线平行”的逆定理.课堂小结本课时主要学习了哪些知识与方法?有何收获和感悟?还有哪些疑惑?教学至此，敬请使用《名校课堂》部分.【预习导学】自学反馈1.（1）真命题（2）假命题，例如a=1,b=-2,则a>b，而a2<b2。

湘教版数学八年级上册2.2《真命题、假命题与定理》教学设计

湘教版数学八年级上册2.2《真命题、假命题与定理》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级上册2.2《真命题、假命题与定理》是学生在学习了命题与定理的基础上，进一步深化对真命题、假命题和定理的理解。

本节课的内容主要包括真命题、假命题的定义，以及如何判断一个命题是真命题还是假命题，同时介绍定理的概念和特点。

教材通过丰富的例题和练习，帮助学生掌握判断命题真假的方法，提高学生的逻辑思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了命题与定理的基本概念，具备了一定的逻辑思维能力。

但部分学生对真命题、假命题的判断方法仍存在疑惑，对定理的理解也较为模糊。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，针对性地进行讲解和辅导，帮助学生巩固知识，提高学生的学习兴趣和自信心。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握真命题、假命题的定义，学会判断一个命题是真命题还是假命题；理解定理的概念和特点，能够简单证明一个定理。

2.过程与方法：通过探究、合作、交流，培养学生逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：真命题、假命题的定义，判断命题真假的方法，定理的概念和特点。

2.难点：如何判断一个命题是真命题还是假命题，定理的证明方法。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和数学故事，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.启发式教学法：教师提问引导学生思考，培养学生解决问题的能力。

3.合作学习法：小组讨论、交流，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。

4.反馈评价法：教师及时给予学生反馈，鼓励学生积极参与，提高学生的自信心。

六. 教学准备1.教材、教辅、课件等教学资源。

2.教学道具和实物模型。

3.投影仪、黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例或数学故事，引出真命题、假命题和定理的概念，激发学生的学习兴趣。

2.2 第2课时真假命题、证明、定理与逆定理

(3)真命题； (4)假命题．例如a取正数0.1，a2＝0.01<0.1，即a2>a不成立，故原命题是假命题．【点悟】判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．
类型之二定理与逆定理请写出定理“两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那
么内错角相等”的逆定理．
解：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
第2章三角形
2.2 命题与证明第2课时真假命题、证明、定理与逆定理
学习指南知识管理归类探究当堂测评分层作业
学习指南
★本节学习主要解决以下问题★ 1．真命题与假命题此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例1；【当堂测评】中的第1题；【分层作业】中的第1,3,4,5,6,7,8,9,10,11题．
3．定理与互逆定理定理：经过证明为真命题的命题叫做定理．
注意：定理也可以作为判断其他命题真假的依据．推论：由某定理直接得出的真命题叫做这个定理的推论．
互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就把它叫做原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理．
归类探究
类型之一真假命题的判断判断下列命题是真命题，还是假命题，若是假命题，举一个反例说
义、定理、推论，还有题目中的已知条件等．
当堂测评
1．下列命题是真命题的是( D ) A．内错角相等 B．同位角互补，两直线平行 C．一个角的余角不等于其本身 D．在同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直
2．对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1＝∠2”，能说明它是一个假命题的反例是( B )
【解析】选项A，a·b>0可得a，b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；选项B，a·b<0可得a，b异号，是假命题；选项C，a·b＝0可得a，b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为0，是假命题；选项D，若a·b＝0，则a＝0或b ＝0，是真命题．故选D.

定义与命题(第2课时) 教学设计

八年级上册第七章平行线的证明定义与命题（第2课时）贵州省大方县黄泥塘中学：黎廷海一、学情分析学生技能基础：学习本节之前，学生已经对命题的含义有所了解，并且已经学习过一些公理和定理，为公理化思想的培养作好了充分准备．活动经验基础：有了上一节的活动基础，学生对本节课主要采取学生分组交流、讨论、举例说明的学习方式有比较好的活动经验．二、教学内容分析在上一节课的学习中，学生对命题的概念有了清楚的认识，但学生对于命题的构造，什么是真命题，什么是假命题还不甚了解，本节课旨在让学生对真假命题有一个清楚的认识，从而进一步了解定理、公理的概念，为此，本节课的教学目标是：1.了解命题中的真命题、假命题、定理的含义；2.了解命题的构成，能区分命题中的条件和结论。

3.经历实际情境，初步体会公理化思想和方法，了解本教材所采用的公理．4.培养学生的语言表达能力。

三、教学过程分析第一环节：回顾引入1、用来说明一个名词或一个术语的意义的语句叫做_______。

2、下列哪些是命题________①三角形内角和等于180 。

②对顶角相等。

③今天天气好吗? ④连接A，B两点。

⑤正数大于负数。

⑥作线段AB∥CD。

活动目的：回忆定义和命题的概念，为本节课命题的相关知识做铺垫，过度到本节课的目标.活动方法：学生举手发言，提问个别学生．第二环节：探索命题的结构活动内容：①探讨命题的结构特征观察下列命题，发现它们的结构有什么共同特征？（1）如果现在不好好学习，那么以后肯定后悔．（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．（3）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等（4）如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形．（5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形．师：由此可见，每个命题都是由条件和结论两部分组成的，条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项。

一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出部分是条件，“那么”引出部分是结论。

湘教版八年级数学上册真命题、假命题与定理同步练习题

2.2 命题与证明第2课时真命题、假命题与定理1指出下列命题的条件和结论．（1）若a＞0, b＞0,则ab＞0．（2）如果a∥b,b∥c,那么a∥c．（3）同角的补角相等．（4）内错角相等，两直线平行．2举出反例说明下列命题是假命题．（1）大于90°的角是钝角；（2）如果一个角的两条边分别平行于另一个角的两条边，那么这两个角相等．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝k x(k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是． .◆类型三一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k ≠0 13．B 14.k ≥1。

命题与定理

例如: (1)三角形的内角和等于180°
(2)内错角相等 ,两条直线平行 (3)两条直线平行,内错角相等
证明:直角三角形的两个锐角互余．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. 求证： ∠A＋∠B＝90°．证明: ∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°
（三角形的内角和等于180°）又∠C＝90°，
这样的真命题叫做公理．
例如: (1)两点之间,线段最短 (2)同位角相等 ,两条直线平行 (3)两条直线平行,同位角相等
(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等．
公理、定理
数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，
这样的真命题叫做定理．
∴ ∠A＋∠B＝90°．
图 19.1.1
P66的练习
1、把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出它的题设和结论.
（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）三角形的外角和等于360°．
P67的习题19.1
试证明“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．”即，已知：如图，AB⊥MN，CD⊥MN，
垂足分别为E、F．求证：AB∥CD．
回顾
命题真命题假命题
可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．
回顾
命题的组成
题设 (已知事项) 结论 (由已知事项推出的事项)
形式:
题设
结论
“如果……，那么……”
公理、定理
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，

初中数学第2课时真命题、假命题与定理

初中数学第2课时真命题、假命题与定理初中数学第2课时真命题、假命题与定理要点感知1 把的命题称为真命题，把的命题称为假命题.预习练习1-1 下列命题中，是真命题的是( )A.内错角相等B.一个角的余角不等于其自身C.同旁内角互补D.过已知直线外一点能作且只能作一条直线与已知直线平行要点感知2 要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出其结论成立，从而判断这个命题为命题，这个过程叫证明.要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子(反例)，它符合命题的，但不满足命题的，从而就可判断这个命题为假命题.我们通常把这种方法称为“举反例”.预习练习2-1 为了说明命题：“若|a|=|b|，则a=b”是假命题，你举的反例是：|5|=|-5|，.要点感知3 把经过证明为的命题叫作定理.如果一个定理的逆命题能被证明是命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作定理.预习练习3-1 下列语句中：①平角的一半叫作直角；②两点确定一条直线；③垂线段最短；④对顶角相等.其中是定理的是.(填序号) 知识点1 真命题与假命题1.下列命题中，是真命题的是( )A.若a·b＞0，则a＞0，b＞0B.若a·b＜0，则a＜0，b＜0C.若a·b=0，则a=0，且b=0D.若a·b=0，则a=0，或b=02.下列命题中，假命题是( )A.两点之间，线段最短B.角的平分线是一条射线C.直角三角形的中线的交点在三角形内部D.所有三角形的高都在三角形的内部知识点2 反例3.命题“两个锐角的和一定是直角”是假命题，我们可以举一反例：.4.写出命题“若a2=b2，则a=b”是假命题的反例.知识点3 基本事实与定理5.“两点确定一条直线”是( )A.定义B.基本事实C.定理D.假命题6.下列说法正确的是( )A.每个命题都有逆命题B.每个定理都有逆定理C.真命题的逆命题是真命题D.真命题的逆命题是假命题7.定理“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是.8.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举一个反例.(1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；(2)如果a＞b，那么ac＞bc；(3)三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角.9.写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假.(1)若a3=b3，则ａ＝ｂ；(2)若∠α+∠β＝１８０°，则∠α与∠β至少有一个是钝角.参考答案课前预习。

真、假命题与定理PPT授课课件

____B_点___时__的__速__度__不__为__0_；__小__车__通__过__A_C__段__的__时__间__与__A_B__段__的__ _时__间__之__差__才__是__下__半__程__B_C_段__的__时__间__)___。
素养核心练
12．[安徽桐城期末]物理学中将物体在单位时间内速度的增加量定义为加速度。依据该定义，若某物体在t时间内速度从v1增加到v2，则加速度为________，现有一小球从静止开始以3 m/s2的加速度加速运动2 s，则2 s末小球的速度为________。
(2)写出一个假命题，并举出反例． (用“如果……，那么……”的形式写出命题)
解：答案不唯一．如果 a⊥c，b⊥c，那么 a⊥b.反例：如图，如果 a⊥c，b⊥c，那么 a∥b.
14．已知命题“若 a＞b，则|a|＞|b|”． (1)此命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出一个反例，
并补充一个适当的条件使之成为真命题．
(1)该实验是根据公式___v_＝__st __ 进行平均速度计算的。
能力提升练
11．在如图所示的斜面上测量小车运动的平均速度。让小车从斜面的A点由静止开始下滑，分别测出小车到达B点和 C点的时间，即可测出不同阶段的平均速度。
(1)图中AB段的路程sAB___4_0_._0__ cm，如果测得时间tAB＝ 1.6 s。则AB段的平均速度vAB＝___2_5_.0___ cm/s。
基础巩固练
1．[中考 ·四川宜宾]如图所示，小球在水平面上做直线运动，每隔0.2 s记录一次小球的运动位置，则小球从D 点运动到F点的路程为________cm，该过程的平均速度为________m/s。
基础巩固练
2．在“测量物体运动的平均速度”实验中，当小车自斜面顶端滑下时开始计时，滑至斜面底端时停止计时。如图所示，此过程中小车的平均速度是( B ) A．10 cm/s B．9 cm/s C．8 cm/s D．7 cm/s

2.2.2真、假命题与定理导学案2022-2023学年湘教版数学八年级上册

2.2.2 真、假命题与定理导学案一、知识点概述1. 真、假命题命题是陈述性语句，可以判断其真假。

如果命题陈述的是真实情况，那么这个命题就是真命题。

反之，如果陈述的是错误的情况，那么这个命题就是假命题。

举个例子：“直角三角形的斜边长等于两直角边长之和”这个陈述是错误的，所以这个命题就是假命题。

而“任何两点之间都可以画一条直线”这个陈述是正确的，所以这个命题就是真命题。

2. 定理定理是在一定条件下成立的陈述性语句。

它是由一些已知的命题和公理，通过逻辑推理得出的结论。

举个例子：“同一圆周上的圆心角相等，且其中心角大的所对的弧长也大”这就是一个定理，它的条件是在同一圆周上，其中心角大的所对的弧长也大。

这个定理可以通过一些公理和已知命题推导出来。

二、学习目标1.理解真、假命题的概念；2.判断陈述语句是否是真、假命题；3.了解定理的概念；4.掌握一些基本的数学定理。

三、学习重点和难点1. 学习重点1.理解真、假命题的概念；2.判断陈述语句是否是真、假命题。

2. 学习难点理解和运用一些经典的定理，比如“三角形内角和定理”。

四、学习过程1. 深入理解真、假命题这个环节的目的是加深同学们对真、假命题的理解和认识。

可以通过以下几个方面进行讲解和示范：1.在黑板上共十条陈述语句，有的陈述是正确的，有的陈述是错误的。

请同学们分辨哪些是真命题，哪些是假命题。

2.在课堂上通过放幻灯片的方式来展示一些常见的真、假命题，让同学们通过观察、分析的方式了解到命题的真假性和判断方法。

2. 掌握一些数学定理通过讲解、演示的方式教授一些数学定理，可以选择以下几个定理：1.三角形内角和定理2.同位角定理3.同一圆周上的圆心角相等4.相关角定理5.垂直角定理讲解定理的时候，可以生动形象地解释每个定理的含义、条件和结论，并通过举例子的方式进行说明和演示。

3. 交流讨论在掌握一些基本的定理之后，可以进行交流讨论环节。

将同学们分组进行讨论，每个小组选择一条定理，彼此讲解、演示这条定理。

湘教版数学八年级上册2真假命题、证明、定理与逆定理金品

第2课时真假命题、证明、定理与逆定理知人者智，自知者明。

《老子》原创不容易，【关注】，不迷路！1．下列命题中，是真命题的是( )A．对顶角相等B．同位角相等C．内错角相等D．同旁内角互补2．[2012·温州]下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是( )A．a＝－2 B．a＝－1C．a＝1 D．a＝23．下列命题中，错误的是( )A．三角形两边之和大于第三边B．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D．若|x|＝5，则x＝5.4．下列命题中，是真命题的是( )[来源:学.科.网Z.X.X.K]A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝05．[2011·广州]已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c;②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中真命题是________(填写所有真命题的序号)．6．请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题____________________．7．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举一个反例．[来源:Z§xx§](1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；(2)如果a＞b，那么ac＞bc；(3)两个锐角的和是钝角．[来源:Z&xx&]8．已知命题“若a＞b，则a2＞b2”．(1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；(2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例．9．命题：若a＞b，则<1 b .(1)请判断这个命题是真命题还是假命题．若是真命题，请证明；若是假命题，请举一个反例；[来源:学+科+网](2)请你适当修改命题的条件使其成为一个真命题．10．如图2－2－3，点B，A，E在同一条直线上，(1)AD∥BC，(2)∠B＝∠C，(3)AD平分∠EAC.请你用其中两个作为条件，另一个作为结论构造命题，并说明你构造的命题是真命题还是假命题．图2－2－3答案解析1．A 【解析】对顶角相等，正确；在两条平行线被第三条直线所截的条件下，B、C、D才正确．故选A.2．A 【解析】用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a＝－2，因为(－2)2＞1，但是a＝－2＜1所以选项A正确；故选A.3．D4．D 【解析】选项A，a·b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，假命题；选项B，a·b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；选项C，a·b＝0可得a、b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；选项D，若a·b＝0，则a＝0，或b＝0，是真命题．故选D.5．①②④6．对顶角相等(答案不唯一)7．解：(1)假题，两直线不平行时不立，可通过画图说明；[来源:ZXXK](2)假命题，当c≤0时不成立，如3＞2，但3×0＝2×0等；(3)假命题，如∠α＝20°，∠β＝50°，则∠α＋∠β＝70°不是钝角．8．解：(1)假命题．反例：a＝2，b＝－3，有a＞b，但a2＜b2；(2)逆命题：若a2＞b2，则a＞b.此命题为假命题．反例：a＝－2，b＝－1，有a2＞b2，但＜b.9．解：(1)假命题．如a＝1，b＝－2符合a＞b，但不满足1a<1 b.(2)改成：若a＞b＞0，则1a<1 b.10．解：命题：如果AD∥BC，∠B＝∠C，那么AD平分∠EAC.(答案不唯一)它是真命题，理由如下：因为AD∥BC，所以∠B＝∠EAD，∠C＝∠DAC.又因为∠B＝∠C，所以∠EAD＝∠DAC，即AD平分∠EAC.故是真命题．【素材积累】岳飞应募参军，因战功累累不断升职，宋高宗亲手写了“精忠岳飞”四个字，制成旗后赐给他。