椭圆知识点总结与测试

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椭圆知识点总结及练习

椭圆知识点总结及典型方法知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x≤，b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。

a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记ac a c e ==22。

知识点四：椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系知识点五: 椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆。

椭圆知识点总结(最新)

椭圆知识点总结
一、椭圆的标准方程
椭圆的标准方程共分两种情况：
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；
其中a^2-c^2=b^2
推导:PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点F为焦点)
二椭圆的对称性
不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

顶点：
焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）
短轴顶点：（0，b），（0，-b）
焦点在Y轴时：长轴顶点：（0,-a），（0,a）
短轴顶点：（b,0），（-b,0）
注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻。

焦点：
当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c,0）F2(c,0)
当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0,c)
【椭圆知识点总结】
1。

必修二椭圆知识点总结

必修二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1. 定义椭圆是一个点到两个给定点的距离之和等于常数的动点轨迹。

这两个给定点称为焦点，距离之和等于常数称为椭圆的离心率。

2. 公式表示椭圆的一般方程为：$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$其中，$(h,k)$为椭圆的中心，$a$和$b$分别为椭圆长轴、短轴的长度。

二、椭圆的性质1. 焦点、离心率和长短轴之间的关系椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度，即$2a=2\sqrt{a^2-b^2}$。

离心率$e$的定义为:$e=\frac{c}{a}$其中，$c$为焦点到中心的距离。

2. 椭圆的对称性椭圆以其中心为中心对称，有两个对称轴，分别为长轴和短轴。

长轴上有两个端点，称为顶点；短轴上也有两个端点。

3. 椭圆的参数方程椭圆可以用参数方程表示为：$x=h+a\cos t$$y=k+b\sin t$其中，$(h,k)$为椭圆的中心，$a$和$b$分别为椭圆长轴、短轴的长度。

4. 椭圆的离心角椭圆上任意一点到两个焦点的连线与椭圆长轴的夹角称为椭圆的离心角。

椭圆的离心角范围在0到$\pi$之间。

三、椭圆的相关定理1. 椭圆的偏心率椭圆的偏心率为：$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$其中，$a$和$b$分别为椭圆长轴、短轴的长度。

2. 椭圆的焦点、半焦距和离心率的关系椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度，即$2a=2\sqrt{a^2-b^2}$。

离心率$e$的定义为:$e=\frac{c}{a}$其中，$c$为焦点到中心的距离。

3. 椭圆的切线方程椭圆上一点处的切线方程为：$\frac{xh}{a^2}+\frac{yk}{b^2}=1$四、椭圆的应用1. 物理学中的应用椭圆在天体运动、热力学等领域都有广泛的应用。

例如，行星绕太阳的运动轨迹就是一个椭圆。

2. 工程学中的应用椭圆在工程学中也有着重要的应用，例如在建筑设计、轨道运输等方面。

椭圆知识点以及题型总结

椭圆知识点以及题型总结一、椭圆的定义与基本性质椭圆是平面上到定点F1与F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

其中的定点F1和F2称为焦点，常数2a称为长轴的长度。

椭圆还有一个重要的参数e，称为离心率，定义为e=c/a，其中c是焦点与中心之间的距离。

椭圆是一个非常重要的几何图形，它有许多独特的性质，需要我们逐一来了解。

1. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程一般可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(a>b)。

其中(h,k)是椭圆的中心坐标。

2. 椭圆的焦半径和半短轴椭圆的焦半径是指从焦点到椭圆上任意一点的线段，它的长度等于椭圆的长半轴的长度a。

而椭圆的半短轴的长度等于b。

3. 相邻两焦点和任意一点的距离之和椭圆上任意一点P到椭圆的两个焦点的距离之和等于2a。

即PF1+PF2=2a。

4. 椭圆的离心率椭圆的离心率e定义为e=c/a，其中c是焦点与中心之间的距离，a是长半轴的长度。

离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它的取值范围为0<e<1。

5. 椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来表示，一般可以表示为x=h+a*cosθ，y=k+b*sinθ。

其中θ的取值范围一般为0≤θ≤2π。

二、常见椭圆的题型及解题方法1. 椭圆的焦半径与半短轴的关系题这类题目一般给定椭圆的长半轴的长度a和离心率e，要求求出椭圆的焦半径和半短轴的长度。

解题方法:根据离心率e=c/a，可以求出焦点与中心之间的距离c，然后根据椭圆的焦点与半短轴之间的关系，可以求出半短轴的长度b。

2. 椭圆的标准方程题这类题目一般给定椭圆的焦点、长轴的长度和中心坐标，要求写出椭圆的标准方程。

解题方法:根据给定的信息，可以用(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1的形式写出椭圆的标准方程。

3. 椭圆的参数方程题这类题目一般给定椭圆的中心坐标、长半轴、半短轴的长度，要求写出椭圆的参数方程。

椭圆练习题带答案,知识点总结(基础版)

椭圆练习题带答案,知识点总结(基础版)椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （其中2a>F1F2）的点的轨迹。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

当椭圆焦点在x轴上时，标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）。

当椭圆焦点在y轴上时，标准方程为x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0）。

椭圆的范围为-a≤x≤a，-b≤y≤b。

椭圆有x轴和y轴两条对称轴，对称中心为坐标原点O(0,0)。

椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b。

椭圆的顶点坐标为(±a,0)，(0,±b)。

椭圆的焦点坐标为(±c,0)，其中c^2=a^2-b^2.椭圆的离心率为e=c/a（其中0<e<1）。

a、b、c、e的几何意义：a叫做长半轴长；b叫做短半轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间满足a^2=b^2+c^2.e叫做椭圆的离心率，e可以刻画椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆。

对于椭圆上任一点P和椭圆的一个焦点F，PF_max=a+c，PF_min=a-c。

当点P在短轴端点位置时，∠F1PF2取最大值（余弦定理）。

椭圆方程常用三角换元为x=acosθ，y=bsinθ。

弦长公式为：设直线y=kx+b交椭圆于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则|P1P2|=√(1+k^2(x1-x2)^2)或|P1P2|=√(1+(y1-y2)^2/k^2)（k≠0）。

判断点P(x,y)是否在椭圆内，当且仅当x^2/a^2+y^2/b^21.若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的离心率为c/a，短轴长为4√2，则它的长轴长为2a=6.1.在椭圆$x^2/a^2+y^2=1$的内部，点$A(a,1)$，则$a$的取值范围是$-2<a<2$。

2.已知椭圆方程$x^2/16+y^2/8=1$，焦点为$F_1,F_2$，点$P$在椭圆上且$\angle F_1PF_2=\pi/3$。

椭圆基本知识点与题型总结

椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的简单几何性质标准方程12222=+by a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点、焦距)0,(1c F -，)0,(2c F ，cF F 221=),0(1c F -，),0(2c F cF F 221=范围a x ≤，b y ≤b x ≤，ay ≤顶点)0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±对称性关于x 轴、y 轴,轴对称，关于原点中心对称轴长长轴长=a 2，短轴长=b2离心率()10122<<-==e ab ac e e 越小,椭圆越圆；e 越大,椭圆越扁通径过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab 22（通径为最短的焦点弦）准线方程ca x 2±=ca y 2±=焦半径01ex a PF +=,02ex a PF -=01ey a PF +=，02ey a PF -=1.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义222c b a +=（见右图）2.椭圆的一般方程：22Ax By C +=()B A C B A 0ABC ≠≠同号，，，，且3.椭圆的参数方程：{cos sin x a y b ϕϕ==（其中ϕ为参数）4.椭圆焦点三角形问题（1）焦点三角形周长：ca 22+（2）在21F PF ∆中，有余弦定理：()θcos 2P P 22122212PF PF F F c -+=经常变形为：()()θcos 22-PF 221212212PF PF PF PF PF c -+=即：()()θcos 22-22212122PF PF PF PF a c -=（3）焦点三角形面积2tan cos 1sin sin 21S 2221P 21θθθθb b PF PF y c p F F =+=⋅=⋅=∆，其中21PF F ∠=θ5.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠为最大角。

椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)

（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面与两个定点F i 、F 2的距离之和等于定长（大于 IRF 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点 F i 、F 2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离厅汀2|叫做椭圆的焦距。

对椭圆定义的几点说明：（1） “在平面”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；（2） “两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点” ，学习时注意区分；（3）作为到这两个定点的距离的和的 “常数”，必须满足大于| F i F 2|这个条件。

若不然，当这个“常数”等于| F i F 2|时，我们得到的是线段 F 1F 2；当这个“常数”小于| F i F 2|时，无轨迹。

这两种特殊情况，同学们必须注意。

（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为 A i , A 2, B i , B 2，于是我们易得| A i A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F i |、|B i F 2|+|B i F i |也等于那个“常数”。

同学们想一想其中的道理。

（5）中心在原点、焦点分别在 x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：2 2 2 2i （a b 0）,77i （a b 0）,a ba b2 2 2相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0， a c b 。

不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（一c , 0）和（c , 0）,第二个椭圆的焦点坐标为（0,— c ）和（0, c ）。

椭圆的焦点在x 轴上标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y 2项的分母较大。

（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质，只2 2要X 2 每 i （a b 0）的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出 a b2 2^2 —2 i （a b 0）的有关性质。

专题39 椭圆知识点和典型例题(解析版)

专题39 椭圆知识点和典型例题〔解析版〕1、定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数〔大于〕的点的轨迹称为椭圆．即：。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、、、、轴长短轴的长长轴的长焦点、、焦距对称性关于轴、轴、原点对称离心率e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁题型一：求椭圆的解析式例1．求椭圆224936x y +=的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；通径过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b 2/a焦半径公式⎪⎭⎫ ⎝⎛-2325，【详解】椭圆224936x y +=化为标准方程22194x y +=，∴3a =，2b =，∴c ==∴椭圆的长轴长为26a =，焦距为2c =焦点坐标为()1F，)2F ，顶点坐标为()13,0A -，()23,0A ，()10,2B -，()20,2B . 例2．求适合以下条件的椭圆标准方程：〔1〕与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2〔2〕经过(2,(22A B 两点【详解】〔1〕椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，∵椭圆过点3(1,)2，∴24a =，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.〔2〕设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(A B 两点代入，得：14213241mnm n⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得81m n ==，， ∴椭圆方程为2218x y +=．题型二：求轨迹例3．在同一平面直角坐标系xOy 中，圆224x y +=经过伸缩变换:12x x y y ϕ=⎧⎪⎨=''⎪⎩后，得到曲线C .求曲线C 的方程；【详解】设圆224x y +=上任意一点(),M x y 经过伸缩变换:12x xy y ω=⎧⎪⎨=''⎪⎩得到对应点(),M x y '''.将x x '=，2y y '=代入224x y +=，得()2224x y ''+=，化简得2214x y ''+=.∴曲线C 的方程为2214x y +=；例4．ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,>>、、a b c a c b ，且2,2=+=c a b c ，求点C 的轨迹方程．【详解】由题意，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，如下图，因为2c =，那么(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ，因为2a b c +=，即||||2||CB CA AB +=，4=，整理得所以22143x y +=，因为a b >，即||||CB CA >，所以点C 只能在y 轴的左边，即0x <．又ABC 的三个顶点不能共线，所以点C 不能在x 轴上，即2x ≠-．所以所求点C 的轨迹方程为221(20)43x y x +=-<<．例5在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点Q 的轨迹方程. 【详解】解：在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足，设0(P x ，0)y ，(,)M x y ，0(D x ，0)，M 是PD 的中点，0x x ∴=，02y y =，又P 在圆228x y +=上，22008x y ∴+=，即2248x y +=，∴22182x y +=，∴线段PD 的中点M 的轨迹方程是22182x y +=.题型三：求参数的范围例6：椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于 ,M N 两点，2MNF ∆C 〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，假设存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.由题意2MNF ∆的面积为21212||2b cF F MN c MN a===由得c a =21b =，∴24a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．〔Ⅱ〕假设0m =，那么()0,0P ，由椭圆的对称性得AP PB =，即0OA OB +=， ∴0m =能使4OA OB OP λ+=成立．假设0m ≠，由4OA OB OP λ+=，得144OP OA OB λ=+，因为A ，B ，P 共线，所以14λ+=，解得3λ=．设()11,A x kx m +，()22,B x kx m +，由22,{440,y kx m x y =++-=得()2224240k x mkx m +++-=，由得()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+，由3AP PB =，得123x x -=，即123x x =-，∴()21212340x x x x ++=， ∴()()2222224412044m k m k k-+=++，即222240m k m k +--=．当21m =时，222240m k m k +--=不成立，∴22241m k m -=-，∵2240k m -+>，∴2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-， ∴214m <<，解得21m -<<-或12m <<．综上所述，m 的取值范围为{|21012}m m m m -<<-=<<或或．直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：〔特别注意〕要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

椭圆练习题带答案,知识点总结(基础版)

椭圆重难点复习椭圆：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （其中122a F F >）的点的轨b a bab 、c 之间满足222a b c =+. e 叫做椭圆的离心率，ce a=且01e <<，e 可以刻画椭圆的扁平程度，e 越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆.2.点P 是椭圆上任一点，F 是椭圆的一个焦点，则max PF a c =+，min PF a c =-.3.点P 是椭圆上任一点，当点P 在短轴端点位置时，12F PF ∠取最大值.(余弦定理)4.椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>> 常用三角换元为cos ,sin x a y b θθ==.5、（1）点00(,)P x y 在椭圆内2200221x y a b⇔+<（含焦点）（2）点00(,)P x y 在椭圆上2200221x y a b⇔+=（3）点00(,)P x y 在椭圆外2200221x y a b ⇔+>6.弦长公式：设直线y kx b =+交椭圆于111222(,),(,)P x y P x y则1212||PP x =-，或1212||PP y =-(0)k ≠1．则它的长轴长为（）A. 3 【答案】D【解析】所以得3,1a c == 故长轴长为2a=6 2．点(),1A a 在椭圆A. 11a -<< D. , 、2F 为椭圆上的两个焦点，点P 在C 上且．2222216,8,8a b c a b ==∴=-=，设128t t +=， ① ，由余弦定理得2212122cos6032t t t t +-⋅=， ② 由 ①平方-②可得，83603=)22y +( )A. B. 2y C.平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为（）A. x 212+y 211=1 B. x 236−y 235=1 C. x 23−y 22=1 D. x 23+y 22=1 【答案】D由题意得|PA|=|PB| ，∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r =2√3>|AF|=2 ，∴P 点轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆，a =√3，c =1 ，∴b =√2 ，∴动点P 的轨迹方为程x 23+y 22=1,故选：D ．6．设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍．又点P （4，1）在椭圆上，求该椭圆的方程．【答案】22205x y ＋＝1或2246565x y ＋＝1 解：①当椭圆的焦点在x 轴上时，设方程为+=1（a ＞b ＞0）．∵椭圆过点P （4，1），∴+=1，∵长轴长是短轴长的2倍，∴2a=2×2b，即a=2b ，可得a=2，b=，此时椭圆的方程为+=1；②当椭圆的焦点在y 轴上时，设方程为+=1（m ＞n ＞0）．∵椭圆过点P （4，1），∴+=1，∵长轴长是短轴长的3倍，可得a=2b ，解得m=，n=，此时椭圆的方程为=1．7．已知(4,2)是直线l 被椭圆所截得的线段的中点，则l 的方程是( )A.x ＋2y+8＝0B.x ＋2y －8＝0C.x-2y －8＝0D.x-2y+8＝0【答案】B【解析】设直线l 与椭圆相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．则，且，两式相减得又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以，故直线l 的方程为y －2＝(x －4)，即x ＋2y －8＝0.故选B ．8．中心在原点的椭圆长轴右顶点为(2 ， 0)，直线y =x −1与椭圆相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为23，则此椭圆标准方程是（） A. x 22+y 24=1 B.x 24+y 23=1 C.x 23+y 22=1 D.x 24+y 22=1【答案】D【解析】设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由椭圆长轴右顶点为(2 ， 0)可得a =2,∴椭圆方程可以化为x 24+y 2b 2=1，把直线y =x −1代入得(4+b 2)x 2−8x +4−4b 2=0，设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，则x 1+x 2=84+b 2,∵MN 的中点的横坐标为23，∴12×84+b 2=23，解得b 2=2,∴椭圆的标准方程是x 2+y 2=1，故选D.9．若点O 和点F 分别为椭圆点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最小值为A ．1．已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那12PF PF +的最小值是（） C. 0 D. 1 2的中线，即有()1212PO PF PF =+，则122PF PF PO +=，可设1，即有2222211122x x PO x y x =+=+-=+≥，当x =12PF PF +的最小值为2，故选A.)在椭圆2211612x y +=上，则2x y +的最大值为（） 6 C ．7 D ．8 【答案】D试题分析：(4cos ,23sin P α2x y +的最大值为12．则椭圆的离心率是（）A.C. D. D则有a=3b ，则，则椭圆的离心率13A ,B ,且过C ,DA.B. 【答案】D【解析】设正方形椭圆过C ， D 两点14．已知F 是椭圆 A 为右顶点， P 是椭圆上的一点， PF x ⊥轴，若）A. A22433b a ac =- 22430c ac a +-= ，由于01e <<，所以15．点P 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，F 1,F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2=600，且ΔF 1PF 2的三条边|PF 2|，|PF 1|，|F 1F 2|成等差数列，则此椭圆的离心率是（） A. 45 B. 34 C. 23 D. 12 【答案】D【解析】设|PF 1|=r 1， |PF 2|=r 2，由椭圆的定义得：r 1+r 2=2a ，∵△F 1PF 2的三条边|PF 2|， |PF 1|， |F 1F 2|成等差数列，∴2r 1=2c +r 2，联立r 1+r 2=2a ，2r 1=2c +r 2，解得 r 1=2a+2c 3，r 2=4a−2c 3，由余弦定理得：(2c)2=r 12+r 22−2r 1r 2 · cos60°，将 r 1=2a+2c3，r 2=4a−2c3代入(2c)2=r 12+r 22−2r 1r 2 · cos60°可得，4c 2=(2a+2c 3)2+(4a−2c 3)2−2 · 2a+2c3 · 4a−2c 3 · 12，整理得：2c 2+ac −a 2=0，由e =ca ，得2e 2+e −1=0，解得：e =1或e =−1（舍去），故选D ．16．过椭圆C ：的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点2F ，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）121212)(,1)3，30，则椭圆的离心率为（【答案】D【解析】∵线段PF 1的中点在y 轴上设P 的横坐标为x ，F 1（﹣c ，0）， ∴﹣c+x=0，∴x=c ；∴P 与F∴PF 2⊥x ∵∠PF 1PF 1+PF 2=2a ，∴PF 2=tan ∠PF 13，∴e=a =319是椭圆的两个焦点，满足12·0MF MF =的点M 总在椭圆的内部，则椭A. ()0,1 B. D. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为,,a b c 。

(完整版)高三复习椭圆知识点总结及基础测试,推荐文档

a2 b2
b2 c2
所有的成就在开始时都不过只是一个想法，坚持到底才是成为一个卓越的成功者的途径。
4
线称作“果园”（其中 a2 b2 c2, a b c 0 ）.如图，设点 F0, F1, F2 是相应椭圆的焦点 A1, A2 和 B1, B2 是“果园”与 x, y 轴的交点，若 F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形，则 a,b 的值分别为_________.
分别为 4 5 和 2 5 ，过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；
3
3
（2）经过两点 A(0, 2) 和 B(1 , 3) .
2
2、求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长是短轴长的 2 倍，且经过点 A(2, 6);
（2）在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为
6. 3、已知椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的长轴，短轴端点分别为 A, B ，从椭
所有的成就在开始时都不过只是一个想法，坚持到底才是成为一个卓越的成功者的途径。
4
（2）求证： F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关. 5、已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到
焦点距离的最大值为 3，最小值为 1.
（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若直线 l : y kx m 与椭圆 C 相交于
不同的 A, B 两点（ A, B 不是左，右顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆
C. 5 或 3
D.8
4、椭圆 x2 y2 1的焦点坐标为_________.
49
5、如果方程 x2 ky2 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值
范围是_________.

(完整版)椭圆基本知识点总结

椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的简单几何性质标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+b x a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率)10(<<=e ace c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1； (p 是椭圆上一点)1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义222c b a +=2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab 223.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠ 为最大角。

4.焦点三角形的面积2tan221θb S F PF =∆，其中21PF F ∠=θ5. 用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：①依据上述判断设方程为2222by a x +=1)0(>>b a 或2222a y b x +=1)0(>>b a②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求． 6.点与椭圆的位置关系: 2222b y a x +<1,点在椭圆内，2222b y a x +=1，点在椭圆上，2222b y a x +>1, 点在椭圆外。

椭圆知识点与题型总结

椭圆知识点与题型总结一、椭圆的定义和基本概念1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴的长度。

与椭圆的长轴垂直的轴称为短轴，其长度为常数2b。

2. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半。

3. 椭圆的离心率：椭圆的离心率e的定义为e=c/a，其中c为焦距的一半，a为长轴长度的一半。

离心率描述了椭圆形状的“圆”的程度，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆。

4. 椭圆的几何性质：椭圆有关于焦点、直径、切线等方面的许多重要性质和定理，例如：椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a、椭圆的切线与法线的交点、椭圆的对称性等等。

二、椭圆的常见题型及解题方法1. 椭圆的参数方程题型：求椭圆的参数方程，求参数方程表示的椭圆的离心率、焦点、中心等。

解题方法包括利用椭圆的定义，代入标准方程解参数等。

2. 椭圆的焦点、离心率题型：根据给定的椭圆的标准方程或参数方程，求椭圆的焦点坐标、离心率，或者给定椭圆的离心率和一个焦点，求椭圆的方程。

解题方法包括根据离心率的定义求解，利用椭圆的参数方程计算焦点坐标等。

3. 椭圆的性质题型：求椭圆的长轴、短轴长度，椭圆的离心角、焦点、直径，椭圆的法线、切线方程等。

解题方法包括利用椭圆的定义、性质和以直径为坐标系的轴来简化计算等。

4. 椭圆的切线、法线题型：求椭圆在给定的一点上的切线、法线方程，或者求椭圆上一点的切线、法线方向角。

解题方法包括利用椭圆的参数方程求导数，利用椭圆的切线、法线的定义求解等。

5. 椭圆的面积题型：求椭圆的面积，求椭圆内切矩形的最大面积等。

解题方法包括利用椭圆的定义和参数方程求解，利用微积分求解等。

总之，椭圆是重要的数学对象，涉及到许多重要的数学定理和公式，解椭圆相关的数学题目需要运用代数、几何和微积分等多种知识和技巧。

椭圆知识点总结及经典习题练习

椭圆知识点总结及经典习题练习椭圆知识点总结及经典习题练习知识点⼀：1、平⾯内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数（⼤于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。

注意：若)(2121 F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ；这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距．注意：椭圆122=+b y a x ,122=+bx a y )0(>>b a 的相同点：形状、⼤⼩都相同；参数间的关系都有)0(>>b a 和)10(<<=e ac e ,222c b a +=；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。

知识点⼆：椭圆的标准⽅程1．当焦点在x 轴上时,椭圆的标准⽅程：12222=+b y a x )0(>>b a ,其中222ba c -=2．当焦点在y 轴上时,椭圆的标准⽅程：12222=+bx a y )0(>>b a ,其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中⼼为坐标原点,对称轴为坐标轴建⽴直⾓坐标系时, 才能得到椭圆的标准⽅程；2．在椭圆的两种标准⽅程中,都有)0(>>b a 和222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时,椭圆的焦点坐标为)0,(c ,)0,(c -；当焦点在y 轴上时,椭圆的焦点坐标为),0(c ,),0(c - 知识点三：椭圆的简单⼏何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单⼏何性质（1）对称性：对于椭圆标准⽅程12222=+by a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原⽅程都不变,所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中⼼的中⼼对称图形,这个对称中⼼称为椭圆的中⼼。

椭圆几何性质知识点总结

椭圆几何性质知识点总结1. 椭圆的定义椭圆的定义是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

即PF1+PF2=2a。

其中F1和F2称为焦点，2a称为长轴长度。

椭圆的对称轴是通过两个焦点的连接线，称为长轴。

椭圆的短轴是垂直于长轴，并且过椭圆中心的直线。

2. 椭圆的焦点和离心率椭圆的焦点是椭圆的特殊点，它决定了椭圆的形状和大小。

椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆中心的距离与长轴长度a的比值。

离心率的取值范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一个圆，当e=1时，椭圆退化为一条直线。

3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标。

一般来说，椭圆的参数方程可以写成x=acos(t)，y=bsin(t)。

其中(a,b)是椭圆的长短轴长度，t是参数。

4. 椭圆的直角坐标方程椭圆的直角坐标方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是椭圆的中心点坐标。

5. 椭圆的几何性质椭圆具有许多重要的几何性质，例如：a. 椭圆的焦点性质：任意点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

b. 椭圆的直径定理：椭圆的任意直径的长度都等于椭圆的长轴长度。

c. 椭圆的对称性：椭圆具有关于两个坐标轴的对称性。

d. 椭圆的切线性质：椭圆上的任意一点处的切线与两个焦点到该点的连线的夹角相等。

6. 椭圆的面积和周长椭圆的面积可以表示为S=πab，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

椭圆的周长可以表示为C=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第二类完全椭圆积分。

7. 椭圆的方程类型椭圆的方程可以分为标准方程和一般方程两种类型。

标准方程是指椭圆的中心点在坐标原点的方程形式，一般方程是指椭圆的中心点不在坐标原点的方程形式。

8. 椭圆的相关问题在实际问题中，椭圆经常出现在各种应用中，例如天体运动、工程设计等。

因此，研究椭圆的相关问题对于理论研究和应用都具有重要意义。

椭圆知识点总结加例题

椭圆知识点总结加例题一、椭圆的定义和性质1.1 椭圆的定义在平面上，椭圆的定义为：对于给定的两个不重合的实点F1和F2，以及一个实数2a （a>0），定义为到点F1和点F2的距离的和等于2a的点的轨迹，这个轨迹就是椭圆。

1.2 椭圆的几何性质（1）焦点性质：椭圆上到焦点的距离之和是一个常数2a。

（2）长短轴性质：椭圆有两个互相垂直的对称轴，其中较长的轴称为长轴，较短的轴称为短轴。

（3）离心率性质：椭圆的离心率e定义为焦距与长轴的比值，介于0和1之间。

（4）焦点到顶点的连线和短轴的交点为端点的线段称为短轴的焦径。

（5）焦点到顶点的连线和长轴的交点为端点的线段称为长轴的焦径。

1.3 椭圆的方程和标准方程椭圆的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 其中a、b分别为椭圆长轴和短轴的半轴长。

通过坐标平移和旋转，可以得到椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 椭圆长轴在x轴上，且椭圆的中心为原点。

1.4 椭圆的参数方程和极坐标方程椭圆的参数方程：$\begin{cases}x=a\cos \theta\\ y=b\sin \theta\end{cases}$, $\theta \in [0, 2\pi)$。

椭圆的极坐标方程：$r(\theta)=\frac{ab}{\sqrt{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}}$。

二、椭圆的相关性质2.1 椭圆的离心率和焦距的关系设椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b，焦点到几点段为2c，则椭圆的离心率e满足关系：$e=\frac{c}{a}$。

2.2 椭圆的面积和周长椭圆的面积：$S=\pi ab$。

椭圆的周长：$L=4aE(e)$，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。

2.3 椭圆的切线和法线对于椭圆上任一点P(x，y)，其切线的斜率为$k=-\frac{b^2x}{a^2y}$，切线的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，且斜率为$k$的切线方程为$y-kx+ka^2=0$。

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