科学计算案例_牛顿法解三次方程
用牛顿迭代法求方程的近似解课件
斐波那契给出了这个方程的近似解是：
x = 1.368808108
斐波那契的解是非常精确的，但是并没有给出过程。
在十三世纪，能得到这个结果，是非常了不起的成 就，即使在当今的年代，我们在没有图形计算器的 条件下，给出近似解也是非常困难的。
设想一下，斐波那契是用什么样的方法得到这个结 果的呢？
否则继续循环运算。
1、根的存在性和唯一性的判断：
通过研究函数的单调区间及零点存在性定理 判断。
2、根所在的区间： 分析函数的连续性并找出端点值异号的区间。 3、近似解的选取：
在达到精确度要求的情况下，区间中任意值 都可以作为近似解。
思考并回答以下问题：
1、在研究方程的根的问题时，我们
常可以将其等价转化为什么问题进 行研究？
6、借助图形计算器，验证新的想法， 并思考如何进一步计算。
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
1.第一步应该从何处开始？需要如 何处理？
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
2.第二步应该如何继续？计算的公 式又是什么？如何能循环下去？
“以直代曲”，逼近，迭代
（2）算法框图：
在天文学中，有一类著名的方程——开普勒方程， 是用来确定行星在其运动轨道上的位置的。
x = q sin x + a(0 < q < 1,a为常数)
开普勒方程是一个超越方程，很难得出严格的分析 解，但是，已经证明这个方程存在惟一解。在实际 问题中，我们更希望得到一个精确度很高的近似解。
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
解一元三次方程专题
解一元三次方程专题---一元三次方程是指次数最高为三次的方程，通常的形式为：$$ax^3+bx^2+cx+d=0$$解一元三次方程的方法有多种，下面将介绍其中的几种常用方法。
---方法一：分离变量法分离变量法是一种常用的解一元三次方程的方法。
它的基本思想是将方程中的$x$和常数项用不同的符号表示，然后将方程化为两个关于不同变量的方程，进而求得解。
具体步骤如下：1. 将方程变形，使得方程右边为0。
2. 令$x=y-\frac{b}{3a}$，将原方程转化为以$y$为变量的形式。
3. 将变量分离，得到两个方程。
4. 解两个方程，得到$y$的值。
5. 将$y$的值代入$x=y-\frac{b}{3a}$，求得$x$的值。
注意：分离变量法只能得到方程的实数根。
---方法二：高斯消元法高斯消元法是解一元三次方程的另一种常用方法。
它的基本思想是通过变量替换和高斯消元的操作，将方程化为一个二次方程和一个一次方程，从而求得解。
具体步骤如下：1. 将方程变形，使得方程右边为0。
2. 令$u=x-\frac{b}{3a}$，将原方程转化为以$u$为变量的形式。
3. 减去方程两边的$d$，得到$u^3+pu+q=0$的形式。
4. 利用高斯消元法求解$u^3+pu+q=0$，得到$u$的值。
5. 将$u$的值代入$x=u-\frac{b}{3a}$，求得$x$的值。
注意：高斯消元法可以得到方程的实数根和复数根。
---方法三：牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值解法，可以用来解一元三次方程。
它的基本思想是通过迭代逼近的方式，不断改进初始值，从而求得解。
具体步骤如下：1. 将方程变形，使得方程右边为0。
2. 选取一个初始值$x_0$。
3. 根据牛顿迭代公式 $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，不断迭代，直到满足精确度要求或达到迭代次数。
4. 得到近似解。
注意：牛顿迭代法可以得到方程的实数根和复数根，但要求初始值选择得当。
《算法统宗》的三次方程
《算法统宗》的三次方程三次方程是代数中重要的一类方程，其形式为ax^3 + bx^2 + cx +d = 0，其中a、b、c、d是已知的实数系数且a ≠ 0。
求解三次方程的过程较为复杂，需要运用多种方法和技巧。
本文将介绍几种经典的解三次方程的方法。
一、卡尔达诺公式16世纪意大利数学家卡尔达诺首次研究了三次方程的求解方法，他给出了一种可以将三次方程转化为两个二次方程的方法。
设三次方程为x^3 + ax^2 + bx + c = 0，通过将x = y - a/3进行代换，化简方程为y^3 + py + q = 0，其中p = b - a^2/3，q = c - ab/3 + 2a^3/27、然后利用卡尔达诺公式求解二次方程y^3 + py + q = 0，得到y的三个实数解y1、y2、y3、最后通过反代得到x的三个实数解（x = y - a/3）。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值计算方法，可以用来求解三次方程的近似解。
设f(x)为三次方程的函数，若x0是方程的一个近似解，那么x0的迭代公式为x1=x0-f(x0)/f'(x0)，其中f'(x0)是f(x)在x0处的导数。
通过不断迭代，满足一个精度要求时的近似解即为三次方程的近似解。
三、三项式解法对于特定的三次方程形式，可以利用特殊的方法求解。
常见的三项式形式有齐次三项式和非齐次三项式。
对于齐次三项式形式，可以通过观察系数的特点，通过代换将其转化为一个简单的二次方程，再进行求解。
对于非齐次三项式形式，可以利用求根公式来求解。
但需要注意的是，求解齐次三项式时的特殊情况，即当方程有一个根为0时，需要额外进行讨论。
四、图像法利用三次方程的图像性质，可以近似地求解三次方程的解。
通过绘制y = ax^3 + bx^2 + cx + d 的函数图像，找到方程与x轴的交点来确定近似解的范围，然后通过x的数值逐渐逼近解的准确值。
虽然这种方法不够严谨，但对于一些无法使用其他方法求解的特殊三次方程，可以提供一种可行的求解途径。
3次方程求解方法
3次方程求解方法三次方程，即含有三次项的方程，可一般表示为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0其中a、b、c、d为已知系数，且a≠0。
解三次方程一般有四种方法：代入法、化为二次方程法、牛顿迭代法和Cardano公式法。
下面将逐一介绍这四种方法。
一、代入法代入法是一种直观的解方程的方法。
步骤如下：1.假设已知解为x=r，将r代入原方程得到一个二次方程；2.求解二次方程，得到解r；3.将r代入原方程，检验是否满足。
当然，这种方法的前提是我们能够猜测到一个解r，且这个解确实存在。
二、化为二次方程法化为二次方程法又称Vieta定理法。
其思想是通过变量代换将三次方程转化为二次方程，再用求解二次方程的方法求解。
步骤如下：1.设x=t-b/3a，其中t是未知数，代入原方程化简；2.移项整理后得到一个以t为未知数的二次方程；3.求解二次方程，得到解t；4.通过t求解原方程。
三、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值计算方法，可以用来求方程的近似解。
步骤如下：1.假设已知解x0；2.假设x0附近存在解，通过牛顿迭代公式x=x0-f(x0)/f'(x0)求解近似解；3.重复步骤2，直至近似解达到所需精度。
四、Cardano公式法Cardano公式法适用于一般的立方方程。
步骤如下：1. 将原方程形式化为x^3 + px + q = 0；2. 令y = x + p/3x，将方程化为y^3 + ry + s = 0；3.引入一个新的变量z，使得y和z的线性项抵消，得到一个关于z 的二次方程；4.求解这个二次方程，得到根z；5.通过z回代求解y；6.通过y回代求解x。
四种方法中，代入法和化为二次方程法相对简单，适用于能够猜测到解的情况。
而牛顿迭代法和Cardano公式法更加复杂，适用于无法直接得到解的情况。
综上所述，解三次方程有多种方法，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
在实践中，通过结合多种方法，可以更加高效地求解三次方程。
牛顿迭代法求根例题
牛顿迭代法求根例题牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，用于求解方程的根。
它基于函数在某一点附近的局部线性逼近，并通过不断迭代逼近方程的根。
下面我将以求解方程 f(x) = 0 的根为例，详细介绍牛顿迭代法的步骤和原理。
假设我们要求解方程 f(x) = 0 的根，首先需要选择一个初始近似解 x0。
然后，我们可以利用函数 f(x) 在 x0 附近的切线来逼近方程的根。
切线的斜率等于函数在 x0 处的导数 f'(x0)，切线与x 轴的交点即为新的近似解 x1。
通过不断迭代这个过程，我们可以逐渐接近方程的根。
具体的迭代公式如下：x_(n+1) = x_n f(x_n) / f'(x_n)。
其中，x_n 表示第 n 次迭代得到的近似解，x_(n+1) 表示第n+1 次迭代得到的近似解。
下面以求解方程 f(x) = x^2 a = 0 的正根为例，来演示牛顿迭代法的步骤。
1. 选择初始近似解 x0。
2. 计算函数 f(x) 在 x0 处的导数 f'(x0)。
3. 根据迭代公式计算新的近似解 x1 = x0 f(x0) / f'(x0)。
4. 判断 x1 与 x0 的差值是否满足要求，如果满足则停止迭代，x1 即为方程的近似根；如果不满足，则将 x1 作为新的 x0，重复步骤 2 和步骤 3，直到满足要求。
通过不断迭代，我们可以逐渐逼近方程的根。
需要注意的是，牛顿迭代法的收敛性和迭代次数与初始近似解的选择有关，不同的初始近似解可能会得到不同的结果。
总结起来，牛顿迭代法是一种通过不断逼近函数根的数值计算方法。
它的步骤包括选择初始近似解、计算函数的导数、利用迭代公式计算新的近似解，直到满足要求为止。
该方法在实际应用中具有广泛的应用领域，如求解非线性方程、优化问题等。
牛顿迭代法
第三步
当 |xn+1-xn|< ε 时，迭代结束。xn+1即为方程的近似解。
例4：用牛顿迭代法求方程 x3+9.2x2+16.7x+4=0 在 x=0 附近的根，迭代精度为10-6。
#include "stdio.h" f(x ) #include "math.h" 牛顿迭代公式： xn 1 xn f ( xn ) n #define M 30 main( ) { float x1,x0,eps; float f(float x) float f(float x); { return x*x*x+9.2*x*x+16.7*x+4; } float f1(float x); int k=0; scanf("%f",&x1); float f1(float x) scanf("%f",&eps); do { return 3*x*x+18.4*x+16.7; } { x0=x1; x1=x0-f(x0)/f1(x0); k++; 运行结果： } while(fabs(x0-x1)>=eps&&k<M); if (k<M) printf ("%f\n",x1); 0 0.000001↙ else printf(" iteration divergence\n "); -0.281983 }
编 程 思 路
首先找出递归的两个关键点，即： （1）递归表达式 将64个盘子问题简化成 63个盘子的问题，分三步完成移动操作； ① 将63个盘子看成一个整体，从A座移到B座； ② 在将剩下的一个盘子从A座移到C座； ③ 最后将63个盘子从B座移动到C座； （2）递归终止的条件： 只有一个盘子时，可以移动。
牛顿迭代法的基本原理知识点
牛顿迭代法的基本原理知识点牛顿迭代法是一种求解方程近似解的数值计算方法，通过不断逼近方程的根，以获得方程的解。
它基于牛顿法则和泰勒级数展开，被广泛应用于科学和工程领域。
本文将介绍牛顿迭代法的基本原理和相关知识点。
一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法的基本原理可以总结为以下几个步骤：1. 假设要求解的方程为 f(x) = 0，给定一个初始近似解 x0。
2. 利用泰勒级数展开，将方程 f(x) = 0 在 x0 处进行二阶近似，得到近似方程：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0) + 1/2 f''(x0)(x - x0)^23. 忽略近似方程中的高阶无穷小，并令f(x) ≈ 0，得到近似解 x1：0 ≈ f(x0) + f'(x0)(x1 - x0) + 1/2 f''(x0)(x1 - x0)^2求解上述方程，得到近似解 x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。
4. 通过反复迭代的方式，不断更新近似解，直到满足精度要求或收敛于方程的解。
二、牛顿迭代法的收敛性与收敛速度牛顿迭代法的收敛性与收敛速度与初始近似解 x0 的选择和方程本身的性质有关。
1. 收敛性：对于某些方程，牛顿迭代法可能无法收敛或者收敛到错误的解。
当方程的导数为零或者初始近似解离根太远时，迭代可能会发散。
因此，在应用牛顿迭代法时，需要对方程和初始近似解进行合理的选择和判断。
2. 收敛速度：牛顿迭代法的收敛速度通常较快，二阶收敛的特点使其在数值计算中得到广泛应用。
在满足收敛条件的情况下，经过每一次迭代，近似解的有效数字将至少加倍，迭代次数的增加会大幅提高精度。
三、牛顿迭代法的优点与局限性1. 优点：1) 收敛速度快：牛顿迭代法的二阶收敛特性决定了它在求解方程时的高效性和快速性。
2) 广泛适用：牛顿迭代法可以用于求解非线性方程、方程组和最优化问题等，具有广泛的应用领域。
牛顿求根法计算
x→2x/3+(x2-y2)/[3(x2+y2)2]， y→2y/3-2xy/[3(x2+y2)2]
三、实验程序 N=160; warning off [X,Y]=meshgrid((-N:N)/N*2); [m,n]=find(X==0&Y==0); X(m,n)=1; Y(m,n)=1; R=zeros(321); G=R; B=R; for k=1:30; Xn=2*X/3+(X.^2-Y.^2)./(3*(X.^2+Y.^2)); Yn=2*Y/3-2*X.*Y./(3*(X.^2+Y.^2)); X=Xn; Y=Yn; end R(X>0.8)=1; G(Y<-0.5)=1; B(Y>0.5)=1; imshow(cat(3,R,G,B)) 四、实验数据结果及分析 程序运行后，图形如下：
牛顿求根法计算
20020801027 李生寿 一、问题叙述 求代数方程 f(x)=0 的精确解是很难的事情，特别地当 f(x)是 高于 5 次的多项式时， 不能通过多项式系数的有限次运算得到根的表达式。 在这种情况下求方程的近似解却是可以 的，牛顿法就是一种比较好的逐次逼近法。以 f(x)=x3-1 为例，用牛顿法生成分形图形。 二、问题分析 首先猜测一个值 x1，用它近似方程的根 c,用过(x1,f(x1))点的切线 y=f(x1)+f’(x1)(x-x1)近似代替曲线 f(x),然后用切线方程 y=f(x1)+f’(x1)(x-x1)=0 的 根 x=x2=x1-f(x1)/f’(x1)近似代替曲线方程的根 c,这样就得到 c 的第二个近似值。 依此类 推可得到迭代公式。 在复平面上选定一个区域，对于任意初始点(除去(0，0)点)，讨论它在牛顿法迭代过程 中的行为。一般选 f(x)=xp-1,其中 p 是大于 2 的正整数。这样，迭代公式还可以 改写为对 于 x3-1=0，有三个根：x1=1,x2=[-1+SQR(3)i]/2，x3=[-1-SQR(3)i]/2，三个根均匀地分布 在单位圆上。迭代过程要先将复数分解为实部和虚部：
matlab_牛顿插值法_三次样条插值法
(){}21()(11),5,10,20:12521()1,(0,1,2,,)()2,(0,1,2,,)()()235,20:1100(i i ii n n k k k Newton f x x n x f x x i i n f x nxy i n Newton N x S x n x k y f x =-≤≤=+=-+====-+= 题目：插值多项式和三次样条插值多项式。
已知对作、计算函数在点处的值；、求插值数据点的插值多项式和三次样条插值多项式；、对计算和相应的函数值),()() (1,2,,99)4:()max ()()max()n k n k n k n k n k n k kkN x S x k E N y N x E S y S x ==-=- 和；、计算，；解释你所得到的结果。
算法组织:本题在算法上需要解决的问题主要是：求出第二问中的Newton 插值多项式)(x N n 和三次样条插值多项式()n S x 。
如此，则第三、四问则迎刃而解。
计算两种插值多项式的算法如下：一、求Newton 插值多项式)(x N n ，算法组织如下：Newton 插值多项式的表达式如下：)())(()()(110010--⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+-+=n n n x x x x x x c x x c c x N其中每一项的系数c i 的表达式如下：1102110),,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f c i i i i i -⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-根据i c 以上公式，计算的步骤如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----),,,,(1),,,(),,,,(),(,),,(2)(,),(),(11101111011010n n n n n n n n x x x x f n x x x f x x x f n x x f x x f x f x f x f 、计算、计算、计算、计算 二、求三次样条插值多项式)(x S n ，算法组织如下：所谓三次样条插值多项式)(x S n 是一种分段函数，它在节点i x 011()n n a x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<=分成的每个小区间1[,]i i x x -上是3次多项式，其在此区间上的表达式如下：22331111111()[()()]()()666[,]1,2,,.i i i i i i i i i i i i i i i i i h x x h x x S x x x M x x M y M y M h h h x x x i n --------=-+-+-+-∈=⋅⋅⋅，，因此，只要确定了i M 的值，就确定了整个表达式，i M 的计算方法如下： 令：11111111116()6(,,)i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i h h h h h h y y y y d f x x x h h h h μλμ++++--+++⎧===-⎪++⎪⎨--⎪=-=⎪+⎩， 则i M 满足如下n-1个方程：1121,2,,1i i i i i i M M M d i n μλ-+++==⋅⋅⋅-，方程中有n+1个未知量，则令0M 和n M 分别为零，则由上面的方程组可得到(11)i M i n ≤≤-的值，可得到整个区间上的三次样条插值多项式)(x S n 。
牛顿迭代法例题
牛顿迭代法例题牛顿迭代法是一种求函数零点的近似解的方法，其基本思想是通过函数的切线来逐步逼近零点。
下面是一个使用牛顿迭代法求解方程 x^2 - 2 = 0 的例题：设函数 f(x) = x^2 - 2，要求求解方程 f(x) = 0，即求出函数 f(x) 的根。
首先，选择一个初始近似解 x0，通常选择一个离目标解较近的值作为初始解。
假设初始解为 x0 = 1。
接下来，利用牛顿迭代公式来不断更新近似解，直到满足精度要求。
牛顿迭代公式为：xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，其中 f'(xn) 表示函数 f(x) 在点 xn 处的导数。
对于函数 f(x) = x^2 - 2，求导得到 f'(x) = 2x。
代入初始近似解 x0 = 1，得到 f'(x0) = 2。
根据牛顿迭代公式，更新近似解：x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)= 1 - (1^2 - 2) / 2= 1 - (-1) / 2= 1 + 1/2= 1.5再继续进行迭代：x2 = x1 - f(x1) / f'(x1)= 1.5 - (1.5^2 - 2) / 2= 1.5 - (2.25 - 2) / 2= 1.5 - 0.25 / 2= 1.5 - 0.125= 1.375经过一定次数的迭代后，我们可以得到一个接近方程解的近似解 x2 = 1.375。
可以继续进行迭代，直到满足精度要求或者达到迭代次数限制。
通过以上步骤，可以使用牛顿迭代法求得方程 x^2 - 2 = 0 的近似解x ≈ 1.375。
牛顿迭代法求方程的根实例浅析
牛顿迭代法求方程的根实例浅析近些年来，科学技术和计算机的快速发展有力地推动着非线性问题的发展。
有些经典的方法经过严格的实践检验后，显露出若干缺陷。
例如，收敛阶高，但计算效率低下，或者收敛阶低，可计算效率高等，尤其是在大规模计算中，计算效率显得至关重要，为此人们通常根据具体的问题选择相应的迭代算法，以尽量提高计算效率。
在实践中，有许多问题往往归结为求一元非线性方程的实根、求函数的定积分、求线性方程组的解等。
而即使对于求一元方程实根这类问题，也只有在少数简单的情况下，才可以用传统的方法得到根的数学表达式。
多数情况下是得不到一般数学方法所需的函数表达式，或难以找到原函数。
线性方程组的求解更是让人望而生畏，往往因为计算机工作量太大而无法实施。
对这些问题，都可以利用数值方法来求解，在计算机中实现的数值方法也称为数值算法。
牛顿迭代法是数值分析中一个重要的计算方法和。
1.算法理论牛顿迭代法也称为牛顿切线法，是解非线性方程的一种方法。
牛顿迭代法是取x0之后，在这个基础上，找到比x0更接近的方程的根，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似根。
方法使用函数f（x）的泰勒级数的前面几项来寻找方程f（x）= 0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f（x）= 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
1.1 牛顿迭代法原理。
设已知方程f（x）=0的近似根x0，则在x0附近f（x）可用一阶泰勒多项式p（x）=f（x0）+f“（x0）（x-x0）近似代替。
因此，方程f（x）=0可近似地表示为p（x）=0。
用x1表示p（x）=0的根，它与f（x）=0的根差异不大。
设，由于满足解得重复这一过程，得到迭代这就是著名的牛顿迭代公式，它相应的不动点方程为1.2 牛顿迭代法的几何解析。
在x0处作曲线的切线，切线方程为。
令y=0，可得切线与x轴的交点坐标这就是牛顿法的迭代公式。
牛顿迭代法计算根号3
牛顿迭代法计算根号3牛顿迭代法是一种广泛应用于数学和科学计算中的方法，特别是求解方程根的微分方法，也是求解非线性方程的有效估计方式。
它的原理可以概括为，从一个初始猜测值开始，用迭代技术对待求根或零点的方程及其导数进行计算，每次迭代变化都与其初值有关，根据某种折中原则，不断改变初始猜测值，直至解取得满意的靠近精度或无限接近的精度。
本文将以求解根号3的牛顿迭代法为例，简要介绍牛顿迭代法的原理及几种求解方法。
求解根号3的牛顿迭代：牛顿迭代法的基本原理：牛顿迭代法的的基本原理即可以用x(n+1)=x(n)–y/y'的迭代步骤不断改变x的值，使其靠近真实的解，其中x(n)为第n步的迭代值，y=f(x)，y'=f'(x)。
首先，我们从任意一个非负数x(0)开始，然后按照公式x(n+1)=x(n)-y/y'计算出第二步的迭代值x(1)，依次类推计算出第三步、第四步……的迭代值，直至余数y小于设定值时，便可求出根号3。
牛顿迭代法计算根号3的步骤：第一步：计算f(x)的值，即被求的式子的值；第二步：计算f'(x)的值，即求出f(x)的导数；第三步：计算x(n+1)的值，即根号3的一个近似值，新的x的值；第四步：迭代，将第三步算出的x(n+1)代入第一步和第二步式子重新求解，来获得新的x(n+2)；第五步：重复第四步，直到x(n+2)与x(n+1)之间的差值满足预先设定的精度要求，即可求得根号3的近似值。
结论：牛顿迭代法是一种非常有用的数学计算方式，它可以有效的解决各种复杂的方程问题。
只要掌握了牛顿迭代法的基本原理，就可以使用这一计算方法来解决根号3的问题。
卡尔达诺解三次方程
卡尔达诺解三次方程卡尔达诺方程是一个三次方程，其形式为ax³ + bx² + cx + d = 0。
要解这个方程，我们可以使用卡尔达诺解法，这是一个基于牛顿迭代法的算法。
首先，我们需要了解卡尔达诺解法的原理。
牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法，它通过不断逼近方程的根来找到近似解。
具体来说，我们通过不断迭代方程的系数和根之间的差值，来逐步逼近根。
下面是一个用Python实现的卡尔达诺解法的示例代码：python复制import numpy as npdef cardano_solve(a, b, c, d):# 初始化变量x = np.zeros(3)x[0] = -c / (3 * a)x[1] = (b - np.sqrt(np.abs(np.abs(d) - c ** 2 / (9 * a))) / 3) / ax[2] = (b + np.sqrt(np.abs(np.abs(d) - c ** 2 / (9 * a))) / 3) / a# 迭代优化while np.linalg.norm(x[:2]) > 1e-6:x_new = x - x[:2] * x[:2].Tx_new /= np.linalg.norm(x_new)x = x_newreturn x[0], x[1]这个函数接受四个参数：a、b、c和d，分别代表卡尔达诺方程的系数。
它返回方程的近似解，即x[0]和x[1]。
在函数内部，我们首先初始化变量x为卡尔达诺方程的近似解。
然后，我们使用一个循环来不断优化解的质量，直到解的精度达到要求。
最后，我们返回优化后的解。
现在我们可以使用这个函数来解一个具体的卡尔达诺方程。
例如，假设我们要解方程4x³ - 3x² - 4x + 7 = 0。
我们可以按照以下步骤使用上述函数：python复制a = 4b = -3c = -4d = 7solution = cardano_solve(a, b, c, d)print("解为：", solution)这将输出方程的近似解（即x[0]和x[1]的值）。
使用“牛顿迭代法”求解方程
使⽤“⽜顿迭代法”求解⽅程使⽤⽜顿迭代法求解⽅程尽管通过因式分解和利⽤求根公式可以很⽅便的得出多项式⽅程的根，但⼤多数时候这个多项式的次数都很⾼，计算将变得⾮常复杂，因此，我们必须转向⼀些近似解法。
⽜顿迭代法是其中最好的⽅法之⼀。
从根本上说，⽜顿迭代法通过⼀系列的迭代操作使得到的结果不断逼近⽅程的实根。
⾸先，要选择⼀个初始值x=x0，使得该初始值接近实根的值。
然后，迭代计算如下的公式：x i+1 = x i - f(x i) / f '(x i)直到x i+1达到⼀个满意的近似结果为⽌。
在这个公式中，f(x)是要求解的多项式⽅程，⽽f '(x)是f(x)的导数。
多项式求导多项式求导是微积分的基础，现在让我们来看看针对多项式求导的公式化描述。
要计算出多项式的求导结果，只需要对多项式的每⼀项套⽤如下两个公式：d/dx * k = 0, d/dx *kx r = krx r-1这⾥的k是为常数，r是有理数，x是未知数。
符号d/dx表⽰求导，其中x是多项式中的变量。
对于多项式中的每⼀常数项，套⽤第⼀个公式；否则，就⽤第⼆个公式。
假设有如下函数：f(x) = x3 + 5x2 +3x +4要得到求导后的结果f '(x)，对该多项式的前三项套⽤第⼆个公式，最后⼀项套⽤第1个公式，得到结果如下：f '(x) = 1 * 3x(3-1) + 5 * 2x(2-1) + 3 * 1x(1-1) + 0 = 3x2 + 10x +3有时候也有必要进⾏⾼阶求导，即导数的导数。
⽐如，f(x)的2阶求导可记为f ''(x)，它是对f '(x)的求导结果。
同理，f(x)的3阶求导可记为f'''(x)，这是对f ''(x)的求导结果，以此类推。
因此，在前⾯的例⼦中，如果要计算f(x)的2阶导数的话，我们按照如下的⽅式对f '(x)求导即可：f ''(x) = 3 * 2x(2-1) + 10 * 1x(1-1) + 0 =6x +10理解1阶和2阶导数理解1阶和2阶导数的意义，是正确使⽤⽜顿迭代法⾮常重要的⼀点。
VB牛顿迭代法、二分法和弦截法解一元三次方程
VB 牛顿迭代法、二分法和弦截法解一元三次方程Option Explic itPrivat e a As Double, b As Double, c As Double, d As Double, xx1 As Double, xx2 As Double, e As DoublePrivat e Sub Form_L oad()a = 1 'a * x ^ 3 +b * x ^ 2 +c * x +d = 0b = 2c = 3d = -4xx1 = 0 '二分法区间或弦截法区间或牛顿迭代法初值xx2 = 1 '二分法区间或弦截法区间e = 0.00001'精度End SubPrivat e Sub Comman d1_Cl ick() '牛顿迭代法Dim x As Double, y As Double, dy As Double, ydy As Double, i As Long x = xx1For i = 0 To 1000y = f(a, b, c, d, x)dy = f1(a, b, c, x)If Abs(y) < e ThenPrint"牛顿迭代法x = " & xPrint"迭代次数i = " & iPrintExit SubElseIf dy = 0 ThenPrint"失败，请另设初值试试"PrintExit SubEnd Ifydy = y / dyx = x - ydyNextPrint"失败!"PrintEnd SubPrivat e Sub Comman d2_Cl ick() '二分法Dim x1 As Double, x2 As Double, x0 As Double, y1 As Double, y2 As Double, y0 As Double, i As Longx1 = xx1x2 = xx2y1 = f(a, b, c, d, x1)y2 = f(a, b, c, d, x2)If (y1 > 0 And y2 > 0) Or (y1 < 0 And y2 < 0) ThenPrint"y1=" & y1 & " y2=" & y2 & "，二分法里y1与y2不能同号，请重新设置x1和x2"ElseIf y1 = 0 ThenPrint"二分法x = " & x1Print"迭代次数i = " & iElseIf y2 = 0 ThenPrint"二分法x = " & x2Print"迭代次数i = " & iElseFor i = 1 To 1000x0 = (x1 + x2) / 2'Debug.Printx0y0 = f(a, b, c, d, x0)If y0 = 0 ThenPrint"二分法x = " & x0Print"迭代次数i = " & iPrintExit SubElseIf Abs(x1 - x2) < e ThenPrint"二分法x = " & x0Print"迭代次数i = " & iPrintExit SubElseIf (y1 < 0 And y0 < 0) Or (y1 > 0 And y0 > 0) Thenx1 = x0Elsex2 = x0End IfNextPrint"失败!"End IfPrintEnd SubPrivat e Sub Comman d3_Cl ick() '弦截法Dim x1 As Double, x2 As Double, x0 As Double, y1 As Double, y2 As Double, y0 As Double, i As Longx1 = xx1x2 = xx2y1 = f(a, b, c, d, x1)y2 = f(a, b, c, d, x2)If (y1 > 0 And y2 > 0) Or (y1 < 0 And y2 < 0) ThenPrint"y1=" & y1 & " y2=" & y2 & "，二分法里y1与y2不能同号，请重新设置x1和x2"ElseIf y1 = 0 ThenPrint"弦截法x = " & x1Print"迭代次数i = " & iElseIf y2 = 0 ThenPrint"弦截法x = " & x2Print"迭代次数i = " & iElseFor i = 1 To 1000x0 = x1 - (x2 - x1) / (y2 - y1) * y1'Debug.Printx0y0 = f(a, b, c, d, x0)If y0 = 0 ThenPrint"弦截法x = " & x0Print"迭代次数i = " & iPrintExit SubElseIf Abs(x1 - x2) < e ThenPrint"弦截法x = " & x0Print"迭代次数i = " & iPrintExit SubElseIf (y1 < 0 And y0 < 0) Or (y1 > 0 And y0 > 0) Thenx1 = x0Elsex2 = x0End IfNextPrint"失败!"End IfPrintEnd SubFuncti on f(a As Double, b As Double, c As Double, d As Double, x As Double) As Doublef = a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + dEnd Functi onFuncti on f1(a As Double, b As Double, c As Double, x As Double) As Double f1 = 3 * a * x ^ 2 + 2 * b * x + cEnd Functi on。
三次方程求解
一场别开生面的数学竞赛—— 一元三次方程获解公元1535年2月22日，威尼斯的一所大教堂里公开进行着一场数学竞赛，参加竞赛的一方是意大利波伦亚大学教授费罗的学生菲奥尔，另一方是N ·丰塔纳。
引起这场竞赛的原因是解一元三次方程。
竞赛的内容是双方各出30道一元三次方程给对方，同时开始解答，谁解得多、快，解得准确，谁就获胜。
在二十世纪以前，代数方程求解问题可以说一直是代数学的中心问题。
所谓代数方程，指的是多项式方程，即形如a n x n +a n -1x n -1+…+a 1x+a 0=0的方程，其中最简单的是一次方程，这类方程很容易求解。
其次是一元二次方程，二次方程的求解问题有久远的历史，巴比伦泥板中就载有二次方程问题；古希腊人和中国《九章算术》都解出过某些二次方程；中国赵爽在解一个有关面积的问题时，相当于得出了二次方程-x 2+kx=A 的一个根x=21(k -A k 42-)；七世纪印度人婆罗摩笈多给出求方程x 2+px -q =0的一个根的公式x=21(q p 42+-p )；一元二次方程的一般解法在九世纪时，就由阿拉伯数学家花拉子模求出来了。
对一元三次方程的研究自古有之。
在巴比伦泥板中就有相当于求解三次方程的问题；阿基米德讨论过方程x3+a=cx2的几何解法；七世纪中国王孝通在自己的著作《缉古算经》中提出了要用三次方程解的问题，列出三次方程并给出三次方程的一个正解，但没有方程的列法也没有方程的具体的解法；十三世纪，中国秦九韶进一步提出代数方程的数值解法；公元十一世纪波斯人奥马·海亚姆创造了奇迹：用几何作图的方法，求出了三次方程x3-cx2+b2x+a=0的根。
但在其后的500多年里，人们虽然作了努力，却对一般的一元三次方程一筹莫展，数学家们对此似乎已经丧失了信心。
1494年，意大利帕乔利在其一部著作中甚至指出，若干三次和四次方程的求解象化圆为方问题一样困难，并推测它们可能不存在一般解法。