平面上两直线的夹角求法解析教程文件
新北师大选修2-1高中数学 直线与平面的夹角
§5夹角的计算第二课时 直线与平面的夹角[对应学生用书P37]在上节研究的山体滑坡问题中，A ，B 两点到直线l (水平地面与山坡的交线)的距离分别为AC 和BD ，直线BD 与地面ACD 的夹角为φ.问题1：φ与〈CA ，DB 〉有什么关系？ 提示：φ＝π－〈CA ，DB 〉．问题2：φ与〈BD ，n 〉有何关系？(n 为地面法向量)提示：φ＝π2－〈BD ，n 〉或φ＝〈BD ，n 〉－π2，即sin φ＝|cos 〈BD ，n 〉|.直线与平面的夹角(1)平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角． (2)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为π2.(3)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为0. (4)设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l 与α的夹角为θ，则， 当〈a ，n 〉≤π2时，θ＝π2－〈a ，n 〉；当〈a ，n 〉>π2时，θ＝〈a ，n 〉－π2.即sin 〈a ，n 〉＝|cos 〈a ，n 〉|.(1)直线与平面夹角范围是⎣⎡⎦⎤0，π2； (2)求直线与平面夹角θ时，可用定义求解；也可用直线的方向向量s 、平面的法向量n 的夹角进行求解，但要注意sin θ＝|cos 〈s ，n 〉|.[对应学生用书P37][例1] 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 的夹角的正弦值． [思路点拔](1)先证明直线与平面垂直，再利用线面垂直的性质求证线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，写出点与向量坐标，将线面角的大小用方向向量和法向量表示，但要注意线面角的范围．[精解详析] (1)如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C 平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB ，又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)，则BC ＝(1,0，3)，1BB ＝1AA ＝(－1，3，0)，1A C ＝(0，－3，3)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC ＝0，n ·1BB ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0.可取n ＝(3，1，－1)， 故n ，1A C＝n ·1A C|n ||1A C |＝－105.所以A 1C 与平面BB 1C 1C 的夹角的正弦值为105. [一点通]设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|＝|a ·u ||a ||u |或cos θ＝sin φ，其中θ与φ满足：①当φ是锐角时，θ＝π2－φ；②当φ为钝角时，则θ＝φ－π2.1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 81与平面ABCD 夹角的余弦值为( ) A.33 B.36 C.62D.63解析：如图所示建系，设正方体棱长为1，则A (1,0,0)，C 1(0,1,1)，C (0，1,0)，而CC 1⊥面ABCD ，∴AC 1在底面ABCD 的射影为AC . 又1AC ＝(－1,1,1)，AC ＝(－1,1,0)， ∴AC 1与平面ABCD 夹角的余弦值cos θ＝|cos 〈1AC ，AC 〉|＝63. 答案：D2．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 夹角的正弦值为________．解析：取B 1C 1中点O ，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB ＝BB 1＝2，则A 1(－3，0,0)，C 1(0,1,0)，A (－3，0,2)，O (0,0,0)，1A O ＝(3，0,0)，1A O 为面BB 1C 1C 的法向量，1AC ＝(3，1，－2)，∴sin θ＝|cos 〈1A O ，1AC 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1A O ·1AC |1A O ||1AC | ＝33·3＋1＋4＝64.答案：643.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥BD .(1)求证：PB ＝PD ；(2)若E ，F 分别为PC ，AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．解：(1)证明：如图所示，连接AC ，BD 交于点O ，连接PO ，∵底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，且O 为BD 的中点． 又PA ⊥BD ，PA ∩AC ＝A ， ∴BD ⊥平面PAC ，由于PO ⊂平面PAC ，故BD ⊥PO . 又BO ＝DO ，故PB ＝PD .(2)如图所示，连接AC ，BD ， 设PD 的中点为Q ，连接AQ ，EQ ，则EQ 綊12CD ，∴四边形AFEQ 为平行四边形，EF ∥AQ ，∵EF ⊥平面PCD ， ∴AQ ⊥平面PCD ，∴AQ ⊥PD ，Q 为PD 的中点，∴AP ＝AD ＝ 2. 由AQ ⊥平面PCD ，可得AQ ⊥CD . 又DA ⊥CD ，QA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA . 又BD ⊥PA ，∴PA ⊥平面ABCD .∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以向量AB ―→，AD ―→，AP ―→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2，0,0)，Q ⎝⎛⎭⎫0，22，22，D (0，2，0)，P (0,0，2)，∴AQ ―→＝⎝⎛⎭⎫0，22，22，PB ―→＝(2，0，－2)．易知AQ ―→为平面PCD 的一个法向量， 设直线PB 与平面PCD 所成的角为θ， 则sin θ＝cos 〈PB ―→，AQ ―→〉＝|PB ―→·AQ ―→||PB ―→|·|AQ ―→|＝12，∴直线PB 与平面PCD 所成的角为π6.3.已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 的夹角．解：设PA ＝1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系如图．则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫1，0，12，N ⎝⎛⎭⎫12，0，0， S ⎝⎛⎭⎫1，12，0. (1)证明：CM ＝⎝⎛⎭⎫1，－1，12，SN ＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0，因为CM ·SN ＝－12＋12＋0＝0，所以CM ⊥SN . (2) NC ＝⎝⎛⎭⎫－12，1，0，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则a ·CM ＝0，a ·NC ＝0，即⎩⎨⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0.令x ＝2，得a ＝(2,1，－2)．因为|cos 〈a ，SN 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－123×22＝22，所以SN 与平面CMN 的夹角为45°.[例2] 如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD ，ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD ＝3，BD ＝CD ＝1.另一个侧面ABC 是等边三角形．点A 在底面BCD 上的射影为H .(1)以D 点为原点建立空间直角坐标系，并求A ，B ，C 的坐标； (2)求平面BAC 与平面DAC 的夹角的余弦值．(3)在线段AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 的夹角为30°？若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由．[思路点拨] (1)建立坐标系，证明AD ·BC ＝0. (2)求两平面法向量的夹角．(3)先假设存在点E 满足条件，再建立关于点E 的坐标的方程，判断方程是否有符合题意的解，即可得出结论．[精解详析] (1)由题意AB ＝AC ＝2，∴BC ＝ 2.则△BDC 为等腰直角三角形． 连接BH ，CH ，∴DB ⊥BH ，CH ⊥BH .∴四边形BHCD 为正方形，以DC 为y 轴，DB 为x 轴建立空间直角坐标系如图所示，则A (1,1,1)，B (1,0,0)，C (0,1,0)．(2)设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则由n 1⊥BC 知：n 1·BC ＝－x ＋y ＝0.同理，由n 1⊥CA 知：n 1·CA ＝x ＋z ＝0. 可取n 1＝(1,1，－1)．同理，可求得平面ACD 的一个法向量为n 2＝(1,0，－1)． 则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1＋0＋13·2＝63， 即所求平面BAC 与平面DAC 的夹角的余弦值为63. (3)假设存在E 满足条件，设CE ＝x CA ＝(x,0，x )(0≤x ≤1)，则DE ＝DC ＋CE ＝(0,1,0)＋(x,0，x )＝(x,1，x )，平面BCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，∵ED 与平面BCD 的夹角为30°， 由图可知DE 与n 的夹角为60°，所以cos 〈DE ，n 〉＝DE ·n | DE ||n |＝x 1＋2x 2＝cos60°＝12.则2x ＝1＋2x 2，解得x ＝22，即E ⎝⎛⎭⎫22，1，22， |AC |＝2，|CE |＝1.故线段AC 上存在点E (与C 的距离为1)，使ED 与平面BCD 的夹角为30°. [一点通]解决存在性探究问题，一般先假设存在，然后进行推理计算，推出的结果若符合题意，则说明假设正确．若出现矛盾或得出相反的结论，则否定假设，说明不存在．4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD 与平面PAC 的夹角为90°？若存在，确定P 点位置；若不存在，说明理由．解：如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫1，1，12， 假设存在P (0,0，x )(0≤x ≤1)满足条件，经检验，当x ＝0时不满足要求， 当0<x ≤1时，则PA ＝(1,0，－x )，AC ＝(－1,1,0)，MD ＝(－1，－1，－12)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎨⎧PA ·n ＝0， AC ·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝(1,1，1x )． 由题意MD ∥n ，由MD ＝⎝⎛⎭⎫－1，－1，－12＝－⎝⎛⎭⎫1，1，12＝－n ， 得x ＝2.又0<x ≤1，故不满足要求，综上所述，棱DD 1上不存在点P ，使MD 与平面PAC 的夹角为90°.5.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求平面A 1BC 1与平面B 1BC 1的夹角的余弦值； (3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值． 解：(1)证明：因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A -xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·1A B ＝0，n ·11A C ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)． 同理可得，平面B 1BC 1的法向量为m ＝(3,4,0)． 所以cos 〈 n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.所以平面A 1BC 1与平面B 1BC 1的夹角的余弦值为1625.(3)证明：设D (x 1，y 1，z 1)是线段BC 1上一点，且BD ＝λ1BC . 所以(x 1，y 1－3，z 1)＝λ(4，－3,4)． 解得x 1＝4λ，y 1＝3－3λ，z 1＝4λ.所以AD＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD·1A B＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.此时，BDBC1＝λ＝9 25.计算直线l与平面α的夹角为θ.(1)利用法向量计算θ的步骤如下：(2)利用定义计算θ的步骤如下：[对应课时跟踪训练(十二)]1．已知直线l的一个方向向量为a＝(1,1,0)，平面α的一个法向量为μ＝(1,2，－2)，则直线l与平面α夹角的余弦值为()A.22B．－22C．±22 D.12解析：cos〈a，μ〉＝a·μ|a||μ|＝32·3＝22，则直线l与平面α的夹角θ的正弦值sin θ＝|cos〈a ，μ〉|＝22，cos θ＝22. 答案：A2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为4的正方形，长方体的高为AA 1＝3，则BC 1与对角面BB 1D 1D 夹角的正弦值等于( )A.45 B.35 C.225D.325解析：建立如图所示的空间直角坐标系，∵底面是边长为4的正方形，AA 1＝3，∴A 1(4,0,0)，B (4,4,3)，C 1(0,4,0)．而面BB 1D 1D 的法向量为AC ＝11A C ＝(－4,4,0)，∴BC 1与对角面BB 1D 1D 所成角的正弦值即为|cos 〈1BC ，11A C 〉|＝|(－4，0，－3)·(－4，4，0)|42＋32×42＋42＝165×42＝225.答案：C3.如图所示，点P 是△ABC 所在平面外的一点，若PA ，PB ，PC 与平面α的夹角均相等，则点P 在平面α上的投影P ′是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析：由于PA ，PB ，PC 与平面α的夹角均相等，所以这三条由点P出发的平面ABC 的斜线段相等，故它们在平面ABC 内的投影P ′A ，P ′B ，P ′C 也都相等，故点P ′是△ABC 的外心．答案：B4．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33 C.23 D.13解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，故DB ―→＝(1,1,0)，DC 1―→＝(0,1,2)，DC ―→＝(0,1,0)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB ―→＝0，n ·DC 1―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令z ＝1，则y ＝－2，x ＝2，所以平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC ―→〉|＝|n ·DC ―→||n |·|DC ―→|＝23，故选A.答案：A5.四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DA ＝2，F ，E 分别为AD ，PC 的中点．(1)求证：DE ∥平面PFB ； (2)求点E 到平面PFB 的距离．解：(1)证明：以D 为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0,1,1)．FP ―→＝(－1，0,2)，FB ―→＝(1,2,0)，DE ―→＝(0,1,1)，∴DE ―→＝12FP ―→＋12FB ―→，∴DE ―→∥平面PFB . 又∵DE ⊄平面PFB ， ∴DE ∥平面PFB . (2)∵DE ∥平面PFB ，∴点E 到平面PFB 的距离等于点D 到平面PFB 的距离． 设平面PFB 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FB ―→＝0，n ·FP ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0，令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1.∴n ＝(2，－1,1)，又∵FD ―→＝(－1,0,0)， ∴点D 到平面PFB 的距离 d ＝|FD ―→·n ||n |＝26＝63.∴点E 到平面PFB 的距离为63. 6.如图所示，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 夹角的正弦值为________．解析：不妨设正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D ⎝⎛⎭⎫32，－12，2，则CD ＝(32，－12，2)，1CB ＝(3，1,2)， 设平面B 1DC 的法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ＝0，n ·1CB ＝0，解得n ＝(－3，1,1)． 又∵DA ＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－2， ∴sin θ＝|cos 〈DA ，n 〉|＝45.答案：457．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点． 求直线AD 和平面ABC 1夹角的正弦值．解：如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D⎝⎛⎭⎫32，－12，2.易知AB ＝(3，1,0)，1AC ＝(0,2，2)，AD ＝⎝⎛⎭⎫32，12，2.设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB ＝3x ＋y ＝0，n ·1AC ＝2y ＋2z ＝0，解得x ＝－33y ，z ＝－2y . 故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD 〉＝n ·AD |n ||AD |＝2310×3＝105.即直线AD 和平面ABC 1夹角的正弦值为105. 8．如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 夹角的正弦值为67，求k 的值．解：(1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图．∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2， ∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ， ∴AA 1⊥CD .又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)， ∴AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)． 设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC ·n ＝0， 1AB ·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1AA ·n | 1AA |n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1， 故所求k 的值为1.。
直线与平面的交点与夹角的计算
直线与平面的交点与夹角的计算直线和平面是几何学中的两个重要概念，它们的交点和夹角计算在数学和物理学中都有广泛的应用。
本文将介绍如何计算直线与平面的交点和夹角。
1. 直线与平面的交点计算直线与平面的交点计算主要有两种方法：代入法和参数化方程法。
1.1 代入法以直线的参数方程和平面的一般方程为基础，通过将直线方程代入平面方程，得到关于参数的方程，然后解方程组求解参数，最终得到交点的坐标。
以直线L: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct为例，平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0。
首先将直线方程代入平面方程，得到关于参数t的方程：A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = 0展开化简后，可以得到一个关于t的一次方程，解方程求解t的值，然后代回直线方程，即可得到交点的坐标。
1.2 参数化方程法直线与平面的参数化方程都可以表示成向量形式，通过求解方程组可以得到交点的参数值。
以直线的参数化方程为：P = P0 + td，其中P为直线上一点的坐标，P0为直线上的一点坐标，d为方向向量。
平面的参数化方程为：Q = Q0 + su + tv，其中Q为平面上一点的坐标，Q0为平面上的一点坐标，u和v为平面内的两个向量。
将直线方程代入平面方程，可以得到关于参数的方程，进而求解参数值s和t，最终得到交点的坐标。
2. 直线与平面的夹角计算直线与平面的夹角可以分为两种情况：直线在平面上和直线与平面垂直。
2.1 直线在平面上如果直线在平面上，则直线与平面的夹角为0度。
2.2 直线与平面垂直当直线与平面垂直时，直线上的向量与平面上的法向量垂直，根据向量的内积可以求解两个向量之间的夹角。
假设直线的方向向量为d，平面的法向量为n，则直线与平面的夹角θ的余弦值满足以下关系：cosθ = (d·n) / (|d|·|n|)其中，·表示向量的内积，|d|和|n|表示向量的模。
人教版数学选修21第三章直线与平面的夹角讲义
案例（二）----精析精练课堂合作探究重点难点突被知识点一公式cosθ=cosθ1·cosθ2如右图,已知OA是平面a的一条斜线,AB⊥a,则OB是OA在平面a内的射影,设OM是a 内通过点O的任意一条直线,OA与OB所成的角为θ1,OB与OM所成的角为θ2,OA与OM所成的角为θ,则有cosθ=cosθ1·cosθ2,我们简称此公式为三余弦公式,它反映了三个角的余弦值之间的关系.在上述公式中,因为0≤cosθ2≤1，所以cosθ<cosθ1,因为θ1和θ都是锐角,所以θ1≤0,由此我们可以得到最小角定理:斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角.知识点二斜线和平面所成的角(1)定义:斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).(2)斜线和平面所成角的范围:(0,2π).(3)直线和平面所成角的范围:[O,2π],其中当一条直线与一个平面垂直时,这条直线与平面的夹角为,当一条直线与个平面平行或在平面内时,这条直线与平面的夹角为0.(4)直线和平面所成角的求法:①几何法:用几何法求直线和平面所成角的步骤:i)找(或作)出直线和平面所成的角；ii)计算,即解三角形；iii)结论,即点明直线和平面所成角的大小.②向量法:若直线AB 与平面a 所成的角为θ,平面a 的法向量为n,直线与向量n 所成的角为ϕ，则θ+ϕ=2π,利用向量的夹角公式求出cos ϕ=ABn AB ,再根据sin θ=|cos ϕ|求出θ③利用公式cos θ=cos θ1cos 2求解.典型例题分析题型1 几何法求直线和平面的夹角 【例1】 如下图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=4,BC=3,AA 1=5,试求B 1D 1与面A 1BCD 1所成角的正弦值 解析 作出B 1点在平面A 1BCD 1上的射C 影,从而得到B 1D 1在平面上的射影.又因为平面A 1B 1D ⊥面A 1BCD 1,故只要过B 1作A 1B 的垂线,垂足就是B 1的射影.答案 作B 1E ⊥A 1B,又因为A 1D 1⊥平面ABB 1A 1,∴A 1D 1⊥B 1E. 由B 1E ⊥A 1B 及B 1E ⊥A 1D 1得知B 1E ⊥面A 1BCD 1,所以,D 1E 就是D 1B 1在平面A 1BCD 1上的射影,从而∠B 1D 1E 就是D 1B 1与面A 1BCD 1所成的角.在Rt △B 1D 1E 中,有sin ∠B 1D 1E=111B D EB 上的射影. 但D1B1=211211D A B A +=915+=5,又11BB A S ∆=21A 1B 1·EB 1=21A 1B 1·BB 1,A 1B=1625+=14, ∴EB 1=4154⨯=420,∴sin ∠B 1D 1E=54120=41414.方法指导 如果随意地在直线B 1D 1上取一点,然后过这一点向平面A 1BCD 1作垂线,虽然也可以找出直线B 1D 1和平面A 1BCD 1所成的角,但面临的一个问题是如何求出这个角,因此“作、证、求”三者是紧密联系在一起的,必须系统地统筹考虑.【变式训练1】 已知直角三角形ABC 的斜边BC 在平面a 内,直角边AB,AC 分别和a 成30°和45°角.求斜边BC 上的高AD 与平面a 所成角的大小.答案 如下图,作AO ⊥a,O 为垂足,连结OB,OC,OD,则∠ABO,∠ACO,∠ADO 分别为AB,AC,AD 与a 所成的角,则∠ABO=30°,∠ACO=45°. 设AO=h,则AC=2h,AB=2h.∴BC=6h, ∴AB=32=•BCAB AC h.∴Rt △AOD 中,sin ∠ADO=23=ADAO ,∠ADO=60°.∴AD 与平面a 所成的角的大小为60°.【例2】 如下图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求直线AA 1与平面A 1BD 所成的角.解析 在确定A 在平面上的射影时,既可以利用线面垂直,也可以分析四面体A 1-ABD 的性质.答案 解法一:连结AC,设AC∩BD=O,连结A 1O,在△A 1AO 内作AH ⊥A 1O,H 为垂足.∵A 1A ⊥平面ABCD,BD ⊂平面ABCD, ∴A 1A ⊥BD.又BD ⊥AC,AC∩A 1A=A, ∴BD ⊥平面A 1AD,∴BD ⊥AH.又AH ⊥A 1O,A 1O∩B D=O, ∴AH ⊥平面A 1BD,∴∠AA 1H 为斜线A 1A 与平面A 1BD 所成的角. 在Rt △A 1AO 中,A 1A=1,AO=22,∴A 1O=26. ∵:A 1A·AO=A 1O·AH,∴AH=332622111=⨯=•OA AOA A .∴sin ∠AA 1H=331=A A AH .∠AA 1H=arc sin 33. ∴A 1A 平面A 1BD 所成角的大小为arc sin 33. 解法二:∵AA 1=AD=AB,∴点A 在平面A 1BD 上的射影H 为△A 1BD 中心,连结A 1H,则A 1H 为正△A 1BD 外接圆半径, ∵正△A 1BD 边长为2,∴A 1H=33·2=36. Rt △AHA 1中,cos ∠AA 1H=AA HA 11=36. ∵∠AA 1H 为AA 1与平面A 1BD 所成的角, ∴A 1A 与平面A 1BD 所成角的大小为 arc sin33. 解法三:同解法二分析,A 1H 为∠BA 1D 的平分线, ∴∠BA 1H=30°,又∠AA 1B=45°,∴由最小角原理公式 cos ∠AA 1B=cos ∠AA 1H·cos ∠BA 1H,得cos ∠AA 1H=︒︒=∠∠30cos 45cos cos cos 11H BA B AA =36∴∠AA 1H=arc cos36 方法指导 在研究空间图形时,基本元素的位置关系和数量关系是密不可分、相互转化的.解法二在数量关系AA 1=AD=AB 的基础上,得到A 在平面A 1BD 上的射影的性质,解法三在找到基本图形-----三棱锥A 1-ABD 后,利用最小角原理公式,最小角原理公式是立体几何的重要公式之一,解法三利用该公式,解法简捷明了.【变式训练2】 如下图,在四棱锥P 一ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD,PD ⊥DC,E 是PC 的中点.(1) 证明PA ∥平面EDB ；(2) 求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值. 答案 (1)连结AC,AC 交BD 于O.连结EO. ∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点. 在△PAC 中,EO 是中位线,∴PA ∥EO. 而EOC ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB, 所以PA ∥平面EDB.(3) 作EF ⊥DC 交DC 于F,连结BF,设正方形ABCD 的边长为a. ∵PD ⊥底面ABCD,∴PD ⊥DC. ∴EF ∥PD,F 为DC 的中点∴EF ⊥底面ABCD,BF 为BE 在底面ABCD 内的射影,故∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的 角.在Rt △BCF 中,BF=a a a CF BC 25)2(2222=+=+. ∴EF=21PD=2a ,∴在Rt △EFB 中,tan ∠EBF=55252==a aBF EF . 所以EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为 题型2 向量法求直线与平面的夹角【例3】 在以边长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 和F 分别是BC 和C 1D 1上的点,BE=C 1F=31，试求EF 与平面A 1BD 所成的角的余弦值. 解析 如下图建立恰当的空间直角坐标系,用坐标向量及平面的法向量求解.答案 以A 为原点,分别以AB ,AD ,1AA 方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向而建立坐标系,如上图所示,则A 1(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,1),E(1,31,0),F(32,1,1). 1AC =(1,1,1),B A 1=(1,0,-1),D A 1(0,1,-1). 由于1AC ·B A 1=(1,1,1)·(1,0,-1)=1-1=0, ∴1AC ⊥B A 1,1AC .D A 1=(1,1,1)·(0,1,-1)=1-1=0, ∴1AC ⊥D A 1,∴1AC ⊥平面A 1BD,故1AC 是平面A 1BD 的法向量.又=(-31,32,1),·1AC =(-31,32,1)·(1,1,1)=34,||=314,|1AC |=3.记ϕ为与1AC 之间所成之角则cos ϕ424331443=•.以θ记与平面A 1BD 所成之角,则θ=ϕπ-2,∴cos=θ=cos(2π-ϕ)=sin ϕ=21273211342161cos 12==-=-ϕ. 规律总结 利用向量法求直线与平面所成角的解题步粟可以分解为:①根据题设条件,图形特征建立适当的空间直角坐标系；②得到相关点的坐标,进而求出相关向量的坐标；③利用分式cos<a,b>=ba ba •,进行计算,其中向量a 是直线的方向向量,b 可以是平面的法向量,可以是直线在平面内射影的方向向量；④将(a,b)转化为所求的线面角. 这里要注意的是:平面的斜线的方向向量与平面法向量所成的锐角是平面的斜线与平面所成角的余角.【变式训练3】 如下图所示,已知直角梯形ABCD,其中AB=BC=2AD,AS ⊥平面ABCD,AD ∥BC,AB ⊥BC 且AS=AB.求直线SC 与底面ABCD 的夹角的余弦值.答案 由题设条件知,可建立以AD 为x 轴,AB 为y 轴,AS 为z 轴的空间直角坐标系,如下图所示,设AB=1,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(21,0,0),S(0,0,1).∴AS =(0,0,1),CS =(-1,-1,1).显然AS 是底面的法向量,它与已知向量的夹角β=90°-θ,故有sin θ=cos β33311=⨯=,于是 cos θ=36sin 12=-θ. 【例4】 如下图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA 1=2,D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点,点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示) 解析 求线面角关键在于找到平面的一个法向量,法向量与直线所在的向量夹角的互余的角,即为所求的角,因此结合图形的特征,可以先建立空间直角坐标系,求出平面ABD 的法向量,再按公式求解. 答案 以C 为原点,CA 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系,设AC 的长为a,则A(a,0,0),B(0,a,0)D(0,0,1)A1(a,0,2,)则点G(3a ,3a ,31),E(2a ,2a,1).由于E 在面ABD 内的射影为G 点,所以 GE ⊥面ABD.又DA =(a,0,-1),AB =(-a,a,0)GE =(6a ,6a ,32),,由AB ·GE =0及 DA ·GE =0可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-,066,0326222a a a 解得a=2. 取=(6a ,6a ,32)=(31,31,32,)为平面ABD 的法向量,A 1=(-2,2,-2).设A 1B 和平面ABD 所成的角为θ,则sin θ=32222949191|343232|222=++++-+-. 故所求A1B 和平面ABD 所成的角为arin2方法指导 本题也可以不用向量方法求解,而用传统的几何方法求解,但处理的过程不像向量法简单直接.请读者用传统方法试着处理一下.规律 方法 总结(1)利用平面a 的法向量n 求斜线AB 与平面a 的夹角θ时,应注意关系,sin θ=|cos<,n>),其中θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，不要认为<,n>或<,n>就是θ角；(2)求直线与平面夹角的常见方法:①当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为90°,当直线与平面平行或在平面内时,直线与平面所成的角为0°；②当直线与平面斜交时,用以下三种方法求角：方法一:定义法:在直线上任取不同于斜足的一点作面的垂线,确定射影,找出斜线与平面所成的角,通过解三角形求得；方法二:向量法:建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,由向量夹角公式,求出法向量n 与斜线对应向量的夹角θ(锐角),则所求线面角为2π-θ；方法三:由公式cos θ=cos θ1·cos θ2,求斜线与平面所成的角.定时 巩固 检测基础训练1.平面的一条斜线和这个平面所成角θ的范围是 （ ）A.0°<θ<90°B.0°≤θ≤90°C.0°<θ≤90D.0°<θ<180°【答案】 A(点拨:由与平面相交但不垂直的直线为平面的斜线知0°<θ<90°.)2.一条直线与平面a 所成的角为30°,则它和平面a 内所有直线所成的角中最小的角是 （ ）A.30°B.60°C.90°D.150°【答案】 A(点拨:本题考查最小角定理,斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中最小的角.)3.如下图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中BC 1与对角面BB 1D 1D 所成的角是 （ ）A.∠C 1BB 1 B ∠C 1BD C.∠C 1BD 1 D.∠C 1BO【答案】 D(点拨:∵O 是点C 1在平面BB 1D 1D 上的射影,∴BO 为BC 1在平面BB 1D 1D 内的射影.∵∠C1BO 为所求.)4.PA,PB,PC 是从P 点引出的三条射线,每两条夹角都为60°,则直线PC 与平面APB 所成角的余弦值为 （ ）A. 21 B.36 C.33 D.23 【答案】 C(点拨,设PC 与平面APB 所成角为θ,则由cos60°=cos θ·cos30°得cos θ=33.) 5.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 为侧面BCC 1B 1的中心,则AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为 ( )A.33B.21 C.66 D.23 【答案】 C(点拨:取BC 中点M,连AM,OM,易知∠OAM 即为AO 与平面6.)ABCD所成的角,可求得sin∠OAM=6能力提升6.如右图所示,点P是△ABC所在平面外的一点,若PA、PB、PC与平面a所成的角均相等,则点P在平面a上的射影P′是△ABC的（）A.内心B.外心C.重心D.垂心【答案】B(点拨:由于PA、PB、PC与平面a所成的角均相等,所以这三条由点P出发的平面ABC的斜线段相等,故它们在平面ABC 内的射影P′A、P′B、P′C也都相等,故点P是△ABC的外心,因此,应选B.)7.从同一点O引出不共面的三条射线OA,OB,OC且两两成60°角,OA 与平面BOC的夹角为3(点拨:设OA与平面BOC的夹角为θ,由上述分【答案】arc cos33,所以OA与.平面BOC的夹析可得cos60°=cosθ·cos30°,即cosθ=33.)角为arc cos38.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是AB、C1D1的中点,求A1B1与平面A1MCN所成角的大小.【答案】 法一:分别以DA,DC,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系如上图,设正方体的棱长为1,则A 1(1,0,1),M(1,21,1),N(0,21,1),B 1(1,1,1),所以11B A =(0,1,0),M A 1=(0,21,-1),N A 1=(-1,21,0).设平面A 1MCN 的一个法向量为n=(x,y,z),则有⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥,,11M A n N A n 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-.021,021z y y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y z y x 2121， 令y=2,则x=z=1,所以n=(1,2,1).cos<11B A ,n)=6121111⨯=••n B A n B A =36. 所以直线A 1B 1与平面A 1MCN 所成的角为arc cos36. 法二:连接MN,B 1C,A 1D,A 1C,如右图、所示,由三垂线定理可得MN ⊥A 1B 1,MN ⊥B 1C,所以MN ⊥平面A 1B 1CD,又MN ⊂平面A 1MCN,所以平面A 1MCN ⊥平面A 1B 1CD,又平面A 1MCN 与平面A 1B 1CD 的交线是A 1C,故点B 1在平面A 1MCN 内的射影在直线A 1C 上,所以∠B 1A 1C 就是A 1B 1与平面A 1MCN 所成的角,在Rt △B 1A 1C 中,tan ∠B 1A 1C=111B A C B =2,即A 1B 1与平面A 1MCN 所成的角的大小是arc tan 2. 9.如右图在矩形ABCD 中,2AB=BC,沿对角线AC 将 △ACB 折起到ACB ′的位置,使平面ADB ′⊥平面ACD.(1)求证:平面ACB ′⊥平面CBD ；(2)求AD 与平面ACB ′所成角的大小.【答案】 (1) ⎪⎭⎪⎬⎫='⊥'⊥AD ACD B AD ACD B AD ADCD 平面平面平面平面I ⇒CD ⊥平面ADB ′⇒平面ACB ′⊥平面CB ′D.(2) 作DE ⊥B ′C 于E,连接AE.如图,由(1)知平面ACB ′⊥平面CB ′D,所以DE ⊥平面ACB ′.所以∠DAE 为AD 与平面ACB ′所成的角. 设CD=1,则BC=2,在Rt △B ′DC 中,∠CDB ′=90°,B ′C=BC=2,CD=1,所以B ′D=3,所以DE=′CD BD ′CB •=23所以在R △AED 中,sin ∠DAE=ADDE =223=43,故直线AD 与平面ACB ′所成的角为 arcsin=43. 10.P 是△ABC 所在平面外一点,PA,PB,PC 两两互相垂直,且PA=10,PB=8,PC=6,求PA 与平面ABC 所成的角.【答案】∵AP ⊥PB,PA ⊥PC,∴PA ⊥平面PBC,PA ⊥BC,过A 作AD ⊥BC 于D,连接PD,那么BC ⊥平面PAD,过P 作PO ⊥AD 于O.∴PO ⊥AD;BC ⊥PO,∴PO ⊥面ABC,∠PAO 就是PA 与面ABC 所成的角,∵PB=8,PC=6,∴BC=10,PD=BC PC PB •=524,tan ∠PAD=10524=2512, 因此PA 与面ABC 所成的角为arctan 2512. 11.如下图,在四棱锥P 一ABCD 中,底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°,PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M 、N 分别为PC 、PB 的中点.求:CD 与平面ADMN 所成的角.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系Axyz,设PA=2,则P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,1,0),则=(2,0,-2),=(0,2,0),=(2,-1,0).因为·=(2,0,-2)·(0,2,0)=0,所以PB ⊥AD.又因为由三垂线定理可得PB ⊥DM,所以PB ⊥平面ADMN.因此<,>的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角.因为cos(,DC510,所以CD 与平面ADMN 所成的角为arcsin510.。
直线与平面的夹角 公式
直线与平面的夹角公式
直线与平面的夹角公式可以通过向量的方法来求解。
假设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，那么直线与平面的夹角θ可以通过以下公式来计算：
cos(θ) = |a·n| / (|a||n|)。
其中，|a·n|表示a与n的点积的绝对值，|a|表示向量a的模长，|n|表示向量n的模长。
这个公式实际上就是向量的点积公式的推广，用来计算直线与平面的夹角。
另外，如果已知直线的方向向量为a(x1, y1, z1)，平面的法向量为n(A, B, C)，那么可以使用以下公式来计算夹角θ：
cos(θ) = |Ax1 + By1 + Cz1| / (sqrt(A^2 + B^2 + C^2) sqrt(x1^2 + y1^2 + z1^2))。
这个公式也是基于向量的点积公式得出的，其中分子表示直线方向向量在平面法向量上的投影，分母表示向量的模长乘积。
总之，直线与平面的夹角公式可以通过向量的点积来求解，根据具体的向量值和模长来计算夹角。
希望这些信息能够帮助到你理解直线与平面夹角的计算方法。
两条直线的夹角
两条直线的夹角(2)教学目标理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法..通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角教学难点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角教学方法师生互动教学过程设计说明引入1．引例：判断以下各组直线的位置关系，如果相交，那么求出交点的坐标〔课本p16例1〕．〔1〕01243:1=-+yxl，01127:2=--yxl；〔2〕01243:1=--yxl，3:2=xl；〔3〕01243:1=--yxl，0586:2=+-yxl．解：〔参考课本p16~17〕[说明]复习判断两直线的平行、重合、相交，以及求相交直线的交点坐标的方法.由此引出新的课题.思考并答复以下问题1．〔对于上述〔1〕、〔2〕这样〕，当两条直线相交时，用什么“量〞来描述两条直线的相对位置呢？教具演示：两条直线相交，使其中一条直线绕定点旋转，让学生观察这两条直线的关系.解答：两条直线的夹角.2．回忆旧知：在初中平面几何中“两直线夹角〞的定义是什么？解答：角是有公共端点的两条射线所组成的几何图形〔如右图〕．[说明]在复习旧知的根底上引人新课.概念分析关于两直线的夹角1、概念形成两条直线的夹角如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？怎样定义两条直线的夹角呢？平面上两条直线1l和2l相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，而两条相交直线夹角的取值范围是〔]2,0π.现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出[说明]①为什么规定锐角或直角为两直线的夹角，说明其合理性；②提出问题，给学生造成认知冲突，激发学生探索欲2、夹角公式的推导分析：直线的方向——方向向量——斜率——倾斜角——夹角之间的关系.由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的，下面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角. [说明] 引导学生画图分析，寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系.通过类比，寻求思路. 设两条直线的方程分别为1l ：111=++c y b x a 〔11,b a 不全为零〕2l ：0222=++c y b x a 〔22,b a 不全为零〕.设1l 与2l 的夹角为α，1l 与2l 的一方向向量分别为1d 与2d ，其夹角为θ，且1d =),(11a b -,2d =),(22a b -，当]2,0[πθ∈时，那么θα=如图甲所示;当],2(ππθ∈时，那么θπα-=,如图乙所示. 于是得:2222212121212121|||||||||cos |cos b a b a b b a a d d d d +⋅++=⋅⋅==θα.即为直线1l 与2l 的夹角公式.特别地,当且仅当02121=+b b a a 时, 1l 与2l 的夹角为2π,即1l 与2l 垂直.也就是说:1l ⊥2l ⇔1d 垂直2d ⇔1n 垂直2n ⇔02121=+b b a a (其中1n ,2n 分别为1l 与2l 的一个法向量)而由02121=+b b a a ,易得当0,021≠≠b b 时,有③小题〔2〕,注意结合图形,正确取舍课堂练习练习11.3〔2〕 ----1,3课堂小结1．本节课研究了两条直线的夹角，推导出两条直线的夹角公式的方法，要理解、体会其中的思想方法；2．会用两条直线垂直的充要条件解决与垂直有关的问题；3．熟练运用夹角公式求两条直线的夹角.注意不垂直的两条相交直线的夹角为锐角；4．进一步讨论了求直线方程的方法：运用待定系数法时，可设直线方程为点法向式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时，需要分类讨论.作业1、书面作业：练习11.3〔2〕 ----2,4习题11.3 A组----10,11,122、思考题：光线沿直线l1：022=-+yx照射到直线l2：022=++yx上后反射，求反射线所在直线3l的方程.解由)2,2(2222-⎩⎨⎧=++=-+，得反射点的坐标为yxyx.设3l的方程为0)2()2(=++-ybxa〔其中),(ban=为一法向量，ba,不同时为零〕由反射原理,直线1l与2l的夹角等于2l与3l的夹角，得babababa211252552222-==⇒+⋅+=⋅+或,舍去ba2=(否那么与l1重合) ,所以ba112-=,得3l的方程为26112=--yx.3．思考题：在y轴的正半轴上给定两点A〔0，a〕，B〔0，b〕，点A 在点B上方，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取到最大值.答：abC=.[说明] ①作业1是课本习题，通过它来反响知识掌握效果，稳固所学知识，强化根本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业2、3设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由开展的空间，学生可以根据实际情况选用.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！实用文档.。
人教版【高中数学】选修2-1第三章直线与平面的夹角讲义
案例（二）----精析精练课堂 合作 探究重点难点突被知识点一 公式cos θ=cos θ1·cos θ 2如右图,已知OA 是平面a 的一条斜线,AB⊥a,则OB 是OA 在平面a 内的射影,设OM 是a 内通过点O的任意一条直线,OA 与OB 所成的角为θ1,OB 与OM 所成的角为θ2,OA 与OM 所成的角为θ,则有cos θ=cos θ1·cos θ2,我们简称此公式为三余弦公式,它反映了三个角的余弦值之间的关系.在上述公式中,因为0≤cos θ2≤1，所以cos θ<cos θ1,因为θ1和θ都是锐角,所以θ1≤0,由此我们可以得到最小角定理:斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角.知识点二 斜线和平面所成的角(1)定义:斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).(2)斜线和平面所成角的范围:(0,2π). (3)直线和平面所成角的范围:[O,2π],其中当一条直线与一个平面垂直时,这条直线与平面的夹角为,当一条直线与个平面平行或在平面内时,这条直线与平面的夹角为0.(4)直线和平面所成角的求法:①几何法:用几何法求直线和平面所成角的步骤:i)找(或作)出直线和平面所成的角；ii)计算,即解三角形；iii)结论,即点明直线和平面所成角的大小.②向量法:若直线AB 与平面a 所成的角为θ,平面a 的法向量为n,直线与向量n 所成的角为ϕ，则θ+ϕ=2π,利用向量的夹角公式求出cos ϕ再根据sin θ=|cos ϕ|求出θ③利用公式cos θ=cos θ1cos 2求解.典型例题分析题型1 几何法求直线和平面的夹角【例1】 如下图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=4,BC=3,AA 1=5,试求B 1D 1与面A 1BCD 1所成角的正弦值解析 作出B 1点在平面A 1BCD 1上的射C 影,从而得到B 1D 1在平面上的射影.又因为平面 A 1B 1D⊥面A 1BCD 1,故只要过B 1作A 1B 的垂线,垂足就是B 1的射影.答案 作B 1E⊥A 1B,又因为A 1D 1⊥平面ABB 1A 1,∴A 1D 1⊥B 1E.由B 1E⊥A 1B 及B 1E⊥A 1D 1得知B 1E⊥面A 1BCD 1,所以,D 1E 就是D 1B 1在平面A 1BCD 1上的射影,从而∠B 1D 1E 就是D 1B 1与面A 1BCD 1所成的角.在Rt△B 1D 1E 中,有sin∠B 1D 1E=111B D EB 上的射影. 但D1B1=211211D A B A +=915+=5,又11BB A S ∆=21A 1B 1·EB 1=21A 1B 1·BB 1,A 1B=1625+=14,∴EB 1=4154⨯=420,∴sin∠B 1D 1E=54120=41414. 方法指导 如果随意地在直线B 1D 1上取一点,然后过这一点向平面A 1BCD 1作垂线,虽然也可以找出直线B 1D 1和平面A 1BCD 1所成的角,但面临的一个问题是如何求出这个角,因此“作、证、求”三者是紧密联系在一起的,必须系统地统筹考虑.【变式训练1】 已知直角三角形ABC 的斜边BC 在平面a 内,直角边AB,AC 分别和a 成30°和45°角.求斜边BC 上的高AD 与平面a 所成角的大小.答案 如下图,作AO⊥a,O 为垂足,连结OB,OC,OD,则∠ABO,∠ACO,∠ADO 分别为AB,AC,AD 与a 所成的角,则∠ABO=30°,∠ACO=45°.设AO=h,则AC=2h,AB=2h.∴BC=6h,∴AB=32=∙BC AB AC h. ∴Rt△AOD 中,sin∠ADO=23=AD AO ,∠ADO=60°. ∴AD 与平面a 所成的角的大小为60°.【例2】 如下图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求直线AA 1与平面A 1BD 所成的角.解析 在确定A 在平面上的射影时,既可以利用线面垂直,也可以分析四面体A 1-ABD 的性质.答案 解法一:连结AC,设AC∩BD=O,连结A 1O,在△A 1AO 内作AH⊥A 1O,H 为垂足. ∵A 1A⊥平面ABCD,BD ⊂平面ABCD,∴A 1A⊥BD .又BD⊥AC,AC∩A 1A=A,∴BD⊥平面A 1AD,∴BD⊥AH .又AH⊥A 1O,A 1O∩BD=O,∴AH⊥平面A 1BD,∴∠AA 1H 为斜线A 1A 与平面A 1BD 所成的角.在Rt △A 1AO 中,A 1A=1,AO=22,∴A 1O=26. ∵:A 1A·AO=A 1O·AH,∴AH=332622111=⨯=∙O A AO A A . ∴sin∠A A 1H=331=A A AH .∠AA 1H=arc sin 33. ∴A 1A 平面A 1BD 所成角的大小为arc sin33. 解法二:∵AA 1=AD=AB,∴点A 在平面A 1BD 上的射影H 为△A 1BD 中心,连结A 1H,则A 1H 为正△A 1BD 外接圆半径, ∵正△A 1BD 边长为2,∴A 1H=33·2=36. Rt△AHA 1中,cos∠AA 1H=A A H A 11=36. ∵∠AA 1H 为AA 1与平面A 1BD 所成的角,∴A 1A 与平面A 1BD 所成角的大小为 arc sin 33. 解法三:同解法二分析,A 1H 为∠BA 1D 的平分线,∴∠BA 1H=30°,又∠AA 1B=45°,∴由最小角原理公式cos∠AA 1B=cos∠AA 1H·cos∠BA 1H,得cos∠AA 1H=︒︒=∠∠30cos 45cos cos cos 11H BA B AA =36 ∴∠AA 1H=arc cos 36方法指导 在研究空间图形时,基本元素的位置关系和数量关系是密不可分、相互转化的.解法二在数量关系AA 1=AD=AB 的基础上,得到A 在平面A 1BD 上的射影的性质,解法三在找到基本图形-----三棱锥A 1-ABD 后,利用最小角原理公式,最小角原理公式是立体几何的重要公式之一,解法三利用该公式,解法简捷明了.【变式训练2】 如下图,在四棱锥P 一ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD⊥DC,E 是PC 的中点.(1) 证明PA∥平面EDB ；(2) 求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值.答案 (1)连结AC,AC 交BD 于O.连结EO.∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点.在△PAC 中,EO 是中位线,∴PA∥EO .而EOC ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB.(3) 作EF⊥DC 交DC 于F,连结BF,设正方形ABCD 的边长为a.∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥DC .∴EF∥PD,F 为DC 的中点∴EF⊥底面ABCD,BF 为BE 在底面ABCD 内的射影,故∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的 角.在Rt △BCF 中,BF=a a a CF BC 25)2(2222=+=+. ∴EF=21PD=2a ,∴在Rt △EFB 中,tan ∠EBF=55252==a aBF EF . 所以EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为题型2 向量法求直线与平面的夹角【例3】 在以边长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 和F 分别是BC 和C 1D 1上的点,BE=C 1F= 31，试求EF 与平面A 1BD 所成的角的余弦值. 解析 如下图建立恰当的空间直角坐标系,用坐标向量及平面的法向量求解. 答案 以A 为原点,分别以AB ,AD ,1AA 方向为x轴,y 轴,z 轴的正方向而建立坐标系,如上图所示,则A 1(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,1),E(1,31,0),F(32,1,1). 1AC =(1,1,1),B A 1=(1,0,-1),D A 1(0,1,-1).由于1AC ·B A 1=(1,1,1)·(1,0,-1)=1-1=0,∴1AC ⊥B A 1,1AC .D A 1=(1,1,1)·(0,1,-1)=1-1=0,∴1AC ⊥D A 1,∴1AC ⊥平面A 1BD,故1AC 是平面A 1BD 的法向量.又EF =(-31,32,1),EF ·1AC =(-31,32,1)·(1,1,1)=34,|EF |=314,|1AC |=3. 记ϕ为EF 与1AC 之间所成之角则cos ϕ=11AC EF =424331443=∙.以θ记EF 与平面A 1BD 所成之角,则θ=ϕπ-2,∴cos=θ=cos(2π-ϕ)=sin ϕ=21273211342161cos 12==-=-ϕ. 规律总结 利用向量法求直线与平面所成角的解题步粟可以分解为:①根据题设条件,图形特征建立适当的空间直角坐标系；②得到相关点的坐标,进而求出相关向量的坐标；③利用分式cos<a,b>=b a b a ∙,进行计算,其中向量a 是直线的方向向量,b 可以是平面的法向量,可以是直线在平面内射影的方向向量；④将(a,b)转化为所求的线面角.这里要注意的是:平面的斜线的方向向量与平面法向量所成的锐角是平面的斜线与平面所成角的余角.【变式训练3】 如下图所示,已知直角梯形ABCD,其中AB=BC=2AD,AS⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC 且AS=AB.求直线SC 与底面ABCD 的夹角的余弦值.答案 由题设条件知,可建立以AD 为x 轴,AB 为y 轴,AS 为z 轴的空间直角坐标系,如下图所示,设AB=1,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(21,0,0),S(0,0,1).∴AS =(0,0,1),CS =(-1,-1,1).显然AS 是底面的法向量,它与已知向量CS 的夹角β=90°-θ,故有sin θ=cos β33311=⨯=,于是 cos θ=36sin 12=-θ. 【例4】 如下图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA 1=2,D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点,点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)解析 求线面角关键在于找到平面的一个法向量,法向量与直线所在的向量夹角的互余的角,即为所求的角,因此结合图形的特征,可以先建立空间直角坐标系,求出平面ABD 的法向量,再按公式求解.答案 以C 为原点,CA 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系,设AC 的长为a,则A(a,0,0),B(0,a,0)D(0,0,1)A1(a,0,2,)则点G(3a ,3a ,31),E(2a ,2a ,1).由于E 在面ABD 内的射影为G 点,所以GE⊥面ABD.又DA =(a,0,-1),AB =(-a,a,0)=(6a ,6a ,32),,由AB ·=0及 ·=0可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-,066,0326222a a a 解得a=2. 取=(6a ,6a ,32)=(31,31,32,)为平面ABD 的法向量,B A 1=(-2,2,-2).设A 1B 和平面ABD 所成的角为θ,则sin θ=32222949191|343232|222=++++-+-. 故所求A1B 和平面ABD 所成的角为arin2方法指导 本题也可以不用向量方法求解,而用传统的几何方法求解,但处理的过程不像向量法简单直接.请读者用传统方法试着处理一下.规律 方法 总结(1)利用平面a 的法向量n 求斜线AB 与平面a 的夹角θ时,应注意关系,sin θ=|cos<AB ,n>),其中θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，不要认为<AB ,n>或<BA ,n>就是θ角； (2)求直线与平面夹角的常见方法:①当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为90°,当直线与平面平行或在平面内时,直线与平面所成的角为0°；②当直线与平面斜交时,用以下三种方法求角：方法一:定义法:在直线上任取不同于斜足的一点作面的垂线,确定射影,找出斜线与平面所成的角,通过解三角形求得；方法二:向量法:建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,由向量夹角公式,求出法向量n 与斜线对应向量的夹角θ(锐角),则所求线面角为2π-θ； 方法三:由公式cos θ=cos θ1·cos θ2,求斜线与平面所成的角.定时 巩固 检测基础训练1.平面的一条斜线和这个平面所成角θ的范围是 （ ）A.0°<θ<90°B.0°≤θ≤90°C.0°<θ≤90D.0°<θ<180°【答案】 A(点拨:由与平面相交但不垂直的直线为平面的斜线知0°<θ<90°.)2.一条直线与平面a 所成的角为30°,则它和平面a 内所有直线所成的角中最小的角是 （ ）A.30°B.60°C.90°D.150°【答案】 A(点拨:本题考查最小角定理,斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中最小的角.)3.如下图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中BC 1与对角面BB 1D 1D 所成的角是 （ ）A.∠C 1BB 1 B∠C 1BD C.∠C 1BD 1 D.∠C 1BO【答案】 D(点拨:∵O 是点C 1在平面BB 1D 1D 上的射影,∴BO 为BC 1在平面BB 1D 1D 内的射影.∵∠C1BO 为所求.)4.PA,PB,PC 是从P 点引出的三条射线,每两条夹角都为60°,则直线PC 与平面APB 所成角的余弦值为 （ ）A. 21 B.36 C.33 D.23 【答案】 C(点拨,设PC 与平面APB 所成角为θ,则由cos60°=cos θ·cos30°得cos θ=33.) 5.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 为侧面BCC 1B 1的中心,则AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为( ) A.33 B.21 C.66 D.23 【答案】 C(点拨:取BC 中点M,连AM,OM,易知∠OAM 即为AO 与平面ABCD 所成的角,可求得sin∠OAM=66.) 能力提升 6.如右图所示,点P 是△ABC 所在平面外的一点,若PA 、PB 、PC 与平面a 所成的角均相等,则点P 在平面a 上的射影P′是△ABC 的 （ ）A.内心B.外心C.重心D.垂心【答案】 B(点拨:由于PA 、PB 、PC 与平面a 所成的角均相等,所以这三条由点P 出发的平面ABC 的斜线段相等,故它们在平面ABC 内的射影P ′A 、P ′B 、P ′C 也都相等,故点P 是 △ABC 的外心,因此,应选B.)7.从同一点O 引出不共面的三条射线OA,OB,OC 且两两成60°角,OA 与平面BOC 的夹角为 .【答案】 arc cos 33(点拨:设OA 与平面BOC 的夹角为θ,由上述分析可得co s60°=c os θ·c o s30°,即cos θ=33,所以OA 与.平面BOC 的夹角为arc cos 33.) 8.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是AB 、C 1D 1的中点,求A 1B 1与平面A 1MCN 所成角的大小.【答案】 法一:分别以DA,DC,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系如上图,设正方体的棱长为1,则A 1(1,0,1),M(1,21,1),N(0,21,1),B 1(1,1,1),所以11B A =(0,1,0),M A 1=(0,21,-1),N A 1=(-1,21,0).设平面A 1MCN 的一个法向量为n=(x,y,z),则有⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥,,11M A n A n 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-.021,021z y y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y z y x 2121， 令y=2,则x=z=1,所以n=(1,2,1).cos<11B A ,n)=6121111⨯=∙∙n B A n B A =36. 所以直线A 1B 1与平面A 1MCN 所成的角为arc cos 36. 法二:连接MN,B 1C,A 1D,A 1C,如右图、所示,由三垂线定理可得MN⊥A 1B 1,MN⊥B 1C,所以MN⊥平面A 1B 1CD,又MN ⊂平面A 1MCN,所以平面A 1MCN⊥平面A 1B 1CD,又平面A 1MCN 与平面A 1B 1CD 的交线是A 1C,故点B 1在平面A 1MCN 内的射影在直线A 1C 上,所以∠B 1A 1C 就是A 1B 1与平面A 1MCN 所成的角,在Rt△B 1A 1C 中,tan∠B 1A 1C=111B A C B =2,即A 1B 1与平面A 1MCN 所成的角的大小是arc tan 2.9.如右图在矩形ABCD 中,2AB=BC,沿对角线AC 将△ACB 折起到ACB ′的位置,使平面ADB ′⊥平面ACD.(1)求证:平面ACB ′⊥平面CBD ；(2)求AD 与平面ACB ′所成角的大小. 【答案】 (1) ⎪⎭⎪⎬⎫='⊥'⊥AD ACD B AD ACD B AD ADCD 平面平面平面平面 ⇒CD ⊥平面ADB ′⎪⎭⎪⎬⎫=''⊥'⇒⊥'C C B CD C B B A CD B A ⇒⎭⎬⎫'⊂''⊥'B AC B A D B C B A 平面平面 ⇒平面ACB ′⊥平面CB ′D.(2) 作DE ⊥B ′C 于E,连接AE.如图,由(1)知平面ACB ′⊥平面CB ′D,所以DE ⊥平面ACB ′.所以∠DAE 为AD 与平面ACB ′所成的角.设CD=1,则BC=2,在Rt △B ′DC 中,∠CDB ′=90°,B ′C=BC=2,CD=1,所以B ′D=3,所以DE=′CD BD ′CB ∙=23所以在R △AED 中,sin ∠DAE=AD DE =223=43,故直线AD 与平面ACB ′所成的角为 arcsin=43. 10.P 是△ABC 所在平面外一点,PA,PB,PC 两两互相垂直,且PA=10,PB=8,PC=6,求PA 与平面ABC 所成的角.【答案】∵AP ⊥PB,PA ⊥PC,∴PA ⊥平面PBC,PA ⊥BC,过A 作AD⊥BC 于D,连接PD,那么BC ⊥平面PAD,过P 作PO ⊥AD 于O.∴PO ⊥AD;BC ⊥PO,∴PO ⊥面ABC,∠PAO 就是PA 与面ABC 所成的角,∵PB=8,PC=6,∴BC=10,PD=BC PC PB ∙=524,tan ∠PAD=10524=2512, 因此PA 与面ABC 所成的角为arctan 2512. 11.如下图,在四棱锥P 一ABCD 中,底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°,PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M 、N 分别为PC 、PB 的中点.求:CD 与平面ADMN 所成的角.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系Axyz,设PA=2,则P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,1,0),则=(2,0,-2),=(0,2,0),=(2,-1,0).因为PB ·AD =(2,0,-2)·(0,2,0)=0,所以PB ⊥AD.又因为由三垂线定理可得PB ⊥DM,所以PB ⊥平面ADMN.因此<,>的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角.因为cos(,=510,所以CD 与平面ADMN 所成的角为arcsin 510.。
两直线的夹角公式
两直线的夹角公式
1什么是夹角公式
夹角公式是一种用来计算两条直线之间夹角的数学公式。
该公式可以用来计算两条平行直线之间的夹角，也可以计算两条相交直线之间的夹角。
夹角公式主要用于力学，几何，投影等方面。
2夹角公式如何应用
1.如果两条直线互相垂直，可以用夹角公式来计算其夹角为90°；
2.如果两条直线是平行的，可以用夹角公式来计算夹角为0°；
3.如果两条直线相交，可以用夹角公式来计算它们之间的夹角（数值表示）；
4.如果一个物体的辅助角度是已知的，可以用夹角公式来计算其正弦，余弦和正切。
3夹角公式的常见形式
1.通用式：夹角公式的通用形式为：\cos(\beta)=\frac{a
\cdot b}{||a||\cdot||b||}，其中a和b分别表示两条直线的单位向量，||a||和||b||分别表示a和b的大小。
2.节点度数式：夹角公式的节点度数形式为：\beta=\arccos(a \cdot b)，其中“\arccos”表示反余弦函数，“\cdot”表示点积。
4夹角公式的示例
假设有两条直线a=(2,3)，b=(3,2)，它们的单位向量分别为
a=(0.8944,0.4472)，b=(0.8944,0.4472)，||a||=1，||b||=1。
根据上面提到的夹角公式，可以计算出a和b之间的夹角为53.13°综上所述，夹角公式是一种用来计算两条直线之间夹角的数学公式，是力学，几何学，投影等方面的重要工具。
通用式和节点度数式都是夹角公式的一般形式，并可以适用于垂直，平行和相交的直线。
平面上两直线的夹角求法解析
平面上两直线的夹角求法解析一、容概述在2004年审定的人教A和B版教材中，平面两条直线的夹角概念与相应问题没有涉及到．但是，该问题完全可以作为三角恒等式中两角差的正切公式：，平面向量中直线法向量夹角的余弦及直线方向向量夹角的余弦的应用来进行考查．二、基本概念①平面上直线方程的两种常用表示：直线的点斜式方程：；直线的一般式方程：不全为．②平面上两条相交直线夹角的概念：平面上两条相交直线，所成四个角中的最小角，叫做两条直线的夹角．③平面上两条直线所成角的围：如果两条直线平行或重合，规定它们所成的角为；如果两条直线垂直，规定它们的夹角为；如果两条直线相交且互不垂直，则两直线的夹角围为．④平面上直线的方向向量：基线与平面上一条直线平行或重合的向量，叫做直线的方向向量；直线点斜式方程的一个方向向量为．⑤平面上直线的法向量：基线与平面上一直线垂直的向量，叫做直线的法向量；直线的一般式方程不全为的一个法向量为．三、理论推导1.已知倾斜角，根据两角差的正切公式求两直线夹角.证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为．假设为直线，所成的一角，显然，则，由公式得：又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角围是，所以．从而得：即，平面上直线与直线的夹角．2.已知直线的一般式方程，运用直线法向量夹角余弦求平面上两直线夹角.证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的一般式方程为，一法向量；直线的一般式方程为，一法向量．假设为直线，所成的一角，显然（左图）或（右图）由法向量夹角的余弦得：又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角围是，所以．从而得：即，平面上直线与直线的夹角．3.已知直线的点斜式方程，利用直线方向向量夹角余弦求平面上两直线夹角.证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的点斜式方程为，一方向向量；直线的点斜式方程为，一方向向量．假设为直线，所成的角，显然（左图）或（右图），由方向向量夹角的余弦得：又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角围是，所以．从而得：即，平面上直线与直线的夹角．注意：可以求出直线一般式方程的某个方向向量，也可以求出直线点斜式方程的某个法向量．但是，无论利用哪一种方法，都必须谨记平面上两直线所成角与两直线夹角的区别：两直线夹角的围是，即的三角函数值一定是非负的．四、例题解析对于有关平面上两直线的夹角问题，理论简单，方法也易于掌握，该部分难点是如何根据题意选取恰当的理论和方法来解决问题．下面结合具体实例谈谈求解方法是如何选择的．例1已知直线，的斜率是二次方程的根，试求直线与的夹角．解析：设直线，的斜率分别为，，解二次方程得，，将代入公式得，．所以直线与的夹角．点评：本题结合二次方程求解问题考查第一种方法的运用，解决此类问题的时候，要理解直线倾斜角与直线斜率的关系，并能准确选择求直线夹角的方法．例2求直线与直线的夹角．解析：题目中的直线方程是一般式形式且互不垂直，因此我们选择法向量求夹角的方法．直线一法向量；直线一法向量．将代入公式得，．所以直线与的夹角．点评：本题主要考查对公式的选择及熟练程度，也可以尝试利用方向向量求解，鼓励一题多解．例3光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线线所在直线的方程．解析：联立得反射点的坐标为，由题意知直线过该点，则设的方程为（其中为直线的法向量，不同时为零）．由物理学中的反射原理可知：直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即：，解得或(舍去，否则与重合)．所以，直线的方程为．点评：本题首先应思考将问题转化为求过定点，且与所给直线夹角已知的直线方程；其次，在求直线方程时,往往采用待定系数法——先设出所求直线的方程，再利用直线的夹角求解方法列式求解．五、沉思提高已知直线过点，且与直线的夹角为，求直线方程．。
直线间的夹角,直线与平面间的夹角参考教案
直线间的夹角,直线与平面间的夹角 教案一、教学目标：能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题二、教学重点：异线角与线面角的计算；教学难点：异线角与线面角的计算。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法2、向量的夹角公式 （二）、探析新课1、法向量在求面面角中的应用：原理：一个二面角的平面角α1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补。
2、法向量在求线面角中的应用：原理：设平面β的斜线l 与平面β所的角为α1，斜线l 与平面β的法向量所成角α2，则α1与α2互余或与α2的补角互余。
（三）、知识运用1、例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=41A 1B 1，D 1F 1=41D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。
解1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角AHG ∠1715cos =∠AHG 解2：（向量法）设b F D a DD ==111,4，则||||b a =且b a ⊥222212117)4(||||a b a BE DF =+==21115)4)(4(a b a b a BE DF =-+=⋅1715||||,cos 111111=>=<DF BE DF BE DF BE解3：（坐标法）设正方体棱长为4，以1,,DD DC DA 为正交基底，建立如图所示空间坐标系xyz D -)4,1,0(1-=BE ,)4,1,0(1=DF ，⋅1BE 1DF ＝151715||||,cos 111111=<DF BE DF BE DF BE 2、例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=11E D 41D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的大小 解：设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底，建立如图所示坐标系D -xyz1DB 为D 1AC 平面的法向量，)1,1,1(1=DB)1,43,21(1-=F E8787,cos 11>=<F E DB 所以直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的正弦值为8787 3、补充例题： 在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，AC =2，BC =13，SB =29（1）求证：SC ⊥BC ；（2）求SC 与AB 所成角的余弦值解：如图，取A 为原点，AB 、AS 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系，则有AC =2，BC =13，SB =29，得B （0,17,0）、S （0,0,23）、C （21713,174,0）， ∴SC =（21713,174,-23），CB =（－21713,1713,0） （1）∵SC ·CB =0，∴SC ⊥BC （2）设SC 与AB 所成的角为α，∵AB =（0,17,0），SC ·AB =4，|SC ||AB |=417， ∴cos α=1717，即为所求 4、课堂练习：课本P45练习题1、2（四）、回顾总结：求异线角与线面角的方法，反思解题，回顾总结方法。
直线与平面的交角
直线与平面的交角直线与平面的交角是几何学中的重要概念之一，它描述了直线与平面之间的相对方向关系。
本文将介绍交角的定义、计算方法以及一些相关应用。
一、交角的定义直线与平面的交角是指直线与该平面上的任意一条射线之间的夹角。
这里的夹角是指由两条线段所围成的角度。
二、计算交角的方法1. 如果已知直线与平面的方程式，可以通过求解它们的交点来计算交角。
首先，需要将直线和平面的方程式表示为参数方程或者标准方程。
然后，将直线的参数方程或标准方程代入平面的方程中，得到交点的坐标。
最后，利用向量的夹角公式或者三角函数的性质计算夹角。
2. 如果已知直线的方向向量和平面的法向量，可以通过向量的夹角公式计算交角。
首先，根据直线的方向向量和平面的法向量找到它们的夹角的余弦值。
然后，利用反余弦函数求得交角的度数或弧度。
3. 如果已知直线上的两个点和平面的法向量，可以利用向量的点乘计算交角。
首先，根据两个点求得直线的方向向量。
然后，利用向量的点乘公式计算直线的方向向量与平面的法向量的余弦值。
最后，利用反余弦函数求得交角的度数或弧度。
三、交角的应用1. 交角在几何图形的构造中有广泛的应用。
例如，通过两条相交直线与一条平面上的一点，可以确定出该点在平面上的投影点，从而方便进行几何图形的绘制。
2. 交角在物理学中也有应用。
例如，电磁波的入射角与折射角之间的关系可以由直线与平面的交角来描述，从而解释光的折射现象。
3. 交角在机械工程中也有重要的应用。
例如，通过计算直线与平面的交角可以确定两个物体之间的相对位置，为机械结构的设计提供参考依据。
四、总结直线与平面的交角是几何学中的重要概念，它描述了直线与平面之间的夹角关系。
本文介绍了交角的定义、计算方法以及一些应用领域。
了解交角的性质和计算方法，可以帮助我们更好地理解几何学中的相关问题，并应用于实际生活和工程领域中。
教案 高教版(数学)第二册——8.7 平面上两条直线的夹角
平面上两条直线的夹角教学目标知识目标：1、理解两条直线的夹角的定义；2、理解两条直线夹角的公式.能力目标：1、掌握两条直线的夹角及其计算公式；2、会两条直线夹角公式的推导，及运用两条直线的夹角公式求已知两条直线的夹角。
德育目标：1、用联系的观点看问题；2、认识事物在一定条件下能够相互转化。
教学重点：会运用两条直线的夹角公式求已知两条直线的夹角。
教学难点：两条直线的夹角公式的推导。
教学过程：一、课前复习1、 向量内积概念及向量夹角的取值范围。
2、 已知|a|=2,|b|=5，<a ，b>= 120，求 a b •3、若==|a |),,(则y x a引入：这节课我们就来学习两条直线的夹角问题。
我们知道，在推导直线平行垂直条件时，直线平行、垂直问题可转化为法向量平行、垂直问题，那么我们在研究直线的夹角问题是否也可转化为法向量夹角问题呢？二、新课讲授问题1：当一条直线斜率不存在时，其倾斜角为90°,与 倾 斜 角为0°的直线垂直。
问题2：一条斜率不存在的直线与一条斜率为0的直线互相垂直。
答：两条直线垂直时，一共构成几个角？它们之间有什么关系?如果两直线相交，结果又如何？问题3：垂直时, 一共构成四个角, 四个角都等于90°。
如果斜交也构成四个角,组成两组对顶角。
答：两条直线相交的状况如何，我们需要具体量化。
首先我们来看直线l 1到l 2的角。
定义：把直线l 1（饶着l 1与l 2的交点）按逆时针方向旋转到与l 2重合时所转的角，叫做l 1到l 2的角。
如图所示：θ就是直线l 1到l 2的角，而l 2到l 1的角为θ’,显然有θ+θ’=π1问题：直线l 1到l 2的角的取值范围如何？答：0°<θ<180°问题：设直线l 1：y= k 1x+b 1, 倾斜角为α1, 直线l 2:y= k 2x+b 2, 倾斜角为α2，直线l 1到l 2的角为θ。
两直线夹角cos公式
两直线夹角cos公式在日常生活中，我们经常会遇到直线之间的夹角问题，特别是在数学、物理、几何等领域。
两直线夹角的大小可以帮助我们更好地理解直线之间的关系。
在本篇文章中，我们将介绍如何使用cos公式来求解两直线夹角。
首先，我们需要了解两直线夹角的概念。
两直线夹角是指两条直线在空间中的夹角，可以用角度或弧度来表示。
在平面直角坐标系中，两条直线的夹角可以通过它们的斜率来判断。
对于垂直的直线，它们的夹角为90度（或π弧度）；对于同一条直线，它的夹角为0度（或0弧度）。
接下来，我们来看cos公式在求解两直线夹角中的应用。
假设直线1的斜率为k1，直线2的斜率为k2，那么它们之间的夹角θ可以通过以下公式求解：cosθ = (k1 * k2 + 1) / (sqrt(1 + k1^2) * sqrt(1 + k2^2))这个公式的原理是利用了两直线的斜率与它们之间夹角的余弦值之间的关系。
当两直线平行时，它们的斜率相等，夹角为0度；当两直线垂直时，它们的斜率互为负倒数，夹角为90度。
现在我们来推导一下这个公式。
首先，我们知道直线的斜率可以表示为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)分别是直线上的两个点的坐标。
我们可以将这个公式平方，得到：k^2 = ((y2 - y1)^2) / ((x2 - x1)^2)接下来，我们将直线1的斜率表示为k1，直线2的斜率表示为k2，代入公式中：k1^2 * k2^2 = ((y2 - y1)^2) / ((x2 - x1)^2)根据勾股定理，我们有：(y2 - y1)^2 + (x2 - x1)^2 = (直线1的模长)^2同样地，我们可以得到：(y2 - y1)^2 + (x2 - x1)^2 = (直线2的模长)^2将这两个等式相减，得到：(直线1的模长)^2 - (直线2的模长)^2 = 0这说明直线1和直线2之间的夹角为0度或180度，即它们平行或反向。
直线和面的夹角公式
直线和面的夹角公式
夹角的概念在几何学中非常重要，它描述了两个几何图形之间
的角度关系。
在三维空间中，我们可以讨论直线和平面之间的夹角。
夹角的大小可以通过它们的方向向量来计算。
假设我们有一个平面的法向量n和一条直线的方向向量l。
这
两者之间的夹角θ可以通过以下公式计算：
cos(θ) = |n·l| / (||n|| ||l||)。
其中，· 表示向量的点积（内积），||n|| 表示向量n的长度，||l|| 表示向量l的长度。
公式中的|n·l| 表示n·l的绝对值。
另一种计算夹角的方法是使用向量的夹角公式：
cos(θ) = (a·b) / (||a|| ||b||)。
其中，a和b分别是平面的法向量和直线的方向向量。
这两个公式可以帮助我们计算直线和平面之间的夹角。
需要注
意的是，夹角的计算结果是一个角度值，通常以弧度或度数表示，具体取决于所用的数学工具或公式的要求。
除了数学公式，我们还可以从几何直观的角度来理解直线和平面的夹角。
夹角的大小取决于直线在平面上的投影以及它们之间的方向关系。
通过观察它们的相对位置和方向，我们也可以直观地理解夹角的大小。
总而言之，直线和面的夹角可以通过数学公式或几何直观来理解。
这些概念对于理解空间中的几何关系以及在工程、物理学和计算机图形学等领域中的应用都具有重要意义。
直线与平面夹角的公式
直线与平面夹角的公式直线与平面是几何学中的两个基本概念，它们在许多数学问题和实际应用中都扮演着重要的角色。
其中，直线与平面的夹角是一个重要的概念，它可以帮助我们理解许多几何形状和空间结构的特性。
在本文中，我们将讨论直线与平面夹角的公式及其应用。
一、直线与平面的夹角定义在三维空间中，我们可以将一条直线看作是一条无限延伸的线段，而平面则是一个无限延伸的平面。
当一条直线与一个平面相交时，它们形成的夹角被称为直线与平面的夹角。
直线与平面夹角的大小可以用角度或弧度来表示，其中角度是以度为单位的，弧度则是以弧长为单位的。
二、直线与平面夹角的公式在三维空间中，我们可以通过向量的概念来计算直线与平面的夹角。
具体来说，我们可以将直线和平面分别表示为它们的法向量和方向向量，然后使用向量的点积公式计算它们之间的夹角。
具体公式如下：cosθ = (a·n) / (|a|·|n|)其中，a表示直线的方向向量，n表示平面的法向量，|a|和|n|分别表示它们的模长，·表示向量的点积，θ表示直线与平面的夹角。
需要注意的是，由于cosθ的值在-1到1之间，因此直线与平面的夹角的范围是0到π/2弧度或0到90度。
当cosθ等于1时，直线与平面的夹角为0度，表示它们在同一平面内；当cosθ等于-1时，直线与平面的夹角为90度，表示它们相互垂直。
三、直线与平面夹角的应用直线与平面夹角的公式在许多数学问题和实际应用中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 三维图形的投影在三维图形中，我们常常需要将它们投影到一个平面上，以便更好地观察它们的形状和特性。
在进行投影时，我们需要知道图形与投影平面之间的夹角，以便正确地计算它们在投影平面上的大小和位置。
2. 光线的反射和折射当光线遇到一个平面时，它可能会发生反射或折射。
在这种情况下，我们需要知道光线与平面之间的夹角，以便正确地计算反射或折射角度。
3. 三角测量在三角测量中，我们常常需要测量两个物体之间的距离和角度。
直线与平面的夹角ppt课件
| CD n |
| a |
1
，又
| CD || n |
2a 2 2 2
)
ABC
6.（多选）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F 分别为 A1 D1 ，CC1 的中点，则(
A.直线 BE 与 B1 F 所成角为 90
B.直线 B1C 与 C1 D 所成角为 60
即
′
′
′
′
′
与平面
′
′
′
=2
′
，
中，sin ∠
′
′
=
是一个锐角，所以 ∠
′
′
1
2
′
′
所成角的大小为
=
，
π
6
π
6
，
.
1.在空间直角坐标系中，直线 l 的一个方向向量为 m (1, 0,3) ，平面 的一个
A)
法向量为 n (1, 5, 2) ，则直线 l 与平面 所成的角为(
A.
π
2
2
2ay 0,
n CA 0 ， n AP 0 ， a
可取 n (1, 0,1) .设直线 CD 与平面
a
2 x ay 2 z 0,
PAC 的夹角为 ，则 sin | cosCD, n |
0 90 ， 30 .故选 C.
.
设平面
则
′
⋅
′
⋅
′
′
=
′
的一个法向量为
− = 0,
=−
′
′
= 1，可得
=
(0,1,1)
.
= 0,
直线与平面夹角的公式
直线与平面夹角的公式在数学中，直线和平面是我们研究的基本几何概念。
直线是由无数个点组成的，而平面则是由无数个直线组成的。
它们之间的关系非常密切，因此我们需要研究它们之间的夹角。
在本文中，我们将介绍直线与平面夹角的公式及其应用。
一、直线与平面的夹角在几何学中，直线与平面的夹角是指直线与平面之间最小的夹角，也就是直线与平面的最小夹角。
直线与平面的夹角可以分为两种情况：直线在平面内或直线与平面相交。
1. 直线在平面内的夹角当直线在平面内时，它与平面的夹角为0度。
因为直线和平面在这种情况下是完全重合的。
2. 直线与平面相交的夹角当直线与平面相交时，它们之间的夹角可以通过计算得到。
我们可以用向量的概念来表示直线和平面。
设直线的方向向量为$vec{a}$，平面的法向量为 $vec{n}$，则直线与平面的夹角$theta$ 可以表示为：$$costheta=frac{|vec{a}cdotvec{n}|}{|vec{a}|cdot|vec{n}|}$$ 其中，$|vec{a}|$ 和 $|vec{n}|$ 分别表示向量 $vec{a}$ 和$vec{n}$ 的模长，$vec{a}cdotvec{n}$ 表示向量 $vec{a}$ 和$vec{n}$ 的点积。
二、应用1. 直线与平面的夹角的应用直线与平面的夹角是几何学和物理学中的重要概念。
在机械加工和建筑设计中，直线与平面的夹角是非常重要的。
例如，在机械加工中，我们需要知道刀具和工件之间的夹角，以便正确地进行加工。
在建筑设计中，我们需要知道墙面和地面之间的夹角，以便正确地进行装修。
2. 直线与平面的夹角的计算在实际应用中，我们通常需要计算直线与平面的夹角。
下面我们通过一个例子来说明如何计算直线与平面的夹角。
例如，设一直线的方向向量为 $vec{a}=(1,2,3)$，平面的法向量为 $vec{n}=(4,5,6)$，则直线与平面的夹角 $theta$ 可以表示为：$$costheta=frac{|vec{a}cdotvec{n}|}{|vec{a}|cdot|vec{n}|}=f rac{|(1,2,3)cdot(4,5,6)|}{sqrt{1^2+2^2+3^2}cdotsqrt{4^2+5^2+6^2}}=frac{32}{sqrt{14}cdotsqrt{77}}$$因此，直线与平面的夹角 $theta$ 等于$arccosfrac{32}{sqrt{14}cdotsqrt{77}}$。
平面上两直线的夹角求法解析
平面上两直线的夹角求法解析一.内容概述 在 2004 年核定的人教 A 和 B 版教材中,平面两条直线的夹角概念与响应问题没有涉及到．但是,该问题完整可以作为三角恒等式中两角差的正切公式：,平面向量中直线法向量夹角的余弦 的应用来进行考察．及直线偏向向量夹角的余弦二.根本概念①平面上直线方程的两种经常应用暗示：直线的点斜式方程：;直线的一般式方程： ②平面上两条订交直线夹角的概念：不全为 ．平面上两条订交直线 , 所成四个角中的最小角,叫做两条直 线的夹角．③平面上两条直线所成角的规模：假如两条直线平行或重合,划定它们所成的角为 ;假如两条直线垂直,划定它们的夹角为 ; 假如两条直线订交且互不垂直,则两直线的夹角规模为． ④平面上直线的偏向向量：基线与平面上一条直线 平行或重合的向量 ,叫做直线 的偏 向向量;直线点斜式方程 ⑤平面上直线的法向量：的一个偏向向量为 ．基线与平面上一向线 垂直的向量 ,叫做直线 的法向量;直线的一般式方程不全为 的一个法向量为． 三.理论推导,依据两角差的正切公式 角.求两直线夹证实：如下图所示,在平面直角坐标系 中,直线 的竖直角为 ,直线 的竖直角为 ．假设为直线 , 所成的一角,显然,则,由公式得：又因为平面上两条订交且互不垂直的直线夹角 规模是,所以．从而得：即,平面上直线 与直线 的夹角．2.已知直线的一般式方程,应用直线法向量夹角余弦求平面上两直线夹角.证实：如下图所示,在平面直角坐标系 中,直线 的一般式方程为,一法向量;直线 的一般式方程为,一法向量．假设为直线 , 所成的一角,显然（左图）或（右图）由法向量夹角的余弦得：又因为平面上两条订交且互不垂直的直线夹角 规模是,所以．从而得：即,平面上直线 与直线 的夹角．3.已知直线的点斜式方程,应用直线偏向向量夹角余弦求平面上两直线夹角. 证实：如下图所示,在平面直角坐标系中,直线 的点斜式方程为,一偏向向量;直线 的点斜式方程为,一偏向向量．假设为直线 , 所成的角,显然（左图）或（右图）,由偏向向量夹角的余弦得：又因为平面上两条订交且互不垂直的直线夹角 规模是,所以．从而得：即,平面上直线 与直线 的夹角．留意：可以求出直线一般式方程的某个偏向向量,也可以求出直线点斜式方程的某个法向量．但是,无论应用哪一种办法,都必须谨记平面上两直线所成角与两直线夹角的差别：两直线夹角的规模是,即 的三角函数值必定长短负的．四.例题解析对于有关平面上两直线的夹角问题,理论简略,办法也易于控制,该部分难点是若何依据题意拔取适当的理论和办法来解决问题．下面联合具体实例谈谈求解办法是若何选择的．例 1 已知直线 , 的斜率是二次方程的根,试求直线 与 的夹角．解析：设直线 , 的斜率分离为 , ,解二次方程 得,,将 代入公式得,．所以直线 与 的夹角．点评：本题联合二次方程求解问题考察第一种办法的应用,解决此类问题的时刻,要懂得直线竖直角与直线斜率的关系,并能精确选择求直线夹角的办法．例 2 求直线与直线的夹角．解析：标题中的直线方程是一般式情势且互不垂直,是以我们 选择法向量求夹角的办法．直线 ．一法向量;直线一法向量将 代入公式得,．所以直线 与 的夹角．点评：本题重要考察对公式的选择及闇练程度,也可以测验测验应用偏向向量求解,勉励一题多解．例 3 光线沿直线照耀到直线上后反射,求反射光线线地点直线 的方程．解析：联立得反射点的坐标为 ,由题意知直线过该点,则设 的方程为 量, 不合时为零）．（个中为直线的法向由物理学中的反射道理可知：直线 与直线 的夹角等于直线 与直线 的夹角,即：合)．,解得所以,直线 的方程为或(舍去,不然 与 重．点评：本题起首应思虑将问题转化为求过定点,且与所给直线夹角已知的直线方程;其次,在求直线方程时,往往采取待定系数法——先设出所求直线的方程,再应用直线的夹角求解办法列式求解．五.沉思进步已知直线 过点,且与直线的夹角为,求直线 方程． 下载： 相干文章。
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平面上两直线的夹角求法解析
一、内容概述
在2004年审定的人教A和B版教材中，平面两条直线的夹角概念与相应问题没有涉及到．但是，该问题完全可以作为三角恒等式中两角差的正切公式：
，平面向量中直线法向量夹角的余弦及直线方向向量夹角的余弦的应用来进行考查．
二、基本概念
①平面上直线方程的两种常用表示：
直线的点斜式方程：；
直线的一般式方程：不全为．
②平面上两条相交直线夹角的概念：
平面上两条相交直线，所成四个角中的最小角，叫做两条直线的夹角．
③平面上两条直线所成角的范围：
如果两条直线平行或重合，规定它们所成的角为；
如果两条直线垂直，规定它们的夹角为；
如果两条直线相交且互不垂直，则两直线的夹角范围为．
④平面上直线的方向向量：
基线与平面上一条直线平行或重合的向量，叫做直线的方向向量；
直线点斜式方程的一个方向向量为．
⑤平面上直线的法向量：
基线与平面上一直线垂直的向量，叫做直线的法向量；
直线的一般式方程不全为的一个法向量为．
三、理论推导
1.已知倾斜角，根据两角差的正切公式求两直线夹角.
证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为．
假设为直线，所成的一角，显然，则，由公式得：
又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角范围是，所以．从而得：
即，平面上直线与直线的夹角．
2.已知直线的一般式方程，运用直线法向量夹角余弦求平面上两直线夹角.
证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的一般式方程为
，一法向量；直线的一般式方程为，一法向量．
假设为直线，所成的一角，显然（左图）或（右图）由法向量夹角的余弦得：
又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角范围是，所以．从而得：
即，平面上直线与直线的夹角．
3.已知直线的点斜式方程，利用直线方向向量夹角余弦求平面上两直线夹角.
证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的点斜式方程为，一方向向量；直线的点斜式方程为，一方向向量．
假设为直线，所成的角，显然（左图）或（右图），由方向向量夹角的余弦得：
又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角范围是，所以．从而得：
即，平面上直线与直线的夹角．
注意：可以求出直线一般式方程的某个方向向量，也可以求出直线点斜式方程的某个法向量．但是，无论利用哪一种方法，都必须谨记平面上两直线所成角与两直线夹角的区别：
两直线夹角的范围是，即的三角函数值一定是非负的．
四、例题解析
对于有关平面上两直线的夹角问题，理论简单，方法也易于掌握，该部分难点是如何根据题意选取恰当的理论和方法来解决问题．下面结合具体实例谈谈求解方法是如何选择的．
例1已知直线，的斜率是二次方程的根，试求直线与的夹角．解析：设直线，的斜率分别为，，解二次方程得，
，
将代入公式得，．
所以直线与的夹角．
点评：本题结合二次方程求解问题考查第一种方法的运用，解决此类问题的时候，要理解直线倾斜角与直线斜率的关系，并能准确选择求直线夹角的方法．
例2 求直线与直线的夹角．
解析：题目中的直线方程是一般式形式且互不垂直，因此我们选择法向量求夹角的方法．直线一法向量；直线一法向量．
将代入公式得，
．
所以直线与的夹角．
点评：本题主要考查对公式的选择及熟练程度，也可以尝试利用方向向量求解，鼓励一题多解．
例3 光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线线所在直线的方程．
解析：联立得反射点的坐标为，由题意知直线过该点，则
设的方程为（其中为直线的法向量，不同时为零）．由物理学中的反射原理可知：直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即：
，解得或(舍去，否则与重合)．
所以，直线的方程为．
点评：本题首先应思考将问题转化为求过定点，且与所给直线夹角已知的直线方程；其次，在求直线方程时,往往采用待定系数法——先设出所求直线的方程，再利用直线的夹角求解方法列式求解．
五、沉思提高
已知直线过点，且与直线的夹角为，求直线方程．。