整式运算与因式分解
考点02 整式与因式分解【无答案】
考点02 整式与因式分解中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大。
因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步，拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向。
考向一、整式的加减；考向二、幂的运算考向三、整式的乘除考向四、因式分解考向一：整式的加减1.整式的概念及注意事项：【易错警示】1．（2022秋•泉州期中）单项式﹣2πr3的系数和次数分别是（）A．﹣2，4B．﹣2，3C．﹣2π，3D．2π，32．（2022秋•包河区期中）已知单项式2x3y m与单项式﹣9x n y2是同类项，则m﹣n的值为（）A．﹣1B．7C．1D．113．（2022秋•陇县期中）下列说法中，错误的是（）A．数字1也是单项式B．单项式﹣5x3y的系数是﹣5C．多项式﹣x3+2x﹣1的常数项是1D．3x2y2xy+2y3是四次三项式4．（2022秋•高邮市期中）已知代数式3a﹣b2的值为3，则8﹣6a+2b2的值为．5．（2022秋•鄂州期中）若多项式a（a﹣1）x2+（a﹣1）x+2是关于x的一次多项式，则a的值为（）A．0B．1C．0或1D．不能确定2.整式的加减【易错警示】1．（2022秋•黄石期中）下列计算正确的是（）A．6a﹣5a＝1B．a+2a2＝3aC．﹣（a﹣b）＝﹣a+b D．2（a+b）＝2a+b2．（2022秋•老河口市期中）一个长方形的周长为6a+8b，其中一边长为2a﹣b，则与其相邻的一边长为（）A．a+5b B．a+b C．4a+9b D．a+3b3．（2022秋•江都区期中）如图，长方形ABCD是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙）．其中②③两块小长方形的长均为a，宽均为b，若BC＝2，则①④两块长方形的周长之和为（）幂的运算A ．8B ．2a +2bC ．2a +2b +4D ．164．（2022秋•沈北新区期中）化简：6x 2﹣[4x 2﹣（x 2+5）]＝ ．5．（2022秋•北碚区校级期中）若关于x 的多项式3ax +7x 3﹣bx 2+x 不含二次项和一次项，则a +b 等于（ ）A ．﹣B ．C ．3D ．﹣36．（2022秋•扬州期中）化简：（1）x 2﹣3x ﹣4x 2+5x ﹣6；（2）3（2x 2﹣xy ）﹣（x 2+xy ﹣6）．7．（2022秋•黔东南州期中）阅读材料：“如果代数式5a +3b 的值为﹣4，那么代数式2（a +b ）+4（2a +b ）的值是多少？”我们可以这样来解：原式＝2a +2b +8a +4b ＝10a +6b ．把式子5a +3b ＝﹣4两边同乘以2．得10a +6b ＝﹣8．仿照上面的解题方法，完成下面的问题：（1）已知a 2+a ＝0，求a 2+a +2022的值；（2）已知a ﹣b ＝﹣3．求3（a ﹣b ）﹣a +b +5的值；（3）已知a 2+2ab ＝﹣2，ab ﹣b 2＝﹣4，求2a 2+5ab ﹣b 2的值．考向二：幂的运算1．（2022秋•朝阳区校级期中）下列运算正确的是（ ）A ．a 3+a 6＝a 9B ．a 6•a 2＝a 12()()是正整数）且）＞且都是正整数为正整数）都是正整数）都是正整数）p a a a a a n m n m a a a a n b a ab n m a a n m a a a p p n m n m n n n mn n m n m n m ,0(1)0(1,,,0((,(,(0≠=≠=≠=÷===•--+C．（a3）2＝a5D．a4•a2+（a3）2＝2a62．（2022秋•浦东新区校级期中）计算（﹣）2021•（﹣）2022的结果是（）A．B．C．D．3．（2022秋•闵行区校级期中）已知a m＝2，a2n＝3，求a m+2n＝．4．（2022秋•永春县期中）若a m＝2，a n＝3，a p＝5，则a m+n﹣p＝．5．（2022秋•朝阳区校级期中）（1）计算：（a4）3+a8•a4；（2）计算：[（x+y）m+n]2；（3）已知2x+3y﹣2＝0，求9x•27y的值．6．（2022秋•浦东新区期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘a•a…，记为a n．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算以下各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝．（2）写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式．（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：log a M+log a N＝（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．（4）设a n＝N，a m＝M，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．考向三：整式的乘除➢两个乘法公式可以从左到右应用，也可以从右到左应用；1．（2022春•南海区校级月考）下列各式中，计算正确的是（）A．2a2•3a3＝5a6B．﹣3a2（﹣2a）＝﹣6a3C．2a3•5a2＝10a5D．（﹣a）2•（﹣a）3＝a52．（2022秋•阳信县期中）下列计算中，能用平方差公式计算的是（）A．（x﹣2）（2﹣x）B．（﹣1﹣3x）（1+3x）C．（a2+b）（a2﹣b）D．（3x+2）（2x﹣3）3．（2022秋•铁西区校级月考）若（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，则（）A．m＝﹣5，n＝1B．m＝﹣5，n＝﹣1C．m＝5，n＝1D．m＝5，n＝﹣14．（2022秋•思明区校级期中）设M＝（x﹣1）（x﹣2），N＝（2x﹣3）（x﹣2），则M与N的大小关系为（）A．MN B．M≥N C．M＝N D．M≤N5．（2022•雁塔区校级开学）如图，一块矩形土地的面积是x2+5xy+6y2（x＞0，y＞0），长为x+3y，则宽是（）A．x﹣y B．x+y C．x﹣2y D．x+2y6．（2022秋•东城区校级期中）若（s﹣t）2＝4，（s+t）2＝16，则st＝．7．（2022秋•阳信县期中）（1）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y＝﹣1．（2）利用乘法公式简算：20212﹣2020×2022．8．（2022秋•西湖区校级期中）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，图2中阴影部分周长为l2．（1）若a＝7，b＝5，c＝3，则长方形的周长为；（2）若b＝7，c＝4，①求l1﹣l2的值；②记图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，求S2﹣S1的值．考向四：因式分解基本概念公因式多项式各项都含有的相同因式因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解一般步骤“一提”【即：提取公因式】“二套”【即：套用乘法公式】222222)())((babababababa+±=±-=-+完全平方公式：平方差公式：“三分组”【即：分组分解因式】基本不考，如果考，多项式项数一般在四个及以上“二次三项想十字”【即：十字相乘法】()()()qxpxqpxqpx++=•+++2➢由定义可知，因式分解与整式乘法互为逆运算；➢公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；单独的公因数也是公因式；➢将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式；➢乘法公式里的字母，可以是单独的数字，也可以是一个单项式或者多项式；➢分解因式必须分解彻底，即分解到每一个多项式都不能再分解为止；1．（2022春•三水区校级期中）若二次三项式x2+mx﹣8可分解为（x﹣4）（x+2），则m的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．22．（2022秋•张店区期中）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（）A．（a+b）（2a+b）B．（a+b）（3a+b）C．（a+b）（a+2b）D．（a+b）（a+3b）3．（2022秋•南安市期中）已知a＝2020x+2020，b＝2020x+2021，c＝2020x+2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（）A．0B．1C．2D．34．（2022春•顺德区校级月考）三角形三边长分别是a，b，c，且满足a2﹣b2+ac﹣bc＝0，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．形状不确定5．（2022秋•长宁区校级期中）因式分解：＝．6．（2022秋•肇源县期中）因式分解：（1）15a3+10a2；（2）﹣3ax2﹣6axy+3ay2．7．（2022秋•巴南区校级期中）对于一个三位数，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等，并满足十位数字最大，个位数字最小，且以各个数位上的数字为三边可以构成三角形，则称这样的三位数为“三角数”．将“三角数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，其中十位数字大于个位数字的两位数叫“全数”，十位数字小于个位数字的两位数叫“善数”，将所有“全数”的和记为Q（m），所有“善数”的和记为S（m），例如：Q（562）＝62+52+65＝179，S（562）＝26+25+56＝107；（1）判断：342 （填“是”或“不是”）“三角数”，572 （填“是”或“不是”）“三角数”，若是，请分别求出其“全数”和“善数”之和．（2）若一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若“三角数”n满足Q（n）﹣S（n）和都是完全平方数，请求出所有满足条件的n．1．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为（）A．3B．a C．D．x2y2．（2022•巴中）下列运算正确的是（）A．＝﹣2B．（）﹣1＝﹣C．（a2）3＝a6D．a8÷a4＝a2（a≠0）3．（2022•淄博）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（）A．﹣7a6b2B．﹣5a6b2C．a6b2D．7a6b24．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b25．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x6．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（）A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）27．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（）A．﹣12B．﹣3C．3D．128．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝．9．（2022•宜宾）分解因式：x3﹣4x＝．10．（2022•巴中）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝．11．（2022•益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是．12．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为．13．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．14．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积；（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．15．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．1．（2022•徐州）下列计算正确的是（）A．a2•a6＝a8B．a8÷a4＝a2C．2a2+3a2＝6a4D．（﹣3a）2＝﹣9a2 2．（2022•黔西南州）计算（﹣3x）2•2x正确的是（）A．6x3B．12x3C．18x3D．﹣12x33．（2022•荆门）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（）A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）4．（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（）A．24B．C．D．﹣45．（2022•临沂）计算a（a+1）﹣a的结果是（）A．1B．a2C．a2+2a D．a2﹣a+16．（2022•重庆）对多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．37．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝．8．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝．9．（2022•黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝．10．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝．11．（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝．12．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣．（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝．13．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．14．（2022•河北）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；探究设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．15．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．1．（2022•肥东县校级模拟）下列各式中计算结果为x2的是（）A．x2•x B．x+x C．x8÷x4D．（﹣x）22．（2022•雁塔区模拟）下列计算正确的是（）A．（12a4﹣3a2）÷3a2＝4a2B．（﹣3a+b）（b﹣a）＝﹣2ab﹣3a2+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（b+2a）（2a﹣b）＝﹣b2+4a23．（2022•环江县模拟）如图，某底板外围呈正方形，其中央是边长为x米的空白小正方形，空白小正方形的四周铺上小块正方形花岗石（即阴影部分），恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石，则边长x 的值是（）A．3米B．3.2米C．4米D．4.2米4．（2022•路南区三模）在化简3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）◆2ab题中，◆表示+，﹣，×，÷四个运算符号中的某一个．当a＝﹣2，b＝1时，3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）◆2ab的值为22，则◆所表示的符号为（）A．÷B．×C．+D．﹣5．（2022•蓬江区一模）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2+b2B．a2﹣4b2C．a2﹣2ab+b2D．﹣a2﹣b26．（2022•峨眉山市模拟）若把多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣6，则m的值为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣47．（2022•五华区校级模拟）观察后面一组单项式：﹣4，7a，﹣10a2，13a3，…，根据你发现的规律，则第7个单项式是（）A．﹣19a7B．19a7C．﹣22a6D．22a68．（2022•张店区二模）如图，在矩形ABCD中放入正方形AEFG，正方形MNRH，正方形CPQN，点E在AB上，点M、N在BC上，若AE＝4，MN＝3，CN＝2，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（）A．5B．6C．7D．89．（2022•邯郸二模）若20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，则n的值是（）A．2020B．2021C．2022D．202310．（2022•碑林区模拟）计算：（2x+1）（2x﹣1）（4x2+1）＝．11．（2022•玉树市校级一模）分解因式：a2﹣16＝．12．（2022•五华区校级模拟）已知x+y＝2，xy＝﹣3，则x2y+xy2＝．13．（2022•丽水二模）如图1，将一个边长为10的正方形纸片剪去两个全等小长方形，得到图2，再将剪下的两个小长方形拼成一个长方形（图3），若图3的长方形周长为30，则b的值为．14．（2022•潮安区模拟）一个长方形的面积为10，设长方形的边长为a和b，且a2+b2＝29，则长方形的周长为．15．（2022•雁塔区校级模拟）化简：（x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣4）．16．（2022•南关区校级模拟）已知a2+2a﹣2＝0，求代数式（a﹣1）（a+1）+2（a﹣3）的值．17．（2022•安徽模拟）某学习小组在研究两数的和与这两数的积相等的等式时，有下面一些有趣的发现：①由等式3+＝3×发现：（3﹣1）×（﹣1）＝1；②由等式+（﹣2）＝×（﹣2）发现：（﹣1）×（﹣2﹣1）＝1；③由等式﹣3+＝﹣3×发现：（﹣3﹣1）×（﹣1）＝1；…按照以上规律，解决下列问题：（1）由等式a+b＝ab猜想：，并证明你的猜想；（2）若等式a+b＝ab中，a，b都是整数，试求a，b的值．18．（2022•万州区校级一模）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“团圆数”，并把数M分解成M＝A×B 的过程，称为“欢乐分解”．例如：∵572＝22×26，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，∴572是“团圆数”．又如：∵334＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，∴234不是“团圆数”．（1）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由．（2）把一个“团圆数”M进行“欢乐分解”，即M＝A×B，A与B之和记为P（M），A与B差的绝对值记为Q（M），令G（M）＝，当G（M）能被8整除时，求出所有满足条件的M的值．。
专题03 整式的运算与因式分解篇(解析版)-2023年中考数学必考考点总结
知识回顾专题03整式的运算与因式分解2023年中考数学必考考点总结1.合并同类型：法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。
2.整式的加减的实质：合并同类项。
3.整式的乘除运算：①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。
②单项式×多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
③多项式×多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
④单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。
4.乘法公式：①平方差公式：()()22b a b a b a -=-+。
②完全平方公式：()2222b ab a b a +±=±。
5.因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++；②公式法：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±。
③十字相乘法：在c bx x ++2中，若()均为整数，且n m b n m mn c =+=，则：()()n x m x c bx x ++=++2。
专题练习31．（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）＝4xy﹣2xy+3xy＝5xy，当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．32．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9＝2x2﹣6x﹣7，∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴2x2﹣6x＝﹣2，∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．33．（2022•长春）先化简，再求值：2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝2﹣4．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）＝4﹣a2+a2+a＝4+a，当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4＝．34．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x 2+2x ﹣2＝0，∴x 2+2x ＝2，∴当x 2+2x ＝2时，原式＝2（x 2+2x ）+1＝2×2+1＝4+1＝5．35．（2022•广西）先化简，再求值：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x ，其中x ＝1，y ＝21．【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x＝x 2﹣y 2+y 2﹣2y＝x 2﹣2y ，当x ＝1，y ＝时，原式＝12﹣2×＝0．36．（2022•衡阳）先化简，再求值．（a +b ）（a ﹣b ）+b （2a +b ），其中a ＝1，b ＝﹣2．【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a ＝1，b ＝﹣2代入计算即可．【解答】解：（a +b ）（a ﹣b ）+b 2a +b ）＝a 2﹣b 2+2ab +b 2＝a 2+2ab ，将a ＝1，b ＝﹣2代入上式得：原式＝12+2×1×（﹣2）＝1﹣4＝﹣3．37．（2022•丽水）先化简，再求值：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2），其中x ＝21．【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x ＝代入计算即可．【解答】解：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2）＝1﹣x 2+x 2+2x＝1+2x ，当x ＝时，原式＝1+＝1+1＝2．38．（2022•南充）先化简，再求值：（x +2）（3x ﹣2）﹣2x （x +2），其中x ＝3﹣1．【分析】提取公因式x +2，再利用平方差公式计算，再代入计算．【解答】解：原式＝（x +2）（3x ﹣2﹣2x ）＝（x +2）（x ﹣2）＝x 2﹣4，当x ＝﹣1时，原式＝（﹣1）2﹣4＝﹣2．39．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣3|﹣12．（2）先化简，再求值：（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1），其中x ＝21．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先去括号，再合并同类项，然后把x 的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣＝1+1+2×+﹣1﹣2＝2++﹣1﹣2＝1；（2）（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1）＝x 2+6x +9+x 2﹣9﹣2x 2﹣2x＝4x ，当x ＝时，原式＝4×＝2．40．（2022•岳阳）已知a 2﹣2a +1＝0，求代数式a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1的值．【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．【解答】解：a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1＝a 2﹣4a +a 2﹣1+1＝2a 2﹣4a＝2（a 2﹣2a ），∵a 2﹣2a +1＝0，∴a 2﹣2a ＝﹣1，∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2．41．（2022•苏州）已知3x 2﹣2x ﹣3＝0，求（x ﹣1）2+x （x +32）的值．【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．【解答】解：原式＝x 2﹣2x +1+x 2+x＝2x 2﹣x +1，∵3x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x 2﹣x ＝1，∴原式＝2（x 2﹣x ）+1＝2×1+1＝3．42．（2022•荆门）已知x +x1＝3，求下列各式的值：（1）（x ﹣x 1）2；（2）x 4+41x ．【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ，用上述关系式解答即可；（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：（1）∵，∴＝＝＝﹣4x •＝32﹣4＝5；（2）∵＝，∴＝+2＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．43．（2022•无锡）计算：（1）|﹣21|×（﹣3）2﹣cos60°；（2）a （a +2）﹣（a +b ）（a ﹣b ）﹣b （b ﹣3）．【分析】（1（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝×3﹣＝﹣＝1；（2）原式＝a 2+2a ﹣（a 2﹣b 2）﹣b 2+3b＝a 2+2a ﹣a 2+b 2﹣b 2+3b＝2a +3b ．44．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边．∴等式成立．45．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．【分析】（1）用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解即可；（3）先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a+1）；（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）＝x（a﹣b）+（a﹣b）2＝（a﹣b）（x+a﹣b）；（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）＝（a2+b2）（a﹣b）2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，∴原式＝9．。
整式及因式分解-概述说明以及解释
整式及因式分解-概述说明以及解释1.引言概述部分内容可以包括整式及因式分解的基本概念和意义，以及本文将要介绍的内容和目的。
【1.1 概述】整式及因式分解是代数学中重要的概念和方法。
整式是由常数和变量以及它们的乘积与幂次相加相减而成的代数表达式，它在代数运算中扮演着重要的角色。
因式分解则是将一个整式分解为若干个较简单的整式乘积的过程，它不仅有助于我们理解整式的结构，还能帮助我们解决复杂的问题。
整式与因式分解在数学的各个领域都有广泛的应用。
在代数学中，整式是多项式的基本组成单位，而多项式又是方程求解和函数分析的基础。
因此，掌握整式及其性质对于深入学习代数学是至关重要的。
因式分解是一种重要的代数操作，它能够将一个复杂的整式转化为简单的因子形式。
这种分解不仅有助于我们对整式的理解，还能够简化计算和求解过程。
此外，因式分解还在数论、概率论、微积分等领域有着广泛的应用，例如在因式分解多项式方程、求解方程组、计算极限值等问题中。
本文将分为引言、正文、因式分解和结论四个部分来介绍整式及因式分解。
在引言部分，我们将对整式及因式分解的概念和意义进行阐述。
接着，在正文部分，我们将详细介绍整式的定义和性质，以及整式的运算规则、化简和展开方法。
然后，我们将专门介绍因式分解的概念、方法和步骤，并探讨因式分解在实际问题中的应用。
最后，在结论部分，我们将总结整式与因式分解的重要性和应用，并展望它们未来的发展。
通过阅读本文，读者将能够全面了解整式及因式分解的基本概念和运算规则，掌握整式的化简和展开方法，以及掌握因式分解的方法和应用。
同时，读者也将意识到整式及因式分解在数学中的重要性，并能够将它们应用于解决实际问题中。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以描述整个文章的组成部分，以及每个部分的主题和目标。
具体内容可以参考以下示例：文章结构：本文将分为四个主要部分：引言、正文、因式分解和结论。
下面对每个部分的主题和目标进行介绍。
1. 引言：1.1 概述：在本节中，我们将简要介绍整式及因式分解的概念和重要性。
整式运算和因式分解的联系
整式运算和因式分解的联系
整式运算和因式分解是代数学中的重要内容，它们之间有着密切的联系。
整式运算是指对代数式进行加减乘除等运算，而因式分解则是将一个代数式分解成若干个不可再分解的乘积的形式。
虽然整式运算和因式分解是两个不同的概念，但它们之间存在着内在的联系，下面我们就来探讨一下它们之间的联系。
首先，整式运算是因式分解的基础。
在进行整式运算时，我们经常需要对代数式进行因式分解，以简化计算过程。
例如，当我们进行多项式的乘法运算时，可以先将每个多项式进行因式分解，然后再进行乘法运算，这样可以大大简化计算的复杂度。
因此，整式运算和因式分解是密不可分的。
其次，因式分解可以帮助我们更好地理解整式运算的性质。
通过因式分解，我们可以将一个复杂的代数式化简为几个简单的因子相乘，从而更清晰地看出代数式的结构和性质。
这有助于我们在整式运算中把握规律，更加灵活地运用代数知识解决问题。
另外，整式运算和因式分解在解决实际问题时常常相辅相成。
在实际问题中，我们经常需要建立代数模型来描述问题，并通过整式运算和因式分解来求解。
例如，在物理学中，通过对运动方程进行整式运算和因式分解，可以得到关于速度、加速度等物理量之间的关系，进而更好地理解物体的运动规律。
总之，整式运算和因式分解是代数学中不可或缺的重要内容，它们之间有着紧密的联系。
整式运算是因式分解的基础，因式分解可以帮助我们更好地理解整式运算的性质，并且在解决实际问题时常常需要应用它们。
因此，对于学习代数学的同学来说，深入理解整式运算和因式分解的联系，将有助于提高代数学的应用能力和解决问题的能力。
第2课 整式及其运算 因式分解(2)
解析：a3－ab2＝a(a2－b2)＝a(a＋b)(a－b)．
4．(2011·金华)下列各式能用完全平方公式进行分解因 式的是( D A．x2＋1 C．x2＋x＋1 ) B．x2＋2x－1 D．x2＋4x＋4
解析：只有x2＋4x＋4＝x2＋2·2x＋22＝(x＋2)2是完全
平方式．
5．(2011·天津)若实数x、y、z满足(x－z)2－4(x－y)(y－z)
＝(x＋2)(2x＋2)＝2(x＋2)(x＋1)
(3)(2011·芜湖)因式分解：x3－2x2y＋xy2＝ x(x－y)2 ；
解析：原式＝x(x2－2xy＋y2)＝x(x－y)2
(4)在实数范围内分解因式：x4－4.
解：原式＝(x2＋2)(x2－2)
＝(x2＋2)(x＋ 2 )(x－ 2 )．
题型五
2 ①－4x3y2＋28x2y－2xy＝ －2xy(2x y－14x＋1) ；
②6a2(x－y)2－3a(y－x)3＝ 3a(x－y)2(2a＋x－y) . 解析：①－4x3y2＋28x2y－2xy ＝－(4x3y2－28x2y＋2xy)
＝－2xy(2x2y－14x＋1)．
②6a2(x－y)2－3a(y－x)3 ＝6a2(x－y)2＋3a(x－y)3 ＝3a(x－y)2·[2a＋(x－y)] ＝3a(x－y)2(2a＋x－y)．
1 代入原式，可求得k. 2
知能迁移5
(1)(2011·衡阳)若m－n＝2，m＋n＝5，则m2－n2
．
的值为 10
解析：m2－n2＝(m＋n)(m－n)＝5×2＝10. (2)若△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，判断 △ABC的形状．
解：∵a＋2ab＝c＋2bc，
整式的运算与因式分解
整式的运算与因式分解1. 概述整式是数学中的一种常见形式，由数字、字母和运算符号组成。
本文将介绍整式的运算和因式分解两个主题。
2. 整式的基本运算整式的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们逐个介绍每种运算。
2.1 加法整式的加法就是把相同变量的项进行合并，例如：2x² + 3x + 5 + 4x² - 2x - 3合并同类项结果为：(2x² + 4x²) + (3x - 2x) + (5 - 3)6x² + x + 22.2 减法整式的减法与加法类似，合并同类项后进行相减，例如：(3x² + 2x - 7) - (x² - 4x + 2)合并同类项结果为：(3x² - x²) + (2x + 4x) + (-7 - 2)2x² + 6x - 92.3 乘法整式的乘法是将每个项相乘，并合并同类项，例如：(2x + 3)(x - 4)展开并合并同类项结果为：2x² - 8x + 3x - 122x² - 5x - 122.4 除法整式的除法是指定一个整式为除数，将被除数做整除运算得到商和余数。
例如：(2x³ - 5x² + 3) ÷ (x - 2)使用长除法进行计算，得到商为2x² - x + 1，余数为5。
3. 整式的因式分解因式分解是将一个整式写成多个因式相乘的形式。
下面我们介绍几种常见的因式分解方法。
3.1 公因式提取法对于给定的整式，如果每一项都有相同的因子，那么可以先提取出公因式，例如：6x² + 9x这里的公因式是3x，提取后得到：3x(2x + 3)3.2 完全平方公式对于一个二次整式（二项式的平方），可以使用完全平方公式进行因式分解，例如：x² + 4x + 4这里的完全平方是(x + 2)²，因此可以写成：(x + 2)²3.3 平方差公式平方差公式可以将一个差的平方整式进行因式分解，例如：x² - 4这里可以使用差的平方公式：(x + 2)(x - 2)4. 示例与应用现在我们通过一些示例来展示整式的运算和因式分解的应用。
数学中的整式运算与因式分解
数学中的整式运算与因式分解数学是一门抽象而又深奥的学科，其中数学中的整式运算与因式分解是数学中的重要概念和技巧。
整式运算是指对多项式进行加法、减法、乘法和除法等基本运算，而因式分解是将一个多项式分解为若干个乘积的形式。
本文将探讨整式运算与因式分解的基本概念、方法和应用。
一、整式运算整式是由常数和变量按照加法和乘法运算组成的代数式。
整式运算是对整式进行加法、减法、乘法和除法等基本运算。
其中，加法和减法是直接对整式的系数进行运算，乘法是对整式的各项进行相乘，并将同类项合并，而除法是对整式进行因式分解后的运算。
我们以一个简单的例子来说明整式运算的基本方法。
假设有两个整式：$3x^2+ 2x + 1$和$2x^2 - 3x + 4$。
首先进行加法运算，将两个整式的同类项相加，得到$5x^2 - x + 5$。
然后进行减法运算，将第一个整式减去第二个整式的每一项，得到$x^2 + 5x - 3$。
接下来进行乘法运算，将两个整式的每一项相乘，并将同类项合并，得到$6x^4 - 5x^3 + 4x^2 - 9x + 4$。
最后进行除法运算，将第一个整式除以第二个整式，得到商式和余式。
整式运算在代数中有着广泛的应用，尤其在方程的求解和函数的分析中起着重要的作用。
通过整式运算，我们可以对复杂的代数式进行简化和转化，从而更好地理解和解决数学问题。
二、因式分解因式分解是将一个多项式分解为若干个乘积的形式。
因式分解的目的是将一个复杂的多项式化简为简单的乘积形式，从而更好地理解和运用。
因式分解的方法有很多种，常见的有公因式提取法、配方法、分组分解法等。
我们以一个例子来说明因式分解的基本方法。
假设有一个多项式$2x^2 + 5x + 3$，我们可以使用配方法进行因式分解。
首先将多项式的第一项和最后一项相乘，得到$2x^2 \cdot 3 = 6x^2$。
然后找到一个数，使得它的平方等于$6x^2$，即$6x^2 =(2x)^2$，所以我们可以将多项式分解为$(2x + 1)(x + 3)$。
代数复习：幂的运算、整式乘法与因式分解
二.代数式的运算（一）整式的运算：●整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.整式的乘除●幂的运算1.概念：负数的奇数次幂是负数；负数的偶数次幂是正数2.运算：注意：1）底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了.2）只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1●整式乘法：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：●因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．因式分解的两种基本方法：①提公因式法：②运用公式法：平方差公式：完全平方公式：十字相乘法： 探索：阅读理解。
（1）计算后填空：①（x+1）（x+2）=②（x+3）（x-1）=（2）归纳、猜想后填空：（x+a ）（x+b ）= +（＿＿＿＿＿）x+＿＿＿＿＿（3）运用（2）的猜想结论，直接写出计算结果：（x+2）（x+m ）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿（4）根据你的理解，把下列多项式因式分解：①x 2-5x+6=＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②x 2-3x-10=＿＿＿＿＿＿＿＿＿第一部分：幂的运算例题：考点1．幂的运算法则例1． 计算（1）26()a a -⋅； （2） 32()()a b b a -⋅-； （3）12()n a +；（4）2232⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy （5）53()a a -÷； （6）32(1)(1)a a +÷+ 变式 计算（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+ （2）3223()()x x -⋅-； （3）41n n a a ++÷；考点2．幂的法则的逆运算例2．（1）已知23m =，24n =，求2m n +的值； （2）比较55544433334,5，的大小（3）计算：2013201253()(2)135⨯ （4）已知323=+n m ，求n m 48⋅的值变式1．若n 为正整数，且72=n x ，求n n x x 2223)(4)3(-的值；2．已知4432=--c b a ，求4)161(84-⨯÷c b n 的值。
整式的乘法公式与因式分解方法
整式的乘法公式与因式分解方法整式是由数、字母和运算符号（仅限于加法、减法、乘法和乘方）组成的代数表达式。
在代数学中，整式的乘法公式和因式分解是非常重要的概念和方法。
一、整式的乘法公式在解决整式的乘法运算时，乘法公式起到了关键的作用，它能够帮助我们简化计算过程，提高效率。
1. 二项式的乘法公式二项式的乘法公式是指两个二项式相乘时的简化方法。
设有两个二项式$(a + b)$和$(c + d)$，它们的乘积可以通过使用FOIL法则来计算。
FOIL法则指的是先相乘、外乘再相加、内乘再相加、最后相加的步骤。
举个例子，我们计算$(2x + 3)(4x + 5)$的乘积：首先，先相乘：$2x \cdot 4x = 8x^2$；然后，外乘再相加：$2x \cdot 5 + 3 \cdot 4x = 10x + 12x = 22x$；接着，内乘再相加：$3 \cdot 5 = 15$；最后，相加结果：$8x^2 + 22x + 15$。
因此，$(2x + 3)(4x + 5)$的乘积为$8x^2 + 22x + 15$。
2. 三项式的乘法公式三项式的乘法公式是指两个三项式相乘时的简化方法。
与二项式的乘法公式类似，计算过程同样采用FOIL法则。
举个例子，我们计算$(2x + 3)(4x + 5)(x + 1)$的乘积：首先，先计算$(2x + 3)(4x + 5)$的乘积，结果为$8x^2 + 22x + 15$；然后，再乘以$(x + 1)$，使用FOIL法则，计算过程如下：一次相乘：$(8x^2 + 22x + 15)(x) = 8x^3 + 22x^2 + 15x$；外乘再相加：$(8x^2 + 22x + 15)(1) + (8x^3 + 22x^2 + 15x) = 8x^2 + 22x + 15 + 8x^3 + 22x^2 + 15x = 8x^3 + 30x^2 + 37x + 15$。
因此，$(2x + 3)(4x + 5)(x + 1)$的乘积为$8x^3 + 30x^2 + 37x + 15$。
整式和因式分解复习教案
整式和因式分解复习教案第一章：整式的概念与性质1.1 内容概述本节主要回顾整式的定义、分类及其基本性质。
1.2 教学目标(1) 理解整式的概念，掌握整式的分类；(2) 掌握整式的加减法、乘法运算规则；(3) 理解整式的系数、次数、度等基本性质。
1.3 教学重点与难点重点：整式的概念、分类、基本性质；难点：整式的运算规则及性质的灵活运用。
1.4 教学方法采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。
1.5 教学过程(1) 复习整式的定义及分类；(2) 复习整式的加减法、乘法运算规则；(3) 复习整式的系数、次数、度等基本性质；(4) 进行典型例题讲解与分析；(5) 学生练习，教师点评。
第二章：因式分解的概念与方法2.1 内容概述本节主要回顾因式分解的定义、方法及其应用。
(1) 理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法；(2) 学会运用因式分解解决实际问题。
2.3 教学重点与难点重点：因式分解的概念、方法；难点：因式分解在实际问题中的应用。
2.4 教学方法采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。
2.5 教学过程(1) 复习因式分解的定义及方法；(2) 复习因式分解在实际问题中的应用；(3) 进行典型例题讲解与分析；(4) 学生练习，教师点评。
第三章：提公因式法与公式法3.1 内容概述本节主要回顾提公因式法与公式法在因式分解中的应用。
3.2 教学目标(1) 掌握提公因式法与公式法的运用；(2) 学会运用提公因式法与公式法解决实际问题。
3.3 教学重点与难点重点：提公因式法与公式法的运用；难点：提公因式法与公式法在实际问题中的应用。
采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。
3.5 教学过程(1) 复习提公因式法与公式法的定义及运用；(2) 复习提公因式法与公式法在实际问题中的应用；(3) 进行典型例题讲解与分析；(4) 学生练习，教师点评。
第四章：因式分解的应用4.1 内容概述本节主要回顾因式分解在实际问题中的应用。
4.2 教学目标(1) 学会运用因式分解解决实际问题；(2) 培养学生的数学应用能力。
代数式、整式的运算、因式分解、分式 常用知识点
第二部分 式与式的运算一、代数式、整式的运算、因式分解、分式 1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独一个字母或一个数也是代数式，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值.2.单项式：只含有数或字母的乘法（含乘方）运算的代数式叫做单项式，单独一个字母或一个数也是单项式，所有字母的指数和叫做单项式的次数.3.多项式：几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数.升幂排列： 降幂排列：4.整式：单项式与多项式统称为整式.5.整式的加法：合并同类项. 添括号：()a b c a b c -+=-- 去括号：()a b c a b c +-=+-6.整式的乘法： （1）单项式×单项式:()()()212312325a b c abab c ab c +--+⋅==.（2）单项式×多项式:()2a b a ab a -=-. （3）多项式×多项式:()()a b c d +⋅+()()a c d b c d =⋅++⋅+ac ad bc bd =+++（4）乘法公式()()22a b a b a b +-=- ① ()2222a b a ab b ±=±+ ②a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab (a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ． (a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3 7.整式的除法()232226422624242a b a b a b a b a b a b --÷=÷== 8.因式分解：把一个多项式表示成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解.多项式=（ ）·…·（ ） 常用方法有： （1）提公因式法：如()ab ac ad a b c d ++=++；（2）公式法（利用乘法公式）：如()()()22224222x y x y x y x y -=-=+-；（3）十字相乘法： 因式分解：243x x ++x 1 x 3所以：()()24313x x x x ++=++ 因式分解：223x x --x 1 x 3-所以：()()22313x x x x --=+- 9、分式：（1）概念：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式. （2）分式运算的符号规律：a a a ab b b b --=-=-=--； a a a b b b--==-. （3）分式通分“根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
整式与因式分解--知识讲解(基础)
整式与因式分解—知识讲解（基础）【考纲要求】1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查.【知识网络】【考点梳理】考点一、整式1.单项式数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2.多项式几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．3.整式单项式和多项式统称整式．4.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．5.整式的加减整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6.整式的乘除①幂的运算性质：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：平方差公式：完全平方公式：在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）公式()=m n mn a a的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数) （4）公式()=⋅n n n ab a b 的推广：()=⋅⋅n nn n abc a b c (n 为正整数).考点二、因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．2.因式分解常用的方法（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.要点诠释：（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.【典型例题】类型一、整式的有关概念及运算1．若3x m+5y2与x3y n的和是单项式，则n m=．【答案】1 4【解析】由3x m+5y2与x3y n的和是单项式得3x m+5y2与x3y n是同类项，∴532mn+=⎧⎨=⎩解得22mn=-⎧⎨=⎩， n m=2-2=14【点评】本题考查同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算.同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式.举一反三：【变式】若单项式是同类项，则的值是( )A、-3B、-1C、D、3【答案】由题意单项式是同类项，所以，解得，，应选C.2．下列各式中正确的是( )A. B.a2·a3=a6 C.(-3a2)3=-9a6 D.a5+a3=a8【答案】A；【解析】选项B为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a2·a3=a5，所以B错；选项C为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a2)3=-27a6，所以C错；选项D为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以D错；选项A为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数，A正确.答案选A. 【点评】考查整数指数幂运算.举一反三：【变式1】下列运算正确的是 ( )A． B． C． D．【答案】A.2-3=18；42=；C.235a a a=正确；D.325a a a+=. 故选C.【高清课程名称： 整式与因式分解 高清ID 号：399488关联的位置名称（播放点名称）：例1-例2】【变式2】下列运算中，计算结果正确的个数是( )．(1)a 4·a 3＝a 12； (2)a 6÷a 3＝a 2； (3)a 5＋a 5＝a 10；(4)(a 3)2＝a 9； (5)(－ab 2)2＝ab 4； (6)⋅=-22212xxA ．无B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A.3．利用乘法公式计算：(1)(a+b+c)2 (2)(2a 2-3b 2+2)(2-2a 2+3b 2)【答案与解析】(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式，将a+b 看成一项，则(a+b+c)2=[(a+b)2+2(a+b)c+c 2]=a 2+2ab+b 2+2ac+2bc+c 2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc.(2)(2a 2-3b 2+2)(2-2a 2+3b 2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公 式，将符号相同的看作公式中的a ，将符号相反的项，看成公式中的b ，原式=[2+(2a 2-3b 2)][2-(2a 2-3b 2)]=4-(2a 2-3b 2)2=4-4a 4+12a 2b 2-9b 4. 【点评】利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形. 举一反三：【变式】如果a 2+ma+9是一个完全平方式，那么m=______.【答案】利用完全平方公式：(a ±3)2=a 2±6a+9. m=±6.类型二、因式分解4．（2015春•兴化市校级期末）因式分解（1）9x 2﹣81（2）（x 2+y 2）2﹣4x 2y 2（3）3x （a ﹣b ）﹣6y （b ﹣a ）（4）6mn 2﹣9m 2n ﹣n 3．【思路点拨】（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.【答案与解析】解：（1）原式=9（x 2﹣9）=9（x+3）（x ﹣3）；（2）原式=（x 2+y 2+2xy ）（x 2+y 2﹣2xy ）=（x+y ）2（x ﹣y ）2；（3）原式=3（a ﹣b ）（x+2y ）；（4）原式=﹣n （9m 2+n 2﹣6mn ）=﹣n （3m ﹣n ）2．【点评】把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止.举一反三：【高清课程名称： 整式与因式分解 高清ID 号：399488关联的位置名称（播放点名称）：例3（1）-（2）】【变式】（2015春•陕西校级期末）分解因式：（1）（2x+y ）2﹣（x+2y ）2（2）﹣8a 2b+2a 3+8ab 2．【答案】解：（1）原式=[（2x+y ）+（x+2y ）][（2x+y ）﹣（x+2y ）]=3（x+y ）（x ﹣y ）；（2）原式=2a （a 2﹣4ab+4b 2）=2a （a ﹣2b ）2．5．若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（ ）A. 1B. -1C. ±1D. 2【思路点拨】对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法.【答案】C.【解析】解：()()x y mx y x y x y mx y 225656-++-=+-++- -6可分解成()-⨯23或()-⨯32，因此，存在两种情况：（1）x+y -2 （2）x+y -3x-y 3 x-y 2 由（1）可得：m =1，由（2）可得：m =-1.故选择C.【总结升华】十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.举一反三：【变式】因式分解：6752x x --=_______________.【答案】()()67521352x x x x --=+-类型三、因式分解与其他知识的综合运用6．已知a、b、c 是△ABC的三边的长,且满足: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.【思路点拨】式子a2+2b2+c2-2b(a+c)=0体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，把2b2写成b2+b2，故等式可变成2个完全平方式，从而得到结论．【答案与解析】解: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0a2+b2+ b2+c2-2ba-2bc=0(a-b) 2+(b-c) 2=0即: a-b=0 , b-c=0，所以a=b=c.所以△ABC是等边三角形.【总结升华】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．。
中考《整式及因式分解》经典例题及解析
整式及因式分解一、代数式代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等. 二、整式1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.注：○1单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如2143a b -，这种表示就是错误的，应写成2133a b -；○2一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如325a b c -是6次单项式。
2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项. 3．整式：单项式和多项式统称为整式.4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项. 5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 6．幂的运算：a m ·a n =a m +n ；（a m ）n =a mn ；（ab ）n =a n b n ；a m ÷a n =m n a -.7．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（2）单项式与多项式相乘：m （a +b +c ）=ma +mb +mc . （3）多项式与多项式相乘：（m +n ）（a +b ）=ma +mb +na +nb .8．乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-. （2）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+. 9．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加. 三、因式分解1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算. 2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++.（2）公式法：运用平方差公式：²²()()a b a b a b -=+-.运用完全平方公式：22²2()a ab b a b ±+=±. 3．分解因式的一般步骤：（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式; （2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止. 以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.经典例题 代数式及相关问题1．长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费___________元． 【答案】()3015m n +【分析】根据单价×数量=总价，用代数式表示结果即可．【解析】解：根据单价×数量=总价得，共需花费()3015m n +元，故答案为：()3015m n +．【点睛】本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握单价×数量=总价是解题的关键，注意当代数式是多项式且后面带单位时，代数式要加括号．2．若221m m +=，则2483m m +-的值是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】D【分析】把所求代数式2483m m +-变形为24(2)3m m +-，然后把条件整体代入求值即可． 【解析】∵221m m +=，∴2483m m +-=24(2)3m m +-=4×1-3=1．故选：D ．【点睛】此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式2483m m +-变形为24(2)3m m +-．1．已知73a b =-，则代数式2269a ab b ++的值为_________． 【答案】49【分析】先将条件的式子转换成a +3b =7，再平方即可求出代数式的值．【解析】解：∵73a b =-，∴37a b +=，∴()2222693749a ab b a b ++=+==，故答案为：49．【点睛】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换． 2．点(),P a b 在函数32y x =+的图像上，则代数式621a b -+的值等于（ ） A ．5 B ．3C ．3-D ．1-【答案】C【分析】把(),P a b 代入函数解析式得32=+b a ，化简得32-=-a b ，化简所求代数式即可得到结果；【解析】把(),P a b 代入函数解析式32y x =+得：32=+b a ，化简得到：32-=-a b ， ∴()()621=231=221=-3-+-+⨯-+a b a b ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键．3．某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A ，B ，C 三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤：第一步，A 同学拿出三张扑克牌给B 同学；第二步，C 同学拿出三张扑克牌给B 同学； 第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B 同学就拿出多少张扑克牌给A 同学， 请你确定，最终B 同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________． 【答案】9【分析】把每个同学的扑克牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案． 【解析】设每个同学的扑克牌的数量都是x ；第一步，A 同学的扑克牌的数量是3x -，B 同学的扑克牌的数量是3x +； 第二步，B 同学的扑克牌的数量是33x ++，C 同学的扑克牌的数量是3x -；第三步，A 同学的扑克牌的数量是2(3x -)，B 同学的扑克牌的数量是33x ++-(3x -)； ∴B 同学手中剩余的扑克牌的数量是：33x ++-(3x -)9=．故答案为：9．【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，解决此题的关键根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系．经典例题 整式及其相关概念1．若多项式||22(2)1m n xyn x y -+-+是关于x ，y 的三次多项式，则mn =_____．【答案】0或8【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案． 【解析】解：Q 多项式||22(2)1m n xyn x y -+-+是关于x ，y 的三次多项式，20n ∴-=，1||3m n +-=，2n ∴=，||2m n -=，2m n ∴-=或2n m -=，4m ∴=或0m =，0mn \=或8．故答案为：0或8．【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．1．单项式3212a b 的次数是_____． 【答案】5.【分析】根据单项式次数的意义即可得到答案. 【解析】单项式3212a b 的次数是325+=.故答案为5． 【点睛】本题考查单项式次数的意义，解题的关键是熟练掌握单项式次数的意义. 2．下列各式中，与233x y 是同类项的是（ ）A ．52xB ．323x yC ．2312x y -D ．513y -【答案】C【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可．【解析】解：A.52x 与233x y 不是同类项，故本选项错误；B.3x 3y 2与233x y 不是同类项，故本选项错误；C.2312x y -与233x y 是同类项，故本选项正确；D.513y -与233x y 不是同类项，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是理解同类项的定义．经典例题1．若单项式32m x y 与3m n xy +的值是_______________． 【答案】2【分析】先根据同类项的定义求出m 与n 的值，再代入计算算术平方根即可得．【解析】由同类项的定义得：13m m n =⎧⎨+=⎩解得12m n =⎧⎨=⎩2===故答案为：2．【点睛】本题考查了同类项的定义、算术平方根，熟记同类项的定义是解题关键．1．若单项式122m x y -与单项式2113n x y +是同类项，则m n +=___________． 【答案】4【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子m-1=2,n+1=2,分别求出m,n 的值，再代入求解即可. 【解析】解：∵单项式122m x y -与单项式2113n x y +是同类项，∴m-1=2,n+1=2, 解得：m=3,n=1.∴m+n=3+1=4.故答案为：4.【点睛】本题考查了同类项的概念，正确理解同类项的定义是解题的关键. 2．若3m x y 与25n x y -是同类项，则m n +=___________． 【答案】3【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可求得m 和n 的值，根据合并同类项法则合并同类项即可． 【解析】解：由同类项的定义可知，m=2，n=1，∴m+n=3故答案为3．【点睛】本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．经典例题 规律探索题1．观察下列一组数：﹣23，69，﹣1227，2081，﹣30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是_____． 【答案】(1)n-(1)3⨯+nn n 【分析】观察已知一组数，发现规律进而可得这一组数的第n 个数． 【解析】解：观察下列一组数：﹣23＝﹣1123⨯，69＝2233⨯，﹣1227＝﹣3343⨯2081＝4453⨯， ﹣30243＝﹣5563⨯，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是：（﹣1）n (1)3⨯+nn n ， 故答案为：(1)n-(1)3⨯+nn n ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．1．按一定规律排列的单项式：a ，2a -，4a ，8a -，16a ，32a -，…，第n 个单项式是（ ） A ．()12n a --B ．()2na -C ．12n a -D ．2n a【答案】A【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．【解析】解：Q a ，2a -，4a ，8a -，16a ，32a -，…， 可记为：()()()()()()0123452,2,2,2,2,2,,a a a a a a ------∙∙∙∴ 第n 项为：()12.n a -- 故选A ．【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．2．右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之个数记为2a ，第三个数记为3a ，……，【答案】20110【分析】根据所给数据可得到关系式【解析】由已知数据1，3，6，10，15，∴445102a ⨯==，2002002012a ⨯==【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识经典例题1．如图，正方体的每条棱上放置相同数目则表达错误的是（ ）A ．12(1)m -B ．48(2)m m +【答案】A【分析】先根据规律求出小球的总个数【解析】解:由题可知求小球的总数的方法会衔接处的小球,则每条棱上剩下12(m-2)个小项B 中48(2)m m +-1216m =-,故B,C,【点睛】本题考查了图形的规律,合并同类行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把，第n 个数记为n a ，则4200a a +=_________．()12n n n a +=，代入即可求值． ，……，可得()12n n n a +=， 20100，∴420020100+10=20110+=a a ．的知识点，找出关系式是解题的关键． 同数目的小球，设每条棱上的小球数为m ，下列代数式- C ．12(2)8m -+ D ．1216m -,再将选项逐项化简求值即可解题.方法会按照不同的计数方法而规律不同,比如可以按照个小球,加上衔接处的8个小球,则小球的个数为12(B,C,D均正确,故本题选A. 并同类项,需要学生具有较强的逻辑抽象能力,能够不重我们把第一个数记为1a ，第二10．故答案为20110． 代数式表示正方体上小球总数，以按照一共有12条棱,去掉首尾2)81216m m -+=-,选够不重不漏的表示出小球的总数是解题关键.1. 把黑色三角形按如图所示的规律拼图案形，第③个图案中有6个黑色三角形A ．10 B ．15 【答案】B【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个第⑤个图案中黑色三角形的个数．【解析】解：∵第①个图案中黑色三角形的第②个图案中黑色三角形的个数3＝第③个图案中黑色三角形的个数6＝∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+【点睛】本题主要考查图形的变化规律，1+2+3+4+……+n ．2．小明用大小和形状都完全一样的正方体方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中案中有6个正方体，……按照此规律，从第体的概率是（ ）A ．1100B ．120【答案】D拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色C ．18D ．21形的个数得出第n 个图案中黑色三角形的个数为1+2角形的个数为1， 1+2， 1+2+3，……1+2+3+4+5＝15，故选：B ．，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n 个图正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体C ．1101D ．2101第②个图案中有3个黑色三角中黑色三角形的个数为（ ）1+2+3+4+……+n ，据此可得个图案中黑色三角形的个数为每个图案中他只在最下面的正案中有3个正方体,第(3)个图正方体，抽到带“心”字正方【分析】根据图形规律可得第n 个图形共有1+2+3+4+...+n=()12n n +个正方体，最下面有n 个带“心”字正方体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可．【解析】解：由图可知：第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体； 第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体； 第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体； 第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；... 第n 个图形共有1+2+3+4+...+n=()12n n +个正方体，最下面有n 个带“心”字正方体；则：第100个图形共有1+2+3+4+ (100)()11001002+=5050个正方体，最下面有100个带“心”字正方体；∴从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是10025050101=， 故选：D ．【点睛】本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体的个数以及带“心”字正方体个数．经典例题 幂的运算1．下列运算正确的是（ ） A ．236a a a ⋅= B ．()325a a = C ．22(2)2a a = D ．32a a a ÷=【答案】D【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方逐项判断即可． 【解析】A 、23235a a a a +⋅==，此项错误；B 、()23236a a a ⨯==，此项错误C 、22(2)4a a =，此项错误；D 、3232a a a a -÷==，此项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方，熟记整式的运算法则是解题关键．1．下列计算正确的是（ ） A ．a 3+a 3＝a 6 B ．（a 3）2＝a 6C ．a 6÷a 2＝a 3D ．（ab ）3＝ab3【答案】B【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的计算法则进行计算即可． 【解析】解：3332a a a +=，因此选项A 不正确；32326()a a a ⨯==，因此选项B 正确；62624a a a a -÷==，因此选项C 不正确；333()ab a b =，因此选项D 不正确；故选：B ．【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的计算方法，掌握相关运算方法是解题的关键．2．电子文件的大小常用, ,,B KB MB GB 等作为单位，其中10101012,12,12GB MB MB KB KB B ===，某视频文件的大小约为1,1GB GB 等于( ) A ．302B B ．308BC ．10810B ⨯D ．30210B ⨯【答案】A【分析】根据题意及幂的运算法则即可求解．【解析】依题意得1010101010101222222GB MB KB B ==⨯=⨯⨯=302B ；故选A ． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则．经典例题 整式的运算1．先化简，再求值：22(2)(2)()2(2)(2)x y x y x x y x y x y +++-+-++，其中1,1x y =+=-．【答案】23y xy -；-．【分析】利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可．【解析】解：原式22[(2)(2)]x y x y x xy =+-+--22()x y x xy =---2222x xy y x xy =-+--23y xy =-当1,1x y =+=-时，原式21)1)=--+- 33=--=-。
《整式与因式分解》、《分式》章节-概述说明以及解释
《整式与因式分解》、《分式》章节-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分是整篇文章的开头，应该在简单介绍整式与因式分解、分式等概念的基础上，概括地介绍本章节的内容安排和目的。
以下是对概述部分的内容编写建议：在《整式与因式分解》、《分式》章节中，我们将深入探讨与代数相关的两个重要概念：整式与因式分解、分式。
这些概念不仅在数学上具有重要意义，而且在实际问题中具有广泛的应用。
在第一部分，我们首先回顾了整式的定义和特点。
整式是由常数、变量和运算符号（如加减乘除和乘方）组成的代数表达式。
我们将深入理解整式的基本性质，探讨如何进行整式的简化、展开和因式分解，从而帮助我们更好地理解和解决实际问题。
接下来，我们将进入第二部分，即因式分解的概念和方法。
因式分解是将一个多或高次整式拆分成可以约简的乘积形式的过程。
我们将学习并探索常见的因式分解方法，如提公因式法、配方法、分组分解法等，以及它们在实际问题中的应用。
通过因式分解，我们可以更有效地处理复杂的代数表达式，简化计算过程，精确地得出结果。
然后，我们将进一步深入研究分式的定义和性质。
分式是由整式构成的比值，形如a/b，其中a和b分别为整式。
我们将学习如何简化和等价分式，并研究分式的基本运算法则，包括加减乘除、约分等操作。
此外，我们还将探索分式在实际问题中的应用，如分数方程、比例问题等，以培养我们在解决实际问题时的分析思维和解决能力。
最后，我们将在结论部分总结整式与因式分解以及分式的重要性。
整式与因式分解是代数学习的重要基础，对于我们理解高阶代数概念和解决实际问题具有重要意义。
分式，作为整式的扩展，为我们处理更加复杂和抽象的代数问题提供了更灵活的工具和方法。
通过本章的学习，我们将具备扎实的整式与因式分解、分式的理论基础，并能够熟练运用相关概念和方法解决实际问题。
希望读者能够通过阅读本章的内容，深入理解整式与因式分解以及分式的本质，为进一步的数学学习打下坚实的基础。
整式加减法与因式分解
整式加减法与因式分解整式是指由字母和数字按照一定运算规则组成的代数式。
在代数学中，整式加减法是一个重要的基础知识点，而因式分解则是将整式分解为一些更简单的整式的过程。
本文将详细介绍整式加减法和因式分解的相关概念、步骤和技巧。
一、整式加减法在整式加减法中，我们需要将具有相同字母项的整式进行合并，即合并同类项。
同类项是指具有相同字母的乘积项，它们可以相加或相减。
例如，考虑以下的两个整式：3ab + 2bc + 7ab - 5bc首先，我们可以看到其中的同类项是3ab和7ab，它们的系数分别为3和7，字母项相同为ab。
合并这两个同类项，我们可以得到10ab。
同理，2bc和-5bc也是同类项，它们的系数分别为2和-5，字母项相同为bc。
合并这两个同类项，我们可以得到-3bc。
因此，将以上的整式进行合并，我们可以得到最简形式的结果为：10ab - 3bc在整式的加减法中，还需要注意符号的处理。
当同类项的系数为正数时，可以直接相加；当系数为负数时，可以直接相减。
例如，考虑以下的整式：4a + 2b - 3a + 5b我们可以将其中的同类项进行合并：4a - 3a = a2b + 5b = 7b因此，将以上的整式进行合并，我们可以得到最简形式的结果为：a + 7b二、因式分解因式分解是将整式拆分为一些更简单的整式的过程。
通过因式分解，我们可以找到原整式的因子，从而更好地理解整式的性质和特点。
下面将介绍两种常见的因式分解方法：提公因式法和分组分解法。
1. 提公因式法提公因式法是最常用的一种因式分解方法。
它基于一个简单的原理：可以将整式中的公因子提取出来，然后继续分解剩余的部分。
考虑以下的整式：2ab + 4ac我们可以发现，2是2ab和4ac的公因子，因此可以将其提取出来，得到：2(ab + 2ac)在这个例子中，我们可以看到被提取出来的公因子是一个字母项，但在实际中，公因子也可以是数字、字母和乘积的任意组合。
整式的乘除与因式分解知识点全面
整式的乘除与因式分解知识点一、整式乘除法同底数幂相乘,底数不变,指数相加. a m ·a n =a m+n [m,n 都是正整数] 同底数幂相除,底数不变,指数相减. a m ÷a n =a m-n [a≠0,m,n 都是正整数,且m>n] 任何不等于0的数或式子的0次幂都等于1. a 0=1[a ≠0]， 00无意义幂的乘方,底数不变,指数相乘. (a m )n =a mn [m,n 都是正整数] 积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得幂相乘.(ab)n =a n b n [n 为正整数]注：不要漏积中任何一个因式 单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.ac 5·bc 2=(a ·b)·(c 5·c 2)=abc 5+2=abc 7 注：运算顺序先乘方，后乘除，最后加减单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式 单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,m(a+b+c)=ma+mb+mc 注：不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号 .本质是乘法分配律。
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相乘(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn乘法公式：平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a 2-b 2 完全平方公式:两数和[或差]的平方,等于它们的平方和,加[或减]它们积的2倍. (a ±b)2=a 2±2ab+b 2 因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式,也叫做把这个多项式分解因式.因式分解方法:1、提公因式法. 关键:找出公因式公因式三部分：①系数(数字)一各项系数最大公约数；②字母--各项含有的相同字母；③指数--相同字母的最低次数；步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．2、公式法.①a 2-b 2=(a+b)(a-b)两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积a 、b 可以是数也可是式子②a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的2倍,等于这两个数的和[或差]的平方. ③x 3-y 3=(x-y)(x 2+xy+y 2) 立方差公式3、十字相乘(x+p)(x+q)=x 2+(p+q)x+pq因式分解三要素：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．弄清因式分解与整式乘法的内在的关系:互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差 添括号法则：如括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如括号前是负号各项都得改符号。
整式与因式分解
第3课时┃ 整式与因式分解
若实数 a 满足 a2－2a－1＝0，计算 4(a＋1)(a－1) －2a(a＋2)的值．
解：4(a＋1)(a－1)－2a(a＋2) ＝4a2－4－2a2－4a ＝2a2－4a－4 ＝2(a2－2a)－4. ∵a2－2a－1＝0，∴a2－2a＝1，
∴原式＝2－4＝－2.
第3课时┃ 整式与因式分解
热考3 探究式的规律 例4 下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
图3－1
根据此规律确定x的值为( C )
A．135 B．170 C．209 D．252
第3课时┃ 整式与因式分解
已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱 形，如图3－2①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩 形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的
考点●3 因式分解
项目 因式分解的 一般步骤 因式分解的 常用公式
提示及注 意事项
内容
一提(提公因式)，二用(运用公式)
a2－b2＝_(_a_＋__b_)_(a_－__b_)_ a2±2ab＋b2＝___(_a_±_b_)_2 ____
①因式分解与整式乘法互为逆变形； ②因式分解的结果为___整__式__乘__积___的形
式，且分解应彻底
第3课时┃ 整式与因式分解
热考精讲
热考1 配方变形
例 1 若把代数式 x2－2x＋3 化为(x－m)2＋k 的形式， 其中 m，k 为常数，结果为(B )
A．(x＋1)2－4 B．(x－1)2＋2 C．(x＋1)2＋4 D．(x＋1)2＋2
数学整式及因式分解知识点
数学整式及因式分解知识点整式是数学中一种重要的表达式形式，它是由数字、变量和运算符组成的代数式。
因式分解是将一个整式表示为几个乘积的形式，可以帮助我们简化和研究代数式。
在这篇文章中，我们将逐步介绍数学整式及因式分解的知识点。
一、整式的定义整式是由数字、变量和运算符（如加法、减法、乘法和乘方）组成的代数式。
它可以包含多项式和单项式。
多项式是由多个项组成的整式，而单项式只包含一个项。
例如，下面是一些整式的例子： 1. 2x + 3y - 4 2. 5x^2 - 2xy + 7y^2 3. 3a^3 -2b^2 + 5c - 1在整式中，字母代表变量，可以是任何实数。
二、整式的运算整式可以进行各种运算，包括加法、减法、乘法和乘方。
我们可以通过对整式中的项进行相应的运算来求得整式的结果。
1.加法和减法：整式的加法和减法可以通过对相同字母的系数进行相应运算来实现。
例如，对于整式2x + 3y - 4和5x - 2y + 7，可以将相同字母的系数相加或相减得到结果。
2.乘法：整式的乘法可以通过分配律来实现。
例如，对于整式(x + 2)(x- 3)，可以将每个项分别与另一个整式的每个项相乘，然后将结果相加得到最终的整式。
3.乘方：整式的乘方是将整式自身乘以自身的一种操作。
例如，对于整式(x + 2)2，可以将整式展开并进行相应的运算，得到结果x2 + 4x + 4。
三、因式分解的定义因式分解是将一个整式表示为几个乘积的形式。
它可以帮助我们简化整式并研究代数式的性质。
通过因式分解，我们可以将复杂的整式转化为简单的乘积。
例如，整式2x^2 + 4x可以通过因式分解为2x(x + 2)，其中2x是公因子，而(x + 2)是因子。
四、因式分解的步骤下面是进行因式分解的一般步骤：1.将整式进行分组：将整式中的项按照一定规则进行分组，通常是将相同字母的项放在一起。
2.提取公因子：在每个组中，提取出公因子，将其移到括号外面。
整式与因式分解
一．整式与因式分解1.整式（1）定义：单项式与多项式统称为整式（2）分类①单项式数与字母的乘积叫做单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
其中单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
②多项式几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项；次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
（3）运算①加减实质：合并同类项即所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项（所有的常数项都是同类项）。
法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
②乘除单项式的乘除：将每个单项式的系数相乘作为系数，将相同字母的指数相加，依次写在系数后。
多项式的乘除：运用乘法分配律去括号，将所得的结果利用单项式的乘除及同类项的加减化简即可。
2.因式分解（1）定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
（2）常见方法①提公因式法如果一个多项式的各项含有公因式（多项式各项都含有的相同因式），那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的模式。
这种因式分解的方法叫做提公因式法。
②公式法根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。
常见公式： 中考真题（2016•常德）若a y x 3-与y x b 是同类项，则a+b 的值为（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【分析】根据同类项中相同字母的指数相同的概念求解．【解答】解：∵a y x 3-与y x b 是同类项，∴a=1，b=3，则a+b=1+3=4．故选C（2016•滨州）把多项式2x +ax+b 分解因式，得（x+1）（x ﹣3）则a ，b 的值分别是（ ）A ．a=2，b=3B ．a=﹣2，b=﹣3C ．a=﹣2，b=3D ．a=2，b=﹣3【分析】运用多项式乘以多项式的法则求出（x+1）（x-3）的值，对比系数可以得到a ，b 的值．【解答】解：∵（x+1）（x ﹣3）=x •x ﹣x •3+1•x ﹣1×3=x2﹣3x+x ﹣3=x2﹣2x ﹣3 ∴x2+ax+b=x2﹣2x ﹣3∴a=﹣2，b=﹣3．故选：B ． 22222)(2ab a ))((a b a b b a b a b ±=+±-+=-；二.分式与分式方程1.定义：整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称B A 为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母。
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整式的运算与因式分解
整式乘除
代数式：
整式：
单项式：
多项式：
同类项
考点一：代数式的相关概念
A．a=2，b=3 B．a=1，b=2 C．a=1，b=3 D．a=2，b=2考点二：代数式求值
A．1 B．
2C．
2
D．
2
对应训练：若x2-2x=3，则代数式2x2-4x+3的值为
考点三：幂的运算
（1）同底数幂相乘：
（2）幂的乘方：
（3）积的乘方：
（4）同底数幂相除：
（5）负整数指数幂：
（6）零指数幂：
例3 下列运算，结果正确的是（）
A．m6÷m3=m2B．3mn2•m2n=3m3n3 C．（m+n）2=m2+n2D．2mn+3mn=5m2n2
例4 下列计算正确的是（）
A．x+x=2x2B．x3•x2=x5C．（x2）3=x5D．（2x）2=2x2对应训练：1、下列运算正确的是（）
A．3a-2a=1 B．x8-x4=x2
C．
D．-（2x2y）3=-8x6y3
例5 公式的逆用
已知a x=3，a y=2，求a x+2y的值．
对应训练：1、已知2x+5y=3，求4x•32y的值．
2、已知3x+2•5x+2=153x-4，求（x-1）2-3x（x-2）-4的值
考点四：完全平方公式与平方差公式
平方差公式:
完全平方公式:
1
ax b的值为－2，则11
a b a b的值为的值为（）
A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16
考点五：整式的运算
例8先化简，再求值：（x-1）x+1）-x（x-3），其中x=3．
例9 7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放
在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）
A．a=5
2
b B．a=3b C．a=
7
2
b D．a=4b
分式分解
考点一：因式分解的概念
例1 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）
A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1）
对应训练1、多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m= ，n= 分式分解与整式乘除的区别：
考点二：因式分解
因式分解的方法：①.提取公因式法:
②.公式法:
③.十字相乘法
例2 分解因式：2x2-4x=
对应训练1、因式分解：m2-5m=
2、下列分解因式正确的是（）
A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）2因式分解的步骤：
一“提”（取公因式），二“用”（公式）
3 分式分解
3222)2(10)2(25m n xy n m y x --- 2222c b ab a -+-
考点三：因式分解的应用
例3 已知a+b=2，则a 2
-b 2
+4b 的值为
已知ab=2，a-b=3，则a 3
b-2a 2b 2
+ab 3
=
若a-b=1,则代数式a ²-b ²-2b 的值为（ ）
例4 如果多项式92++mx x 是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A 、±3 B 、3 C 、±6 D 、6
如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是（ ） A 、－4 B 、4 C 、－16 D 、16
一题多解：
若a-b=1,则代数式a ²-b ²-2b 的值为（ ）
综合练习
1、下列式子中与3m 2
n 是同类项的是（ ）
2．下列运算正确的是（ ）
A ．3412a b a +=
B ．32
6
()ab ab = C ．2
2
2
(5)(42)3a ab a ab a ab --+=- D ．1262x x x ÷= 3.下列因式分解正确的是（ ）
A ．4
3
2
2
2
69(69)a b a b a b a b a a -+=-+ B ．2211()42
x x x -+
=- 2224(2)x x x -+=- D ．224(4)(4)x y x y x y -=+-
4．若52=n a ，162=n b ，则()n
ab = ．
5、为庆祝战胜利70周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价为a 元/米²的商品房价降价10%销售，降价后的销售价是（）
A 、a -10%
B 、10%a
C 、(1-10%)a
D 、(1+10%)a 6．计算3(2)4(2)x y x y --+-的结果是（ ）
A ．2x y -
B ．2x y +
C ．2x y --
D ．2x y -+ 7．已知3a b +=，2ab =，则22a b +的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
8、分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是
． 9、在实数范围内因式分解：2
3x y y -= ． 10、若ab =2，a ﹣b =﹣1，则代数式a 2
b ﹣ab 2
的值等于 ．
11、如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个组成，第2个图案由7个组成，第3个图案由10个组成，第4个图案由13个组成，…，则第n （n 为正整数）个图案由 个组成．
12、已知a 2
-2a -3=0，求代数式2a （a -1）-（a +2）（a -2）的值．
13、分解因式 （1）()()
2
2a b p q ab q p --- （2）
ay ax y x ++-22
（3）24142++x x （4）36152
+-a a。