本科毕业设计--关于凸函数的研究
凸函数的性质及其在最优化理论中的应用 毕业论文
凸函数的性质及其在最优化理论中的应用摘 要 给出了凸函数的定义及相关性质，研究了凸函数的的等价定义及其常用的一些判别方法，探讨了凸函数在非线性规划中的应用．关键词 凸函数；非线性规划；梯度；凸规划The Property of Convex Function and Its Application in OptimizationAbstract ：This paper deals with some questions of convex function. First of all we give a definition of convex and it’s calculation characters .Next we prove them in details.Then some equal definitions are given and proved by turns. After that applications of convex function are discussed including several examples ． Keywords ：Convex function ；Nonlinear programming ；Gradient ；Convex programming1 前言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数．例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论中处理某些问题时．常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数．对于一般的非线性函数来说，要给出极值点充分必要条件的一般表达式是困难的，但目标函数为凸函数时，却有较好的充要条件表达式．本文首先介绍凸函数的定义、性质及判定条件，最后利用凸集、凸函数解决非线性凸规划问题．2 预备知识2.1[1] 一般非线性规划的数学模型()min ;f x()()0,1,2,,,.0,1,2,,.i j g x i m s t h x j l ≥=⎧⎪⎨==⎪⎩ (1)(1)式中()12,,,Tn n x x x x R =∈是n 维向量．()(),1,2,,,1,2,,i j f g i m h j l ==都是1n R R →的映射（即自变量是n 维向量，因变量是实数的函数关系）．与线性规划类似，把满足约束条件的解称为可行解，若记(){()}0,1,2,,,0,1,2,,i j D x g x i m h x j l =≥===．称D 为可行域．因此模型(1)式有时可简记为()min ,f x x D ∈．2.2[2] 凸集设K 是n 维欧式空间的一点集，若任意两点12,X K X K ∈∈的连线上的所有点满足()()121,01aX a X K a +-∈≤≤，则称K 为凸集．2.3[3] 水平集设函数()f x 定义在集合S 上，则称集合(){,,s H f x x S β=∈且()}f x β≤为()f x 在集合S 上关于数β的水平集．其中β是一个数，()1,n f x R x S R ∈∈⊆．这里(),s H f β水平集，指的是满足()f x β≤的那部分x 的集合，即为S 的一个子集．如下图1-1所示：图1-12.4[3]梯度设多元函数()()12,,,,Tn n u f x x x x x S R ==∈⊆，若在点()010200,,,Tn x x x x =处对于自变量()12,,,Tn x x x x =的各分量的偏导数()()01,2,,if x i n x ∂=∂都存在，则称函数()u f x =在点0x 处一阶可导，并称向量()()()()000012,,Tn f x f x f x f x x x x ∂∂∂⎛⎫∇=⎪∂∂∂⎝⎭是()u f x =在点0x 处的梯度或一阶导数．2.5[3] 海塞矩阵设()u f x =，0,n x S R ∈⊆若f 在点0x S ∈处对于自变量x S ∈的各分量的二阶偏导数()()20,1,2,,i jf x i j n x x ∂=∂∂都存在，则称函数()f x 在点0x 处二阶可导，并称矩阵()()()()()()()()()()22200021121222000222122222000212n n n n n f x f x f x x x x x x f x f x f x f x x x x x x f x f x f x x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∇=∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦为()f x 在点0x 处的二阶导数或海塞矩阵．3 凸函数的定义及性质3.1 凸函数的两个定义凸函数的定义有多种形式.一般《数学分析》中多采用分析性强的弦线法定义,而《高等数学》多采用几何直观性强的切线法定义．分别见下面的定义1及定义2.定义1[4] 设函数()f x 在区间[],a b 上有定义，若对[],a b 上任意两点12,x x 和实数()0,1λ∈，总有()()()()()121211f x f x f x f x λλλλ+-≥+-⎡⎤⎣⎦成立，则称()f x 为区间[],a b 上的凸函数；若上式仅不等号成立，则称()f x 为区间[],a b 上的严格凸函数．定义2[5]设函数()f x 在区间I 上可导, 如果曲线()y f x =在区间I 位于其上任一点处切线的上方, 那么称曲线()y f x =在区间I 上为凸的，即()f x 为区间上的凸函数． 类似的可定义凹函数.3.2 凸函数的性质性质1[5] 若()f x 与()g x 均为凸集S 上的凸函数，则()()f x g x +也是凸集S 上的凸函数．证明 1,2x x S ∀∈和()0,1λ∀∈，因()f x ,()g x 都是凸集S 上的凸函数,则()()()()()121211f x f x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦, ()()()()()121211g x g x g x g x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦.两式相加便得：()()()()()()()12121212111f x x g x x f x g x f x g x λλλλλλ+-++-≤++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 由凸函数的定义知()()f x g x +也是凸集S 上的凸函数．性质2[5]若()f x 为定义在凸集S 上的凸函数，则对任意实数0a ≥，函数()af x 也是定义在S 上的凸函数．证明 由于12,x x S ∀∈，()f x 为S 上的凸函数，则对于()0,1t ∀∈和()0a a ≥，有()()()()121211f tx t x tf x t f x +-≤+-⎡⎤⎣⎦，上式两端均乘以()0a a ≥，可得()()()()()()()121212111af tx t x atf x a t f x taf x t af x +-≤+-=+-⎡⎤⎣⎦．由凸函数的定义知()af x 是凸集S 上的凸函数．推论 ,R αβ∀∈，()()12,f x f x 均为定义在凸集S 上的凸函数，则()()12f x f x αβ+也是凸函数．性质3[6] 设()f x 是定义在凸集S 上的凸函数，则对任一个实数β，水平集(){,,s H f x x S β=∈且()}f x β≤也是一个凸集．证明 ()12,,s x x H f β∀∈，则有()()()12,,01f x f x a a ββ≤≤∀<<，作()1201ax a x x +-=．因为12,x S x S ∈∈，S 是凸集，因此有()()0121,s x ax a x H f β=+-∈．即012,,,x x x 都同属于S ，又因为()f x 是定义在S 上的凸函数，故有()()()0121f x f ax a x =+-()()()()()()1211.af x a f x af a f βββ≤+-≤+-=即()()0121,s x ax a x H f β=+-∈，则由凸集定义可知，(),s H f β也是一个凸集．性质4[5] 若()f x 为定义在凸集S 上的凸函数，则()f x 的任一个极小点就是它在S 上的全局极小点，而且所有极小点形成一个凸集．证明 设x *是()f x 的一个局部极小点，即0,δ∃>在x *的δ领域(),N x δ*内，所有x 都满足：()()f x f x *≥，在S 中任取一点x ，连x 及x *，则存在一个()0,1λ∈，使()()1,x x N x λλδ**-+∈．记()01x x x λλ*=-+，则有 ()()()()01f x fxx f x λλ**=-+≥． (2)又因为()f x 为定义在凸集S 上的凸函数，所以有()()()()()()11f x f x f x f x λλλλ**-+≤-+． (3)由(2)式及(3)式，有()()()()1f x f x f x λλ**-+≥．即 ()()f x f x λλ*≥． 又因为0λ>，有()()f x f x *≥．因为x 是S 上的任意一点，则x *是()f x 在S 上的全局极小点．若凸函数()f x 在S 上的极小点不止一个，则极小点必连成一片构成凸集．设x *为()f x 在S 上的一个极小点，()f x *为其极小值，记()f x β*=．则由性质3，水平集：(){0,,s H f x x S β=∈()}0f x β≤构成一个凸集，在凸集()0,s H f β中的点x 有()()0f x f x β*==．因此()0,s H f β中的点必全是()f x 在S 中的极小点．由水平集的定义，()f x 在S 中的极小点也全在水平集()0,s H f β中，所以()f x 在S 中的极小点必构成凸集．4 凸规划对于非线性规划(1)，当()f x 为凸函数，函数()()1,2,,i g x i m =是凸函数，函数()j h x()1,2,,j l =为线性函数时，规划(1)为一个凸规划．定理1[7] 设()f x 为定义在凸集S 上的可微凸函数，若存在点x S *∈，使对于所有的点x S ∈，都有()()0Tf x x x **∇-≥．则x *是()f x 在凸集S 上的全局极小点．证明 ,x S ∀∈凸函数的一阶充要条件为()()()()Tf x f x f xx x ***≥+∇-．因为()()0Tf x x x **∇-≥，故有()()f x f x *≥．由于x S ∈的任意性，故x S *∈是()f x 在凸集S 上的全局极小点．定理2[7] 若x *为定义在凸集S 上的可微凸函数()f x 一个平稳点，则x *也是()f x 在S 上的全局极小点．证明 因x *为平稳点，即有()0f x *∇=．即满足：x S ∀∈都有()()0Tf xx x **∇-≥．则由定理1可知，x *也是()f x 在S 上的全局极小点．引理1[8]设()f x 是n R 上的凸函数，并设()f x 有限，如果()f x 在x 可微，则对一切n y R ∈，均有()()()()Tf y f x y x f x ≥+-∇．定理3[8] 假设函数()f x 和()()1,2,,i g x i m =分别为n R 上的凸函数和凹函数，并设()()1,2,,j h x j l =为线性函数．若存在向量x *、λ*、μ*，其中x *满足(1)式，且成立()()()110pmi i j j i j f x g x h x λμ*****==∇-∇-∇=∑∑,()0i i g x λ**= 1,2,,i m =,0λ*≥,则x *为满足(1)式的整体最优点．证明 设x 是满足(1)式的任一点．于是()()()()11pm i i j j i j f x f x g x h x λμ**==≥--∑∑． (4)将引理1用于()f x 、()i g x 和()j h x ，并利用(4)得到()()()()()1mTi i i f x f x x xf xg x λ*****=≥+-∇-∇∑()()()11Tpmi ijj i j x xg x h x λμ*****==--∇-∑∑()()1pTj j j x x h x μ***=--∇∑． 将上式重新排列，得到()()()()11pmi i j j i j f x f x g x h x λμ*****==≥--∑∑()()()()11p m Ti i j j i j x xf xg xh x λμ******==⎡⎤+-∇-∇-⎢⎥⎣⎦∑∑，所以得到()()f x f x *≥．5 应用例1 求下列函数的极小值点：()()22221121122f x x x x x =-++-．解 先求平稳点，因为()2311111121222422fx x x x x x ∂=-⋅+-=--∂， 224fx x ∂=∂． 令()0f x ∇=，即31124220,0,x x x ⎧--=⎨=⎩ 解此方程组，得到平稳点：()1,0Tx *=．又 ()2211220x f x ⎡-∇=⎢⎣ 04⎤⎥⎦，因此有()2100f x *⎡∇=⎢⎣ 04⎤⎥⎦，所以()1,0Tx *=是严格局部极小点．例2 试分析下面线性规划目标函数的最优解．()22121min 44f x x x x =+-+()()11222121220,.10,,0.g x x x s t g x x x x x ⎧=-+≥⎪⎪=-+-≥⎨⎪≥⎪⎩ 解 ()f X 和()2g X 的海塞矩阵的行列式分别是()()()()()()()()222112222212222221122222222122040,02200.2f x f x x x x H f x f x x x x g x g x x x x g g x g x x x x ∂∂∂∂∂===>∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-===∂∂∂∂∂知()f x 为严格凸函数，()2g x 为凹函数．由于其他约束条件均为线性函数，所以这是一个凸规划问题．在12x ox 坐标系上做出()12,f x x C =的等值线是以()2,0为圆心的一族同心圆，可行域为凸集ABCD,（如图1-2）．图1-2()f x在可行域ABCD上的全f x的等值线族与可行域ABCD的边界切于C点，则C点就是()局极小点．可知C点为其最优点，则全局最优解也在C点处取得．6 小结凸函数的应用非常广泛，特别是在最优化理论中的应用．凸规划是非线性规划中一类比较简单而又具有重要理论意义的问题．凸规划的局部最优解就是全局最优解．若目标函数时严格凸函数，又存在极小点，则此时凸规划的全局最优解是唯一的．这实质上是定义在凸集上的凸函数的具体应用．致谢在论文完成之际，特别感谢老师的悉心指导．参考文献[1]阿佛里耳．非线性规划[M]．上海：上海科学技术出版社，1979,10．[2]运筹学教材编写组．运筹学[M]．北京：清华大学出版社，2005,08．[3]何坚勇．最优化方法[M]．北京：清华大学出版社，2007,10．[4] 华东师范大学数学系．数学分析:上册[ M ]，北京：教育出版社，2001.[5]白景化．凸函数的性质等价定义及应用[J]．开封大学学报，2003, 2 (17): 1-2．[6]顾荣．函数凸凹性定义的探讨[J]．佳木斯教育学院学报，2010,06：35-36．[7]晏忠红．凸函数的应用[J]．湖南工业职业技术学院学报，2003,12:45-46．[8]王凤鸣．关于凸函数的定义[J]南阳师范学院学报，2002,08:21-22．[9]曹良干．凸函数的定义及应用[J]. 阜阳师范学院学报, 1994, 02:1-2．[10]段锋．凸函数的定义和性质[J]. 和田师范专科学校学报, 2008, 3 (28):1-2．[11]张勇. 凹凸函数定义探讨[J]. 牡丹江教育学院学报, 2009 , 03: 1-2.[12]邹自德. 凸函数及应用[J]. 广州广播电视大学学报, 2008, 01: 2-3.[13]刘三阳．凸函数的新发展［J］，西安电子科技大学学报，1990，01：45-48.[14]邱根胜．拟凸函数的几个性质[J]，南昌航空工业学院学报，1998，02：36-39.[15]郝彦．关于拟凸函数几个定义的讨论[J]，浙江海洋学院学报，2002，04：388-390.[16]杜江．函数广义凸的充要条件[J]，江汉石油学院学报，1994，01：107-110.[17]刘校．拟凸函数的连续性和可微性的讨论[J]，渝州大学学报，1996，03：82-86.[18]王兴国．关于半连续性与拟凸函数的注记[J]，浙江师大学报，1999，02：14-18.[19]杨新民．上半连续函数的拟凸性[J]，运筹学学报，2002，01：48-51.[20]杨泽高．一类强伪凸函数的若干性质[J]，工程数学学报，1994，11：120-124.[21]杨益民．函数强伪凸性与映射强伪单调性[J]，高等学校计算数学学报，2002，03：141-146.。
关于凸函数的研究-毕业设计
1引言
凸函数是一种性质特殊的函数，在数学中作为一个分支进行研究，在函数的研究领域中占有十分重要的地位.到目前为止，凸函数的研究已经从定义的研究到凸性的研究，再到凸性应用的方面的研究.对函数凹凸性的研究，在数学分析的多个分支都有用处.特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数起着十分重要的作用.凸函数有其独特的良好性质，由于凸函数理论的广泛性，及其在数学各个领域都有广泛的应用.因此，对凸函数的理论进一步深入地研究和推广，就显得尤为重要.同时，凸函数作为数学分析中一类特殊的函数，在实际课本中一般只介绍其定义以及判定，然而它在证明不等式中具有得天独厚的功用，却极少涉及.所以，总结一些凸函数性质，并且利用这些性质证明一些初等数学无法证明的不等式，用以说明凸函数在不等式中的应用，是十分重要的论文
关于凸函数的研究
作者：余林清 指导老师：马宗立
摘要 本文从凸函数的多种定义入手,介绍了凹凸函数的性质及判定定理.在此基础上，将一元
函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的定义，判定方法及其应用.
然后将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出n元凹凸函数的定义及判定方法.本文主要
2 凸函数的概念及其等价定义
2.1 凸函数的概念
定义2.1设f(x)为定义在区间I上的函数，若对?x1,x2?I,?? (0,1)，有 f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2) （2.1.1） 则称f为I上的凸函数.反之，如果总有
定义2.2 设f(x)为定义在区间I上的函数，那么f(x)为I上的凸函数当且仅当对任
凸函数的性质研究毕业论文完整版
凸函数的性质研究毕业论文完整版凸函数是数学分析中一个重要的概念，具有广泛的应用。
在本篇毕业论文中，我将对凸函数的性质进行研究和探讨。
首先，我将介绍凸函数的定义和基本性质。
凸函数是指在定义域上的任意两点所连线的斜率都大于等于函数曲线上相应点的斜率。
简单来说，对于凸函数而言，函数曲线上的任意两点的切线均位于函数曲线上方。
这个定义可以很好地反映凸函数的凸起性质。
接下来，我将讨论凸函数的一阶导数和二阶导数的关系。
根据凸函数的定义，可以得出结论：对于函数的一阶导数，如果它是递增的，则该函数是凸函数；对于函数的二阶导数，如果它是非负的，则该函数是凸函数。
这一结论有助于我们通过导数的信息来判断函数的凸性质。
然后，我将探讨凸函数的性质在优化问题中的应用。
凸函数在优化问题中起到了重要的作用。
由于其凸起的性质，凸函数在求最优解的问题中往往能够确保找到全局最优解。
这一特性在实际问题中有着广泛的应用，比如投资组合优化、机器学习中的支持向量机等。
最后，我将研究凸函数的拓展性质。
除了一般的凸函数，还有一些特殊的凸函数形式，比如凸锥函数、凸二次规划等。
这些凸函数的研究将会进一步丰富我们对凸函数的认识，并提供更多的数学工具和方法。
通过对凸函数性质的研究，我们可以更好地理解凸函数的特性和应用。
凸函数不仅在数学领域有着广泛的研究价值，而且在实际问题中也有很多应用价值。
通过深入研究凸函数的性质，我们可以为解决优化问题和最优化问题提供更多的数学工具和方法。
总之，凸函数的性质研究是一个复杂且有意义的课题。
本篇毕业论文将通过介绍凸函数的定义和基本性质，探讨凸函数的一阶和二阶导数的关系，讨论凸函数在优化问题中的应用，以及研究凸函数的拓展性质等方面，对凸函数的性质进行深入的研究和探讨。
希望通过这篇毕业论文的研究，对凸函数的理解和应用有所帮助。
凸函数判定方法的研究
凸函数判定方法的研究凸函数是数学中一个非常重要且广泛应用的概念。
在优化问题、经济学、工程学等领域，凸函数都有着广泛的应用。
因此，研究凸函数判定方法是非常有意义的。
凸函数的定义是：若函数f 的定义域为凸集，并且对于所有的x1 和x2，以及任意的t∈[0,1]，总有f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)成立，则f 称为凸函数。
也可以简单地理解为，凸函数的任意两点连线上的函数值，都小于等于连线上的两个端点对应的函数值之间的线性插值。
目前，已经有一些成熟的方法和定理可用于凸函数的判定。
下面将对其中比较常用的方法进行介绍。
一、一阶判定法一阶判定法是判定凸函数最简单、常用和基本的方法之一、其基本思想是利用函数的导数性质来判断函数是否为凸函数。
首先，对于凸函数而言，一阶导数必须是单调递增的。
也就是说，如果函数f在一些区间内的一阶导数是递增的，那么f就可以被判断为凸函数。
如果一阶导数是严格递增的，则f被称为严格凸函数。
其次，对于二次函数而言，如果它的二阶导数恒大于等于0，那么它也是凸函数。
也就是说，一阶导数是递增函数的充分必要条件是二阶导数为非负数。
二、二阶判定法二阶判定法是一种比一阶判定法更严格、更精确的方法，它使用函数的二阶导数来判断函数的凸性。
对于凸函数而言，其二阶导数必须是非负的。
也就是说，如果一个函数的二阶导数在定义域内都为非负数，那么该函数就是凸函数。
如果二阶导数严格大于零，则函数被称为严格凸函数。
三、线性规划判定法线性规划判定法是一种基于线性规划理论的凸函数判定方法。
其基本思路是将凸函数的判定问题转化为一个线性规划问题，然后利用线性规划的性质和算法来进行判定。
具体来说，设函数f的定义域为凸集D，对于所有的x∈D，有f′（x）为连续函数。
如果对于所有的x∈D，存在一个c∈D，使得f′（c）=0，并且对于所有的x∈D，有f′（x）≥0，则函数f是凸函数。
反之，如果对于所有的x∈D，有f′（x）≤0，则函数f是凹函数。
凸函数的性质及其应用
凸函数的性质及其应用摘要高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。
凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。
凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。
同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。
为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。
本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。
关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题目录摘要 (I)Abstract......................................................................................... 错误!未定义书签。
第1章绪论 (1)第2章预备知识 (3)2.1 凸函数的定义 (3)2.2 凸函数的定理 (6)2.3 凸函数的简单性质 (10)2.4 几种常见的不等式 (11)第3章在数学中的应用 (12)3.1. 初等不等式的证明 (13)3.2 函数不等式的证明 (14)3.3 积分不等式的证明 (16)第4章凸函数在经济学的中应用 (19)4.1 最优化问题 (20)4.1.1 线性规划下的最优化问题 (20)4.1.2 非线性规划下的最优化问题 (22)4.2 Arrow-pratt风险厌恶度量 (28)结论 (29)参考文献 (30)致谢 (31)第1章 绪 论提起凸函数我们就知道它是一种性质特殊的函数，在初高中阶段我们只是对其性质，及其图像进行了简单的认识。
凸函数在不等式证明中的应用《毕业论文》.
在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径。凸函数是一类性质特殊的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域,函数凸性是数学分析中的一个重要概念,它在判定函数的极值、研究函数的图象以及证明不等式诸方面都有广泛的应用.凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的.现行高等数学教材中,也都对函数的凸性作了介绍,由于各版本根据自己的需要,对凸函数这一概念作了不同形式的定义,本文就以凸函数几种定义的等价性给以证明,并给出简单的应用，应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式和凸函数在证明一般不等式中的应用，针对它在证明比较复杂的不等式方面有着重要作用，本文对凸函数的性质在比较经典的不等式证明中的简单应用进行初步讨论.
设 为任意两点，为了证明定义1对任意实数 成立，则先证明当 为有理数 ( 为自然数)时成立，事实上：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为有理数的情况获证.
若 为无理数，则 有理数
使得 (当 时)，从而由 的连续性有
对于有理数 ，上面已证明有
此式中令 取极限，联系上式，有
即定义1对任意无理数 也成立. 这就证明了定义2、3蕴涵定义1.
.
证明：1°(证明ⅰ)与ⅱ）等价).
对 中任意 ，根据凸函数定义，条件ⅱ）等价于
(A)
另一方面，将条件ⅱ）中的不等式乘以 ，移项变形，可知它等价于 (B)
可见， ，令 时，则
从而由(A)可推到(B).反之， ，若令 则 ，从而可由(B)推得(A). 故ⅰ)与ⅱ）等价.
大学本科毕业论文数学开题报告
大学本科毕业论文数学开题报告大学本科毕业论文数学开题报告论文(设计)题目：凸函数的定义及其在最优化问题中的应用本选题的依据：1)说明本选题的研究意义和应用价值2)简述本选题的研究现状和自己的见解(1)本选题的内容凸函数是一种性质特殊的函数，在数学领域中有广泛的应用;凸函数在线性规划与非线性规划及运筹学最优化问题中都被作为重要的基础概念，本选题的主要内容是探究凸函数这个性质特殊的函数的各种定义及在不同定义下所反映出的几何意义，并进一步探究凸函数在不同学科上的应用。
(2)本选题的研究现状在任何一种高等数学教材中都介绍凸函数，它在最优化理论、数理经济学等领域都有着广泛的应用，先给出凸集的定义，借助凸集来引入凸函数的几何直观性定义[1]，并借此给出凸函数的解析式定义，进行一系列的分析、类比、归纳，接着用实例说明用凸函数解决实际问题的重要意义。
(3)本选题主要是首先归纳总结出凸函数通常使用的七种等价定义，这些定义形式各不相同，条件有强有弱，本文中对对它们的.强弱关系进行了研究。
接着用一些实例来证明凸函数在不同学科当中的运用。
(4)本选题探究到凸函数的各种定义以及在不同定义下所反映出的几何意义，并进一步探究了凸函数在不同学科上的应用，使我们在处理某些问题时更加巧妙，灵活，更简洁。
本文所述内容使我们能够快速获取大量有关凸函数的重要内容，从而使解决一类特别繁杂不等式证明、最优化等问题变的别出一格。
研究的主要内容：先给出凸集的定义，借助凸集来引入凸函数的几何直观性定义，借此又给出凸函数的解析式定义，总结出通常使用的七种等价条件来定义凸函数，并对它们的条件的强弱关系进行了研究。
接着以凸函数理论为出发点，以著名的Jensen不等式为基础，给出其在最优化问题中的实际应用举例。
主要研究方法：归纳法类比法主要参考资料：[1] 史树中，凸分析，上海：上海科学技术出版社，1990.[2] 张光澄，非线性最优化计算方法，北京：高等教育出版社，2005.[3] 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法，北京：高等教育出版社，1993.[4] 邓卫兵，凸函数与不等式，哈尔滨商业大学学报，2005.5.112-113[5] 沈燮昌，邵品琮.数学分析纵横谈[M]。
关于凸函数的研究毕业论文
性质10：若函数 是定义在区间 上的凸函数，则有：
1） 函数 在 处处存在左、右导数 与 ，且 ．
2） 与 都是 的不减函数．
性质11：设函数 为区间 上的严格下凸函数，若有 是 的极小值点，则 是 在 上唯一的极小值点．
1）由 式知：当 时 式成立．现证 时 成立．事实上， ， ， ， ，由 式有
此即 式当 时成立．一般地，对任意正整数 ，重复上面方法，应用 式 次，可知
这表明 式对一切 皆成立．
2）（证明 式对 成立时，必对 也成立）记 ，则 ，可得 ．假若 式对 成立，则有
两边同乘以 ，减去 ，最后除以 ，又 ，从而可得:
Key words:Convex function；Inequality； Application； Property
第1章 绪论1
1.1 凸函数研究的背景1
1.2 凸函数研究的意义1
第2章 凸函数的定义及判定2
2.1 凸函数几种常见定义：2
2.2 定义之间等价性的证明与探讨4
2.3 凸函数的判定定理7
凸函数的概念最早见于1905年Jenser的著作中．它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具．在函数图形的描绘和不等式证明推导方面，凸函数也具有十分重要的作用．
1.2
凸函数的定义最早是由Jenser给出．自建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用．凸函数涉及了许多数学命题的讨论证明和应用．例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中．应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数在现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用．由于凸函数具有较好的几何和代数性质，在数学规划中有着广泛的应用背景,一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出．数理经济学中，对于风险厌恶的度量，也可以表现为对效用函数凸性的选择，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了．另外，由于凸函数理论的广泛性，因此对于其理论的研究成果还有待进一步的深入和推广．
凸函数的性质及其应用研究论文
凸函数的性质及其应用研究论文凸函数是数学分析中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍凸函数的性质，并探讨其在实际应用中的研究。
首先，凸函数的定义是：如果函数 f（x）在区间上连续，且对于任意的 a 和 b（a<b），都有 f（(1-t)a + tb）≤ (1-t)f(a)+tf(b)，那么 f（x）就是在区间上的凸函数。
其中，(1-t)a + tb 是 a 和 b 的凸组合，t 是一个取值在 [0,1] 的实数。
凸函数具有以下几个基本性质：1.一阶导数和二阶导数的关系：凸函数的一阶导数是严格递增的，而二阶导数是非负的。
这个性质可以通过凸函数的定义来证明。
2.凸函数的局部和全局性质：凸函数在局部和全局上都具有单调性和凸性。
如果一个函数在区间上是凸函数，那么它在该区间上的任意子区间也是凸函数。
3.凸函数的支撑超平面：对于凸函数f（x），在任意一点x0处，存在一个超平面，使得这个超平面与函数图像的接触点就是x0。
这个超平面被称为凸函数在x0处的支撑超平面。
凸函数具有许多应用，下面将介绍几个常见的应用：1.最优化问题：在最优化问题中，凸函数经常被用来建立目标函数和约束条件。
利用凸函数的性质，我们可以推导出最优解的存在性、唯一性和求解方法。
2.经济学：在经济学中，凸函数被广泛应用于建模和分析。
例如，成本函数、效用函数和收益函数都可以用凸函数来描述。
3.控制理论：在控制理论中，凸函数被用来建立系统的性能指标和优化问题。
通过优化这些凸函数，我们可以设计出更好的控制方案。
4.图像处理：在图像处理中，凸函数经常被用来作为图像去模糊、图像分割和图像重建等问题的约束条件或目标函数。
5.金融学：在金融学中，凸函数被广泛应用于资产组合优化、风险管理和衰退模型等问题。
通过研究凸函数的性质，我们可以更好地理解和管理金融风险。
综上所述，凸函数具有一些重要的性质，并且在许多领域中都有着广泛的应用。
对凸函数的研究不仅可以推动数学理论的发展，还可以解决各种实际问题。
凸函数的性质及其应用 毕业论文
凸函数的性质及其应用摘要凸函数是一类重要的函数，在数学规划中有着广泛的应用，本文给出了凸函数的三种等价定义，并讨论了凸函数的有关性质，以及它在不等式方面的相关应用。
[关键词]凸函数等价定义性质应用最优化Nature and Application of Convex FunctionAbstractConvex function is an important function and it has a wide application in mathematic programming. This essay gives three kinds of equal definitions of convex function and discusses some relative nature of it. And it also discusses some relative applications on inequality[Key wards] Convex function The definition of equivalence nature applicationOptimization目录绪论 (1)1凸函数的概念与等价定义 (1)1.1凸函数的概念 (1)1.2凸函数的等价定义 (2)2凸函数的简单性质 (3)3凸函数的判定定理 (5)4关于凸函数的几个重要不等式 (7)4.1Jensen不等式 (7)4.2Hadamard不等式 (10)5 凸函数的应用 (11)5.1 凸函数在证明不等式中的应用 (11)般凸函数和凸集 (13)广义凸函数求极小的问题 (14)5.4广义凸函数求极大的问题 (16)结束语 (19)致谢 (19)参考文献 (20)绪论凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域,函数凸性是数学分析中的一个重要概念,它在判定函数的极值、研究函数的图象以及证明不等式诸方面都有广泛的应用.凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。
论文-凸函数的定义和性质
凸函数的定义和性质摘要中文摘要内容：在已有的凸函数研究结果上，讨论了凸函数的8种常见定义和13种常见性质，对各种定义之间的等价关系进行了推导，对性质定理进行了证明和分析，并举例应用了凸函数的定义和性质。
关键词：凸函数凹函数严凸等价性可导增函数目录预备知识.............................................................................................................................. - 3 - 定义1 ............................................................................................................................. - 3 -定义2 ............................................................................................................................. - 3 -1凸函数的等价定义........................................................................................................... - 4 - 1.1凸函数的等价定义 (4)定义3 ............................................................................................................................. - 4 -定义4 ............................................................................................................................. - 5 -定义5 ............................................................................................................................. - 5 -定义6：......................................................................................................................... - 7 -定义7 ............................................................................................................................. - 7 -定义8 ............................................................................................................................. - 7 -1.2利用凸函数的等价定义判断函数的凹凸性 .. (7)例1 ................................................................................................................................. - 8 -例2 ................................................................................................................................. - 8 -2凸函数的性质................................................................................................................... - 9 - 2.1凸函数的性质及其证明 . (9)性质1 ............................................................................................................................. - 9 -性质2 ........................................................................................................................... - 10 -性质3 ........................................................................................................................... - 10 -性质4 ........................................................................................................................... - 10 -性质5 ............................................................................................................................ - 11 -性质6 ........................................................................................................................... - 12 -性质7 ........................................................................................................................... - 12 -性质8 ........................................................................................................................... - 12 -性质9 ........................................................................................................................... - 12 -性质10 ......................................................................................................................... - 13 -性质11 ......................................................................................................................... - 14 -2.2凸函数性质的应用 . (14)例1 ............................................................................................................................... - 14 -例2 ............................................................................................................................... - 15 -3结束语............................................................................................................................. - 15 -预备知识凸函数是用来区分增减函数的增减方式是不同两种类型的函数；即使一个函数是增函数，也有如图1所示的两种方式，于是我们规定)(1x f 的增加方式叫做凹函数，反之把)(2x f 规定为凸函数。
凸函数的性质及应用 毕业论文
摘要本文首先提出了凸函数的几种等价定义并说明凸函数的几何意义，接着探讨了凸函数的几条定理及其在经济学中的应用，比如最优化应用及风险态度应用，以及函数的凸性在有关经济学问题中发挥的作用，并从数学的角度详细说明了经济学教材中一些结论的来源，如对经济曲线的分析.关键字：凸函数；曲线分析；最优化；风险态度目录1.引言 (1)2.凸函数的定义及几何意义 (1)2.1凸函数的几种定义 (1)2.2凸函数的几何意义： (3)3.凸函数的判定定理 (3)4.函数凸性在经济学中的应用 (7)4.1凸函数在经济函数曲线分析中的应用 (7)4.2凸函数在经济优化中的应用 (11)4.3凸函数在风险态度中的应用 (14)5.总结 (17)参考文献 (18)1.引言凸函数是一个十分重要的函数，它的定义最早是由Jensen 给出. 凸函数具有较好的几何和代数性质, 它在判定函数的极值、研究函数的图像以及证明不等式等方面都有广泛的应用.利用函数凸性分析经济问题是在十九世纪五十年代以后随着数学规划、最优控制论、数理经济学等应用学科的兴起而发展起来的. 经济学中所涉及的函数大多数都有一定的凸性，从而凸函数在经济学中的最优化问题的研究成为了当今的一大热点. 人们经常用它来研究系统中人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以发挥最大的经济效益.2.凸函数的定义及几何意义2.1凸函数的几种定义定义1:设函数()f x 在区间I 上有定义，从几何上来看，若()y f x =的图像上任意两点()()11,x f x 和()()22,x f x 之间的曲线段总位于连接这两点的线段之下（上），则称该函数是凸（凹）.参见图1.[]1定义2：设函数()f x 在开区间I 上有定义，若()12,,0,1x x I λ∀∈∀∈,有()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦则称()f x 在区间I 是下凸函数或简称函数()f x 在区间I 是凸的. 若记221x x x x λ-=-，则()121x x x λλ=+-.由f 的凸性可知： ()()()()()()121211f x f x x f x f x λλλλ=+-≤+-()()21122121x x x x f x f x x x x x --=+-- 从而有()()()()()()212112x x f x x x f x x x f x -≤-+-即()()()()()()()()212112x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+-，整理后可得()()()()1212f x f x f x f x x x x x --≤--这就是凸函数的另一种定义.定义3：()f x 在区间I 上有定义且连续，称()f x 为I 上的凸函数，如果12,x x I ∀∈,有()()121222f x f x x x f f +⎛⎫+⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将“≤”改为“<”，函数便成为严格凸函数.定义4：()f x 在区间I 上有定义且连续,称()f x 为I 上的凸函数，如果12,,...,n x x x I ∀∈，有()()()1212......n n f x f x f x x x x f f n n +++⎛⎫+++⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2.2凸函数的几何意义：当()0,1λ∈时，点()()122211x x x x x x λλλλ=+-=--表示了区间()12,x x 中的某一点，即()12,x x x λ∈.在下图中弦12A A 的方程是：()()()12121f x f x y f x x x +=+- 将x x λ=代入上式得： ()()()3231BA f x f x λλ=+-但()4BA f x =因此不等式（1）在几何上表示为34BA BA ≥也就是说，曲线()y f x =在弦12A A 下方，呈现为下凸的形状，而上凸函数的图象则呈现为上凸的形状.（图1）凸函数除了上面的定义以外，还可以给出连续函数()f x 在区间I 上为凸函数的等价性定义.如下所示：3.凸函数的判定定理定理1 设函数()f x 在开区间(,)a b 上可导，函数()f x 在区间(,)a b 上是凸函数当且仅当()()()121212,,,''x x a b x x f x f x ∀∈<≤,且.证明：()⇐根据Lagrange 中值定理对一切()1212,,,x x a b x x ∈≠及01t <<必存在 x)x ()()21f x λ-图1()()1122,,t t x x x x ξξ∈∈和使得：()()()()()()()()()()()()()()()()()121211*********(1)0t t t t t f x tf x t f x t f x f x t f x f x t f x x t f x x t t f f x x ξξξξ---=-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦''=-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦''=---<⎡⎤⎣⎦又()()12f f ξξ''<()()()()121t f x tf x t f x ∴<+-由凸函数定义得()f x 在(,)a b 上是凸函数.()⇒任取()12,,x x a b ∈满足12x x <.我们来证明：()()12f x f x ''<及()f x '在区间(),a b 上严格增加，设ξη<从(),x ξη∈中存在数01t <<使得()1t x t ξη=-+，根据()f x 的严格下凸条件得：()()()()1f t f x tf ξη<-+即()()()()f f x f f x x xξηξη--<--上式表明λ的函数()()()f f x xλψλλ-=-在()12,x x 严格增加. 由此可见()()x x ψψ+<-记起()()11x f x ψ'+=并以此类推可得()()22x f x ψ'+=∴()()()12f x f x f x '''<⇒在(),a b 严格增加. .定理2 设()f x 在开区间I 上可导，则下述论断相互等价： 1）()f x 为I 上凸函数；2）()f x '为I 上的增函数；3）对I 上的任意两点12,x x ，有()()()()21121f x f x f x x x '≥+- （3）证明:若()f x 在I 是凸函数，则由定理1有()f x '在I 上单调增加12,x x I ∴∀∈()12x x <有()()()()()()2121121f x f x f x x f x x x ξ''-=-≥- ()12x x ξ<<()()()()21121f x f x f x x x '∴≥+-同理可证明当12x x >时也有()()()()21121f x f x f x x x '>+-若12,x x I ∀∈有()()()()21121f x f x f x x x '≥+-令()3121x x x λλ=+- ()01λ<< 则()()()131221211,x x x x x x x x λλ-=---=-∴对13,x x I ∈有： ()()()()13313f x f x f x x x '≥+-()()()()33121f x f x x x λ'=+--对23,x x I ∈有：()()()()()()()233233321f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+-从而：()()()()()()()()()()()()()()()()()()133122332112312111111f x f x f x x x f x f x f x x x f x f x f x f x x λλλλλλλλλλλλ≥+--'-≥-+--∴+-≥=+-即()f x 在I 是凸函数.定理3 如果函数()f x 在(,)a b 上有存在二阶导函数()f x '',若对(),x a b ∀∈，有()0f x ''≥，则函数()f x 在(,)a b 上是一个凸函数. 证明：在区间(,)a b 内任取两点()1212,x x x x <，令120120202x x x x x x +=+-=即函数()f x 在0x 的泰勒公式是()()()()()()2000012f x f x f x x x f c x x '''=+-+- ()0c x x 是与之间 当1x x =时：()()()()()()21001011012f x f x f x x x f c x x '''=+-+- ()10x c x <<当2x x =时()()()()()()22002022012f x f x f x x x f c x x '''=+-+- 02x c x << ()()()()()()()()()()()()()()2212001201102202201102201222122f x f x f x f x x x x f c x x f c x x f x f c x x f c x x ⎡⎤'''''∴+=++-+-+-⎣⎦⎡⎤''''=+-+-⎣⎦(),x a b ∀∈有()0f x ''>()()120,0,f c f c ''''∴≥≥即 ()()()()221102200f c x x f c x x ''''-+-≥于是()()()122f x f x f x +≥或()()()1202f x f x f x +≤，因此()(),f x a b 在内是凸函数. 定理4 （极值的第二充分条件）设()f x 在点0x 的某邻域()0;U x δ内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且()00f x '=，()00f x ''≠.1）若()00f x ''<，则()f x 在0x 取得极大值.2）若()00f x ''>，则()f x 在0x 取得极小值. []2证明： 1） 由于 ()()()()()0000''lim ''/f x f x f x x x >=--，故存在一个0x 的邻域()0;U x δ，在此邻域内有： ()()()()00''/0f x f x x x --< 当0x x <时，有()00x x -<，则()()0''f x f x -必须大于0，即()()0''0f x f x >=因此()f x 在0x 的左邻域内单调递增，即()()0f x f x >当0x x <时，同理可知道()f x 在0x 的右邻域内递减，有()()0f x f x >故当()00f x ''<时，有()f x 在0x 取得极大值.同理可证 2）.4.函数凸性在经济学中的应用4.1凸函数在经济函数曲线分析中的应用4.1.1无差异曲线的凸性分析无差异曲线用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合.如下图所示，横轴和纵轴分别表示商品1的数量x 和商品2的数量y ，曲线1L 、2L 分别表示两条不同商品组合的无差异曲线.1L 曲线是连续的，并在x 轴上的具有二阶导数，二阶导数又是大于零的，所以无差异曲线是凸函数.从上图可以明显地看出，无差异曲线的斜率为负值,而且无差异曲线斜率的绝对值是递减的.商品的边际替代率递减规律决定了无差异曲线具有这样的特征.下面介绍一下边际替代率递减规律.商品1对商品2的边际替代率的定义公式为：2121X MRS X ∆=-∆式中1X ∆和2X ∆分别表示为商品1和商品2的变化量.当商品数量的变化趋于无穷小时，则商品的边际替代率公式为：12212011lim X X dX MRS X dX ∆→∆=-=-∆从上式可以看出，无差异曲线上某一点的边际替代率就是无差异曲线在该点上的斜率的绝对值.利用上图来具体说明商品的边际替代率递减规律和无差异曲线形状之间的关系.在图中，当消费者沿着既定的无差异曲线U 由a 点运动到b 点时，商品1的增加量为10，相应的商品2的减少量为20.这两个变量的比值的绝对值为212X X ∆-=∆.在图中，由于无差异曲线是凸函数，并且斜率是负的，这就保证了当商品1的数量一单位一单位地逐步增加时，即由点a 经b 、c 、d 运动到e 的过程中，每增加一单位的商品1所需放弃的商品2的数量是递减的，也就是说两个变量的比值的绝对值是逐渐减小的.这就是在两商品的代替过程中普遍存在的边际曲线代替率递减规律.随着一种商品的消费数量的逐步增加，消费者想要获得更多的这种商品的愿望就会递减，从而他为了多获得一单位的这种商品而愿意放弃的另一种商品的数量就会越来越少. []3经济活动中，我们可以根据市场调查利用无差异曲线和预算线等的关系来得到商品的需求曲线，厂商会根据需求曲线获得最大的利润的生产组合，而消费者也可以得到最满意的商品组合.所以利用凸函数的性质描绘无差异曲线在买卖双方的交易活动中起到很大的作用.4.1.2生产函数曲线的凸性分析短期生产函数(),Q f L K =表示在资本投入量固定时，由资本投入量变化所带来的最大产量的变化.由该生产函数可以得到相应的资本总产量、平均产量和边际产量相互之间的关系，它们的定义公式分别为：()()(),,,,,K K K K K TP L K TP L K TP f L K AP MP K K ∆===∆或者()()0,,lim K K K K TP L K dTP L K MP K dK ∆→∆==∆根据三者的定义，可以绘制下图中的函数图像来表示三者的关系.图中的横轴表示可变要素劳动的投入量L ，纵轴表示产量Q ，TP 、AP 、MP 三条曲线顺次表示劳动的总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线.由图可以清楚地看到，对一种可变生产要素的生产函数来说，边际产量递减规律决定了边际产量表现出先上升而最终下降的特征.根据边际产量的定义公式(),L L dTP L K MP dL =可知，过L TP 曲线任何一点的切线的斜率就是相应的L MP 值.L MP 曲线在10L -的斜率大于零. L MP 曲线的一阶导数即为L TP 曲线的二阶导数.所以L TP 曲线在10L -阶段的二阶导数大于零，即L TP 在10L -阶段为凸函数.也就是说，边际产量L MP 曲线，在10L -阶段上升，达到最大值后，然后再下降.所以相应的总产量L TP 曲线的斜率先是递增的，在1L 到达拐点，然后再递减.通过上述分析可以发现：根据在边际报酬曲线递减规律作用下的边际产量L MP 曲线先上升，最终下降的特征，可以先描绘出L MP 曲线.由总产量和边际产量之间的关系可以描绘出L TP 曲线的图象.最后由平均产量和总产量之间的关系描绘出L AP 曲线的图象.凸函数在描述三者关系中间发挥了很大的作用，利用函数凸性可以描绘出生产函数图象.估算和研究生产函数，对于经济理论实践和生产实践又是前提. 以上两种经济曲线的凸性分析，从数学的角度使我们对常见的经济现象有了更加深入的理解.经济教材中复杂的经济曲线，通常具有一定的凸性，所以掌握了这种分析方法，对以后的经济问题探索有很大的帮助. []44.2凸函数在经济优化中的应用在经济生产过程中，为了提高经济资源配置效率，使用最少的资源和能源，达到获得最大的经济效益的目的.厂商会进行预算估计，建立起利润，成本和价格之间的关系函数，然后利用凸函数求极值的方法来解决利润最大、成本最小的问题.函数的极值是根据定理4极值的充分条件求得的.由定理4可知，可导函数的二阶导数大于零即为凸函数，则在稳定点取得的函数值为极小值；可导函数的二阶导数小于零即为凹函数，则在稳定点取得的函数值为极大值.4.2.1利润最大问题利润最大化问题的求解取决于厂商的需求函数、成本函数以及生产组合情况，它们之间存在一定的函数关系.这个函数若是凸（凹）函数的话，就满足了凸（凹）函数的性质.可以用定理4中求极值的充分条件，得到生产关系中利润函数的最大值.例1 北京一家商场的某商品的需求函数为1200080Q P=-（P的单位为元）；该商品的总成本函数为2500050=+;且每件商品需要纳税C Q2元，求出使销售利润最大的产品单价和最大利润额.解该商品的收入函数为()()()=--，R P P P12000802将1200080=+得出总成本函数C Q=-代入2500050Q P()()250005012000806250004000C P P P =+-=-则利润函数为()()()L P R P C P =-()()()21200080262500040008016160649000P P P P P =----=-+-由()160161600L P P '=-+=得101P =,又因为()1600L P ''=-<，则101P =时，根据定理3，()L P 为凹函数，则在101P =处取得极大值，由于是唯一的极值点，所以是最大值，当单价为101元时，销售利润取得最大，最大利润为()101167080L =元.在解决最大利润问题时，先找到利润和其它生产要素之间的函数关系式，对利润函数求一阶导数，得到利润函数的稳定点.再求利润函数的二阶导数，从而判断利润函数是否为凹函数,根据推论求得的利润函数是凹函数，则在稳定点的函数值即为极大值,即利润最大值.这样就把经济问题转化为了数学中常见的函数问题，经济中最优化问题看成简单的凸函数求极值的问题，这样可以使问题简单化，便于理解.4.2.2成本最小问题下面看一下成本最小问题.例2 要做一个容量为3500cm 的圆柱形饮料罐，当罐子的底半径为多少时，才能最省材料.解： 设饮料罐的高为h ，底半径为r ，则表面积222S r rh ππ=+， 由体积2500V r h π==得2500h r π=，带入可得 210002S r r π=+，由210004S r r π'=-得 4.3r ≈，又因为200040S rπ''=+>，可知S 为凸函数，则当 4.3r ≈时，S 取得极小值，只有一个极小值点，既是最大值.当底半径为4.3cm 时，用的材料最少.求成本最小问题时，首先建立起函数关系式，根据定理4极值的第二充分条件，判断函数关系式是凸函数，所以在稳定点求的函数值为极小值，即成本最小值.利用凸函数求极值来解决这类问题，可以在经济活动中节省资源，避免浪费.4.2.3最佳库存问题在生产与销售管理中，库存量一定要适度，库存太少，会造成供不应求，失去时机；库存太多，又会出现资金积压或货物过期等状况，生产厂家或销售公司要想维持正常的生产和销售,管理者必须确定物资的库存量，即何时补充库存，应该补充多少等.可以把库存问题转换化为函数关系表示，然后用凸函数求极值解决最佳库存问题.例3 武汉某公司的A 产品年销售量为10万件，假设这些产品分成若干批生产，每批需生产准备费100元；并假设产品的平均库存量为批量的一半，且每件产品库存一年需库存费0．05元.现想要使每年生产所需的生产准备费与库存费之和为最小，则每批的生产量是多少最合适.解： 设每年的生产准备费与库存费之和为W ，批量为x ，则()7100000101000.05240x x W x x x =+⨯=+， 由()732100W x x ⨯''=>得4210x =⨯，又因为()732100W x x⨯''=>，可知()W x 是凸函数.所以当4x=⨯时()210W x去的极小值，且是唯一的极小值，即为最小值,所以当每批生产2万件时最合适,使得每年生产所需的生产准备费与库存费之和为最小.解决经济学中的优化问题，可以归结为求某个函数的最值问题.步骤为：（1）分析经济问题，列出目标函数关系式；（2）对函数关系式求一阶导数，并令其为零，求出稳定点；（3）对函数关系式求二阶导数，判断函数是否是凸函数.若为凸函数，则在稳定点求的函数值为极小值；若为凹函数，则在稳定点求的函数值为极大值.（4）当确定该问题存在最大值或最小值时，判定所求的极值点若是唯一的，则函数在该驻点处取得最值.最终求得经济中的利润最大，成本最小问题. []54.3凸函数在风险态度中的应用期望效用函数是商家们很关心的一个指标，所谓期望效益函数就是用来刻画经济活动者在不确定环境下决策的函数，它在一般情况下是凹函数.设某经济活动者的期望效益函数为单变量函数()u x.不妨设这里自变量的含义就是收入.假设,0x y≥为两种可能的收入；得到x的概率为p，而得到y的概率为(1)p-.记这样的事件为(,,)x y p，那么由期望效用函数的定义，可得到这一事件的效用为：((,,))()(1)()u x y p pu x p u y =+-此经济活动者对(,,)x y p 这一事件中所包含的风险的态度可由((,,))u x y p 与((1))u px p y +-的比较来刻画.若((1))((,,))u px p y u x y p +-=，则称该经济活动者为风险中性者.如果((1))((,,))u px p y u x y p +->，那么称该经济活动者为风险厌恶者.如果((1))((,,))u px p y u x y p +-<，那么称该经济活动者为风险爱好者.与以上的分析相对应，消费者的风险态度也可以根据消费者的效用函数的特征来判断.一个人是风险厌恶的充要条件是他的效用函数为凹函数.因此，判断一个人是不是风险厌恶者，只需要验证其效用函数是不是凹函数.在判断一个人是不是风险爱好者，只需要验证其效用函数是不是凸函数.消费者对待风险的态度，影响着消费者在不确定情况下的行为决策.如下图所示图中效用曲线上的任意两点间的弧都高于这两点间的弦.由函数的凹凸性判断，该函数是凹函数，且斜率大于零.根据消费者的效用曲线()u x ，消费者在无风险条件下持有一笔确定的货币财富量的效用()()1u px p y +-相当于A 的高度，而拥有一张具有风险的期望效用()()()1pu x p u y +-相当于图中B 的高度.显然A 点高于B 点.所以，图中的效用函数()u x 满足风险回避者的判断条件.如果从函数的图像来看，自然是曲线向上弯得越厉害，对风险就越厌恶，曲线的弯曲程度可以用函数的二阶导数来刻画.风险爱好者和风险中立者的效用函数的分析是类似的.在实际经济生活中，大多数的消费者都是风险回避者.三者的图象如下图所示.当消费者面临一种风险时，如果对于该消费者而言，风险的期望值的效用大于、小于、等于风险的效用期望时，那么相应地，该消费者的风险态度为风险回避、风险爱好、风险中立. []6利用函数的凸性可以很简单地判断出消费者面对风险时的不同态度，也可以清晰地从图象分析不同态度的效用函数，使经济学中基本概念方便理解.让学生学习经济概念时，在易于理解的基础上，可以更加牢固地掌握住知识.5.总结本文从凸函数的几种定义出发，详细介绍了凸函数的相关性质，并介绍了凸函数在经济学中的应用，即凸函数在经济函数的曲线分析中、经济优化中以及风险态度中的应用.函数凸性分析作为一种强有力的分析工具，在经济工作中应用是很广泛的，掌握了它对指导我们当今的经济工作具有十分重要的意义.把难懂的经济问题通过函数凸性来分析解决，使得经济学中的一些概念精确化，复杂的经济函数曲线变得清晰可辨，便于我们去理解和掌握.使经济活动在遵守资源约束、生产技术约束的条件下，求得消费者效用的最大化.但还有一定的局限性，比如在凸规划问题中，单单使用函数凸性还远远不够，需要借助其它的工具协助解决.因此对凸函数在经济学中应用的研究成果还需进一步的加深和推广.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社.2009.[2] 熊淑艳.函数凸性判定定理的证法及应用[J].广西师范学院学报（自然科学版）.2005,22（1）.[3] 黑志华付云权.凸函数在微观经济学中的应用研究[J].现代商贸工业，2009.6[4]潘劲松.函数凸性在微观经济学中的应用[J].中国西部科技.2011,10(36).[5]宋蔡健.经济函数与经济优化分析[J].南京工业职业技术学院学报.2007,7(4).[6]李妍，张景，刘忻梅.效用理论在保险决策中的应用[J].北方经贸.2011（3）.18。
凸函数
毕业论文（设计）课题名称指数凸函数的性质及应用学院理学院专业数学与应用数学（S）班级2011级2班指导教师黄金莹学生姓名肖坤佳木斯大学教务处指数凸函数的性质及应用肖坤佳木斯大学理学院数学系2015年6月摘要指数凸函数是一类重要的函数，对于凸函数的研究，目前已近很深入。
指数凸函数与凸函数之间存在着平行关系，对于指数凸函数的研究，我们可以类比凸函数的概念、性质及内容进行研究。
首先本课题主要研究了指数凸函数的概念、性质和指数凸函数在不等式中的应用；其次根据指数凸函数的判定定理及概念、性质判断一些基本初等函数的指数凸性；最后建立一些关于指数凸函数的不等式，以方便后面研究Jensen不等式、Hadamard不等式及不等式的证明, 我们可以根据指数凸函数的概念和性质建立一些新的不等式，并对此进行研究，例如可以建立均值不等式。
对指数凸函数的研究，无疑将大大扩充我们研究不等式的范畴，同时，也是对凸分析理化的一种有益的深化和推广。
关键词:凸函数；指数凸函数；判定定理；Hadamard不等式AbstractIndex convex function is a kind of important function.Scientists have so far conducted very in-depth researches into convex function.More or less,a sort of parallel relationship exists between different convex functions.we can carry out our researches on the analogy of the concept,nature and content of convex function.firstly,this research project mainly fouses on the concept and properties of convex function and the application of convex function in inequalities.Secondly,some basic elementary function's index convexity is judged based on the decision theorem of index convex function as well as its concept and properties.Finally,some inequalities about index convex function are established to facilitate futher researches into Jensen inequality,Hadaard inequalities and inequality certification,we can according to the index of the concept and properties of convex function,set up some new inequalities and in study,for example, we can build the mean inequality.Undoubtedly,research into the index convex function will greatly expand our research scope of inequalities,and at the same time,it also contributes to deepening and promoting the convex analysis of physicochemistry.Key words: convex function; index of convex function; decision theorem; Hadamard inequalities目录摘要 (I)Abstract (Ⅱ)第1章绪论 (1)第2章凸函数的基础知识 (2)2.1凸函数的概念和性质 (2)2.1.1凸函数的概念 (2)2.1.2凸函数的性质 (3)2.2凸函数的一些结论 (6)2.2.1凸函数的判定定理 (6)2.2.2与凸函数相关的不等式 (8)第3章指数凸函数的性质及应用 (11)3.1指数凸函数的概念和性质 (11)3.1.1指数凸函数的概念 (11)3.1.2指数凸函数的性质 (13)3.2. 常见函数的指数凸性 (17)3.2.1 指数凸函数的判定定理 (17)3.2.2 基本初等函数的指数凸性 (19)3.3 指数凸函数的Hadamard不等式 (25)结论 (28)致谢 (29)参考文献 (30)附录1 (31)附录2 (35)第1章绪论在数学学科中，研究生产、生活中的多快好省这类问题的理论被称为最优化理论，更宽泛的称谓叫做运筹学与控制论，其在经济、工程、管理、规划等方面有着广泛的应用，本课题《指数凸函数的性质及应用》是这一重要应用数学方向的基础性研究.最优化理论的诞生以1970年Rockafellar所写的《凸分析》为标志.多快好省问题在数学中被抽象为变量的最值问题，凸分析就是用凸集与凸函数作为工具讨论最值的存在性与唯一性的一门学问.凸分析的一个简单而典型的例子是面积固定的矩形铁板制作开口水箱，怎样裁剪使得容积最大.2f 是最典型的凸函数.x(x)随着最值问题研究的深入和现实问题的复杂化，人们发现问题并不总是以凸性的形式呈现的，大量的非凸优化问题等待解决.解决方式要么是将非凸向凸归结，要么将凸向非凸推广.在将凸推广到非凸过程中，国内外学者在近二十年内把凸函数做了各种推广，创建了大量的具体广义凸函数，解决了一些非凸优化问题.我们课题组注意到了上述各类广义凸函数的共有特征，将它们进行抽象化处理，率先开展了指数凸函数的研究.首先，介绍了凸函数的基础知识，从凸函数的概念和性质，以及凸函数的Jensen不等式和Hadamard不等式等不等式方面的一些结论开始研究，让读者对凸函数有了大致的了解.其次，开始介绍的是本课题的主要研究内容，根据开始对凸函数方面的研究，由指数凸函数与凸函数之间存在的平行关系，类比推理到指数凸函数的概念、性质及在不等式方面的应用上.首先研究的是指数凸函数的概念和性质，我们又该如何判断一个函数是指数凸函数的方法.最后,研究指数凸函数的Jensen不等式和Hadamard不等式以及常见基本初等函数的指数凸性，根据指数凸函数的Jensen不等式建立一些新的不等式.第2章 凸函数的基础知识本章主要介绍了凸函数的概念、性质、判定定理以及凸函数在不等式中的应用，但对于凸函数的研究，目前已经很深入了，尤其是在不等式方面的研究备受关注.2.1 凸函数的概念和性质为了更好的研究本课题要研究的指数凸函数内容，我们可以依据指数凸函数与凸函数之间存在的平行关系，先深入了解一下凸函数的概念和性质，进而研究指数凸函数.下面我们将给出凸函数的概念和计算方面的性质.2.1.1 凸函数的概念函数2)(x x f =图像的特征是：曲线2)(x x f =上任意两点间的弧段总在这两点线的下方.我们可以这样定义：设函数)(x f 在区间[]b a ,上有定义，若曲线)(x f y =上任意两点间的弧段总位于连接两点的直线之下，则称函数)(x f 是凸函数.以上定义只是对凸函数作了直观的描述，下面给出精确的定义.定义2.1.1 设)(x f 在区间I 上有定义，若对I 上的任意两点21,x x 和任意的实数 )1,0(∈λ，总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ (2-1) 则称f 为I 上的凸函数.若对I 上的任意两点21,x x 和任意的实数)1,0(∈λ，总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+ (2-2) 则称f 为I 上的凹函数.]1[2.1.2 凸函数的性质性质2.1.1 若函数)(x f 为凸函数，则)(x f -为凹函数.反之亦然. 证明：因)(x f 是凸函数，由凸函数的定义 2.1.1知，若对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+在上式两边同时乘以-1得：)]()[1(])([])1()([2121x f x f x x f --=-≥-+-λλλλ 故)(x f -为凹函数.同理可得)(x f 为凹函数，则)(x f -为凸函数.]2[ 性质2.1.2 若函数)(x f 为凸函数，则：1）若0≥α，则)(x f α为凸函数；2）若0≤α，则)(x f α为凹函数.证明：因)(x f 是凸函数，由凸函数的定义 2.1.1知，若对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+1）当0≥α时，在上式两边同时乘以α得：)]()[1()]([)]()1()([])1([212121x f x f x f x f x x f αλαλλλαλλα-+=-+≥-+ 即)(x f α为凸函数.2）当0<α时，在上式两边同时乘以α得：)]()[1()]([)]()1()([])1([212121x f x f x f x f x x f αλαλλλαλλα-+=-+≤-+ 即)(x f α为凹函数.性质2.1.3 若函数)(),(x g x f 为凸函数，则函数)()()(x g x f x h +=为凸函数.证明：因函数)(),(x g x f 是凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，若对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ )()1()(])1([2121x g x g x x g λλλλ-+≤-+则])1([])1([])1([212121x x g x x f x x h λλλλλλ-++-+=-+)()1()()()1()(2121x g x g x f x f λλλλ-++-+≤ )]()()[1()]()([2211x g x f x g x f +-++=λλ )()1()(21x h x h λλ-+=即)()()(x g x f x h +=为凸函数. 性质2.1.4 设)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增（递减）的凸函数，则 )()()(x g x f x h =是[]b a ,上的凸函数. 证明：因)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增的凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，则对任意的[]b a x x ,,21∈，有0)]()()][()([1212≥--x g x g x f x f整理得 )()()()()()()()(22111221x g x f x g x f x g x f x g x f +≤+ (2-3) 又因)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增的凸函数，由指数凸函数的定义2.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ，有)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ )()1()(])1([2121x g x g x x g λλλλ-+≥-+所以])1([])1([])1([212121x x g x x f x x h λλλλλλ-+-+=-+)]()1()()][()1()([2121x g x g x f x f λλλλ-+-+≤)()()1()]()()()()[1()()(2221221112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+= 再由（2-3）式可知])1([])1([])1([212121x x g x x f x x h λλλλλλ-+-+=-+)()()1()]()()()()[1()()(2221221112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+= )()()1()]()()()()[1()()(2222211112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+≤)()())1()(1()()())1((2211x g x f x g x f λλλλλλ-+-+-+=)()()1()()(2211x g x f x g x f λλ-+=)()1()(21x h x h λλ-+=即)()()(x g x f x h =是[]b a ,上的凸函数.]3[性质2.1.5 若函数)(),(x g x f 为凸函数，则)}()(max{)(x g x f x h =亦为凸函数. 证明：因为函数)(),(x g x f 为凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()()()1()(])1([212121x h x h x f x f x x f λλλλλλ-+≤-+≤-+)()1()()()1()(])1([212121x h x h x g x gf x x g λλλλλ-+≤-+≤-+从而有]})1([],)1([max{])1([212121x x g x x f x x h λλλλλλ-+-+=-+)()1()(21x h x h λλ-+≤所以)]}(),(max{[)(x g x f x h =为凸函数.]4[性质2.1.6 若函数)(x f 为凸函数，11:R R →ϕ为单调增长的凸函数，则))((x f ϕ亦为 凸函数.证明：因函数)(x f 为凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+又11:R R →ϕ为单调增加的凸函数，所以))(()1()(())()1()(()))1(((212121x f x f x f x f x x f ϕλλϕλλϕλλϕ-+≤-+≤-+ 即))((x f ϕ为凸函数.2.2 凸函数的一些结论如果给定一个函数，要判断是凸函数还是凹函数，我们讲依据什么结论来判断？这里将给出凸函数的判定定理，用来判断一个函数是否是凸函数.2.2.1 凸函数的判定定理定理2.2.1 （凸性判别法）设函数)(x f 是区间I 上的可导函数，则下列论断相互等价1）函数)(x f 是区间I 上的凸函数；2）函数)(x f '是区间I 上的增函数；3）对区间I 上任意的两点21,x x ，有))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥证明：)2)1⇒在区间I 上的任取两点)(,2121x x x x <，对充分小的正数h ，由于h x x x h x +<<<-2211，有hx f h x f x x x f x f h h x f x f )()()()()()(22121211-+≤--≤--因)(x f 是区间I 上的可导函数，令+→0h 时可得)()()()(212121x f x x x f x f x f '≤--≤' 所以)(x f '是区间I 上的增函数. )3)2⇒在以)(,2121x x x x <为端点的区间上，用拉格朗日中值定理和)(x f '是区间I 上的增函数得))(())(()()(1211212x x x f x x f x f x f -'≥-'=-ξ移项后的))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥且当21x x >时仍可得相同的结论.)1)3⇒任取区间I 上的两点)(,2121x x x x <， )10()1(213<<-+=λλλx x x ，由3）并利用))(1(2131x x x x --=-λ与))(1(1232x x x x --=-λ得))(()1()())(()()(213331331x x x f x f x x x f x f x f -'-+=-'+≥λ))(()())(()()(123332332x x x f x f x x x f x f x f -'+=-'+≥λ分别用λ和λ-1乘以上述两式并相加.使得))1(()()()1()(21321x x f x f x f x f λλλλ-+=≥-+则)(x f 是区间I 上的凸函数.定理2.2.2 （凸性判别法）设函数)(x f 在区间I 上具有二阶导数，则1）当0)(≥''x f 时，函数)(x f 为区间I 上的凸函数；2）当0)(≤''x f 时，函数)(x f 为区间I 上的凹函数.定理2.2.3 设函数)(x f 是区间I 上的二阶可导函数，则在I 上的)(x f 为凸函数的充要 条件是I x x f ∈≥,0)(证明：1）必要性：因为函数)(x f 为I 上的凸函数，则)(x f '是区间I 上的增函数，即I x x f ∈≥'',0)(2）充分性：因为I x x f ∈≥'',0)(， 所以)(x f '是区间I 上的增函数，即)(x f 为I 上的凸函数.]5[2.2.2 与凸函数相关的不等式定理2.2.4 （凸函数的Jensen 不等式）若函数)(x f 在区间I 上有定义，且对于任意的I x i ∈及满足∑==ni i 11λ，0>i λ ,n i ,,2,1 =，有∑∑==≤ni i i n i i i x f x f 11)()(λλ 成立那么称)(x f 在区间I 上凸函数.证明：当1=n 时，等式显然成立；假设当k n =时成立，即对任意的)2,1(0,k i x I x i i =≥∈且满足∑==ki i x 11，此时有)()(11i ki i i k i i x f x f ∑∑==≤λλ不等式成立；此时我们要证明当1+=k n 时，∑∑==≤ni i i n i i i x f x f 11)()(λλ成立，即 )()(11111++=+=+=∑∑k k i ki i k i i i x x f x f λλλ)()(111++=+≤∑k k k i i i x f x f λλ)()(111++=+≤∑k k i ki i x f x f λλ∑+==11)(k i i i x f λ即1+=k n 时不等式成立，结论正确.]6[定理2.2.5 （凸函数的Hadamard 不等式）若函数)(x f 为[]b a ,上的凸函数，则2)()()(1)2(b f a f dx x f a b b a f b a +≤-≤+⎰]7[证明：由题意知，函数)(x f 在[]b a ,上可积.一方面，根据定积分概念和凸函数的Jensen 不等式，有∑⎰=∞→--+-=-n i n b a n a b a b n i a f a b dx x f a b 1))((lim 1)(1 ∑=∞→-+=ni n a b ni a f n 1))((1lim )))((1(lim 1∑=∞→-+≥n i n a b ni a n f ∑=∞→--+-=n i n na b a b n i a a b f 1)))((lim 1( )2()1(b a f x d x a b f b a +=-=⎰ 另一方面，我们令b a x )1(λλ-+=，解得ab x b --=λ 即b ab a x a a b x b x b a x --+--=∈∀],,[ 于是⎰⎰--+---=-b a b a dx b ab a x a a b x b f a b dx x f a b )(1)(1 ))()((1⎰⎰--+---≤b a b a dx a b a x b f dx a b x b a f ab 2)()(b f a f += 综上所述的两个方面，结论成立.例2.2.1 设523≤≤x ，证明1923153212<-+-++x x x 证明：由于函数x y =在区间[)+∞,0上是凸函数，由凸函数的定义2.1.1，我们有 x x x x x x x 31532113153212-+-++++=-+-++ 431532114x x x x -+-++++≤ 142+=x由于x x x 315,32,1--+不可能同时取等号，从而有1921423153212≤+<-+-++x x x x例2.2.2 证明不等式c b a cb ac b a abc ≤++3)(.证明：设0,ln )(>=x x x x f ，由x x f 1)(='可见x x x f ln )(在0>x 时为严格的凸函数，由凸函数的定义2.1.1，我们有)]()()([313(c f b f x f c b a f ++≤++ 从而)ln ln ln (313ln 3c c b b a a c b a c b a ++≤++++ 即有c b a c b a c b a c b a ≤++++3(又因为不等式33c b a abc ++≤成立，所以c b a c b a abc c b a ≤++3)(.]8[ 以上内容就是对凸函数的性质与应用的一些研究，接下来开始研究本课题的核心内容，利用指数凸函数和凸函数之间存在的平行关系，类比出指数凸函数的性质与应用.第3章 指数凸函数的性质及应用本章主要介绍了指数凸函数的概念、性质、判定定理以及在不等式中的应用.从本章的内容来看，不仅让我们了解指数凸函数的基本知识和内容，也让我们理解了研究指数凸函数的数学意义.指数凸函数是凸函数的分支，内容上存在着平行关系.指数凸函数和凸函数一样，可以广泛的应用于其它领域，特别是在不等式中的应用.3.1 指数凸函数的概念和性质对于指数凸函数而言，并没有给出严格的定义，以及相关的性质与应用，但是我们可以根据凸函数的定义、性质及应用，类比建立一个新的不等式模型，定义为指数凸函数.那么我们该如何建立呢？接下来将研究指数凸函数的概念和性质.3.1.1 指数凸函数的概念我们在研究指数凸函数的概念时，先来关注余弦函数x cos 在区间)2,0(π上的不等式链. 我们根据凸函数的性质可以知道x cos 在区间2,0(π是递减的凹函数，同时它也是对数凹函数和几何凹函数.可以得到如下结果：33cos 3cos 3cos cos cos cos cos cos ABC C B A C B A C B A ≤++≤++≤ 其中3c o s c o s c o s c o s 3C B A C B A ++≤可由x c o s 作为对数凹函数直接得到，33cos cos cos cos ABC C B A ≤可由x cos 作为几何凹函数直接得到]9[，那么对于正弦函数x sin 在区间2,0(π会有怎样的情况呢？接下来我们会慢慢进行研究. 由正弦函数x sin 在区间2,0(π是递增的凹函数也是几何凹函数，借助于均值不等式，可以得到如下两组结果：3sin 3sin sin sin sin sin sin 3C B A C B A C B A ++≤≤3sin sin sin sin sin 33C B A ABC C B A ++≤≤ 因此我们想要形成类似于余弦函数x cos 在区间)2,0(π上的不等式链，那么我们就需要研究上述两组不等式中的中间两项3sin sin sin C B A ++与3sin ABC 的大小关系，如何来比较这两者之间的大小关系，我们就需要建立指数凸函数的概念、性质知识. 下面我们给出指数凸函数的定义与指数凸函数的Jensen 不等式. 定义3.1.1 设函数)(x f 为区间),0(+∞⊆I 上的函数，称函数)(x f 是区间I 上的指数凸函数，如果对I x x ∈∀21,和)1,0(∈λ，有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-设函数)(x f 为区间),0(+∞⊆I 上的函数，称函数)(x f 是区间I 上的指数凹函数，如果对I x x ∈∀21,和)1,0(∈λ，有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≥-类比凸函数的Jensen 不等式（定理2.2.4）我们可以得到指数凸函数的Jensen 不等式. 定理3.1.1 （指数凸函数的Jensen 不等式）函数)(x f 是区间I 上的指数凸函数当且仅当,,2,1,),1,0(n i I x q i i =∈∀∈∀， ∑==n i i q11，有)()()()(22112121n n q n q q x f q x f q x f q x x x f n +++≤ ]10[注：定义3.1.1是定理3.1.1的一个特例，对于定理3.1.1可以利用数学归纳法证明. 证明：当1=n 时，不等式显然是成立.假设当k n =时成立，即)()()()(22112121k k q k q q x f q x f q x f q x x x f k +++≤只需证1+=k n 时成立))(()(11111211211121121++++++-+++-+=k k k q k q k q k q k q k q k k q q k k q k q q q k q q x x x x x f x x x f))()()(()()(111112211++++++++++++≤k k k k k k k k k k x f q q q x f q q q q q x f q x f q i n i i x q ∑==1即1+=k n 时也成立，结论得以证明.3.1.2 指数凸函数的性质对于指数凸函数的性质，我们可以类比凸函数的一些计算性质，得出相应的指数凸函数在计算方面的性质.性质3.1.1 若函数)(x f 为指数凸函数，则)(x f -为指数凹函数，反之亦然. 证明：函数)(x f 为指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，若对区间I 上任意的两点21,x x 和正数)1,0(∈λ，总有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-在上式的两边同时乘以1-，不等式方向改变，则有))()(1())(()(21121x f x f x x f --+-≥--λλλλ故)(x f -为指数凹函数.同理有函数)(x f 指数凹函数，则)(x f -为指数凸函数. 性质3.1.2 若函数)(x f 为指数凸函数，则1）若0≥α，则)(x f α为指数凸函数；2）若0≤α，则)(x f α为指数凹函数.证明：因函数)(x f 为指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，若对区间I 上任意的两点21,x x 和正数)1,0(∈λ，总有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-1）当0≥α时，在上式两边同时乘以一个正数α，有))()(1())(())()1()(()(2121121x f x f x f x f x x f αλαλλλααλλ-+=-+≤- 即0≥α时，)(x f α为指数凸函数.2）当0≤α时，在上式两边同时乘以一个负数α，有))()(1())(())()1()(()(2121121x f x f x f x f x x f αλαλλλααλλ-+=-+≥- 即0≤α时，)(x f α为指数凹函数. 性质3.1.3 若函数)(),(x g x f 为指数凸函数，则函数)()()(x g x f x h +=为指数凸函数. 证明：因函数)(),(x g x f 是指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，若对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤- )()1()()(21121x g x g x x g λλλλ-+≤-则)()()(121121121λλλλλλ---+=x x g x x f x x h )()1()()()1()(2121x g x g x f x f λλλλ-++-+≤ =)]()()[1()]()([2211x g x f x g x f +-++λλ =)()1()(21x h x h λλ-+ 即)()()(x g x f x h +=为指数凸函数. 性质3.1.4 设)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增（递减）的指数凸函数，则 )()()(x g x f x h =是[]b a ,上的指数凸函数. 证明：因)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增的指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，则对任意的[]b a x x ,,21∈，有0)]()()][()([1212≥--x g x g x f x f整理得)()()()()()()()(22111221x g x f x g x f x g x f x g x f +≤+ （3-1） 又因)(x f 与)(x g 都是[]b a ,上的非负单调递增的凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-)()1()()(21121x g x g x x g λλλλ-+≤-所以)()()(121121121λλλλλλ---+=x x g x x f x x h)]()1()()][()1()([2121x g x g x f x f λλλλ-+-+≤)()()1()]()()()()[1()()(2221221112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+= 再由（3-1）式可知)()()(121121121λλλλλλ---+=x x g x x f x x h)()()1()]()()()()[1()()(2221221112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+= )()()1()]()()()()[1()()(2222211112x g x f x g x f x g x f x g x f λλλλ-++-+≤)()())1()(1()()())1((2211x g x f x g x f λλλλλλ-+-+-+=)()()1()()(2211x g x f x g x f λλ-+= )()1()(21x h x h λλ-+=即)()()(x g x f x h =是[]b a ,上的指数凸函数.性质3.1.5 若函数)(),(x g x f 为指数凸函数，则)}()(max{)(x g x f x h =亦为指数凸函数. 证明：因为函数)(),(x g x f 为指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()()()1()()(2121121x h x h x f x f x x f λλλλλλ-+≤-+≤-)()1()()()1()()(2121121x h x h x g x g x x g λλλλλλ-+≤-+≤-从而有}{)()1()(][],[max )(121121121x h x h x x g x x f x x h λλλλλλλλ-+≤=--- 所以)}()(max{)(x g x f x h =亦为指数凸函数.性质3.1.6 若函数)(x f 为指数凸函数，11:R R →ϕ为单调增长的指数凸函数，则 ))((x f ϕ亦为指数凸函数.证明：因函数)(x f 为指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-又11:R R →ϕ为单调增加的指数凸函数，所以))(()1()(())()1()(()((2121121x f x f x f x f x x f ϕλλϕλλϕϕλλ-+≤-+≤-即))((x f ϕ为指数凸函数.性质3.1.7 函数)(x f 是区间I 上的指数凸函数当且仅当)(x e f 为区间I 上的凸函数. 证明：（充分性）已知函数)(x e f 是区间I 上的指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-对于)1,0(,ln ,21∈∀∈∀λI u u 则I x x ∈∃21,，使得2211ln ,ln x u x u ==，我们有)()()(121ln )1(ln )1(2121λλλλλλ--+-+==x x f e f e f x x u u)()1()(21x f x f λλ-+≤)()1()(21ln ln x x e f e f λλ-+=)()1()(21u u e f e f λλ-+=即 )()1()()(2121)1(u u u u e f e f e f λλλλ-+≤-+故函数)(x e f 为区间I 上的凸函数.（必要性）已知函数)(x e f 是区间I 上的凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，即对I 上任意两点21,x x 和正数)1,0(∈λ总有)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+对于)1,0(,ln ,21∈∀∈∀λI u u ，则I x x ∈∃21,，使得2211ln ,ln x u x u ==，有))1(())1((2121ln ln x x u u e e f e e f λλλλ-+=-+))1((21x x f λλ-+=)()1()(21x f x f λλ-+≤)()1()(21ln ln x x e f e f λλ-+=)()1()(21u u e f e f λλ-+=即 )()1()()1((2121u u u u e f e f e e f λλλλ-+≤-+故函数 )(x e f 为区间I 上的指数凸函数.3.2 常见函数的指数凸性本节将给出一些常见的一元基本初等函数的指数凸性，首先需要了解判别函数指数凸性的判定定理.3.2.1 指数凸函数的判定定理定理3.2.1 设函数)(x f 在区间),0(+∞⊆I 上有定义，)(x f 在区间I 上具有二阶导数，则1）当0)()(≥''+'x f x x f 时，)(x f 为区间I 上的指数凸函数；2）当0)()(≤''+'x f x x f 时，)(x f 为区间I 上的指数凹函数.证明：1）由于0)()(≥''+'x f x x f 时，I x ∈∀，故对I x ln ∈∀，有0)]()([))(())((≥''+'=''=''x x x x x x x e f e e f e e f e e f根据定理2.2.2知，)(x e f 为区间I 上的凸函数，再由性质3.1.7知，)(x f 为区间I 上的指数凸函数.2）由于0)()(≤''+'x f x x f 时，I x ∈∀，故对I x ln ∈∀，有 0)]()([))(())((≤''+'=''=''x x x x x x x e f e e f e e f e e f ，根据凸函数的定理2.2.2知，)(x e f 为区间I 上的凹函数，由性质3.1.7知，从而)(x f 为区间I 上的指数凹函数.]11[现在我们有了指数凸函数的概念、性质和判定定理，就可以回答本章开始提出的问题了.对于正弦函数x x f sin )(=，我们可以根据指数凸函数的判别方法，只需要判断)(co t sin sin cos )()(x x x x x x x f x x f -=-=''+'与零的大小关系.令0)(cot )(=-=x x x g ，可以得到在区间)2,0(π上有唯一一个实数根，设为α，由01)(sin )(cot )(21<--='-='-x x x x g 恒成立.那么函数x x x g -=cot )(在区间)2,0(π是单调递减的，即有当),0(α∈x 时，0sin cos ≥-x x x ；当)2,(πα∈x 时，0sin cos ≤-x x x .由指数凸函数的判定定理3.2.1知正弦函数x x f sin )(=在),0(α∈x 为指数凸函数，在)2,(πα∈x 为指数凹函数，于是 当),0(,,α∈C B A 时，有3sin 3sin sin sin sin sin sin sin 33C B A C B A ABC C B A ++≤++≤≤当)2,(,,πα∈C B A 时，有 3sin sin 3sin sin sin sin sin sin 33C B A ABC C B A C B A ++≤≤++≤ 3.2.2 基本初等函数的指数凸性在前面的研究中，我们了解了正弦函数的指数凸性，那么我们常见的基本初等函数中，又有怎样的指数凸性呢？下面我们来慢慢研究.我们主要研究常数函数、一次函数、幂函数、对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数等等.例3.2.1 函数k x f =)(在区间),0(+∞⊆I 上有定义，试判断函数k x f =)(在区间 ),0(+∞⊆I 上的指数凸性.证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有0)()(=''+'x f x x f此时，函数k x f =)(在区间),0(+∞⊆I 上既是指数凸函数也是指数凹函数.]12[ 例3.2.2 函数b ax x f +=)(在在区间),0(+∞⊆I 上有定义，试判断函数b ax x f +=)(在在区间),0(+∞⊆I 上的指数凸性.证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有a x f x x f =''+')()(当0≥a 时，即0)()(≥=''+'a x f x x f ，此时，有函数b ax x f +=)(在在区间),0(+∞⊆I 上为指数凸函数.当0≤a 时，即0)()(≤=''+'a x f x x f ，此时，有函数b ax x f +=)(在在区间),0(+∞⊆I 上为指数凹函数.例3.2.3 函数αx x f =)(在区间),0(+∞⊆I 上有定义，试判断函数αx x f =)(在区间 ),0(+∞⊆I 上的指数凸性.证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有)()()(11'+=''+'--ααααx x x x f x x f))(1(2--+=αααααx x x))(1(11---=αααααx x))1(1(1-+=-αααx12-=ααx即0)()()(1211≥='+=''+'---ααααααx x x x x f x x f 恒成立（α为任意取值都成立）. 此时，有函数αx x f =)(在区间),0(+∞⊆I 上为指数凸函数.我们可以根据指数凸函数的定义3.1.1知，函数)(x f 是区间I 上的指数凸函数当且仅当n i I x q i i ,2,1,),1,0(=∈∀∈∀， ∑==n i i q11，有)()()()(22112121n n q n q q x f q x f q x f q x x x f n +++≤我们可以建立如下的不等式：3)(33αααααααC B A ABC C B A ++≤=（此时的312,0(,,=+∈λπC B A ）. 由上式变换可以有3)(3213321ααααx x x x x x ++≤]13[我们应该很熟悉，这就是均值不等式.那么我们可以证明正弦函数x sin 在区间)2,0(π上为指数凸函数来间接证明均值不等式的成立，这是指数凸函数在不等式的应用中远大前景，更多的内容等待着我们去挖掘与研究.51273321333<+≤-++x x x x例3.2. 4 函数x x f ln )(=在区间),0(+∞⊆I 上有定义，试判断函数x x f ln )(=在区间 ),0(+∞⊆I 上的指数凸性.证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有1(1)()('+=''+'xx x x f x x f 1(12x x x -+= 011=-=xx 此时，有函数x x f ln )(=在区间),0(+∞⊆I 上既是为指数凸函数也是指数凹函数. 根据指数凸函数和指数凹函数的定义3.1.1知，如果对I x x ∈∀21,和)1,0(∈λ，有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤-)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≥- 令31,,,321=∈λI x x x ，我们可以建立如下不等式： 3ln ln ln ln 3213321x x x x x x ++≤ 或者 3ln ln ln ln 3213321x x x x x x ++≥例3.2.5 设函数x e x f =)(在区间),0(+∞⊆I 上有定义，试判断函数x e x f =)(在区间 ),0(+∞⊆I 上的指数凸性.证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有x x xe e x f x x f +=''+')()(0)1(>+=x e x 恒成立.则函数x e x f =)(在区间),0(+∞⊆I 上是为指数凸函数. 根据指数凸函数的定义3.1.1知，如果对I x x ∈∀21,和),0(+∞∈λ，有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤- 令31,,,321=∈λI x x x ，我们可以建立如下不等式33213321x x x x x x e e e e ++≤ 例3.2.6 证明na a a nx x x +++ 21与 ,2,1(,021=≥⋅⋅⋅n a n n x x x ）的大小关系. 证明：令函数 ,2,1,)(==x a x f x ，根据指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有)ln (ln )()('+=''+'a a x a a x f x x f x x2)(l n ln a a x a a x x ⋅+=)ln 1(ln a x a a x +=1）当10<<a 时，0ln ,0,0ln <><a x a a xi ）当0ln 1<+a x 时，即ax ln 1-<，函数)(x f 为指数凹函数. 根据指数凹函数的定义3.1.1知，有33213321x x x x x x a a a a ++≥ 即有na a a a n n n x x x x x x +++≥ 2121 ii ）当0ln 1<+a x 时，即ax ln 1-≥，函数)(x f 为指数凸函数. 根据指数凸函数的定义3.1.1知，有33213321x x x x x x a a a a ++≤ 即有na a a a n n n x x x x x x +++≤ 2121 3）当1≥a 时，0)ln 1(ln )()(≥+=''+'a x a a x f x x f x 恒成立，所以函数)(x f 为指数凸函数.根据指数凸函数的定义3.1.1知，有33213321x x x x x x a a a a ++≤ 即有na a a a n n n x x x x x x +++≤ 2121 综上所述，当0<a 时，an ln 1-<，有 n a a a an n n x x x x x x +++≥ 2121 当an a ln 1,0-≥<和1≥a 时，有 na a a a n n n x x x x x x +++≤ 2121 例3.2.7 函数x x f cos )(=在区间)2,0(π⊆I 上有定义，试判断函数x x f cos )(=在区间 2,0(π⊆I 上的指数凸性. 证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有)(cos )()()(''+'=''+'x x cox x f x x f )(sin sin '--=x x xx x x c o s s i n--= )c o t 1(s i nx x x +-= 由函数x cos 与函数x sin 在区间2,0(π⊆I 都是大于0的，即有 0)cot 1(sin )()(<+-=''+'x x x x f x x f此时，函数x x f cos )(=在区间)2,0(π⊆I 上是为指数凹函数. 根据指数凹函数的定义3.1.1知，如果对I x x ∈∀21,和)1,0(∈λ，有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≥-令31,,,321=∈λI x x x ，我们可以建立如下不等式： 3cos cos cos cos 3C B A ABC ++≥ 例3.2.8 函数x x f arcsin )(=在区间)1,1(-⊆I 上有定义，试判断函数x x f arcsin )(=在 区间)1,1(-⊆I 上的指数凸性.证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有)(arcsin )(arcsin )()(''+'=''+'x x x x f x x f)2()1)(21()1(232212x x x x ---+-=-- 2322232)1()1(---+-=x x x )1(2122232)1()1(-+---+-=x x x ))1(1()1(122212---+-=x x x当)1,1(-∈x 时，0)1(212>--x ，0))1(1(122>-+-x x所以 0)1(1()1()(arcsin )(arcsin )()(122212>-+-=''+'=''+'--x x x x x x x f x x f 此时，函数x x f arcsin )(=在区间)1,1(-⊆I 上是为指数凸函数. 根据指数凸函数的定义3.1.1知，如果对I x x ∈∀21,和)1,0(∈λ，有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≤- 令31,,,321=∈λI x x x ，可以建立如下不等式 3arcsin arcsin arcsin arcsin arcsin arcsin 3C B A C B A +≤++ 例3.2.9 函数x x f arccos )(=在区间)1,1(-⊆I 上有定义，试判断函数x x f arccos )(=在 区间)1,1(-⊆I 上的指数凸性.证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有)2)()1()(21()1()(arccos )(arccos )()(232212x x x x x x x x f x x f ----+--=''+'=''+'--))1(()1(2322232----+--=x x x ))1(()1()1(2122232-----+--=x x x)))1((1()1(122212----+--=x x x当)1,1(-∈x 时，0)1(212<---x ，0)))1((1(122<--+-x x .所以0)))1((1()1()(arccos )(arccos )()(122212<--+--=''+'=''+'--x x x x x x x f x x f此时，函数x x f arccos )(=在区间)1,1(-⊆I 上是为指数凹函数.根据指数凹函数的定义3.1.1知，如果对I x x ∈∀21,和)1,0(∈λ，有)()1()()(21121x f x f x x f λλλλ-+≥-令31,,,321=∈λI x x x ，可以建立如下不等式3arccos arccos arccos arccos arccos arccos 3CB AC B A +≥++3.3 指数凸函数的Hadamard 不等式类比凸函数的Hadamard 不等式（定理2.2.5）我们可以得到指数凸函数的Hadamard 不等式.例3.3.1 设),0(],[+∞⊆b a ，函数)(x f 为],[b a 上连续的指数凸函数，则)(ln ln 1()(ln ln 1()(1)(1(1b f ab a b b a f a b a a b dx x f a b a b e f b a a b a b ---+---≤-≤⎰-]14[ （3-1） 证明：1）先来证明不等式的左边，由题意知，根据定积分的定义和函数)(x f 的指数凸性，有∑-+=-=∞→⎰n i n b a a b nia f n dx x f ab 1))((1lim )(1∏-+≥=∞→ni n n a b nia f 11))(((lim )(lim 1))(ln(1∑==-+∞→n i a b nia n n ef)(1))(ln(1∑==-+n i a b nia n ef)(ln 1⎰=-baxdx a b ef)(1(1ab a b ab e f -=故⎰-≤-baa b a b dx x f a b a b e f )(1))(1(1成立. 2）接下来证明不等式的右边.令λλλ-=1),,(y x y x F ，则有)()(1))(1,,(x x a b x a b F λλλ-=-，当],[b a x ∈时，则ab x b ab xb bax ln ln ln ln ln ln ln ln ----=即⎰⎰----=baab x b ab x b badx baf dx x f )()(ln ln ln ln ln ln ln lndx b f ab ax a f a b x b ba ))(ln ln ln ln )(ln ln ln ln (--+--≤⎰⎰⎰--+--=b a b a dx a x ab b f x b a b a f )ln (ln ln ln )()ln (ln ln ln )( )](ln ln [ln ln )()](ln ln [ln ln )(a b a b b b a b b f a b b a a a a b a f ----+-+--= )()()ln ln ()()(ln ln b bf b f ab a b a af a f a b a b +---+---= 所以))()()ln ln ()()(ln ln (1)(1b bf b f ab a b a af a f a b a b a b dx x f a b b a +---+----≤-⎰)(ln ln 1()()ln ln 1(b f ab a b b a f a b a a b ---+---= 故)(ln ln 1()(ln ln 1()(1b f ab a b b a f a b a a b dx x f a b b a ---+---≤-⎰成立.因此由以上1），2）可得当)ba，函数)f为](x⊆[+∞],0(,a上连续的指数凸函数时，则（3-1）式成立.]15[,[b结论几乎所有的分析类数学分支（实分析、泛函分析、测度论、凸分析等）,其理论框架的基础和出发点都是对函数、泛函、映射等赖以存在的集合或空间的研究,这一特点在凸分析中表现的尤为明显.在优化理论研究中,凸分析起到基石作用,凸分析以研究凸集为出发点,建立凸集与凸函数的密切联系,给出凸函数的一些结果及应用.本课题的研究方向为指数凸函数，研究内容可概括为凸函数的性质及应用与指数凸函数的性质及应用，二者之间存在着平行关系，是运筹学与控制论的一个研究分支.通过对相关文献的大量研究(见国内外研究现状) ，我们发现该方向的研究目前有如下特点：1.从应用层面上的指数凸函数,多属平行推广，论证方法和技巧仅仅是形式上的改变，并没在本质上的进行深入探讨.2.就目前对凸分析理化的研究虽然很深入，但是对于指数凸函数的研究，还没有形成专门的理论.3. 指数凸函数理论并不完善，关于指数凸函数及其相应的指数凸集的内在联系方面还没有形成一般性理论，基本上处于空白阶段,这在一定程度上制约了优化理论的发展.基于上述该方向的目前研究特点，并注意到凸分析等分析类数学分支的研究模式，为了给非凸优化问题的应用提供强有力的基础理论支撑,和新的发展动力，使之向着理论化和科学化方向持续发展，在已有凸函数理论和指数凸集的初步研究基础上，将指数凸函数与凸函数概念到性质有机地结合起来，开展二者的结构理论研究是十分必要和切实可行的.致谢从开始进入论文的开课到论文的顺利完成，整整经过了四个多月的时间.在这几个月里，有很多的老师、同学、朋友给了我无数的帮助，在这里我真心的谢谢他们！首先感谢我要感谢我的父母，是他们的辛苦劳作的血汗钱，和对我的教导才让我考上佳木斯大学.四年来对我的培养，是他们教会我学习方法、锻炼了我的思考能力，指明了我未来奋斗的方向，使我进一步明确人生的目标.其次，我要感谢我的指导老师-黄金莹老师，他严谨细致、一丝不苟的作风一直是我学习、工作中的榜样；黄老师循循善诱的教导和不拘一格的思路给与我无尽的启迪.在撰写整个毕业论文的过程中，黄老师为我们考虑到了每一个细节，尤其是在开题报告和毕业论文的拟定修改上，黄老师更是不厌其烦的为我们做好每一步的细心指导.没有黄老师，我的论文也不可能这么顺利的完成.最后，我要感谢每一位给过我帮助的老师和同学，在我撰写论文的过程中同样给了我大量有益的建议，再次向他们表示衷心地感谢，感谢他们对我的支持和帮助.肖坤2015年6月。
凸函数的性质及其应用研究论文
凸函数的性质及其应用研究摘要凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen [1905]著述中。
它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制学等学科的理论基础和有力工具。
凸函数的许多重要性质在数学的许多领域中都有着广泛的应用，但是它的局限性也很明显，所以研究凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。
考虑到凸函数的连续性，可导性及凸函数在不等式证明方面的应用和意义，本文结合现有文献给出了凸函数12种定义，总结了凸函数常用的性质;由于凸函数的定义是由不等式给出的，基于此，凸函数广泛应用于对某些特殊不等式的证明，本文探讨了它在证明Jensen不等式、一般不等式、Cauchy不等式、Holder不等式中的重要应用，并讨论了Jensen不等式，Cauchy 不等式，Holder不等式在证明其他不等式的应用。
关键词：凸函数，定义，性质，应用，不等式Properties and Applications of Convex FunctionAbstractConvex function is a kind of important function. The concept of the earliest can be found in Jensen’s [1905] writing. Convex function has applied in pure mathematics and many applied mathematics extensive fields. Now it become the foundation and powerful tool to study mathematical programming, theory of strategy, mathematical economics, calculus of variations and such disciplines as the optimal control theory. Many important properties of convex function have been widely used in many fields of mathematics application, but its limitations are also obviously. So the study of some definitions and properties of convex function is necessary. Considering the application and significance to prove inequality and the continuity and conductivity of convex function, this paper presents 13 kind definitions and summarizes the properties of convex function which are commonly used. Convex function are widely used in some special inequality proof, because of convex function is defined by the inequality. This paper discusses the important applications of convex function in proving Jensen inequality, general inequality, Cauchy inequality, Holder Inequality. The important applications of Cauchy inequality, Holder inequality and Jensen inequality to prove other inequalities are also discussed.Key Words: Convex function, definition, properties, applications, inequality目录中文摘要 (I)英文摘要 (Ⅱ)1 引言 (1)2凸函数的定义 (1)2.1凸函数的12种定义 (1)3 凸函数的性质 (4)3.1凸函数的常用性质 (4)4 凸函数的应用 (11)4.1凸函数在微分学中的应用 (11)4.2凸函数在积分学中的应用 (13)4.3利用凸函数和Jensen不等式证明不等式 (15)4.4利用凸函数证明Cauchy不等式 (17)4.5利用凸函数证明Holder不等式 (18)4.6利用凸函数证明一般不等式 (19)参考文献 (24)致谢 (25)1 引言凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen [1905]著述中。
凸函数与极值解读
哈尔滨学院本科毕业论文（设计）题目：凸函数与极值院（系）理学院专业数学与应用数学年级2009级姓名哦哦学号********指导教师啊啊啊职称副教授2013年月日毕业论文（设计）评语及成绩承诺书本人哦哦，哈尔滨学院理学院数学与应用数学专业 09—4 班学生，学号： 09031432 。
本人郑重承诺：本人撰写的毕业论文《凸函数与极值》，是个人的研究成果，数据来源真实可靠，无剽窃行为。
承诺人：董春年月日目录摘要 (1)Abstract (2)前言 (3)第一章凸函数的定义与性质 (4)1.1 一元凸函数的定义与性质 (4)1.1.1一元凸函数的定义 (4)1.1.2一元凸函数的性质 (4)1.1.3一元凸函数的判定 (7)1.2 多元凸函数的定义与性质 (9)1.2.1多元凸函数的定义 (9)1.2.2多元凸函数的性质 (10)1.2.3多元凸函数的判定 (10)第二章极值的定义与判别法 (14)2.1一元函数极值 (14)2.1.1一元函数极值的定义 (14)2.1.2一元函数极值的判定 (14)2.1.3可导凸函数极值问题 (15)2.1.4一般凸函数极值问题 (17)2.2 多元函数极值 (18)2.1.1多元函数极值的定义 (18)2.1.2多元函数极值的判定 (19)第三章凸函数与极值相关理论 (22)第四章利用凸函数求解极值问题 (24)4.1将极值问题转化为凸函数问题求解 (24)4.2弓形面积的最值 (26)参考文献 (30)后记 (31)摘要本文第一章对凸函数的定义及性质问题作了简单的阐述。
研究一元凸函数和多元凸函数的定义，性质及其判定；刻画了凸函数极值点的分布规律，并将所得的结果推广到可导严格凸函数和一般凸函数中。
第二章介绍了极值的定义与判别法，从一元极值的定义与判别法推出可导凸函数的极值问题以至推广到一般凸函数极值问题。
第三章介绍了凸函数与极值的相关理论为后续第四章的利用凸函数求解极值问题作了铺垫。
凸函数在设计中的应用
凸函数在设计中的应用凸函数是一种非常重要的数学概念，在很多领域中都有广泛的应用。
其中，设计领域是一个比较有代表性的应用场景。
在设计中，凸函数可以用来优化设计，提高设计效率，降低成本，增加设计的可靠性等方面。
本文将围绕着凸函数在设计中的应用展开讨论。
一、什么是凸函数？在进入凸函数在设计中的应用之前，我们首先需要了解凸函数这个数学概念。
凸函数是数学中很重要的一个概念，其定义可以简单描述为：如果一个函数的一条直线段在函数图像的下方，那么这个函数就是凸函数。
也就是说，如果对于函数f(x)，对于任意x1和x2，以及x1和x2之间的任意点x0，都有f(x0) ≤ (x2-x0)f(x1)/(x2-x1) + (x0-x1)f(x2)/(x2-x1)，那么这个函数就是凸函数。
凸函数的特点是很明显的：当x1和x2分别在函数图像的左右两边时，随着x值的增加，f(x)也会随之增加，而直线f(x1)+(x-x1)f'(x1)和f(x2)+(x-x2)f'(x2)的交点都在f(x)的下方，这也就意味着凸函数的每一个最小值都在函数的极值点处。
二、在设计领域中，凸函数可以被广泛应用，尤其是在优化设计和提高设计效率方面。
以下是凸函数在设计中的几个典型应用：1、曲线优化设计在曲线设计中，凸函数经常被用来进行优化设计。
凸函数可以描述曲面的“凸度”和“凹度”，因此可以帮助设计人员更好地把握曲面的几何特征，进而进行更准确的设计。
此外，凸函数还可以用来分析曲面的最大值和最小值，从而精准地进行优化设计，让整个设计更加具有可操作性。
2、全局优化设计凸函数还可以帮助设计人员进行全局优化设计。
全局优化设计是利用各种计算机辅助设计工具和模拟分析来确定最佳设计方案的过程。
在这个过程中，凸函数可以帮助设计人员对不同设计方案进行准确的比较，并选择出最优的设计方案。
此外，在全局优化设计中，凸函数还可以帮助设计人员对设计目标的多个维度进行统一的量化和优化，让整个设计更加高效。
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关于凸函数的研究摘要：凸函数是一类重要的函数，它在数学理论研究中涉及了许多数学命题的讨论证明和应用．本文由凸函数的定义出发，研究了凸函数的判定方法及其应用，得到了凸函数的许多重要性质，给出了凸函数的几个著名不等式（其中包括Jensen不等式、Hadamard 不等式以及一些初级不等式）及其应用，并讨论了凸函数在微分以及画函数图像中的应用．关键词：凸函数；不等式；应用；性质The study of convex functionAbstract: Convex function is an important function. In mathematics theory study it involves a lot of mathematical proposition’s discussion and proof.This article by a convex function definition, the determination of the convex function and its application, get many of the important properties of convex functions, convex functions give several famous inequalities (including Jensen inequality, Hadamard inequality and some elementary inequalities) and its application and discussed the convex function in the differentiation and function of the image in the application of paint.Key words: Convex function；Inequality；Application；Property目录第1章绪论 (1)1.1 凸函数研究的背景 (1)1.2 凸函数研究的意义 (1)第2章凸函数的定义及判定 (2)2.1 凸函数几种常见定义： (2)2.2 定义之间等价性的证明与探讨 (4)2.3 凸函数的判定定理 (7)第3章凸函数的性质 (10)3.1 运算性质 (10)3.2 分析性质 (12)3.3 其它性质 (14)第4章凸函数的应用 (15)4.1 凸函数在证明不等式中的应用 (15)4.1.1 凸函数基本不等式 (15)4.1.2 Jensen不等式 (15)4.1.3 Hadamard不等式 (16)4.1.4 凸函数在一般不等式证明中的应用 (17)4.1.5 凸函数在经典不等式证明中的应用 (19)4.2 凸函数在微分中的应用 (21)4.3 凸函数在画函数图像上的应用 (23)4.3.1 利用凸函数画函数图像的基本步骤 (23)4.3.2 凸函数在画函数图像上的实例 (23)结论 (26)参考文献 (27)致谢 (28)第1章绪论1.1 凸函数研究的背景在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进行寻求解决问题的途径．凸函数是一种性质特殊的函数，也是函数中一种应用比较广泛的函数，自21世纪初建立凸函数理论以来，凸函数这一概念已在许多数学分支得到了广泛应用（例如在数学分析，函数论，泛函分析，最优化理论等领域之中得到广泛应用并取得了较好效果）．凸函数的概念最早见于1905年Jenser的著作中．它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具．在函数图形的描绘和不等式证明推导方面，凸函数也具有十分重要的作用．1.2 凸函数研究的意义凸函数的定义最早是由Jenser给出．自建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用．凸函数涉及了许多数学命题的讨论证明和应用．例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中．应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数在现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用．由于凸函数具有较好的几何和代数性质，在数学规划中有着广泛的应用背景,一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出．数理经济学中，对于风险厌恶的度量，也可以表现为对效用函数凸性的选择，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了．另外，由于凸函数理论的广泛性，因此对于其理论的研究成果还有待进一步的深入和推广．第2章 凸函数的定义及判定大家都熟悉函数()2f x x =的图像，它的特点是：曲线2y x =上任意两点间的弧总在这两点连线的下方．我们可以下这样的定义：设()f x 在[],a b 上有定义，若曲线()y f x =在任意两点间的弧总位于连接该两点的直线之下，则称函数()f x 是凸函数． 上面的定义只是几何描述性的，为了便于凸函数的应用，用严格的式子分析定义凸函数是十分必要的．2.1 凸函数几种常见定义：定义2.1：设()f x 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点1x 、2x 和任意的()0,1λ∈总有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+- ()1 则称()f x 为I 上的凸函数．若把()1式中的“≤”变成“≥”，则称()f x 为I 上的凹函数．定义2.2：设()f x 在区间I 上有定义，若∀1x ，2x ∈I ，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭ ()2 则称()f x 为I 上的凸函数．例 指数函数()x x a ϕ=()0,1a a >≠是(),-∞+∞上的凸函数．不难验证，恒正的函数()x x a ϕ=()0,1a a >≠满足关系式:122x x ϕ+⎛⎫=⎪⎝⎭由指数函数的单调性可知，当12x x ≠时，必有()()12x x ϕϕ≠，再由不等式正数的几何平均值小于它们的算术平均值，()()122x x ϕϕ+<综合上述可得：()()121222x x x x ϕϕϕ++⎛⎫<⎪⎝⎭因此，()x x a ϕ=()0,1a a >≠是(),-∞+∞上的凸函数． 凸函数的几何特征如上图所示，1A ，2A 是凸函数()f x 上的两点，它们对应的坐标分别为()()111,A x f x ，()()222,A x f x 且12x x <，()12,x x x ∈，那么存在01λ<<，使得()121x x x λλ=+-，于是()()121f x x λλ+-是图中的A 点，而()()()121f x f x λλ+-是图中的B 点，B 点的位置在A 点的上方，也就是()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-．因此凸函数的几何意义就是，其函数上任意两点()()111,A x f x ，()()222,A x f x 之间弧段AB 位于弦AB 的下方．定义2.3：设()f x 在区间I 上有定义，若∀1x ，2x ，，n x ∈I ()2n ≥，总有 ()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭()3则称()f x 为I 上的凸函数．定义2.4：设函数()f x 在区间I 上有定义，()f x 称为I 上的凸函数，当且仅当：∀0i λ≥且11ni i λ==∑()1,2,i n =，∀1x ，2x ，，n x ∈I 有()11n ni i i i i i f x f x λλ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ ()4定义2.5：设函数()f x 在区间I 上有定义，()f x 称为I 上的凸函数，当且仅当：∀0i p ≥()1,2,i n =不全为零，∀1x ，2x ，，n x ∈I ，有()1111nni ii i i i n n i i i i p x p f x f p p ====⎛⎫ ⎪ ⎪≤⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ ()5 定义2.6：设函数()f x 在区间I 上有定义，()f x 称为I 上的凸函数，当且仅当：∀1x ，2x ， 3x ∈I ，且123x x x <<，有()()()()21312131fx f x f x f x x x x x --≤-- ()6定义2.7：设函数()f x 在区间I 上有定义，()f x 称为I 上的凸函数，当且仅当：∀1x ，2x ， 3x ∈I ，且123x x x <<，有()()()112233110121x f x x f x x f x ≤()7 上述定义中的“≤”若改成“<”，则称()f x 为区间I 上的严格凸函数．2.2 定义之间等价性的证明与探讨定理2.1：定义2.2与定义2.3等价．证明：“定义2.3 ⇒定义2.2”显然成立，在()3式中令2n =即得()2式．只要证明“定义2.2 ⇒定义2.3”．采用反向归纳法．1）由()2式知：当2n =时()3式成立．现证4n =时()3成立．事实上，∀1x ，2x ，，n x ∈I ，由()2式有3412341212342222422x x x x x x x x f f x x x x f f ++⎛⎫⎛⎫++⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎛⎫⎝⎭⎝⎭=≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭()()()()12344fx fx f x f x +++≤此即()3式当4n =时成立．一般地，对任意正整数k ，重复上面方法，应用()2式k 次，可知 ()()()12122222k kk k f x f x f x x x x f ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭这表明()3式对一切2k n =皆成立．2）（证明()3式对1n k =+成立时，必对n k =也成立）记12kx x x t k+++=，则12k kt x x x =+++，可得121k x x x tt k ++++=+．假若()3式对1n k =+成立，则有()()()()()121211k k f x f x f x f t x x x t f t f k k ++++++++⎛⎫=≤⎪++⎝⎭两边同乘以1k +，减去()f t ，最后除以k ，又12kx x x t k+++=，从而可得:()()()1212k k f x f x f x x x x f k k ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭此即()3式对n k =也成立．证毕． 定理2.2：定义2.1与定义2.2、2.3等价．证明：1）“定义2.1⇒定义2.2、2.3”．在()1式中令12λ=可得()2式成立，即定义2.1蕴含定义2.2，由定理2.1至定义2.2、2.3等价，故定义2.1也蕴含定义2.3．2）“定义2.2、2.3⇒定义2.1”．12,x x I ∀∈（若12x x =，()1式显然成立），不妨设12x x ≠，()0,1λ∀∈，先证()1式当λ为有理数()0,1mnλ=∈（m n <为正整数）时成立．事实上：()()()12121211mx n m x m m f x x f x x f n n n λλ+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()n-m 11221122+m m n m f x f x f x f x x x x x f n n-⎛⎫⎪+++++++++≤≤⎪ ⎪⎝⎭个个个个()()()()()121211m m f x f x f x f x n n λλ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭此即()0,1λ∈为有理数的情形得证．若()0,1λ∈为无理数，则存在有理数()0,1a λ∈()1,2,a =使lim a a λλ→∞=．注意到()121a x x λλ+-表示的点均是区间I 内部的点，由引理知()f x 在这些点处连续，从而 ()()()()()()()1212121l i m 1l i m 1a a a a a a f x x f x xf x x λλλλλλ→∞→∞+-=+-=+- 对于有理数()0,1a λ∈，利用上面的证明有()()()()()121211a a a a f x x f x f x λλλλ+-≤+- 此式中令a →∞取极限并联系上式，有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-此即()1式对任意无理数()0,1λ∈也成立．故定义2.2,2.3也蕴含定义2.1.证毕． 定理2.3：定义2.1与定义2.4、2.5 等价．证明:“定义2.4⇒定义2.1”只要在()4式中令2n =即得．“定义2.1⇒定义2.4”采用数学归纳法可证（定义2.4即为“Jensen 不等式”）．“定义2.4⇔定义2.5”明显，故定理2.3得证．定理2.4：定义2.1与定义2.6、2.7等价．证明：“定义2.1⇔定义2.6”，123,,x x x I ∀∈，且123x x x <<，令2131x x x x λ-=-，则()0,1λ∈，且()2311x x x λλ=+-，又由()1式知：()()()()()313111f x x f x f x λλλλ+-≤+- 即 ()()()32212133131x x x x f x f x f x x x x x --≤+-- 此式化简变得()6式故“定义2.1⇒定义2.6”成立．反之()0,1λ∀∈，12,x x I ∀∈，不妨设12x x <，令()0211x x x λλ=+-，则102x x x <<，从而由()6式并化简可得()1式也成立，故“定义2.6⇒定义2.1”也成立．注意到()6式与()7式只是公式的等价变形，所以“定义2.6⇔定义2.7”成立，于是定理得证．2.3 凸函数的判定定理利用凸函数的定义判别函数()x ϕ是否为凸函数，常常并不方便．因此需要建立一系列的便于应用的判别法．定理 2.5：若函数()x ϕ是区间[],a b 上的递增可积函数，则变动上限积分所定义的函数()()xa x t dt φϕ=⎰是[],ab 上的一个凸函数．证明：设12a x x b ≤≤≤，则()()()()12212112212222x xx x x x x x x x t dt t dt φφφϕϕ+++⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭⎰⎰由于()x ϕ是递增的，故()()12212112212222x x x x x x x x x x t dt t dt ϕϕϕ+++-⎛⎫≥⨯≥ ⎪⎝⎭⎰⎰ 从而得()()1212202x x x x φφφ+⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，这样，有定义2可知，()x ϕ是凸函数．定理2.6：设()x ϕ是区间I 上的可导函数，则下述论断相互等价： 1）()x ϕ是区间I 上的凸函数； 2）()x ϕ'是区间I 上的增函数；3）对区间I 上的任意两点12,x x ，有()()()()21121x x x x x ϕϕϕ'≥+-；证明：1）⇒2）在区间I 上的任意两点12,x x ()12x x <，对充分小的正数h ，由于1122x h x x x h -<<<+，则由定义2.6可知()()()()()()11212221x x h x xxh x hx x hϕϕϕϕϕϕ---+-≤≤-因()x ϕ是区间I 上的可导函数，令0h +→时可得()()()()211221x x x x x x ϕϕϕϕ-''≤≤-所以()x ϕ'是区间I 上的增函数．2）⇒3）在以12,x x ()12x x <为端点的区间上，用拉格朗日中值定理和()x ϕ'是区间I 上的增函数得： ()()()()()()2121121x x x x x x x ϕϕϕξϕ''-=-≥-移项后得()()()()21121x x x x x ϕϕϕ'≥+-，且当12x x >时仍可得到相同的结论．3）⇒1）任取区间I 上的任意两点12,x x ()12x x <,()3121x x x λλ=+-()01λ<<，由3）并利用()()13121x x x x λ-=--与()2321x x x x λ-=-得：()()()()()()()()1331333121x x x x x x x x x ϕϕϕϕλϕ''≥+-=+-- ()()()()()()()233233321x x x x x x x x x ϕϕϕϕλϕ''≥+-=+- 分别用λ和1λ-乘上述两式并相加．便得()()()()()()1231211x x x x x λϕλϕϕϕλλ+-≥=+- ()x ϕ是区间I 上的凸函数．定理2.7：若()x ϕ''在区间I 上存在，则()x ϕ在I 上成为凸函数的充分必要条件是：在I 上()0x ϕ''≥．证明：必要性，已知()x ϕ为凸函数，令122x x t +=，122x xh -=，并设12x x >因而0h >，这样就有()()()2t h t h t ϕϕϕ++-≤，即()()()20t h t h t ϕϕϕ++--≥．用反证法，假设()0t ϕ''<，由()()()lim2u t u t u t uϕϕϕ→'++-''=可知，存在0δ>，0h >，使得()()t u t u u ϕϕδ''+--<- ()0u h <≤另外，从()()()()()2dt u t u t t u t u duϕϕϕϕϕ''++--=+--⎡⎤⎣⎦知 ()()()2t u t u t ϕϕϕ++--是u 的减函数．但这函数当0u =时等于0．因此，()()()20t u t u t ϕϕϕ++--<．这与结论矛盾，因而()0x ϕ''≥充分性，两次应用Lagrange 中值定理有()()()h t x h x h ϕϕϕθ'+=++ ()01θ<<及 ()()()h x h x h ϕλθϕθϕθθ'''''+=++ ()01θ'<<， 从而 ()()()()2x h x hx h x h ϕϕϕθϕθθ''''+=+++ 再由 ()0x ϕ''≥ 得 ()()()x h x hxϕϕϕ'+≥+． 在上式中，令1x h x +=，122x x x +=及2x h x +=，122x xx +=得 ()()1212122x x x x x x ϕϕϕ+-⎛⎫⎛⎫'≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1221222x x x x x x ϕϕϕ+-⎛⎫⎛⎫'≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两式相加得()()1212202x x x x ϕϕϕ+⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭．故()x ϕ为凸函数．证毕．例 函数()ln x x x ϕ=在()0,+∞内是凸函数，因为()10x xϕ''=≥()0x >． 定理2.8： 若在区间I 上存在()x ϕ''，()0x ϕ''>，则()x ϕ在区间I 上是严格凸函数．第3章 凸函数的性质3.1 运算性质性质1：若函数()f x 和()g x 均为[],a b 上的凸函数，则函数()()f x g x +也为[],a b 的凸函数．证明：因()f x ，()g x 是凸函数，有定义可得，若对区间[],a b 上任意两点12,x x 和正数()0,1λ∈总有()()()()()121211g x x g x g x λλλλ+-≤+- 则 ()()()()()121f x g x h x h x x λλ+==+-()()()()()()121211f x f x g x g x λλλλ≤+-++-()()()()()11221fx g x f x g xλλ=++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()121h x h x λλ=+-即()()f x g x +为凸函数。