《理论力学》第十三章 达朗贝尔原理

§9-1
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达朗贝尔原理
在惯性系中：此时物体的运动是绝对运动，质点 系的绝对运动方程为
ma FR
惯性系中：
a
0 FR ma FR FI
ma a
FW
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§2 刚体动力学中的达朗贝尔原理
刚体为一个质点系，其上每一个 质点加上惯性力后，成为一个分布力 系，此力系应与刚体所受外力构成平 衡力系。 对于刚体，不必每点列平衡方程， 而是事先将惯性力系简化（主矢、主矩 ），用简化后的惯性力系与外力构成平 衡力系。
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设合力通过坐标为x,y，z的点则
FIi xi mi xi a mi xi x xc mi a FIi mi
因此惯性力的合力为过质心、大小为
m a ma
i
C
方向与加速度方向相反
二、刚体定轴转动
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ω α
FI C
3.平面运动刚体 （运动平面与刚体对称平面平行）
主矢: FI maC
主矩: M IC J C 注意质心加速度有法向与切向
(二）平面刚体
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向O点简化
主矢 FI m i a i m aC 主矩 M I O M O ( FI i )
ω α
MIO
O
FI C
aC
主矢和主矩作用在转动轴与对称平面相交的O点处
在对称面内向质心C简化
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主矢
FI maC
主矩 M Ic M IO MC FI n J O MC FI MC FI 0 J O FI oc J O mac oc
达朗贝尔原理
(动静法)
动力学问题
形式上
第十三章
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静力学问题
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达朗贝尔原理可将动力学问题从形式上转 化为静力学问题，根据平衡的理论来求解。 也称动静法。适用于非自由质点、质点系、 刚体、变形体
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FIi mi ai
FI mi ai maC
aC
α
a iCn aC aiC
M IC
以C为基点 ai aC aiCn aiCt FIi FIic FIin FIit MC ( FIit ) mi ri ri
ω α FI O
MIO

2

FIn a
C
FI C
J O m OC ( J O m OC ) J C
主矢和主矩作用在形心位置
2
aC
MIC C FI
三、平面运动刚体惯性力系的简化
（运动平面与刚体对称平面平行） 对质点i 主矢: 主矩:
M
称为质点的惯性力， 与加速度方向相反
a FN
F
FR
F FN FI 0
在质点运动的每一瞬时，如果在质点上加上惯性力， 则作用于质点的主动力、约束力与惯性力成平衡。此 为达朗贝尔原理
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质点实际上做加速运动，平衡是指数学形式上的平衡。 这样可根据静力学的平衡理论来求解动力学问题。
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向质心C简化的结果：

O
FI
FI ma C M IC J C
向杆端A简化的结果：
C
MIC
FI A
MIA
aC
FI ma C
M IA M IC
2 l l FI J C m J A 2 2 1 2
α
FI
＝
aC
+ FI
MIC
主矢 主矩
FI m i a i ma C M I C J C
另外，定轴转动是平面运动的一个特例，因此 也可以把惯性力系向质心简化，结论同上。
练习：质量为m，长l的均质杆OA该瞬时角速度为零， 角加速度为，试求将杆的惯性力系向A点简化的结 果。
可将空间惯性力系简化为在对称平面内的力系 （相当于将刚体压扁到对称平面内）
在对称面内向O点简化
主矢 FI FIi mi ai maC
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主矩 M IO
MO mi ii mi ii
1 2 ml 6

3
ml
例2: 约束均质杆（m,l）A端的绳索突然被剪断，试 求此时杆的角加速度α及O处约束力。 FI FOy 解： 1.运动分析 MIC 2.受力分析 注意加惯性力及惯性力偶 惯性力向质心简化
O
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FOx
O
C
A
mg
α
C A
ac
FI ma C
M I C J C
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3.平衡方程
FI FOy MIC FOx O
C
A
M Oi
Fiy FOy ma C mg 0 （2）
l J C ma C mg 0 （ ） 1 mg 2
惯性系中：
0 FR ma FR FI
达朗贝尔原理将动力学加速度问题形 式上转换成静力学中的平衡问题，也 叫动静法
ma a
FW
FI
一、质点的达朗贝尔原理
则有 F FN FI 0
记 FI ma
ma FR F FN F FN ma 0
对任意一个质点i m i a i FR i FI i m i a i 则 FR i FI i 0
在每一个质点上加上惯性力后，此质点平衡。
质点系的达朗贝尔原理
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显然，系统的任意部分（包括整体）也是平衡的。
FIx mx
FIy m y
采用直角坐标系，
FIz m z
FI m a FIn m a n
采用自然轴系
§1 达朗贝尔原理
FR m a 0 FI ma
FR FI 0
FR m a
一、刚体平动
对任意质点i FI i mi a
合力
z
FI FIi ri mi y
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FI mi a maC
r
o
合力作用位置
x
a
r FI ri FI i ri mi a
ri mi a rC m a rC FI
(一）刚体有与转 轴垂直的对称面
FIjn
l
j FIjt
z
z
结论：可将空间 惯性力系简化为 F i Iit 在对称平面内的 FIin ω 力系（相当于将 l α 刚体压扁到对称 O 平面内）
ω α
O
y x
y
x
二、定轴转动刚体惯性力系的简化
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mi i 2 J O
M O ( FIi ) MO FIi

α
O ρi MIO a C
ω
C i FI FIi FIin
故定轴转动刚体惯性力系简化为：
作用在转轴上，且与质心加速 度方向相反的惯性力FI=maC
在对称平面内，转向与角加速度方 向相反的惯性力偶MIO=JOα
Fix FOx 0 （3）
4.补充方程
FOx 0 ; FOy 3g 2l
Fra Baidu bibliotek1 mg ; 4
aC l / 2
例3: 约束均质杆A端的绳索突然被剪断，试求杆转 到任一位置时的角加速度 、角速度及O处约束力 FOy 解： 1.运动分析 FIτ A FOx O 2.受力分析 C M F ma M J F ma
J C
C FIi i FIic FIin
惯性力系的简化：
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1.平动刚体
FI maC
FIt O FIn a MIO C
惯性力通过刚体的质心
2.定轴转动刚体
(转轴与刚体对称面垂直) FI maC FI maC 主矢: 主矢: 或 主矩: M IO J O 主矩: M IC J C
对于一个质点系，其上每一个质点加上惯性 力后，这些力应与系统所受外力构成平衡力系。 平 Fi FNi FIi 0 解法同静力学一样。 衡 条 M 0 Fi M 0 FNi M 0 FIi 0 件
例1：质量m、长度l的均质杆，以匀角速度ω绕z轴 转动，试求θ角。 z 为简便起见，取杆在yz平面内 解： 1. 受力分析（画上杆所受外力）； 2. 运动分析（画上惯性力）；
(转轴与刚体质量对称面垂直) 在垂直于对称面任一直线AB上的各点 的加速度相等，它们的惯性力可以合 成为在对称面内的一个力FIi，
n FIi mi a FIi FIi
FIτ FIｎ
Mi是直线AB上所有各点的质量之和。 这样，原来由刚体各质点的惯性力组 成的空间力系，就可简化为在对称面 内的平面力系 刚体质量m,质心加速度aC,角速度 ω,角加速度α
惯性力
FI
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a
FR
如在质点上加上惯性力，则作用于质点上的“外力 (包括主动力与约束力)+惯性力”形式上构成平衡 力系 达朗贝尔原理
意义 加上惯性力后，将动力学问题转化为静力学问题 注意 惯性力只是一个工具。人为地加给质点，目 的用静力学方法解决动力学问题
结论：平动刚体的惯性力系合成为一个作用在质心
的惯性力
FI maC
一、平动刚体惯性力系的简化 对任意质点i FIi mi a 为同向平行力系
质点系的惯性力
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FI FIi mi a mi a ma
ω
α O
ri i
FIit
FIin
mi ri ri J O
O
若转轴过质心，则惯性力系 简化的结果仅为一力偶，其矩与 角加速度方向相反，MIC=JCα
FI
MIO
三、刚体平面运动
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MIC
aC
α
C
只考虑有对称平面，且对 称平面与运动平面平行的情况
O
η
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θ
mg
dFI A y
d 2 d FI ma y m sin l
3. 建立平衡方程：


η
ω
M Oxi
l l mg sin cos dFI 0 2 0 3g arccos 2 2 l