圆的标准方程
圆的标准方程
（3）过点(0，1)和点(2，1)，半径为 5 . 解：（3）设圆心坐标为(a，b)，则圆的方 程为(x－a)2+(y－b)2=5. 已知圆过点(0，1)和点(2，1)，代入圆的 方程得
a 2 (1 b) 2 5 (2 a ) 2 (1 b) 2 5
a1 1 解得 b1 1
三．确定圆的方程的方法和步骤 1．圆的标准方程中含有三个参变数，必 须具备三个独立的条件；才能定出一个圆 的方程，当已知曲线为圆时，一般采用待 定系数法求圆的方程。 2．求圆的标准方程的一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为 (x－a)2+(y－b)2=r2；
（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的
18.51 b r 2 2 (7.2 b) r
2 2 2
Hale Waihona Puke 解得 b 20.19 2 r 750.21
因此拱圆方程为x2+(y+20.19)2=750.21.
例4．已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以 P1P2为直径的圆的方程，并判断M(6，9) 和N(5，3)是在圆上、圆外，还是在圆内? 解：由已知得圆心坐标为C(5，6)，半径r 的平方为r2=10 所以圆的方程为(x－5)2+(y－6)2=10，
例3．赵州桥的跨度是37.02m，圆拱高 约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆方程。 解：如图，以AB的中点为原点，x轴通 过AB建立直角坐标系。 根据已知条件，B，C的坐 标分别为(18.51，0)，(0， 7.2)，设圆心的坐标为(0， b)，则圆的方程为x2+(y－ b)2=r2，
因为B，C都在圆上，所以它们的坐标满 足这个方程，于是得到方程组
4.1.1圆的标准方程
例3
ABC的三个顶点的坐标分别 是A（ 5， 1 ）
B（ 7， 3），C（
2， 8）， 求它的外接圆的方程 。
分析:不在同一条直线上的三点可以确定一 个圆,三角形有唯一的外接圆.
那么如何求圆的方程呢?
关键是求圆心坐标和半径! 一般可用待定系数法去求.即设出圆心坐 标和半径,利用已知条件列出相应的方程,通 过解方程组求出圆心坐标和半径.
所以圆心为C的圆的标准方程是
( x 3) ( y 2) 25
2 2
思考:求三角形外接圆的两种方法. 小结:本节课主要学习了圆的标准方程及 如何求圆的标准方程,还有点和圆的位置 关系.
4.1 圆的方程
4.1.1圆的标准方程
思考:什么样的点集叫做圆？ 平面上到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是 圆。定点就是圆心，定长就是半径。
Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝
一、建立圆的标准方程
求圆心为Ｃ（a ,b ），半径是r 的圆的方程。
如图（１），设M(x ,y )是 圆上任意一点，根据定义，点 Ｍ到圆心Ｃ的距离等于r ，所以 圆Ｃ就是集合 Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝
l
A O C B X
又圆心C在直线上,因此圆心C 是直线 l与l '的交点， 半径长等于CA 或CB。
解:因为A(1,1),B(2,-2),所以线段
l
A O C B X
AB的中点D的
坐标为
3 1 ( , ) 2 2
k AB
直线AB的斜率为
2 1 3 2 1
因此线段AB的垂直平分线l’的方程是
二、圆的标准方程的应用
例1写出圆心为A（ 2， 3）， 半径长等于5的圆 的方程， 并判断点M（ 5， 7），N（ 是否在这个圆上 。 5， 1）
圆的标准方程
解此方程组，得 a=2 , b=-3 , r2=25 所以， △ABC的外接圆的方程是 (x-2)2+(y+3)2=25
3.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2C的圆的标准方程。
4.求过圆x y r 上一点M(x0 ,y0 )的切线方程。
2.3.1 圆的标准方程
圆的定义：
平面内与定点距离等于定长的点的集合 (轨迹)是圆. 定点就是圆心, 定长就是半径. 怎样求出圆心是A(a,b),半径是r的圆 y 的方程?
圆的标准方程：
O
(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心是A(a,b), 半径是r
x
A
r
M
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
点M0在圆上 点M0在圆内 点M0在圆外
例题分析
例2、△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)， B(7,-3)，C(2,-8)，求它的外接圆的方程.
解：设的求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 (5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 根据题意，可得
2 2 2 (7 a ) (3 b) r (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2
求曲线方程的步骤
•1、选系 •2、取动点 •3、列方程 •4、化简
练习
4、圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2.
Y Y=X C(2,2) -2 X 0 C(-2,-2) -2 2
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
2 2 2
练习
5.已知圆满足(1)截y轴所得弦长为2.(2)被x轴分成两段 圆弧，其弧长之比为3：1.(3)圆心到直线L:x-2y=0的距离 5 为 ，求该圆的方程。 5
圆的标准式方程
圆的标准式方程圆是平面几何中常见的一种图形，具有许多独特的性质和特点。
在代数几何中，我们经常需要用方程来描述圆的性质和位置。
而圆的标准式方程就是一种常用的描述方法，它能够清晰地表达圆的位置、半径和中心点，是我们研究圆的重要工具之一。
首先，让我们来看一下圆的标准式方程是如何定义的。
对于平面上的一个圆，假设它的中心坐标为（a，b），半径为r，则圆的标准式方程可以表示为：(x a)² + (y b)² = r²。
在这个方程中，(x, y)表示平面上的任意一点的坐标，(a, b)表示圆的中心坐标，r表示圆的半径。
通过这个方程，我们可以清晰地描述出圆的位置和大小。
接下来，让我们来看一些具体的例子，来说明如何使用圆的标准式方程。
例1，求圆心坐标为（3，4），半径为5的圆的标准式方程。
根据圆的标准式方程的定义，我们可以直接写出方程：(x 3)² + (y 4)² = 5²。
化简得：(x 3)² + (y 4)² = 25。
这样，我们就得到了这个圆的标准式方程。
例2，已知圆的标准式方程为(x + 2)² + (y 1)² = 9，求圆的中心坐标和半径。
通过观察方程，我们可以直接得到圆的中心坐标为(-2, 1)，半径为3。
这是因为标准式方程中，圆心坐标为(-a, -b)，半径为r。
通过这两个例子，我们可以看到，圆的标准式方程可以很方便地描述圆的位置和大小，对于研究圆的性质和问题非常有用。
除了描述圆的位置和大小外，圆的标准式方程还可以用来解决一些与圆相关的问题，比如与直线的交点、切线方程等。
在代数几何和解析几何中，我们经常会遇到这样的问题，而圆的标准式方程可以为我们提供一个方便的工具，帮助我们解决这些问题。
总之，圆的标准式方程是描述圆的位置和大小的重要工具，它能够清晰地表达出圆的特点，方便我们进行进一步的研究和应用。
圆的一般方程如何化为标准方程公式
圆的一般方程如何化为标准方程公式圆是一个平面内到定点距离为定值的点的集合，那么圆的一般方程可以表示为：(x-a)²+ (y-b)²= r²其中，(a, b)是圆心坐标，r是圆的半径。
我们可以通过一些代数运算将圆的一般方程化为标准方程公式，即：(x-h)²+ (y-k)²= r²其中，(h, k)是圆心坐标。
具体方法如下：1. 将一般方程展开，得到：x²- 2ax + a²+ y²- 2by + b²= r²2. 将x²和y²的系数变为1，即将方程两边同时除以r²，得到：(x²- 2ax + a²)/r²+ (y²- 2by + b²)/r²= 13. 对于第一项，我们可以将x²- 2ax + a²写成(x - a)²的形式，即：(x - a)²= x²- 2ax + a²所以，我们可以将第一项化为：(x - a)²/r²4. 同理，对于第二项，我们可以将y²- 2by + b²写成(y - b)²的形式，即：(y - b)²= y²- 2by + b²所以，我们可以将第二项化为：(y - b)²/r²5. 将第三步和第四步的结果代入原方程，得到：(x - a)²/r²+ (y - b)²/r²= 16. 最后，将r²移到等号右边，即可得到标准方程公式：(x - a)²+ (y - b)²= r²因此，圆的一般方程可以通过一些代数运算化为标准方程公式，使得我们更方便地研究和理解圆的性质和特征。
圆的通用方程
圆的通用方程圆的通用方程圆是平面几何中的一种基本图形，它具有许多重要的性质和应用。
在数学中，圆可以用不同的方式来表示和描述，其中最常用的是通用方程。
一、圆的定义圆是一个平面上所有到定点距离相等的点构成的集合。
这个定点称为圆心，到定点距离称为半径。
半径相等的圆互相重合。
二、圆的标准方程在直角坐标系中，如果一个圆心坐标为(h,k)，半径为r，则这个圆可以表示为：(x-h)² + (y-k)² = r²这就是标准方程。
其中，(x,y)表示平面上任意一点的坐标。
三、通过图像理解通用方程通用方程也可以通过图像来理解。
假设有一个以原点为中心，半径为r 的圆，则它可以表示为：x² + y² = r²这个公式描述了所有到原点距离等于r的点构成的集合。
如果将原点移到(h,k)，则公式变成：(x-h)² + (y-k)² = r²这个公式描述了所有到(h,k)距离等于r的点构成的集合。
四、如何从通用方程求出其他参数？从通用方程可以求出圆的半径、圆心坐标和直径等参数。
具体方法如下：1. 半径：将通用方程中的r²提取出来，即可得到半径的值。
2. 圆心坐标：将通用方程展开，化简后得到形如x² + y² + Dx + Ey +F = 0的一般式方程。
然后，通过配方法，将它转化为(x - h)² + (y -k)² = r²的形式，即可得到圆心坐标(h,k)。
3. 直径：直径是圆上两点之间的最长距离。
因此，可以在通用方程中找到两个点，并计算它们之间的距离。
这个距离就是直径。
五、例题解析例题1：已知圆心坐标为(2,-3)，半径为5，求该圆的通用方程。
解：根据公式(x-h)² + (y-k)² = r²，代入已知数据可得：(x-2)²+ (y+3)² = 25这就是该圆的通用方程。
4.1.1 圆的标准方程
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典例透析
题型一 题型二 题型三
(2)(方法一)由题意,得线段 AB 的垂直平分线的方程为
3x+2y-15=0.
由
3������ + 2������-15 = 0, 解得 3������ + 10������ + 9 = 0,
������ = 7, ������ = -3.
所以圆心 C 的坐标为(7,-3).
求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即先求出圆 心的坐标和半径,再写出圆的标准方程.
②确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间的距离公式,
有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中 垂线的交点为圆心”等.
(2)待定系数法,步骤是:
①设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0); ②由条件列方程(组)解得a,b,r的值; ③写出圆的标准方程.
������
������
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-
5 2
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4.1.1 圆的标准方程
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题型一 题型二 题型三
题型二 求圆的标准方程
【例2】 求下列圆的标准方程: (1)圆心是(4,-1),且过点(5,2); (2)经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心C在直线l:3x+10y+9=0上. 解:(1)(方法一)由题意知圆的
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4.1.1 圆的标准方程
题型一 题型二 题型三
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【变式训练1】 已知点A(1,2)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求
圆的标准方程怎么求
圆的标准方程怎么求圆是平面几何中非常重要的一个图形，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
在学习圆的相关知识时，我们经常会遇到求圆的标准方程的问题。
那么，圆的标准方程怎么求呢？接下来，我将详细介绍圆的标准方程的求解方法。
首先，我们知道圆的标准方程一般形式为，(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆的半径。
要求圆的标准方程，我们需要知道圆心坐标和半径。
1. 已知圆心坐标和半径。
如果已知圆的圆心坐标为(a, b)，半径为r，那么圆的标准方程就可以直接写出来，(x-a)² + (y-b)² = r²。
举个例子，如果圆的圆心坐标为(2, 3)，半径为5，则圆的标准方程为，(x-2)² + (y-3)² = 25。
2. 已知圆上的三点坐标。
如果已知圆上的三点坐标为(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)，那么可以通过以下步骤求出圆的标准方程：步骤一，先求出中垂线的方程。
中垂线是过两点的直线，且与这两点的连线垂直。
通过已知的三点坐标，可以求出两条中垂线的方程。
步骤二，求出中垂线的交点。
解方程组，求出中垂线的交点，即圆心坐标。
步骤三，求出圆的半径。
利用已知的圆心坐标和任意一点的坐标，可以求出圆的半径。
步骤四，写出圆的标准方程。
根据已知的圆心坐标和半径，写出圆的标准方程。
3. 已知直径的两端点坐标。
如果已知圆的直径的两端点坐标为(x1, y1)，(x2, y2)，那么可以通过以下步骤求出圆的标准方程：步骤一，求出圆心坐标。
直径的中点即为圆心坐标。
步骤二，求出圆的半径。
利用已知的直径的两端点坐标，可以求出圆的半径。
步骤三，写出圆的标准方程。
根据已知的圆心坐标和半径，写出圆的标准方程。
通过上面的介绍，我们可以看到，求圆的标准方程的方法并不复杂。
只要掌握了圆心坐标和半径的求解方法，就可以轻松地写出圆的标准方程。
怎么求圆的标准方程
怎么求圆的标准方程针对小学生《怎么求圆的标准方程，小朋友们看过来》小朋友们，今天我们来一起学习怎么求圆的标准方程。
比如说，我们画了一个圆，圆心在纸上的(3, 4)这个点，然后圆的半径是 5。
那这个圆的标准方程怎么写呢？其实很简单哦！圆的标准方程是(x a)² + (y b)² = r² ，这里的 (a, b) 就是圆心的坐标，r 就是圆的半径。
那对于我们刚刚说的这个圆，a 就是 3，b 就是 4，r 是 5。
所以方程就是(x 3)² + (y 4)² = 25 。
就像我们搭积木一样，把数字放进去就搭好了这个方程的小房子。
小朋友们，是不是很有趣呀？《轻松学会求圆的标准方程》小朋友们，想象一下我们在纸上画了一个超级圆的圆。
那怎么知道这个圆的标准方程呢？比如说，有个圆的圆心在(2, 3)，半径是 4 。
我们有个神奇的公式哦，就是(x a)² + (y b)² = r² 。
这里的 a 就是圆心的横坐标 2，b 是纵坐标 3，r 是半径 4 。
那这个圆的标准方程就是(x 2)² + (y 3)² = 16 。
是不是像变魔术一样，一下子就知道啦！《小朋友也能懂的求圆标准方程秘籍》小朋友们，今天来一起探索求圆的标准方程的秘密！假设我们有个圆，它的圆心在(1, 1)，半径是 3 。
那怎么写出它的标准方程呢？别害怕，记住这个小魔法：(x a)² + (y b)² = r² 。
在我们的例子里，a 是 1，b 也是 1，r 是 3 ，所以方程就是(x 1)² + (y 1)² = 9 。
就像玩游戏一样，简单又有趣！《教小朋友求圆的标准方程》小朋友们，我们来做个好玩的数学游戏，学一学怎么求圆的标准方程。
比如说，有个圆的圆心在(4, 2)，半径是 6 。
我们有个神奇的办法哦！圆的标准方程是(x a)² + (y b)² = r² 。
圆的一般方程,标准方程,参数方程总结
1. 圆的标准方程1、已知圆心为),(b a C ，半径为r ， 如何求的圆的方程？运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：222)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程 ：222)()(r b y a x =-+-若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是222r y x =+3、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要r b a ,,三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定r b a ,,，可以根据条件，利用待定系数法来解决三、讲解范例：例1 求以C(1,3)为圆心，并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程例2已知圆的方程222r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程例3．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程例4．一圆过原点O 和点(1,3)P ，圆心在直线2y x =+上，求此圆的方程例5．已知一圆与y 轴相切，在直线y x =上截得的弦AB 长为，圆心在直线30x y -=上，求此圆的方程．2. 圆的一般方程1．圆的一般方程将标准方程222()()x a y b r -+-=展开，整理，得22222220x y ax by a b r +--++-=，将①配方得：22224()()224D E D E F x y +-+++=． ② 把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：（1）当2240D E F +->时，方程①表示以(,)22D E --为半径的圆；（2）当2240D E F +-=时，方程①表示一个点(,)22D E --； （3）当2240D E F +-<时，方程①不表示任何图形．结论：当2240D E F +->时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程形式上的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，且不等于0； （2）没有xy 这样的二次项．以上两点是二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件，但不是充分条件．充要条件是？（A=C ≠0，B=0，0422>-+FA E D ）说明：1、要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数D 、E 、F 就可以了．2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点？（圆的标准方程：有利于作图。
圆的标准方程和一般方程
圆的标准方程和一般方程圆是平面上一组点的集合，这些点到圆心的距离都相等。
圆的标准方程和一般方程是表示圆的两种常用方程形式。
下面将详细介绍这两种方程。
一、圆的标准方程：这个方程的意思是，平面上的一个点(x,y)在圆上，当且仅当这个点到圆心的距离等于半径。
由标准方程可以得到一些重要的信息：1.圆心：方程中的(h,k)给出了圆的圆心坐标。
将方程与标准形式进行比较，可以直接读出圆心的坐标。
2.半径：方程中的r表示圆的半径。
半径是圆心到圆上任意一点的距离，由标准方程可以直接得到半径的值。
3.圆的性质：根据标准方程的形式，可以得出以下性质：（1）所有满足标准方程的点都在圆上；（2）圆心到圆上任意一点的距离都等于半径；（3）与圆心距离相等的两个点在圆上的切线互相垂直。
二、圆的一般方程：圆的一般方程是一种更一般化的圆的代数方程形式，通常写作Ax²+Ay²+Dx+Ey+F=0。
其中A、B、D、E、F都是实数，并且A和B不能同时为0。
这个方程的意思是，平面上的一个点(x,y)在圆上，当且仅当它满足这个方程。
一般方程与标准方程之间的转换：1.一般方程转换为标准方程：要将一般方程转换为标准方程，需要完成以下步骤：（1）将方程展开，同时移动所有项到等号右侧，得到形如Ax²+Ay²+Dx+Ey=-F的方程；（2）提取x和y的系数，得到形如A(x²+y²)+Dx+Ey=-F的方程；（3）将x²+y²用标准形式替代，即(x-h)²+(y-k)²=r²；（4）与一般形式进行比较，解得圆心坐标和半径。
2.标准方程转换为一般方程：要将标准方程转换为一般方程，需要完成以下步骤：（1）将标准方程展开，得到形如(x-h)²+(y-k)²=r²的方程；（2）将方程中的平方项进行拆分，得到形如x² - 2hx + h² + y² - 2ky + k² = r²；（3）将常数项合并，得到形如x² + y² - 2hx - 2ky + (h² + k² - r²) = 0；（4）与一般形式进行比较，解得一般方程的系数A、B、D、E和F。
圆的标准方程
几何法
平面内，直线与圆的位置关系判断一般方法是： 1.由，可得，（其中B不等于0），代入，即成为一个关于x的一元二次方程。利用判别式的符号可确定圆与 直线的位置关系如下： 如果，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 如果，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 如果，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。 2.如果B=0即直线为，即，它平行于y轴（或垂直于x轴），将化为。令y=b，求出此时的两个x值，并且规定， 那么： 当或时，直线与圆相离； 当时，直线与圆相交； 在直角坐标系中，圆的标准方程为： ;
感谢观看
方程推导
在平面直角坐标系中，设有圆O，圆心O(a,b)点P(x,y)是圆上任意一点。 圆是平面到定点距离等于定长的所有点的集合。 所以。 两边平方，得到。
点与圆
点P（x1,y1)与圆的位置关系： ⑴当时，则点P在圆外。 ⑵当时，则点P在圆上。 ⑶当时，则点P在圆内。
直线与圆
代数法
位置关系
=> =>圆心坐标为
如果直线方程，圆的方程为,将直线方程代入圆的方程，消去y，得关于x的一元二次方程,那么： a.当△<0时，直线与圆没有公共点； b.当△=0时，直线与圆相切； c.当△>0时，直线与圆相交。
求出圆心到直线的距离d，半径为r： d>r，则直线与圆相离； d=r，则直线与圆相切； d<r，则直线与圆相交。
两圆位置关系
若两圆的方程分别为C1：，C₂： ： 则两圆外离 ； 两圆外切 ； 两圆相交 ； 两圆内切 ； 两圆内含.
一般式
此方程可用于解决两圆的位置关系： 配方化为标准方程：， 其圆心坐标：， 半径为， 此方程满足为圆的方程的条件是:。 若不满足,则不可表示为圆的方程。 已知直径的两个端点坐标A(m，n)、B(p，q)设圆上任意一点C(x，y)。则有：；可推出方程：再整理即可得 出一般方程。
圆的标准方程
圆的标准方程◆ 圆的标准方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。
定点是圆心，定长是圆的半径2、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=推导过程：设圆心坐标(,)C a b ，半径为r ，圆上任意点坐标为(,)M x y ，则||MC r =由22()()x a y b r -+-=，两边平方得：222()()x a y b r -+-=……①①即为圆的标准方程，圆心(,)C a b ，半径为r 如果圆心在坐标原点，则0,0a b ==，∴222x y r += 考点：点与圆的位置关系如果点00(,)M x y 在圆222()()x a y b r -+-=上，则22200()()x a y b r -+-=如果点00(,)M x y 在圆222()()x a y b r -+-=外，则22200()()x a y b r -+-> 如果点00(,)M x y 在圆222()()x a y b r-+-=内，则22200()()x a y b r -+-< 3、求圆的标准方程例1、（1）圆心在点(2,1)C -，并过点(2,2)A -（2）圆心在点(1,3)C ，并与直线3460x y --=相切（3）过点(0,1)和点(2,1)，半径为5例2、求过点(6,0)A ，(1,5)B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上的圆的方程。
例3、求与两坐标轴都相切，且圆心在直线2350x y -+=上的圆的标准方程。
◆ 课堂练习1、圆22(8)(8)10x y ++-=的圆心为 ，半径为 。
2、圆心为(2,3)C -且经过原点的圆的方程为___________________。
3、经过(0,0)，圆心在x 轴负半轴上，半径等于5的圆的方程________________。
4、已知一圆的圆心为点(2,3)A -，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，求圆的方程____________________。
圆的方程公式一般式
圆的方程公式一般式
圆是数学中的一个重要概念，它具有许多独特的性质和特点。
圆的方程公式一般式为x^2 + y^2 = r^2，其中(x, y)是圆上任意一点的坐标，r是圆的半径。
圆的美妙之处在于它的完美对称性和无限延伸性。
无论我们从哪个角度观察，圆都是一样的，没有任何尖锐的边缘或角落。
这种和谐的形状给人一种安心和宁静的感觉。
在自然界中，我们可以看到许多圆形的事物。
例如，太阳是一个巨大的圆形物体，它给我们带来温暖和光明。
月亮也是一个圆形的天体，它的光芒在黑暗的夜空中照亮了我们的世界。
圆也在人类的日常生活中扮演着重要角色。
例如，我们常见的钟表就是圆形的，它帮助我们记录时间，让我们能够高效地组织我们的生活。
轮胎也是圆形的，它们给汽车提供了平稳的行驶和舒适的乘坐体验。
除了实际应用，圆也在艺术领域中得到了广泛的运用。
许多艺术家喜欢使用圆形来表达他们的创作理念。
圆的柔和曲线和无限延伸的特性使得它成为了许多优美画作和雕塑的主题。
总的来说，圆作为一个数学概念和几何形状，具有丰富的内涵和广泛的应用。
它不仅存在于自然界和我们的日常生活中，还在艺术中扮演着重要角色。
圆给人一种和谐、完美和平静的感觉，让我们感
受到宇宙中的秩序和美丽。
无论是在数学上还是在现实生活中，圆都是一种令人赞叹的形状。
圆的标准方程
4.1圆的标准方程
4.1圆的标准方程
例3 求过点A（1，-1），B（-1,1）且圆心在直线
x+y-2=0上的圆） 解：
已知圆心在直线x+y-2=0上，可得b=a-2即圆心为（a,a-2） 则圆的方程为(x-a)2+(y-a+2)2= r2 将A（1，-1），B（-1,1）带入圆方程 a=1 (a-1)2+(2-a+1)2= r2 r=2 (a+1)2+(2-a-1)2= r2
(2)经过点P (5,1)，圆心在点C (8，-3) (x-8)2+(y+3)2=25 (3)已知O(0,0)，A(6,8),以OA为直径的圆 (x-3)2+(y-4)2=25
中点坐标 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y 2 )的 中点坐标为
4.1圆的标准方程
（
x1 y1 x2 y2 ， ） 2 2
4.1圆的标准方程
例1： 求下列圆的圆心和半径
（1）(x-1)2+(y-1)2=1
（2）x2+(y+4)2=7
圆心（1,1），半径为1
（3）(x+1)2+(y+2)2= m2(m≠0)圆心（-1,-2），半径为|m|
4.1圆的标准方程
练习1 写出下列圆的方程
(1)圆心在原点,半径为3。 x2+y2=9
圆的标准方程
人教必修二 4.1节
圆的定义？
4.1圆的标准方程
平面上到定点的距离等于定长的所有点组 成的图形叫做圆。
圆的定义：平面内与一定点的距 离为定长的点的轨迹（或集合） 称为圆。
最全面的圆的方程
圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。
3、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。
圆的标准方程
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得： 把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
圆的标准方程
说出下列圆的圆心坐标和半径长： 练习 说出下列圆的圆心坐标和半径长： 2 2 ⑴ ( x −3 ) + ( y + 2 ) = 4 ; 答：⑴圆心 (3,−2),半径为2； ⑵ ( x+4) ⑶ x
(1) 圆心为 圆心为C(a,b)，半径为 的圆的标准方程为 ，半径为r (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此 三个参数， 必须具备三个独立的条件 三个独立的条件才能确定圆 必须具备三个独立的条件才能确定圆
1 20
（3）x2+y2 = ）
（2）x2+(y+3)2=25 ）
（4） x2+(y-2)2 = 1 ）
(6，0)， (1，5)， 例3．求过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心 +8=0上的圆的方程 上的圆的方程。 在直线l：2x－7y+8=0上的圆的方程。 解法1. 解法1. 直线AB的斜率k= －1，所以AB的垂直平分 的斜率为1 线m的斜率为1，
m
l
得
x = 3 y = 2
C
A
所以圆心的坐标是C(3，2)，半径 ， ， 所以圆心的坐标是 r=|CA|= 13， 所以圆的方程是(x－ 所以圆的方程是 －3)2+(y－2)2=13. －
解法2. 设所求的圆的方程为(x－ 解法 设所求的圆的方程为 －a)2+(y－ － b)2=r2，由题意得
(1，3)，并与直线3 （2）圆心在点C(1，3)，并与直线3x－4y－6=0 相切； 相切； 6=0是所求圆的切 解：（2）因为直线3x－4y－6=0是所求圆的切 ：（2 因为直线3 所以圆心到这条直线的距离等于半径， 线，所以圆心到这条直线的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式， 根据点到直线的距离公式，得
圆的标准式方程
圆的标准式方程圆是平面上一点到另一点的距离恒定为半径的闭合曲线。
在数学中，我们经常会遇到圆的相关问题，比如求圆的面积、周长，或者给定某些条件，求圆的方程。
本文将围绕圆的标准式方程展开讨论。
首先，我们来看一下圆的定义。
圆是平面上所有到圆心的距离都等于半径的点的集合。
圆的圆心通常用字母O表示，半径通常用字母r表示。
根据勾股定理，圆上任意一点的坐标为（x，y），圆心的坐标为（a，b），则有：(x a)² + (y b)² = r²。
这就是圆的标准式方程。
在这个方程中，（a，b）表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
通过这个方程，我们可以方便地求解圆的相关问题。
接下来，我们来看一些应用例题。
比如，已知圆心坐标为（2，3），半径为5，求圆的标准式方程。
根据上面的公式，代入圆心坐标和半径，可以得到：(x 2)² + (y 3)² = 25。
这就是所求的圆的标准式方程。
通过这个方程，我们可以方便地求解圆的面积、周长等问题。
除了求解圆的标准式方程，我们还可以利用这个方程来判断点的位置关系。
比如，已知一个点的坐标为（4，5），判断这个点是否在上面所求的圆内。
将点的坐标代入圆的标准式方程，如果等式成立，则说明这个点在圆内；如果不成立，则说明这个点在圆外。
此外，我们还可以利用圆的标准式方程来求解与其他几何图形的位置关系。
比如，已知一个直线方程为2x + 3y = 6，判断这条直线与上面所求的圆的位置关系。
将直线方程化为标准式方程，然后与圆的标准式方程联立，可以求解出它们的交点，进而判断它们的位置关系。
总之，圆的标准式方程在数学中有着广泛的应用。
通过这个方程，我们可以方便地求解圆的相关问题，判断点的位置关系，以及求解与其他几何图形的位置关系。
希望本文能够对你有所帮助，谢谢阅读！。
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|CM|＝ r，
由距离公式，得
O
x
( x a ) 2 ( y b) 2 r ，
将上式两边平方，得
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
这个方程叫做以点C (a,b)为圆 心，以r为半径的圆的标准方程。
思考 当圆心为坐标原点O(0,0)时，半径为r的圆的标准方程 如何表示：
2 2 2 x +y =r
圆
直线
直线 圆
8.4.1 圆的标准方程
初中学过的圆的定义是什么？ 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹．
A
半径
O
圆心
定点叫做圆心，定长叫做半径．
如何求以 C(a，b)为圆心，以 r 为半径的圆的方程？
y r C
设 M(x，y)是所求圆上任意一点，
M（x，y） 点 M 在பைடு நூலகம் C 上的充要条件是
练习一：说出下列圆的方程
（1）以 C（1，－2）为圆心，半径为 3 的圆的方程； 答案： （1）(x－1)2＋(y＋2)2＝9；
练习二：说出下列圆的圆心及半径： （2） (x－2)2＋y2＝9;
（3）x2＋y2＝1.
例 1 求过点 A(6，0)，且圆心 B 的坐标为(3，2)的
圆的方程．
解：因为圆的半径 r＝|AB|＝
教材
P 65 练习 第1题； P65练习 第 2题（选做）．
(3 6) 2 ( 2 0) 2 13，
所以所求圆的方程是 (x－3)2＋(y－2)2＝13．
例2 求以直线 x－y＋1＝0 和 x＋y－1＝0 的交点为圆心， 半径为2 的圆的方程．
x y 1 0 解：由方程组 x y 1 0
解得：
x 0 y 1
所以所求圆的圆心坐标为 (0，1)， 因此所求圆的方程为 ： x2＋(y－1)2＝4．
（1）求圆心 B 的坐标为(1，－2) ，半径为3的圆
的方程；
（2）求以直线 x－y＝0 和 x＋y＝1 的交点为圆心， 半径为 4 的圆的方程．
圆的标准方程
以 C(a，b) 为圆心，以 r 为半径的圆的标准方程： (x－a)2＋(y－b)2＝r2