人教版八年级数学上册 【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习(解析版)

人教版八年级数学上册【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习（解析版）

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．如图，在ABC

△中，已知AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC

=，延长BE交AC于点F，求证：AF EF

=．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

延长

AD到点G，使得AD DG

=，连接BG，结合D是BC的中点，易证△ADC和

△GDB全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF.

【详解】

如图，延长AD到点G，延长AD到点G，使得AD DG

=，连接BG．

∵AD是BC边上的中线，

∴DC DB

=．

在ADC和GDB

△中，

AD DG

ADC GDB

DC DB

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

（对顶角相等），

∴ADC≌GDB

△（SAS）．

∴CAD G

∠=∠，BG AC

=．

又BE AC

=，

∴BE BG

=．

∴BED G ∠=∠．

∵BED AEF ∠=∠

∴AEF CAD ∠=∠，即AEF FAE ∠=∠

∴AF EF =．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.

2．（1）如图①，D 是等边△ABC 的边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边，在BC 上方作等边△DCF ，连接AF ，你能发现AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；

（2）如图②，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；

（3）Ⅰ.如图③，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方和下方分别作等边△DCF 和等边△DCF ′，连接AF ，BF ′，探究AF ，BF ′与AB 有何数量关系？并证明你的探究的结论；

Ⅱ．如图④，当动点D 在等边△ABC 的边BA 的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．

【答案】（1）AF =BD ，理由见解析；（2）AF 与BD 在（1）中的结论成立，理由见解析；（3）Ⅰ. AF +BF ′=AB ，理由见解析，Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF =AB +BF ′，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）由等边三角形的性质得BC =AC ，∠BCA =60°，DC =CF ，∠DCF =60°，从而得∠BCD =∠ACF ，根据SAS 证明△BCD ≌△ACF ，进而即可得到结论；

（2）根据SAS 证明△BCD ≌△ACF ，进而即可得到结论；

（3）Ⅰ．易证△BCD ≌△ACF （SAS ），△BCF ′≌△ACD （SAS ），进而即可得到结论；Ⅱ．证明△BCF ′≌△ACD ，结合AF =BD ，即可得到结论．

【详解】

（1）结论：AF =BD ，理由如下：

如图1中，∵△ABC 是等边三角形，

∴BC =AC ，∠BCA =60°，

同理知，DC =CF ，∠DCF =60°，

∴∠BCA -∠DCA =∠DCF -∠DCA ，即：∠BCD =∠ACF ，

在△BCD 和△ACF 中，

∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩

，

∴△BCD ≌△ACF （SAS ），

∴BD =AF ；

（2）AF 与BD 在（1）中的结论成立，理由如下：

如图2中，∵△ABC 是等边三角形，

∴BC =AC ，∠BCA =60°，

同理知，DC =CF ，∠DCF =60°，

∴∠BCA +∠DCA =∠DCF +∠DCA ，即∠BCD =∠ACF ，

在△BCD 和△ACF 中，

∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩

，

∴△BCD ≌△ACF （SAS ），

∴BD =AF ；

（3）Ⅰ．AF +BF ′=AB ，理由如下：

由（1）知，△BCD ≌△ACF （SAS ），则BD =AF ；

同理：△BCF ′≌△ACD （SAS ），则BF ′=AD ，

∴AF +BF ′=BD +AD =AB ；

Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF =AB +BF ′，理由如下：

同理可得：BCF ACD ∠=∠′，F C DC =′，

在△BCF ′和△ACD 中，

BC AC BCF ACD F C DC =∠⎧⎪=∠=⎪⎨⎩

′

′， ∴△BCF ′≌△ACD （SAS ），

∴BF ′=AD ，

又由（2）知，AF =BD ，

∴AF =BD =AB +AD =AB +BF ′，即AF =AB +BF ′．

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质定理，是解题的关键．

3．数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：