离散数学测验题--图论部分(优选.)

离散数学图论单元测验题

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

1、在图G ＝中，结点总度数与边数的关系是( )

(A) deg(v i )=2∣E ∣ (B) deg(v i )=∣E ∣ (C)∑∈=V v E v 2)deg( (D) ∑∈=V

v E v )deg(

2、设D 是n 个结点的无向简单完全图，则图D 的边数为( )

(A) n (n －1) (B) n (n +1) (C) n (n －1)/2 (D) n (n +1)/2

3、 设G ＝为无向简单图，∣V ∣=n ，∆(G )为G 的最大度数，则有

(A) ∆(G )n (D) ∆(G )≥n

4、图G 与G '的结点和边分别存在一一对应关系，是G ≌G '(同构)的( )

(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件

5、设},,,{d c b a V =，则与V 能构成强连通图的边集合是( )

(A) },,,,,,,,,{><><><><><=c d b c d b a b d a E

(B) },,,,,,,,,{><><><><><=c d d b c b a b d a E

(C) },,,,,,,,,{><><><><><=c d a d c b a b c a E

6、有向图的邻接矩阵中，行元素之和是对应结点的( )，列元素之和是对应结点的(

) (A)度数 (B) 出度 (C)最大度数 (D) 入度

7、设图G 的邻接矩阵为

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100000100

则G 的边数为( )．

A ．5

B ．6

C ．3

D ．4

8、设m E n V E V G ==>=<,,,为连通平面图且有r 个面，则r ＝( )

(A) m －n +2 (B) n －m －2 (C) n +m -2 (D) m +n +2

9、在5个结点的二元完全树中，若有4条边，则有 ( )片树叶。

(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 4

10、图2是( )

(A) 完全图 (B)欧拉图 (C) 平面图 (D) 哈密顿图

二、填空题(本大题共10小题，每题2分，共20分)

1、设图G ＝和G '＝,若 ，则G '是G 的真子图，若 ，则G '是G 的生成子图.

2、设G 是完全二叉树，G 有15个结点，其中有8个是树叶，则G 有 条边，G 的总度数是 ，G 的分支点数是 ，G 中度数为3的结点数是 .

3、一棵树有两个结点度数为2，一个结点度数为3，三个结点度数为4，问它有几个度数为1的结点。

4、画出满足下列条件的图：

(1) 画一个有一条欧拉回路和一条哈密顿回路的图；

(2) 画一个有一条欧拉回路，但没有哈密顿回路的图；

(3) 画一条没有欧拉路，但有一条哈密顿回路的图.

5、设G 是n 个结点的简单图，若G 中每对结点的度数之和 ，则G 一定是哈密顿图.

6、一个有向树T 称为根树，若 ，其中 称为树根，

称为树叶.

7、设G 是平面图，G 有8个面，每个面的度数都是3，则G 有__________条边，G 有__________个顶点。

8、设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，要确定G 的一棵生成树，必须删去G 的 条边.

9、在下图中，哪些是欧拉图？哪些是哈密顿图？哪些是平面图？

（1）

（2）

10、设G 是n 阶无向带权边连通图，各边的权均为a(a>0),设T 是G 的一棵最小生成树，则T 的权W(T)=________（n-1）*a_______________。

三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分)

1、设G ＝是一个无向图，},,...,,{821v v v V =

)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(87434551133221v v v v v v v v v v v v v v E =

(1) G ＝的∣V ∣，∣E ∣各是多少？ (2) 画出G 的图示；

(3) 指出与v 3邻接的结点，以及与v 3关联的边； (4) 指出与e 1关联的结点；

(5) 该图是否有孤立结点和孤立边？ (6) 求出各结点的度数；

2、设图G 是具有3个顶点的无向完全图，试问

(1) G 有多少个子图？ (2) G 有多少个生成子图？

(3) 如果没有任何两个子图是同构的，则G 的子图个数是多少？将它们构造出来.

3．图G =，其中V ={a , b , c , d , e , f }，E ={(a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (d , e ), (d , f ), (e , f )}，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8．

（1）画出G 的图形；

（2）写出G 的邻接矩阵；

（3）求出G 权最小的生成树及其权值．

4．设有一组权为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,试

（1）画出相应的最优二叉树；

（2）计算它们的权值．

四、证明题(本大题共3小题，任选2题，每小题10分，共20分)

1．若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．

2．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于2的奇数．证明图G 与它的补图G 中的

奇数度顶点个数相等．

3．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加

2

k 条边才能使其成为欧拉图．