浙江省春晖中学2020学年第一学期高三年级9月考试数学试题
2019-2020学年浙江省名校联盟高三(上)9月月考数学试卷-解析版
2019-2020学年浙江省名校联盟高三（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）（2019•浙江模拟）已知全集{|0}U x x =…，{|1}A x x =…，则(U A =ð ) A ．ϕB ．{|1}x x <C ．{|01}x x <…D ．{|0}x x …【解答】解：{|0}U x x =…，{|1}A x x =…； {|01}U A x x ∴=<…ð． 故选：C ．2．（4分）（2019•浙江模拟）双曲线2214y x -=的焦距是( )A B ．CD ．【解答】解：双曲线2214y x -=的焦距为：2c ==．故选：D ．3．（4分）（2019•浙江模拟）已知i 是虚数单位，则复数2ii+的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：(2)122(2)(2)55i i i i i i i -==+++-， 其共轭复数为1255i -，对应的点为1(5，2)5-，在第四象限．故选：D ．4．（4分）（2019•浙江模拟）已知实数x ，y 满足()(2)01x y x y x -+⎧⎨⎩……，则2(x y - )A ．有最小值，无最大值B ．有最大值，无最小值C ．有最小值，也有最大值D ．无最小值，也无最大值【解答】解：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示． 设2x y z -=，则2y x z =-，z 表示直线在y 轴上的截距的相反数．平移直线2y x z =-，可得当直线过点A 时z 取得最小值， z 没有最大值．故选：A ．5．（4分）（2019•浙江模拟）已知平面α，β，直线m ，n ，若αβ⊥，l αβ=，m α⊂，n β⊂，则“m n ⊥”是“m ，n 中至少有一条与l 垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：先判断充分性，当m n ⊥时，假设m ，n 都不与l 垂直． 在平面α内作了l 的垂线m '，由αβ⊥可得m β'⊥，则m n '⊥． 由m l '⊥，m 不垂直于l 可得m '与m 相交． 由m n '⊥，m n ⊥， 可得n α⊥．所以n l ⊥，得出矛盾． 所以当m n ⊥时，可以推出m ，中至少有一条与l 垂直， 即充分性成立． 再判断必要性，当m ，n 中至少有一条与l 垂直时， 不妨设m l ⊥， 由αβ⊥可得m β⊥， 所以m n ⊥， 即必要性成立．综上所述，“m n ⊥”是“m ，n 中至少有一条与l 垂直”的充要条件．故选：C ．6．（4分）（2019•浙江模拟）已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则(E ξ= ) A ．145B ．135C ．73 D ．83【解答】解：ξ的可能取值为2，3，4．2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故339(2)5525P ξ==⨯=． 3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故322312(2)555525P ξ==⨯+⨯=． 4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故224(2)5525P ξ==⨯=． 所以9124142342525255E ξ=⨯+⨯+⨯=． 故选：A ．7．（4分）（2019•浙江模拟）已知22log (2)log (1)1a b -+-…，则2a b +取到最小值时(ab =) A ．3B ．4C ．6D ．9【解答】解：根据题意，22log (2)log (1)1a b -+-…，则有2010a b ->⎧⎨->⎩， 若22log (2)log (1)1a b -+-…，则有(2)(1)2a b --…且21a b >⎧⎨>⎩，则有22(2)(1)55259a b a b +=-+-+=厖， 当且仅当3a b ==时，等号成立，即当3a b ==时，2a b +取到最小值，此时9ab =； 故选：D ．8．（4分）（2019•浙江模拟）已知正三棱锥P ABC -（底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形的中心），直线//BC 平面α，E ，F ，G 分别是棱PA ，AB ，PB 上一点（除端点），将正三棱锥P ABC -绕直线BC 旋转一周，则能与平面α所成的角取遍区间[0，]2π一切值的直线可能是( )A ．EFB ．FGC ．EGD ．EF ，FG ，EG 中的任意一条【解答】解：假设EF 满足题意，当EF 与平面α所成的角为2π时， EF α⊥，由//BC α可得BC EF ⊥．在正三棱锥中，可得BC AP ⊥，当BC EF ⊥时可得BC ⊥平面PAB ， 显然这是不可能成立的，所以EF 不满足题意．同理，EG 与BC 不可能垂直，则EG 与平面α所成的角不可能为2π． 综上所述，可以排除A ，C ，D ， 故选：B ．9．（4分）（2019•浙江模拟）已知平面向量a ，b 不共线，且||1a =，1a b =，记b 与2a b +的夹角是θ，θ最大时，||(a b -= ) A ．1BCD ．2【解答】解：设||b x =，则22(2)22b a b a b b x +=+=+，222|2|448a b a a b b x +=++=+；∴22(2)cos |||2|b a b b a b x x θ+==++，易得cos 0θ>；∴2222222222(2)11124114(8)112()(2)2263x cos x x x x x θ+===+-++--++++；当24x =，即2x =时，2cos θ取得最小值，θ取得最大值； 此时222||21243a b a a b b -=-+=-+=；∴||3a b -=．故选：C ．10．（4分）（2019•浙江模拟）已知数列{}n a 满足10a a =>，21(*)n nn a a ta n N +=-+∈若存在实数t 使{}n a 单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【解答】解：10a a =>，21(*)n nn a a ta n N +=-+∈，存在实数t 使{}n a 单调递增， ∴12t …，20n n n a ta a a -+>>…， 解得：01n a a t <<-…，1t …， 解得01a <<．a ∴的取值范围是(0,1)．故选：A ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分． 11．（6分）（2019•浙江模拟）《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤(16两）还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两 6 文．【解答】解：设肉价是每两x 文，由题意得1630818x x -=+，解得6x =，即肉价是每两6文．故答案为：6．12．（6分）（2019•浙江模拟）若某几何体的三视图（单位：)cm 如图所示，则该几何体，体积等于 3cm ．【解答】解：由三视图可得该几何体是截长方体得到的四棱锥11A BDD B -，其中，最长的棱长是1AB ==体积11111111122143520332ABD A B D A A B D ABD A B D V V V V ---=-==⨯⨯⨯⨯=．故答案为：（1（2）.20．13．（6分）（2019•浙江模拟）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，2c =，3A π=，则sin a Ca b +的取值范围是 ．【解答】解：由正弦定理，可得sin sina c A C =，则sin sin 2sin 3a C c A π== 由sin sin sin a b cAB C==，可得：sin sin c A a C ==，22sin()sin 3sin sin C c B b C Cπ-==，所以：221112sin cos tan 222Ca b C C +==+=+=+ 由ABC ∆是锐角三角形，可得：02C π<<，2032C ππ<-<，则：62C ππ<<，所以：124C ππ<<，2tan12C<．所以：114a b +<+<+=+(1+4+． 14．（6分）（2019•浙江模拟）已知二项式(2n x +的展开式中，第5项是常数项，则n =6 ．二项式系数最大的项的系数是． 【解答】解：二项式(2nx 的展开式的通项为3212r n rn rr nT C x--+=，因为第5项是常数项，所以3402n -⨯=，即6n =．当3r =时，二项式系数6r C最大，故二项式系数最大的项的系数是3362160C =．故答案为：6；160．15．（6分）（2019•浙江模拟）定义{max a ，,},a a b b b a b ⎧=⎨<⎩…，已知函数(){||f x max x =，2(1)}x b --+，b R ∈，f （1）1>，则b 的取值范围是 (1,)+∞ ，若()2f x =有四个不同的实根，则b 的取值范围是 ．【解答】解：由题意得f （1）{1max =，}b ，当1b …时，f （1）1=，当1b >时，f （1）1b =>，故b 的取值范围是(1,)+∞．如图所示，(1,)A b ，令2(1)x b x --+=，解得x =，则B ．若()2f x =2b <<，解得23b <<，即(2,3)b ∈．故答案为：(1,)+∞；(2,3)．16．（6分）（2019•浙江模拟）某超市内一排共有6个收费通道，每个通道处有1号，2号两个收费点，根据每天的人流量，超市准备周一选择其中的3处通道，要求3处通道互不相邻，且每个通道至少开通一个收费点，则周一这天超市选择收费的安排方式共有 108 种．【解答】解：设6个收费通道依次编号为1，2，3，4，5，6，从中选择3个互不相邻的通道，有135，136，146，246共4种不同的选法．对于每个通道，至少开通一个收费点，即可以开通1号收费点，开通2号收费点，同时开通两个收费点，共3种不同的安排方式．由分步乘法计数原理，可得超市选择收费的安排方式共有343108⨯=种． 故答案为：108．17．（6分）（2019•浙江模拟）已知抛物线24y x =，过点(1,2)A 作直线l 交抛物线于另一点B ，Q 是线段AB 的中点，过Q 作与y 轴垂直的直线1l ，交抛物线于点C ，若点P 满足QC CP =，则||OP 的最小值是． 【解答】解：由24y x =，可设2(,)4b B b ．因为(1,2)A ，Q 是AB 的中点，所以24(8b Q +，2)2b +．所以直线1l 的方程为：22b y +=．代入24y x =，可得2(2)(16b C +，2)2b +．因为QC CP =，所以点C 为PQ 的中点，可得(2b P ，2)2b +．所以，2222(2)11||(1)4422b b OP b +=+=++．所以当1b =-时，2||OP 取得最小值12，即||OP ．． 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（2019•浙江模拟）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若()6f α=，3(,)88ππα∈，求cos2α的值．【解答】解：（Ⅰ）函数111cos21()cos (sin cos )sin 2)22224x f x x x x x x π+=+-=+-+，令222242k x k πππππ-++剟，求得388k x k ππππ-+剟，可得函数的增区间为3[8k ππ-，]8k ππ+，k Z ∈，（Ⅱ）由（Ⅱ）若()f α1sin(2)43πα+=， 因为(8πα∈，3)8π，所以2(42ππα+∈，)π，所以cos(2)43πα+=-，所以cos2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 444444ππππππαααα=+-=+++=19．（2019•浙江模拟）如图，在三棱锥P ABC -中，G 是棱PA 的中点，PC AC ⊥，且2PB AB AC BC ====，1PC =．（Ⅰ）求证：直线BG ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角P AC B --的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接CG ，因为BP BA =，所以BG PA ⊥．由已知得12CG PA =BG =， 所以222BG CG BC +=，所以BG CG ⊥， 又PACG G =，所以BG ⊥平面PAC ．解：（Ⅱ）过点G 作GQ AC ⊥，垂足是Q ， 因为G 是棱PA 的中点，PC AC ⊥， 所以点Q 是AC 的中点． 连接BQ ，所以BQ AC ⊥．所以CQP ∠就是二面角P AC B --的平面角． 由（Ⅰ）知BG ⊥平面PAC ，所以BG GQ ⊥．因为BG =1122GQ PC ==，所以BQ =所以sin CB GQB BQ ∠==，即二面角P AC B --20．（2019•浙江模拟）已知数列{}n a ，{}n b 的各项均不为零，若{}n b 是单调递增数列，且12n n n a b b +=，211n n n a a b +++=，12a b =，26a b =．（Ⅰ）求1b 及数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足113c =-，1n b n n c c ++=，求数列2{}n c 的前n 项的和n S ．【解答】解：（Ⅰ）12a b =，1122a b b =，12b ∴=． 2112122n n n n n b b b b b +++++=，∴212n n n b bb +++=， ∴数列{}n b 是等差数列．26a b =，2232a b b =，则2(25)(2)(22)d d d +=++，2d ∴=． 2n b n ∴=；（Ⅱ）113c =-，122c c +=，∴273c =．当2n …时，12n n n c c ++=，112n n n c c --+=，∴1112(2)n n n c c n -+--=…． ∴2422c c -=，4642c c -=，⋯，222222n n n c c ---=，累加得，当2n …时，1224(41)3n n c c --=-，即21413n n c =+．273c =也适合上式， 故21413nn c =+， ∴2114(14)4(444)(41)33149n nn n S n n n -=++⋯++=+=-+-．21．（2019•浙江模拟）对于椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，有如下性质：若点0(P x ，0)y 是椭圆外一点，PA ，PB 是椭圆的两条切线，则切点A ，B 所在直线的方程是00221x x y ya b+=，利用此结论解答下列问题：已知椭圆22:12x C y +=和点(2P ，)()t t R ∈，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点是A ，B ，记点A ，B 到直线(PO O 是坐标原点）的距离是1d ，2d ． （Ⅰ）当0t =时，求线段AB 的长； （Ⅱ）求12||AB d d +的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为点(2,)P t ，直线AB 的方程式：212xt +=， 即1x ty +=，当0t =时，直线AB 的方程是1x =，此时||AB =（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线AB 的方程是1x ty +=，直线PO 的方程是20tx y -=． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y，则12d d +=．又112211x ty x ty +=⎧⎨+=⎩由点A ，B 在直线PO 的两侧可得112tx y -与222tx y -异号，所以212d d +=又12||||AB y y =-，所以12||AB d d =+设22t x +=，则12||AB d d ==+， 所以，当114x =，即4x =，22t =时，则12||AB d d +． 22．（2015•南昌校级二模）设函数2()(2)f x x a x alnx =---． ()I 求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若方程()()f x c c R =∈，有两个不相等的实数根1x 、2x ，求证：12()02x x f +'>． 【解答】（12分）解：()I 22(2)(2)(1)()2(2)(0)a x a x a x a x f x x a x x x x----+'=---==>．当0a …时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞． 当0a >时，由()0f x '>，得2a x >；由()0f x '<，得02ax <<．所以函数()f x 的单调增区间为(,)2a+∞，单调减区间为(0,)2a ．⋯（4分）()II 证明：因为1x 、2x 是方程()f x c =的两个不等实根，由（1）知0a >．不妨设120x x <<，则2111(2)x a x alnx c ---=，2222(2)x a x alnx c ---=． 两式相减得22111222(2)(2)0x a x alnx x a x alnx ----+-+=， 即2211221122112222()x x x x ax alnx ax alnx a x lnx x lnx +--=+--=+--． 所以221122112222x x x x a x lnx x lnx +--=+--．因为()02af '=，当(0,)2a x ∈时，()0f x '<，当(,)2ax ∈+∞时，()0f x '>，故只要证12()22x x a+>即可，即证明22112212112222x x x x x x x lnx x lnx +--+>+--， 即证明22221212121122()()22x x x x lnx lnx x x x x -++-<+--， 即证明ln11221222x x x x x x -<+．设12(01)xt t x =<<． 令22()1t g t lnt t -=-+，则22214(1)()(1)(1)t g t t t t t -'=-=++． 因为0t >，所以()0g t '…，当且仅当1t =时，()0g t '=，所以()g t 在(0,)+∞上是增函数． 又g （1）0=，所以当(0,1)t ∈时，()0g t <总成立．所以原题得证 ⋯（12分）。
浙江省春晖中学2025届高三数学第一学期期末综合测试试题含解析
浙江省春晖中学2025届高三数学第一学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0B ．1C ．2D ．32．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞3．复数5i12i+的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-4．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．5．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．46．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 7．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞8．已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a ≥ C ．0a ≤D ．0a ≥9．已知(cos ,sin )a αα=，()cos(),sin()b αα=--，那么0a b =是()4k k Z παπ=+∈的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎣⎦B ．,1)3C ．(0,]3D ．[311．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年浙江省绍兴市上虞春晖中学高三数学文模拟试题含解析
2020年浙江省绍兴市上虞春晖中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若i为虚数单位，图1中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是()参考答案：C略2. 设集合，，则（）A. B. C. D.参考答案：B3. 已知函数，则在A. 上单调递增B. 上单调递增C. 上单调递减D. 上单调递减参考答案：【答案解析】B 解析：在恒成立，在上单调递增，故选B.【思路点拨】导数法确定函数的单调性.4. 在区间上任取两个实数，则函数在区间上有且只有一个零点的概率是(A) (B) (C) ( D)参考答案：D略5. ( )ＡＢＣＤ参考答案：D略6. 已知全集，集合，，那么（）A．B．C．D．参考答案：A略7. 已知函数y＝x3-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝( )A．-2或2 B．-9或3 C．-1或1 D．-3或1参考答案：A略8. 设.，则三者的大小顺序是（）A、a>b>c B a>c>b C c>b>a D b>a>c参考答案：B9. 己知命题“”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. (?3,1) D. [?3,1]参考答案：C略10. 若，则A．B．C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某同学对函数进行研究后，得出以下结论：①函数的图像是轴对称图形；②对任意实数，均成立；③函数的图像与直线有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④当常数满足时，函数的图像与直线有且仅有一个公共点.其中所有正确结论的序号是▲．参考答案：①②④①，所以函数是偶函数，所以关于轴对称，所以①正确。
②，所以②正确。
③由，得或，所以,所以任意相邻两点的距离不一定相等，所以③错误。
④由，即，因为，所以，所以必有，所以函数的图像与直线有且仅有一个公共点，所以④正确。
高考浙江春晖中学高三数学综合训练试卷
高考浙江春晖中学高三数学综合训练试卷一、选择题 :（本大题共10小题, 每小题5分, 共50分.） 1．满足条件{1，2}⋃M =}{3,2,1的所有集合M 的个数是 ()A ．1B ．2C ．3D ．4 2．已知数列{}n a ，且)(2*∈=N n a n n ，则 （ ）(A)1++k k a a 是数列{}n a 中的项 (B)k k a a --1是数列{}n a 中的项 (C)1+k ka a 是数列{}n a 中的项 (D)1+k k a a 是数列{}n a 中的项 3．若条件41:≤+x p ，条件65:2-<x x q ，则p ⌝是q ⌝的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．在等差数列}{n a 中，，，83125S S a =-=则前n 项和n s 的最小值为 ( ) A ．80- B ．76- C ．75- D ．74-5．22=3=，与的夹角为4π，假如b a p 2+=，b a q -=2，-等于（ ） A ．132 B ．53 C ．63 D ．2249+ 6．假如命题P:{}∅∈∅, 命题Q:{}∅⊂∅,那么下列结论不正确的是（ ） A “P 或Q ”为真B ．“P 且Q ”为假C ．“非P ”为假D ．“非Q ”为假7.．若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值是 （ ） A.2 B.4 C.21 D.418．如图，目标函数y ax P +=仅在封闭区域OACB 内（包括边界）的点)54,32(C 处取得最大值，则a 的取值范畴是( ) A.)125,310(-- B.)103,512(--C.)512,103( D.)103,512(-9、函数lg ||x y x=的图象大致是 ( )A B C D10．若x R ∈，*n N ∈，定义(1)(1)nx E x x x n =++-，例如44(4)(3)(2)(1)24E -=----=，则函数199)(-=x xE x f 的奇偶性为 （ ）(A)偶函数 (B)奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)既不是奇函数又不是偶函数 二、填空题:（本大题有4小题, 每小题4分, 共16分.）11．已知抛物线y =x 2+bx +c 在点(1,2)处与直线y =x +1相切，则b -c =_________．12．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8),(332112312=+++=-a a a a a a S n n ，则10a 等于 ．13．函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值为 。
浙江省超级全能生2020届高三9月第一次联考数学试题
“超级全能生”2020高考浙江省9月联考数学注意事项：1．本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的。
1.记全集U =R ，集合{}240A x x =-≥，集合{}22xB x =≥，则()U A B =I ð（）A. [)2+∞，B. ØC. [)12，D. ()12， 【答案】C 2.已知复数2-iz 1i=+（i 为虚数单位），则复数z 的模长等于（）【答案】A3.若实数x y ，满足约束条件2032402340x y x y x y ++≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为（）A. -2B. 12C. -4D. 8【答案】B4.在同一直角坐标系中，函数2y ax bx =+，x by a-=（0a >且1a ≠）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D5.已知直线ml ，，平面αβ，满足l α⊥，m β⊂，则“l m P ”是“αβ⊥”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A6.已知随机变量ξ满足下列分布列，当()01p ∈，且不断增大时，（）A. ()E ξ增大，()D ξ增大B. ()E ξ减小，()D ξ减小C. ()E ξ增大，()D ξ先增大后减小D. ()E ξ增大，()D ξ先减小后增大 【答案】C7.已知双曲线()22210y x b b-=>右焦点为F ，左顶点为A ，右支上存在点B 满足BF AF ⊥，记直线AB与渐近线在第一象限内的交点为M ，且2AM MB =u u u u r u u u r，则双曲线的渐近线方程为（） A. 2y x =± B. 12y x =±C. 43y x =±D. 34y x =?【答案】D8.已知函数()()()()ln 1212if x x x m i =---=，，e 是自然对数的底数，存在m R ∈（） A. 当1i =时，()f x 零点个数可能有3个 B. 当1i =时，()f x 零点个数可能有4个 C. 当2i =时，()f x 零点个数可能有3个 D. 当2i =时，()f x 零点个数可能有4个 【答案】C9.三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，动点M 在线段1CA 上滑动（包含端点），记BM 与11B A 所成角为α，BM 与平面ABC 所成线面角为β，二面角M BC A --为γ，则（）A. ≥≤，βαβγB. ≤≤，βαβγC. ≤≥，βαβγD. ≥≥，βαβγ【答案】B10.已知函数()()1121222x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，，，，若函数()()g x x f x a =⋅-(1)a ≥- 的零点个数为2，则（） A. 2837a <<或1a =- B.2837a << C. 7382a <<或1a =-D. 7382a <<【答案】D二、选择题：本大题共7小題，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
浙江名校联盟2020届高三9月内部特供卷 浙江数学 (解析版)
2019-2020学年浙江名校联盟9月份内部特供卷数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}0U x x =≥，{}1A x x =≥，则U A ð＝（ ） A ．∅ B ．{}1x x <C ．{}01x x ≤<D ．{}0x x ≥【答案】C【解析】由{}|0U x x =≥，可得{}|01U A x x =≤<ð．故选C ． 2．双曲线2214yx -=的焦距是（ ） AB．CD．【答案】D【解析】双曲线22221y x a b-=的焦距为2c ===D ．3．已知i 是虚数单位，则复数i2i+的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55-==+++-，其共轭复数为12i 55-，对应的点为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭， 在第四象限．故选D ．4．已知实数,x y 满足()()201x y x y x ⎧-+≥⎨≥⎩，则2x y -（ ）A ．有最小值，无最大值B ．有最大值，无最小值C ．有最小值，也有最大值D ．无最小值，也无最大值【答案】A【解析】作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．设2x y z -=，则2y x z =-，z 表示直线在y 轴上的截距的相反数． 平移直线2y x z =-，可得当直线过点A 时z 取得最小值，z 没有最大值． 故选A ．5．已知平面,αβ，直线,m n ，若αβ⊥，l αβ=，,m n αβ⊂⊂，则“m n ⊥”是“,m n 中至少有一条与l 垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先判断充分性，当m n ⊥时，假设,m n 都不与l 垂直． 在平面α内作l 的垂线m '，由αβ⊥可得m β'⊥，则m n '⊥． 由m l '⊥，m 不垂直于l 可得m '与m 相交． 由m n '⊥，m n ⊥可得n α⊥．所以n l ⊥，矛盾．所以当m n ⊥时，可以推出,m n 中至少有一条与l 垂直，即充分性成立． 再判断必要性，当,m n 中至少有一条与l 垂直时，不妨设m l ⊥， 由αβ⊥可得m β⊥，所以m n ⊥，即必要性成立．综上所述，“m n ⊥”是“,m n 中至少有一条与l 垂直”的充要条件．故选C ．6．已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则E ξ=（ ）A ．145B ．135C ．73D ．83【答案】A【解析】ξ的可能取值为2,3,4．2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故()33925525P ξ==⨯=；3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故()3223123555525P ξ==⨯+⨯=；4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球， 故()22445525P ξ==⨯=，所以9124142342525255E ξ=⨯+⨯+⨯=．故选A ． 7．已知()()22log 2log 11a b -+-≥，则2a b +取到最小值时，ab =（ ） A ．3 B ．4C ．6D ．9【答案】D【解析】由()()22log 2log 11a b -+-≥，可得20a ->，10b ->且()()212a b --≥． 所以()()22215559a b a b +=-+-+≥≥=， 当()221a b -=-且()()212a b --=时等号成立，解得3a b ==． 所以2a b +取到最小值时339ab =⨯=．故选D ．8．已知正三棱锥P ABC -（底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形的中心），直线BC ∥平面α，,,E F G 分别是棱,,PA AB PB 上一点（除端点），将正三棱锥P ABC-绕直线BC 旋转一周，则能与平面α所成的角取遍区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，一切值的直线可能是（ ）A ．EFB ．FGC ．EGD ．,,EF FG EG 中的任意一条【答案】B【解析】假设EF 满足题意，当EF 与平面α所成的角为π2时， EF α⊥，由BC α∥可得BC EF ⊥．在正三棱锥中，可得BC AP ⊥，当BC EF ⊥时可得BC PAB ⊥平面， 显然这是不可能成立的，所以EF 不满足题意．同理，EG 与BC 不可能垂直，则EG 与平面α所成的角不可能为π2． 综上所述，可以排除A ，C ，D ，故选B ．9．已知平面向量,a b 不共线，且1=a ，1⋅=a b ，记b 与2+a b 的夹角是θ，则θ最大时，-=a b （ ） A ．1 BC D ．2【答案】C【解析】设||x =b ，则()22222x ⋅+=⋅+=+b a ba b b，|2|+=a b 所以()22cos 2θ⋅+==+b a b b a bcos 0θ>，()()()2222222222211cos 124811411222263x x x x x x θ+===+⎛⎫-++--+⎪+++⎝⎭， 当24x =时，2cos θ取得最小值，θ取得最大值，此时||-===a b ．故选C ．10．已知数列{}n a 满足()2110,n n n a a a a ta n +=>=-+∈*N ，若存在实数t ，使{}n a 单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】A【解析】由{}n a 单调递增，可得21n n n n a a ta a +=-+>，由10a a =>，可得0n a >，所以1n t a >+()n ∈*N ．1n =时，可得1t a >+．①2n =时，可得21t a ta >-++，即()()()111a t a a -<+-．②若1a =，②式不成立，不合题意；若1a >，②式等价为1t a <+，与①式矛盾，不合题意． 排除B ，C ，D ，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分． 11．《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（两）还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两__________文． 【答案】6【解析】设肉价是每两x 文，由题意得1630818x x -=+，解得6x =， 即肉价是每两6文．12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体最长的棱长是_____ cm ，体积等于__________3 cm ．20【解析】由三视图可得该几何体是截长方体得到的四棱锥11A BDD B -，其中，最长的棱长是1AB ==体积111111111221=43520332ABD A B D A A B D ABD A B D V V V V ----==⨯⨯⨯⨯=．13．在锐角ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，2c =，π3A =， 则sin a C =__________．a b +的取值范围是__________．1,43+ 【解析】由正弦定理，可得sin sin a cA C =，则πsin sin 2sin 3a C c A ===． 由sin sin sin a b c A B C ==，可得sin sin sin c A a C C==，2π2sin sin 3sin sin C c B b C C ⎛⎫- ⎪⎝⎭==，所以)21cos sin 2111sin sin sin 2sin cos tan 222CC C C a b C C C C C C +++=+=+=+=+． 由ABC △是锐角三角形，可得π02C <<，2ππ032C <-<，则ππ62C <<， 所以ππ1224C <<，2tan 12C<<．所以11a b ++<+14．已知二项式2nx ⎛ ⎝的展开式中，第5项是常数项，则n =________．二项式系数最大的项的系数是__________．【答案】6 160【解析】二项式2nx ⎛ ⎝展开式的通项为()321C 22C rn r n r r n r r r n n T x x---+==， 因为第5项是常数项，所以3402n -⨯=，即6n =．当3r =时，二项式系数6C r最大， 故二项式系数最大的项的系数是63362C 160-=．15．定义{},max ,,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，已知函数()(){}2max ,1f x x x b =--+，b ∈R ，()11f >，则b 的取值范围是__________，若()2f x =有四个不同的实根，则b 的取值范围是__________．【答案】()1,+∞ ()2,3【解析】由题意得()1max{1,}f b =，当1b ≤时，()11f =；当1b >时，()11f b =>， 故b 的取值范围是()1,+∞．如图所示，()1,A b ，令()21x b x --+=，解得12x ±=，则B ⎝⎭． 若()2f x =2b <<，解得23b <<，即()2,3b ∈．16．某超市内一排共有6个收费通道，每个通道处有1号，2号两个收费点，根据每天的人流量，超市准备周一选择其中的3处通道，要求3处通道互不相邻，且每个通道至少开通一个收费点，则周一这天超市选择收费的安排方式共有__________种．【答案】108【解析】设6个收费通道依次编号为1，2，3，4，5，6，从中选择3个互不相邻的通道，有135，136，146，246共4种不同的选法．对于每个通道，至少开通一个收费点，即可以开通1号收费点，开通2号收费点，同时开通两个收费点，共3种不同的安排方式．由分步乘法计数原理，可得超市选择收费的安排方式共有343108⨯=种．17．已知抛物线24y x =，过点()1,2A 作直线l 交抛物线于另一点B ，Q 是线段AB 的中点，过Q 作与y 轴垂直的直线1l ，交抛物线于点C ，若点P 满足QC CP =，则OP 的最小值是__________．【答案】2【解析】由24y x =，可设2,4b B b ⎛⎫⎪⎝⎭．因为()1,2A ，Q 是AB 的中点，所以242,82b b Q ⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 所以直线1l 的方程为22b y +=．代入24y x =，可得()222,162b b C ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭． 因为QC CP =，所以点C 为PQ 的中点，可得2,22b b P +⎛⎫⎪⎝⎭． 所以()()2222211||14422b b OP b +=+=++．所以当1b =-时，2||OP 取得最小值12，即||OP的最小值为2．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知函数()()1cos sin cos 2f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若()f α=3π,88πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos2α的值．【答案】（1）()3ππ,ππ88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2【解析】（1）()11cos21sin2sin 22224π2x f x x x +⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭， 由2π224ππππ22k x k -+≤+≤+，得函数()f x 的单调增区间是3ππ,π88πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )． （2）由()6f α=，得1sin 23π4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为3,π8π8α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,π42ππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以cos 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以4cos2cos 2π6π44αα⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．19．如图，在三棱锥P ABC -中，G 是棱PA 的中点，PC AC ⊥，且2PB AB AC BC ====， 1.PC =（1）求证：直线BG ⊥平面PAC ； （2）求二面角P AC B --的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）6． 【解析】（1）连接CG ，因为BP BA =，所以BG PA ⊥．由已知得12CG PA ==2BG =， 所以222BG CG BC +=，所以BG CG ⊥， 又PA CG G =，所以BG ⊥平面PAC ．（2）过点G 作GQ AC ⊥，垂足是Q ，因为G 是棱PA 的中点，PC AC ⊥，所以点Q 是AC 的中点． 连接BQ ，所以BQ AC ⊥．所以GQB ∠就是二面角P AC B --的平面角． 由（1）知BG ⊥平面PAC ，所以BG GQ ⊥．因为2BG =，1122GQ PC ==，所以BQ =所以sin GB GQB BQ ∠==， 即二面角P AC B --． 20．已知数列{}n a ，{}n b 的各项均不为零，若{}n b 是单调递增数列，且12n n n a b b +=⋅，2111226,,n n n a a b a b a b +++===．（1）求1b 及数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足113c =-，1n b n n c c ++=，求数列{}2n c 的前n 项的和.n S【答案】（1）12,2n b b n ==；（2）()4419nn S n =+-． 【解析】（1）因为12112,2a b a b b ==，所以12b =． 因为2112122n n n n n b b b b b ++++⋅⋅+=，则212n n n b b b +++=， 所以{}n b 是等差数列． 因为26a b =，2232a b b =⋅，则()()()225222d d d +=++，所以2d =．所以2n b n =．（2）因为1121,23c c c =-+=，所以273c =．当2n ≥时，12n n n c c ++=，112n n n c c --+=，所以1112n n n c c -+--= ()2n ≥．所以2422c c -=，4642c c -=，，222222n n n c c ---=，累加得当2n ≥时，()1224413n n c c --=-，即21413n n c =⨯+． 273c =也适合上式，故21413n n c =⨯+ ()*n ∈N ，所以()4419nn S n =+-．21．对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，有如下性质：若点()00,P x y 是椭圆外一点，PA ，PB是椭圆的两条切线，则切点,A B 所在直线的方程是00221x x y ya b+=，利用此结论解答下列问题：已知椭圆22:12x C y +=和点()2,P t ()t ∈R ，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点是,A B ，记点,A B 到直线PO （O 是坐标原点）的距离是1d ，2d ．（1）当0t =时，求线段AB 的长； （2）求12AB d d +的最大值．【答案】（1）AB =（2）4． 【解析】（1）因为点()2,P t ，直线AB 的方程式212xty +=，即1x ty +=， 当0t =时，直线AB 的方程是1x =，此时AB =（2）由（1）知直线AB 的方程是1x ty +=，直线PO 的方程是20tx y -=．设()11,A x y ，()22,B x y，则12d d +=．又112211x ty x ty +=⎧⎨+=⎩，由点,A B 在直线PO 的两侧可得112tx y -与222tx y -异号，所以12d d +=．又12AB y =-，所以12AB d d =+．设22t x +=，则12AB d d ==+， 所以，当114x =，即24,2x t ==时，12AB d d +．22．已知函数()()22ln f x x a x a x =---．（1）求函数的单调区间；（2）若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：1202x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭'．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）()()()21x a x f x x-+'=()0x >．当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 所以函数()f x 的单调增区间为()0,+∞．当0a >时，由()0f x '>，得2a x >；由()0f x '<，得02ax <<， 所以函数()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）因为12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，所以0a >．不妨设120x x <<，则()21112ln x a x a x c ---=，()22222ln x a x a x c ---=， 两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ⎡⎤-------=⎣⎦，即221122112222ln ln x x x x a x x x x +--=+--．又02a f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，当2a x >时，()0f x '>；当02a x <<时，()0f x '<．故只要证明1222x x a+>即可，即证22112212112222ln ln x x x x x x x x x x +--+>+--，即证11221222ln x x x x x x -<+，即证11212222ln 1x x x x x x -<+．设()1201x t t x =<<，令()22ln 1t g t t t -=-+，则()()()22101t g t t t +'-=>， 则()22ln 1t g t t t -=-+在()0,1为增函数， 又()10g =，所以()0,1t ∈时，()0g t <总成立，得证．。
2019-2020学年浙江省名校协作体高三(上)第一次联考数学试卷(9月份) (含答案解析)
2019-2020学年浙江省名校协作体高三（上）第一次联考数学试卷（9月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 集合M ={x|x 2−x −6≥0}，集合N ={x|−3≤x ≤1}，则N ∩(∁R M)等于( )A. [−2,1]B. (−2,1]C. [−3,3)D. (−2,3)2. 若z 1,z 2∈C ，则z 1z 2− +z 1− z 2是( )A. 纯虚数B. 实数C. 虚数D. 不能确定3. 函数f(x)=(m −1)x 2−(m −1)x +1的图象总在x 轴上方．则实数m 的取值范围为( )A. (1,5)B. (1,5]C. [1,5)D. [1,5] 4. 若实数x ，y 满足约束条件{x −1≥0x −2y ≤0x +y −4≤0，则2x +3y 的最大值是( )A. 11B. 10C. 5D. 95. 设函数f(x)，g(x)的定义域都为(−∞,+∞)，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是( )A. f(x)|g(x)|是奇函数B. |f(x)|g(x)是奇函数C. f(x)g(x)是偶函数D. |f(x)g(x)|是奇函数6. 已知平面α⊥平面β，α∩β=l ，若直线a ，b 满足a//α，b ⊥β，则( )A. a//lB. a//bC. b ⊥lD. a ⊥b 7. 若数列{a n }是等比数列，且a 1+3a 3a2+3a 4=12，则a 4a 6+a 6a8a 6a 8+a 8a 10=( )A. 16B. 14C. 112 D. 1168. 若a 、b ∈R ，使|a|+|b|>1成立的一个充分不必要条件是( )A. |a +b|≥1B. a ≥1C. |a|≥12且b ≥12D. b <−19. 已知正实数a ，b ，c 满足a 2−2ab +9b 2−c =0，则当abc 取得最大值时，3a+1b −12c的最大值为( )A. 3B. 94C. 1D. 010. 已知F 1、F 2为椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线交椭圆于M 、N两点，若MF 2⊥x 轴，且MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆的离心率为( )A. 13B. 12C. √33 D. √53二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. (−2018)0+1.5−2×(338)23+log 12√324=____________12. 已知α∈(0,π2)，则1sin 2α+3cos 2α的最小值为______．13.如图是某四面体的三视图，则该几何体最长的棱长为__________．14.已知P为椭圆x225+y216=1上的一个点，M，N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x−3)2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为______．15.等差数列{a n}中，a2=−5，d=3，则a1为______ ．16.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=π3，cos∠ADB=17，则△BCD的面积______．17.若平面向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|2a⃗+b⃗ |=2，则a⃗⋅b⃗ 的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinAacosB=√3．(1)求角B的大小；(2)若b=2√3，sinC=2sinA，求a，c的值．19.已知三棱锥P−ABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD为边长等于√2的正方形，ΔABE和ΔBCF均为正三角形．(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC;(2)若M 是PC 的中点，点N 在线 段PA 上，且满足PN =2NA ，求直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值．20. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4S 1，3S 2，2S 3成等差数列，且S 4=15．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S n ≤127，求n 的最大值．21. 已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，点A,B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(O 为坐标原点)(1)求证：直线AB 过定点；(2)求△ABO 与△AFO 面积之和的最小值．22.已知函数f(x)=a+lnx2且f(x)≤a|x|．(1)求实数a的值；(2)令g(x)=xf(x)在(a,+∞)上的最小值为m，求证：6<f(m)<7．x−a-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合M ={x|x 2−x −6≥0}={x|x ≤−2或x ≥3}， 集合N ={x|−3≤x ≤1}， 则∁R M ={x|−2<x <3}，N ∩(∁R M)={x|−2<x ≤1}=(−2,1]． 故选：B ．化简集合M ，根据补集与交集的定义写出N ∩(∁R M)即可． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目． 2.答案：B解析：设z 1=a +bi ，z 2=c +di(a,b,c,d ∈R)，则z 1z 2− +z 1− z 2=(a +bi)(c −di)+(a −bi)(c +di)=2ac +2bd ∈R ，故选B ． 3.答案：C解析：解：当m =1时：f(x)=1，图象在x 轴上方， 当m ≠1时：{m −1>0△=(m −1)2−4(m −1)<0，解得：1<m <5， 综上：m ∈[1,5)， 故选：C ．通过讨论m =1和m ≠1结合二次函数的性质得到关于m 的不等式组，解出即可． 本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论，考查计算能力． 4.答案：A解析：解：由约束条件{x −1≥0x −2y ≤0x +y −4≤0作出可行域如图，联立{x −1=0x +y −4=0，解得A(1,3)，令z =2x +3y ，化为y =−23x +z3，由图可知，当直线y =−23x +z3过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为2×1+3×3=11． 故选：A ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 5.答案：A解析：【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题． 根据函数的奇偶性即可得出．【解答】解：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(−x)=−f(x)，g(x)=g(−x)． f(−x)|g(−x)|=−f(x)|g(x)|，故f(x)|g(x)|是奇函数，A 正确． 故选A ． 6.答案：C解析：解：∵α∩β=l ，∴l ⊂β ∵b ⊥β，∴b ⊥l ， 故选：C ．利用线面垂直的性质，即可得出结论．本题考查线面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 7.答案：D解析：解：根据题意，数列{a n }是等比数列，设其公比为q ， 则a 1+3a 3a2+3a 4=a 1+3a 3a1q+3a 3q=1q =12，解可得q =2， 则a 4a 6+a 6a8a 6a 8+a 8a 10=(a 5)2+(a 7)2(a 7)2+(a 9)2=(a 5)2+(a 7)2(a5)2×q 4+(a 7)2×q4=1q 4=116；故选：D ．根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，结合等比数列的通项公式可得a 1+3a 3a 2+3a 4=a 1+3a 3a1q+3a 3q=1q =12，解可得q 的值，进而可得a 4a 6+a 6a 8a6a 8+a 8a 10=(a 5)2+(a 7)2(a 7)2+(a 9)2=(a 5)2+(a 7)2(a 5)2×q 4+(a 7)2×q4=1q 4，计算可得答案．本题考查等比数列的性质，注意等比数列的通项公式的应用，属于基础题．8.答案：D解析：解：选项A ，若|a +b|≥1成立，取a =−1，b =0，此时|a|+|b|>1不成立，故不正确； 选项B ，若a ≥1成立，取a =1，b =0，此时|a|+|b|>1不成立，故不正确； 选项C ，若|a|≥12且b ≥12成立，取a =12，b =12，此时|a|+|b|>1不成立，故不正确；选项D ，若b <−1成立，则|b|>1成立，此时|a|+|b|>1成立，反之不成立，比如a =2，b =0； ∴b <−1是|a|+|b|>1成立的一个充分不必要条件 故选：D ．选项A 、B 、C 可利用列举法进行判定，选项D 可根据不等式的性质说明，根据充分不必要条件的定。
浙江省2020届高三数学9月第一次联考试题(含解析)
浙江省2020届高三数学9月第一次联考试题（含解析）注意事项：1．本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的。
1.记全集U =R ，集合{}240A x x =-≥，集合{}22xB x =≥，则()U A B =I ð（）A. [)2+∞，B. ØC. [)12， D. ()12， 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式和指数不等式，再求补集与交集.【详解】由240x -≥得2x -≤或2x ≥，由22x ≥得1x ≥，则()[)221U A B =-=+∞，，，ð，所以()[)12U A B =I ，ð，故选C . 【点睛】本题考查集合的运算、解一元二次不等式和指数不等式，其一容易把交集看作并集，概念符号易混淆；其二求补集时要注意细节.2.已知复数2-iz 1i=+（i 为虚数单位），则复数z 的模长等于（）A.2 B.2【答案】A【解析】 【分析】先化简复数z,利用模长公式即可求解. 【详解】化简易得13i z 2-=，所以10z 2=，故选A . 【点睛】本题考查复数的基本运算和概念，了解复数的基本概念、运算和共轭复数的概念、模长是解答本题的关键.3.若实数x y ，满足约束条件2032402340x y x y x y ++≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为（）A. -2B. 12C. -4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域,平移目标函数即可求解.【详解】如图中阴影部分所示（含边界），显然当目标函数2z x y =+经过点()44，时有最大值12，故选B .【点睛】本题考查线性规划，准确作出可行域是解答本题的关键.4.在同一直角坐标系中，函数2y ax bx =+，x by a-=（0a >且1a ≠）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的图象,以指数函数的底数a 与1的大小分情况讨论，由指数函数图象与y 轴的交点即可得出b 的大小，从而能判断出二次函数图象的正误.【详解】对1a >和01a <<分类讨论，当1a >时，对应A,D:由A 选项中指数函数图象可知，002bb a>∴-<，A 选项中二次函数图象不符，D 选项符合；当01a <<时，对应B,C:由指数函数图象可知，00,02bb a a<∴->>，则B ，C 选项二次函数图象不符，均不正确，故选D . 【点睛】本题易错在于函数图象的分类，从指数函数分类易正确得到函数图象.5.已知直线ml ，，平面αβ，满足l α⊥，m β⊂，则“l m P ”是“αβ⊥”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理进行判断.【详解】当l m P 时，m α⊥，则可知αβ⊥；反之当αβ⊥时，l 与β中的m 不一定平行，故选A .【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理.若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．6.已知随机变量ξ满足下列分布列，当()01p ∈，且不断增大时，（）A. ()E ξ增大，()D ξ增大B. ()E ξ减小，()D ξ减小C. ()E ξ增大，()D ξ先增大后减小D. ()E ξ增大，()D ξ先减小后增大 【答案】C 【解析】 【分析】由分布列可知，随机变量ξ服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断. 【详解】由题意可知，随机变量ξ满足二项分布，即~(2,)B p ξ，易得()()()221E p D p p ==-，ξξ，所以当01p <<且不断增大时，()E ξ增大，()D ξ先增大后减小.故选C .【点睛】本题考查二项分布的期望、方差.理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键.7.已知双曲线()22210y x b b-=>右焦点为F ，左顶点为A ，右支上存在点B 满足BF AF ⊥，记直线AB 与渐近线在第一象限内的交点为M ，且2AM MB =u u u u r u u u r，则双曲线的渐近线方程为（）A. 2y x =±B. 12y x =±C. 4 3y x =±D. 34y x =?【答案】D 【解析】 【分析】根据题意依次求出,A B 点的坐标，求出直线AB 的方程，联立渐近线求出点M 的横坐标，利用向量关系即可得出关系式，进而可求出渐近线方程.【详解】易知()2B c b ，，()10A -，，得直线211b AB y xc =++：（），联立渐近线y bx =，得1M b x c b =+-，又2AM MB =u u u u r u u u r ，所以1211b b c c b c b ⎛⎫+=- ⎪+-+-⎝⎭，得12c b -=，又221c b -=，所以34b =，所以双曲线的渐近线方程为34y x =?，故选D . 【点睛】本题考查双曲线的渐近线.当双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>时，渐近线方程为by x a=±； 当双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>时，渐近线方程为a y x b =±.8.已知函数()()()()ln 1212if x x x m i =---=，，e 是自然对数的底数，存在m R ∈（） A. 当1i =时，()f x 零点个数可能有3个 B. 当1i =时，()f x 零点个数可能有4个 C. 当2i =时，()f x 零点个数可能有3个 D. 当2i =时，()f x 零点个数可能有4个 【答案】C 【解析】 【分析】首先将()f x 的零点转化为两个图象的交点，利用以直代曲的思想可以将(ln 1)x -等价为()x e -，根据穿针引线画出草图，即可判断.【详解】将()()()()ln 1212if x x x m i =---=，看成两个函数(),yg x y m ==的交点，利用以直代曲，可以将()g x 等价看成()()()20iy x e x x =-⋅->，利用“穿针引线”易知12i =，时图象如图，所以当1i =时最多有两个交点，当2i =时最多有三个交点.故选C .【点睛】本题考查函数的零点,函数零点个数的3种判断方法(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.9.三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，动点M 在线段1CA 上滑动（包含端点），记BM与11B A 所成角为α，BM 与平面ABC 所成线面角为β，二面角M BC A --为γ，则（）A. ≥≤，βαβγB. ≤≤，βαβγC. ≤≥，βαβγD. ≥≥，βαβγ【答案】B 【解析】 【分析】根据题意找出这三个角，分别在直角三角形中表示出这三个角对应的三角函数值，将角的大小比较转化为线段长度的大小比较即可.【详解】过点M 作MN AC ⊥于N ，则MN ABC ⊥平面，过点M 作MH BC ⊥于H ，连接NH ，则NH BC ⊥,过点M 作MG AB ⊥于G ，连接NG ，则NG AB ⊥． 所以MBA =∠α，MBN =∠β，MHN =∠γ，sin ,sin ,MG MNBM BMαβ== tan ,tan ,MN MNBN HNβγ== 由MG MN ≥可知≤βα（M 位于1A 处等号成立），由BN NH ≥可知≤βγ（当B Ð为直角时，等号成立），故选B . 【点睛】本题主要考查线线角、线面角、二面角，本题也可以直接用线线角最小角定理（线面角是最小的线线角）和线面角最大角定理（二面角是最大的线面角）判断.10.已知函数()()1121222x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，，，，若函数()()g x x f x a =⋅-(1)a ≥- 的零点个数为2，则（）A. 2837a <<或1a =- B.2837a << C. 7382a <<或1a =-D. 7382a <<【答案】D 【解析】 【分析】 由1()(2)(2)2f x f x x =-->，可知当()2,22()x k k k Z ∈+∈时，()f x 的图象可由()22,2()x k k k Z ∈-∈的图象沿x 轴翻折，并向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的一半，即可作出函数()f x 的图象，将()g x 的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可. 【详解】如图，可得()f x 的图象.令()0g x =，当0x =时，不符合题意；当0x ≠时，得()a f x x =，若0a >，则满足132178a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，，可得7382a <<；若10a -≤<，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当10a -<<时，因为(1)11af =-<，所以在()0,2上有两个交点，不合题意舍去，当1a =-时，则需154a <-，解得a Ø∈，故选D .【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键.二、选择题：本大题共7小題，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
{高中试卷}浙江省2020年上学期高三数学9月百校联考试题答案
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：浙江省2021年上学期高三数学9月百校联考试题答案注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式： 球的表面积公式S =4πR 2球的体积公式V =43πR 3其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V =Sh其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高13()1213V h S S =一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）则根据几何图形的性质可得122,2F P b F P a ==，222F P F P a b a -==-因此可得2b a =，则双曲线的线近线为2y x =±．9．C解：因2nn a =，222nn a n b ==，12311111111n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 232222111111112222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23222222111111111122222112n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-222112421312n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=<<- 10． B 解：由222=cos 2AB AC BC AB AC AB AC AB ACAB ACθ+-⋅⋅=⋅⋅222=2AB AC BC AB AC +-⋅，则()=AB CD AB CA AD AB AD AB AC ⋅⋅+=⋅-⋅22222222AB AD BD AB AC BC +-+-=-22222AD BC AC BD +--=；则问题转化为四边形ABCD 中，()()a b b c +⋅+=22221522DB AC CD AB AD BC ⋅=+--=（）二、填空题 (本大题共7小题，单空每题4分，双空每题6分，共36分)11．2096412．1024；10-13．1814．15．110；2-16．1,22⎛⎫⎪⎝⎭17．1[1,]8a ∈-- 提示：16．1,22⎛⎫⎪⎝⎭解：令22()(1)()((1))f x ax bx c a x x m a x m x m =-+=+-=+--，则(1)b a m =--，c am =-，因(1)0f a b c -=++=，又a b c <<，则0a c <<，可得(1)a a m am <--<-，则11m m >->-，即1,22m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭17．1[1,]8a ∈--解：22[0,1]max{||,||}x M x x a b x x b a ∈=+++-+- 1max{||,|2|,||,||}4a b a b b a b a =+++---，由题意得min 1M =的含义即：存在a ，对于任意的b ，M 的最小值为1，由于在数轴上的点2a --和点a -之间的距离恰为2，因此要使得M 的最小值为1，则必有2a a --≤且14a a +≤-，解得1[1,]8a ∈--. 三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 18．解：（I ）在ABC ∆中， 由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =， 又由sin cos()6b A a B π=-，可得sin cos()6a B a B π=-，即sin cos()6B B π=-，………………………………………………………………… 3分即31sin cos sin 2BB B ，可得tan B =，又因为(0,)B π∈，所以3B π=．…………………………………………………… 7分（II ）法一：如图，延长BD 到E ，满足=DE BD ，连接，AE CE ， 则ABCE 为平行四边形，且223,,,3BE BAE AB c AE BC a π=∠====， 在BAE △中，由余弦定理得2222(23)2cos3a c ac π=+-， 即2212a c ac ++=，可得2()12a c ac +-=，即2()12ac a c =+-，……………… 10分由基本不等式得：22()12()2a c ac a c +=+-≤， 即23()124a c +≤，即2()16a c +≤，可得4a c +≤ （当且仅当==2a c 取等号号）……………………………………… 12分又由AE AB BE +>，即23a c +>， 故a c +的取值范围是(23,4] .………………………………………………………… 14分法二：也可以用中线向量+基本不等式解决，酌情给分.19．解：（I ）连接AC 交DB 于E ，连接GE ，易知//GE AM .因为GE ⊄平面AMN ，AM ⊂平面AMN ，所以//GE 平面AMN . ………………………… 3分又//MN BE ，同理可证//BE 平面AMN . 又因为BE GE E =，所以平面//GBD 平面AMN . ………………………… 7分（II ）（几何法）连接ME ，由菱形ABCD 与菱形DBNM 全等且MDB DAB ∠=∠，可得出AD AB BD ==，DM BD MB ==.所以ME BD ⊥，又平面ABCD ⊥平面DBNM 且相交于BD ，所以ME ⊥平面ABCD .由ME BD ⊥，又AC BD ⊥且AC ME E =，所以BD ⊥平面AMC ， 平面GBD ⊥平面AMC ，过C 作CF GE ⊥，所以CF ⊥平面GBD ，连接BF ，由AD//BC ,所以CBF ∠即为直线AD 与平面GBD 的所成角. ……… 10分由（I ）平面//GBE 平面AMN ,CBF ∠即为直线AD 与平面AMN 的所成角. ……………… 12分 由条件有AD AB BD ==，60DAB ∠=︒.在直角三角形MAE 中，ME AE =，所以45∠=︒MAE ，则45GEC ∠=︒所以2CF =，又在直角三角形DEC ,60EDC ∠=︒,所以CE =易知CF BC ==，所以sin CF CBF BC ∠==. 则直线AD 与平面AMN的所成角的正弦值为4．………………………15分（II ）（坐标法）连接ME ，由菱形ABCD 与菱形DBNM 全等且MDB DAB ∠=∠，可得出AD AB BD ==，DM BD MB ==.所以ME BD ⊥，又平面ABCD ⊥平面MNBD 且相交于BD ，所以ME ⊥平面ABCD .则可以以CA 为x 轴，DB 为y 轴，EM 为z 轴，建立空间直角坐标系，令2AB =，则)0A ，，()0,1,0D -，(M ，()0,1,0B，(0,N ， ……… 10分设平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，则由00AM n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20x z y -+=⎧⎪⎨++=⎪⎩则可令1x =，得0y =，1z =，平面AMN 的法向量为()1,0,1n =， ………… 12分设直线AD 与平面AMN 的所成角为θ，sin cos ,AD n θ=<>==， 则直线AD 与平面AMN ……………… 15分 20. 解：（1）由39a +是1a ，5a 的等差中项得153218a a a +=+， 所以135a a a ++331842a =+=，解得38a =，……………………………3分由1534a a +=，得228834q q +=，解得24q =或214q =，因为1q >，所以2q. (6)分 所以2n n a =. …………………………………7分 （Ⅱ）先证右边，112()333()1()22n n n n b =<=+………………………………11分 3412324222()()()513333n n n S b b b b ∴=++++<++++24688221(),36599313n n -=+-⋅≤≥ 又有1222146215136513S S =<=<，，2113n S ∴< (15)分21．解：(Ⅰ)由已知得，12,(1,0),1,,22c p F c e a a =∴===∴=，2223b a c =-=，所以抛物线方程为24y x =，椭圆方程为22143x y += (5)分(Ⅱ)设直线l 方程为：my x n =+，由24,,y x my x n ⎧=⎨=+⎩消去x 得，2440y my n -+=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,4,y y m y y n +=⎧⎨=⎩ 因为22212121212()164431616y y n OA OB x x y y y y n n n =+=+=+=+=- (7)分所以3n =-或1n =-(舍去)，所以直线l方程为：3my x =-. (9)分由221,433,x y my x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得，22(34)18150m y my +++=. 设(,),(,)C C D D C x y D x y ，则2218,3415,34C D C Dm y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩……………11分所以11||||2||||22CDF C D C D C D S EF y y y y y y =⋅-=⨯⨯-=-△==.……………13分(0)t t=>，则2253tm+=，所以2()9tS tt tt==≤=++，当且仅当3t=时，即m=时，………………15分22．证明：（I）设函数2()1xh x ax e-=-．在有两个零点当且仅当在有两个零点．（i）当时，，没有零点；（ii）当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；()f x(0,)+∞()h x(0,)+∞a≤()0h x>()h xa>()(2)e xh'x ax x-=-(0,2)x∈()0h'x<(2,)x∈+∞()0h'x>()h x(0,2)(2,)+∞24(2)1eah=-()h x[0,)+∞(2)0h>2e4a<()h x(0,)+∞(2)0h=2e4a=()h x(0,)+∞③若，即，由于，所以在有一个零点，当时，易证 21xe x >，所以． 故在也有一个零点，因此在有两个零点． 综上，在有两个零点时，．注：采用分离参数进行求解也可以 （II ）证明：()=(1)x x g x e e x --，故'()=(22)x x g x e e x --，令()=22x h x e x --，'()=21x h x e -，所以()h x 在1(,ln )2-∞上单调递减，在1(ln +)2∞，上单调递增， (0)=0h ，1ln 211(ln )=2e ln 2ln 21022h --=-<，222(2)=2e (2)2=0h e ----->，1(2)(ln )02h h -<由零点存在性定理及()h x 的单调性知，方程()=0h x 在1(2,ln )2-有唯一根， 设为0x 且0022=0xe x --，从而()h x 有两个零点0x 和0，所以()g x 在0(,)x -∞单调递增，在0(0)x ，上单调递减，在(0+)∞，单调递增， 从而()g x 存在唯一的极大值点0x 即证，(2)0h <2e 4a >(0)1h =()h x (0,2)0x >33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a=-=->-=->()h x (2,4)a ()h x (0,)+∞()f x (0,)+∞2e 4a >由0022=0x e x --得00+2=2x x e ，01x ≠-， 02000000000222111()(1)(1)()(2)=224444x x x x x x g x e e x x x x ++-++∴=--=--=-+≤（）取等不成立，所以01g()4x <得证， 又012ln2x -<<，()g x 在0,x ∞（-）单调递增， 所以2242032g()(2)(2)1x g e e e e e ----⎡⎤>-=---=+>⎣⎦得证.从而0321()4g x e <<.。
浙江省高三数学9月百校联考试题
浙江省2021届高三数学9月百校联考试题考前须知：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共6页，全卷总分值150分，考试时间120分钟．参考公式： 球的外表积公式S =4πR 2球的体积公式V =43πR 3其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V =Sh其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高台体的体积公式()112213V h S S S S =其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高第一卷〔共40分〕一、选择题〔本大题共10小题，每题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．集合{P x =13}x <<，{2<4Q y y =<}，那么PQ =〔 〕A ．{}12x x << B ．{}23x x << C ．{}14x x<< D ．φ 2．复数2z =3i -〔i 为虚数单位〕的虚部为〔 〕A ．2B ．3C ．3-D ．3i -3．假设实数x ，y 满足约束条件10x y x y ++>⎧⎨->⎩，那么z x y =+的取值范围是〔 〕A ．(1,)-+∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞4．函数2cos y x x =-的局部图象是( )A ．B ．C ．D ．5．一个空间几何体的三视图(单位：cm )如图所示，那么该几何体的体积为〔 〕3cm ．A ．163π+ B ．136π+ C ．166π+ D ．133π+ 〔第5题图〕侧视图俯视图正视图111116．“空间三个平面α，β，γ两两相交〞是“三个平面三条交线互相平行〞的〔 〕 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．0m n >>，0a >且1a ≠，设=m m M a a -+，=n n N a a -+，那么〔 〕 A ．M N > B ．M N = C ．M N < D ．()()10M N a -->8．点P 是双曲线22221x y a b-=右支上一点，1F 是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段1PF 的中垂线，那么该双曲线的渐近线方程是( )A．3y x =±B. y x =±C. y =D. 2y x =±9．数列{}n a ，2nn a =，2n a n b =，1231111=1111n M b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，n ∈N *，那么 〔 〕 A ．1M < B. 43M >C. 2M <D. 2M >10．向量2=a ，3=b ，4=c ，4=d ，0a b c d +++=，那么()()a b b c +⋅+=〔 〕A ． 4B ．52C ．2D ．1第二卷〔共110分〕二、填空题 (本大题共7小题，单空每题3分，双空每题6分，共36分)11．数列{}n a 中,12a =,且点1(,)n n a a +在抛物线24x y =上,那么数列{}n a 的前4项和是． 12．二项式10(2)x -的展开式中,常数项为_____，假设1021001210(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-++-，那么9a 等于______．13．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点3(,44P -,那么tan α=_____,cos 2α=_______．14．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中,点,,M N P 分别是棱11111,,CC C D A D 的中点,过点,,M N P 的平面截正方体1111ABCD A BC D -所得的平面多边形的周长为________，该截面与底面所成锐二面角的正切值为_______．15．在一袋中有20个大小相同的球,其中记上0的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号，那么(2)p X ==______，假设2Y X m =+，且()1E Y =，那么m =_____．16．函数2()()f x ax bx c a b c =-+<<有两个零点为1-和m ，那么实数m 的范围是▲．17．函数2()f x x a x b =+++，[]0,1x ∈，设()f x 的最大值为M ，假设min 1M =时，那么a 的取值范围为▲．三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算过程) 18．(本小题总分值14分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin cos sin b A B a B =+． 〔I 〕求角B 的大小；〔II 〕设点D 是AC 的中点，假设BD =,求a c +的取值范围．19． (本小题总分值15分)如图，平面ABCD ⊥平面DBNM ，且菱形ABCD 与菱形DBNM 全等，且MDB DAB ∠=∠，G 为MC 中点.〔I 〕求证：平面//GBD 平面AMN ；〔II 〕求直线AD 与平面AMN 的所成角的正弦值.20． (本小题总分值15分)等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项. 〔I 〕求数列{}n a 的通项公式；〔II 〕证明：3n n n n a b a =+，设{}n b 的前n 项的和为n S ，求证：2113nS <.21．(本小题总分值15分)设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点F 到抛物线准线的距离为2，假设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点也为F，离心率为12. 〔I 〕求抛物线方程和椭圆方程；〔II 〕假设不经过F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且3OA OB =-(O 为坐标原点)，直线l 与椭圆交于,C D 两点，求CDF △面积的最大值.22．(本小题总分值15分) 函数2()e ( 2.718)x f x ax e =-=.〔I 〕假设()f x 在(0)+∞，有两个零点，求a 的取值范围； 〔II 〕2()e (()1)x g x f x ax x =+--，证明：()g x 存在唯一的极大值点0x ，且0321()4g x e <<.2021～2021金色联盟-浙江省百校联考数学试卷考前须知：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共6页，全卷总分值150分，考试时间120分钟．参考公式：球的外表积公式 S =4πR 2球的体积公式V =43πR 3其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V =13Sh其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高台体的体积公式()112213V h S S S S =++其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高一、选择题〔本大题共10小题，每题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 CCADABADCB提示：8. D 解：如下图，因双曲线线的渐近线为by x a=±，对于1OF c =，直线1PF ：()ay x c b=+， 由原点(0,0)O 到直线1PF ：0ax by ac -+=的距离得22ac d a a b==+，因此1,OM a FM b ==， 那么根据几何图形的性质可得122,2F P b F P a==，x yO1F2FPM因此可得2b a =，那么双曲线的线近线为2y x =±．9．C 解：因2nn a =，222nn a n b ==，12311111111n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭232222111111112222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23222222111111111122222112n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-222112421312n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=<<- 10．B 解：由222=cos 2AB AC BC AB AC AB AC AB ACAB ACθ+-⋅⋅=⋅⋅222=2AB AC BC AB AC +-⋅，那么()=AB CD AB CA AD AB AD AB AC ⋅⋅+=⋅-⋅ 22222222AB AD BD AB AC BC +-+-=-22222AD BC AC BD +--=； 那么问题转化为四边形ABCD 中，()()a b b c +⋅+=22221522DB AC CD AB AD BC ⋅=+--=（）二、填空题(本大题共7小题，单空每题4分，双空每题6分，共36分)11．2096412．1024；10-13．3-；1814．15．110；2-16．1,22⎛⎫⎪⎝⎭17．1[1,]8a ∈--提示：16．1,22⎛⎫⎪⎝⎭解：令22()(1)()((1))f x ax bx c a x x m a x m x m =-+=+-=+--， 那么(1)b a m =--，c am =-，因(1)0f a b c -=++=，又a b c <<，那么0a c <<，可得(1)a a m am <--<-，那么11m m >->-，即1,22m ⎛⎫∈⎪⎝⎭17．1[1,]8a ∈--解：22[0,1]max{||,||}x M x x a b x x b a ∈=+++-+- 1max{||,|2|,||,||}4a b a b b a b a =+++---，由题意得min 1M =的含义即：存在a ，对于任意的b ，M 的最小值为1，由于在数轴上的点2a --和点a -之间的距离恰为2，因此要使得M 的最小值为1，那么必有2a a --≤且14a a +≤-，解得1[1,]8a ∈--. 三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算过程) 18．解：〔I 〕在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =， 又由sin cos()6b A a B π=-，可得sin cos()6a B a B π=-， 即sin cos()6B B π=-，…………………………………………………………………3分即31sin cos sin 2BB B ，可得tan B = 又因为(0,)B π∈，所以3B π=．……………………………………………………7分〔II 〕法一：如图，延长BD 到E ，满足=DE BD ，连接，AE CE ，那么ABCE 为平行四边形，且223,,,3BE BAE AB c AE BC a π=∠====， 在BAE △中，由余弦定理得2222(23)2cos 3a c ac π=+-， 即2212a c ac ++=，可得2()12a c ac +-=，即2()12ac a c =+-，………………10分由根本不等式得：22()12()2a c ac a c +=+-≤， 即23()124a c +≤，即2()16a c +≤，可得4a c +≤ 〔当且仅当==2a c 取等号号〕………………………………………12分又由AE AB BE +>，即23a c +>，故a c +的取值范围是(23,4] .………………………………………………………… 14分 法二：也可以用中线向量+根本不等式解决，酌情给分.19．解：〔I 〕连接AC 交DB 于E ，连接GE ，易知//GE AM .因为GE ⊄平面AMN ，AM ⊂平面AMN ，所以//GE 平面AMN . …………………………3分又//MN BE ，同理可证//BE 平面AMN .又因为BE GE E =，所以平面//GBD 平面AMN . …………………………7分〔II 〕〔几何法〕连接ME ，由菱形ABCD 与菱形DBNM 全等且MDB DAB ∠=∠， 可得出AD AB BD ==，DM BD MB ==.所以ME BD ⊥，又平面ABCD ⊥平面DBNM 且相交于BD ，所以ME ⊥平面ABCD . 由ME BD ⊥，又AC BD ⊥且ACME E =，所以BD ⊥平面AMC ，平面GBD ⊥平面AMC ，过C 作CF GE ⊥，所以CF ⊥平面GBD ，连接BF ，由AD//BC ,所以CBF ∠即为直线AD 与平面GBD 的所成角. ………10分 由〔I 〕平面//GBE 平面AMN ,CBF ∠即为直线AD 与平面AMN 的所成角. ………………12分 由条件有AD AB BD ==，60DAB ∠=︒.在直角三角形MAE 中，ME AE =，所以45∠=︒MAE ，那么45GEC ∠=︒所以2CF CE =，又在直角三角形DEC ,60EDC ∠=︒,所以2CE BC =易知24CF BC ==，所以sin 4CF CBF BC ∠==. 那么直线AD 与平面AMN15分 〔II 〕〔坐标法〕连接ME ，由菱形ABCD 与菱形DBNM 全等且MDB DAB ∠=∠， 可得出AD AB BD ==，DM BD MB ==.所以ME BD ⊥，又平面ABCD ⊥平面MNBD 且相交于BD ，所以ME ⊥平面ABCD . 那么可以以CA 为x 轴，DB 为y 轴，EM 为z 轴，建立空间直角坐标系，令2AB =，那么)0A ，，()0,1,0D -，(M ，()0,1,0B，(0,N ， ………10分 设平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，那么由00AM n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得020x z y -+=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 那么可令1x =，得0y =，1z =，平面AMN 的法向量为()1,0,1n =， …………12分 设直线AD 与平面AMN 的所成角为θ，sin cos ,AD n θ=<>==那么直线AD 与平面AMN15分 20. 解：〔1〕由39a +是1a ，5a 的等差中项得153218a a a +=+， 所以135a a a ++331842a =+=，解得38a =，……………………………3分 由1534a a +=，得228834q q +=，解得24q =或214q =， 因为1q >，所以2q. ………………………………6分 所以2n n a =. …………………………………7分 〔Ⅱ〕先证右边， 112()333()1()22n n n nb =<=+………………………………11分 3412324222()()()513333n n n S b b b b ∴=++++<++++24688221(),36599313n n -=+-⋅≤≥ 又有1222146215136513S S =<=<，，2113n S ∴<………………………………15分 21．解：(Ⅰ)由得，12,(1,0),1,,22c p F c e a a =∴===∴=，2223b a c =-=， 所以抛物线方程为24y x =，椭圆方程为22143x y +=.………………5分 (Ⅱ)设直线l 方程为：my x n =+，由24,,y x my x n ⎧=⎨=+⎩消去x 得，2440y my n -+=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，那么12124,4,y y m y y n +=⎧⎨=⎩因为22212121212()164431616y y n OA OB x x y y y y n n n =+=+=+=+=-……………7分 所以3n =-或1n =-(舍去)，所以直线l 方程为：3my x =-. …………9分 由221,433,x y my x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得，22(34)18150m y my +++=. 设(,),(,)C C D D C x y D x y ，那么2218,3415,34C D C D m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩……………11分 所以11||||2||||22CDF C D C D C D S EF y y y y y y =⋅-=⨯⨯-=-△===.……………13分(0)t t =>，那么2253t m +=，所以2()9t S t t t t==≤=++，当且仅当3t =时，即m =.………………15分22．证明：〔I 〕设函数2()1x h x ax e -=-．()f x 在(0,)+∞有两个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞有两个零点．〔i 〕当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；〔ii 〕当0a >时，()(2)e xh'x ax x -=-．当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >．所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故24(2)1ea h =-是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①假设(2)0h >，即2e 4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点； ②假设(2)0h =，即2e 4a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点； ③假设(2)0h <，即2e 4a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点， 当0x >时，易证 21x e x >，所以33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a=-=->-=->． 故()h x 在(2,4)a 也有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点． 综上，()f x 在(0,)+∞有两个零点时，2e 4a >． 注：采用别离参数进行求解也可以〔II 〕证明：()=(1)x x g x e e x --，故'()=(22)x x g x e e x --，令()=22x h x e x --，'()=21x h x e -，所以()h x 在1(,ln )2-∞上单调递减，在1(ln +)2∞，上单调递增， (0)=0h ，1ln 211(ln )=2e ln 2ln 21022h --=-<，222(2)=2e (2)2=0h e ----->， 1(2)(ln )02h h -<由零点存在性定理及()h x 的单调性知， 方程()=0h x 在1(2,ln )2-有唯一根， 设为0x 且0022=0x e x --，从而()h x 有两个零点0x 和0，所以()g x 在0(,)x -∞单调递增，在0(0)x ，上单调递减，在(0+)∞，单调递增， 从而()g x 存在唯一的极大值点0x 即证，由0022=0x e x --得00+2=2x x e ，01x ≠-， 002000000000222111()(1)(1)()(2)=224444x x x x x x g x e e x x x x ++-++∴=--=--=-+≤（） 取等不成立，所以01g()4x <得证， 又012ln 2x -<<，()g x 在0,x ∞（-）单调递增， 所以2242032g()(2)(2)1x g e e e e e ----⎡⎤>-=---=+>⎣⎦得证. 从而0321()4g x e <<.。
浙江省嘉兴市、丽水市2020高三数学上学期9月月考基础测试题(含解析)
浙江省嘉兴市、丽水市2020届高三数学上学期9月月考基础测试题（含解析）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A，B互斥，那么．如果事件A，B相互独立，那么．如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．台体的体积公式，其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高．球的表面积公式，其中R表示球的半径．球的体积公式，其中R表示球的半径．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合（是虚数单位），，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A，再由交集的概念，即可得出结果.【详解】因为，又，所以.故选C【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先利用指数函数和对数函数的单调性得出和的等价条件，然后再判断这两个条件之间的充分必要关系.【详解】，，“”是“”的必要不充分条件，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B．【点睛】本题考查必要不充分条件关系的判断，同时也涉及了指数函数与对数函数的单调性，一般转化为集合的包含关系来进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.3.如图，函数（）的图象为折线，则不等式的解集为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】在已知坐标系内作出的图象，利用数形结合得到不等式的解集．【详解】由已知的图象,在此坐标系内作出的图象,如图由图像可得，满足不等式的的范围是；所以不等式的解集为故选C【点睛】本题主要考查对数形式的不等式的解法，熟记对数函数的性质，灵活运用数形结合的方法，即可求出结果，属于常考题型.4.已知满足条件，则的最大值为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【分析】先由题意，作出约束条件所表示的平面区域，再由目标函数化为，结合图像，即可得出结果.【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域如下：因为目标函数可化为，因此求目标函数的最大值，只需直线在轴的截距最大；由图像可得，当直线过点时，截距最大，此时.故选C【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需由题意作出平面区域，结合图像求解即可，属于常考题型.5.袋中有形状、大小都相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，其中1个白球，2个红球，2个黄球．从中一次随机取出2个球，则这2个球颜色不同的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】先由题意确定基本事件的总数，再根据这2个球颜色不同的对立事件是两个球颜色相同，即可求出结果.【详解】袋中有形状、大小都相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，其中1个白球，2个红球，2个黄球，从中一次随机取出2个球，基本事件的总数为，这2个球颜色不同的对立事件是两个球颜色相同，所以这2个球颜色不同的概率为.故选D【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概念的计算公式即可，属于常考题型.6.已知向量与不共线，且，若，则向量与的夹角为A. B. C. D. 0【答案】A【解析】【分析】根据题意，直接计算向量与的数量积，即可得出结果.【详解】因为向量与不共线，且，，所以，所以向量与的夹角为.故选A【点睛】本题主要考查向量的夹角运算，熟记向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.7.如图，已知抛物线和圆，直线经过的焦点，自上而下依次交和于A，B，C，D四点，则的值为A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】先由题意得到，设直线，联立直线与抛物线方程，设，结合韦达定理得到，再由抛物线的定义，得到，，进而可求出结果.【详解】因为抛物线的焦点为，又直线经过的焦点，设直线，由得，设，则由题意可得：，同理，所以.故选C【点睛】本题主要考查抛物线的定义与性质，以及向量数量积的运算，熟记向量数量积的定义，以及抛物线的定义与简单性质即可，属于常考题型.8.，，且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项. 【详解】构造形式，则，时导函数，单调递增；时导函数，单调递减．又为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D.【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.9.已知各棱长均为的四面体中，是的中点，直线，则的最小值为（）A. 1＋B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将旋转至与共面，连结，则它与的交点，即为使取最小值的点，然后在中利用余弦定理求出的值.【详解】如图，将旋转至与共面，连结，则它与的交点，即为使取最小值的点．易知，在中由余弦定理得，从而由平方关系得，在中由余弦定理得，所以．【点晴】本题考查空间求线段和差的最值问题，一般转化到同一个平面上处理，结合三角形的正弦、余弦定理求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.已知，关于的不等式在时恒成立，则当取得最大值时，的取值范围为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先得到当时，不等式显然成立．再由，将原不等式化为，即直线夹在曲线段，和，之间．结合函数图像，以及导数的几何意义，即可求出结果.【详解】当时，不等式显然成立．当时，，即，即直线夹在曲线段，和，之间．作出函数与在上的图像如下：由图像易知，最大值为0，直线过点时，取最大值为，当直线与相切时，取最小值；设切点为，则由得，所以在处的切线斜率为，所以切线方程为，因为该切线过原点，所以，化简得，所以，所以.即的最小值为，因此的取值范围为.故选A【点睛】本题主要考查导数的应用，熟记导数的几何意义，即可求解，属于常考题型.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则俯视图的面积为_________，该几何体的体积为________．【答案】 (1). 6. (2). 8.【解析】【分析】先由题意得到该几何体为底面是直角三角形的三棱锥，进而可求出结果.【详解】由三视图可知，该几何体为底面是直角三角形的三棱锥，且其中一条侧棱与底面垂直，图像如图所示：根据题中数据，可得：其俯视图的面积为；该三棱锥的体积为.故答案为 (1). 6. (2). 8.【点睛】本题主要考查根据几何体的三视图求几何体的体积，熟记简单几何体的结构特征，以及棱锥的体积公式，即可求解，属于常考题型.12.已知是公差为的等差数列，为其前项和，若，，成等比数列，则_____，当_______时，取得最大值．【答案】 (1). 19. (2). 10.【解析】【分析】根据题意，列出方程，即可求出首项，再由等差数列的求和公式，即可得出结果.【详解】因为，，成等比数列，所以，又是公差为的等差数列，所以，即，解得，所以，因此，当时，取得最大值．故答案为(1). 19. (2). 10.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记数列的求和公式与通项公式即可，属于常考题型.13.已知函数（），则的最小正周期为_______；当时，的最小值为________．【答案】 (1). . (2). 0.【解析】【分析】先将函数整理得到，根据周期的计算公式，即可求出结果；再根据余弦函数的值域，即可求出结果.【详解】因为，所以最小正周期为；因为，所以，所以，因此，.即的最小值为0.故答案为(1) ；(2)0【点睛】本题主要考查三角函数的周期与最值，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.14.二项式的展开式中，所有有理项．．．（系数为有理数，的次数为整数的项）的系数之和为________；把展开式中的项重新排列，则有理项．．．互不相邻的排法共有____种．（用数字作答）【答案】 (1). 32. (2). 144.【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得到二项式的展开式的通项，即可得出有理项，从而可求出结果.【详解】因为二项式的展开式的通项为，因为，所以，故所有有理项的系数为；把展开式中的项重新排列，则有理项．．．互不相邻的排法共有种.【点睛】本题主要考查二项展开式的特定项系数问题，以及排列问题，熟记二项式定理以及排列数的计算公式即可，属于常考题型.15.△中，，，上的高，且垂足在线段上，为△的垂心且（），则________．【答案】.【解析】【分析】根据题意，求出，，得到，进而可得，再由三点共线，得到存在实数，使得，进而可求出结果.【详解】由题意，因为，，，上的高，所以，，所以，即，即，因为为△的垂心，所以三点共线，因此存在实数，使得，所以，又，所以.故答案为【点睛】本题主要考查平面向量的应用，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型. 16.已知是椭圆（）和双曲线（）的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，若，则的最小值为________．【答案】.【解析】【分析】根据题意，不妨设点在第一象限，那么，根据椭圆与双曲线的定义，得到，，根据余弦定理，整理得到，化为，根据基本不等式，即可求出结果.【详解】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点在第一象限，那么，因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为，根据椭圆与双曲线的定义，有：，，解得，，在中，由余弦定理，可得：，即，整理得，所以，又，所以.故答案为【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的离心率的相关计算，熟记椭圆与双曲线的定义与简单性质，结合基本不等式，即可求解，属于常考题型.17.已知，函数若函数恰有2个不同的零点，则的取值范围为________．【答案】.【解析】【分析】先由题意得到在区间上必须要有零点，求出，所以必为函数的零点，进而可得到在区间上仅有一个零点.根据二次函数的单调性，即可得出结果.【详解】由已知可得在区间上必须要有零点，故解得：，所以必为函数的零点，故由已知可得：在区间上仅有一个零点.又在上单调递减，所以，解得.故答案为.【点睛】本题主要考查由函数零点求参数问题，根据分段函数的性质，以及二次函数的特征即可求解，属于常考题型.三、解答题（本大题共5小题，共74分）18.已知分别为△三个内角的对边，且满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）当时，求△面积的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，先由正弦定理得到，再由余弦定理，即可求出结果；（Ⅱ）先由余弦定理得到，根据基本不等式以及三角形面积公式，即可求出结果.【详解】（Ⅰ）由正弦定理可得，化简即为，从而，所以．（Ⅱ）由，根据余弦定理可得，当且仅当时，取等号；故，此时△是边长为2的正三角形．【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，即可得出结果，属于常考题型.19.如图,四棱锥中，,，，△是等边三角形，分别为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3.【解析】【分析】（Ⅰ）取中点，连接、，根据线面平行的判定定理，得到平面平面，进而可得平面；（Ⅱ）连接，根据题意得到是二面角的平面角，过点作于，得到平面，是直线与平面所成角的平面角，再由题中数据，即可求出结果.【详解】（Ⅰ）取中点，连接、．由于，，，，从而平面平面．又平面，所以平面．（Ⅱ）连接．由于，，则是二面角的平面角，，是边长为的正三角形，且平面．又平面，则平面平面．过点作于，则，平面，是直线与平面所成角的平面角．由于分别是的中点，则，从而，即直线与平面所成角的正切值为3.【点睛】本题主要考查线面平行的证明以及直线与平面所成的角，熟记判定定理以及几何法求线面角即可，属于常考题型.20.已知数列的前项和为，且满足（N*）．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，为数列的前项和，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）先由题意得到，再由时，结合题中条件，即可得到，根据等比数列的通项公式，即可求出结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）得到，利用错位相减法，即可求出，进而可证明结论成立.【详解】（Ⅰ）当时．当时，，两式相减得：．故是以3为公比的等比数列，且，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，由错位相减法（1）（2）两式相减得：，求得：．所以．【点睛】本题主要考查等比数列，以及错位相减法，熟记等比数列的通项公式与求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.21.已知椭圆（）的焦距为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点，设为椭圆上位于第三象限内一动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值，并求出该定值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）四边形的面积为定值2；证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）先由题意得到，，从而可求出，进而可得椭圆方程；（Ⅱ）先设（，），根据椭圆方程得到，再由题意得到直线的方程为，表示出，再由直线的方程为，表示出，根据四边形的面积，化简整理，即可得出结论成立。