第二型曲线积分

§2 第二型曲线积分

教学目的：掌握第二型曲线积分的定义，性质和计算公式．

教学要求：(1)掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别．

(2)了解两类曲线积分的联系．

教学建议：(1) 要求学生必须掌握第二型曲线积分的定义和计算公式．

（2）两类曲线积分的联系有一定的难度，可要求较好学生掌握，并布置这方面习题

教学程序：

一. 第二型曲线积分的定义:

1. 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功:

一质点受变力F(x,y)的作用沿平面曲线C 运动,当质点从C 之一端点A 移动到另一端B 时,求力F(x,y)所做功W.

大家知道,如果质点受常力 F 的作用沿直线运动, 位移为s.那末这个常力所做功为 W=||F||||s||cos θ

其中||F||.||s||分别表示向量(矢量)的长度,θ为F 与S 的夹角

现在问题的难度是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?还是用折线逼近曲线和局部一常代变的方法来解决它(微分分析法).

为此,我们对有向曲线C 作分割

},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内

插入n-1个分点,,.....,,121-n M M M 与 A=n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向 小曲线段i i M M 1-(i=1,2,……,n)以Si ∆ 记为小曲线段i i M M 1-的弧长.}max{Si ∇=λ

设力F(x,y)在x 轴和y 轴方向上的投影分别为 P(x,y)与Q(x,y) 即F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=P(x,y)i+Q(x,y)j

由于),,().,(111i i i i i i y x M y x M --- 记11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x 和i

i m C 1-=(),(y x ∆∆)

从而力F(x,y)在小曲线段i i M M 1-上所作的功

i W ),(i F ηξ≈i

i m C 1-= P(j i ηξ,)i x ∆+Q (j i ηξ,)i y ∆

其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力F 沿C(AB)所作的功可近似

i W =∑=n i i W 1

i n

i i i i n i i i y s Q x S P ∆+∆≈∑∑==1

1

),()),((ηη

当0→λ时,右端积分和式的极限就是所求的功,这种类型和式极限计算上述形式的和式上极限,得

(,)AB

W F dx dy →

=⋅⎰ , 即 ds F W L

⋅=⎰.

2. 稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ).

设有流速场),(y x ()),( , ),(y x Q y x P =. 求在单位时间内通过曲线AB 从左侧到 右侧的流量E . 通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量E 为 ⎰⎰-=AB

AB

dx y x Q dy y x P dE ),(),(.

3. 第二型曲线积分的定义: 设P,Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线C 上的函数,对任一分割T,它把C 分成n 个小弧段i i M M 1-,I=1,2,3,……,n;记),(i i i y x M ,i i M M 1-弧长为i s ∆,}max{Si ∇=λ,11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x , I=1,2,3,……,n.

又设 (j i ηξ,)∈ i i M M 1-,若极限lim ∑=n i i i p 1

. ),(ηξxi ∆+lim ∑=n

i i i Q 1

. ),(ηξyi ∆

存在且与分割T 与界点(j i ηξ,)的取法无关,则称此极限为函数P,Q 有线段C 上的第二类曲线积分,记为⎰c

Qdy Pds + or

⎰

AB

Qdy Pds +

or ⎰⎰+c

c

Qdy Pdx or

⎰

AB

Qdy Pds AB

⎰

+

注(1)若记f(x,y)= (P(x,y),Q(x,y)) ,ds=(dx,dy)

则上述记号可写成向量形式:⎰c

fds

(2)倘若C 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,P,Q,R 为定义在C 上的函数,则可按上述办法定义沿有向曲线C 的第二类曲线积分,并记为

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P fds c

c

),,(),,(),,(++=⎰

⎰

按这一定义 , 有

力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为 ⎰+=AB

Qdy Pdx W .

流速场),(y x v ()),( , ),(y x Q y x P =在单位时间内通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量

E 为 ⎰-=AB

Qdx Pdy E .

第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有 ⎰

⎰-=BA

AB

,

因此, 定积分是第二型曲线积分中当曲线为X 轴上的线段时的特例.

可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线

AB 所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分 ⎰++AB

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.

4. 第二型曲线积分的性质:

第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比,