2020年福建省福州晋安区中考数学模拟练习试卷 解析版

2020年福建省福州晋安区中考数学模拟练习试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列算式中，计算结果是负数的是（）
A．（﹣2）+7B．|﹣1﹣2|C．3×（﹣2）D．（﹣1）2
2．对于一元二次方程x2﹣2x+1＝0，根的判别式b2﹣4ac中的b表示的数是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1
3．如图中的两个梯形成中心对称，点P的对称点是（）
A．点A B．点B C．点C D．点D
4．下列对二次函数y＝x2﹣2x的图象的描述，正确的是（）
A．开口向下B．对称轴是y轴
C．经过原点D．对称轴右侧部分下降
5．已知圆O的半径是3，A，B，C三点在圆O上，∠ACB＝60°，则弧AB的长是（）A．2πB．πC．πD．π
6．随着生产技术的进步，某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到现在的64 元，求年平均下降率．设年平均下降率为x，通过解方程得到一个根为1.8，则正确的解释是（）
A．年平均下降率为80%，符合题意
B．年平均下降率为18%，符合题意
C．年平均下降率为1.8%，不符合题意
D．年平均下降率为180%，不符合题意
7．如图，在四边形ABCD中，点A、B、D在⊙O上，点C在⊙O外，BC与CD交圆于E、F两点，请判断∠B+∠D的度数（）
A．小于180°B．大于180°C．等于180°D．不能确定
8．如图，有2个白炽灯，能通电发光的概率都是50%，如果要求至少有一个灯泡发亮，你认为图中哪一种方式更保险？（）
A．甲B．乙
C．甲、乙都可以D．两种都不可以
9．函数y＝﹣的图象是（）
A．B．
C．D．
10．距资料，我国古代数学家祖冲之和他的儿子发展了刘徽的“割圆术”（即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长就越接近圆周长），他们从圆内接正六边形算起，一直算到内接正24576 边形，将圆周率精确到小数点后七位，使中国对圆周率的计算在世界上领先了一千多年，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（）A．2.9B．3C．3.1D．3.14
二．填空题（共6小题）
11．若点（1，﹣2）在双曲线y＝上，则k的值为．
12．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度后，得到△ADE，且点B的对应点D恰好落在BC边上，若∠B＝70°，则∠CAE的度数是度．
13．如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得BM：DM＝2：11，则旗杆的高度为m．
14．二次函数y＝﹣3x2+1的图象如图所示，将其沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为．
15．若（a﹣1）（2+a）＝3，则（a﹣1）2+（2+a）2＝．
16．如图，点A，D在反比例函数y＝（m＜0）的图象上，点B，C在反比例函数y＝（n ＞0）的图象上．若AB∥CD∥x轴，AC∥y轴，且AB＝4，AC＝3，CD＝2，则n＝．
三．解答题（共9小题）
17．解方程：x2﹣2x﹣4＝0．
18．一个盒子里有标号分别为1，2，3的三个小球，这些小球除标号数字外都相同，每次摸出一个小球，然后放回充分摇匀后再摸，在实验中得到下表中部分数据：
试验次数20406080100120150出现1号小球的频率0.350.3250.350.3380.340.3250.327（1）从上表中可以估计摸到“1号小球”发生的概率是（精确到0.01）
（2）甲、乙两人用这三个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若再次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．
19．如图，在正方形ABCD中，点E是CB上一点．
（1）请用尺规作图法，在线段AE上确定点H，使△AHD∽△EBA（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）利用你的作图法，证明△AHD∽△EBA．
20．卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为非典型肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有169人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？写出过程．
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？21．如图，已知⊙O的直径AB，过圆外一点D作⊙O的两条切线，切点分别为点A、点E，过点B作BC∥AD交DE的延长线于点C．
（1）证明：BC＝EC；
（2）若AB＝12，设AD＝x，BC＝y，求y与x的函数解析式．
22．已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，点D与点A为对应点，画出Rt△ODC，并连接BC．
（1）填空：∠OBC＝°；
（2）如图，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度．
23．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠B＝∠ADE＝∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B＝45°，BC＝2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△ADE 是等腰三角形，求此时BD的长．
24．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个
点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE．
（1）求证：直线CG为⊙O的切线；
（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH，
①△CBH∽△OBC；
②求OH+HC的最大值．
25．在平面直角坐标中，已知点A在抛物线y＝x2+bx+c（b＞0）上，且A（1，﹣1）．（1）若b﹣c＝4，求b，c的值；
（2）若该抛物线与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，则命题“对于任意一个k （0＜k＜1），都存在b，使得OC＝k•OB”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例；
（3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过（1，﹣1），点A的对应点A1为（1﹣m，2b﹣1），当m≥﹣时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列算式中，计算结果是负数的是（）
A．（﹣2）+7B．|﹣1﹣2|C．3×（﹣2）D．（﹣1）2
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以得到哪个选项中的结果是负数，本题得以解决．
【解答】解：∵（﹣2）+7＝5＞0，故选项A不符合题意；
∵|﹣1﹣2|＝|﹣3|＝3＞0，故选项B不符合题意；
∵3×（﹣2）＝﹣6＜0，故选项C符合题意；
∵（﹣1）2＝1＞0，故选项D不符合题意；
故选：C．
2．对于一元二次方程x2﹣2x+1＝0，根的判别式b2﹣4ac中的b表示的数是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1
【分析】分清一元二次方程中，二次项系数、一次项系数和常数项，直接解答即可．【解答】解：因为一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac，
在方程x2﹣2x+1＝0中，a＝1，b＝﹣2，c＝1，
故选：A．
3．如图中的两个梯形成中心对称，点P的对称点是（）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】根据两个中心对称图形的性质即可解答．关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；关于中心对称的两个图形能够完全重合．【解答】解：根据中心对称的性质：图中的两个梯形成中心对称，点P的对称点是点C．故选：C．
4．下列对二次函数y＝x2﹣2x的图象的描述，正确的是（）
A．开口向下B．对称轴是y轴
C．经过原点D．对称轴右侧部分下降
【分析】将抛物线解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断可得．
【解答】解：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
A．由a＝1＞0知抛物线开口向上，此选项错误；
B．此抛物线的对称轴为直线x＝1，此选项错误；
C．当x＝0时，y＝0，此抛物线经过原点，此选项正确；
D．由a＞0且对称轴为直线x＝1知，当x＞1，即对称轴右侧时，y随x的增大而增大，此选项错误；
故选：C．
5．已知圆O的半径是3，A，B，C三点在圆O上，∠ACB＝60°，则弧AB的长是（）A．2πB．πC．πD．π
【分析】根据圆周角定理求得∠AOB＝120°，由弧长公式l＝进行解答．
【解答】解：如图，∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∴l＝＝＝2π．
故选：A．
6．随着生产技术的进步，某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到现在的64 元，求年平均下降率．设年平均下降率为x，通过解方程得到一个根为1.8，则正确的解释是（）
A．年平均下降率为80%，符合题意
B．年平均下降率为18%，符合题意
C．年平均下降率为1.8%，不符合题意
D．年平均下降率为180%，不符合题意
【分析】等量关系为：2年前的生产成本×（1﹣下降率）2＝现在的生产成本，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设年平均下降率为x，
则可得：100（1﹣x）2＝64，
通过解方程得到一个根为1.8，即x＝1.8＝180%，
所以年平均下降率为180%，不符合题意，
故选：D．
7．如图，在四边形ABCD中，点A、B、D在⊙O上，点C在⊙O外，BC与CD交圆于E、F两点，请判断∠B+∠D的度数（）
A．小于180°B．大于180°C．等于180°D．不能确定
【分析】连接DE，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠ABE+∠ADE＝180°，从而可判断∠ABC+∠ADC＞180°．
【解答】解：连接DE，如图，
∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，
∴∠ABE+∠ADE＝180°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°+∠CDE＞180°．
故选：B．
8．如图，有2个白炽灯，能通电发光的概率都是50%，如果要求至少有一个灯泡发亮，你认为图中哪一种方式更保险？（）
A．甲B．乙
C．甲、乙都可以D．两种都不可以
【分析】根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出至少有一个灯泡发光的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：甲图列表如下：
灯泡1发光灯泡1不发光灯泡2发光（发光，发光）（不发光，发光）
灯泡2不发光（发光，不发光）（不发光，不发光）所有等可能的情况有4种，其中至少有一个灯泡发光的情况有3种，P甲＝，
乙图列表如下：
灯泡1发光灯泡1不发光灯泡2发光（发光，发光）（不发光，发光）
灯泡2不发光（发光，不发光）（不发光，不发光）所有等可能的情况有4种，其中至少有一个灯泡发光的情况有3种，P乙＝，
∴P甲＜P乙，
∴乙图更保险．
故选：B．
9．函数y＝﹣的图象是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的定义域和值域进行判断．
【解答】解：由y＝﹣可知，x可以取正数，也可以取负数，但函数值只能是负数，所以函数图象应该是在x轴的下方，并且x、y均不为零．
故选：C．
10．距资料，我国古代数学家祖冲之和他的儿子发展了刘徽的“割圆术”（即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长就越接近圆周长），他们从圆内接正六边形算起，一直算到内接正24576 边形，将圆周率精确到小数点后七位，使中国对圆周率的计算在世界上领先了一千多年，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（）A．2.9B．3C．3.1D．3.14
【分析】设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，则π≈，延长即可解决问题；
【解答】解：由题意n＝6时，π≈＝＝3，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．若点（1，﹣2）在双曲线y＝上，则k的值为﹣2．
【分析】将点（1，﹣2）代入函数表达式，即可求解．
【解答】解：将点（1，﹣2）代入y＝得，﹣2＝，
解得：k＝﹣2，
故答案为﹣2．
12．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度后，得到△ADE，且点B的对应点D恰好落在BC边上，若∠B＝70°，则∠CAE的度数是40度．
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，由等腰三角形的性质可得∠B＝∠ADB＝70°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度后，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠BAD＝40°＝∠CAE，
故答案为：40．
13．如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得BM：DM＝2：11，则旗杆的高度为8.8 m．
【分析】根据题意抽象出相似三角形，然后利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【解答】解：根据题意得：△ABM∽△CDM，
∴AB：CD＝BM：DM，
∵AB＝1.6m，BM：DM＝2：11，
∴1.6：CD＝2：11，
解得：CD＝8.8m，
故答案为：8.8．
14．二次函数y＝﹣3x2+1的图象如图所示，将其沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为y
＝3x2﹣1．
【分析】根据二次函数图象与几何变换，将y换成﹣y，整理后即可得出结论．
【解答】解：将二次函数y＝﹣3x2+1的图象沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为﹣y ＝﹣3x2+1，
整理得：y＝3x2﹣1．
故答案为：y＝3x2﹣1．
15．若（a﹣1）（2+a）＝3，则（a﹣1）2+（2+a）2＝15．
【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则得出a2+a＝5，再利用乘法公式将原式变形进而得出答案．
【解答】解：∵（a﹣1）（2+a）＝3，
∴2a+a2﹣2﹣a＝3，
故a2+a＝5，
（a﹣1）2+（2+a）2
＝a2﹣2a+1+4+a2+4a
＝2a2+2a+5
＝2（a2+a）+5，
把a2+a＝5代入上式得：
原式＝2×5+5＝15．
故答案为：15．
16．如图，点A，D在反比例函数y＝（m＜0）的图象上，点B，C在反比例函数y＝（n ＞0）的图象上．若AB∥CD∥x轴，AC∥y轴，且AB＝4，AC＝3，CD＝2，则n＝．
【分析】先设B（x，），再根据AB＝4，AC＝3，CD＝2，表示出点A、C、D的坐标，列出关于x、m、n的方程组，解出即可．
【解答】解：设B（x，），则A（x﹣4，），C（x﹣4，），D（x﹣2，），依题意有
，解得：，
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
17．解方程：x2﹣2x﹣4＝0．
【分析】在本题中，把常数项﹣4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
【解答】解：由原方程移项，得
x2﹣2x＝4，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2﹣2x+1＝5，
配方，得
（x﹣1）2＝5，
∴x＝1±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
18．一个盒子里有标号分别为1，2，3的三个小球，这些小球除标号数字外都相同，每次摸出一个小球，然后放回充分摇匀后再摸，在实验中得到下表中部分数据：
试验次数20406080100120150出现1号小球的频率0.350.3250.350.3380.340.3250.327（1）从上表中可以估计摸到“1号小球”发生的概率是0.33（精确到0.01）
（2）甲、乙两人用这三个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若再次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．
【分析】（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；
（2）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的情况数以及两次摸到小球的标号数字为一奇一偶的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.33附近，
∴估计摸到“1号小球”发生的概率是0.33；
（2）列表如下：
123
1（1，1）（2，1）（3，1）
2（1，2）（2，2）（3，2）
3（1，3）（2，3）（3，3）共有9种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有5种，两次摸到小球的标号数字为一奇一偶有4种，
∴P（甲）＝，P（乙）＝，
∵＜，
∴这个游戏对甲、乙两人是不公平的．
19．如图，在正方形ABCD中，点E是CB上一点．
（1）请用尺规作图法，在线段AE上确定点H，使△AHD∽△EBA（不要求写作法，保
留作图痕迹）；
（2）利用你的作图法，证明△AHD∽△EBA．
【分析】（1）过点D作DH⊥AE于H，则可得△AHD∽△EBA；
（2）依据两角对应相等的两个三角形相似，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示，点H即为所求；
（2）∵DH⊥AE，∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAH＝∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠BAE＝∠DAH，
又∵∠AHD＝∠B＝90°，
∴△AHD∽△EBA．
20．卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为非典型肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有169人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？写出过程．
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？
【分析】（1）设每人每轮传染x人，根据经过两轮传染后共有169人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值与10比较后即可得出结论；
（2）根据经过3轮传染后病毒携带者的人数＝经过两轮传染后病毒携带者的人数×（1+每人每轮传染的人数），即可求出结论．
【解答】解：（1）设每人每轮传染x人，
依题意，得：1+x+（1+x）•x＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去），
∵12＞10，
∴最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，
（2）169×（1+12）＝2197（人），
答：若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有2197人成为新冠肺炎病毒的携带者．21．如图，已知⊙O的直径AB，过圆外一点D作⊙O的两条切线，切点分别为点A、点E，过点B作BC∥AD交DE的延长线于点C．
（1）证明：BC＝EC；
（2）若AB＝12，设AD＝x，BC＝y，求y与x的函数解析式．
【分析】（1）欲证明BC是⊙O的切线，只要证明AB⊥BC即可．
（2）作DH⊥BC于H，在Rt△DHC中，利用勾股定理构建关系式即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的切线，
∴AD⊥AB，
∵AD∥BC，
∴BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：作DH⊥BC于H．
∵AD，CD，BC是⊙O的切线，
∴DA＝DE＝x，CB＝CE＝y，
∴CD＝x+y，
∵AD⊥AB，AB⊥BC，DH⊥BC，
∴∠DAB＝∠ABH＝∠DHB＝90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AB＝DH＝12，AD＝BH＝x，CH＝y﹣x，
在Rt△DHC中，∵CD2＝DH2+CH2，
∴（x+y）2＝122+（y﹣x）2，
∴xy＝36，
∴y＝（x＞0）．
22．已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，点D与点A为对应点，画出Rt△ODC，并连接BC．
（1）填空：∠OBC＝60°；
（2）如图，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度．
【分析】（1）只要证明△OBC是等边三角形，即可得到∠OBC的度数；
（2）根据面积法，利用三角形AOC的面积进行计算，即可得到OP的长度．
【解答】解：（1）由旋转性质可知：OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°．
故答案为：60．
（2）∵OB＝4，∠ABO＝30°，
∴OA＝OB＝2，AB＝OA＝2，
∵△BOC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝90°，
∴AC＝＝＝2，
∵S△AOC＝OA×AB＝AC×OP，
∴×2×2＝×2×OP，
∴OP＝．
23．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠B＝∠ADE＝∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B＝45°，BC＝2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△ADE 是等腰三角形，求此时BD的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）当AD＝AE时，则∠1＝∠AED＝45°，得到∠DAE＝90°，则点D与B重合，不合题意舍去；当EA＝ED时，如图1，则∠EAD＝∠1＝45°，所以有AD平分∠BAC，得到AD垂直平分BC，则BD＝1；当DA＝DE时，如图2，由△ADE∽△ACD，易得△CAD为等腰三角形，则DC＝CA＝，于是有BD＝BC﹣DC＝2﹣．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠ADE＝∠C，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，
∵∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△BDA∽△CED；
（2）当AD＝AE时，∴∠1＝∠AED＝45°，
∴∠DAE＝90°，
∴点D与B重合，不合题意舍去；
当EA＝ED时，如图1，
∴∠EAD＝∠1＝45°，
∴AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC，
∴BD＝1；
当DA＝DE时，如图2，
∵∠1＝∠C，∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴DA：AC＝DE：DC，
∴DC＝CA＝，
∴BD＝BC﹣DC＝2﹣，
∴综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长为1或2﹣．
24．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE．（1）求证：直线CG为⊙O的切线；
（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH，
①△CBH∽△OBC；
②求OH+HC的最大值．
【分析】（1）由题意可知：∠CAB＝∠GAF，由圆的性质可知：∠CAB＝∠OCA，所以∠OCA＝∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；
（2）①由于CB＝CH，所以∠CBH＝∠CHB，易证∠CBH＝∠OCB，从而可证明△CBH ∽△OBC；
②由△CBH∽△OBC可知：，所以HB＝，由于BC＝HC，所以OH+HC ＝4+BC，利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．
【解答】解：（1）由题意可知：∠CAB＝∠GAF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∵∠GAF＝∠GCE，
∴∠GCE+∠OCB＝∠OCA+∠OCB＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CG是⊙O的切线；
（2）①∵CB＝CH，
∴∠CBH＝∠CHB，
∵OB＝OC，
∴∠CBH＝∠OCB，
∴△CBH∽△OBC
②由△CBH∽△OBC可知：
∵AB＝8，
∴BC2＝HB•OC＝4HB，
∴HB＝，
∴OH＝OB﹣HB＝4﹣
∵CB＝CH，
∴OH+HC＝4+BC，
当∠BOC＝90°，
此时BC＝4
∵∠BOC＜90°，
∴0＜BC＜4，
令BC＝x
∴OH+HC＝﹣（x﹣2）2+5
当x＝2时，
∴OH+HC可取得最大值，最大值为5
25．在平面直角坐标中，已知点A在抛物线y＝x2+bx+c（b＞0）上，且A（1，﹣1）．（1）若b﹣c＝4，求b，c的值；
（2）若该抛物线与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，则命题“对于任意一个k （0＜k＜1），都存在b，使得OC＝k•OB”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例；
（3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过（1，﹣1），点A的对应点A1为（1﹣m，2b﹣1），当m≥﹣时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标．
【分析】（1）把（1，﹣1）代入y＝x2+bx+c得b+c＝﹣2，与b﹣c＝4构成方程组，解方程组即可求得；
（2）求得B（0，﹣2﹣b），C（﹣，0），即可求得OC＝，OB＝2+b，根据题意选k ＝时，由OC＝OB得＝（2+b），此时b＝﹣6＜0不合题意，即可判定命题不正确；
（3）把y＝x2+bx+c化成顶点式，得到y＝（x+）2﹣﹣2﹣b，根据平移的规律得到y＝（x++m）2﹣﹣2+b，把（1，﹣1）代入，进一步得到（1++m）2＝（﹣1）2，即1++m＝±（﹣1），分类求得m＝﹣b，由m≥﹣，得到b≤，即0＜b≤，从而得到平移后的解析式为y＝（x﹣）2﹣﹣2+b，得到顶点为（，﹣﹣2+b），设p＝﹣﹣2+b，即p＝﹣（b﹣2）2﹣1，即可得到p取最大值为﹣，从而得到最高点的坐标．
【解答】解：（1）把（1，﹣1）代入y＝x2+bx+c，可得b+c＝﹣2，
解，可得b＝1，c＝﹣3，
（2）不正确，
理由：由b+c＝﹣2，得c＝﹣2﹣b．
对于y＝x2+bx+c，
当x＝0时，y＝c＝﹣2﹣b．
抛物线的对称轴为直线x＝﹣．
所以B（0，﹣2﹣b），C（﹣，0）．
因为b＞0，
所以OC＝，OB＝2+b，
当k＝时，由OC＝OB得＝（2+b），此时b＝﹣6＜0不合题意．所以对于任意的0＜k＜1，不一定存在b，使得OC＝k•OB；
（3）由平移前的抛物线y＝x2+bx+c，可得
y＝（x+）2﹣+c，即y＝（x+）2﹣﹣2﹣b．
因为平移后A（1，﹣1）的对应点为A1（1﹣m，2b﹣1）
可知，抛物线向左平移m个单位长度，向上平移2b个单位长度．
则平移后的抛物线解析式为y＝（x++m）2﹣﹣2﹣b+2b，
即y＝（x++m）2﹣﹣2+b．
把（1，﹣1）代入，得
（1++m）2﹣﹣2+b＝﹣1．
（1++m）2＝﹣b+1．
（1++m）2＝（﹣1）2．
所以1++m＝±（﹣1）．
当1++m＝﹣1时，m＝﹣2（不合题意，舍去）；
当1++m＝﹣（﹣1）时，m＝﹣b，
因为m≥﹣，所以b≤．
所以0＜b≤，
所以平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣）2﹣﹣2+b．
即顶点为（，﹣﹣2+b），
设p＝﹣﹣2+b，即p＝﹣（b﹣2）2﹣1．
因为﹣＜0，所以当b＜2时，p随b的增大而增大．
因为0＜b≤，
所以当b＝时，p取最大值为﹣，
此时，平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为（，﹣）．。