3.1 布洛赫定理及能带

§ 3.1 布洛赫定理及能带
在对单电子势
V (r ) 0 情形作具体讨论
之前,本节特别强调单电子势具有晶体的平移 对称性时所导致的重要结果—使电子波函数具
有布洛赫波的形式.
§ 3.1.1 布洛赫定理及证明
1. Bloch定理指出，在独立电子近似和周期场近似下晶体中单 个电子的定态波函数具有如下性质 ik R (r Rl ) e (r ) 表明： (r ) 在相距任一格矢 Rl 的两点处仅相差一个相位因子 e ik Rl 如果将 (r ) 改写成如下形式
2 me
可得
2 2 ikr ikr ik r r e u k (r ) U (r )e u k (r ) e u k (r ) 2 me
其中 e 于是有
2 ik r r
2 ik r 1 i k r u k (r ) r r [e u k (r )] e ( r k ) uk (r )
于是有
2 2 ˆ H ˆ (r ) [ U ( r a )] T ( r ai ) ai r ai i 2m e
2 ˆ U ( r )]T (r ) [ 2 r ai 2m e
即 因此得到
ˆ ˆ Tai H (r ) HTai (r ) , i 1、 2、 3
1 2 3 (r )
l1 l2 l3
i(
i(
e
e
e
即
h h1 h 2 l1 2 2 l2 3 2 l3 ) N1 N2 N3
(r )
(r )
h k1 h b1 a1l1 2 b2 a2l2 3 b3 a3l3 ) N1 N2 N3
ˆ , H ˆ]T ˆ H ˆ H ˆT ˆ 0， i 1、 [T 2、 3 ai ai ai ˆ 与Hamilton算符对易。 表明：平移算符 T
ˆ 、T ˆ 和T ˆ 这三个平移算符是两两对易的。 显然， T a1 a2 a3
ai
ˆ 、T ˆ 、T ˆ 和H ˆ 这四个算符是两两对易的。 由此可知，T a1 a2 a3 ˆ 、T ˆ 、T ˆ 和H ˆ 有共同的本征函数 根据量子力学原理，T a1 a2 a3 2 ˆ (r ) [ U ( r )] H 2 ( r ) ( r ) r 2 me ˆ (r T ) ( r ) , i 1、 2、 3 a i
＊ k
由于V是一个宏观量，因此均匀分布在倒易空间中的Bloch波矢点 是极其密集的，可以看作是准连续分布。
显然，对于任一倒格矢 K h ，有
e
i ( k K h )Rl
e
ik Rl
表明：相差一个倒格矢的所有Bloch波矢（有无限多）其实是等 效的，由它们所标记的晶体平移算符的本征值是完全相同的，因 此只需选定其中的一个Bloch波矢作为代表即可。 由于任何一个高Brillouin区中的各点相对于FBZ中的相应点的 位矢均为倒格矢， 因此在相差一个倒格矢的所有Bloch波矢中可以
即 于是得到 所以有
i
i e
i
Ni
1, i 1、 2、 3
, hi 0、 1、 2、
hi 2 Ni
(r Rl ) (r l1a1 l 2 a 2 l3 a3 ) l3 l1 ˆ l2 ˆ ˆ (Ta1 ) (Ta2 ) (Ta3 ) (r )
由此可见，矢量 k 是标记平移算符本征值的一种量子数， i k R 称为Bloch波矢。 因此，确定平移算符 T R 的本征值 e l ，就是要 确定出Bloch波矢 k 的具体值。
L
e
ik Rl
来自百度文库
取决于矢量 k
具有平移对称性的有限理想晶体应满足Born-Von Karman边 界条件
对称性（或周期性）对晶体中电子的运动所产生的量子效应。
§ 3.1.2 能带及其图示
1能带结构：首先，来考察晶体中Bloch电子运动的能量特征。
2 i k r 代入 2 ˆ (r ) [ k (r ) e u k (r ) H r U (r )] (r )
ˆ 恒等算符， i 1、 T 2、 3 Ni ai
因此有
ik N i ai (r ) T Ni ai (r ) e (r ) , i 1、 2、 3
若设 k b1 b2 b3 N1 2 h1 2 则有 1、 2、 N 2 2 h2 2 , hi 0、 N 2 h 2 3 3
RL
由于简约Bloch波矢标记着平移算符不同的本征值， 因此平移算符
综上所述： Bloch定理的实质在于它指出了独立电子近似和周期场近似下晶体 中单个电子的定态波函数是晶体平移算符的本征函数，这反映了晶 体微观结构的平移对称性（或周期性）对晶体中电子的运动所产生 的量子效应。
晶体的平移算符 T 具有由 N个不同的简约Bloch波矢 k 所标记的 ik R N个不同的本征值 e l ，相应于每一个本征值的本征函数都是在
i
k
由于 因此，上述本征值方程是在一个初基元胞的有限区域内具有周期 性边界条件的Hermite（或自伴）本征值问题。 根据有关的数学理论， 对于每一个波矢 有无穷多个分立的本征值和相应的本征函数 即 若记
2 ˆ k ) 2 ( p 1 ˆ Hk ( r k ) U (r ) U (r ) 2 me i 2 me ˆ u ( r R ) u ( r ) H k 也是一个Hermite算符 l k k
l
ik r (r ) e u (r )
ik r u (r ) e (r ) 即 ik ( r Rl ) ik Rl ik Rl ik r 则由 u(r Rl ) e (r Rl ) e e e (r ) 可得 u (r Rl ) u (r ) 表明：在独立电子近似和周期场近似下晶体中的单个电子,其定态 波函数是一个波幅按晶体微观结构周期性来调制的调幅平面波。 具有这种性质的波函数，通常称为Bloch波函数或Bloch波。
即
h1 h2 h3 k b1 b2 b3 , N1 N2 N3
即
e
ik Ni ai
1
hi 0、 1、 2、 , i 1、 2、 3
表明：Bloch波矢许可的取值是量子化的，可在倒易空间中表示 成一个均匀分布的分立的点集，这个点集称为Bloch波矢点集。
约定选取位于FBZ中的Bloch波矢作为代表。这样约定选取作为代 表的Bloch波矢可称之为简约Bloch波矢。除了特别说明之外，此 后所提及的Bloch波矢或波矢均指简约Bloch波矢。 显然，简约Bloch波矢的数目为
＊ ＊ ＊ N ＊ Vk /N
即
Bloch 波矢的数目 晶体中的初基原胞数目 N
RL
ik Rl 如果将相应于由某一简约Bloch波矢 k 所标记的本征值 e
独立电子近似和周期场近似下晶体中单个电子的定态波函数。 的定态波函数记为 k (r ) ，则有 i k ˆ (r ) e Rl (r k (r Rl ) T ) Rl k k
Bloch波矢点集中每一个点的位矢代表一个Bloch波矢，它在
倒易空间中平均占据的“空间范围”为
＊ k
b1 b2 b3 ＊ (2 ) 3 (2 ) 3 V ( ) ＝ N1 N 2 N 3 N N V
或者说在倒易空间中Bloch波矢点的数密度为
1 N V n ＊ ＊ Vk (2 ) 3
由Bloch波函数来描述其状态的单个电子,通常称为Bloch电子。
ik r u (r Rl ) u (r ) (r ) e u (r ) 因此，式中的 k 不是严格的波动学意义下的波矢。 那么，k 表示
Bloch波函数： 不再是一个单色平面波
的是什么呢？ 利用晶体的平移算符 ， 显然有 ˆ (r (r Rl ) T ) Rl 于是，Bloch定理又可表示成如下形式 i k ˆ (r ) e Rl (r T ) Rl 表明：在独立电子近似和周期场近似下晶体中单个电子的定态波 函数是晶体平移算符的本征函数， 的本征值 相应于平移算符 T R L
所标记的Bloch波函数的能量本征值ε的数值 与波矢 k 的取值有关，可记之为 (k ) 表明：由波矢
由此可见，利用Bloch定理可将单电子定态Schrodinger方程 转化为如下形式的本征值方程
2 2 1 [ ( r k ) U (r )]u k (r ) u k (r ) 2 me i
h1 h2 h3 i ( b1 b2 b3 ) Rl N1 N2 N3
(r )
ik Rl (r Rl ) e (r )
h1 h2 h3 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
这就是Bloch定理。显然，Bloch定理是晶体微观结构平移对称 性或周期性的直接结果，其物理实质是揭示了晶体微观结构的平移

或
i k r k (r ) e u k (r )
u k (r Rl ) u k (r )
2. Bloch定理的证明
在独立电子近似下晶体中单个电子的Hamilton算符为
U (r ) 是晶体势能场， 它等于离子实晶格所产生的静电势能场与晶
2 ˆ U (r ) H 2 r 2 me
体中其它所有电子所产生的平均势能场之和 U (r ) v I (r ) ve (r ) 在基于晶体微观结构平移对称性（或周期性）的周期场近似 下，晶体势能场具有与晶体微观结构相同的周期性（或平移对称 性）
ˆ U (r U (r Rl ) T ) U ( r ) Rl
i
具有平移对称性的有限理想晶体应满足Born-Von Karman边 界条件 ˆ
i i I i i
TNi ai 恒等算符， i 1、 2、 3 N N ˆ ˆ (r ) (r N a ) (T ) (r ) (r ) 因此有 (r ) TN a i i a i
奇 Ni N 整数hi i ，N i为 数时取 号 2 2 偶
且这N个不同的Bloch波矢表示为
h1 h2 h3 k b1 b2 b3 , N1 N2 N3
T 具有由N个不同的简约Bloch波矢 k 所标记的N个不同的本征 ik R 值 e l