著名机构初中数学培优讲义中考复习.解直角三角形.第11讲(通用讲).教师版

内容基本要求略高要求较高要求勾股定理及逆定理 已知直角三角形两边长，求第三条边 会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形 会运用勾股定理解决有关的实际问题。

解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题锐角三角函数了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题模块一、勾股定理1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。

CAB cba2．勾股定理的证明：（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：知识点睛中考要求解直角三角形如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即222在中如果那么是直角三角形。

ABC AC BC AB ABC∆+=∆,,4．勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17。

模块二、解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形．二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：cb CBA（1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、 解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =；（3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=；（4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠．具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin ac A=等．四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． 六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等． 七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为hi l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． （3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．模块三、三角函数一、锐角三角函数的定义如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．a A（1）正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin aA c=． （2）余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b=． 注意：① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义．② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值． 二、特殊角三角函数三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan aA b=，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，．四、三角函数关系 1．同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A= 2．互余角三角函数关系：(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-；(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-． 3．锐角三角函数值的变化规律：(1)A 、B 是锐角，若A >B ，则sin A >sin B ；若A <B ，则sin A <sin B(2) A 、B 是锐角，若A >B ，则cos A <cos B ；若A <B ，则cos A >cos B (3) A 、B 是锐角，若A >B ，则tan tan A B >；若A <B ，则tan tan A B <板块一、勾股定理三角函数 0︒ 30︒45︒60︒90︒sin A12 22 32 1cos A 132 2212 0 tan A3313-例题精讲【例1】 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 米（填“大于”、“等于”、“小于”）68【解析】由勾股定理可知：大于 【答案】大于【例2】 已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．【解析】由题意得，10cm AF AD ==. 在ABF ∆中，应用勾股定理得， 6cm BF =.所以1064FC BC BF =-=-=.在CEF ∆中，应用勾股定理，设cm EC x =，得 ()22284x x -=+.解得3x = 即3cm EC =. 【答案】3cm【例3】 如图，M 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，P ，Q 分别在AC ，BC 上，PM MQ ⊥，判断PQ ，AP 与BQ 的数量关系并证明你的结论．QPMCBA【解析】222PQ AP BQ =+．延长QM 到N ，使MN QM =，连结AN 、PN ． 显然PMQ PMN ∆∆≌，AMN BMQ ∆∆≌ ∴PN PQ =，AN BQ =，MBQ MAN ∠=∠ ∵90CAB ABC ∠+∠=︒∴90PAN PAM MAN ∠=∠+∠=︒ ∴APN ∆为直角三角形． ∴222PQ AP BQ =+．NABCMPQ【答案】见解析【例4】 如图，已知ABC ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，90ACB DCE D ∠=∠=︒，为AD 边上一点，求证： 222AD AE DE +=EDCBA【解析】因为EC DC =，AC BC ACE BCD =∠=∠，，所以可知ACE BCD ∆∆≌,所以90EAD ∠=︒，得证 【答案】见解析【例5】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若54a b c +==，，则ABC S ∆= .【解析】 在Rt ABC ∆中,由勾股定理得，222a b c +=.又有()2222a b a b ab +=++, 所以 ()222a b c ab +-=所以1924ABC S ab ∆==.【答案】94ABC S ∆=板块二、解直角三角形【例6】如图是教学用直角三角板，边3090tanAC cm C BAC =∠=︒∠，，则边BC 的长为（ ）连接AC ．（1）若30CPA ∠=︒，那么PC 的长为 ．（2）若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ，CMP ∠的大小是否会发生QAP α∠=，地球半径为R ，则航天飞机距地球表面的最近距离AP ，以及P Q 、两点间的地面距离分别是（ ）．【例9】 在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为，OP 与轴正方向的夹角为，则用表示点P 的极坐标，显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P 的坐标为（1，1），则其极坐标为45⎤︒．若点Q 的极坐标为[]460︒，，则点Q 的坐标为（ ）【答案】A【例10】 如图，从热气球C 上测定建筑物A B 、底部的俯角分别为30︒和60︒，如果这时气球的高度CD 为150米，且点在同一直线上，建筑物间的距离为（ ）米．图，小芳站在A 处测得她看塔顶的仰角α为45︒，小丽站在B 处（A B 、与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30︒．她们又测出A B 、两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm ，则可计算出塔高约为（结果精确到0．01 1.414 1.732≈）（ ）【答案】A板块三、锐角三角函数【例13】 如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ACB △绕着点A 逆时针旋转得到''AC B △，则'tan B 的值为（ ）A ．12 B ．13C ．14D【解析】过点C 作CD AB ⊥于D ,由题意得：'B B ∠=∠ 在Rt CDB △中，1tan 3CD B BD == 即1tan '3B =【答案】B【例14】如果ABC △中，sin A =cos B ，则下列最确切的结论是（ ） A ．ABC △是直角三角形 B ．ABC △是等腰三角形C ．ABC △是等腰直角三角形D ．ABC △是锐角三角形【解析】由特殊三角函数值易知：45A B ∠=∠=︒ 【答案】C【例15】 如图，已知：4590A ︒<<︒，则下列各式成立的是（ ）A ．sin cos A A =B ．sin cos A A >C ．sin tan A A >D ．sin cos A A <CBA【解析】解法一：利用锐角三角函数的性质 解法二：代入特殊值法 【答案】B【例16】 如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos AOB ∠的值等于_________．O【解析】根据圆的性质可知：OAB △是等边三角形 ，即60OAB ∠=o ，所以1cos 2AOB ∠=． 【答案】12【例17】 如图，点(0,4),(0,0),(5,0)E O C 在A e 上，BE 是A e 上的一条弦，则tan OBE ∠= ．【解析】根据圆的性质OBE ECB ∠=∠，所以tan tan OEOBE ECB OC∠=∠=又已知4,5OE OC ==，即tan tan OE OBE ECB OC∠=∠=又4,5OE OC ==，所以4tan 5OBE ∠=x【答案】 45【例18】（1）计算：11()12sin 60tan 602--︒⋅︒（204sin 45(3)4π︒+-+-【解析】（1）原式212=+-=（2）原式414=++ 5= 【答案】见解析【例19】 计算：2011315(1)()(cos68)8sin 602π---+︒+︒+︒【解析】原式=181--++8-【答案】8-【例20】 已知α是锐角，且sin(15)α+︒=0114cos ( 3.14)tan ()3απα---++的值．【解析】由sin(15)α+︒45α=︒，原式41133=-++=【答案】3板块四、三角函数与几何综合【例21】 如图，直径为10的A e 经过点(0,5)C 和点(0,0)O ，B 是y 轴右侧A e 优弧上一点，则OBC ∠的余弦值为( )．A ．12B ．34 CD ．45x【解析】由题意很容易推断出：AC =OC =OA =5，所以60CAO ∠=︒．由圆的性质可知：2OBC CAO ∠=∠，即30OBC ∠=︒【答案】C【例22】 如图，在Rt ABC △中，90,30,ABC ACB ∠=︒∠=︒将ABC △绕点A 按逆时针方向旋转15︒后得到1111,AB C BC △交AC 于点D ，如果AD =ABC △的周长等于（ ）．21DC1B1C BA【解析】在Rt ABC △中，90,30,ABC ACB ∠=∠=o o 所以60BAC ∠=o 因为115∠=o ，所以2145BAC ∠=∠-∠=o又在1Rt AB D △中，AD =所以12AB AB ==，所以4BC AC == 即ABC △的周长：6AB BC AC++=+【答案】6+【例23】如图，ABC△中，23cos,sin25B C==，5AC=，则ABC△的面积是（）AB CA．212B．12C．14D.21【解析】过点A作AD BC⊥于D.由题意得：45B∠=o，所以AD BD=又在ADC△中，3sin5ADCAC==，5AC=，所以4,3CD AD BD===所以ABC△的面积：11121()732222BC AD BD CD AD⋅=+⋅=⨯⨯=CBAD【答案】A【例24】如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=245，3sin5BAE∠=，求CF的长．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D.又Q AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD.∴∠BAE=∠DAF.（2）在Rt△ABE中，sin∠BAE=53，AE=4,可求AB=5又∵∠BAE=∠DAF，∴sin∠DAF=sin∠BAE=53.在Rt △ADF 中，AF=524, sin ∠DAF =53,可求DF=518 ∵ CD=AB=5. ∴CF=5-518=57．【例25】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，10AB =，4CD =，连结并延长BD 到E ，使DE BD =，作EF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ． （1）求tan ABD ∠的值；（2）求AF 的长．FED CBA【解析】（1）作DM ⊥AB 于点M ，CN ⊥AB 于点N ．∵ AB ∥DC ，DM ⊥AB ，CN ⊥AB ，∴ ∠DMN=∠CNM=∠MDC=90︒． ∴ 四边形MNCD 是矩形. ∵4CD =，∴ MN=CD= 4．∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==， ∴ ∠DAB=∠CBA ，DM=CN ． ∴ △ADM ≌△BCN ． 又∵10AB =，∴ AM=BN=()11(104)322AB MN -=⨯-=． ∴ MB=BN+MN=7．∵ 在Rt △AMD 中，∠AMD=90︒，AD=5，AM=3， ∴4DM =．∴ 4tan 7DM ABD BM ∠==（2）∵ EF AB ⊥， ∴ ∠F=90︒．∵∠DMN=90︒， ∴ ∠F=∠DMN.∴ DM ∥EF ．∴ △BDM ∽△BEF ． ∵ DE BD =，∴12BM BD BF BE ==． ∴ BF=2BM=14．∴ AF=BF -AB=14-10=4．NM FED CBA【习题1】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3CBA【解析】直接计算,只有AC=5,为有理数.所以边长为无理数的边数为2.选C. 【答案】C【习题2】如图，在ABC △中，9060C B D ∠=︒∠=︒，，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，A ．2 B ．433C ．23D ．43 EDCBA【解析】解：∵在ABC △中，9060C B ∠=︒∠=︒，∴30A ∠=︒ ∵21CD DE ==，∴24AD AC ==，课后作业【习题3】如图，某游乐场一山顶滑梯的高为，滑梯的坡角为α，那么滑梯长为（ ）【习题4】如图，ABC △的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =______．CC【解析】正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的．过点C 作CD AD ⊥交AB 的延长线于D 。