八年级北师版数学上册第一第二章勾股定理和实数全部习题和知识要点

第一章 勾股定理 1.探索勾股定理

课时1

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知识要点

勾股定理

如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么22b a +2c =，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的作用

勾股定理是直角三角形的重要性质之一，它把直角三角形的“形”的特征转化为两直角边的平方和等于斜边的平方的“数”的关系。其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边，求第三边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，确定另两边的关系；（3）证明含平方关系的问题等。有时还要构造直角三角形，以便利用勾股定理。

经典例析

例：已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝ ，AB ＝5cm ，AC ＝3cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长.

∴.

5

12=

CD

点评：此题关键在于用好勾股定理以及利用等面积法求高线。

1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=_______；（2）若a=9，c=41，•则b=_____．

2（2008年甘肃省白银市）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 4 ． 3.直角三角形的两直角边长分别为5cm 和12cm ，则斜边上的高为__．

4．如图所示，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，•一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢至少飞了_______m ．

5．一直角三角形的斜边比一直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边的长是（ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．12 6．若直角三角形的两直角边各扩大1倍，则斜边扩大（ ） A ．112

倍 B ．1倍 C ．2倍 D ．4倍

7．如图，字母A 代表的正方形面积是100，字母B 代表的正方形面积是64，则字母C 代表的正方形边长是

（）

A．36 B．18 C．6 D．以上都不对

8．如图，求下列阴影部分的面积与周长．

9．如图，是某人在岛上的寻宝图，登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向走6千米，往东一拐仅1千米找到宝藏，•问登陆点到宝藏点的直线距离是多少？

10．在池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺，一阵风吹来把荷花吹倒在一边，荷花倒在水面位置距荷花直立水平距离为2尺，如图，试问池塘深浅几何？

课时2

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知识要点

勾股定理的验证

（1）通过测量进行验证；

（2）用直角三角形和正方形通过拼图进行验证。在用拼图探索勾股定理的过程中，主要要清楚如下两点：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。②根据同一种图形面积的不同表示方法列出等式，是推导勾股定理的一种很重要的方法如图所示。

经典例析

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8cm，∠A=30°，则AC=______cm，BC=_______cm．

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a：b：c=3：4：5，若c=25，则a=______，b=______．

3．如图所示．

（1）在图（1）中，AB=5，AC=2，BC=_______．

=_______．

（2）在图（2）中，BC边上的高为______，S

△ABC

（3）在图（3）中，正方形ABCD对角线BD=_______．

(1) (2) (3)

4．一棵树被大风刮倒后，折断处离地面3m ，树的顶端，离树根4m ，这棵树在折断之前的高度是（ ） A ．5m B ．6m C ．7m D ．8m

5.如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边点F 处，若AB=8cm ，BC=10cm ，求CE 的长．

6．如图，一部云梯长25m ，斜靠在一面墙上，梯子的底部离墙 7m ． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑4m ，那么梯子的底部在水平方向向右边滑动了4m

吗？•为什么？

解题方案：

（1）设梯子与墙、地及墙角三点，构成三

角形分别为Rt △ABC 及Rt △A ′B ′C ′，•由已知得AB=______，BC=______，由勾股定理可得，

．

（2）由已知可得AA ′=4m ，又因为AC=______，所以A ′C=______，在Rt △A ′CB ′中，B ′C==_____，而BC=7m ，BB ′=B ′C-BC=_______，•显然梯子底部在水

平方向上不止滑动4m ．请与同伴交流．

2.能得到直角三角形吗名师导航预习指南

知识要点

直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）

如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，且满足2

2

b a +2

c =，那么这个三角形是直角三角形。 它可应用于判断三角形是否为直角三角形，从而得到直角，两条直线垂直等信息，也可解决实际问题。 勾股数：满足2

2

b a +2

c =的三个正整数，称为勾股数。 常见的勾股数有：

3，4，5； 5，12，13； 8，15，17； 7，24，25；

20，21，29； 9，40，41；……

这些勾股数组的整数倍仍然是沟谷数组，由这些勾股数的倍数为三边长的三角形也是直角三角形。

经典例析

例：1如图，在一次夏令营活动中，•小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了

米到达B

点，

然后再沿北偏西30•°方向走了500米到达目的地C点，求A、C两点间的距离．

解：过点B作NM垂直于正东方向，垂足为M，则∠ABM=60°．

因∠NBC=30°，所以∠ABC=90°

在Rt△ABC中，

（米）．

1．（1）3a，4a，5a（a>0）；（2）5k，12k，13k；（3）3a，4b，5c，•以上各组数能组成直角三角形的是__________（填序号）．

2．一个三角形的最大边是5，另一边是4，要使三角形为直角三角形，•则第三边长为_______．

3．△ABC中，a=9，b=12，①当c2=______时，∠C是直角，②当c2=______时，∠B是直角．

4．如图，已知S

1=81，S

2

=225，S

3

=144，则△ABC是______，∠ACB=______．

5．在△ABC中，AB=17，BC=30，BC上的中线AD=8，则△ABC为（）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

6．设a，b，c为直角三角形的三边，则a：b：c不可能是（）

A．3：5：4 B．5：12：13 C．2：3：4 D．8：15：17

7．三角形的三边长分别为n2－1，2n，n2+1（n>1），则此三角形的形状为（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.无法判断

8．正方形的对角线长为1，则正方形的边长为（）

A．

2

C．

9．如图，AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，试求四边形CDAB•的面积．

10．如图，已知四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=•24，∠B=90°，试说明∠A+∠C=180°．