初三数学寒假讲义 第1讲.三角形 教师版

1中考第一轮复习三角形中考大纲剖析本讲结构12一、等腰三角形二、直角三角形1．直角三角形的边角关系．①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数．2．特殊直角三角形知识导航3三.尺规构造等腰三角形和直角三角形四.全等三角形全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．全等三角形的判定：⑴SSS；⑵SAS；⑶ASA；⑷AAS；⑸HL．在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合.五.相似三角形相似三角形的性质：⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比．34⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 相似三角形的判定：⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； ⑵ 两角对应相等，两三角形相似；⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ⑷ 三边对应成比例，两三角形相似． 相似三角形的基本模型：(1)EDC BA(3)ED CBA(4)D CBADCBA(6)EDCBA(2)EDCBA(5)EDCBA（10）（9）（8）A BDEABC DEEDBA【编写思路】由于三角形的知识点非常多，本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形，由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单，所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习，不对学生做太高要求.另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点，设计一种“系列探究”， 使得每一讲有一个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花.本讲的探究是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最值问题”.【例1】 （1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC △为等腰三角形，则点C 的个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9（2）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)，0，点B 的坐标为(410)，，点C 在y 轴上，且ABC △是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ．（2010顺义一模）（3）已知：如图，在ABC △中，B ACB ∠=∠，点D 在AB 边上，点 E 在AC 边的延长线上，且BD CE =， 连接DE 交BC 于F ．求证：DF EF =． （2012海淀期中）模块一 特殊三角形夯实基础ACFEDB5（4）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，点Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP =y ，PE =x .当CQ =21CE 时，y 与x 之间的函数关系式是 .【解析】（1）C ，“两圆一垂”；（2）（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）.“两垂一圆”确定四个点之后，用勾股求得； （3）证明：过D 点作AC 的平行线交BC 于点G ， 则∠B =∠ACB =∠BGD ；∴BD =DG =CE ； 易证△DFG ≌△EFC ；∴DF =EF .注：本题方法很多，还可以过D 作BC 平行线，或过E 作AB 的平行线，由“平行线截等腰三角形”得新等腰三角形.（4）y = –x +6； 提示：延长BQ 与射线EF 相交，由“平行线加角平分线”得到等腰三角形.【例2】 （1）如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿 图中所示方向按A D C B A →→→→滑动到点A 为止，同时点 F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到 点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M 所经过的路线围 成的图形的面积为（ ） （2010宣武一模） A. 2 B. 4－π C.π D.1π-（2）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动， 在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ）A ． 222+B ．52C ．62D ． 6（2010西城二模）以下探究主题为：几何最值问题 【探究1】如图，ABC △为等边三角形，边长AB =4，点A 、C 分别在x 轴、y轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是________.【探究2】如图，在ABC △中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点A 、C 分别在x 轴、 y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动， 在运动过程中，点B 到原点的最小距离是__________.能力提升6【探究3】 如图，在Rt ABC △中，∠ACB =90°，∠B =30°，CB =33， 点D 是平面上一点且CD =2，点P 为线段AB 上一动点，当△ABC 绕点C 任意旋转时，在旋转过程中线段DP 长度的最大值为_______，最小值为_______.【解析】（1）C ，由“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可知BM 、CM 、CM 、AM 均等于FQ 的一半，于是M 的轨迹围成一个半径为1的圆；（2）A ，如右图1，取AC 中点D ，连结OD 、BD ，当OD 、B 三点共线时，OB 的值最大；探究1：AC 中点D ，连结OD 、BD ，当O 、D 、B 三点共线时，OB 的值最大；探究2：如右图2，取AC 中点D ，连结OD 、BD ，当O D 、B 三点共线时，OB 2；探究3：“△ABC 绕点C 旋转”等价于“CD 绕点C 旋转”，如下图1，连结CP ，当PD=PC+CD 时， PD 最大，当PD =︱PC-CD ︱时，PD 最小. 如图2，当P 与B 重合，PD 取最大值为2，如 图3，当CP ⊥AB 时，PD 2. 图1图2图3PD CBAPDCBAP ()ABCD【点评】动线段最值的求法一般可总结为两种方法（仅供参考）：（1）将动线段作为一个三角形的一边，且另两边为定值，但是形状可变化，如下左图，“外共线”值最大，“内共线”值最小（已知AB 、BP 为定值，求动线段AP 的最大或最小值）；（2）如下右图，垂线段最短，端点处最大（已知点P 是线段BC 上的动点，求线段AP 的最大或最小值）.P 2(P 1)CB AP模块二 全等三角形PDC B A图1图27【例3】 △ABC 与△CDE 均为等边三角形，点C 为公共顶点，连结AD 、BE 相交于点P ，BE 交AC于点M ，AD 交CE 于点N ，（1）如图1，当点B 、C 、D 在同一直线上，请证明以下结论：① AD =BE ；② 连结PC ，则PC 平分∠BPD ； ③ 60APB ∠=︒；④ 连结MN ，则△MCN 为等边三角形； ⑤ PB=P A+PC ，PD=PE+PC（⑥ 连结AE ，点P 为△ACE 的费马点. 学生版上没有） （2）如图2，当△CDE 绕点C 旋转任意角度时，（1）中的5个结论仍成立吗？图1图2ABCDNPMENMPEDCBA【解析】（1）由ACD BCE △≌△可得①；过点C 分别作AD 、BE 边上的高，由“全等三角形面积相等”或者通过证明“全等三角形对应边上的高相等”可得两高相等，证得②；由“八”字模型倒角证得③；由BMC ACN △≌△或者CND CME △≌△得CN=CM ，证得④；由120APC EPC ∠=∠=︒，在四边形ABCP 和EDCP 中利用旋转可证得⑤；由⑤中的结论可知PA+PC+PE=BE ，120APC EPC APE ∠=∠=∠=︒，点P 到△ACE 的三个顶点的距离和最小，即可证得⑥. （2）结论①②③⑤⑥均成立.【例4】 在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD .图1图2A BCDEDCBA（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE =150°，∠ABE =60°，判断△ABE 的形状并加以证明；能力提升夯实基础8图3图2图12n-1B 2C 2A CB 1C 1C 1B 1C B A（3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC =45°，求α的值. （2013北京中考）【解析】（1）1302α︒-；（2）ABE △为等边三角形，连接AD 、CD 、EB∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD 则BC BD =，60DBC ∠=︒ 又∵60ABE ∠=︒∴160302ABD DBE EBC α∠=︒-∠=∠=︒-且BCD △为等边三角形.在ABD △与ACD △中AB ACAD AD BD CD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ABD △≌ACD △（SSS ） ∴1122BAD CAD BAC α∠=∠=∠=∵150BCE ∠=︒ ∴11180(30)15022BEC αα∠=︒-︒--︒=在ABD △与EBC △中BEC BAD EBC ABD BC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD △≌EBC △（AAS ）∴AB BE = ∴ABE △为等边三角形 （3）∵60BCD ∠=︒，150BCE ∠=︒∴1506090DCE ∠=︒-︒=︒又∵45DEC ∠=︒ ∴DCE △为等腰直角三角形 ∴DC CE BC == ∵150BCE ∠=︒∴(180150)152EBC ︒-︒∠==︒ 而130152EBC α∠=︒-=︒ ∴30α=︒【点评】第（2）问考察的是一类由旋转形成的全等模型，如图，若BAC DAE ∠=∠ ①ABC △为等腰三角形（AB=AC ）； ②ADE △为等腰三角形（AD=AE ）；③ABD ACE △≌△以上三个命题有二推一，通常两个三角形为等边三角形. 此题欲证ABE △为等边三角形，已知DBC △为等边三角形，则需证ABD △≌EBC △即可.【例5】 （1）已知在△ABC 中，BC=a .如图1，点B 1 、C 1分别是AB 、AC 的中点，则线段B 1C 1的长是_______；如图2，点B 1 、B 2 ，C 1 、C 2分别是AB 、AC 的三等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2的值是__________；如图3, 点12......、、、nB B B ，夯实基础模块三 相似三角形BABCDE912......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的（n +1）等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2+……+ B n C n 的值是 ______.（2）如图，在矩形ABCD 中， AB =4，BC =6，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设直角 三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP =x ，CQ=y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是（ ）【解析】（1）1,2a a ,12na 提示：由“A”字相似模型来求B n C n 的长； （2）D 提示：“三垂”相似模型；【例6】 如图1，在等腰直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点E 是BC 边上一点，∠DEF =45°且角的两边分别与边AB ，射线CA 交于点P ，Q .（1）如图2，若点E 为BC 中点，将∠DEF 绕着点E 逆时针旋转，DE 与边AB 交于点P ，EF 与CA的延长线交于点Q .设BP 为x ，CQ 为y ，试求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）如图3，点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动（不与B ，C 重合），且DE 始终经过点A ,EF 与边AC 交于Q 点．探究：在∠DEF 运动过程中，△AEQ 能否构成等腰三角形，若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．(2012东城期末)能力提升10【解析】（1）∵ ∠BAC =90°，AB =AC =2， ∴ ∠B =∠C，BC =又∵FEB FED DEB EQC C ∠=∠+∠=∠+∠,DEF C ∠=∠, ∴ ∠DEB =∠EQC . ∴ △BPE ∽△CEQ ． ∴BP CEBE CQ=． 设BP 为x ，CQ 为y ， ∴y =． ∴ 2y x =自变量x 的取值范围是0＜x ＜1． （2）解：∵ ∠AEF =∠B =∠C ,且∠AQE ＞∠C ,∴ ∠AQE ＞∠AEF . ∴ AE ≠AQ .当AE =EQ 时，可证△ABE ≌ECQ . ∴ CE =AB =2 . ∴ BE =BC -EC=2. 当AQ =EQ 时，可知∠QAE =∠QEA =45°.∴ AE ⊥BC . ∴ 点E 是BC 的中点. ∴ BE. 综上，在∠DEF 运动过程中，△AEQ 能成等腰三角形，此时BE长为2.【思维拓展训练】提高班训练1. 如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB =90°，AC=8，BC =6．折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别为D 、E . （1）DE 的长为 ；（2）将折叠后的图形沿直线AE 剪开，原纸片被剪成三块， 其中最小一块的面积等于 ． 【解析】4，4训练2. ⑴如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 于 点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH =EF +EG ；图3GEFL ABC DABCD EFGH图2图1H GFE DCBA⑵ 若点E 在BC 的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ， 则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；⑶ 如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线，L 在BD 上，且BL =BC ， 连接CL ，点E 是CL 上任一点， EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；⑷ 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF 、EG 、CH 这样的线段，并满足⑴或⑵的结论，写出相关题设的条件和结论． （2010房山二模） 【解析】（1）设对角线交点为O ，连结OE ，用面积法证明；（2）CH=EF-EG ；（3）连结AC 交BD 于点O ，由（1）的结论可知CO=EF+EG ，于是12BD EF EG =+；（4）只要有等腰三角形就行，例如可以在等腰梯形中构造. 训练3. 如图1，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 上任意一点，DE AG ⊥于点E ，BF AG ⊥于点F ．⑴ 求证：DE BF EF -=．⑵ 当点G 为BC 边中点时，试探究线段EF 与GF 之间的数量关系，并说明理由． ⑶ 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图2中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．图2图1ABCDG G FEDCB A【解析】（1）由AED BFA △≌△可得；（2）EF =2GF ，易证AFB BFG ABG △∽△∽△，于是2AB AF BFBG BF FG===，所以AF =2BF ， BF =2FG ，所以EF =2FG ； （3）DE+BF=EF .模块一 特殊三角形 课后演练【演练1】 ⑴如图，等腰ABC △中，AB AC =，20A =︒∠，线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则CBE ∠等于（ ） A ．80° B ． 70° C ．60° D ．50°⑵ 在等腰ABC △中，AB AC =，中线BD 将这个三角形的周长分别为15和 12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______________．⑶ 如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD BE =，AE 与CD 交于点F ，AG CD ⊥于点G ，则AGAF = ． 【解析】（1）C ； （2）7或11；（3【演练2】 如图，P 为边长为2的正三角形中任意一点，连接P A 、PB 、P C ，过P 点分别做三边的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则PD+PE+PF= ；阴影部分的面积为__________．实战演练图1EDCB AG FEDCBA模块二 全等三角形 课后演练【演练3】 在ABC △中，AB AC =，CG BA ⊥交BA 的延长线于点G ．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直 角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边 恰好经过点B ．⑴ 在图1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写 出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；⑵ 当三角尺沿AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍 与AC 边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE BA ⊥于点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的 长度，猜想并写出DE DF +与CG 之间满足的数量关系，然后 证明你的猜想；⑶当三角尺在⑵的基础上沿AC 方向继续平移到图3所示位置 （点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合）时，⑵中的猜想是 否仍然成立？（不用说明理由） 【解析】⑴ BF CG =；在ABF ∆和ACG ∆中，∵90F G FAB GAC AB AC ∠=∠=︒∠=∠=，，， ∴(AAS)ABF ACG ∆∆≌， ∴BF CG =． ⑵ DE DF CG +=；过点D 作DH CG ⊥于点H （如图4）． ∵DE BA ⊥于点E ，90G DH CG ∠=︒⊥，，∴四边形EDHG 为矩形，∴DE HG DH BG =，∥，∴GBC HDC ∠=∠， ∵AB AC =，∴FCD GBC HDC ∠=∠=∠，又∵90F DHC CD DC ∠=∠=︒=，， ∴(AAS)FDC HCD ∆∆≌，∴DF CH =．∴GH CH DE DF CG +=+=，即DE DF CG +=． ⑶ 仍然成立．（注：本题还可以利用面积或三角函数来证明，比如⑵中连结AD ）【演练4】 图中是一副三角板，45︒的三角板Rt DEF △的直角顶点D 恰好在30︒的三角板Rt ABC △斜边AB 的中点处，304590A E EDF ACB ∠=︒∠=︒∠=∠=︒，，，DE 交AC 于点G ，GM AB ⊥ 于M ．⑴ 如图1，当DF 经过点C 时，作CN AB ⊥于N ，求证：AM DN =．⑵ 如图2，当DF AC ∥时，DF 交BC 于H ，作HN AB ⊥于N ，⑴的结论仍然成立，请 你说明理由．图2图1EHABCFGMN NMGF ECBAE 3E 2E 1D 4D 3D 2D 1CBA 【解析】⑴ ∵3090A ACB ∠=︒∠=︒，，D 是AB 的中点，∴BC BD =，60B ∠=︒∴△BCD 是等边三角形．又∵CN DB ⊥，∴12DN DB =，∵90EDF ∠=︒，BCD ∆是等边三角形．∴30ADG ∠=︒，而30A ∠=︒，∴GA GD =．∵GM AB ⊥，∴12AM AD =又∵AD DB =，∴AM DN =．⑵ ∵DF AC ∥，∴30BDF A ∠=∠=︒，90AGD GDH ∠=∠=︒，∴60ADG ∠=︒．∵60B ∠=︒，AD DB =，∴ADG DBH ∆∆≌，∴AG DH =，又∵BDF A ∠=∠，GM AB ⊥，HN AB ⊥， ∴AMG DNH ∆∆≌．∴AM DN =．模块三 相似三角形 课后演练【演练5】 如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于1E ，连接1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥ 于2E ，连接2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…， 如此继续，可以依次得到点45n D D D ，，…，，分别记11BD E △， 22BD E △，33BD E △，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S ． 则n S =_________ABC S △（用含n 的代数式表示）．【解析】()211n +第十八种品格：坚持品格教育—坚持有些人，做事是怕别人说失败，为不失败而坚持。