初三数学寒假讲义 第1讲.三角形 教师版

1中考第一轮复习

三角形

中考大纲剖析

本讲结构

1

2

一、等腰三角形

二、直角三角形

1．直角三角形的边角关系．

①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数．

2．特殊直角三角形

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三.尺规构造等腰三角形和直角三角形

四.全等三角形

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

全等三角形的判定：⑴SSS；⑵SAS；⑶ASA；⑷AAS；⑸HL．

在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合.

五.相似三角形

相似三角形的性质：

⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比．

3

4

⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 相似三角形的判定：

⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； ⑵ 两角对应相等，两三角形相似；

⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ⑷ 三边对应成比例，两三角形相似． 相似三角形的基本模型：

(1)E

D

C B

A

(3)E

D C

B

A

(4)

D C

B

A

D

C

B

A

(6)

E

D

C

B

A

(2)E

D

C

B

A

(5)

E

D

C

B

A

（10）

（9）

（8）

A B

D

E

A

B

C D

E

E

D

B

A

【编写思路】由于三角形的知识点非常多，本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形，由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单，所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习，不对学生做太高要求.

另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点，设计一种“系列探究”， 使得每一讲有一个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花.本讲的探究是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最值问题”.

【例1】 （1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 是

两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC △为等腰三角形，则点C 的

个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9

（2）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)，0，点B 的坐标为(410)，，点C 在y 轴上，且ABC △

是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ．

（2010顺义一模）

（3）已知：如图，在ABC △中，B ACB ∠=∠，

点D 在AB 边上，点 E 在AC 边的延长线上，且BD CE =， 连接DE 交BC 于F ．

求证：DF EF =． （2012海淀期中）

模块一 特殊三角形

夯实基础

A

C

F

E

D

B

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（4）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在射线EF 上，BP 交CE 于

D ，点Q 在C

E 上且BQ 平分∠CBP ，设BP =y ，PE =x .当CQ =

2

1

CE 时，y 与x 之间的函数关系式是 .

【解析】（1）C ，“两圆一垂”；

（2）（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）.“两垂一圆”确定四个点之后，用勾股求得； （3）证明：过D 点作AC 的平行线交BC 于点G ， 则∠B =∠ACB =∠BGD ；∴BD =DG =CE ； 易证△DFG ≌△EFC ；∴DF =EF .

注：本题方法很多，还可以过D 作BC 平行线，或过E 作AB 的平行线，由“平行线截等腰三角

形”得新等腰三角形.

（4）y = –x +6； 提示：延长BQ 与射线EF 相交，由“平行线加角平分线”得到等腰三角形.

【例2】 （1）如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF 的

两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿 图中所示方向按A D C B A →→→→滑动到点A 为止，同时点 F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到 点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M 所经过的路线围 成的图形的面积为（ ） （2010宣武一模） A. 2 B. 4－π C.π D.1π-

（2）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、

y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动， 在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ）

A ． 222+

B ．52

C ．62

D ． 6

（2010西城二模）

以下探究主题为：几何最值问题 【探究1】如图，ABC △为等边三角形，边长AB =4，点A 、C 分别在x 轴、y

轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，

点B 到原点的最大距离是________.

【探究2】如图，在ABC △中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点A 、C 分别在x 轴、 y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动， 在运动过程中，点B 到原点的最小距离是__________.

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