对称性与周期性的关系(课堂PPT)

再令上式中x=x-2a得：f(x)=f(x+2b-2a)
所以f(x)的周期为T=2b-2a.
(3) (4)
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一对称轴一对称中心型
例：已知函数f(x)的图象关于x=a和(b,0)对称 (a<b)，求函数f(x)的周期。
由题意知：f(a-x)=f(a+x)
(1)
f(b-x)=-f(b+x)
(2)
在（1）式中令x=x+a得f(-x)=f(2a+x)
(3)
在（2）式中令x=x+b得f(-x)=-f(2b+x)
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(4)
由（3）、（4）知：f(2a+x)=-f(2b+x)
再令上式中x=x-2a得：-f(x)=f(x+2b-2a)
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在-f(x)=f(x+2b-2a)中，令x=x+2b-2a得： f(x+2b-2a+2b-2a)=-f(x+2b-2a)=f(x) 所以f(x)的周期为T=4b-4a.
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两对称中心型
例：已知函数f(x)的图象关于(a,0)和(b,0)对称 (a<b)，求函数f(x)的周期。
由题意知：f(a-x)=-f(a+x)
(1)
f(b-x)=-f(b+x)
(2)
在（1）式中令x=x+a得f(-x)=-f(2a+x)
在（2）式中令x=x+b得f(-x)=-f(2b+x)
由（3）、（4）知：-f(2a+x)=-f(2b+x)
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通过本节课的学习，你知道函数的对称性和周期性间的 关系了吗？ 一个函数如果具备两种对称性，则这个函数一定是 一个周期函数。
1、函数f(x)图象关于x=a和x=b对称(a<b),则f(x)的 周期为2(b-a)
2、函数f(x)图象关于(a,0)和(b,0)对称(a<b),则f(x) 的周期为2(b-a) 3、函数f(x)图象关于x=a和(b,0)对称(a<b),则f(x)的 周期为4(b-a)
函数对称性与周期性的联系
高三数学组
张文根
1
很多同学在研究函数的性质问题时，经常会感觉 函数的性质不够解题。而问题的实质是我们没发 现函数的隐含性质。
如：一个函数如果具备两种对称性， 则这个函数一定是一个周期函数
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两对称轴型
例：已知函数f(x)的图象关于x=a和x=b轴对称 (a<b)，求函数f(x)的周期。
由题意知：f(a-x)=f(a+x)
(1)
f(b-x)=f(b+x)
(2)
在（1）式中令x=x+a得f(-x)=f(2a+x)
(3)
在（2）式中令x=x+b得f(-x)=f(2b+x)
(4)
由（3）、（4）知：f(2a+x)=f(2b+x)
再令上式中x=x-2a得：f(x)=f(x+2b-2a)
所以f(x)的周期为T=2b-2a.