对称性与周期性的关系(课堂PPT)
函数对称性与周期性的关系
函数对称性与周期性的关系首先，我们先来明确对称性的概念。
在数学中，对称性是指在其中一种变换下保持不变的性质。
常见的对称性有关于点、直线、平面、中心等不同的类型。
对于函数而言，对称性通常指的是关于坐标轴或者一些点对称的性质。
具体而言，函数f(x)在一些点a处具有对称性，意味着当x=a 时，有f(a+h)=f(a-h)，其中h为任意实数。
这表明函数在点a处的函数值关于a对称。
对于关于坐标轴对称的函数，还满足函数在坐标轴两侧的函数值相等的性质。
接下来，我们来看周期性的概念。
周期性是指函数在一定范围内的数学性质重复出现的性质。
通常用来描述函数f(x)存在一个正数T，对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，其中T称为函数的周期。
具有周期性的函数在周期内的性质是相同的，因此周期性可以用来分析函数在不同时间或者空间位置上的行为。
对称性和周期性在一定程度上是有关联的。
事实上，一个函数的周期性往往与函数的对称性密切相关。
具体而言，如果一个函数具有对称性，那么它可能是周期性的。
例如，正弦函数和余弦函数是具有周期性的函数，并且它们之间满足平移对称性。
具体来说，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都具有以2π为周期的性质，即sin(x + 2π) = sin(x)和cos(x+ 2π) = cos(x)。
同时，它们的图像也具有关于y轴的对称性，即sin(-x) = -sin(x)和cos(-x) = cos(x)。
这些对称性的存在使得正弦函数和余弦函数能够在整个实数轴上不断重复。
另一个例子是带有偶函数或者奇函数性质的函数。
一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意的x，有f(-x)=f(x)。
相反，如果一个函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，那么它被称为奇函数。
偶函数和奇函数的图像都具有关于y轴的对称性，因此它们都是对称性的一种特殊形式。
此外，偶函数和奇函数的周期往往是偶数或者无限大。
例如，指数函数e^x是一个偶函数，并且不存在周期性。
函数的对称性、周期性以及之间的关系
函数的对称性、周期性以及之间的关系对称性、奇偶性、周期性、单调性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．在研究函数图象的对称性时，一定要区分是一个图象自身的对称（称之为“自对称”），还是两个函数图象间的对称（称之为“互对称”）。
函数的对称性指的是函数的图象的对称性，通常包括点对称和直线对称，即中心对称和轴对称。
自对称一、函数的对称性关于函数图象的对称性，我们有这样两个命题。
命题1：如果函数y=f(x)的图像关于点M(m, n)对称，那么f (m +x) + f (m－x)=2n 即f(x)+f(2m-x)=2n命题2：如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称，那么f (m +x) = f (m－x)即f (x) = f (2m－x)二、函数的奇偶性与对称性的联系命题1：函数y=f(x)的图像关于点M(0, 0)对称的充要条件是函数y= f (x)是奇函数，即f (x) + f (－x) = 0命题2：函数y=f(x)的图像关于点直线x=0对称的充要条件是函数y= f (x)是偶函数，即f (x) = f (－x)三、函数的周期性与对称性的联系包括点点对称、线线对称、点线对称的周期性命题：①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (m ,c)和点B (n ,c)成中心对称（m ≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = m 和直线x = n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．③若函数y = f (x)图像既关于点A (m ,c) 成中心对称又关于直线x =n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且4| m－n|是其一个周期．（同为中心对称或同为轴对称乘2；一中心对称一轴对称乘4）四、函数的奇偶性、周期性和对称性的联系奇偶性只是特殊的点线对称。
高中数学讲义函数的对称性与周期性
微专题05函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）f a x f a x f x 关于x a 轴对称（当0a 时，恰好就是偶函数）（2）f axf bxf x关于2a bx轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如f a xf b x 的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a bx 为所给对称轴即可。
例如：f x 关于1x 轴对称2f xf x，或得到31f x f x 均可，只是在求函数值方面，一侧是f x 更为方便（3）f xa 是偶函数，则f x afxa ，进而可得到：f x 关于xa 轴对称。
①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在f x a 中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即f xafxa ，要与以下的命题区分：若f x 是偶函数，则f x a f x a：f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有f xafx a ②本结论也可通过图像变换来理解，f x a 是偶函数，则f xa 关于0x轴对称，而f x 可视为f x a 平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以f x 关于xa 对称。
3、中心对称的等价描述：（1）f a x f a x f x 关于,0a 轴对称（当0a 时，恰好就是奇函数）（2）f axf bxf x 关于,02a b轴对称在已知对称中心的情况下，构造形如f ax f b x 的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x为所给对称中心即可。
例如：f x 关于1,0中心对称2f x fx ，或得到35f x f x 均可，同样在求函数值方面，一侧是f x 更为方便（3）f x a 是奇函数，则f xafxa ，进而可得到：f x 关于,0a 轴对称。
函数对称性与周期性的关系
）的 奇偶 性 ；
） ＝ ０ 在 闭 区 间
［ 一２ ０ ０ ５ ， ２ ０ ０ ５ ］ 上 的根 的 个 数 ， 并 证 明 你 的
解 （ １ ） 根据结论 １ ， 可 得 ）为 周 期 函
结论 ３ 如果 定义 在 Ｒ 上 的 函数 ）的
图象 关 于点 （ ｏ， ０）对 称 ， 又 关 于 直 线 ＝ ｂ对
称（ ｏ ＞６ ）， 则 函数 ‘ 厂 （ ）是 以 Ｔ＝４ （ 。一ｂ ）为
数， 且 Ｔ ＝２ （ ７—２ ）＝１ ０ 是 它 的 一个 周 期 ， 又
由于 在 区 间 ［ ０， ７ ］上 只有 １ ）＝ ３ ）＝０， 而
Ｉ 厂 （ 一３ ）＝ 一３ ＋１ Ｏ） ＝ ７ ） ≠ ０， 即 一３ ）
高中数学教 与 学
２ ０ １ ０聋
函 数对 称 性 与周 期 性的 关 系
孟素红
（ 江苏省扬 州市新 华 中学 ， ２ ２ ５ ０ ０ ９ ）
我们知道 ， 正弦函数 Ｙ＝ｓ ｉ ｎ 和余 弦函
数 Ｙ ＝Ｃ Ｏ ￥ 的 图象 ， 既关 于点 成 中心 对 称 ， 又 关 于 直 线 成轴 对 称 ， 同 时 它 们 又具 有 周 期 性 ，
０］上 有 ４ ０ ０ 个 解 ，所 以 函 数 ， ，＝ ［ 一２ ０ ０ ５ ， ２ ０ ０ ５ ］上 有 ８ ０ ２个 解 ． ）的 表 达 ） 在
例ｌ 已知 奇 函数－ 厂 （ ） 定 义在 Ｒ上 ， 其 图 象 关 于 直线 ＝１ 对称 ， 当 Ｅ ［ ０ ， １ ］ 时
＝
， （ ） ， 故有， （ ＋ ４ （ Ｄ一６ ） ）：一
） ．
＋ ２ （ ａ—
ｆ （ 一 ７ ）＝ 一 ９ ）＝０ ， 知， （ ）＝０ 在［ ０ ， １ Ｏ ］
简谐运动的周期性和对称性PPT教学课件
（如某些蔬菜、水果多含钾、钠、钙、 镁等盐类，多属于碱性食物。）
1. 食物的酸碱性与化学上所指的溶液的酸碱 性是不同的概念。食物的酸碱性指的是代 谢产物的性质，而溶液的酸碱性直接指溶 液的性质。
A．质点振动频率为4 Hz
图11－2
B．在10 s内质点经过的路程是20 cm
C．在5 s末，速度为零，加速度最大
D．在t＝0 s到t＝1 s内，加速度与速度反向
【精讲精析】 由振动图象可知 T＝4 s，f＝T1＝0.25 Hz， 故 A 选项错误．一个周期内，简谐运动的质点经过的 路程为 4A＝8 cm,10 s 为 2.5 个周期，质点经过的路程 为 s＝4A×2＋2A＝10A＝20 cm，B 选项正确．在 5 s 末，质点位移最大约 2 cm，此时回复力最大，所以加 速度最大，但速度为零，故 C 选项正确．在 0 s 到 1 s 时间内，质点由平衡位置向正向最大位移处移动，所 以速度与加速度反向，故 D 选项正确．故选 BCD.
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章
优
化
专题归纳整合
总
结
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专题1 简谐运动的周期性和对称性 1．周期性 做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后， 能回复到原来的状态，因此在处理实际问题中， 要注意到多解的可能性． 2．对称性 (1)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两 位置具有相等的速率．
从而可知T/4＝4 s，周期T＝16 s，第三次再过P
点，设由P向左到A再返回到P，历时为一个周期
T减去P、B间往返的2 s ，则需时t＝16 s－2 s＝ 1若4沿s.图中②的方向第一次过 P 点，则有 3－tOP ＝2＋tPO＋tOP＝T′/2，而 tOP＝tPO 由以上两式可得 tOP＝tPO＝13 s，T′＝136 s 则质点第三次过 P 点历时
函数的周期性与对称性
【例2】 f (x)满足f (x) f (6 x), f (x) f (2 x),若f (a) f (2000),
a 5,9且f (x)在5,9上是单调函数。求a的值。
【解析】
f (x) f (6 x); f (x)关于点（3,0）对称 又 f (x) f (2 x); f (x)关于x 1对称 T 8; f (2000) f (0) 又 f (a) f (2000); f (a) f (0) 又 f (x) f (6 x); f (0) f (6) f (0) f (6); f (a) f (6) a 6
【例题解析】 例 1.若定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x 1) f (x) ，当
x (0,1) 时， f (x) 2x 求 f (5.5) 的值
解：由f x 1 f x 0得f x 1 f x f x 2 f x 11 f x 1 f x f x 是周期为2的周期函数 f 5.5 f 5.5 6 f 0.5 f 0.5
f (a x) f (a x)
f (x) f (2a x)
(a,0)
推广： f (a x) f (b x) f (x)本身关于（ a b ,0)对称 2
2. y f (x) 与 y f (2a x) 关于 (a,0)点对称
推广： y f (a x) 与 y f (b x) 关于 (b a ,0) 点对称 2
推广：
y f a x与y f b x 关于直线x b a 对称.
2
奇 函 数 f (x) 可 以 看 出 关 于 (0,0) 点 对 称 ， 可 以 表 示 为 f (x) f (x) ， 即
f (0 x) f (0 x) ,那么如果函数 f (x) 关于 (a,0)点对称，能写成什么形式呢？
第七讲函数之周期性与对称性
第七讲函数之周期性与对称性函数的周期性与对称性一．定义：假定T 为非零常数，关于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立那么f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论1、()()f x f x a =+，那么()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 假定函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
3、 假定函数()()f x a f x a +=-，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1 (a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
5、假定函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
6、1()()1()f x f x a f x -+=+，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1()f x f x a f x -+=-+，那么()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、 假定函数y=f(x)满足f(x+a)=)(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),那么f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
9、 假定函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,那么f(x)为周期函数且2〔b-a 〕是它的一个周期。
10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，那么函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，那么函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；12、假定偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
高考数学一轮复习函数的奇偶性对称性与周期性课件
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
()
(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.
()
(4)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称. ( )
(5)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.( )
和f(-1),所得出结果一定不可能的是
()
A.4和6 B.3和1
C.2和4
D.1和2
【解析】选D.因为f(x)=asin x+bx+c,所以f(1)+f(-1)=2c,又因为c∈Z,所以
f(1)与f(-1)之和应为偶数.
A.f(x)=x-1
B.f(x)=x2+x
C.f(x)=2x-2-x
D.f(x)=2x+2-x
【解析】选D.D中,f(-x)=2-x+2x=f(x),所以f(x)为偶函数.其余A、B、C选项均不
满足f(-x)=f(x).
2.(必修1P49练习AT1改编)下列函数中为偶函数的是
()
A.y=x2sin x
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=
f
1
x
，则T=2a(a>0).
(3)若f(x+a)=
f
1
x
，则T=2a(a>0).
【知识点辨析】
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( )
图象特点 关于_y_轴__对称
函数的对称性ppt课件
(1)(2023·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是
偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是
A.f(－1)<f(1)<f(2)
B.f(1)<f(2)<f(－1)
C.f(2)<f(－1)<f(1)
D.f(－1)<f(2)<f(1)
√
(2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝
则 + = ．
【答案】6
【解析】设函数 图象的对称中心为 , ，则有2 = + (2 − )，
即2 = 3 − 9 2 + 29 − 30 + (2 − )3 − 9(2 − )2 + 29(2 − ) − 30，
整理得2 = (6 − 18) 2 − (122 − 36) + 83 − 362 + 58 − 60，
所以 = 2 ．
故答案为 = 2 ．
题型三
例3
两个函数图象的对称
已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)
的图象
√
A.关于直线x＝1对称
B.关于直线x＝3对称
C.关于直线y＝3对称
D.关于点(3,0)对称
跟踪训练3
A.y＝ex－1
√
C.y＝e2－x
A
B
考点2 函数的对称性
一。函数的图象自对称性
函数y=f(x)图象关于直线x=a对称⇔f(2a-x)=f(x)
函数y=f(x)图象关于点(a,b)中心对称 ⇔f(2a-x)+f(x)=2b
函数的周期性与对称性.
函数的周期性与对称性1函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y= f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y = f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x + a) = f(x —a)② f(x + a) = —f(x) ③f(x + a) = 1/f(x) ④ f(x + a) =—1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质5若函数y = f(x)同时关于直线x= a与x = b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T= 2|a —b|性质6、若函数y= f(x)同时关于点(a, 0)与点(b, 0)中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T= 2|a —b|性质7、若函数y= f(x)既关于点(a, 0)中心对称，又关于直线x = b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T= 4|a —b|3. 函数y二f (x)图象本身的对称性(自身对称)若f (x • a)二f (x b)，贝U f (x)具有周期性；若f (a • x)二f (b - x)，贝U f (x)具有对称性："内同表示周期性，内反表示对称性”。
推论1: f (a • x) = f (a - x) = y = f (x)的图象关于直线x = a对称推论2、f (x) = f (2a —x) ：= y = f (x)的图象关于直线x = a对称推论3、f (-x) = f (2a • x) ：= y = f(x)的图象关于直线x = a对称推论1、f (a x) f (a - x) = 2b =推论2、f(x) f (2a -x) =2b = 推论3、f (-x) f (2a x) = 2b :二例题分析：1 .设f (x)是(Y「：：)上的奇函数，f(47.5)等于(A) 0.5 ( B) -0.52、(山东)已知定义在R上的奇函数A . —1B . 03•设f (x)是定义在R上的奇函数，y = f(x)的图象关于点(a,b)对称y = f (x)的图象关于点(a,b)对称y = f(x)的图象关于点(a,b)对称f(x 2) = — f(x)，当0 乞x ^1 时，f(x)二x，则( )(C) 1.5 ( D) -1.5f (x)满足f (x • 2) = -f(x)，贝y f(6)的值为( ) C. 1 D . 2f(1)=2, f(x 1) = f (x 6),求f(10).4•函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x • 2)1，若f(l)二-5，贝y f[f(5)]二f (x)5•已知f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x = 1对称。
高二物理课件 简谐运动的周期性和对称性
例一1 个做简谐运动的质点在平衡位置O点附 近振动；当质点从O点向某一侧运动时，经3 s第 一次过P点，再向前运动，又经2 s第二次过P点， 则该质点再经________的时间第三次过P点．
图11－1
【精讲精析】 若质点沿图11－1中①的方向第 一次过P点，历时3 s；由P到B，再由B到P共历 时2 s，则由其对称性知，P、B间往返等时，各 为1 s，
从而可知T/4＝4 s，周期T＝16 s，第三次再过P
点，设由P向左到A再返回到P，历时为一个周期
T减去P、B间往返的2 s ，则需时t＝16 s－2 s＝ 14 s若. 沿图中②的方向第一次过 P 点，则有 3－tOP
＝2＋tPO＋tOP＝T′/2，而 tOP＝tPO 由以上两式可得 tOP＝tPO＝13 s，T′＝136 s 则质点第三次过 P 点历时
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Байду номын сангаас
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专题1 简谐运动的周期性和对称性 1．周期性 做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后， 能回复到原来的状态，因此在处理实际问题中， 要注意到多解的可能性． 2．对称性 (1)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两 位置具有相等的速率．
t′＝T′－2 s＝130 s
【答案】 14 s 或130 s 【方法总结】 求解该类题目的关键是弄清物
理情景，画出振子的物理过程图示，结合简谐
运动的对称性及周期性分析讨论．
专题2 简谐运动的图象 振动图象表示振动质点的振动位移随时间的变化 规律，图象的形状与起始时刻的选取和正方向的 规定有关，从图象中可获得的信息： 1．从一个振动的图象形式上便可快速判断它是不 是简谐运动． 2．振幅A和周期T.
函数对称性与周期性关系
函数对称性与周期性关系【知识梳理】一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展答案是肯定的探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
3.5.3 函数的周期性和对称性-(人教A版2019必修第一册) (学生版)
函数的周期性和对称性一函数的周期性1 概念对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么把函数y=f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期.Eg：上图是三角函数f(x)=sinx的图像①函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；②红色图像的水平长度为AB=2π，它就是函数的最小正周期T，即T=2π；(思考：4π是周期么)③整个函数，对于任何x，都有f(x+2π)=f(x).(简单说来，两个自变量相差2π，它们对应的函数值均相等)下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？2 常见的结论①若f(x+a)=f(x+b)，则y=f(x)的周期是T=a−b.②若f(x+a)=−f(x)，则y=f(x)的周期是T=2a；(你可证明试试)，则y=f(x)的周期是T=2a.③若f(x+a)=1f(x)二函数的对称性1 函数图象自身的对称关系.①轴对称：若f(x+a)=f(b−x) , 则y=f(x)有对称轴x=a+b2②中心对称：若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件 f(a+x)+f(b−x)=c(a ,b ,c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b2 ,c2)对称.2 两个函数图象之间的对称关系①轴对称若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(x+a)与 y=f(b−x)的图象关于直线x=b−a2对称.特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(a−x)的图象关于直x=0对称.②中心对称若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(a+x)与y=c−f(b−x)的图象关于点(b−a2 ,c2)对称.特殊地，函数y=f(x+a)与函数y=−f(b−x)图象关于点(b−a2,0)对称.3 周期性与对称性拓展①若函数y=f(x)同时关于直线x=a ,x=b对称，则函数y=f(x)的周期 T=2|b−a|；特殊地，若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期 T=2|a|；②若函数y=f(x)同时关于点(a ,0) ,(b ,0)对称，则函数y=f(x)的周期T=2|b−a|；③若函数y=f(x)同时关于直线x=a 对称，又关于点(b ,0)对称 , 则函数y=f(x)的周期T=4|b−a|；特殊地，若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期 T=4|a|.【题型一】函数的周期性【典题1】设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x(1+x)，则f(−92)=【典题2】设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+3)=−1f(x)，且当x∈[−3 ,−2]时，f(x)=4x，则f(107.5)= ． 巩固练习1(★★) 已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足f (x +4)=−f(x)，且在[0 ,2]上单调递减，则( ) A ．f(8)<f(11)<f(15) B ．f(11)<f(8)<f(15) C ．f(15)<f(11)<f(8)D ．f(15)<f(8)<f(11)2(★★) 已知f(x)是定义在R 上周期为2的函数，当x ∈[−1 ,1]时，f(x)=|x|，那么当x ∈[−7 ,−5]时，f(x)= .3(★★★)设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，满足f (x +1)=−f(x −1)，若f (−1)>1，f (5)=a 2−2a −4，则实数a 的取值范围是 .【题型二】函数图象自身的对称关系【典题1】定义在R 上的函数f(x)的图象关于点(−34，0)成中心对称且对任意的实数x 都有f (x )=−f(x +32)且f (−1)=1 ,f (0)=−2，则f(1)+f(2)+⋯+f(2014)= .【典题2】已知函数f(x)=2x 2x 2−4x+8，则( )A．函数f(x)的图象关于x=2对称B．函数f(x)的图象关于x=4对称C．函数f(x)的图象关于(2 ,2)对称D．函数f(x)的图象关于(4 ,4)对称【题型三】两个函数图象之间的对称关系【典题1】下列函数中，其图象与函数y=lgx的图象关于点(1 ,0)对称的是() A．y=lg(1−x)B．y=lg(2−x)C．y=log0.1(1−x)D．y=log0.1(2−x)【典题2】下列函数中，其图象与函数y=2x的图象关于直线y=1对称的是.巩固练习1(★★)已知函数f(x)=ax+2的对称中心为(b ,1)，则a=；b=．x−62(★★)【多选题】函数f(x)的图象关于直线x=1对称，那么() A．f (2−x)=f (x)B．f (1−x)=f (1+x)C．函数y=f (x+1)是偶函数D．函数y=f (x−1)是偶函数3(★★★)已知函数f(x)=lnx+ln(a−x)的图象关于直线x=1对称，则函数f(1)的值为() A．0B．1C．lna D．−14(★★★)已知函数f(x)=ln x，则()4−xA．y=f(x)的图象关于点(2 ,0)对称B．y=f(x)的图象关于直线x=2对称C．f(x)在(0 ,4)上单调递减D．f(x)在(0 ,2)上单调递减，在(2 ,4)上单调递增5(★★)同一平面直角坐标系中，函数y=2x+1与y=21−x的图象()A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称6 (★★★)【多选题】已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+2)=−f(x)，且函数y=f(x−1)为奇函数，则()A．函数y=f(x)是周期函数B．函数y=f(x)的图象关于点(−1 ,0)对称C．函数y=f(x)为R上的偶函数D．函数y=f(x)为R上的单调函数。
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再令上式中x=x-2a得：f(x)=f(x+2b-2a)
所以f(x)的周期为T=2b-2a.
(3) (4)
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一对称轴一对称中心型
例：已知函数f(x)的图象关于x=a和(b,0)对称 (a<b)，求函数f(x)的周期。
由题意知：f(a-x)=f(a+x)
(1)
f(b-x)=-f(b+x)
(2)
在（1）式中令x=x&#(a+x)
(1)
f(b-x)=f(b+x)
(2)
在（1）式中令x=x+a得f(-x)=f(2a+x)
(3)
在（2）式中令x=x+b得f(-x)=f(2b+x)
(4)
由（3）、（4）知：f(2a+x)=f(2b+x)
再令上式中x=x-2a得：f(x)=f(x+2b-2a)
所以f(x)的周期为T=2b-2a.
函数对称性与周期性的联系
高三数学组
张文根
1
很多同学在研究函数的性质问题时，经常会感觉 函数的性质不够解题。而问题的实质是我们没发 现函数的隐含性质。
如：一个函数如果具备两种对称性， 则这个函数一定是一个周期函数
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两对称轴型
例：已知函数f(x)的图象关于x=a和x=b轴对称 (a<b)，求函数f(x)的周期。
3
两对称中心型
例：已知函数f(x)的图象关于(a,0)和(b,0)对称 (a<b)，求函数f(x)的周期。
由题意知：f(a-x)=-f(a+x)
(1)
f(b-x)=-f(b+x)
(2)
在（1）式中令x=x+a得f(-x)=-f(2a+x)
在（2）式中令x=x+b得f(-x)=-f(2b+x)
由（3）、（4）知：-f(2a+x)=-f(2b+x)
6
通过本节课的学习，你知道函数的对称性和周期性间的 关系了吗？ 一个函数如果具备两种对称性，则这个函数一定是 一个周期函数。
1、函数f(x)图象关于x=a和x=b对称(a<b),则f(x)的 周期为2(b-a)
2、函数f(x)图象关于(a,0)和(b,0)对称(a<b),则f(x) 的周期为2(b-a) 3、函数f(x)图象关于x=a和(b,0)对称(a<b),则f(x)的 周期为4(b-a)
(3)
在（2）式中令x=x+b得f(-x)=-f(2b+x)
(4)
由（3）、（4）知：f(2a+x)=-f(2b+x)
再令上式中x=x-2a得：-f(x)=f(x+2b-2a)
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在-f(x)=f(x+2b-2a)中，令x=x+2b-2a得： f(x+2b-2a+2b-2a)=-f(x+2b-2a)=f(x) 所以f(x)的周期为T=4b-4a.