2020-2021学年重庆市七校联考高一下学期期末模拟考试数学(文)试题及答案-精品试题
2020-2021重庆市高一数学下期末一模试卷带答案
2020-2021重庆市高一数学下期末一模试卷带答案一、选择题1．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为（ ） A ．43B ．10C ．10D ．82．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．03．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数21(1)()2(1)ax x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-6．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称7．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生8．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A ．2π B ．C ．D ．3π 9．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．410．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>11．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12-B ．10-C ．10D ．1212．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90二、填空题13．在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为________． 14．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是___________15．已知2a b ==，()()22a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为 . 16．()()()()()1tan11tan 21tan31tan 441tan 45︒︒︒︒︒+++++=__________．17．关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______． 18．设，则________19．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 20．设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.三、解答题21．已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值． 22．在中角所对的边分别是，，，．求的值； 求的面积．23．记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及对应n 的大小. 24．投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设表示前n 年的纯利润总和（前年总收入-前年的总支出 -投资额72万元）（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值. 25．已知数列{}n a 满足()*112112n n n n na a a n Nb a a +==∈=+，，，． ()1证明数列{}n b 为等差数列；()2求数列{}n a 的通项公式．26．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)0,0.5,0.5,1,...,[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-可知||cos ,2b a b <>=-，可求出||2b ≥，求22a b -的最小值即可得出结果.【详解】因为b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-， 所以||cos ,2b a b <>=-， 即2||cos ,b a b =-<>，而1cos ,0a b -≤<><，所以||2b ≥，因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+所以22484464a b -≥+⨯=，即28a b -≥，故选D. 【点睛】本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.2．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.3．A解析：A 【解析】 【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 5．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a af x x f x x x=++'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．6．D解析：D 【解析】()sin(2)cos(2))2442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.7．C解析：C【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.8．A解析：A 【解析】 【分析】由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解． 【详解】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角， 在△A 2BM 中，22252()22a A B a BM a a ==+=，，222313()22a A M a a =+=，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．9．B解析：B 【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.10．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .11．B解析：B 【解析】分析：首先设出等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式，得到公差d 所满足的等量关系式，从而求得结果3d =-，之后应用等差数列的通项公式求得51421210a a d =+=-=-，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得32433(32)224222d d d ⨯⨯⨯+⋅=⨯++⨯+⋅， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d 和的关系，从而求得结果.12．A解析：A 【解析】 【分析】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ∆中，即可求解． 【详解】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,因为正三棱柱111ABC A B C -，底面三角形的边长为1， 所以1,BO AC BO AA ⊥⊥，因为1AC AA A ⋂=，所以BO ⊥平面11ACC A ， 所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，因为222113131(),(2)()2222BO C O =-==+=， 所以11332tan 332BO BC O OC ∠===， 所以0130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．【点睛】本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．二、填空题13．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为 解析：14【解析】概率为几何概型，如图，满足20x y -<的概率为2111122=14OABS S ∆⨯⨯=正方形14．【解析】【分析】先还原几何体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱如图底面为边长为的直角三角形高为的棱柱所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查基本分析求解能力属基础题解析：32【解析】 【分析】先还原几何体，再根据柱体体积公式求解 【详解】空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为1,3的直角三角形，高为3的棱柱，所以体积为1313322⨯⨯⨯=【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题15．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得： 解析：60︒【解析】 【分析】 【详解】根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-，去括号得：222422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-，1cos ,602θθ︒⇒==16．【解析】【分析】根据式子中角度的规律可知变形有由此可以求解【详解】根据式子中角度的规律可知变形有所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用以及归纳推理的应用属于中档题 解析：232【解析】 【分析】根据式子中角度的规律，可知()45045,045αβαβ+=︒<<︒<<，tan tan tan 4511tan tan αβαβ+==-，变形有()()1tan 1tan 2αβ++=，由此可以求解．【详解】根据式子中角度的规律，可知()45045,045αβαβ+=︒<<︒<<，tan tan tan 4511tan tan αβαβ+==-，变形有()()tan 1tan 12αβ++=．所以()()1tan11tan 442︒︒++=，()()1tan 21tan 432︒︒++=， ，()()1tan 221tan 232︒︒++=，1tan 452+=，()()()()()231tan11tan 21tan31tan 441tan 452︒︒︒︒︒+++++=．故答案为：232． 【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用以及归纳推理的应用，属于中档题．17．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析解析：①③ 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当2x ππ<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数()y f x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，命题②错误；对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >，又()()()00f f f ππ=-==，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.18．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1- 解析：-1 【解析】 【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】， ，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．19．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数解析：()3+∞，【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.20．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】由得得等号当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立解析：92. 【解析】 【分析】把分子展开化为(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+，再利用基本不等式求最值． 【详解】由24x y +=，得2422x y xy +=≥，得2xy ≤(1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=，等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立． 故所求的最小值为92． 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．三、解答题21．（1）a n ＝－2n ＋5.（2）4 【解析】（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，由已知条件，，解出a 1＝3，d ＝－2． 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5．（Ⅱ）S n ＝na 1＋d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以n ＝2时，S n 取到最大值4． 22．（1）；（2）【解析】 【分析】)利用同角三角函数基本关系式可求，由正弦定理可得的值；由，可得为锐角，由可得，利用两角和的正弦函数公式可求的值，利用三角形面积公式即可得解． 【详解】，，．，由正弦定理可得：，C 为锐角，由可得：，，【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理的应用，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.23．（1）*(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【解析】 【分析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式. （2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=， 于是18a =,2d =-．所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯- 29n n =-+2981()24n =--+因为*n ∈N ，所以当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.24．（I ）从第三年开始盈利；（II ）第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元 【解析】 【分析】 【详解】 (Ⅰ)依题意前年总收入- 前年的总支出- 投资额72万元,可得由得,解得由于,所以从第3年开始盈利.(Ⅱ)年平均利润当且仅当,即时等号成立即第6年, 投资商平均年平均纯利润最大,最大值为16万元 25．（1）见解析；（2）21n a n =+ 【解析】 【分析】（1）已知递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明.（2）由（1）可知数列{}n b 为等差数列，确定数列{}n b 的通项公式，即可求出数列{}n a 的通项公式． 【详解】()1证明：10a ≠，且有122nn n a a a +=+， ∴()*0n a n N ≠∈，又1n nb a =， ∴1121111222n n n n n n a b b a a a +++===+=+，即()*112n n b b n N +-=∈，且1111b a ==， ∴{}n b 是首项为1，公差为12的等差数列．()2解：由()1知()111111222n n n b b n -+=+-⨯=+=，即112nn a+=， 所以21n a n =+． 【点睛】本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法，考查了运用取倒数法求数列的通项公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题. 26．（1）0.3；（2）3.6万；（3）2.9. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（1）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a 的值；第（2）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（3）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5≤x<3，再估计x 的值.试题解析：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04， 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1， 解得a=0.30．（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12． 由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 300 000×0.12="36" 000．（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85， 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85， 所以2.5≤x<3．由0.3×(x –2.5)=0.85–0.73， 解得x=2.9．所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准． 【考点】 频率分布直方图 【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．。
2020-2021重庆市高一数学下期末一模试卷(及答案)
2020-2021重庆市高一数学下期末一模试卷(及答案)一、选择题1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．2或42．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U I A ．{1,1}- B ．{0,1} C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}3．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．04．已知ABC V 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=uu u r uu u r，()()1AQ AC λλ=-∈R u u u r u u u r ，若32BQ CP ⋅=-uu u r uu r ，则λ=（ ）A ．12B ．12± C ．12± D ．32± 5．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则•()PA PB PC +u u u v u u u v u u u v的最小值是（） A ．6-B ．3-C ．4-D ．2-6．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）7．已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=L （ ）A ．68B ．67C ．61D ．608．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．49．已知0,0a b >>，并且111,,2a b成等差数列，则4a b +的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．910．设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且f x f x -=（）（），则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增11．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)212．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上二、填空题13．函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（[]0,x π∈）为增函数的区间是 ． 14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 15．不等式2231()12x x -->的解集是______．16．在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________．17．已知点G 是ABC ∆的重心，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且0578a b c GA GB GC ++=u u ur u u u r u u u r r ，则角B 的大小是__________． 18．在△ABC 中，85a b ==，，面积为12，则cos 2C =______．19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．下列命题正确的为_______________.①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ； ②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变．20．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m的取值范围为 .三、解答题21．已知函数31()log 1a m xf x x -=-（0a >，且1a ≠）的图象关于坐标原点对称．（1）求实数m 的值；（2）比较()2f 与()3f 的大小，并请说明理由．22．已知函数()()22f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈（I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值（II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.23．设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且4cos ,25B b ==. （1）当π6A =时，求a 的值； （2）当ABC ∆的面积为3时，求a+c 的值．24．已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .25．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知10cos 10A =-，2b =，5c =．（1）求a ；（2）求cos()B A -的值．26．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)0,0.5,0.5,1,...,[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则121282l r S lr +===，， ∴解得28r l ==， 或44r l ==，41lrα==或， 故选C ．2．C解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.3．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.4．A解析：A 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=.故选：A. 5．A解析：A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解. 【详解】由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则(0,23),(2,0),(2,0)A B C -，设(,)P x y ，则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--u u u r u u u r u u u r，所以22()(2)(23)(2)2432PA PB PC x x y y x y y •+=-⋅-+-⋅-=-+u u u r u u u r u u u r222[(3)3]x y =+--，所以当0,3x y ==时，()PA PB PC •+u u u r u u u r u u u r取得最小值为2(3)6⨯-=-，故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．C解析：C 【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则240k k k >⎧⎨=-<⎩V解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C. 7．B解析：B 【解析】 【分析】 首先运用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案． 【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=L L .故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.8．B解析：B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．9．D解析：D 【解析】 ∵111,,2a b成等差数列，()11114144559a b a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=∴+=++=+++= ⎪⎝⎭，…， 当且仅当a =2b 即33,2a b ==时“=“成立， 本题选择D 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．10．A解析：A 【解析】 【分析】将f(x)化简，求得ωφ，，再进行判断即可. 【详解】()πf x ωx φ,4⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∵最小正周期为2ππ,π,ω∴=得ω2=，又f x f x （）（）-=为偶函数，所以ππφk π42-=+, k Z ∈∵πφ2<,∴k=-1,()πππφ,f x 2x 444⎛⎫=-∴=--= ⎪⎝⎭,当2k π2x 2k ππ≤≤+,即πk πx k π2≤≤+,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意， 故选A. 【点睛】本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.11．B解析：B 【解析】函数f（x）=e x﹣1x是（0，+∞）上的增函数，再根据f（12）=e﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，可得f（12）f（1）＜0，∴函数f（x）=e x﹣1x的零点所在的区间是（12，1），故选B．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.12．A解析：A【解析】如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，故M∈平面ABC，M∈平面ADC，所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC.选A.点睛：证明点在线上常用方法先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．二、填空题13．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答解析：5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：因为,所以只要求函数的减区间即可.解可得,即,所以,故答案为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.考点：三角函数的图象和基本性质的运用．【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件增函数入手,对函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭进行变形,将其变形为一般式,将其转化为求函数的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通过解不等式使得本题获解.14．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni解析：18 【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．15．【解析】【分析】先利用指数函数的单调性得再解一元二次不等式即可【详解】故答案为【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法属中档题 解析：()1,3-【解析】 【分析】先利用指数函数的单调性得2230x x --<，再解一元二次不等式即可． 【详解】22321 ()1230132x x x x x -->⇔--<⇔-<<． 故答案为()1,3- 【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题．16．【解析】画出图象如下图所示其中为等边三角形边的中点为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方也在点的正上方依题意知在中所以外接圆半径 21【解析】画出图象如下图所示,其中E 为等边三角形BD 边的中点,1O 为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心O 在E 点的正上方,也在1O 点的正上方.依题意知11132360,,OEO O E O A ∠===o ,在1Rt OO E ∆中11tan 601OO O E ==o ,所以外接圆半径2211421133r OA OO O A ==+=+=.17．【解析】由向量的平行四边形法则可得代入可得故则由余弦定理可得故应填答案点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来这是解答本题的难点也是解答本题的突破口求解时充分利用已知条件 解析：3π【解析】 由向量的平行四边形法则可得GA GC BG +=u u u r u u u r u u u r ，代入0578a b c GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r 可得()()05787a b c b GA GC -+-=u u u r u u u r r ，故578a b c ==，则5,7,8a t b t c t ===．由余弦定理可得22222564491cos 802t t t B t +-==，故3B π=，应填答案3π． 点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来，这是解答本题的难点，也是解答本题的突破口．求解时充分利用已知条件及向量的平行四边形法则，将其转化为()()05787a b c b GA GC -+-=u u u r u u u r r ，然后再借助向量相等的条件待定出三角形三边之间的关系578a b c ==，最后运用余弦定理求出3B π=，使得问题获解． 18．【解析】【分析】利用面积公式即可求出sinC 使用二倍角公式求出cos2C【详解】由题意在中面积为12则解得∴故答案为【点睛】本题考查了三角形的面积公式二倍角公式在解三角形中的应用其中解答中应用三角形 解析：725【解析】【分析】利用面积公式即可求出sinC ．使用二倍角公式求出cos2C ．【详解】由题意，在ABC ∆中，8a =，5b =，面积为12， 则120122S absinC sinC ===，解得35sinC =． ∴297212122525cos C sin C =-=-⨯=． 故答案为725． 【点睛】 本题考查了三角形的面积公式，二倍角公式在解三角形中的应用，其中解答中应用三角形的面积公式和余弦的倍角公式，合理余运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．19．①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】①当为棱上的一中点时此时也为棱上的一个中点此时//满足//平面故①正确；②连结则平面因为平面 解析：①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可．【详解】①当E 为棱1CC 上的一中点时，此时F 也为棱1AA 上的一个中点，此时11A C //EF ，满足11A C //平面1BED F ，故①正确；②连结1BD ，则1B D ⊥平面11AC D ，因为1BD ⊂平面1BED F ，所以平面11A C D ⊥平面1BED F ，故②正确；③1BD ⊂平面1BED F ，不可能存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ，故③错误； ④四棱锥11B BED F -的体积等于1111D BB F D BB E V V --+，设正方体的棱长为1.∵无论E 、F 在何点，三角形1BB E 的面积为111122⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB E -的高111D C =，保持不变，三角形1BB F 的面积为111122⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB F -的高为111D A =，保持不变.∴四棱锥11B BED F -的体积为定值，故④正确.故答案为①②④.【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，解答本题的关键正确利用分割法求空间几何体的体积的方法，综合性较强，难度较大．20．【解析】【分析】【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线所以要使对于任意的都有成立解得所以实数的取值范围为【考点】二次函数的性质解析：2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】【详解】因为函数2()1f x x mx =+-的图象开口向上的抛物线，所以要使对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <成立，()222()10(1)1(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得0m <<， 所以实数m的取值范围为2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 【考点】二次函数的性质．三、解答题21．（1）1m =-；（2）当1a >时， ()()23f f >；当01a <<时， ()()23f f <，理由见解析【解析】【分析】（1）将图象关于坐标原点对称转化为函数为奇函数，从而有()()f x f x -=-在函数的定义域内恒成立，进而求得m 的值，再进行检验；（2）根所在（1）中求得的m 值，得到1()log 1a x f x x +=-，再求得()()2,3f f 的值，对a 分两种情况讨论，从而得到()()2,3f f 的大小关系.【详解】解：（1）31()log 1a m x f x x -=-Q ，31()()log 1a m x f x x -⋅-∴-=--． 又Q 函数()f x 的图象关于坐标原点对称，()f x ∴为奇函数，()()f x f x ∴-=-在函数的定义域内恒成立，331()1log log 11a a m x m x x x -⋅--∴=----， 331()1111m x m x x x -⋅--∴⋅=---， ()6210m x ∴-=在函数的定义域内恒成立，1m ∴=-或1m =．当1m =时，函数的真数为1-，不成立，1m ∴=-．（2）据（1）求解知，1()log 1a x f x x +=-， (2)log 3a f ∴=，(3)log 2a f =．当1a >时，函数()log a g x x =在(0,)+∞上单调递增，23<Q ，log 2log 3(3)(2)a a f f ∴<⇒<；当01a <<时，函数()log a g x x =在(0,)+∞上单调递减，23<Q ，log 2log 3(3)(2)a a f f ∴>⇒>．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解析式中参数值、对数函数的单调性比较大小，考查数形结合思想、分类讨论思想的运用，在比较大小时，注意对a 分1a >和01a <<两种情况讨论.22．（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. 【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．【详解】（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x -x cos x ，＝﹣cos2x x ，＝﹣226sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则f （23π）＝﹣2sin （436ππ+）＝2， （Ⅱ）因为()2sin(2)6f x x π=-+． 所以()f x 的最小正周期是π．由正弦函数的性质得3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ，． 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解． 23．（1）53a =（2）210a c +=【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系式，求出sin B ，利用正弦定理求出a 即可．（2）通过三角形的面积求出ac 的值，然后利用余弦定理即可求出a +c 的值．试题解析:解：（1）43cos ,sin 55B B =∴=Q . 由正弦定理得10,sin sin 3sin 6a b a A B π==可得. 53a ∴=. （2）ABC ∆Q 的面积13sin ,sin 25S ac B B ==， 33,1010ac ac ∴==. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得4=22228165a c ac a c +-=+- ,即2220a c +=. ∴()()22220,40a c ac a c +-=+=，∴210a c +=点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.24．（1）2n n a =（*n N ∈）；（2）()16232n n T n +=+-．【解析】【分析】（1）根据等比数列通项的性质求出34,a a 的表达式，利用等差中项列方程求得公比，然后求得数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列{}n n a b 的前n 项和n T【详解】解：（1）设数列{}n a 的公比为，因为24a =，所以34a q =，244a q =．因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+．即()224244q q +=+，化简得220q q -=． 因为公比0q ≠，所以2q =．所以222422n n n n a a q--==⨯=（*n N ∈）． （2）因为2n n a =，所以22log 121n n b a n =-=-．()212n n n a b n =-．则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-.②①－②得，()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--()()()11141222212623212n n n n n -++-=+⨯--=----，所以()16232n n T n +=+-．【点睛】 本小题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列通项公式的求解，考查等差中项的性质，考查错位相减求和法求数列的前n 项和，属于中档题.25．(1) 3a =.(2) cos()B A -=. 【解析】【分析】分析：（1）在ABC ∆中，由余弦定理可得3a =．（2）由10cosA =-得10sinA =．根据正弦定理得5sinB =，从而cosB =，故得()10cos B A cosBcosA sinBsinA -=+=． 【详解】（1）在ABC ∆中，由余弦定理得2222252910a b c bccosA ⎛⎫=+-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭，∴3a =．（2）在ABC ∆中，由10cosA =-得,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴10sinA ===，在ABC ∆中，由正弦定理得a b sinA sinB =sinB =，∴5sinB =， 又,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cosB ===∴()cos B A cosBcosA sinBsinA ⎛-=+== ⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.26．（1）0.3；（2）3.6万；（3）2.9.【解析】【分析】【详解】试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（1）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（2）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（3）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5≤x<3，再估计x的值.试题解析：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30．（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12="36" 000．（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5≤x<3．由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，解得x=2.9．所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．【考点】频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．。
2021-2022学年重庆市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
重庆市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数11i +的虚部是( ) A ．12- B ．12 C ．12i D ．1〖解 析〗111122i i =-+，∴复数11i +的虚部是12-． 〖答 案〗A2．设向量(2,1)a =，(3,)b m =，a b ⊥，则(m = ) A ．6-B ．32-C ．16-D ．32〖解 析〗(2,1)a =，(3,)b m =，a b ⊥，2310m ∴⨯+⨯=，解得6m =-．〖答 案〗A3．设空间中的平面α及两条直线a ，b 满足a α⊂/且b α⊂，则“a b =∅”是“//a α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件〖解 析〗当ab =∅时，两条直线a ，b 满足a α⊂/且b α⊂，a ∴与α可能相交，故充分性不成立，当//a α时，a α⊂/且b α⊂，ab ∴=∅，故“a b =∅”是“//a α”的必要不充分条件．〖答 案〗B4．某地区对居民用电实行阶梯电价以提高能源效率，统计该地区每户居民月均用电量，得到相关数据如表：如果将该地区居民用户的月均用电量划分为三档，第一档电量按照覆盖70%的居民用户的月均用电量确定，第二档电量按照覆盖90%的居民用户的月均用电量确定，则第二档电量区间为( ) A ．(162，173]B ．(173，195]C ．(173，220]D ．(220,)+∞〖解 析〗由题意知，第一档用电量区间为(0，173]，第二档用电量区间为(173，220]． 〖答 案〗C5．已知ABC ∆AB AC ⋅，则(BAC ∠= ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π〖解 析〗由题设，3||||cos 2ABC S AB AC AB AC BAC ∆⋅=∠，又1||||sin 2ABC S AB AC BAC ∆=∠sin BAC BAC ∠=∠，即tan BAC ∠=0BAC π<∠<，故3BAC π∠=．〖答 案〗C6．在正方体1111ABCD A B C D -中，与直线1AB 不垂直的直线是( ) A ．1A BB ．BCC ．1A DD ．1BD〖解 析〗如图所示，在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥；因为BC ⊥平面11ABB A ，故1BC AB ⊥； 连接1B C 、AC ，因为11//B C A D ，所以1AB 与1A D 所成的角为60︒，不垂直； 易得1BD ⊥平面1AB C ，所以11BD AB ⊥；所以C 正确． 〖答 案〗C7．已知某圆台上下底面的面积之比为1:9，侧面积为163π，母线长为2，则该圆台的高为( )A ．2B C ．43D ．1〖解 析〗设圆台的上底面半径为r ，母线长为l ，高为h ， 圆台上下底面的面积之比为1:9，∴下底面的半径为3r ，又母线长为2，圆台的侧面积为163π，则16(3)83r r l r πππ+⋅==，解得23r =，则圆台的高h ==．〖答 案〗B8．从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，则恰好抽到一对夫妇的概率为( ) A ．16B ．15C ．14D ．13〖解 析〗从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，基本事件总数2615n C ==，恰好抽到一对夫妇包含的基本事件个数133m C ==， 则恰好抽到一对夫妇的概率为31155m P n ===． 〖答 案〗B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于复数z 及其共轭复数z ，下列说法正确的是( ) A ．z z R +∈B ．||||z z =C ．2||z z z ⋅=D ．||||z z z z ⋅=⋅〖解 析〗设(,)z a bi a b R =+∈，则(,)z a bi a b R =-∈，则2z z a R +=∈，故A 正确；||||z z ==B 正确；2||||z z z ⋅=，故C 错误，D 正确． 〖答 案〗ABD10．设平面向量||1a =，||2b =，b 在a 方向上的投影向量为c ，则( ) A ．a c c b ⋅=⋅B ．a b a c ⋅=⋅C ．||2a c ⋅D ．||||a c a c ⋅=⋅〖解 析〗设b 与a 的夹角为θ，对于A ，当θ为锐角时，2||||||,||||cos ||a c a c c c b c b c θ⋅=⋅=⋅=⋅=，不一定相等， 故A 错误，对于B ．当θ为锐角时，||||cos ||cos ||||||a b a b b a c a c c θθ⋅=⋅==⋅=⋅=，成立， 当θ为钝角时，||||cos ||cos ||||||a b a b b a c a c c θθ⋅=⋅==⋅=-⋅=-，成立，当θ为直角时，0a b a c ⋅=⋅= 成立，故正确； 对于C ，||||||||||2a c a c c b ⋅=⋅==，故C 正确，对于D ，||||cos a c a c θ⋅=⋅，故D 错误． 〖答 案〗BC11．已知100个零件中恰有2个次品，现从中不放回地依次随机抽取两个零件，记事件1A = “第一次抽到的零件为次品”，事件2A = “第二次抽到的零件为次品”，事件A = “抽到的两个零件中有次品”，事件B = “抽到的两个零件都是正品”，则( ) A ．12()()P A P A =B ．P （A ）12()()P A P A =+C ．()P AB P =（A ）P +（B ）D ．P （B ）12(1())(1())P A P A =-⋅-〖解 析〗12111001()50C P A C ==，2492111()509950P A ⨯+⨯==⨯，所以A 正确． 因为12A A ≠∅，12A A A =，故P （A ）1212()()()P A P A P A A =+-，所以B 错误．因为AB ≠∅，AB =Ω，即A 、B 为对立事件，故()P A B P =（A ）P +（B ），所以C 正确．P （B ）2982100989710099A A ⨯==⨯，124949[1()][1()]5050P A P A P --=⨯≠（B ），所以D 错误． 〖答 案〗AC12．某学校规定，若五个工作日内学校某天有超过3个人的体温测量值高于37.5C ︒，则需全员进行核酸检测．该校统计了五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数，则根据这组数据的下列信息，能断定该校不需全员进行核酸检测的是( ) A ．中位数是1，平均数是1 B ．中位数是1，众数是0 C ．中位数是2，众数是2D ．平均数是2，方差是0.8〖解 析〗A ．因为中位数是1，设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为a ，b ，1，c ，d ，因为平均数是1，所以15a b c d ++++=，若4d =，则0a b c ===，不合题意，故正确； B ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为0，0，1，2，4， 满足中位数是1，众数是0，但有一天超过3，故错误；C ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为0，2，2，3，4， 满足中位数是2，众数是2，但有一天超过3，故错误；D ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为a ，b ，c ，d ，e ， 因为平均数是2，方差是0.8，则10a b c d e ++++=，222221[(2)(2)(2)(2)(2)]0.85a b c d e -+-+-+-+-=， 即22222(2)(2)(2)(2)(2)4a b c d e -+-+-+-+-=，则4e ，若4e =，从方差角度来说2a b c d ====，不满足10a b c d e ++++=， 所以4e <，故正确． 〖答 案〗AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在ABC ∆中，BC =，2AC =，34BCA π∠=，则AB = ． 〖解 析〗在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC BAC =+-⋅∠334222cos4222cos 622244ππ=+-⨯=+-⨯=-⨯=，所以AB〖答 14．如图，边长为2的正方形A B C D ''''是用斜二测画法得到的四边形ABCD 的直观图，则四边形ABCD 的面积为 ．〖解 析〗根据题意，正方形A B C D ''''的边长为2，其面积224S '=⨯=，则四边形ABCD 的面积S ='=〖答 案〗15．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则点数之和为8的概率是 ．〖解 析〗连续投掷2次，骰子点数的样本空间为6636⨯=，2次点数之和为8的有：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(6,2)，(5,3)，故有5种，其概率为536． 〖答 案〗53616．如图，ABCD 是棱长为6的正四面体，E ，F 为线段AB 的三等分点，G ，H 为线段CD 的三等分点，过点E ，F ，G ，H 分别作平行于平面BCD ，平面ACD ，平面ABD ，平面ABC 的截面，则正四面体ABCD 被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为 ．〖解 析〗如图，取BCD ∆中心O ，连接OA ，因为ABCD 是棱长为6的正四面体， 所以OA ⊥平面BCD ，根据几何关系：6,BO AB AO ===所以正四面体ABCD 的体积为：11166332A BCD BCD V S OA -∆=⋅=⨯⨯⨯=因为平面//EMN 平面BCD ，E 为线段AB 的三等分点，所以19EMN BCD S S ∆∆=，三棱锥A EMN -的高13h OA =，所以11327A EMN EMN A BCD V S h V -∆-=⋅===， 所以正四面体ABCD 被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为4A BCD A EMN V V ---=．〖答 案〗3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在ABC ∆中，3AB =，2AC =，3A π=，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且AD DB =，2BE EC =，设DE xAB y AC =+．（1）求x ，y 的值； （2）求||DE ． 解：（1）AD DB =，2BE EC =，∴12DB AB =，22()33BE BC AC AB ==-， ∴1212()2363DE BE BD AB AC AB AB AC =-=--=-+，DE xAB y AC =+，16x ∴=-，23y =．（2）ABC ∆中，3AB =，2AC =，3A π=，∴22121412149()942326336963236DE AB AC =-+=⨯+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， ∴7||6DE =． 18．（12分）某学校派出甲、乙、丙三名同学参加英语演讲比赛，已知甲、乙、丙三人晋级的概率分别为13，34，23，且三人是否晋级彼此独立．（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人晋级的概率； （2）求甲、乙、丙三人中恰有两人晋级的概率． 解：（1）设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为A ．依题意P （A ）132171(1)(1)(1)34318=----=．（2）设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为B ．依题意P （B ）132********(1)(1)(1)34343333436=-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=．19．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为棱1AA ，BC 的中点．（1）证明：//AN 平面1BMC ；（2）证明：平面1BMC ⊥平面11BB C C ． 证明：（1）取1BC 的中点D ，连接ND ，MD ，则11////ND CC AA ，1122ND CC AM ===，得四边形AMDN 为平行四边形，//AN MD ∴，又MD ⊂平面1BMC ，AN ⊂/平面1BMC ，//AN ∴平面1BMC ； （2）在正三棱柱111ABC A B C -中，可得1BB ⊥平面ABC ，AN ⊂平面ABC ，1BB AN ∴⊥，又ABC ∆为正三角形，N 为棱BC 的中点． AN BC ∴⊥，又1BCBB B =，BC ，1BB ⊂平面11BB C C ，AN ∴⊥平面11BB C C ，由（1）可知//AN MD ，MD ∴⊥平面11BB C C ，MD ⊂平面1BMC ，∴平面1BMC ⊥平面11BB C C ．20．（12分）学校统计了高三年级1000名学生的某次数学考试成绩，已知所有学生的成绩均在区间[100，150]内，且粮据统计结果绘制出如下频率分布表和频率分布直方图．（1）求图中a 的值；（2）试估计这1000名学生此次数学考试成绩的中位数．解：（1）由题设频率直方表如下：100.15a ∴=，解得0.015a =．（2）由（1）知：0.05100.20.50.05100.40.6a a +=<<++=，∴中位数位于[120，130)内，令中位数为x ，则0.0510(120)0.040.2(120)0.040.5a x x ++-⨯=+-⨯=， 解得127.5x =．21．（12分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC ⊥，224AB AD CD ===，将ADB ∆沿DB 折成如图2所示的三棱锥P DBC -，且平面PDB ⊥平面DBC ．（1）证明：PD BC ⊥；（2）设N 为线段PC 的中点，求直线DN 与平面PBC 所成角的正切值．（1）证明：在梯形ABCD 中，BD =，BC =4CD =，所以222BD BC CD +=，即BD BC ⊥， 取BD 的中点M ，连接PM ，CM ， 因为PD PB =，所以PM BD ⊥，又平面PDB ⊥平面DBC ，平面PDB ⋂平面DBC BD =，所以PM ⊥平面DBC ， 因为BC ⊂平面DBC ，所以PM BC ⊥， 因为BDPM M =，BD ，PM ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ，因为PD ⊂平面PBD ，所以PD BC ⊥．（2）解：由（1）知，PD BC ⊥，PD PB ⊥， 因为BCPB B =，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面PBC ，所以PND ∠即为直线DN 与平面PBC 所成角，在PBD ∆中，12PM BD == 在BCM ∆中，2228210CM BC BM =+=+=， 由（1）知，PM ⊥平面DBC ，因为CM ⊂平面DBC ，所以PM CM ⊥，所以PC ==因为N 为线段PC 的中点，所以12PN PC ==tan PD PND PN ∠===，故直线DN 与平面PBC 22．（12分）如图，边长为2的等边ABC ∆所在平面内一点D 满足(0)CD t AB t =>，点P 在边BC 上，||PB m =．PDB ∆a AB =，b AC =．（1）用a ，b 及m 表示PC ； （2）求CB PD ⋅的最小值．解：（1）因为ABC ∆是边长为2的等边三角形，||PB m =，所以，||2PC m =-，所以2222222222m m m m mPC BC AC AB b a -----==-=-； （2）因为2222()2222m m m mPD PC CD b a ta b t a ----=+=-+=--，CB AB AC a b =-=-，1222,||||22a b a b ⋅=⨯⨯===，所以，22222()[()]24()4()2()22222m m m m mCB PD a b b t a m t t -----⋅=-⋅--=----+-224t m =+-，设三角形PBD 在PB 边上的高为h ，则12mh =h因为(0)CD t AB t =>，所以//,60CD AB BCD ∠=︒，所以11222sin 6022BCD S t ∆=⨯=⨯⨯︒，即2t m=，所以，44224242244CB PD t m m m m m ⋅=+-=+-⋅=，当且仅当42m m=，即m所以CB PD ⋅的最小值为4．重庆市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数11i +的虚部是( ) A ．12- B ．12 C ．12i D ．1〖解 析〗111122i i =-+，∴复数11i +的虚部是12-． 〖答 案〗A2．设向量(2,1)a =，(3,)b m =，a b ⊥，则(m = ) A ．6-B ．32-C ．16-D ．32〖解 析〗(2,1)a =，(3,)b m =，a b ⊥，2310m ∴⨯+⨯=，解得6m =-．〖答 案〗A3．设空间中的平面α及两条直线a ，b 满足a α⊂/且b α⊂，则“a b =∅”是“//a α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件〖解 析〗当ab =∅时，两条直线a ，b 满足a α⊂/且b α⊂，a ∴与α可能相交，故充分性不成立，当//a α时，a α⊂/且b α⊂，ab ∴=∅，故“a b =∅”是“//a α”的必要不充分条件．〖答 案〗B4．某地区对居民用电实行阶梯电价以提高能源效率，统计该地区每户居民月均用电量，得到相关数据如表：如果将该地区居民用户的月均用电量划分为三档，第一档电量按照覆盖70%的居民用户的月均用电量确定，第二档电量按照覆盖90%的居民用户的月均用电量确定，则第二档电量区间为( ) A ．(162，173]B ．(173，195]C ．(173，220]D ．(220,)+∞〖解 析〗由题意知，第一档用电量区间为(0，173]，第二档用电量区间为(173，220]． 〖答 案〗C5．已知ABC ∆AB AC ⋅，则(BAC ∠= ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 〖解 析〗由题设，3||||cos 2ABC S AB AC AB AC BAC ∆⋅=∠，又1||||sin 2ABC S AB AC BAC ∆=∠sin BAC BAC ∠=∠，即tan BAC ∠=0BAC π<∠<，故3BAC π∠=．〖答 案〗C6．在正方体1111ABCD A B C D -中，与直线1AB 不垂直的直线是( ) A ．1A BB ．BCC ．1A DD ．1BD〖解 析〗如图所示，在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥；因为BC ⊥平面11ABB A ，故1BC AB ⊥； 连接1B C 、AC ，因为11//B C A D ，所以1AB 与1A D 所成的角为60︒，不垂直； 易得1BD ⊥平面1AB C ，所以11BD AB ⊥；所以C 正确． 〖答 案〗C7．已知某圆台上下底面的面积之比为1:9，侧面积为163π，母线长为2，则该圆台的高为( )A ．2B C ．43D ．1〖解 析〗设圆台的上底面半径为r ，母线长为l ，高为h ， 圆台上下底面的面积之比为1:9，∴下底面的半径为3r ， 又母线长为2，圆台的侧面积为163π，则16(3)83r r l r πππ+⋅==，解得23r =，则圆台的高h ==．〖答 案〗B8．从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，则恰好抽到一对夫妇的概率为( ) A ．16B ．15C ．14D ．13〖解 析〗从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，基本事件总数2615n C ==，恰好抽到一对夫妇包含的基本事件个数133m C ==， 则恰好抽到一对夫妇的概率为31155m P n ===． 〖答 案〗B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于复数z 及其共轭复数z ，下列说法正确的是( ) A ．z z R +∈B ．||||z z =C ．2||z z z ⋅=D ．||||z z z z ⋅=⋅〖解 析〗设(,)z a bi a b R =+∈，则(,)z a bi a b R =-∈，则2z z a R +=∈，故A 正确；||||z z ==B 正确；2||||z z z ⋅=，故C 错误，D 正确． 〖答 案〗ABD10．设平面向量||1a =，||2b =，b 在a 方向上的投影向量为c ，则( ) A ．a c c b ⋅=⋅B ．a b a c ⋅=⋅C ．||2a c ⋅D ．||||a c a c ⋅=⋅〖解 析〗设b 与a 的夹角为θ，对于A ，当θ为锐角时，2||||||,||||cos ||a c a c c c b c b c θ⋅=⋅=⋅=⋅=，不一定相等， 故A 错误，对于B ．当θ为锐角时，||||cos ||cos ||||||a b a b b a c a c c θθ⋅=⋅==⋅=⋅=，成立， 当θ为钝角时，||||cos ||cos ||||||a b a b b a c a c c θθ⋅=⋅==⋅=-⋅=-，成立， 当θ为直角时，0a b a c ⋅=⋅= 成立，故正确； 对于C ，||||||||||2a c a c c b ⋅=⋅==，故C 正确，对于D ，||||cos a c a c θ⋅=⋅，故D 错误． 〖答 案〗BC11．已知100个零件中恰有2个次品，现从中不放回地依次随机抽取两个零件，记事件1A = “第一次抽到的零件为次品”，事件2A = “第二次抽到的零件为次品”，事件A = “抽到的两个零件中有次品”，事件B = “抽到的两个零件都是正品”，则( )A ．12()()P A P A =B ．P （A ）12()()P A P A =+C ．()P AB P =（A ）P +（B ）D ．P （B ）12(1())(1())P A P A =-⋅-〖解 析〗12111001()50C P A C ==，2492111()509950P A ⨯+⨯==⨯，所以A 正确． 因为12A A ≠∅，12A A A =，故P （A ）1212()()()P A P A P A A =+-，所以B 错误．因为AB ≠∅，AB =Ω，即A 、B 为对立事件，故()P A B P =（A ）P +（B ），所以C 正确．P （B ）2982100989710099A A ⨯==⨯，124949[1()][1()]5050P A P A P --=⨯≠（B ），所以D 错误． 〖答 案〗AC12．某学校规定，若五个工作日内学校某天有超过3个人的体温测量值高于37.5C ︒，则需全员进行核酸检测．该校统计了五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数，则根据这组数据的下列信息，能断定该校不需全员进行核酸检测的是( ) A ．中位数是1，平均数是1 B ．中位数是1，众数是0 C ．中位数是2，众数是2D ．平均数是2，方差是0.8〖解 析〗A ．因为中位数是1，设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为a ，b ，1，c ，d ，因为平均数是1，所以15a b c d ++++=，若4d =，则0a b c ===，不合题意，故正确； B ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为0，0，1，2，4， 满足中位数是1，众数是0，但有一天超过3，故错误；C ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为0，2，2，3，4， 满足中位数是2，众数是2，但有一天超过3，故错误；D ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为a ，b ，c ，d ，e ， 因为平均数是2，方差是0.8，则10a b c d e ++++=，222221[(2)(2)(2)(2)(2)]0.85a b c d e -+-+-+-+-=， 即22222(2)(2)(2)(2)(2)4a b c d e -+-+-+-+-=，则4e ，若4e =，从方差角度来说2a b c d ====，不满足10a b c d e ++++=， 所以4e <，故正确．〖答 案〗AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在ABC ∆中，BC =，2AC =，34BCA π∠=，则AB = ． 〖解 析〗在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC BAC =+-⋅∠334222cos4222cos 622244ππ=+-⨯=+-⨯=-⨯=，所以AB〖答 14．如图，边长为2的正方形A B C D ''''是用斜二测画法得到的四边形ABCD 的直观图，则四边形ABCD 的面积为 ．〖解 析〗根据题意，正方形A B C D ''''的边长为2，其面积224S '=⨯=，则四边形ABCD 的面积S ='=〖答 案〗15．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则点数之和为8的概率是 ．〖解 析〗连续投掷2次，骰子点数的样本空间为6636⨯=，2次点数之和为8的有：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(6,2)，(5,3)，故有5种，其概率为536． 〖答 案〗53616．如图，ABCD 是棱长为6的正四面体，E ，F 为线段AB 的三等分点，G ，H 为线段CD 的三等分点，过点E ，F ，G ，H 分别作平行于平面BCD ，平面ACD ，平面ABD ，平面ABC 的截面，则正四面体ABCD 被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为 ．〖解 析〗如图，取BCD ∆中心O ，连接OA ，因为ABCD 是棱长为6的正四面体， 所以OA ⊥平面BCD ，根据几何关系：6,BO AB AO ===所以正四面体ABCD 的体积为：11166332A BCD BCD V S OA -∆=⋅=⨯⨯⨯=因为平面//EMN 平面BCD ，E 为线段AB 的三等分点，所以19EMN BCD S S ∆∆=，三棱锥A EMN -的高13h OA =，所以11327A EMN EMN A BCD V S h V -∆-=⋅===， 所以正四面体ABCD 被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为4A BCD A EMN V V ---=．〖答 案〗3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在ABC ∆中，3AB =，2AC =，3A π=，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且AD DB =，2BE EC =，设DE xAB y AC =+．（1）求x ，y 的值； （2）求||DE ． 解：（1）AD DB =，2BE EC =，∴12DB AB =，22()33BE BC AC AB ==-， ∴1212()2363DE BE BD AB AC AB AB AC =-=--=-+，DE xAB y AC =+，16x ∴=-，23y =．（2）ABC ∆中，3AB =，2AC =，3A π=，∴22121412149()942326336963236DE AB AC =-+=⨯+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， ∴7||6DE =． 18．（12分）某学校派出甲、乙、丙三名同学参加英语演讲比赛，已知甲、乙、丙三人晋级的概率分别为13，34，23，且三人是否晋级彼此独立．（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人晋级的概率； （2）求甲、乙、丙三人中恰有两人晋级的概率． 解：（1）设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为A ．依题意P （A ）132171(1)(1)(1)34318=----=．（2）设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为B ．依题意P （B ）132********(1)(1)(1)34343333436=-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=．19．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为棱1AA ，BC 的中点．（1）证明：//AN 平面1BMC ； （2）证明：平面1BMC ⊥平面11BB C C ． 证明：（1）取1BC 的中点D ，连接ND ，MD ，则11////ND CC AA ，1122ND CC AM ===，得四边形AMDN 为平行四边形，//AN MD ∴，又MD ⊂平面1BMC ，AN ⊂/平面1BMC ，//AN ∴平面1BMC ； （2）在正三棱柱111ABC A B C -中，可得1BB ⊥平面ABC ，AN ⊂平面ABC ，1BB AN ∴⊥，又ABC ∆为正三角形，N 为棱BC 的中点．AN BC ∴⊥，又1BCBB B =，BC ，1BB ⊂平面11BB C C ，AN ∴⊥平面11BB C C ，由（1）可知//AN MD ，MD ∴⊥平面11BB C C ，MD ⊂平面1BMC ，∴平面1BMC ⊥平面11BB C C ．20．（12分）学校统计了高三年级1000名学生的某次数学考试成绩，已知所有学生的成绩均在区间[100，150]内，且粮据统计结果绘制出如下频率分布表和频率分布直方图．（1）求图中a 的值；（2）试估计这1000名学生此次数学考试成绩的中位数．解：（1）由题设频率直方表如下：100.15a ∴=，解得0.015a =．（2）由（1）知：0.05100.20.50.05100.40.6a a +=<<++=，∴中位数位于[120，130)内，令中位数为x ，则0.0510(120)0.040.2(120)0.040.5a x x ++-⨯=+-⨯=， 解得127.5x =．21．（12分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC ⊥，224AB AD CD ===，将ADB ∆沿DB 折成如图2所示的三棱锥P DBC -，且平面PDB ⊥平面DBC ．（1）证明：PD BC ⊥；（2）设N 为线段PC 的中点，求直线DN 与平面PBC 所成角的正切值．（1）证明：在梯形ABCD 中，BD =，BC =4CD =， 所以222BD BC CD +=，即BD BC ⊥， 取BD 的中点M ，连接PM ，CM ， 因为PD PB =，所以PM BD ⊥，又平面PDB ⊥平面DBC ，平面PDB ⋂平面DBC BD =，所以PM ⊥平面DBC ， 因为BC ⊂平面DBC ，所以PM BC ⊥， 因为BDPM M =，BD ，PM ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ，因为PD ⊂平面PBD ，所以PD BC ⊥．（2）解：由（1）知，PD BC ⊥，PD PB ⊥，因为BC PB B =，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面PBC ，所以PND ∠即为直线DN 与平面PBC 所成角，在PBD ∆中，12PM BD == 在BCM ∆中，2228210CM BC BM =+=+=，由（1）知，PM ⊥平面DBC ，因为CM ⊂平面DBC ，所以PM CM ⊥，所以PC ==因为N 为线段PC 的中点，所以12PN PC ==tan PD PND PN ∠===，故直线DN 与平面PBC 22．（12分）如图，边长为2的等边ABC ∆所在平面内一点D 满足(0)CD t AB t =>，点P 在边BC 上，||PB m =．PDB ∆a AB =，b AC =．（1）用a ，b 及m 表示PC ；（2）求CB PD ⋅的最小值．解：（1）因为ABC ∆是边长为2的等边三角形，||PB m =，所以，||2PC m =-， 所以2222222222m m m m m PC BC AC AB b a -----==-=-； （2）因为2222()2222m m m m PD PC CD b a ta b t a ----=+=-+=--，CB AB AC a b =-=-， 1222,||||22a b a b ⋅=⨯⨯===， 所以，22222()[()]24()4()2()22222m m m m m CB PD a b b t a m t t -----⋅=-⋅--=----+- 224t m =+-，设三角形PBD 在PB 边上的高为h ，则12mh =h 因为(0)CD t AB t =>，所以//,60CD AB BCD ∠=︒，所以11222sin 6022BCD S t ∆=⨯=⨯⨯︒，即2t m=，所以，44224242244CB PD t m m m m m ⋅=+-=+-⋅=，当且仅当42m m=，即m所以CB PD ⋅的最小值为4．。
重庆市七校2020-2021学年高一下学期期末联考语文试题+Word版含答案
2020—2021学年下期高2023级七校期末语文试题满分150分，考试时间150分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上。
4．考试结束后，将答题卷交回。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I(本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1-5题。
材料一：据说古希腊的亚历山大大帝在东宫的时候，每听到他父王在外国打胜仗的消息，就要发愁，生怕全世界都给他老子征服了，自己这样一位英雄将来没有用武之地。
紧跟着伟大的诗歌创作时代而起来的诗人准有类似的感想。
当然，诗歌的世界是无边无际的，不过，前人占领的疆域愈广，继承者要开拓版图，就得配备更大的人力物力，出征得愈加辽远，否则他至多是个守成之主，不能算光大前业之君。
所以，前代诗歌的造诣不但是传给后人的产业，而在某种意义上也可以说向后人挑衅，挑他们来比赛，试试他们能不能后来居上、打破记录，或者异曲同工、别开生面。
假如后人没出息，接受不了这种挑衅，那么这笔遗产很容易贻祸子孙，养成了贪吃懒做的膏粱纨绔。
有唐诗作榜样是宋人的大幸，也是宋人的大不幸。
看了这个好榜样，宋代诗人就学了乖，会在技巧和语言方面精益求精；同时，有了这个好榜样，他们也偷起懒来，放纵了摹仿和依赖的惰性。
瞧不起宋诗的明人说它学唐诗而不像唐诗，这句话并不错，只是他们不懂这一点不像之处恰恰就是宋诗的创造性和价值所在。
明人学唐诗是学得来维肖而不维妙，像唐诗而又不是唐诗，缺乏个性，没有新意，因此博得“瞎盛唐诗”“赝古”“优孟衣冠”等等绰号。
宋人能够把唐人修筑的道路延长了，疏凿的河流加深了，可是不曾冒险开荒，没有去发现新天地。
用宋代文学批评的术语来说，凭借了唐诗，宋代作者在诗歌里“小结裹”方面有了很多发明和成功的尝试，譬如某一个意思写得比唐人透彻，某一个字眼或句法从唐人那里来而比他们工稳，然而在“大判断”或者艺术的整个方向上没有什么特著的转变，风格和意境虽不寄生在杜甫、韩愈、白居易或贾岛、姚合等人的身上，总多多少少落在他们的势力圈里。
2020-2021学年重庆市部分学校高一下学期期末联合检测数学试卷及答案
2020-2021学年重庆市部分学校高一下学期期末联合检测数学试题数学测试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量()2,1a =-，()4,b m =-，//a b ，则实数m =（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 42. 已知复数z 满足210z iz +=，则z =（ ）A. 2i +B. 2i -C. 42i +D. 42i -3. 正方体1111ABCD A BC D -的六个面的对角线中与直线1AC 垂直的有（ ） A. 0条B. 3条C. 6条D. 12条4. 甲、乙、丙三位同学在学校举办的建党100周年党史知识竞赛活动中获得优胜奖，颁奖时甲、乙、丙三位同学随机站成一排，则甲乙两人恰好相邻而站的概率为（ ） A.16B.13C.12D.235. 为迎接北京2022年冬奥会，推广冰上运动，某班体育老师调查了全班同学对冰上运动项目的了解程度，调查结果分为三个等级：“不了解”“基本了解”和“非常了解”，其中等级为“基本了解”的人数比等级为“不了解”的人数多8人.接下来，该体育老师采用分层抽样的方法从全班同学中抽取部分同学参加冰壶运动的体验活动，参加体验活动的同学中对冰上运动项目“不了解”的有1人，“基本了解”的有3人，“非常了解”的有6人，那么该班全体同学中对冰上运动项目“非常了解”的人数为（ ） A. 10人B. 12人C. 18人D. 24人6. 已知运动员甲每次射击击中目标的概率为12，运动员乙每次射击击中目标的概率为13，若两人各射击一次，且两人是否击中目标相互独立，则恰有一人击中目标的概率是（ ） A.16B.13 C.12D.237. 已知四面体P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，BC =，且3tan 2ABC ∠=，则四面体P ABC -的外接球的表面积为（ ） A. 15πB. 17πC. 18πD. 20π8. 在四边形ABCD 中，//AB CD ，120BAD ∠=︒，4AB =，2AD =，3CD =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则FE AC ⋅=（ ） A. 92-B. -3C.52D.72二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ）A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱B. 棱锥的侧面一定都是三角形C. 棱台各侧棱所在直线必交于一点D. 有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台 10. 关于平面非零向量a ，b ，c ，下列说法错误的是（ ） A. 若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角 B. 若()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，则//a c C. 若a b a c +>+，则b c >D. 若230a b c ++=，则()()//a c b c ++11. 已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则（ ） A. 12z z =B. 12z z R ⋅∈C.12z R z ∈ D. 12z z R +∈12. 在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，11AD AA ==，E 为棱AB 上的动点（不包含端点），则（ ）A. 四面体1E DCD -的体积恒为13B. 直线1D E 与平面11BCC B 所成角一定小于3πC. 存在点E 使得1//D E 平面11A BCD. 存在点E 使得11D E DB ⊥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某工厂对一批产品的净重（单位：克）进行抽样调查得到样本数据：230，235，237，238，238，239，240，242，244，246，据此估计这批产品的第80百分位数为___________.14. 已知ABC △的面积为3，且6AB BC ⋅=，则B =__________.15. 如图，'''O A B △是OAB △在斜二测画法下的直观图，其中''''2O A O B ==，且''''O A O B ⊥，则OAB △的面积为___________.16. 在等边三角形ABC 中，2AD DB =，2DE EC =，P 为线段AE 上一点，且BP CA CD λ=+，则实数λ的值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知2a =，3b =，()()2219a b a b +⋅-=-. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b +.18. 某课外活动小组有三项不同的任务需要完成，已知每项任务均只分配给组员甲和组员乙中的一人，且每项任务的分配相互独立，根据两人的学习经历和个人能力知，这三项任务分配给组员甲的概率分别为12，13，34. （1）求组员甲至少分配到一项任务的概率；（2）设甲、乙两人分配到的任务数分别为x 项和y 项，求()P x y >.19. 在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222222tan a b c B a c b--=+-. （1）求A ；（2）若34a =__________，求ABC △的周长.在①ABC △的面积为3，②417cos 17B =答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20. 在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N ，P 分别为11A D ，DC ，1CC 的中点.（1）求证：1//AC 平面DPB ； （2）求证：MN ⊥平面DPB .21. 如图，正四棱锥P ABCD -中，2AB PA ==，E 是棱AP 上靠近点P 的三等分点，F 是棱PC 的中点.（1）求异面直线BF 与PD 所成角的余弦值； （2）求四面体P EBF -的体积.22. 自疫情爆发以来，由于党和国家对抗疫工作的高度重视，在人民群众的不懈努力下，我国抗疫工作取得阶段性成功，国家经济很快得到复苏.在餐饮业恢复营业后，某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图如下. 组别 分组频数 频率 第1组 [)20,30 40.08 第2组 [)30,40a第3组 [)40,50 20 b第4组 [)50,600.32 第5组 [)60,704 0.08 合计501.00（1）求a ，b ，c 的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数；（2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104，在后50天内每日接待的顾客人数的平均数为51、方差为100，估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差.重庆市部分学校2021年春高一（下）期末联合检测试卷 数学参考答案一、选择题 1-5：CDCDD6-8：CBD第8题提示：以A 为原点建立如图所示的坐标系， 则()2,3C ，()4,0B ，()1,3D -，33,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 53,22FE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,3AC =，72FE AC ⋅=，故D 正确.二、选择题9. BC 10. AC 11. BC 12. AB第9题提示：如左图，将两个平行六面体合在一起，可知A 错误；如右图，该几何体的上下底面是两个全等的矩形，两矩形平行，且上面矩形的长与下面矩形的宽对应平行，则四个侧面均为等腰梯形，但四条侧棱并不交于同一点，故D 错误.第10题提示：当a ，b 同向时，夹角为0，但0a b ⋅>，故A 错误；当0a b ⋅≠时，0b c ⋅≠，()//a b c c ⋅⋅，()//a b c a ⋅⋅，故//a c ，当0a b ⋅=时，0b c ⋅=，则a b ⊥，c b ⊥，故//a c ，故B 正确；若b a =，c a =-，则a b a c +>+，但b c =，故C 错误；由230a b c ++=可知()2a c b c +=-+，故()()//a c b c ++，即D 正确.第11题提示：取12z z i ==，则121z z R =-∈，但12z z ≠，122z z i R +=∉，故A 、D 均不正确； 设1z a bi =+，2z c di =+，则12()z z ac bd ad bc i =-++，由题知0ad bc +=， 故12()()()z z a bi c di ac bd ad bc i ac bd R ⋅=-⋅-=--+=-∈，故B 正确；112222z z z R z z =∈，故C 正确. 第12题提示：由//AB 平面1DCD 知，点E 到平面1DD C 的距离即为 直线AB 到平面1DD C 的距离AD ， 故111133E DD C DD C V S AD -=⋅=△，A 正确； ∵平面11//BCC B 平面11ADD A ，∴1D E 与平面11BCC B 所成角即为1D E 与平面11ADD A 所成角1ED A ∠，1tan 2)2ED A ∠=，∴13ED A π∠<，B 正确；∵1//D A BC ，∴1//D A 平面11A BC ，若1//D E 平面11A BC ，则平面1//D AE 平面11A BC ，则//AB 平面11A BC ，显然矛盾，故C 错误； ∵11D A A D ⊥，111D A A B ⊥，∴1D A ⊥平面11A B D ，∴11D A DB ⊥，若11D E DB ⊥，则1DB ⊥平面1D AE ，则1DB AB ⊥，即1DB DC ⊥，显然矛盾，故D 错误.三、填空题 13. 243 14.34π 15. 42 16. 43- 第15题提示：过'B 分别作'y ，'x 轴的平行线，且交'x ，'y 轴于点M ，N ， ∴'22O N =，'2O M =，∴在原坐标系xOy 中，点()2,42B -， 点()2,0A ，∴42OAB S =△.第16题提示：以A 为原点建立如图所示坐标系， 不妨设()6,0B ，由题知()4,0D ，(3,33C ，10,233E ⎛⎝， 由P 在AE 上，设33P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33BP m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， (3,33CA =--，(1,33CD =-，∵BP CA CD λ=+，∴63m λ-=-，3333(1)5m λ=-+， 解得43λ=-.四、解答题17. 解：（1）由题知2223219a a b b -⋅-=-，2223cos 219a a b b θ-⋅-=-， 即818cos 1819θ--=-，1cos 2θ=，3πθ=； （2）222222444cos 4523a b a a b b a a b b π+=+⋅+=+⋅+=，∴252213a b +==.18. 解：（1）记事件A 为甲一项任务都没有被分配，则1131()11123412P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴组员甲至少分配到一项任务的概率为111()12P A -=； （2）满足x y >即3x =，0y =或2x =，1y =，三项任务的具体分配对象依次为：甲甲甲，甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，故所求概率11311112311313()23423423423424P x y >=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=. 19. 解：（1）由余弦定理2222cos b c a bc A +-=，2222cos a c b ac B +-=，∴2cos tan 2cos bc AB ac B-=，sin cos 0a B b A +=，故sin sin sin cos 0A B B A +=，∴tan 1A =-，34A π=；（2）由余弦定理222342a b c bc ==+（*） 若选①，1sin 32S bc A ==，62bc =*）式得2222b c +=， ∴222322b c b c bc +=++=，∴周长为23234+若选②，17sin B =sin sin b a B A =得2b =， 代入（*）式得32c =23234+20. 解：（1）设ACBD O =，则AC 中点为O ，∴1//OP AC ，又OP ⊆平面DPB ，∴1//AC 平面DPB ；（2）连接1D N ，在正方形11DCC D 中，∵N ，P 为DC ，1CC 中点. ∴1D N DP ⊥，又1MD ⊥平面11DCC D ，∴1MD DP ⊥， ∴DP ⊥平面1MD N ，∴DP MN ⊥，过M 作1MM AD ⊥于1M ，连接1M N ，则1MM ⊥平面ABCD ， 且1M 为AD 中点，∴1MM DB ⊥，1M N DB ⊥， ∴DB ⊥平面1MM N ，∴DB MN ⊥，∴MN ⊥平面DPB .21. 解：（1）取DC 中点M ，连接MF ，BM ，则//MF PD ， 故异面直线BF 与PD 所成角为MFB ∠或其补角，在MFB △中，1MF =，5MB PCB △中，3BF =∴2223cos 2623MF FB MB MFB MF FB +-∠===-⋅， ∴异面直线BF 与PD 3（2）连接AC ，取AC 中点O ，连接PO ，则PO ⊥底面ABCD ，∵222PA PO OA =+，∴2PO =14233P ABCD ABCD V S PO -=⋅=， 由题知11111sin sin 22326PEF PAC S PE PF APC PA PC APC S =⋅∠=⋅⋅∠=△△， ∴1126129B PEF B PAC P ABCD V V V ---===.22. 解：（1）由表可知第4组的频数为500.3216⨯=，∴504201646a =----=，200.4050b ==， 第2组的频率为60.1250=，0.120.01210c ==， 前50天内每日接待的顾客人数的平均数为：250.08350.12450.40550.32650.0847⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）设前50天接待的顾客人数分别为1x ，2x ，…，50x ，后50天接待的顾客人数分别为1y ，2y ，…，50y ，则由（1）知前50天的平均数47x =，方差2104x s =，后50天的平均数51y =，方差2100y s =，故这100天的平均数为4750515049100⨯+⨯=，()()50502222215011112505050xi i i i s x x x x x x x x ==⎡⎤⎡⎤=-++-=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑505022221111250505050i i i i x x x x x x ==⎡⎤=-⋅+=-⎢⎥⎣⎦∑∑， 同理502221150y i i s y y ==-∑，这100天的方差25050505022211111100100i i i i i i i i x y s x y ====⎛⎫+ ⎪⎛⎫ ⎪=+- ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭∑∑∑∑， 结合三式可得()2222221505050505050100100x y x y s s x s y ⎛⎫+=+++- ⎪⎝⎭()222222221111()1()1062222424x y x y x y x y s x s y s s +-=+++-=++=.。
2024届重庆市七校高一数学第二学期期末质量检测试题含解析
2024届重庆市七校高一数学第二学期期末质量检测试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设0.52a =，0.5log 0.6b =，4tan 5c π=，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b c a << D ．c a b <<2．在等差数列中，若，，则（ ）A ．8B ．16C ．20D ．283．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD +D ．3142AB AD +5．若两个正实数x ，y 满足2142x x y +=，且不等式224yx m m x+<-有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,2- B ．()(),21,-∞-⋃+∞ C ．()2,1-D ．()(),12-∞-+∞6．米勒问题，是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大？）米勒问题的数学模型如下：如图，设,M N 是锐角ABC ∠的一边BA 上的两定点，点P 是边BC 边上的一动点，则当且仅当PMN ∆的外接圆与边BC 相切时，MPN ∠最大．若()()0,1,2,3M N ，点P 在x 轴上，则当MPN ∠最大时，点P 的坐标为（ ）A ．(61,0)-B ．(16,0)-±C ．(17,0)-±D ．(71,0)-7．若圆()()()222120x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线260x y -+=的距离等于5，则r 的取值范围是（ ） A ．()0,25B ．()5,35C ．()5,25D ．()25,358．秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法，求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为4和2，则输出v 的值为（ ）A ．32B ．64C ．65D ．1309．若直线经过两点，则直线的倾斜角是（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知角A 、B 是ABC 的内角，则“A B <”是“sin sin A B <”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届重庆市主城区七校联考数学高一第二学期期末经典模拟试题含解析
2024届重庆市主城区七校联考数学高一第二学期期末经典模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．下列命题中正确的是（ ） A ．OA OB AB -= B ．0AB BA += C ．00AB ⋅= D ．AB BC DC AD +-= 2．设等差数列的前项和为，若，，则中最大的是( ).A ．B ．C ．D ．3．已知1log 0,log log 4ab b a a <=-，则,a b 满足的关系式是 A ．1a >，且1b > B ．1a >，且01b << C ．1b >，且01a <<D ．01a <<，且01b <<42,3,6，这个长方体的顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A ．6πB ．8πC ．12πD ．24π5．在等差数列{}n a 中，若2=5a ，4=3a ，则6=a （ ） A ．1-B ．0C ．1D ．66．25(32)x x -+的展开式中含3x 的项的系数为（ ） A ．-1560B ．-600C ．600D ．15607．设点P 是函数()241y x =--(),Q x y 满足260x y --=，则PQ 的最小值为（）A ．524B 52C 5D 548．等差数列{}n a 满足224747a 29a a a ++=，则其前10项之和为（ ）A ．－9B ．－15C ．15D ．15±9．某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．6010．若函数()()sin (0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤局部图象如图所示，则函数()y f x =的解析式为( )A ．3sin 226y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．3sin 226y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．3sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．3sin 223y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2020-2021学年度高一下学期期末数学试题(有答案)
2020-2021学年度高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知，， O 是坐标原点，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据向量线性运算可得，由坐标可得结果.【详解】故选：【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.2．（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由两角和差正弦公式将所求式子化为，由特殊角三角函数值得到结果.【详解】故选：【点睛】本题考查利用两角和差正弦公式化简求值的问题，属于基础题.3．设，，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．解：∵a>b，c>d;∴设a=1，b=-1，c=-2，d=-5,选项A，1-（-2）>-1-（-5），不成立;选项B，1 （-2）>（- 1）（-5），不成立;取选项C，，不成立,故选D【考点】不等式的性质点评：本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C级要求，本题属于基础题4．若两个球的半径之比为，则这两球的体积之比为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据球的体积公式可知两球体积比为，进而得到结果.【详解】由球的体积公式知：两球的体积之比故选：【点睛】本题考查球的体积公式的应用，属于基础题.5．在等差数列中, ，则（）A．5 B．8 C．10 D．14【答案】B【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，，所以，所以，故选B.【考点】等差数列通项公式.6．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理将边化角可求得，根据三角形为锐角三角形可求得 .【详解】由正弦定理得：，即故选：【点睛】本题考查正弦定理边化角的应用问题，属于基础题.7．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程求得；利用一元二次不等式的解法可求得结果.【详解】的解集为和是方程的两根，且，解得：解得：，即不等式的解集为故选：【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系等知识的应用；关键是能够通过一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，进而利用韦达定理构造方程求得变量.8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三视图还原几何体，可知该几何体是由边长为的正方体切割得到的四棱锥，可知所求外接球即为正方体的外接球，通过求解正方体外接球半径，代入球的表面积公式可得到结果.【详解】由三视图可知，几何体为如下图所示的四棱锥：由上图可知：四棱锥可由边长为的正方体切割得到该正方体的外接球即为四棱锥的外接球四棱锥的外接球半径外接球的表面积故选：【点睛】本题考查棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够通过三视图还原几何体，并将几何体放入正方体中，通过求解正方体的外接球表面积得到结果；需明确正方体外接球表面积为其体对角线长的一半.9．已知等比数列的公比为，若，，则（）A．-7 B．-5 C．7 D．5【答案】A【解析】由等比数列通项公式可构造方程求得，再利用通项公式求得结果. 【详解】故选：【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算问题，考查基础公式的应用，属于基础题. 10．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的最小角为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由三角形大边对大角可知所求角为角，利用余弦定理可求得，进而得到结果.【详解】的最小角为角，则故选：【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形的问题，关键是明确三角形中大边对大角的特点，进而根据余弦定理求得所求角的余弦值.11．若x＋2y＝4，则2 x ＋4 y 的最小值是（）A．4 B．8 C．2 D．4【答案】B【解析】试题分析：由，当且仅当时，即等号成立，故选B．【考点】基本不等式.12．已知数列且是首项为2，公差为1的等差数列，若数列是递增数列，且满足，则实数 a 的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据等差数列和等比数列的定义可确定是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列通项公式，进而求得；由数列的单调性可知；分别在和两种情况下讨论可得的取值范围. 【详解】由题意得：，，是以为首项，为公比的等比数列为递增数列，即①当时，，，即只需即可满足②当时，，，即只需即可满足综上所述：实数的取值范围为故选：【点睛】本题考查根据数列的单调性求解参数范围的问题，涉及到等差和等比数列定义的应用、等比数列通项公式的求解、对数运算法则的应用等知识；解题关键是能够根据单调性得到关于变量和的关系式，进而通过分离变量的方式将问题转化为变量与关于的式子的最值的大小关系问题.二、填空题13．已知向量，，若，则实数___________.【答案】【解析】由垂直关系可得数量积等于零，根据数量积坐标运算构造方程求得结果.【详解】，解得：故答案为：【点睛】本题考查根据向量垂直关系求解参数值的问题，关键是明确两向量垂直，则向量数量积为零.14．若，则 __________．【答案】【解析】【详解】15．若数列满足，且，则 ___________.【答案】【解析】对已知等式左右取倒数可整理得到，进而得到为等差数列；利用等差数列通项公式可求得，进而得到的通项公式，从而求得结果.【详解】，即数列是以为首项，为公差的等差数列故答案为：【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式的问题，关键是明确对于形式的递推关系式，采用倒数法来进行推导.16．如图所示， E ， F 分别是边长为1的正方形的边 BC ， CD 的中点，将其沿 AE ， AF ， EF 折起使得 B ， D ， C 三点重合.则所围成的三棱锥的体积为___________.【答案】【解析】根据折叠后不变的垂直关系，结合线面垂直判定定理可得到为三棱锥的高，由此可根据三棱锥体积公式求得结果.【详解】设点重合于点，如下图所示：，，又平面，平面，即为三棱锥的高故答案为：【点睛】本题考查立体几何折叠问题中的三棱锥体积的求解问题，处理折叠问题的关键是能够明确折叠后的不变量，即不变的垂直关系和长度关系.三、解答题17．已知等差数列的前 n 项和为，且， .（1）求；（2）求 .【答案】（1）；（2）【解析】（1）由可求得公差，利用等差数列通项公式求得结果；（2）利用等差数列前项和公式可求得结果.【详解】（1）设等差数列公差为，则，解得：（2）由（1）知：【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和的求解问题，考查基础公式的应用，属于基础题.18．已知向量，， .（1）若，求实数的值；（2）若，求向量与的夹角 .【答案】（1）；（2）【解析】（1）由向量平行的坐标表示可构造方程求得结果；（2）利用向量夹角公式可求得，进而根据向量夹角的范围求得结果.【详解】（1），解得：（2）又【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示、向量夹角的求解问题；考查学生对于平面向量坐标运算、数量积运算掌握的熟练程度，属于基础应用问题.19．在中，已知内角所对的边分别为，已知，，的面积 .（1）求边的长；（2）求的外接圆的半径 .【答案】（1）；（2）【解析】（1）由三角形面积公式可构造方程求得结果；（2）利用余弦定理可求得；利用正弦定理即可求得结果.【详解】（1）由得：，解得：（2）由余弦定理得：由正弦定理得：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形的问题，考查学生对于解三角形部分的公式掌握的熟练程度，属于基础应用问题.20．在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AC ＝3， BC ＝4， AB ＝5， AA 1 ＝4，点D 是 AB 的中点．求证：(1) AC ⊥ BC 1 ；(2) AC 1 ∥平面 CDB 1 .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由勾股定理可证得为直角三角形即可证得，由直棱柱可知面，可证得，根据线面垂直的判定定理可证得面，从而可得．（2）设与的交点为，连结，由中位线可证得，根据线面平行的判定定理可证得平面．试题解析：证明：（1）证明：，，为直角三角形且，即．又∵三棱柱为直棱柱，面，面，，，面，面，．（2）设与的交点为，连结，是的中点，是的中点，．面，面，平面．【考点】1线线垂直，线面垂直；2线面平行．21．设数列的前n项和为，已知．（Ⅰ）求通项；（Ⅱ）设，求数列的前n项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，根据，构造，利用，两式相减得到，然后验证，得到数列的通项公式；（Ⅱ）由上一问可知.根据零点分和讨论去绝对值，利用分组转化求数列的和.试题解析：（Ⅰ）因为，所以当时，，两式相减得：当时，，因为,得到，解得，，所以数列是首项，公比为5的等比数列，则；（Ⅱ）由题意知，,易知当时，；时，所以当时，，当时，，所以，，……当时，又因为不满足满足上式，所以.【考点】1.已知求；2.分组转化法求和.【方法点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,（5）或是具有某些规律求和，（6）本题考查了等差数列绝对值求和，需讨论零点后分两段求和.22．已知且，比较与的大小.【答案】详见解析【解析】将两式作差可得，由、和可得大小关系.【详解】当且时，当时，当时，综上所述：当时，；当时，；当时，【点睛】本题考查作差法比较大小的问题，关键是能够根据所得的差进行分类讨论；易错点是忽略差等于零，即两式相等的情况.23．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD="40" m,则电视塔的高度为多少？【答案】40m．【解析】试题分析：本题是解三角形的实际应用题，根据题意分析出图中的数据，即∠ADB=30°，∠ACB=45°，所以，可以得出在Rt△ABD中，BD= AB，在Rt△ABC中，∴BC=AB．在△BCD中，由余弦定理，得BD 2 =BC 2 +CD 2 -2BC·CDcos∠BCD，代入数据，运算即可得出结果．试题解析：根据题意得，在Rt△ABD中，∠ADB=30°，∴BD= AB，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=AB．在△BCD中，由余弦定理，得BD 2 =BC 2 +CD 2 -2BC·CDcos∠BCD，∴3AB 2 =AB 2 +CD 2 -2AB·CDcos120°整理得AB 2 -20AB-800=0，解得，AB=40或AB=-20（舍）．即电视塔的高度为40 m【考点】解三角形．高一下学期数学期末考试试卷（含答案）考试时量： 120 分钟考试总分： 150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1 ．已知集合，则A .B .C .D .2 ．下面是属于正六棱锥的侧视图的是3 ．给出以下命题：① 经过三点有且只有一个平面；② 垂直于同一直线的两条直线平行；③ 一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行 . 其中正确命题的个数有A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个4. 下列命题正确的是A ．幂函数的图象都经过、两点B ．当时，函数的图象是一条直线C ．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同D ．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点5 ．直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为A. B. C. 或 D. 或6 ．若函数定义域为，则的取值范围是A ．B ．且C ．D ．7 ．如图，在直角梯形中，，将沿折起，使得平面平面 . 在四面体中，下列说法正确的是A. 平面平面B. 平面平面C. 平面平面D. 平面平面8 . 中国古代数学名著《九章算术》中 , 将顶部为一线段，下底为一矩形的拟柱体称之为刍甍 (méng) ，如图几何体为刍甍，已知面是边长为 3 的正方形，，与面的距离为 2 ，则该多面体的体积为A. B.C. D.9 ．我们从这个商标中抽象出一个图像为右图，其对应的函数可能是A ．B ．C ．D ．10 ．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.11 ．若实数满足，则的取值范围是A. B.C. D.12 ．设函数有 5 个零点，且对一切实数均满足，则A. B. C. D.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．13 ．给出下列平面图形：①三角形；②四边形；③五边形；④六边形 . 则过正方体中心的截面图形可以是（填序号）14 ．已知，则直线与直线的距离的最大值为15 ．已知函数，则函数恰好存在一个零点时，实数的取值范围为 ____________ ．16 ．圆锥 AO 底面圆半径为，母线长为，从中点拉一条绳子，绕圆锥一周转到点，则这条绳子最短时长度为三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。
2023-2024学年重庆市七校联盟高一(下)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年重庆市七校联盟高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数5i−2的共轭复数是( )A. 2+iB. −2−iC. −2+iD. 2−i2.已知两个互斥事件A ，B 满足P(A +B)=0.5，P(A)=0.2，则P(B)=( )A. 0.4B. 0.3C. 0.6D. 0.13.正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，直线AB 1与直线BC 1夹角的余弦值是( )A. 12B.32C. ±32D. ±124.三棱锥P−ABC 中，PA 与面ABC 所成角的余弦值为2 23,PA =3，AB =2BC =2，AC = 3，则三棱锥P−ABC 的体积是( )A.32B.33C.3D.365.△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，c =acosB +ccosA ，则△ABC 的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形6.甲、乙两人独自破译密码，两个人都成功地破译密码的概率为0.3，甲成功且乙没有成功破译密码的概率为0.2，则甲成功破译密码的概率为( )A. 0.5B. 0.6C. 0.06D. 237.已知向量a =(3,4)，非零向量b 满足对∀λ∈R 都有|a−λb |≥|a−b |成立，则|a−2b |的值为( )A. 52B. 10C. 5D. 158.边长为2的正三角形ABC 的内切圆上有一点P ，已知AP =xAB +yAC ，则2x +y 的取值范围是( )A. [3− 3,3+3]B. [13,1]C. (13,1)D. [3− 33,3+ 33]二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛一枚质地均匀的硬币两次，事件A 1：“第1次硬币正面朝上”，事件A 2：“第2次硬币正面朝上”，事件A 3：“两次硬币朝上的面相同”则下列说法正确的是( )A. P(A1)=12B. P(A2)≠12C. P(A1A3)=P(A1)P(A3)D. P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)10.关于x的方程x2+x+1=0在复数范围内的根是z1，z2，则下列说法正确的是( )A. z31=1B. z21=z2C. z20241=z1 D.−z1=z211.如果一个多面体由两个及其两个以上的正多边形组成，我们称这样的多面体是半正多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图1是一个由正方形和正三角形构成的半正多面体笔筒，其中面ABCD//面EFGH，且两个正方形的中心的连线与这两个正方形所在平面垂直，HF⊥AD，EG⊥AB，且所有的棱长都为2，则下列说法正确的是( )A. 该多面体有10个面B. 平面ABCD与平面EFGH的距离是234C. 该几何体外接球的表面积是(8+22)πD. 二面角H−AE−B的余弦值为1−23三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2020-2021学年重庆市高一下学期期末数学模拟试卷及答案解析
第 1 页 共 18 页2020-2021学年重庆市高一下学期期末数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．已知a ，b ∈R ，直线ax +2y ﹣1＝0与直线（a +1）x ﹣2ay +1＝0垂直，则a 的值为（ ） A ．﹣3B ．3C ．0或 3D ．0或﹣32．已知向量|a →|＝1，|b →|＝2，a →•b →=√3，则向量a →与向量b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π33．某车间生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产量之比分别为5：k ：3，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本进行检验，已知B 种型号的产品共抽取了24件，则C 种型号的产品抽取的件数为（ ） A ．12B ．24C ．36D ．604．关于茎叶图的说法，结论错误的一个是（ ）A ．甲的极差是29B ．甲的中位数是25C ．乙的众数是21D ．甲的平均数比乙的大5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知13a 3+S 13＝52，则S 9＝（ ） A ．9B ．18C ．27D ．366．在锐角△ABC 中，若a ＝2，b ＝3，A =π6，则cos B ＝（ ） A ．34B ．√34C ．√74D ．3√347．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子．假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3，n ∈N *），其中a 1＝1，a 2＝1．若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ） A ．13B ．33100C ．12D ．67100。
2024届重庆市普通高中高一数学第二学期期末检测模拟试题含解析
2024届重庆市普通高中高一数学第二学期期末检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ） A ．45B ．35C ．35-D ．45-2．不等式250ax x c ++>的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭,则,a c 的值为( ) A ．6,1a c == B ．6,1a c =-=- C ．1,1a c ==D ．1,6a c =-=-3．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比2q ，则2019a =（ ）A ．20172B ．20182C ．20192D ．202024．已知向量(2,tan )a θ=，(1,1)b =-.且a b ，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．3-C ．3-D ．13-5．已知如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上异于其中点的动点，Q 为棱1AA 的中点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，以下关系中正确的是（ ）A ．1//m D QB ．1m Q B ⊥C ．//m 平面11BD Q D ．m ⊥平面11ABB A 6．已知等差数列的前项和为18，若，，则等于（ ）A ．9B ．21C ．27D ．367．不等式20x x ->的解集是： A ．()1,0- B ．()(),10,?-∞-⋃+∞ C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞8．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．29．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a b =”是“cos cos a B b A =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(),1-∞B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
重庆市高一下学期数学期末考试模拟卷
知 x1, x2 , x3 , x4 分别为 1,2,1.5,0.5 ，则输出的结果 S 为 .
图3
（ 15）在 ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，若 C 60 ，且 3ab 25 c2 ，则 ABC 的 面积最大值为 .
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重庆市高一下学期数学期末考试模拟卷
三 . 解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分 13 分）在△中 ,角 A 、 B、 c 所对的边分别为 .已知 cos 2C 1
18. （本小题满分 13 分）现有 8 名奥运会志愿者， 其中志愿者 A1， A2， A3 通晓日语， B1， B2， B3 通晓俄语， C1， C2 通晓韩语 .从中选出通晓日语、 俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组 . (1)求 A1 被选中的概率； (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率 .
（ 13）现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在 三个顶点处，则 A 处不安装红灯的概率为 .
ABC 的
（ 14）某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进 行了抽样调查，其中 4 位居民的月均用水量分别为 x1, x2, x3, x4 . 根据图 3所示的程序框图，若
( A1， B3， C2) ， ( A2， B1， C1)，( A2， B1， C2)，(A2， B2，C1) ， ( A2， B2， C2) ，
( A2， B3， C1) ， ( A2， B3， C2) ， ( A3， B1， C1 )，( A3， B1， C2 )，( A3， B2， C1) ，
所以 P( N )
3
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开始S ＝0 A ＝1第2题最新度第二学期期末七校联考高一数学试题（文科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分；在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在数列1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , x , 21 , 34 , 55中，x 等于（ ） A ．11B ．12C ．13D ．142．10名工人某天生产同一零件，生产的件数茎叶图如图所示， 若众数为c ，则c=（ ） A ．12B ．14C ．15D ．173．设集合{}032|2<--=x x x A ,{}41|≤≤=x x B ,则=⋂B A （ ） A ．{}31|<≤x x B ．{}31|≤≤x xC ．{}43|≤<x xD ．{}43|≤≤x x4．等差数列}{n a 中,27,39963741=++=++a a a a a a 则数列}{n a 的前9项的和等于（ ） A ．66B ．99C ．144D ．2975．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ） A ．41B ．21 C ．81D ．无法确定6．已知ABC ∆中,边a ，b ，c 所对角分别为A,B,C, ο30,34,4===A b a ,则=∠B （ ） A ．ο30 B ．οο15030或C ．ο60D ．οο12060或7．求101531++++=ΛS 的流程图程序如图所示，其中①应为（ ）第14题图A ．?101=AB ．?101≤AC ．?101>AD ．?101≥A 8．ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且B b C a C c A a sin sin 2sin sin =-+.则=∠B （ ） A ．6π B ．4πC ．3πD ．43π9．若函数3)1(4)54()(22+---+=x a x a a x f 的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]10．若*∈=++=N n n f a kx x x f n ),(,1)(2，已知数列{}n a 是递增数列，则k 的取值范围是（ ）A ．),0[+∞B ．),1(+∞-C ．),2[+∞-D ．),3(+∞-11．若]2,0[,∈b a ，则方程022=++bx a x 有实数解的概率是（ ） A ．43B ．21C ．31 D ．41 12．已知等差数列{}n a 中，17,953==a a ，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n S ，若()Z m mS S nn ∈≤-+,1512，对任意的*∈N n 成立，则整数m 的最小值为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，把答案写在答题卡上方能得分）13．某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现按分层抽样抽取30人，则抽取高级职称人数为____________.14．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西ο60方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速 度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向在C 处追赶上渔船乙，刚好用 2小时．则BC= . 15．数列{}n a 满足),2(,21,211N n n a a a n n n ∈≥=-=-，则n a = 16．设x,y 满足约束条件231+1x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,若目标函数=+(>0,>0)z ax by a b 的最小值为2,则b a 32+的最小值为______________.三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明或演算过程）17. （本小题满分12分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，8,1411===b b a ，{}n a 的前10项和55. （1）求n b ；（2）设{}n n b a 的前n 和为n S ，求n S .18．（本小题满分12分）某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数； （2）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m 、n ，求事件“|m ﹣n|＞10”发生的概率．19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若CcA a sin 3cos =， （1）求A 的大小；（2）若3=a ，23=+c b ，求ABC ∆的面积．20．（本小题满分12分）某镇统计2010年到2014年中心城区人口总数与年份的关系如下表:（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出线性回归方程ˆybx a =+． （2）据此估计2020年该镇人口总数.参考公式：1221ˆˆˆni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑，21．（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 中，公差0>d ，且满足：4532=⋅a a ，1441=+a a ． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n a a 的前n 项和为nS ，令16)(+=n S n f n （*N n ∈），求)(n f 的最大值.22．（本小题满分10分）已知ABC ∆是锐角三角形，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ， （1）若a ，b ，c 成等比数列，求角B 的最大值，并判断此时ABC ∆的形状； （2）若A ，B ，C 成等差数列，求C A sin sin +的取值范围.高一数学(文科)参考答案一、选择题：1-5CBABB6-10DBBCD11-12DA二、填空题： 13．314．2815．n⎪⎭⎫⎝⎛-2125 16．22517．解：（1）设{}n b 的公比为q ，则有：∴314q b b =.∴q=2.…………………………………………2分∴12-=n n b .…………………………………………………5分（2）∴55102101=⨯+a a ，∴1010=a …………………………6分 ∴n a n = …………………………7分 ∴12-⋅=n n n n b a∴n n n n n b a b a b a b a b a S +++++=--11332211Λ∴1221022)1(232221--⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S Λ ①∴n n n n n S 22)1(23222121321⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=⋅-Λ ②………9分 ∴①-②：n nnn n n n S 2212122222213210⋅---=⋅-+++++=--Λ……………………11分∴12)1(+-=n n n S …………………………12分18．解：（1）由频率分布直方图可知：)80,60[的频率为：58.010)04.0018.0(=⨯+…………………………2分 ∴295058.0=⨯∴合格人数为29人。
…………………………5分（2）由图分析可得：212)60,50[A A ，人，记为有， 321,3]100,90[B B B ，人，记为有…………………………7分则从中任取2人，共有如下情况：),21A A （),11B A （),21B A （),31B A （),12B A （),22B A （),32B A （),21B B （),31B B （),32B B （ 共10种，其中符合条件的有6种∴所求概率53=p …………………………12分19．解：（1）CcA sin 3cos a =Θ∴3sin sin 3cos sin ==CCA A ∴ο60=A .…………………………5分(2) 2122)(2cos 22222=--+=-+=bc a bc c b bc a c b A Θ…………………………8分 ∴bc=3…………………………10分 ∴433sin 21==∆A bc S ABC .…………………………12分 20．解：（1）由题设分析知：10,2==y x∴2.3104530==⨯-=b∴6.322.310=⨯-=a )∴6.32.3+=x y …………………………8分(2)由（1）知，当x=20时，6.676.3202.3=+⨯=y …………………………12分 21．解：（1）由题设知：⎩⎨⎧=+=+=⋅1445324132a a a a a a ∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==59953232a a a a 或…………………………2分 0>d Θ，∴9,532==a a 。
∴34-=n a n …………………………5分（2）)141341(41)14)(34(111+--=+-=+n n n n a a n n Θ∴14)]141341()9151()5111[(41+=+--++-+-=n nn n S n Λ…………………………8分∴81165164116654161416)(2≤++=++=++=+=nn n n nn n nn S n f n （当n=2时取=）……12分22．解：（1）Θa,b,c 成等比数列，∴ac b =2∴212222cos 22222=-≥-+=-+=ac ac ac ac ac c a ac b c a B …………………………3分 当且仅当a=c 时取“=”，∴B 的最大值是3π，此时三角ABC 是等边三角形。
…………………………5分 （2）C B A ,,Θ成等差数列∴2B=A+C, ∴B=ο60…………………………6分 ∴)30sin(3sin 23cos 23sin )120sin(sin sin C C C C C C A +=+=+-=+οο………7分 ⎩⎨⎧<-<<<οοοοοΘ901200900C C ,∴οο9030<<C ,∴οοο1203060<+<C ∴3)30sin(323≤+<C ο. 3sin sin 23≤+<∴C A …………………………10分。