初中多项式因式分解双十字相乘法

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2019年中考数学最全的因式分解方法：双十字相乘法与拆法添项法

2019年中考数学最全的因式分解方法：双十字相乘法与拆法添项法各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢双十字相乘法在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，尤其是某些二次六项式，如4x2—4xy-3y2—4x+10y-3，也可以运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为：1)用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式,得到一个十字相乘图2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含y 的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x的一次项例5分解因式①4x2-4xy-3y2—4x+10y—3②x2-3xy-10y2+x+9y-2 ③ab+b2+a-b—2④6x2—7xy—3y2—xz+7yz-2z2 解①原式=2x-3y+1)2x+y-3）2x—3y1 2xy-3 ②原式=x—5y+2）x+2y—1）x-5y2 x2y-1 ③原式=b+1）a+b-2）0ab1 ab—2 ④原式=2x-3y+z）3x+y-2z) 2x-3yz 3x-y—2z 说明:③式补上oa2，可用双十字相乘法，当然此题也可用分组分解法. 如ab+a)+b2-b—2)=ab+1）+b+1）b-2）=b+1）a+b—2）④式三个字母满足二次六项式，把—2z2看作常数分解即可: 6、拆法、添项法对于一些多项式，如果不能直接因式分解时,可以将其中的某项拆成二项之差或之和。

再应用分组法，公式法等进行分解因式,其中拆项、添项方法不是唯一,可解有许多不同途径，对题目一定要具体分析，选择简捷的分解方法。

例6分解因式：x3+3x2-4 解析法一：可将—4拆成-1，-3即x3—1)+3x2—3) 法二：添x4，再减x4,。

即x4+3x2-4）+x3—x4) 法三：添4x,再减4x即，x3+3x2-4x)+4x-4）法四：把3x2拆成4x2-x2，即x3-x2）+4x2-4) 法五：把x3拆为，4x2-3x3即4x3—4)-3x3-3x2）等解选择法四)原式=x3—x2+4x2—4 =x2x-1)+4x-1）x+1) =x—1)x2+4x+4）=x—1）x+2)2各位读友大家好，此文档由网络收集而来,欢迎您下载,谢谢。

(完整版)初中生物十字相乘法因式分解

(完整版)初中生物十字相乘法因式分解初中生物十字相乘法因式分解
引言
十字相乘法是初中生物学中一种常用的因式分解方法，用于分
解多项式式子。

本文将介绍该方法的具体步骤和应用。

步骤
1. 首先，我们需要确定多项式的因式之间是否存在公因式。

如
果存在公因式，我们先将公因式提取出来。

2. 接下来，我们需要确定多项式的因式之间是否存在二元关系。

如果存在二元关系，我们可以使用十字相乘法进行因式分解。

3. 根据两个因式之间的关系，我们可以将多项式分解为两个部分，每个部分包含一个因式。

4. 对于每个部分，我们可以使用十字相乘法，将其进一步分解
成更简单的形式。

应用
十字相乘法因式分解在初中生物学中具有广泛的应用。

它可以帮助我们简化复杂的多项式式子，并更好地理解和分析生物学中的关系和过程。

通过掌握十字相乘法因式分解的方法和应用，我们可以更加深入地研究和掌握初中生物学的知识。

结论
初中生物十字相乘法因式分解是一种常用的因式分解方法，可以帮助我们简化复杂的多项式式子。

通过掌握这种方法，我们可以更加深入地研究和理解初中生物学的知识。

因式分解-十字相乘法

因式分解-十字相乘法一、十字相乘法分解因式十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。

简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即()()()x a x b x a b x ab ++=+++2将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2++，就需要找到满足下列条件的a 、b ；a b pab q +==⎧⎨⎩如把762-+x x 分解因式，首先要把二次项系数2x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。

交叉相乘的和为x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。

从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。

2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax bx c 2++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762x x -+，首先要把二次项系数2分成1×2，常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。

右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系x =-+762x )1)(7(-+x x xx⇓⨯⇓71-xx x 67=+-数，从而得()()2762232x x x x -+=--。

初中多项式因式分解双十字相乘法

初中多项式因式分解双十字相乘法练习及答案(1)2249517214x xy y x y+++++ (2)22726715743114m mn n m n++--+ (3)2354237366p pq p q++++(4)2221371246177m mn n m n++---(5)2228457294235x xy y x y--++-(6)2240436862942x xy y x y+---+ (7)224031354025x xy y x y--++(8)227108162215x xy y x y+--+-(9)22613711132x xy y x y++++-(10)22212412141930x y z xy yz xz++--+ (11)22245328352149a ab b a b++++-(12)22492418x xy x y+---(13)222251230201855x y z xy yz xz-++--(14)23530344221x xy x y+---(15)2294930636x xy y x y+-++(16)2282812343221m mn n m n+++++(17)2221635248588x y z xy yz xz --+-+(18)224106273735x xy y x y -++-+(19)22209918x xy y x y ---+-(20)22631363956x xy y x y +---+(21)22253630246619x y z xy yz xz --+-+(22)22272416464032a b c ab bc ac +++--(23)222121376128m n m n ----(24)2228254213415x xy y x y ---+-(25)22251815213320x y z xy yz xz +++--(26)222222541515x y z xy yz xz++-+-(27)2223298366x y z xy yz+-++(28)2221562628a ab b a b +---+(29)22283512475250x y z xy yz xz+++++(30)2221063321911a b c ab bc ac++--+(31)22284115342510x xy y x y -+-++(32)22236245602624x y z xy yz xz+--+-(33)22294243212x y z xy yz xz-++--(34)222718415611x y z xy yz xz-++++(35)22184620554525x xy y x y-++-+ (36)222419227842m mn n m n+++--(37)22644043273x xy y x y++--+ (38)2225562033x xy y x y+-+-+ (39)227268661x xy y x y+-+--(40)2242252835537x xy y x y+----(41)230101925x xy x y----(42)22251433714a b c ab bc ac+-+-+ (43)225622255136x xy y x y+++++(44)22212103235a ab b a b++---(45)2281430241310m mn n m n+--++ (46)2210712371a ab b a b+--+-(47)222831149a b c ab bc ac++-+-(48)226211513196x xy y x y+++++ (49)221670491449x xy y x y++++(50)22354510382u uv v u v-+-+-(51)22235308173218x y z xy yz xz---++ (52)22248218221560a b c ab bc ac++--+(53)22319288275u uv v u v +++++(54)22273914332842x xy y x y ++---(55)224414749x xy x y -+--(56)2366328148m mn m n ++--(57)22249201571356x y z xy yz xz -++++(58)22462952x xy y x y +++++(59)2285321314021x xy y x y +---+(60)222734721836a ab b a b +---+(61)22235496143547a b c ab bc ac -+-++(62)229374682735a ab b a b -++-+(63)22242288733040x y z xy yz xz+++--(64)2245396165x xy y x y -+---(65)22264103241116x y z xy yz xz---++(66)21515173542m mn m n +++-(67)22426721191435m mn n m n -+++-(68)2232202560307m mn n m n ----+(69)22541054936356x xy y x y -+-++(70)22224730592933x y z xy yz xz+----(71)2232528153712a ab b a b +++++(72)2315132012p pq p q +--+(73)226181213176m mn n m n ++--+(74)224942735436a ab b a b ---+-(75)22205535537435x xy y x y +++++(76)240252757x xy x y -++-(77)2273528361836m mn n m n ++++-(78)2224014151931a b c ab bc ac --+-+(79)22816312812914x xy y x y -+-++(80)221034313014x xy y x y +----(81)22401030335118p pq q p q +-+--(82)2242336792935x xy y x y +++++(83)228192363x xy y x y +--++(84)224230241735x xy y x y --+-+(85)22363710372010x xy y x y -----(86)2272362033m mn n m n ++++-(87)22815104025m mn n m n ++--+(88)22164218105121m mn n m n +--+-(89)22354412563221x xy y x y++--+ (90)2218893435m n m n----(91)222451212288x y z xy yz xz+---+ (92)222835318262a b c ab bc ac---+-(93)2210184331120x xy y x y--+-+ (94)22235356243737a b c ab bc ac-----(95)248969x xy x y++--(96)222724163088a ab b a b--+-+ (97)22493562833p pq q p q--+-+ (98)2274624324016x xy y x y++--+ (99)2223058251414a b c ab bc ac-----(100)223522354227x xy y x y+++++初中多项式因式分解双十字相乘法练习答案(1)(4)(451)x y x y++++ (2)(832)(957)m n m n+-+-(3)(76)(561)p p q+++(4)(347)(731)m n m n+-++ (5)(477)(75)x y x y-++-(6)(567)(86)x y x y+---(7)(575)(85)x y x y-++(8)(745)(23)x y x y-++-(9)(2)(671)x y x y+++-(10)(643)(24)x y z x y z-+-+(11)(347)(877)a b a b+++-(12)(6)(243)x x y-++ (13)(525)(566)x y z x y z--+-(14)(763)(57)x y x++-(15)(956)(6)x y x y-++ (16)(423)(267)m n m n++++ (17)(476)(454)x y z x y z++--(18)(5)(467)x y x y-+-+ (19)(43)(56)x y x y-++-(20)(923)(732)x y x y--+-(21)(65)(566)x y z x y z++--(22)(64)(744)a b c a b c+-+-(23)(337)(774)m n m n--++ (24)(765)(471)x y x y+--+ (25)(565)(33)x y z x y z+-+-(26)(225)(5)x y z x y z----(27)(432)(834)x y z x y z+-++(28)(734)(322)a b a b--+-(29)(872)(56)x y z x y z++++(30)(53)(26)a b c a b c-+-+ (31)(755)(432)x y x y----(32)(66)(645)x y z x y z-+--(33)(372)(362)x y z x y z+---(34)(764)(3)x y z x y z-+++ (35)(955)(245)x y x y-+-+ (36)(87)(326)m n m n+-++ (37)(843)(81)x y x y+-+-(38)(533)(521)x y x y++-+ (39)(721)(41)x y x y--++ (40)(671)(747)x y x y++--(41)(625)(51)x y x--+(42)(73)(52)a b c a b c+++-(43)(821)(76)x y x y++++(44)(225)(51)a b a b+-++ (45)(452)(265)m n m n--+-(46)(231)(541)a b a b+--+(47)()(83)a b c a b c----(48)(332)(253)x y x y++++ (49)(877)(27)x y x y+++ (50)(551)(722)u v u v-+--(51)(564)(752)x y z x y z-++-(52)(623)(86)a b c a b c-+-+ (53)(375)(41)u v u v++++ (54)(326)(977)x y x y+-++ (55)(47)(67)x x y+--(56)(474)(92)m n m++-(57)(745)(753)x y z x y z-+++ (58)(2)(421)x y x y++++ (59)(73)(837)x y x y+---(60)(946)(36)a b a b+---(61)(77)(576)a b c a b c++-+(62)(47)(95)a b a b-+-+ (63)(742)(674)x y z x y z+-+-(64)(965)(51)x y x y---+ (65)(82)(853)x y z x y z+--+ (66)(556)(37)m n m+-+ (67)(677)(735)m n m n-+--(68)(457)(851)m n m n--+-(69)(973)(672)x y x y----(70)(376)(85)x y z x y z---+(71)(343)(74)a b a b++++ (72)(53)(34)p q p+--(73)(332)(243)m n m n+-+-(74)(76)(771)a b a b+--+ (75)(475)(557)x y x y++++ (76)(51)(857)x x y--+ (77)(776)(46)m n m n+-++(78)(523)(875)a b c a b c--++ (79)(947)(932)x y x y----(80)(27)(542)x y x y--++ (81)(863)(556)p q p q--++ (82)(637)(725)x y x y++++(83)(923)(91)x y x y+---(84)(257)(265)x y x y++-+ (85)(455)(922)x y x y--++ (86)(721)(33)m n m n+-++ (87)(35)(55)m n m n+-+-(88)(263)(837)m n m n+--+ (89)(767)(523)x y x y+-+-(90)(647)(325)m n m n++--(91)(26)(252)x y z x y z-+--(92)(453)(27)a b c a b c+--+ (93)(54)(245)x y x y++-+(94)(75)(576)a b c a b c++--(95)(23)(43)x y x++-(96)(342)(944)a b a b-+++ (97)(763)(71)p q p q-+++ (98)(64)(744)x y x y+-+-(99)(554)(62)a b c a b c--++ (100)(731)(57)x y x y++++。

初中数学因式分解2十字相乘法、分组分解法

【知识要点】1.十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 （2）二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。

2．分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。

再提公因式，即可达到分解因式的目的。

例如：22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

【典型例题】例1 把下列各式分解因式（1）2914x x ++= （2）212x x --=（3）2812x x ++= （4）2710x x -+=（5）228x x --= （6）2922x x --=（7）2295x x +-= （8）2376x x --=（9）28103x x ++= （10）210275x x ++=例2 把下列各式分解因式（1）bc ac ab a -+-2（2）bx by ay ax -+-5102（3）n mn m m 552+-- （4）bx ay by ax 3443+++（5）22144a ab b --- （6）223443ax ay bx cy cx by +-++-例3 把下列各式分解因式（1）22421x xy y --；（2）()()267a b a b +-+-；（3）()()22524x x -+-+ （4）()()()()22310a b a b a b a b -+-+-+；（5）()()2224221x y x y y y +-+- （6）222()14()24x x x x +-++例4 把下列各式分解因式（1）()()z y y z x x +-+ （2）()()b a x ab x 34322-+-（3）()()cd b adc ab 2222--- （4）()()y a bx by b y ax 2233+++思考题（5）()()()()2222d b d c c a b a +-+-+++【练习】给下列各式分解因式1．221x x +-= 2．2352x x ++=3．232x x +-= 4．221315x x ++=5．2122512x x -+= 6．2310x x +-=7．ax ＋ay －bx －by = 8．x 2－xy －ax ＋ay =9．x 2＋6y －xy －6x = 10．a 2－b 2－a ＋b =11．4x 2－y 2＋2x ＋y = 12．a 2－2ab ＋b 2－c 2=13．1－x 2－2xy －y 2= 14．x 2－9a 2＋12a －4=15．x 2y ＋3xy 2－x －3y= 16．na 2－2ba 2＋mn －2bm=17．x 3＋3x 2＋3x ＋9= 18．20ax 2＋5xy －8axy －2y 2=19．bx ＋ax ＋by ＋bz ＋ay ＋az=20．2ax －3bx ＋x －2a ＋3b －1=一、分解因式1．2249y x -3、2a 4－324、a 2(3a ＋1)－b 2(3a ＋1)5、x 2－8x ＋166、a 2b 2－10ab ＋257、－x 4＋2x 2y 2－y 48、(2x 2＋1)2＋2(2x 2＋1)＋1二、分解因式1、9222+--a b ab 2．x 3＋3x 2－4x －123．x 2－b x －a 2＋a b 4．m －m 3－mn 2＋2m 2n5．9ax 2＋9bx 2－a －b 6．a 2－2a ＋4b －4b2C 组三、分解因式1、(a2＋b2)2－4a2b22、a4(x－y)＋b4(y－x)3、(a2＋1)2－4a(a2＋1)＋4a2 4.a2＋2ab＋b2－ac－bc5.m2＋2mn＋n2－p2－2pq－q26.(x2－3)2－4x27. (x2－3)2＋(x2－3)－28.(x2－2x)2－4(x2－2x)－59.a4－2a2b2－8b4 10.x4－6x3＋9x2－16。

初二下册因式分解公式法、十字相乘法

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.【知识要点】1．运用公式法：如果把科法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

2．乘法公式逆变形（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；（3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用。

思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况：一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。

例1、分解因式：（1）x 2-9 （2）9x 2-6x+1二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。

例2、分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5 （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、分解因式：(1)4x 2-25y 2 (2)4x 2-12xy 2+9y 4四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、分解因式:(1)x 4-81y 4 (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。

双十字相乘法因式分解解析几何

双十字相乘法是一种常用的因式分解方法，它可以帮助我们将一个多项式分解成更简单的形式。

这种方法在解析几何中也有着广泛的应用。

在解析几何中，我们经常会遇到需要对方程进行因式分解的情况。

例如，我们有一个关于坐标轴上点的方程，我们希望将它分解成两个简单的方程，以便更好地理解和处理。

这时，双十字相乘法就可以派上用场了。

双十字相乘法的核心思想是将一个多项式表示成两个一次多项式相乘的形式。

举个简单的例子，我们有一个二次多项式x^2 + 5x + 6，我们希望将它分解成两个一次多项式的乘积。

首先，我们找到两个数，它们的和为5，积为6。

这两个数分别是2和3。

于是我们可以将x^2 + 5x + 6写成(x+2)(x+3)。

这种方法就是双十字相乘法的基本思想。

在解析几何中，我们可以将双十字相乘法应用于一些几何问题的求解中。

例如，对于平面上的一些几何图形，我们可以通过方程来描述它们，而双十字相乘法可以帮助我们将这些方程进行因式分解，从而更好地理解和分析这些几何图形的性质和特点。

总的来说，双十字相乘法是一个非常实用的工具，它不仅在代数中有着广泛的应用，同时也可以帮助我们在解析几何中更好地理解和处理问题。

通过掌握双十字相乘法，我们可以更加灵活地运用代数工具来解决解析几何中的问题，为我们的数学学习和研究提供更多的方法和途径。

双十字相乘法因式分解解析几何

双十字相乘法因式分解解析几何全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：双十字相乘法是一种常用的因式分解方法，在解析几何中也有广泛的应用。

通过双十字相乘法可以将一个多项式分解为两个或多个二次项的乘积，从而简化计算或求解问题。

在解析几何中，双十字相乘法可以帮助我们快速分解复杂的几何形状或问题，提高解题效率和准确度。

本文将介绍双十字相乘法的原理和方法，并通过实例分析其在解析几何中的应用。

让我们来了解一下双十字相乘法的基本原理。

双十字相乘法是一种通过分解一个二次项的乘积为两个一次项的乘积的方法。

具体来说，对于一个二次项a^2 + 2ab + b^2，我们可以将其分解为两个一次项(a + b)^2。

这种分解方法可以帮助我们简化计算或求解问题，特别是在解析几何中，有时候我们需要将复杂的几何形状或问题分解为更简单的部分，以便更好地理解和处理。

接下来，让我们通过一个实例来说明双十字相乘法在解析几何中的应用。

假设我们需要求解一个三角形的面积，已知三角形的边长为a、b和c，其中a和b是两条边的长度，c是这两条边之间的夹角的余弦值。

我们可以通过双十字相乘法将这个问题分解为更简单的部分。

我们可以根据三角形的面积公式S=1/2absinC来求解三角形的面积，其中a、b和c分别为三角形的边长，C为夹角的余弦值。

接着，我们可以将面积公式分解为两个一次项的乘积，即S=1/2ab*sinC=1/2*2ab*sinC=1/2*2ab*sqrt(1-c^2)。

通过双十字相乘法，我们可以将sinC分解为sqrt(1-c^2)，从而将原问题分解为更简单的部分，以便我们更好地求解面积。

第二篇示例：双十字相乘法因式分解是一种在解析几何学中常用的方法，用于将一个复杂的几何图形或方程式分解成简单的因子。

这种方法以其简单易懂的特点，在数学教学中得到广泛应用。

在本文中，我们将详细介绍双十字相乘法因式分解的原理、步骤和应用。

双十字相乘法因式分解的原理是基于代数的乘法公式和几何图形的面积关系。

初中因式分解中的“十字相乘法”

初二因式分解解读之五：编制人：平生曜曜因式分解中的“十字相乘”1、把多项式乘法中的“经验性公式”：（x+a）（x+b）= x2+（a+b）x + ab，倒过来可得：x2+（a+b）x + ab = （x+a）（x+b）.以上就是，因式分解中的“十字相乘法”公式。

2、可见，十字相乘法可以帮助我们把某些（但并非所有）“二次三项式”分解成两个“一次因式”的乘积。

3、十字相乘法的运用，一般会有一个“尝试、试错、微调、修正”的过程。

当然如果你领悟了其中的技巧，就可以大大缩减“尝试”的次数。

4、十字相乘法的口诀是：竖起相乘分别得两边，交叉相乘之和得中间5、在运用“十字相乘法”分解因式之前，最好把多项式先按“主元”作“降幂排列”。

6、下面通过举例，对“十字相乘法”作一些具体的解读。

（1）、例如，运用十字相乘法，分解因式：x2 + 4x + 3 …………先………写………出………你………的………答………案…………你的答案：______________________________________。

〈分析〉：原式由三部分组成，其中没有任何公因式可提取，又不能用平方差公式，也不能用完全平方公式，在这种情况下，我们可以考虑用十字相乘法。

〈强调〉：“十字相乘法”的运用步骤是：一排顺序，二试口诀。

一排顺序是指：先将原式按“二次项；一次项；常数项”的顺序来作“降幂排列”；二试口诀是指：按“竖起相乘分别得两边，交叉相乘之和得中间”的口诀来进行“试错、微调”。

分解因式：x 2 + 4x + 3经过一番尝试后，可确定原式可分解为：（x+1）（x+3）。

〈疑问〉：你觉得尝试的过程有技巧吗？（2）、又例如，分解因式：①、x 2 －4x + 3②、x 2 －2x － 3③、x 2 + 2x － 3…………先………写………出………你………的………答………案…………你的答案：______________________________________。

因式分解——十字相乘法、双十字相乘法

一、概念：a ．十字相乘法十字相乘法能把某些二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)分解因式。

这种方法的关键是把二次项的系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1c 2，并使a 1c 1＋a 2c 1正好是一次项系数b ，那么可直接写成结果： ax 2＋bx ＋c ＝(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察、尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。

当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。

b ．双十字相乘法形如22＋＋＋＋＋Ax Bxy Cy Dx Ey F 的二元二次多项式的因式分解双十字相乘法即运用两次十字相乘法，第一次运用十字相乘法将多项式中的二次齐次式分解因式，然后再运用一次十字相乘法。

其理论依据：若22＋＋＋＋＋Ax Bxy Cy Dx Ey F 可分解为()()＋＋＋＋ax by c dx ey f ，则当c ＝f ＝0时，22＋＋＋＋＋Ax Bxy Cy Dx Ey F二、具体练习例1：24146－＋x x例2：22276＋－－＋－x xy y x y例3：2231092－－＋＋－x xy y x y因式分解-十字相乘法、双十字相乘法拓展1满足0－＋＝x y z ，210－－＋＝x y z 的任何x ，y ，z 的值也同时满足221＋＋＝ax by cz ，求常数a ，b ，c 的值。

复习：求解ax ＝b ，当a ＝0且b ＝0时，x 为任意值拓展2已知0127，，，…a a a a 使7767610(31)－＝＋＋…＋x a x a x a x a 成立求1357＋＋＋a a a a 的值拓展3请多项式32321111()()＋＋＋＋＋＋ax bx cx d a x b x c x d 中x 3系数x 3来源如下：前一个因式后一个因式 ax 2d 1 bx 2c 1x cxb 1x 2 da 1x 3故x 的系数为三、作业 1．22267372－－－＋－x xy y xz yz z2．222311642－＋－－－x xy y xz yz z3．222064－＋x xy y。

初中数学：因式分解有哪些方法？十字相乘法因式分解4道例题全解

初中数学：因式分解有哪些方法？十字相乘法因式分解4道例题全解因式分解方法步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。

十字相乘试一试，分组分解要相对合适。

”分组分解法分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。

能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几道例题：1．5ax+5bx+3ay+3by解法：原式=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

2．x2-x-y2-y解法：原式=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

三一分法，例：a2-b2-2bc-c2原式=a2-(b+c)2=(a-b-c)(a+b+c)十字相乘法十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。

这种方法有两种情况。

①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。

因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．例1：x2-2x-8=(x-4)(x+2)②kx2+mx+n型的式子的因式分解如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)．例2：分解7x2-19x-6图示如下：a=7 b=1 c=2 d=-3因为-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，所以，原式=(7x+2)(x-3)．十字相乘法口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。

管综初数：因式分解方法之“双十字”

管综初数：因式分解方法之“双十字”对于“因式分解”，我们早在初中时已经学习过。

对于因式分解，其方法是比较多的。

接下来，跨考教育为考生讲解有关因式分解的各类方法，以便更好的应对考试。

在初高中阶段，我们常用的因式分解的方法有：提取公因式、公式法（平方差公式和完全平方公式）、分组分解、换元法、十字相乘（往往是单十字）。

对于考研，要求我们除此之外还需要掌握“双十字相乘”法。

考研对于因式分解的考查，往往是对“双十字相乘法”的考查。

下面我们具体看看什么是“双十字”相乘法？如何运用“双十字”？ “双十字”相乘法 —“定二验一”所谓“双十字”，即用于分解形如22ax bxy cy dx ey f +++++的多项式。

其中2x 项、xy 项、2y 项可以运用“单十字”；2x 项、x 项、f 项可以运用“单十字”；2y 项、y 项、f 项可以运用“单十字”。

因此，只需要确定其中两个“单十字”，然后验证剩下那个“单十字”即可。

所以“双十字”最重要的思想便是“定二验一”。

下面通过式子进行表示。

对于22ax bxy cy dx ey f +++++型的多项式，设,,a mn c pq f jk ===，,,mq np b pk qj e mk nj d +=+=+=，则22ax bxy cy dx ey f +++++22()()ax bxy cy dx ey f mx py j nx qy k ∴+++++=++++运用“双十字”解决相关问题明确了“双十字”这个方法，接下来我们一起看看对于“双十字”，考试是如何进行考查的。

例1. 若()12x y -+是2244xy x y m ---的一个因式，则m 的值等于（） m n P q jk()()()()()41120A B C D E - 解析：先将多项式写成标准的22ax bxy cy dx ey f +++++形式。

即：多项式变为2244x xy y m -+--。

初中数学因式分解公式法十字相乘法知识点的讲解和练习

运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：平方差公式完全平方公式立方和、立方差公式补充：特别地：当时，有运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。

但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。

因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把分解因式的结果是（）A. B.C. D.分析：。

再利用平方差公式进行分解，最后得到，故选择B。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。

同时要注意分解一定要彻底。

2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式有一个因式是，求的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值。

解：根据已知条件，设则由此可得由（1）得把代入（2），得把代入（3），得3. 在几何题中的应用。

例：已知是的三条边，且满足，试判断的形状。

分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成。

所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。

解：为等边三角形。

4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。

解：设这两个连续奇数分别为（为整数）则由此可见，一定是8的倍数。

5、中考点拨：例1：因式分解：________。

解：说明：因式分解时，先看有没有公因式。

此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。

例2：分解因式：_________。

解：说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。

题型展示：例 1. 已知：，求的值。

解：原式说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

因式分解(双十字相乘法)

因式分解(雙十字相乘法)準二次式的分解法(雙十字法)：例1 分解因式 2226113828z yz y xz xy x -+-++例2 分解因式 222252z yz xz y xy x ---+-例3 分解因式 310884422++---y x y xy x例4 分解因式 2114242-+++y x y xy例5 分解因式 513617522-+++y y xy x一、把下列各式因式分解：(1) 38836322---++y x y xy x(2) 2525322-+--+y x y xy x (3) 22--++y x y xy(4) 43522+++-y x y x (5) 963422--+-y y xy x(6) yz xz z y x 423222+--- (7) ac bc ab c b a 2332222--+-+(8) 222252a ay ax y xy x ---+-三次式的分解法：例6 分解因式 611623-+-x x x例7 分解因式 673+-x x例8 分解因式 31413623---x x x二、把下列各式因式分解：(1) 9323+-+x x x (2) 93523-++x x x(3) 15711623--+x x x (4) 6192323+-+x x x(5) 963422--+-y y xy x (6) 32238365437y xy y x x +-+(7) 14523--a a (8) 343+-x x(9) 14323+-y y (10) 44743234+--+x x x x因式分解(分組分解法)一、把下列各式因式分解：(1) bc ac ab a -+-2 (2) bx ay by ax 3443+++(3) by ay bx ax 6432+-- (4) b a ax bx bx ax -+-+-22(5) 2222322c ab bc a c ab c b a -+- (6) 22)()1(b a ab +-+(7) )9()(3ad bc cd ab +-+ (8) ay ax y x ++-22(9) 3223z yz z y y --+ (10) b a x a bx x 3334--+(11) 232232bx b ab b a a ax -++-- (12) bc ac ab c b a 222222-+-++(13) 222222)(4c b a b a -+- (14) ab b a 4)1)(1(22---二、把下列各式因式分解：(1) b a bc ac 22+++ (2) xz yz y xy +--2(3) bx ay by ax 6565+++ (4) y a x a xy x 2223412+--(5) d ab bd a c ab bc a 22229664+-- (6) 55222345-++--x x x x x(7) 222)4(2ax x a a --+ (8) yz z y x 2222+--(9) mn n m 2122+-- (10) 134+++a a a(11) y y y x x x ---++2323 (12) )1()1(22+-+b b a a(13) 2222224)(y x z y x --- (14) bx ay y x b a 222222+-+--(15)2222)()()()(c b a c b a c b a c b a +------++++(16)* abc c b a 3333-++。

因式分解双十字交乘

因式分解双十字交乘十字相乘法是利用))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++这个公式，写成两排形式，把二次项系数的约数和常数项的约数进行十字交叉相乘，它们的和凑成一次项系数，那每一排即位多项式的一个因式，因为呈十字交叉相乘，故称为十字相乘法。

运用双十字乘法对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型的多项式分解因式的步骤： 1、用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；2、在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含y 的一次项的系数E ，同是还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含x 的一次项的系数D 。

一、用双十字相乘法分解多项式我们先看一下两个多项式相乘的计算过程：计算)13)(532(-++-y x y x 。

∴5813376)13)(532(22-++--=-++-y x y xy x y x y x 从计算过程可以发现，乘积中的二次项22376y xy x --只和乘式中的一次项有关，而与常数项无关；乘积中的一次项y x 813+，只和乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中的常数项有关系。

根据因式分解与整式乘法是相反变形的关系，我们来寻求多项式581337622-++--y x y xy x 的分解因式的方法是：1、先用十字相乘法分解22376y xy x --。

2、再将常数项－5的两个因数写在第二个十字的右边。

3、由于第2列与第3列交叉相乘之积的和等于8y 。

再看第1列与第3列交叉相乘之积的和等于13x ，那么原式就可以分解成)13)(532(-++-y x y x 。

综上可知，双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案。

例1、分解因式1433181892022-+--+y x y xy x 。

双十字相乘法

双十字相乘法在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，尤其是某些二次六项式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为：（1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图（2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含y的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x的一次项例5分解因式①4x2-4xy-3y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y2+x+9y-2③ab+b2+a-b-2④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解①原式=（2x-3y+1）(2x+y-3)2x-3y12xy-3②原式=（x-5y+2）(x+2y-1)x-5y2x2y-1③原式=(b+1)(a+b-2)0ab1ab-2④原式=（2x-3y+z）(3x+y-2z)2x-3yz3x-y-2z说明：③式补上oa2,可用双十字相乘法，当然此题也可用分组分解法。

如（ab+a）+(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2)④式三个字母满足二次六项式，把-2z2看作常数分解即可：2.6拆法、添项法对于一些多项式，如果不能直接因式分解时，可以将其中的某项拆成二项之差或之和。

再应用分组法，公式法等进行分解因式，其中拆项、添项方法不是唯一，可解有许多不同途径，对题目一定要具体分析，选择简捷的分解方法。

例6分解因式：x3+3x2-4解析法一：可将-4拆成-1，-3即（x3-1）+(3x2-3)法二：添x4,再减x4,.即（x4+3x2-4）+(x3-x4)法三：添4x,再减4x即，（x3+3x2-4x）+(4x-4)法四：把3x2拆成4x2-x2,即（x3-x2）+(4x2-4)法五：把x3拆为，4x2-3x3即(4x3-4)-(3x3-3x2)等解（选择法四）原式=x3-x2+4x2-4=x2(x-1)+4(x-1)(x+1)=(x-1)(x2+4x+4)=(x-1)(x+2)22．7换元法换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量换掉化简式子。

八年级因式分解：十字相乘法

x x p q px ＋qx=(p ＋q)x x 2 pq a 1xa 2xc 1 c 2 a 1c 2+a 2c 1=b c 1c 2=ca 1a 2=a 八年级因式分解完全导学案：十字相乘法“十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。

它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用：十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.有()()()b x a x ab x b a x ++=+++2注意：这里常数项是2，只有1×2。

当常数项不是质数时，要通过多次拆分的尝试，直到符合要求为止。

通常是拆分常数项，验证一次项x 2＋(p ＋q)x ＋pq=(x+p)(x+q)对于一般的二次三项式ax 2+bx+c (a ≠0)此法依然好用。

ax 2＋bx ＋c=(a 1x+c 1)(a 2x+c 2)例1把m ²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为1 -21 6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。

当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为1 25 -4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3把14x²-67xy+18y²分解因式分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y解: 因为2 -9y7所以14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)练习：将下列二次三项式分解因式：1、7x2-13x+62、–y2-4y+123、15x2+7xy-4y24、10(x+2)2-29(x+2)+105、x2-(a+1)x+a6、x2-5x+3学力测试1、5x2+6xy-8y22、2x2-7x+33、6x2-7x-54、x2+2x-154、 p2－5p－365、x4－15x2+26。