数学模型期末考试试题及答案

山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试

卷

（本试卷共4页）

说明：

本次考试为开

卷考试，参加考试的同学可以携带任何资料，可以使用计算器，但上述物品严

禁相互借用。

一、简答题（本题满分16分，每小题8分）

1、在§2.2录像机计数器的用途中，仔细推算一下（1）式，写出与（2）式的差别，并解释这个差别；

2、试说明在§3.1中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用，在什么条件下可以不考虑它；

二、简答题（本题满分16分，每小题8分） ?1、对于§5.1传染病的SIR 模型，叙述当σ

1

>

s 时)(t i 的变化情况

并加以证明。

2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度E 的减函数， 即)0,0(,>>-=b a bE a c ，请问如何达到最大经济效益？

三、简答题（本题满分16分，每小题8分）

1、在§9.3 随机存储策略中，请用图解法说明为什么s 是方程)()(0S I c x I +=的最小正根。

2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力？

四、（本题满分20分）

某中学有三个年级共1000名学生，一年级有219人，二年级有

316人，三年级有465人。现要选20名校级优秀学生，请用下列办

法分配各年级的优秀学生名额：（1）按比例加惯例的方法;（2）Q 值法。另外如果校级优秀学 生名额增加到21个，重新进行分配，并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。

五、（本题满分16分）

大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就

业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个

就业岗位可供选择。层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵

选择就业岗位

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/15/1213/1531A ，方案层对准则层的成对比较矩阵分别为⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=1272/1147/14/111B ，

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=13/17/1313/17312B ，⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/16/1214/1641

3B 。

请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。

六、（本题满分16分）

某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止（退保）。?保险公司需

要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制定合适的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况，以及出现每种情况的概率各是多少？

山东轻工业学院 08/09学年 II

学期《数学模型》期末考试A 试卷解

答

一、 简答题（本题满分16分，每小题8分） 1、 答：由（1）得vt m m mr =++2)

1(22πω

π， 4分

将kn m =代入得)2(22

ωππω++

=r v kn

n v

k t ， 6

分

因为ω>>

r 所以r r 22≈+ω，则得（2）。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

2、答：假设每件产品的生产费用为3c ，则平均每天的生产费用为r c 3，每天的平均费用是 r c rT c T c T C 31

211112

)(++=， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

下面求1T 使)(11T C 最小，发现dT

T dC dT T dC )

()(111=，所以

r

c c T T 21

12=

=，与生产费用无关，所以不考虑。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 二、 简答题（本题满分16分，每小题8分）

1、答：由（14）),1(-=s i dt

di

σμ若σ10>s ，

当01s s <<σ时，)(,0t i dt

di

>增加; 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

0.6

当σ1

=

s

时，

)(,0t i dt di

=达到最大值m i ；

当σ1

di <减少且由1.知0=∞i 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8

分

2、 答：E bE a S

)(-=，则E bE a pEx S T R )(--=-=， 。。。。。。。。。。。。。。2分

将)1(0r E N x -=代入，得 2

)()()(E r

pN b E a pN E R -+-=，。。。。。。。。。。。。。。5

分

令

='R 得

pN

rb pN a r E R --⋅=

2。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 三、简答题（本题满分16分，每小题8分）

1、由于方程（4）左边随着S 的增加单调递增，因此)(u J 有唯一驻点x S u

-=且为最小值点。从而

)(u J 是下凸的。而由)(u J 和)(x I 的表达式的相似性知)(x I 也是下凸的，而且在S x =处达最小值 )(S I 。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

记)}()({0S I c x I x A +≤=， )}()({0S I c x I x B +>=则集合A 与B 的分界点即为订货点s ，此

即方程)()(0S I c x I +=的最小正根 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 2、答：（回答要点）培养想象力和洞察力。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

四、（本题满分20分）

解：20个席位：（1）、

38.4201000219=⨯，32.6201000316=⨯，30.9201000

465

=⨯因此比例加惯例分配结果为5、6、9个。（2）三方先分得4、6、9个，=⨯=

5421921Q 2398.05，=⨯=7

63162

2Q 2377.52 =⨯=10

94652

3Q 2402.5，3Q 最大，按Q 值法分配结果为4、6、10

个。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

21个席位：（1）

599.4211000219=⨯，636.6211000316=⨯，765.9211000

465

=⨯因此比例加惯例分配结果为4、7、10个。（2）三方先分得4、6、10个， =⨯='11

104652

3

Q 195.68，1Q 最大，按Q 值法分配结果为5、6、10个。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16分

显然此例中比例加惯例的方法违背了席位分配的理想化准则1，而Q 值法分配结果恰好也满足准则2，因

此

Q

值法分配结果是同时符合准则1和准则

2.。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。20分 五、（本题满分16分） 解：用“和法”近似计算得：

矩阵

A 对应的权向量为：T )12.0,23.0,65.0(，最大特征根为 3.003697，0018.0=CI ，0031.0=CR

矩阵1B 对应的权向量为：T

)60.0,32.0,08.0(，最大特征根为3.001982，001.0=CI ，0017.0=CR