厦门大学微积分I高等数学期末考试(A卷)

厦门大学微积分I高等数学期末考试(A卷)

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一、计算下列各题：（每小题4分，共36分）

1．求极限)0(21lim 1>++++∞→p n

n p p

p p n 。

2．求2cos ()x t x f x e dt =⎰

的导数。

3．求由曲线3y x =-，1x =，2x =，0y =所围成的图形面积。

4．计算广义积分20x x e dx +∞-⎰

。

厦门大学《微积分I 》课程期末试卷

试卷类型：（理工类A 卷） 考试日期 2015.1.21

5．计算定积分()123021sin 21x x dx x π⎡⎤⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭+⎢⎥⎣⎦

⎰。

6．求方程

2x y dy dx

+=的通解。

7．求不定积分2(1)(1)

x dx x x ++⎰

。

8．求方程1y y x x

'-

=的通解。

9．已知11y =，21y x =+，231y x =+都是微分方程2222x y xy y '''-+=的解，求此方程的通解。

二、计算下列各题：（每小题5分，共30分）

1． 求极限20)(02sin lim

x dt e x x t x x ⎰-→⋅。

2. 计算322sin cos cos 2cos x x x x dx x π

π-⎡⎤-+⎢⎥+⎣⎦⎰。

3．设函数)(x y y =由方程1cos 020322=+⎰⎰dt t dt e x y t 决定，求dx

dy 。

4. 求微分方程32y y ''=满足初始条件00|1,|1x x y y =='==的特解。

5．求曲线⎰

=x t t x f 0d sin )(相应于π≤≤x 0的一段弧的长度。

6. 设物体作直线运动，已知其瞬时速度2()(/)v t t =米秒，其受到与运动方向相反的阻力

()5()F t v t =（牛顿），求物体在时间间隔[]0,1（单位秒）内克服阻力所作的功。

三、计算下列各题：（每小题6分，共24分）

1．求微分方程32()()1dy x x y x x y dx

++-+=-的通解。

2．设0>a ，求直线231a

a x y +-

=与x 轴，y 轴所围三角形绕直线a x =旋转一周所得旋转体的体积。

3. 设二阶常系数线性微分方程sin y y y x αβγ'''++=的一个特解为

2312cos sin ,55

x x y e e x x =+++试确定,,αβγ，并求出该方程的通解。

4.设)(x f 为),(+∞-∞上的连续函数， 且当0≠x 时满足函数方程： ⎰⎰⎰-+-=1000))(1()()()(2

dx x f x dt t tf dt x

t f x f x x ， 求)(x f 。

四、证明题：（每小题5分，共10分；其中第2题和第3题任选一题）

1．设()f x 可导，120

(1)2()f f x dx =⎰，证明： (0,1)ξ∃∈，使得()0f ξ'=。

2. 证明：[]22002ln(sin )ln(sin 2)ln 2x dx x dx ππ=-⎰⎰，并利用此等式计算20ln(sin )x dx π⎰。

3．设)(x f 和)(x g 均在],[b a 上单调不减的连续函数（b a <），证明： ⎰⎰⎰-≤b

a b a b a dx x g x f a b dx x g dx x f )()()()()(。