数理统计的基本概念知识点

10 06 数理统计的基本概念

知识网络图

正态总体下的四大分布统计量样本函数样本个体总体数理统计的基本概念→⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧

主要内容

一、样本

我们把从总体中抽取的部分样品n x x x ,,,21Λ称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，n x x x ,,,21Λ表示n 个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，n x x x ,,,21Λ表示n 个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。

二、.统计量

1.定义：称不含未知参数的样本的函数),,,(21n X X X f Λ为统计量

2.常用统计量

样本均值 .11

∑==n

i i x n x 样本方差

∑=--=n i i x x n S 122.)(11 样本标准差 .)(111

2∑=--=n

i i x x n S 样本k 阶原点矩

∑===n i k i k k x n A 1

.,2,1,1Λ 样本k 阶中心矩

∑==-=n

i k i k k x x n B 1

.,3,2,)(1Λ μ=)(X E ，n X D 2

)(σ=，

22)(σ=S E ，221)(σn

n B E -=, 其中∑=-=n

i i X X n B 1

22)(1，为二阶中心矩。 三、抽样分布

1.常用统计量分布

（1）设n X X X ,,,21Λ是相互独立的随机变量，且均服从与标准正态分布)1,0(N ，则222212n n X X X X Λ++=，服从自由度为n 的-2χ分布，记为()n 2~χχ.

（2）设()()n Y N X 2~,1,0~χ，且X 与Y 相互独立，则.n Y

X

T =服从自由度为n 的-t 分

布，记为()n t T ~.

（3）设X 与Y 相互独立，分别服从自由度为1n 和2n 的-2χ分布，则1

22

1n n Y X n Y n X

F ⋅==。服从自由度为()21,n n 的-F 分布，记为()21,~n n F F

2.正态总体场合

设n X X X ,,,21Λ是从正态总体()2,σμN 中抽取的一个样本，记

()2

1211,1∑∑==-==n i i n n i i X X n S X n X ，则 （1）;,~2⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛n N X σμ （2）X 与2

n S 相互独立. （3）()()1~1222

--n S n χσ；或()1~)(2212

--∑=n X X n i i χσ

（4）()n X

n i i 2212

~)(χσμ∑=-

（5）()1~/-=-=n t n

S X T μ

（6）若n X X X ,,,21Λ，2,,21n Y Y Y Λ这21n n +个随机变量相互独立，且都服从正态分布()2,σμN ，则

()()

()1,1~11112112212121------=∑∑==n n F Y Y n X X n F n i i n i i . 即()1,1~2122

21--=n n F S S F