沪教版六年级数学第一学期 第十四讲 专题——圆和扇形的拓展

第十四讲

圆和扇形的拓展

与圆和扇形的周长、面积相关的几何问题，将所求的对象进行适当的移动、分割或拼补以简化计算是常用的方法．

圆的面积2πr =；扇形的面积2π360n

r =⨯；

圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360

n

r =⨯．

板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用

【例题1】

【基础题】求下列各图中阴影部分的面积．

(1)

1010

(2)

b

a

【分析】在图(1)中，阴影部分经过切割平移变成了一个底为10，高为5的三角形，利用三角形面积公式可以求得；在图(2)中，阴影部分经过切割平移变成了一个长为b ，宽为a 的长方形，利用长方形面积公式可以求得 解：

（1）S 阴影 252

10

1021=⨯⨯= （2）S 阴影ab b a =⨯=

【延伸题】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？

【分析】割补法．如下图，格线部分的面积是36平方厘米． 解：

把不规则图形转化成了一个正方形，求得：

S=6×6=36（平方厘米）

【变形题】如图中三个圆的半径都是5cm ，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取3.14)

【解析】将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为255 3.14239.25(cm )⨯⨯÷=

【拓展题】如右图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ (π取3) 【分析】本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解．

解：

如下图，连接顶角上的4个圆心，可得到一个边长为4的正方形．可以看出，与原图相比，正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣图形的每个

角上分割出一个半圆来补在这些地方，这样得到一个正方形，还剩下4个1

4

圆，合

起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为224π119+⨯=(平方厘米)．

D C

B

A 6

7C

B A

D

C D

C C

E (2)

(1)

E C

A

板块二 曲线型面积计算

【例题2】

【基础题】如图，已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的3

4

倍，则角CAB 的度数是________．

【解析】设半圆ADB 的半径为1，则半圆面积为21π

π122

⨯=，扇形BAC 的面积为

π42π233⨯=．因为扇形BAC 的面积为2π360n r ⨯，所以，22π

π23603

n ⨯⨯=

，得到60n =，即角CAB 的度数是60度．

【延伸题】如下图，直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7，分别以,B C 为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A 是多少度？(π3=)

【解析】

1

67212

ABC S =⨯⨯=△,三角形ABC 内两扇形面积和为21174-=，

根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360B C

∠+∠⨯⨯=°

,

所以120B C ∠+∠=°,60A ∠=°.

【变形题】如图，C 、D 是以AB 为直径的半圆的三等分点，O 是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．

【解析】如图，连接OC 、OD 、CD ．

由于C 、D 是半圆的三等分点，所以AOC ∆和COD ∆都是正三角形，那么CD 与AO 是平行的．所以ACD ∆的面积与OCD ∆的面积相等，那么阴影部分的

面积等于扇形OCD 的面积，为21

π618.846

⨯⨯=．

板块三 曲线型旋转问题

【例题3】

【基础题】如图所示，直角三角形ABC 的斜边AB 长为10厘米，60ABC ∠=︒，此时BC 长5厘米．以点B 为中心，将ABC ∆顺时针旋转120︒，点A 、C

分别到达点E 、D 的位置．求AC 边扫过的图形即图中阴影部

分的面积．(π取3)

【解析】注意分割、平移、补齐．

如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置，

因为60EBD ∠=︒，那么120ABE ∠=︒，

则阴影部分为一圆环的1

3．

所以阴影部分面积为()221

π753

AB BC ⨯⨯-=(平方厘米)．

【延伸题】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm 和3cm 的长方形Ⅰ．它的对角线

长恰好是5cm ．让这个长方形绕顶点B 顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，再绕顶点C 顺时针旋转90°后到达长方形Ⅲ的位置，再绕顶点D 顺时针旋转90°后到达长方形Ⅳ的位置，点A 到达点E 的位置．求点A 走过的路程的长．

ⅣⅢ

ⅡⅠE

D

C

B

A

【解析】因为长方形旋转了三次，所以A 点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)． 这三段路程分别是：

第1段是弧1AA ，它的长度是1

2π44

⨯⨯⨯(cm )；

第2段是弧12A A ，它的长度是1

2π54⨯⨯⨯(cm )；

第3段是弧2A E ，它的长度是1

2π34⨯⨯⨯(cm )；

所以A 点走过的路程长为：111

2π42π52π36π444

⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=(cm )．

【拓展题】如图所示，大圆周长是小圆周长的n (1n >)倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无

滑动的滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？

【解析】为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离．

设小圆的半径为“单位1”，则大圆的半径为“n ”．

⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为2π(1)n ⨯-．

所以小圆绕自己的圆心转动了：2π(1)

12π

n n ⨯-=-(圈)．