解二元一次方程组的技巧

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二元一次方程组解题技巧讲义（补课用）

⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼀、⼆元⼀次⽅程组的有关概念：1.⼆元⼀次⽅程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．它的⼀般形式:)0,0(≠≠=+b a c by ax ，如6713,245=-=-n m y x 等是⼆元⼀次⽅程。

2.⼆元⼀次⽅程的解集：适合⼀个⼆元⼀次⽅程的每⼀对未知数的值，叫做这个⼆元⼀次⽅程的⼀个解．对于任何⼀个⼆元⼀次⽅程，令其中⼀个未知数取任意⼀个值，都能求出与它对应的另⼀个未知数的值．因此，任何⼀个⼆元⼀次⽅程都有⽆数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个⼆元⼀次⽅程的解集．3.⼆元⼀次⽅程组及其解：两个⼆元⼀次⽅程合在⼀起就组成了⼀个⼆元⼀次⽅程组．⼀般地，能使⼆元⼀次⽅程组的两个⽅程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做⼆元⼀次⽅程组的解．它的⼀般形式为:=+=+.,222111c y b x a c y b x a 其中2121,,,b b a a 不全为零，如：?==;2,3y x =+=-;5,3n m n m =-=+-;2,53q p q p 都是⼆元⼀次⽅程组。

4.⼆元⼀次⽅程组的解法：代⼊消元法：在⼆元⼀次⽅程组中选取⼀个适当的⽅程，将⼀个未知数⽤含另⼀个未知数的式⼦表⽰出来，再代⼊另⼀个⽅程，消去⼀个未知数得到⼀元⼀次⽅程，求出这个未知数的值，进⽽求得这个⼆元⼀次⽅程组的解，这种⽅法叫做代⼊消元法。

加减消元法：两个⼆元⼀次⽅程中同⼀未知数的系数相反或相等时，将两个⽅程的两边分别相加或相差，从⽽消去这个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程，这种求⼆元⼀次⽅程组的解的⽅法叫做加减消元法，简称加减法．例题精析：例1.⽅程ax-4y=x-1是⼆元⼀次⽅程，则a 的取值为（） A 、≠0 B 、≠－1 C 、≠1 D 、≠2 解题思路：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．选B变式题1：如果（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，则a ，b 满⾜什么条件？解题思路：∵（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，∴a －2≠0，b+1≠0，?∴a ≠2，b ≠－1例2.若⼆元⼀次⽅程3x-2y=1有正整数解，则x 的取值应为（）A 、正奇数B 、正偶数D 、0 解题思路：由312x y -=，x 、y 都是正整数，选A变式题1：．⽅程组2528x y x y +=??-=?的解是否满⾜2x －y=8？满⾜2x －y=8的⼀对x ，y 的值是否是⽅程组2528x y x y +=??-=?的解？解：满⾜，不⼀定．∵2528x y x y +=??-=?的解既是⽅程x+y=25的解，也满⾜2x －y=8，?∴⽅程组的解⼀定满⾜其中的任⼀个⽅程，但⽅程2x －y=8的解有⽆数组，如x=10，y=12，不满⾜⽅程组2528x y x y +=??-=?．例3.已知⼆元⼀次⽅程组45ax by bx ay +=??+=? 的解是21x y =??=?,则a+b 的值为____。

总结解二元一次方程组的方法与技巧

总结解二元一次方程组的方法与技巧解二元一次方程组是初中数学课程中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。

在学习解二元一次方程组的过程中，我们需要熟练掌握一系列的解题方法和技巧。

本文将总结解二元一次方程组的方法与技巧，并带你深入了解解题过程。

一、方法一：代入法代入法是解二元一次方程组中最常用的方法之一。

其基本思路是将一个方程中的一个变量表示出来，然后带入另一个方程中进行求解。

以下是一个例子：例题：解方程组{ 2x + y = 7{ x - y = 1解法：首先，将第二个方程稍微变形，得到x = y + 1。

然后，将这一表达式代入第一个方程中，得到2(y + 1) + y = 7。

化简后得到3y = 5，进而解得y = 5/3。

将y的值代入x = y + 1中，可求得x = 8/3。

因此，方程组的解为{x = 8/3，y = 5/3}。

二、方法二：消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常见方法。

它的核心思想是通过加减乘除操作，将方程组化成较简单的形式，进而求解未知数。

以下是一个例子：例题：解方程组{ 2x - 3y = 8{ 3x + 2y = 17解法：首先，将两个方程的系数对应乘上合适的常数，使得两个方程的x的系数相等或者y的系数相等。

这里我们可以将第一个方程乘以2，将第二个方程乘以3，得到如下方程组：{ 4x - 6y = 16{ 9x + 6y = 51然后，将第二个方程减去第一个方程，得到13x = 35。

进而解得x = 35/13。

将x的值代入第一个方程中，可求得y = -4/13。

因此，方程组的解为{x = 35/13，y = -4/13}。

三、技巧一：消元法的选择在应用消元法解题时，我们可以通过合理的选择消元顺序，简化计算过程。

一般来说，我们应选择将系数较小的方程乘以合适的常数，使其与系数较大的方程的系数相等。

这样可以避免出现过大的计算结果，提高解题效率。

四、技巧二：检验解的合理性在解二元一次方程组后，我们需要检验解的合理性，以验证求得的解是否正确。

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧一，基本定义：二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。

二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。

二，解的状况：二元一次方程组的解有三种状况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24∕7y=59∕7为方程组的解2.有多数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程事实上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有多数组解。

3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相冲突，所以此类方程组无解。

三，二元一次方程的解法：1,一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：1,代入消元法2,加减消元法3,教科书中没有的几种解法（一）加减•■代入混合运用的方法.例：i3x+14y=41（1）^14x+13y=40（2）解:（2）-⑴得x-y=-1x=y-1（3）把（3）代入⑴得13（y-1）+14y=41y=2把y=2代入⑶得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个X或单个y,这样就适用接下来的代入消元.（二）换元法例3：rx:y=1:4>5x+6y=29令X=1y=41 则方程2可写为：5t+6×4（=2929t=29t=1所以x=1,y=4四，列方程（组）解应用题（一）,其详细步骤是：⑴审题。

理解题意。

弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。

①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

解2元一次方程组的方法

对于二元一次方程组的解法，我们用的方法是消元思想。

也就是把两个未知数转换为一个未知数，这也是我们初中数学中重要的思想。

知识点将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种基本解法，它们都是通过消元将方程组转化为一元一次方程，再求解.代入消元法1. 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.2. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤:①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y，用另一个未知数如x的代数式表示出来，即写成y=mx+n的形式；②代入消元：把y=mx+n代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x的值；④回代求解: 把求得的x的值代入y=mx+n中求出y的值，从而得出方程组的解.⑤把这个方程组的解写成{x=ay=b的形式.例: 解方程组①②{x−y=2 ① 2x+3y=9 ②解: 由①得y=x−2③把③代入②得2x+3(x−2)=9解得x=3把x=3代入③得y=1所以方程组的解是{x=3y=1总结：在使用代入消元法时，我们需要把握的一点就是当未知数的系数出现±1时，用代入消元法。

加减消元法1. 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.2. 用加减法解二元一次方程组的一般步骤:①变换系数: 把一个方程或者两个方程的两边都乘适当的数, 使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；②加减消元: 把两个方程的两边分别相加或相减, 消去一个未知数, 得到一个一元一次方程③解这个一元一次方程, 求得一个未知数的值；④回代求解: 将求出的未知数的值代入原方程组的任一方程中, 求出另一个未知数的值；⑤把这个方程组的解写成{x=ay=b的形式.例:解方程组①②{3x−2y=1 ① 2x+y=3 ②解:②×2 得4x+2y=6③①+③得7x=7解得x=1把x=1代入①得3−2y=1即y=1所以方程组的解是{x=1y=1总结：（1）加减消元法是万能的，所有二元一次方程组都可以使用加减消元法。

二元一次方程组求解题技巧

二元一次方程组求解题技巧解二元一次方程组的方法有多种，可以通过代入法、消元法、等价变形法等进行求解。

下面我将简要介绍一些解二元一次方程组的基本技巧。

1. 代入法：代入法是最直观也最简单的一种求解二元一次方程组的方法。

具体做法是将其中一个方程中的一个变量用另一个方程中的一个变量表示出来，然后将代入到另一个方程中进行求解。

例如，给定方程组：2x + 3y = 7 ----(1)4x - y = 1 ----(2)选取第一个方程中的x或y作为参数，将其代入到第二个方程中可以得到：4x - (7-2x)/3 = 1解方程得到x的值，然后将x的值代入到第一个方程中即可得到y的值。

2. 消元法：消元法是通过消去一个变量，将二元一次方程组化成只含有一个变量的一元一次方程，从而求解出另一个变量的值。

具体做法是通过适当的加减或乘除运算使得两个方程的系数相等或相差一个常数倍，然后两个方程相减或相加消去一个变量。

例如，给定方程组：2x + 3y = 7 ----(1)4x - y = 1 ----(2)将第二个方程乘以2，得到：8x - 2y = 2 ----(3)将(1)与(3)相减，即可消去变量x，然后求解y的值。

将y的值代入到任一方程中，即可求解出x的值。

3. 等价变形法：等价变形法是通过对方程组进行合理的变形，使得方程形式更简化或更容易代入相互消去，从而得到方程组的解。

具体做法是通过合并同类项，移项以及对方程进行等号互换等方式使方程组求解更方便。

例如，给定方程组：2x + 3y = 7 ----(1)4x - y = 1 ----(2)将方程(1)乘以2，得到：4x + 6y = 14 ----(4)将(4)和(2)相加，得到：10y = 15解方程可以得到y的值，然后将y的值代入到方程(1)或(2)中求解出x的值。

总结：解二元一次方程组可以灵活运用代入法、消元法和等价变形法等多种方法。

在运用时需要根据具体的方程组形式和求解的需要选择合适的方法。

配套问题二元一次方程解题技巧

配套问题二元一次方程解题技巧在学习数学中，解二元一次方程是一个重要的基础知识点。

二元一次方程即含有两个未知数的一次方程，一般形式为 ax + by = c，其中 a、b、c为已知数。

解二元一次方程的过程需要运用一些具体的技巧和方法，下面将结合具体例题介绍解题技巧。

把握方程的性质在解题时，首先需要了解二元一次方程的一些基本性质。

对于方程ax + by = c，其中a、b不同时为0，能够通过变换求解x或y的值，此时两个未知数具有对称性，可以相互替换。

解方程的思路通常是找到一元一次方程，将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，再代入求解。

通过消元法解题一种常见的二元一次方程解题方法是消元法。

当已知一个方程的x或y的系数为1时，可以直接将这个方程代入另外一个方程进行消元。

假设有二元一次方程组：$$ \\begin{align*} 2x - y &= 1 \\\\ 3x + 2y &= 11 \\end{align*} $$观察可知，第一个方程中y的系数已为-1，直接代入第二个方程可得：2y=5从而解出$y = \\frac{5}{2}$，再代回第一个方程即可得到x=3。

这种消元法能够简化方程组，缩小解题的范围。

利用加法法解题除了消元法外，加法法也是解二元一次方程的一种常用方法。

通过将两个方程相加或相减，可以消除一个未知数，从而求解另一个未知数值。

假设有二元一次方程组：$$ \\begin{align*} 2x + 3y &= 5 \\\\ 3x - 2y &= 7 \\end{align*} $$通过将两个方程相加可得：5x=12解出$x = \\frac{12}{5}$，再代回任意一个方程即可求解出y的值。

深入研究常见类型题目解二元一次方程的过程中，需要深入研究一些常见类型的题目，例如“轻重平衡”、“捆绳子”等问题，这些题目常常可以转换为二元一次方程组的形式。

通过多练习这类题目，可以锻炼解题的思维能力和技巧，提高对方程解题的熟练程度。

二元一次方程组的概念与解法

二元一次方程组的概念与解法二元一次方程组是初中数学中的重要内容，它由两个未知数和两个方程组成。

本文将介绍二元一次方程组的概念以及解法，帮助读者更深入地理解和掌握这一知识点。

一、概念二元一次方程组由两个未知数和两个一次方程组成。

通常的一种表示形式为：```{ax + by = c (式1){dx + ey = f (式2)```其中，a、b、c、d、e、f都是已知的实数系数，x和y是未知数。

二、解法解二元一次方程组有多种方法，下面将分别介绍三种常用的解法。

1. 代入法代入法是一种较为直观且易于理解的解法。

我们可以将其中一个方程中的一个未知数用另一个方程中的未知数表示，然后代入另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的方程，进而求解。

以下是具体步骤：Step 1：选择一个方程，将其中一个未知数，如x，用另一个方程中的未知数y表示。

Step 2：将代入得到的式子代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。

Step 3：求解该方程，得到一个未知数的值。

Step 4：将求得的未知数的值代入任意一个原方程，求解另一个未知数。

Step 5：得到方程组的解。

2. 消元法消元法是一种常用的解法，它通过逐步消去一个未知数，从而实现解方程组的目的。

以下是具体步骤：Step 1：通过变换，使得两个方程的系数相等。

Step 2：将两个方程相减（或相加），得到一个只含有一个未知数的方程。

Step 3：求解该方程，得到一个未知数的值。

Step 4：将求得的未知数的值代入任意一个原方程，求解另一个未知数。

Step 5：得到方程组的解。

3. 矩阵法矩阵法是一种更为高级的解法，它将二元一次方程组表示为一个矩阵方程，并通过矩阵的性质进行求解。

以下是具体步骤：Step 1：将方程组的系数和常数构成一个矩阵。

Step 2：求解矩阵的逆矩阵。

Step 3：将逆矩阵与常数向量相乘，得到未知数向量。

Step 4：得到方程组的解。

通过以上三种方法，我们可以解决二元一次方程组的问题。

专训4 二元一次方程组的五种特殊解法

2.
解方程组：ìïïíïïî
2 2
015 016
x＋2 x＋2
016 017
y＝2 y＝2
017，① 018.②
解：②－①，得x＋y＝1.③
由③，得x＝1－y.④
把④代入方程①，得2 015(1－y)＋2 016y＝2 017.
解这个方程，得y＝2.
把y＝2代入方程③，得x＝－1.
所以原方程组的解为
- 24 y2 6
=
-
44 y2
=
. 11
本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数．

1. 用代入法解方程组：
ìïïïíïïïî
x ＋ y ＝0，① 34 （2 x＋y）－（3 2
y－x）＝62.②
解：由①，得 x = 3
y 4.
设 x = - y ＝k，则x＝3k，y＝－4k. 34
将x＝3k，y＝－4k代入方程②，
得2(3k－4k)－3[2×(－4k)－3k]＝62.
解这个方程，得k＝2.所以x＝6，y＝－8.
ìïïíïïî
x＝-1， y＝2.
观察方程①和②的系数特点，数值都比较大，如果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大，而且容易出现计算错误．根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法或加减法求解，更为简便．
类型2 方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
3.
解方程组：ìïïíïïî
018的值．
解：依题意有(1)
ìïïíïïî
3 x－y＝5， 4x－7 y＝1，(2)
ìïïíïïî
ax－by＝4， ax＋by＝16.

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起。

3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

5、消元法解二元一次方程组：(1) 基本思路：未知数又多变少。

(2) 消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。

6.解法：通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法(elimination by substitution)，简称代入法。

例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y ③把③带入②，得6(5-y)+13y=89y=59/7把y=59/7带入③，得x=5-59/7即x=-24/7&there4;x=-24/7y=59/7 为方程组的解加减消元法：例：解方程组x+y=9①x-y=5②解：①+② 2x=14即 x=7把x=7带入①得7+y=9解得y=-2&there4;x=7y=-2 为方程组的解7. 二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6① 2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

3.无解如方程组x+y=4① 2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。

教科书中没有的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例1, 13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例2， (x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。

方法技巧篇8 二元一次方程组

方法技巧篇八第八章二元一次方程组一、巧解方程组解二元一次方程组的基本方法是运用代人法或加减法进行消元，对于一些特殊的二元一次方程组，可根据题目的结构特点，灵活求解． 1．整体代入消元例1 解方程组②①⎩⎨⎧⨯=+=+ 300%85%53%5 300y x y x2．间接加减法例2 解方程组⎩⎨⎧=+=+②①.82,72y x y x3．常数消去法例3 解方程组⎩⎨⎧=-=-②①.207,203x y y x说明：当两个方程的常数项相同时，我们可以先消去常数项，是代入消元． 4．换元代入法例4 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++-②①5732623 1732623yx y x y x y x5．参数代入法例5 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=②①1843 32y x y x6．作差法例6 解方程组⎩⎨⎧=-=-②①.1843,225y x y x二、教你一招二元一次方程组解的情况与其系数之间有必然的联系，我们用字母来表示未知数的系数和常数项，列出一个二元一次方程组:②① 222111⎩⎨⎧=+=+c y b x a c y b x a（其中a 1、b 1不同时为零，a 2，b 2也不同时为零）(1)0121=/-b a b a ，即当2121b b a a=/时方程组有唯一一组解；(2)若01221=-b a b a ，且01221=-c a c a ，即当212121c c b b a a==时方程组有无数组解；(3)若01221=-b a b a ，且01221=/-c a c a ，即当212121c c b b a a =/=时方程组无解. 例7 解方程组②①94732⎩⎨⎧=+=+y x y x例8 解方程组②①⎩⎨⎧=+=+1896632y x y x例9 解方程组⎩⎨⎧=+=+②①,1564,732y x y x三、整数解问题遇到求二元一次方程组的整数解问题时，许多同学找不到思路，这类问题实际上都有一定的规律，只要抓住问题的“关键点”就会迎刃而解．例10 求二元一次方程92=+y x 在自然数范围内的解．例11 求当m 为何值时，方程组⎩⎨⎧=-=+②① 02 62y x my x 的解是正整数，并求出这样的解．注：求二元一次方程（组）的整数解问题要注意：(1)要弄清楚范围，对自然数、正整数、负整数、整数等概念要明确；(2)不要只去试一试，一定要找到“头绪”，一般先从一个未知数人手，再去求另一个未知数；(3)对符合条件的解要全部求出，不要遗漏，这类问题的解一般不会太多，只能是少数的几个．四、“将错就错”一点通例12 小明和小华同解一个方程组⎩⎨⎧-=+=-②①125by ax by ax ，而两人结果却不相同，原来，小明将方程①看错了，得到的解为⎩⎨⎧==.31y x 小华将方程②看错了，得到的解为⎩⎨⎧==32y x ，如果他俩都没有看错，那么方程组的解是什么？例13 甲、乙两人解同一个二元一次方程组．甲正确地得出解为⎩⎨⎧-==2,3y x ，乙因把第二个方程中的x 的系数抄错了，得到一个错误的解为⎩⎨⎧=-=.22y x ，他们解完后，原方程组中未知数的三个系数又被污染了，变成了下面的形式：⎩⎨⎧=-=+872y x y x □□□．请你将原方程组的三个被污染的系数求出来．五、新题精析图形信息作为一种新型的试题，越来越受中考命题者的青睐，与二元一次方程组有关的图形信息题新颖别致，请看下面几例．例14 根据右图提供的信息，求出每支网球拍的单价为______元，每支乒乓球拍的单价为______元.例l5 在当地农业技术部门指导下，小明家增加种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收．下面是小明爸爸、妈妈的一段对话．请用学过的知识帮助小明算出他们家今年菠萝的收入．（收入-投资=净赚）例16 七年级(2)班的一个综合实践活动小组去A 、B 两个超市调查去年和今年“五一节”期间的销售情况，下图是调查后小明与其他两位同学进行交流的情景．根据他们的对话，请你分别求出A 、B 两个超市今年“五一”期间的销售额．六、“帮你决策”近年来各地的中考题中经常出现建立方程组模型的决策性问题，这类问题让同学们真正体会到了数学的应用价值，体现了“学有所用，学以致用”的精神，刚开始遇见这些问题，同学们普遍会感到无从下手，其实，解决这类问题并不太难，关键是找到解决这类问题的方法．现就这类问题的常见解答方法举例分析如下，供同学们参考．例17 某电脑公司现有A 、B 、C 三种型号的甲品牌电脑和D 、E 两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌的电脑中各选购一种型号．现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台（价格如右图所示），恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A 型号电脑，求购买的A 型号电脑有几台？例18 某体育彩票经销商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎l 000张，已知体彩中心有A 、B 、C 三种价格的彩票，进价分别是A 彩票每张1.5元，B 彩票每张2元，C 彩票每张2.5元．(1)经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案； (2)销售A 种彩票一张获手续费0.2元，B 种彩票一张获手续费0.3元，C 种彩票一张获手续费0.5元，在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？七、“配套问题”在实际问题中，经常遇到一些配套组合问题，解决这类问题的方法是抓住配套关系，设出未知数，根据配套关系列出方程组，通过解方程组解决问题．1．配套与人员分配问题例19 某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？例20 某工地需要派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应该怎样安排人员，正好能使挖的土及时运走？2．配套与物质分配问题例2l 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以使盒身与盒底正好配套？例22 一张方桌由1个桌面和4条桌腿组成，如果l立方米木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有5立方米木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配成多少张方桌？八、“图解”行程问题正确地分析题目中的数量关系是列方程组解应用题的关键，在分析数量关系时，同学们可以列式，也可以列表，还可以画图．其中图形最直观、形象，对同学们解应用题有很大帮助，下面以一道行程类问题为例，来具体说明图形在解应用题中的应用．例23 客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长150米，货车长250米，如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需10秒钟；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需1分40秒，求两车的速度．说明：倘若同学们在求解上题时以笔代车，进行情景模拟，将会加深对题目的理解．九、方程与不等式“共舞”近年来，中考中常会出现一类通过列方程与不等式来解决的问题，需要同学们分清题中的相等和不等关系，从而考查同学们挖掘信息、分析问题和综合建模的能力．下面举例说明．例24 为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人？共有多少个交通路口安排值勤？例25 某“希望学校”为加强信息技术课教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个机房只配置1台教师用机，若干台学生用机．现有厂方提供的产品推荐单一份，如下表：类别初级机房高级机房机型CZXM-012型CZXM-025型CZXN-316型CZXN-216型生产日期2005年1月2005年3月单价CZXM-012型 10 000元CZXM-025型 14 375元CZXN-316型 4 375元CZXN-216型 8 750元性能多人交互…………已知：两个机房购买计算机的钱数相等，并且每个机房购买计算机的钱数不少于20万元也不超过21万元．请计算，拟建的两个机房各能配置多少台学生用机？例26 某水果批发市场香蕉的价格如下表．第二次分别购买香蕉多少千克？十、数形结合思想的应用例27 甲、乙两人分别从相距30千米的A 、B 两地同时出发，相向而行，经过3小时后相距3千米（没有相遇），再经过2小时，甲到B 地所剩的路程是乙到A 地所剩路程的2倍．求甲、乙两人的速度（只列出方程组，不需要求解）．例28 一个长方形，它的长减少4 cm ，宽增加2 cm ，所得的是一个正方形，它的面积与原长方形的面积相等，求原长方形的长和宽．十一、整体思想在解方程组中的应用我们知道，解二元一次方程组一般是通过消元，使其转化成一元一次方程后求解，常用的消元法有代入法和加减法两种，但是有些方程组，直接运用这两种方法可能不太简便，下面选取的一类方程组，采用整体思想来解，会给你解题带来很大的方便．例29 解方程组②①⎩⎨⎧=++=+332)(39x y x y x例30 解方程组②①⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+11)1(2231y x y x例31 解方程组⎩⎨⎧-=+--=+--1)(5)(2,21)(7)(6y x y x y x y x例32 已知方程组⎩⎨⎧=+=+,22534y x y x ，求y x +的值．十二、方程思想的应用所谓方程思想是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的数量关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程（组），再通过解方程（组）使问题获得解决．方程思想是中学数学非常重要的思想方法之一，它的应用十分广泛．例33 右图是一个有三条边的算法图，每个□里有一个数，这个数等于它所在边的两个○里的数之和，请说出三个○里应填入的数．十三、转化思想的应用消元是解方程组的基本方法，消元的目的是把多元的方程组逐步转化为一元方程，如例34 解方程组⎩⎨⎧=+=+598719951997598919971995y x y x。

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧一、基本定义：二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。

二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。

二、解的情况：二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

三、二元一次方程的解法：1、一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：1、代入消元法2、加减消元法3、教科书中没有的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例：13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=41y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例3：x:y=1:45x+6y=29令x=t, y=4t 则方程2可写为：5t+6×4t=2929t=29t=1 所以x=1,y=4四、列方程（组）解应用题（一）、其具体步骤是：⑴审题。

理解题意。

弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。

①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

二元一次方程组的8大解题方法,应用题的克星

二元一次方程组的8大解题方法，专治各类应用题！二元一次方程大战应用题一、实际问题与二元一次方程组的思路1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。

一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等。

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；答：写出答案。

（第一中考网）3.要点诠释（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。

二、八大典型例题详解01.和差倍数问题知识梳理和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。

典型例题思路点拨：由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。

变式拓展思路点拨：由甲组学生人数是乙组的3倍可以得到第一个等量关系式x=3y，由乙组的学生人数比甲组的3倍少40人可以得到第二个等量关系式3x-y=40，组成方程组求解即可。

02.产品配套问题知识梳理总人数等于生产各个产品的人数之和；各个产品数量之间的比例符合整体要求。

典型例题思路点拨：本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。

变式拓展思路点拨：根据共有170名学生可得出第一个等量关系x+y=170，根据每个树坑对应一棵树可得第二个等量关系3x=7y，组成方程组求解即可。

二元一次方程组计算方法

二元一次方程组计算方法
二元一次方程组，这可是数学里的重要家伙！它就像是个解谜游戏，咱们得找出那隐藏在方程里的答案。

1.1 啥是二元一次方程组？简单说，就是有两个含有两个未知数的一次方程组合在一起。

比如说，x + y = 5 ，2x - y = 1 ，这就是一组二元一次方程组。

1.2 那为啥要学它呢？您想啊，生活里好多事儿都能用它来解决。

像买东西算价钱，安排工作算人数，用处大着呢！
接下来说说咋解这方程组。

2.1 最常用的法子就是“代入消元法”。

举个例子，有方程组 x + y = 3 ，x - y = 1 。

从第一个方程里，咱能得出 x = 3 - y ，然后把这 x 代入第二个方程，就变成 3 - y - y = 1 ，这不就变成一元一次方程了嘛，解出来 y = 1 ，再把 y 的值代回第一个方程，就能算出 x = 2 。

2.2 再说说“加减消元法”。

比如方程组 2x + 3y = 8 ，3x + 2y = 7 。

咱可以把第一个方程乘以 3 ，第二个方程乘以 2 ，然后相减，就能消去一个未知数，算出另一个未知数的值。

2.3 解方程组的时候，得细心，一步错，步步错，就像走路踩错了石头，容易摔跟头。

三。

3.1 多做练习题那是必须的。

俗话说，熟能生巧，做得多了，各种类型的方程组都见过了，再遇到难题也不怕。

3.2 还有啊，得学会总结方法和技巧。

每解完一组方程，都想想自己用的啥办法，为啥这么用，下次遇到类似的就能更快解决。

二元一次方程组不难，只要您用心学，多练习，一定能把它拿下！。

列二元一次方程组解应用题的基本步骤与设题技巧

列二元一次方程组解应用题的基本步骤与设题技巧列二元一次方程组解应用题的基本步骤与设题技巧一.列二元一次方程组解应用题的步骤1.弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x、y)表示题目中的两个未知数;2.找出能够表示应用题全部含意的两个相等关系;3.根据两个相等关系列出代数式，从而列出两个方程并组成方程组;4.解这个二元一次方程组，求出未知数的值;5.检查所得结果的正确性及合理性;6.写出答案(例1 甲、乙两人的收入之比为4?3，支出之比为8?5，一年间两人各储存了500元，求两人的年收入各是多少,二、设未知数的几种常见方法(1)设直接未知数:即题目里要求的未知量是什么，就把它设做方程里的未知数，并且求几个设几个(例2 李红用甲、乙两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92元(已知这两种储蓄的年利率的和为3.24,，问这两种储蓄的年利率各是百分之几, 公民应交利息所得税,利息金额×20,((2)设间接未知数:即设的不是所求量(有些应用题，若设直接未知数，则所列的方程比较复杂;若改设间接未知数，则能列出既简单又易解的方程( 例3 、甲、乙两厂计划在上月共生产机床360台，结果甲厂完成了计划的112,，乙厂完成了计划的110,，两厂共生产了机床400台，问上月两厂各超额生产了机床多少台,(3)少设未知数:有些应用题，要求两个或更多个未知数，但根据各未知数之间的关系，只需设一个或少数几个未知数就可以求解(例4 怎样把45分成甲、乙、丙、丁四个数，使甲数加2，乙数减2，丙数加倍，丁数减半的结果相等,(4)多设未知数:有些应用题，不仅要设直接未知数，而且要增设辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知数(例5 甲车和乙车共坐了93人，乙车和丙车共坐了96人，丙车和丁车共坐了98人，问甲车和丁车共坐了多少人,【巩固练习】1. 一次篮、排球比赛，共有48个队，520名运动员参加，其中篮球队每队10名，排球队每队12名，求篮、排球各有多少队参赛,2. 某厂买进甲、乙两种材料共56吨，用去9860元。

二元一次方程组的解法技巧

二元一次方程组的解法技巧在我们的生活中，数学可真是一门神奇的学科，尤其是二元一次方程组。

听起来复杂，其实也没那么可怕，咱们可以把它想象成两个朋友在一起讨论谁来买午餐的问题。

就像王小明和李小红，他们每次出去吃饭都要聊聊自己钱包里的钱和想吃的东西。

王小明说：“嘿，我有20块钱，咱们去吃炸鸡吧。

”李小红却说：“我也有20块钱，咱们可以吃披萨！”这样两个人就需要找到一个方案，既能让他们的总钱数合在一起，又能吃到大家都喜欢的美食。

这时候，咱们就得用到二元一次方程组了。

你看，咱们设王小明的钱为x，李小红的钱为y，那就能得到两个方程：x + y = 40，还有他们想吃的东西的成本，比如炸鸡和披萨的价格。

这样就形成了一个小小的数学挑战。

解决这个问题其实就像吃火锅，先把锅里的底料煮开，再慢慢加入配菜，最后就能吃得津津有味。

解这个方程组时，有两种常用的方法，大家伙儿一定听说过。

第一种就是代入法。

想象一下，王小明心急如焚，想知道自己能吃多少炸鸡，他就把李小红的那部分钱给代入进去。

这样，咱们可以把y替换成40x。

然后，就只需要简单地计算出炸鸡的数量，这简直跟做数学题一样简单。

就像你心里有数了，赶紧去点外卖，结果一看，这价格还真合适，心里那种美滋滋的感觉，不就是解题的乐趣吗？再说说消元法，哎，这个就有点儿像打麻将。

你得先把牌理顺，才能出牌。

咱们先写出两个方程，把它们整理一下，然后找到一个变量，比如y，直接把它消掉。

结果就会出现一个新的方程，像一块儿美味的蛋糕等着你去切。

解决完一个，另一个也就迎刃而解，最后王小明和李小红就能一起高高兴兴地吃到心仪的午餐，何乐而不为呢？别忘了，解二元一次方程组的过程中，不可避免地会有一些小坑。

比如有些人一看方程就头大，没关系，咱们可以从简单的开始，慢慢来，犹如学骑自行车一样，起初总是摔跤，但只要坚持，最终你就能飞驰在路上。

还有就是细心点，千万别弄错数字，稍不留神就可能把炸鸡的价格算成了披萨的，这可就麻烦了。

二元一次方程解题方法和技巧

二元一次方程解题方法和技巧解二元一次方程有哪些技巧和方法？我来分享我的经验吧！首先，要理清思路。

这是非常重要的。

遇到题目，先审清题意，明确已知、未知、变量之间的关系，在不影响方程结构的前提下，从简单的开始求解。

然后再化繁为简，找出合适的方法。

最后根据方程结构和各个方程的特点进行讨论、验算，逐步求得解答。

不管采用何种方法，都应该遵循以下几个原则：把方程中的两个未知数看作两个整体，对它们进行运算时，其中一个未知数的取值范围就是另一个未知数的取值范围。

这个规律叫做方程的基本性质。

基本性质包括： a.等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，两边仍相等; b.等式两边同时加或减同一个不为0的数，等式仍成立;c.等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得的结果仍为等式。

这个规律叫做“代数基本定理”。

解二元一次方程的基本方法包括直接法和代入法。

1、直接法：直接去分别解出x、 y的值。

2、代入法：通过代入消元，把方程转换成一元一次方程。

一般可用因式分解法或提公因式法。

解二元一次方程一般要根据实际情况选择合适的方法，但是无论什么方法都应该遵循这几条原则：①把方程中的两个未知数看作两个整体，对它们进行运算时，其中一个未知数的取值范围就是另一个未知数的取值范围；②等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍成立；③等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得的结果仍为等式；④只要把等号左右两边同时乘或除以同一个不为0的数，使等式成立，所得的结果就是所求的未知数的值。

注意：一定要检查题目，检查后如果发现自己用错了，一定要返回去改正，不要改错。

这个很重要，也是很容易丢分的地方。

另外，有时候会碰到二元一次方程两边同时存在指数，要注意指数和指数之间的关系，尤其是幂函数的方程。

解决这类问题的方法是先考虑两边同时去掉一个，将它们转化成一元一次方程，这样可以简化运算，方便求解。

1．特殊值法。

它是把方程中的某个未知数变为一个已知数，使方程左右两边都含有这个未知数的值。

设方程解方程的技巧

设方程解方程的技巧解方程是数学中的基本操作，它在各个学科领域都有着广泛的应用。

解方程的过程对于初学者来说可能有些抽象和难以理解，但只要掌握了一些技巧，就能够轻松应对各种方程。

下面我们就为大家介绍一些解方程的技巧。

1. 移项法移项法是解方程中最基本的技巧之一，它的原理是将方程中的项移到等式左右两侧，使得方程等式成立。

例如，对于方程3x+5=11，我们可以通过移项将5移到等式右侧，得到3x=6，再将3移到等式右侧，得到x=2。

这样就得到了方程的解。

2. 消元法消元法是解二元一次方程组中常用的技巧之一。

例如，对于方程组x+y=5，x-y=1，我们可以通过消元法将y消去，得到2x=6，进而得到x=3，再将x带入前一个方程求解y，得到y=2。

3. 合并同类项在解方程的过程中，经常需要合并同类项。

例如，对于方程2x+3x=5x，我们可以将2x和3x合并成5x，从而使得方程更加简单。

4. 分离系数和未知量有些方程中，系数和未知量是混合在一起的，不方便求解。

这时我们可以采用分离系数和未知量的方法，将系数和未知量分别归类，再进行解方程。

例如，对于方程2x+5=3x+7，我们可以将x的系数放在一起得到2x-3x=7-5，再运算得到x=2。

5. 取相反数有些方程中有负号，不方便计算。

这时我们可以取相反数，将负号变成正号，这样方程就更容易求解了。

例如，对于方程-2x+5=9，我们可以取相反数得到2x-5=-9，更容易求解。

总之，在解方程的时候，我们可以采用不同的方法和技巧，使得方程更加简单和容易求解。

熟练掌握这些技巧，能够帮助我们在数学学习和实际应用中更加高效和准确地解决问题。

二元一次方程组的应用问题有何解题技巧

二元一次方程组的应用问题有何解题技巧嘿，同学们！咱们今天来好好聊聊二元一次方程组的应用问题，以及怎么巧妙地解决它们。

先跟大家分享一个我上学时候的事儿。

那时候，我和同桌一起参加数学竞赛的培训。

有一次，老师出了一道特别难的二元一次方程组应用问题，说的是学校组织春游，要租车。

大巴车每辆能坐 50 人，租金500 元；中巴车每辆能坐 30 人，租金 300 元。

一共 200 个同学去春游，怎样租车最省钱？我和同桌拿到题目就开始埋头苦算，设租大巴车 x 辆，中巴车 y 辆，然后列出方程组：50x ＋ 30y ＝ 200。

可是算着算着就乱了套，一会儿这个数不对，一会儿那个式子又错了。

后来我俩发现，不能这么盲目地算，得先分析分析。

咱们先来说说解二元一次方程组应用问题的第一步，那就是仔细读题，把关键信息都找出来。

比如说上面那个租车的问题，关键信息就是人数、车的载客量还有租金。

这就像我们在森林里找宝藏，得先看清地图，找到那些隐藏的线索。

第二步呢，就是设未知数。

设未知数可有讲究啦，要设得巧妙，能让后面的计算简单点。

还是拿租车的例子，我们可以设租大巴车x 辆，中巴车 y 辆，这样就能根据人数列出方程 50x ＋ 30y ＝ 200。

接下来就是列方程组啦。

这就像搭积木，一块一块往上加，把题目中的条件都变成方程。

比如说，如果题目还说租车的总费用不能超过1500 元，那就能再列出一个方程 500x ＋300y ≤ 1500。

列好方程组，就到了解方程组的时候啦。

这可是关键的一步，就像开锁一样，得找到正确的钥匙。

咱们可以用代入消元法或者加减消元法。

代入消元法呢，就像是把一个未知数用另一个未知数表示出来，然后代入另一个方程；加减消元法呢，就是把两个方程通过加减，消去一个未知数。

解出方程组之后，可别高兴得太早，还得检验一下答案是不是符合实际情况。

比如说，如果算出租车的数量是负数，那肯定不对啦。

再给大家举个例子，比如说商店卖衣服，一件上衣 50 元，一条裤子 30 元，小明买了 5 件衣服一共花了 210 元，问小明买了几件上衣几条裤子。