概率分布函数
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湍流脉动在湍流燃烧过程中起着重要作用 湍流脉动在某种程度上具有随机量的特征
在湍流燃烧的数学模型研究中引用概率分布
k-ε-g 模型中的混合分数瞬时值的城墙式分布，相应 于双δ函数形的概率分布 截尾正态分布概率分布函数 Beta函数分布等形式的概率分布函数
PDF→受输运方程控制的因变量
Borghi等人为简化模拟过程，略去温度脉动的影响，提 的控制方程 出了在F中的 mfu mox Dl grad mfu mox 2 Dl gradmfu gradmox ui mfu mox xi 1 2 3 2 t gradm fu gradmox graduimfu mox f 4 5
2
(3-81)
式中，a0＝1，a1=1/2(E/R)2-(E/R)，a2= E/R。 或把式(3-81)写成 R fu B 2 m fu mox exp( E / RT )[1 F ] (3-82) F 概括了湍流脉动对平均化学反应率的影响，是 对燃烧速率进行模化的困难所在。
对燃料和氧化剂质量分数脉动值 的控制方程 的二阶关联项 mfu mox
不均匀性引起的因变量的净增长率
Biblioteka Baidu
表示因变量的湍流输运 第五项 graduimfu mox
第六项(其余)表示化学反应引起的因变量的变化
控制方程中各项的模拟-1 mfu mox
为求得方程的封闭，必须对方程的第三、五和 六项进行模化。 第三项：在湍流场中因变量的耗散速率可以考 虑成与该变量本身、密度和湍流耗散速率成正 比（适用于Schmit数接近于1的情况） (3-84) 2 D gradm gradm 2 m m
2 Smox mfu K f [(mox Sm fu )mfu mox
2 (mox Smfu )mfu mox ] m fu mox 6 式中Dl表示层流交换系数，S表示化学当量比， Kf = B exp(E/RT)
(3-83)
控制方程中各项的意义 mfu mox
对燃烧现象的更深入的实验研究发现：
在不同的燃烧过程中，因变量的概率分布形式不同； 即使对于同一个燃烧过程，在不同的区域，各个因 变量的概率分布函数也不尽相同。
启示：概率分布函数是否也是一个受输运方程 控制的因变量，与火焰特性、流动图象、湍流 特性及边界条件有关。 尝试：Pope的博士论文(1976年)
l fu ox
k
fu
ox
控制方程中各项的模拟-2 mfu mox
第五项―湍流输运项的模拟：可以参照常用的 “梯度模拟准则” ut (3-84) ui mfu mox mfu mox
模化方法
概率分布函数和脉动速度的二阶关联项
按照“梯度准则”进行模拟，在物理上表示概率分 布函数的湍流输运
k2 P( )ui c3 P( ) xi
(3-77)
模化方法
因子 因子P(φ)主要受大尺度的大脉动控制，不妨认 为这两者不相互关联
P( ) xi 2 P ( ) P ( ) c 4 k xi
表示因变量的对流速率 第一项 ui mfu mox xi 第二项 Dl gradmfu mox 表示该因变量的层流输运
表示分子扩散引起的脉动耗散 Dl gradmfu gradmox 2 t 第四项 gradm fu gradmox 表示由浓度均值的空间 f
平均化学反应速率
R fu B m fu mox exp( E / RT )[1 a0
2
mfu mox m fu mox ]
T 2 a1 T
T mox T mfu a2 Tmox Tm fu
(3-79)
空间位置和变量φ的函数 辅之以适当的定解条件
二维管道火焰稳定器后面的湍 流预混火焰
Khalil 不同轴向位置的横截 面上轴向速度 计算结果与实验符合 得较好 用RBU模型和PDF输 运方程进行计算的结 果大抵相同，但是后 者付出的计算时间和 计算机的贮存量的代 价比前者大得多
2
( / xi )2主要与微尺寸的小脉动有关，而
(3-78)
2 表示φ的脉动均方值
单变量PDF输运方程
D k2 P( ) c3 P( ) Dt xi xi 2 P ( ) S ( ) c P ( ) 4 k
定压燃烧过程瞬时反应速率 设反应机理用单步不可逆反应来表征，瞬时反 应速率遵守双分子碰撞模型的Arrehnius公式 (3-80) R fu B 2 m fu mox exp( E / RT ) 经过对因变量mfu，mox和T的雷诺分解以及对 公式的雷诺平均，并利用泰勒级救展开，略去 脉动值的三阶以上关联量，便可得到平均化学 反应速率的表达式
单变量概率分布函数输运方程
D P( ) P( )ui Dt xi
2 P( )S ( ) P( ) xi
(3-76)
S(φ)是变量φ的源或汇 为使方程封闭，必须对有关的项进行模化。
评价
在简单的湍流火焰计算中获得与实验基本符合 的结果，仍需改进和完善。 建立双变量（混合分数和反应度）的联合概率 分布函数的输运方程(Pope)
§3.4 平均反应速率的 输运方程模型
湍流流动模型：模拟雷诺应力，建立了雷诺应 力的输运方程模型，在某些情况下获得了优于 应用湍流粘性系数模型得到的结果 在湍流燃烧模型的研究中人为模拟平均化学反 应速率，是否可以建立平均反应率的输运方程 模型呢？
湍流脉动在湍流燃烧过程中起着重要作用 湍流脉动在某种程度上具有随机量的特征
在湍流燃烧的数学模型研究中引用概率分布
k-ε-g 模型中的混合分数瞬时值的城墙式分布，相应 于双δ函数形的概率分布 截尾正态分布概率分布函数 Beta函数分布等形式的概率分布函数
PDF→受输运方程控制的因变量
Borghi等人为简化模拟过程，略去温度脉动的影响，提 的控制方程 出了在F中的 mfu mox Dl grad mfu mox 2 Dl gradmfu gradmox ui mfu mox xi 1 2 3 2 t gradm fu gradmox graduimfu mox f 4 5
2
(3-81)
式中，a0＝1，a1=1/2(E/R)2-(E/R)，a2= E/R。 或把式(3-81)写成 R fu B 2 m fu mox exp( E / RT )[1 F ] (3-82) F 概括了湍流脉动对平均化学反应率的影响，是 对燃烧速率进行模化的困难所在。
对燃料和氧化剂质量分数脉动值 的控制方程 的二阶关联项 mfu mox
不均匀性引起的因变量的净增长率
Biblioteka Baidu
表示因变量的湍流输运 第五项 graduimfu mox
第六项(其余)表示化学反应引起的因变量的变化
控制方程中各项的模拟-1 mfu mox
为求得方程的封闭，必须对方程的第三、五和 六项进行模化。 第三项：在湍流场中因变量的耗散速率可以考 虑成与该变量本身、密度和湍流耗散速率成正 比（适用于Schmit数接近于1的情况） (3-84) 2 D gradm gradm 2 m m
2 Smox mfu K f [(mox Sm fu )mfu mox
2 (mox Smfu )mfu mox ] m fu mox 6 式中Dl表示层流交换系数，S表示化学当量比， Kf = B exp(E/RT)
(3-83)
控制方程中各项的意义 mfu mox
对燃烧现象的更深入的实验研究发现：
在不同的燃烧过程中，因变量的概率分布形式不同； 即使对于同一个燃烧过程，在不同的区域，各个因 变量的概率分布函数也不尽相同。
启示：概率分布函数是否也是一个受输运方程 控制的因变量，与火焰特性、流动图象、湍流 特性及边界条件有关。 尝试：Pope的博士论文(1976年)
l fu ox
k
fu
ox
控制方程中各项的模拟-2 mfu mox
第五项―湍流输运项的模拟：可以参照常用的 “梯度模拟准则” ut (3-84) ui mfu mox mfu mox
模化方法
概率分布函数和脉动速度的二阶关联项
按照“梯度准则”进行模拟，在物理上表示概率分 布函数的湍流输运
k2 P( )ui c3 P( ) xi
(3-77)
模化方法
因子 因子P(φ)主要受大尺度的大脉动控制，不妨认 为这两者不相互关联
P( ) xi 2 P ( ) P ( ) c 4 k xi
表示因变量的对流速率 第一项 ui mfu mox xi 第二项 Dl gradmfu mox 表示该因变量的层流输运
表示分子扩散引起的脉动耗散 Dl gradmfu gradmox 2 t 第四项 gradm fu gradmox 表示由浓度均值的空间 f
平均化学反应速率
R fu B m fu mox exp( E / RT )[1 a0
2
mfu mox m fu mox ]
T 2 a1 T
T mox T mfu a2 Tmox Tm fu
(3-79)
空间位置和变量φ的函数 辅之以适当的定解条件
二维管道火焰稳定器后面的湍 流预混火焰
Khalil 不同轴向位置的横截 面上轴向速度 计算结果与实验符合 得较好 用RBU模型和PDF输 运方程进行计算的结 果大抵相同，但是后 者付出的计算时间和 计算机的贮存量的代 价比前者大得多
2
( / xi )2主要与微尺寸的小脉动有关，而
(3-78)
2 表示φ的脉动均方值
单变量PDF输运方程
D k2 P( ) c3 P( ) Dt xi xi 2 P ( ) S ( ) c P ( ) 4 k
定压燃烧过程瞬时反应速率 设反应机理用单步不可逆反应来表征，瞬时反 应速率遵守双分子碰撞模型的Arrehnius公式 (3-80) R fu B 2 m fu mox exp( E / RT ) 经过对因变量mfu，mox和T的雷诺分解以及对 公式的雷诺平均，并利用泰勒级救展开，略去 脉动值的三阶以上关联量，便可得到平均化学 反应速率的表达式
单变量概率分布函数输运方程
D P( ) P( )ui Dt xi
2 P( )S ( ) P( ) xi
(3-76)
S(φ)是变量φ的源或汇 为使方程封闭，必须对有关的项进行模化。
评价
在简单的湍流火焰计算中获得与实验基本符合 的结果，仍需改进和完善。 建立双变量（混合分数和反应度）的联合概率 分布函数的输运方程(Pope)
§3.4 平均反应速率的 输运方程模型
湍流流动模型：模拟雷诺应力，建立了雷诺应 力的输运方程模型，在某些情况下获得了优于 应用湍流粘性系数模型得到的结果 在湍流燃烧模型的研究中人为模拟平均化学反 应速率，是否可以建立平均反应率的输运方程 模型呢？