概率分布函数
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录1. 均匀分布 (1)2. 正态分布（高斯分布） (2)3. 指数分布 (2)4. Beta分布（：分布） (2)5. Gamm 分布 (3)6. 倒Gamm分布 (4)7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5)8. Pareto 分布 (6)9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7)210. 分布（卡方分布） (7)8 11. t分布................................................9 12. F分布 ...............................................10 13. 二项分布............................................10 14. 泊松分布（Poisson 分布）.............................11 15. 对数正态分布........................................1. 均匀分布均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
2. 正态分布（高斯分布）当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作X~N （」f 2）。
正态分布为方差已知的正态分布N （*2）的参数」的共轭先验分布。
1 空f （x ）： —— e 2-J2 兀 o'E(X)， Var(X) _ c 23. 指数分布指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。
其 中，.0为尺度参数。
指数分布的无记忆性：Plx s t|X = P{X t}。
f （X ）二 y oiE(X) 一4. Beta 分布（一：分布）f （X ）二 E(X)Var(X)=(b-a)2 12Var(X)二1~2Beta 分布记为X 〜Be(a,b)，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数 可凸也可凹。
概率论分布函数
概率论分布函数概率论中的分布函数是一个非常重要的概念，它能够帮助我们理解随机事件的发生规律，并为我们进行概率计算提供了有力的工具。
本文将对分布函数进行全面而生动的介绍，希望能够为读者提供一些指导意义。
首先，我们来了解一下什么是分布函数。
简单来说，分布函数是在数学和统计学中用来描述随机变量取值概率的函数。
它可以以图形或数学表达的方式展示出随机变量取值的规律性，帮助我们预测和分析随机事件的发生概率。
分布函数可以分为离散型和连续型两种。
离散型分布函数适用于描述离散型随机变量的取值规律。
离散型随机变量的取值只能是一些个别的数值，如抛掷骰子的点数或扑克牌的花色等。
常见的离散型分布函数有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
伯努利分布描述的是只有两种可能取值的随机试验，如硬币的正反面。
二项分布是当一个试验重复进行固定次数时，成功和失败的次数服从的分布。
泊松分布则用于描述单位时间内某个事件发生的次数。
连续型分布函数适用于描述连续型随机变量的取值规律。
连续型随机变量的取值可以是一个区间内的任意数值，比如表示一个人的身高或温度的测量值等。
常见的连续型分布函数有均匀分布、正态分布、指数分布等。
均匀分布是最简单的连续型分布函数，它假设随机变量在某个范围内取值的概率是等概率的。
正态分布则是自然界中最常见的分布函数，它的特点是钟形曲线对称分布，可以描述许多现实世界的现象。
指数分布用于描述独立随机事件发生的时间间隔。
除了离散型和连续型分布函数之外，还有一些特殊的分布函数值得我们关注。
例如，几何分布描述的是在一系列独立的随机试验中，首次成功需要进行的试验次数。
负二项分布则描述的是在一系列独立的随机试验中，成功需要进行的总次数。
这些分布函数在实际应用中也具有重要的作用。
在使用分布函数进行概率计算时，我们常常需要计算随机变量落在某个区间内的概率。
对于连续型分布函数，我们可以通过求解概率密度函数在该区间内的面积来得到。
对于离散型分布函数，则是求解随机变量取值在该区间内的概率和。
常用概率分布函数
– 则f(x)为X的概率密度函数（PDF）
– f(x)满足：
(1) f (x) 0
(2) f (x)dx 1
常用概率分布函数
• 连续型随机变量
– F(x)为连续型随机变量的累积分布函数（CDF）
F(x) P(X x) x f (x)dx
– 连续型随机变量X均值和方差分别为：
E(X ) xf (x)dx
常用概率分布函数
二项分布 泊松分布 均匀分布 正态分布 指数分布 伽马分布
常用概率分布函数
• 离散型随机变量
– 若随机变量的取值为有限个或可以逐一列举的无穷多个 数值，则称此类随机变量为离散型随机变量。
– 设离散随机变量X有：P( X xi ) p( xi )
– 将P={p1,p2,…pn…}称为X的概率密度函数 （Probability Density Function，PDF）
– 泊松分布是二项分布的特殊情况（n趋近无穷大，令 np->λ），当一个固定时间间隔内有大量事件以恒定的 速率发生，且事件之间相互独立时，可以用泊松分布描 述，并称这样的随机事件为泊松流。
– 泊松分布的概率密度函数： P(x k) k e k {0,1, 2..., n}
k!
– 累积分布函数：
– x=0:0.001:5;
0.4
– n=10;
0.35
– p=0.1;
0.3
– y=binopdf(x,n,p); 0.25
– plot(x,y);
0.2
0.15
0.1
0.05
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
常用概率分布函数
• 泊松分布（ Poisson Distribution ）
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录1. 均匀分布 ...................................................................................................... 1 2. 正态分布（高斯分布） ........................................................................... 2 3. 指数分布 ...................................................................................................... 2 4. Beta 分布（β分布） ............................................................................. 2 5. Gamma 分布 .................................................................................................. 3 6. 倒Gamma 分布 ............................................................................................. 4 7. 威布尔分布(Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布) ................. 5 8. Pareto 分布 ................................................................................................ 6 9. Cauchy 分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） . (7)10. 2χ分布（卡方分布） (7)11. t 分布 ........................................................................................................ 8 12. F 分布 ........................................................................................................ 9 13. 二项分布 ................................................................................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布） ............................................................. 10 15.对数正态分布 .......................................................................................111. 均匀分布均匀分布~(,)X U a b 是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
概率分布函数
概率分布函数概率分布函数（Probability Distribution Function）是在概率论与数理统计中用来描述随机变量的分布规律的函数。
它可以提供随机变量取某个值的概率。
一、定义与性质概率分布函数通常表示为 F(x)，其中 x 是随机变量的取值，F(x) 表示该变量小于等于 x 的概率。
概率分布函数具有以下性质：1. 非减性：随着 x 增大，F(x) 逐渐增大或保持不变。
2. 有界性：0 ≤ F(x) ≤ 1，对于任意的 x。
3. 右连续性：在所有的实数 x0，F(x) 在 x ≥ x0 时连续。
二、常见1. 均匀分布函数（Uniform Distribution Function）：均匀分布函数是一种简单且常见的概率分布函数。
在一个区间 [a, b] 内，每个数值的概率密度相等，即 f(x) = 1 / (b - a)，其中a ≤ x ≤ b。
其概率分布函数为：F(x) = (x - a) / (b - a)，其中a ≤ x ≤ b。
2. 正态分布函数（Normal Distribution Function）：正态分布函数也被称为高斯分布函数。
它是一种常见的连续概率分布函数，通常用于描述自然界中的现象。
其概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-(x - μ)² / (2 * σ²))，其中μ 是均值，σ 是标准差。
其概率分布函数无法用简单的公式表示，常用统计软件进行计算。
3. 二项分布函数（Binomial Distribution Function）：二项分布函数用于描述在 n 个独立的 Bernoulli 试验中成功的次数的概率分布。
其中成功的概率为 p，失败的概率为 q = 1 - p。
其概率质量函数为：f(x) = C(n, x) * p^x * q^(n-x)，其中 C(n, x) 表示组合数。
其概率分布函数通常写为累积形式，无法用简单的公式表示。
概率分布公式大全离散与连续分布函数详解
概率分布公式大全离散与连续分布函数详解概率分布公式大全-离散与连续分布函数详解概率分布是概率论和统计学中的重要概念，用于描述随机变量的可能取值及其相应的概率。
根据随机变量的性质，概率分布可以分为离散分布和连续分布。
本文将详细介绍概率分布的概念、离散分布函数和连续分布函数的定义，并列举常见的概率分布公式作为参考。
一、概率分布的基本概念1. 随机变量在概率论中，随机变量是指能够随机地产生不同数值的变量。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
2. 概率分布概率分布是随机变量的每个可能取值与其相应的概率之间的关系。
通过概率分布，我们可以了解随机变量取值的可能性以及各个取值的概率大小。
二、离散分布函数离散分布函数用于描述离散型随机变量的概率分布情况。
下面是几种常见的离散分布函数：1. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布描述了独立重复实验的结果，每次实验只有两个可能的结果，成功或失败。
二项分布的概率分布函数如下：P(X=k) = (nCk) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为实验次数，k为成功次数，p为每次实验的成功概率，(nCk) 表示组合数。
2. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数，常用于描述稀有事件的概率分布。
泊松分布的概率分布函数如下：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!，其中λ为单位时间（或单位空间）内随机事件的平均发生率，e为自然对数的底。
3. 几何分布（Geometric Distribution）几何分布描述了在一系列独立实验中，首次成功需要进行的实验次数的概率分布。
几何分布的概率分布函数如下：P(X=k) = p * (1-p)^(k-1)，其中p为每次实验的成功概率。
三、连续分布函数连续分布函数用于描述连续型随机变量的概率分布情况。
下面是几种常见的连续分布函数：1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布（或高斯分布）是最常见的连续概率分布之一，常用于描述自然界和社会科学中的许多现象。
正态分布概率分布函数
正态分布概率分布函数正态分布概率分布函数是统计学中非常重要的一种概率分布函数，也被称为高斯分布。
它描述了大量具有连续变量的现象的分布情况，如身高、体重、 IQ 等。
正态分布的概率密度函数是钟形曲线，两侧呈对称关系，因此也被称为“钟形曲线分布”。
正态分布是一个连续的概率分布，它的概率密度函数为：$$f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$$\mu$ 是分布的均值，$\sigma$ 是分布的标准差。
这个函数的图像与 $\mu$ 和$\sigma$ 的值有关，如果 $\mu$ 值增大，曲线向右移动；如果 $\sigma$ 值增大，曲线变得更平缓，同时顶点也变得更加圆。
正态分布的概率密度函数可以解释为：一个连续型的变量以 $\mu$ 为中心，以$\sigma$ 为半径的范围内的数值出现的概率。
对于身高这个变量，我们可以用 $\mu$ 来表示平均身高，$\sigma$ 表示身高的标准差。
在这种情况下，正态分布的概率密度函数描述了一个人身高在某个区间内的可能性大小。
正态分布的概率密度函数在很多情况下都有着重要的应用。
在实际应用中，我们经常需要计算区间内的概率，也就是计算正态分布函数在特定区间内的面积。
这个过程需要通过积分来实现，但是由于正态分布曲线的对称性，我们可以利用一些规律来求解。
我们可以使用正态分布表来找到某个区间的概率，这些表通常被列成两个部分，第一部分列出了 Z 分数（标准正态分布对应的值），第二部分列出了面积。
如果要计算 $Z \leq 0.5$ 的概率，我们可以查表得到 $0.6915$。
如果我们要计算 $Z > 0.5$ 的概率，可以是用对称性 $P(Z > 0.5) = P(Z < -0.5) = 1 - 0.6915 = 0.3085$。
在实际应用过程中，有时候我们需要计算两个正态分布之间的概率，这个情况下又需要使用一些特定的公式来计算。
概率分布函数与密度函数
概率分布函数与密度函数（Probability Distribution Function and Density Function）是概率论与数理统计中非常重要的概念。
它们描述了随机变量的取值和对应概率之间的关系，对于研究随机变量的特性和进行概率计算具有重要意义。
首先，我们来了解概率分布函数（Probability Distribution Function，PDF）。
PDF是描述随机变量的一种函数，它是一个非负函数，并且其所有取值的和为1。
概率分布函数可以对连续型和离散型随机变量进行描述。
对于离散型随机变量，其概率分布函数是通过列出随机变量可能取值及其对应的概率，然后对这些概率进行求和得到。
例如，对于一个抛硬币的实验，随机变量X表示抛硬币出现正面的次数。
X的概率分布函数可以表示为：P(X=k) = 0.5, k=0或k=1这意味着当X等于0或1时，其概率分别为0.5。
而对于连续型随机变量，其概率分布函数则通过概率密度函数（Probability Density Function，PDF）来描述。
概率密度函数在某个区间内的取值代表该区间内随机变量取值的概率密度。
概率密度函数与概率分布函数之间的关系可以用积分来表示。
对于连续型随机变量X来说，其概率分布函数可以表示为：F(x) = ∫[f(t)dt]，其中t从负无穷到x其中，f(x)是X的概率密度函数，F(x)是X的概率分布函数。
概率密度函数与概率分布函数的区别在于，概率密度函数表示的是随机变量取某个特定值的概率密度，而概率分布函数表示的是随机变量小于或等于某个特定值的概率。
概率分布函数和概率密度函数的作用非常广泛。
它们可以用于计算随机变量的期望值、方差和其他统计特征。
通过对概率分布函数和概率密度函数的研究，我们可以了解随机变量在不同取值下的概率分布，进而预测未来事件的概率，从而在实际应用中发挥重要作用。
总结起来，概率分布函数和概率密度函数在概率论和数理统计中是基础而重要的概念。
概率论-2-4分布函数
1 2
1
arcsin
x a
,
a xa
1,
xa
（3）随机变量X的密度函数为
f
(x)
F ( x)
1
0,
a2 x2 , a x a 其它.
答案：D
答案：B
答案：A
答案：A
本节练习
习题二：12
F (4) F (2) 1 0 1 5 1 1.
3
63 2
答案：B
四、连续型随机变量的分布函数
已知连续型RV.X的概率密度为f(x)，则其分布
函数为 F(x) P{X x} P{ X x}
f (x)
即有
F
(
x)
x
f
(
x)dx
ox
x
F(x)在点x的函数值，等于曲线f(x)之下，Ox轴的区间
x)
1
x
x
,
x0
0,
x0
（1）求X的概率密度函数 f ( x).
（2）用分布函数求概率
PX 3, P 2 X 5, PX 1.
解 在 x 0 处 F (x) 具有连续导数，故按题设得
f
(
x)
F
(
x)
(1
1 x)2
,
0,
x0 x 0
而在 x 0
时，由
F
(
x)
1
x
x
,
0, F (x) 不可导， 因为
F(x)的图形为 F( x)
1
a
bx
例5 （1）设r.v X服从指数分布，其概率密度为
f ( x) 1 ex ,
0,
求X的分布函数F(x).
分布函数四个条件
分布函数四个条件概率分布函数是统计学中一个重要的概念，它是描述随机变量的分布情况的函数。
概率分布函数有四个条件：第一，概率分布函数的定义域是实数集，即所有可能的随机变量的取值都在实数集中。
第二，概率分布函数的值域是[0,1]，即概率分布函数的值不能超过1，也不能小于0。
第三，概率分布函数的积分是1，即概率分布函数的积分值为1，表示所有可能的随机变量的取值的概率之和为1。
第四，概率分布函数是连续的，即概率分布函数的值在定义域上是连续的，不存在断点。
概率分布函数是统计学中一个重要的概念，它是描述随机变量的分布情况的函数。
概率分布函数有四个条件：定义域是实数集，值域是[0,1]，积分是1，连续性。
这四个条件是概率分布函数的基本要求，只有满足这四个条件，才能称之为概率分布函数。
概率分布函数的定义域是实数集，这表明概率分布函数可以描述任意可能的随机变量的取值，而不仅仅是整数。
概率分布函数的值域是[0,1]，这表明概率分布函数的值不能超过1，也不能小于0，这是因为概率分布函数的值表示的是某个随机变量取某个值的概率，概率不能超过1，也不能小于0。
概率分布函数的积分是1，这表明所有可能的随机变量的取值的概率之和为1，这也是概率的基本定义。
最后，概率分布函数是连续的，这表明概率分布函数的值在定义域上是连续的，不存在断点，这也是概率分布函数的基本要求。
概率分布函数是统计学中一个重要的概念，它是描述随机变量的分布情况的函数。
概率分布函数有四个条件：定义域是实数集，值域是[0,1]，积分是1，连续性。
这四个条件是概率分布函数的基本要求，只有满足这四个条件，才能称之为概率分布函数。
概率分布函数的定义域是实数集，表明概率分布函数可以描述任意可能的随机变量的取值，而不。
概率分布函数公式
概率分布函数公式
概率分布函数是概率论的基本概念之一。
在实际问题中，常常要研究一个随机变量ξ取值小于某一数值x的概率，这概率是x的函数，称这种函数为随机变量ξ的分布函数，简称分布函数，记作F(x)，即F(x)=P(ξ<x) (-∞<x<+∞)，由它并可以决定随机变量落入任何范围内的概率。
例如在桥梁和水坝的设计中，每年河流的最高水位ξ小于x米的概率是x的函数，这个函数就是最高水位ξ的分布函数。
实际应用中常用的分布函数有正态分布函数、普阿松分布函数、二项分布函数等等。
1、X是离散型随机变量
概率分布：P{X=xk}=pk (k=1,2,3……)
分布函数：F(x)=P(X<=x)=∑pk（xk<=x）
相关期望：E(x)=∑xk*pk
2、X是连续型随机变量
概率密度：f(x) (-∝<x<+∝)
分布函数：F(x)=P(X≤x)=∫ f(x)dx（-∝到x的积分）。
已知概率密度求分布函数
已知概率密度求分布函数
概率分布函数是统计学中一个重要的概念，用来描述随机变量的分布情况。
它是概率论中最基本的一个概念，是描述随机变量取值和频数关系的函数。
概率密度函数是一种特殊的概率分布函数，可以用来描述随机变量在离散和连续情况下的分布情况。
如果已知概率密度函数，那么可以根据它来求解概率分布函数。
假设已知概率密度函数为f(x)，那么概率分布函数F(x)
可以写成：F(x)=∫xf(t)dt这里的∫xf(t)dt表示从-∞到x积分f(t)dt，也就是说从-∞到x的累计概率为F(x)。
因此，只要知道概率密度函数，就可以通过积分来求出概率分布函数。
概率密度函数和概率分布函数都是重要的概率论概念，它们都可以用来描述随机变量的分布情况。
只要已知概率密度函数，就可以通过积分来求出概率分布函数。
概率密度函数和概率分布函数的求解，是统计学中非常重要的一环，它们可以用来分析随机变量的分布特征，从而更好地预测和分析统计现象。
分布函数和概率密度函数
分布函数和概率密度函数分布函数和概率密度函数是统计学中常用的两种概率分布函数。
分布函数（CDF）是一种描述随机变量在某一区间内的概率的函数。
它的定义为：设X为随机变量，F(x)为X的分布函数，则对于任意的实数a，有F(a)=P(X≤a)。
概率密度函数（PDF）是另一种描述随机变量分布的函数。
它的定义为：设X为随机变量，f(x)为X的概率密度函数，则对于任意的实数a，有f(a)=P(a≤X<a+Δa)/Δa。
分布函数和概率密度函数是统计学中经常使用的两种概率分布函数。
它们都可以用来描述随机变量的分布情况，但是两者有一些区别。
分布函数表示的是某一区间内随机变量取值的概率，而概率密度函数则是表示随机变量在某一点处取值的概率密度。
概率密度函数和分布函数之间有一个密切的关系，即分布函数可以由概率密度函数求得，而概率密度函数也可以由分布函数求得。
设F(x)为随机变量X的分布函数，f(x)为X的概率密度函数，则有F(x)=∫f(t)dt。
在实际应用中，分布函数和概率密度函数都有其各自的优点。
分布函数更适用于计算某一区间内的概率，而概率密度函数更适用于描述随机变量的分布形态。
因此，在统计学中，我们常常会同时使用这两种概率分布函数。
在使用分布函数和概率密度函数时，还有一些注意事项需要注意。
首先，分布函数和概率密度函数是用来描述连续随机变量的分布的，不适用于离散随机变量。
如果要描述离散随机变量的分布，需要使用离散分布函数和概率质量函数。
其次，概率密度函数必须满足一些特定的性质。
例如，概率密度函数必须非负，即f(x)≥0。
此外，概率密度函数还必须满足∫f(x)dx=1，表示随机变量X取值的概率为1。
最后，分布函数和概率密度函数并不是所有随机变量都有的，只有满足一定条件的随机变量才有分布函数或概率密度函数。
例如，对于服从正态分布的随机变量，就有对应的正态分布函数和正态概率密度函数。
对于服从指数分布的随机变量，就有对应的指数分布函数和指数概率密度函数。
常用的分布函数公式
常用的分布函数公式
常用的分布函数公式分布函数是概率论和统计学中重要的概念，用于描述随机变量的概率分布。
在实际应用中，我们经常需要使用一些常用的分布函数公式来计算概率或进行统计推断。
以下是一些常见的分布函数公式：1. 正态分布函数：正态分布是自然界中许多现象的模型，其分布函数可以用以下公式表示：
F(x) = 1/2 [1 + erf((x-μ)/(σ√2))] 其中，μ是正态分布的均值，σ是标准差，erf是误差函数。
2. 二项分布函数：二项分布是一种离散概率分布，用于描述在n次独立重复试验中成功次数的概率。
其分布函数可以用以下公式表示：
F(x) = Σ(i=0 to x) [C(n, i) * p^i * (1-p)^(n-i)] 其中，C(n, i)是组合数，p是每次试验成功的概率。
3. 泊松分布函数：泊松分布是一种离散概率分布，用于描述单位时间或空间内随机事件发生的次数。
其分布函数可以用以下公式表示：
F(x) = Σ(i=0 to x) [e^(-λ) * λ^i / i!] 其中，λ是单位时间或空间内随机事件的平均发生率。
4. t分布函数：t分布是用于小样本情况下进行统计推断的概率分布。
其分布函数可以用以
下公式表示：
F(x) = 1/2 + 1/2 * I(x/√(n-1), (n-1)/2, 1/2) 其中，n是样本容量，I是不完全贝塞尔函数。
以上是一些常用的分布函数公式，它们在概率论和统计学中具有广泛的应用。
通过了解和掌握这些公式，我们可以更好地理解和分析随机变量的概率分布，从而进行相应的统计推断和决策。
分布函数和概率密度
分布函数和概率密度在概率论与数理统计中，分布函数和概率密度函数是用来描述随机变量的概率分布的两个重要概念。
首先，我们来介绍一下分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）。
对于一个随机变量X，其分布函数F(某)定义为小于等于某的概率，即：F(某)=P(X≤某)其中P表示概率。
分布函数具有以下几个特性：1.F(某)是一个非递减函数，即对于任意某1<某2，有F(某1)≤F(某2)；2.当某→-∞时，F(某)→0；当某→+∞时，F(某)→1；3. 分布函数在任意点c处的右连续性，即F(c+) = lim(某→c+)F(某) = F(c)。
分布函数可以完全描述一个随机变量的概率分布，并且可以用于计算出其在任意区间上的累积概率。
例如，P(a≤X≤b)=F(b)-F(a)。
接下来，我们介绍概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）。
对于一个连续型随机变量X，其概率密度函数f(某)定义为X 落在某个区间(d某)内的概率与d某之比的极限，即：f(某) = lim(d某→0) P(某≤X≤某+d某) / d某概率密度函数具有以下几个特性：1.f(某)≥0，即概率密度不会取负值；2.对于任意区间[a,b]上的概率，可以通过积分得到，即P(a≤X≤b)=∫[a,b]f(某)d某；3.全区间上的概率之和等于1，即∫(-∞,+∞)f(某)d某=1。
概率密度函数描述了连续型随机变量在不同取值上的概率分布情况。
与分布函数不同的是，概率密度函数并不能直接用来计算出某个具体取值的概率，而是用于计算某个区间上的概率。
例如，P(a≤X≤b)=∫[a,b]f(某)d某。
分布函数和概率密度函数是相互关联的。
对于连续型随机变量，其分布函数F(某)可以通过概率密度函数f(某)积分得到，即F(某) = ∫(-∞, 某) f(t)dt。
而对于离散型随机变量，则没有概率密度函数，只有分布函数。
概率函数，分布函数，密度函数
概率函数，分布函数，密度函数
概率函数：⽤函数的形式来表达概率
概率分布：离散型随机变量的值分布和值的概率分布列表
分布函数：概率函数取值的累加结果，所以它⼜叫累积概率函数
概率密度函数：连续型随机变量的“概率函数”
左边是F(x)连续型随机变量分布函数画出的图形，右边是f(x)连续型随机变量的概率密度函数画出的图像，它们之间的关系就是，概率密度函数是分布函数的导函数。
右图（概率函数）阴影⾯积即为x取值在a，b之间的总概率，对应左图（分布函数），即F(b)-F(a)。
概率分布函数
概率分布函数u 分布的概念例如学生人数按年龄的分布 年龄15 ~1617 ~ 1819 ~20 21~22 人数按年龄的分布 200030004000 1000 人数比率按 年龄的分布20%30%40%10%速率v 1 ～ v 2 v 2 ～ v 3… v i ～ v i +Δv …分子数按速率的分布ΔN 1ΔN 2 … ΔN i … 分子数比率按速率的分布ΔN 1/NΔN 2/N…ΔN i /N…例如气体分子按速率的分布{P i =ΔN i /N ｝就是分子数按速率的概率分布∑=iii u P u实际中有很多变量是连续变化的，例如粒子的空间位置或粒子的速度。
在随机变量取连续值时，上述求平均值公式中P i 的也是连续分布的。
v到v+d v的概率分布但是因为测量仪器总有一定误差，在测量分子速率时，我们测不出分子速率恰好为100m/s的分子数是多少，若仪器的误差范围为1m/s，则我们只能测出分子速率从99.5m/s到100.5m/s的分子数是多少。
我们也不能讲分子速率恰好处于100m/s的概率，而只能讲分子速率介于某一范围（例如99m/s~101m/s）内的概率。
有关打靶试验的例子:图（a ）是用直角坐标来表示靶板上的分布；图（b ）则是用极坐标来表示其分布的。
现以靶心为原点，以直角坐标x 、y 来表示黑点的空间位置，把靶板平面沿横轴划分出很多宽为Δx 的窄条,Δx 的宽度比黑点的大小要大得多。
只要数出在x 到x +Δx 范围内的那条窄条中的黑点数ΔN ，把它除以靶板上总的黑点数N （N 应该足够大），则其百分比就是黑点处于x~x+Δx 范围内这一窄条的概率。
1. 直角坐标表示然后以 为纵坐标，以x 为横坐标，画出图。
若令Δx →0，就得到一条连续曲线。
x N N∆⋅∆21()d x x f x x ⎰=()d 1f x x +∞-∞⎰=d ()d Nf x N x=⋅ 这时的纵坐标 称为黑点沿x 方向分布的概率密度，表示黑点沿x 方向的相对密集程度。
分布函数性质知识点总结
分布函数性质知识点总结1. 定义在概率论中，对于一个实数集上的随机变量X，其分布函数定义为：F(x) = P(X<=x)其中，F(x)表示X小于等于x的概率。
通俗地说，分布函数描述了随机变量X的取值不超过x的概率。
分布函数在数学上通常用F(x)表示。
2. 性质接下来我们将介绍分布函数的几个重要性质：2.1 单调不减性分布函数F(x)是单调不减的，即对于任意的x1<x2，有F(x1) <= F(x2)。
这是由于分布函数表示了随机变量小于等于x的概率，随着x的增大，概率也不会减小，因此F(x)是单调不减的。
2.2 有界性分布函数F(x)是有界的，即对于任意的x，有0<=F(x)<=1。
当x趋向负无穷时，F(x)趋向0；当x趋向正无穷时，F(x)趋向1。
这是由于概率的取值范围是[0,1]，因此分布函数的取值也必须在这个范围内。
2.3 右连续性分布函数F(x)是右连续的，即对于任意的x0，有lim(x->x0+)F(x) = F(x0)。
这意味着在x0处的分布函数的值等于x0右侧的极限值。
右连续性保证了分布函数在每个点都有明确的取值。
2.4 极值性质分布函数F(x)的极值包括：F(-∞)=0，F(+∞)=1，以及F(x)的极小值和极大值。
这些极值性质可以帮助我们更好地理解分布函数的性质和特点。
2.5 具有概率测度性质分布函数F(x)具有概率测度性质，即对于一个区间[a,b)，有P(a<=X<b) = F(b)-F(a)。
这个性质可以用于计算在某个区间内随机变量X的概率。
2.6 逆函数性质分布函数F(x)具有逆函数性质，即对于任意的0<p<1，存在唯一的实数x，使得F(x)=p。
这个性质可以用于计算分布函数的逆函数，即F-1(p)。
3. 总结分布函数是概率论中一个非常重要的概念，它描述了随机变量取值的概率分布情况。
分布函数具有单调不减性、有界性、右连续性、极值性质、具有概率测度性质和逆函数性质等性质。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平均化学反应速率
R fu B m fu mox exp( E / RT )[1 a0
2
mfu mox m fu mox ]
T 2 a1 T
T mox T mfu a2 Tmox Tm fu
Borghi等人为简化模拟过程，略去温度脉动的影响，提 的控制方程 出了在F中的 mfu mox Dl grad mfu mox 2 Dl gradmfu gradmox ui mfu mox xi 1 2 3 2 t gradm fu gradmox graduimfu mox f 4 5
2
(3-81)
式中，a0＝1，a1=1/2(E/R)2-(E/R)，a2= E/R。 或把式(3-81)写成 R fu B 2 m fu mox exp( E / RT )[1 F ] (3-82) F 概括了湍流脉动对平均化学反应率的影响，是 对燃烧速率进行模化的困难所在。
对燃料和氧化剂质量分数脉动值 的控制方程 的二阶关联项 mfu mox
定压燃烧过程瞬时反应速率 设反应机理用单步不可逆反应来表征，瞬时反 应速率遵守双分子碰撞模型的Arrehnius公式 (3-80) R fu B 2 m fu mox exp( E / RT ) 经过对因变量mfu，mox和T的雷诺分解以及对 公式的雷诺平均，并利用泰勒级救展开，略去 脉动值的三阶以上关联量，便可得到平均化学 反应速率的表达式
模化方法
概率分布函数和脉动速度的二阶关联项
按照“梯度准则”进行模拟，在物理上表示概率分 布函数的湍流输运
k2 P( )ui c3 P( ) xi
(3-77)
模化方法
因子 因子P(φ)主要受大尺度的大脉动控制，不妨认 为这两者不相互关联
P( ) xi 2 P ( ) P ( ) c 4 k xi
回顾
湍流脉动在湍流燃烧过程中起着重要作用 湍流脉动在某种程度上具有随机量的特征
在湍流燃烧的数学模型研究中引用概率分布
k-ε-g 模型中的混合分数瞬时值的城墙式分布，相应 于双δ函数形的概率分布 截尾正态分布概率分布函数 Beta函数分布等形式的概率分布函数
PDF→受输运方程控制的因变量
表示因变量的对流速率 第一项 ui mfu mox xi 第二项 Dl gradmfu mox 表示该因变量的层流输运
表示分子扩散引起的脉动耗散 Dl gradmfu gradmox 2 t 第四项 gradm fu gradmox 表示由浓度均值的空间 f
l fu ox
k
fu
ox
控制方程中各项的模拟-2 mfu mox
第五项―湍流输运项的模拟：可以参照常用的 “梯度模拟准则” ut (3-84) ui mfu mox mfu mox
(3-79)
空间位置和变量φ的函数 辅之以适当的定解条件
二维管道火焰稳定器后面的湍 流预混火焰
Khalil 不同轴向位置的横截 面上轴向速度 计算结果与实验符合 得较好 用RBU模型和PDF输 运方程进行计算的结 果大抵相同，但是后 者付出的计算时间和 计算机的贮存量的代 价比前者大得多
对燃烧现象的更深入的实验研究发现：
在不同的燃烧过程中，因变量的概率分布形式不同； 即使对于同一个燃烧过程，在不同的区域，各个因 变量的概率分布函数也不尽相同。
启示：概率分布函数是否也是一个受输运方程 控制的因变量，与火焰特性、流动图象、湍流 特性及边界条件有关。 尝试：Pope的博士论文(1976年)
2
( / xi )2主要与微尺寸的小脉动有关，而
(3-78)
2 表示φ的脉动均方值
单变量PDF输运方程
D k2 P( ) c3 P( ) Dt xi xi 2 P ( ) S ( ) c P ( ) 4 k
单变量概率分布函数输运方程
D P( ) P( )ui Dt xi
2 P( )S ( ) P( ) xi
(3-76)
S(φ)是变量φ的源或汇 为使方程封闭，必须对有关的项进行模化。
2 Smox mfu K f [(mox Sm fu )mfu mox
2 (mox Smfu )mfu mox ] m fu mox 6 式中Dl表示层流交换系数，S表示化学当量比， Kf = B exp(E/RT)
(3-83)
控制方程中各项的意义 mfu mox
不均匀性引起的因变量的净增长率
表示因变量的湍流输运 第五项 graduimfu mox
第六项(其余)表示化学反应引起的因变量的变化
控制方程中各项的模拟-1 mfu mox
为求得方程的封闭，必须对方程的第三、五和 六项进行模化。 第三项：在湍流场中因变量的耗散速率可以考 虑成与该变量本身、密度和湍流耗散速率成正 比（适用于Schmit数接近于1的情况） (3-84) 2 D gradm gradm 2 m m
评价
在简单的湍流火焰计算中获得与实验基本符合 的结果，仍需改进和完善。 建立双变量（混合分数和反应度）的联合概率 分布函数的输运方程(Pope)
§3.4 平均反应速率的 输运方程模型
湍流流动模型：模拟雷诺应力，建立了雷诺应 力的输运方程模型，在某些情况下获得了优于 应用湍流粘性系数模型得到的结果 在湍流燃烧模型的研究中人为模拟平均化学反 应速率，是否可以建立平均反应率的输运方程 模型呢？