两角和与差的正切函数

两角和与差的正切函数

一、教材分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·必修4》（北师版）第三章第2.3节。从教材中的地位与作用来看，《两角和与差的正切》是本章的一个重要的内容，它具有承上启下的作用，承上是在学了两角和与差的正、余弦的基础上而学习的，因为在推导两角和与差的正切公式要用到前面的公式，启下是为学习二倍角的正切公式奠定了基础，因为二倍角的正切公式是两角和与差的正切公式的特例，即令两角和与差的正切公式的β

α=就可以得到二倍角的正切公式。同时此公式中实际应用中也有广泛的应用，如：测量等。而且在应用的过程中渗透了方程、整体变换等数学思想，为学生在以后的学习中积累了数学素养。对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。前面学习了两角和与差的余弦、正弦公式，本节课将引导学生探究新、旧公式之间的联系，探索新公式的应用规律。

二、学情分析

从学生的所学知识来看，由于这节课是学习两角和与差的正、余弦与同角三角函数关系的商数关系的基础上学习的，所以学生比较容易接受两角和与差的公式的推导过程，在此过程中使用类比的方法，引导学生探究新、旧公式之间的联系，探索新公式的应用规律。在记忆公式的可以让学生注意观察，发现新公式的特点与新公式应用的规

律，培养学生的观察能力。

三、设计思想

新课标倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，注重培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力。所以在教学设计中要注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。

四、教学目标

1、知识目标：

（1）使学生掌握两角和与差的正切公式及其推导方法；

（2）使学生能应用公式正确灵活地进行三角函数式的化简求值。2、能力目标：

（1）培养学生的观察能力

（2）培养学生的思维品质

（3）培养学生等价转化的能力

3、情感目标：

（1）让学生通过自己发现，自己猜测，自己尝试，自己归纳等一系列思维活动来自己获得知识。

（2）通过设疑、暗示、课堂讨论等教学形式和方法，启发诱导学生、激发学生的学习兴趣。

（3）体会数学美，感受数学变换的魅力。

五、教学重点、难点

1、教学重点：两角和与差的正切公式及其应用。

2、教学难点：两角和与差的正切公式的灵活应用，其中包括“正

用”、“逆用”和“变形用”的用法。

六、教学过程设计：

（一）复习回顾：

1、同角三角函数商数关系

2、两角和与差的正、余弦公式（学生回答，教师板书公式）

（二）、引入并讲授新课：

例1、已知 -==βαtan ,2tan 31

，其中 ,2

,20πβππα<<<<求)tan(βα+。 （先由学生自己推，然后让选择部分学生来讲述他们的求解过程，教师分析他们的过程并指出应该注意的地方）

前面我们学习了同角三角比的关系以及两角和与差的余弦和正弦公式，有同角三角比的关系可知：α

ααcos sin tan =，因此，我们可以利用两角和与差的余弦和正弦公式来推导两角和与差的正切公式。

β

αβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(-+=++=+， 当0cos cos ≠βα时，分子分母同除以βαcos cos ，得： β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+， 所以：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+=)3

1(21)31(2---+=1 变形1:求βα+

（教师要强调求解角时必须结合范围进行讨论）

变形2：求)tan(βα-

将上式中的ββ-换为，得： =---+=-+=-)tan(tan 1)tan(tan )](tan[)tan(βαβαβαβα7tan tan 1tan tan =+-β

αβα。 得两角和与差的正切公式为：

βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+， =-)tan(βαβ

αβαtan tan 1tan tan +-。 说明：1、必须在定义域范围内使用上述公式

2、注意公式的结构，尤其是符号

3、公式特征，同名；分子同号，分母异号；容易联想到韦达定理

设计意图：通过课本的例题引出两角和与差的正切函数公式，不仅直奔主题，而且为后面增加补充例题，扩大学生视野，真正深刻领会公式提供机会。

（三）公式应用

练习：求值：（1）tan150 （2）tan750．

设计意图：对公式的理解，会正用公式，将一般角转化为特殊角的和或差，正确运用公式解题时，以学生分析口答为主，教师适时给予点拨。

例2：求1tan151tan15

+-值。 设计意图：对公式的加深理解，会逆用公式。解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨。

例3、若52)tan(=+βα，41)4tan(=-πβ，求)4tan(π

α+的值。

设计意图：类比上节两角和与差的正弦，余弦，整体构造角，使学生体会类比的方法和整体化的数学思想，教师板演。 例4、若βαtan tan 、是关于x 的方程0652=-+x x 的两个根，求：)tan(βα+的值。

设计意图：由公式的特征：同名；分子同号，分母异号；容易联想到韦达定理，培养学生的联想能力，与知识联系结合的能力。 例5、求值： tan170 + tan430 + 3tan170 tan430

设计意图：引导学生观察角的和的特殊性，联系例4韦达定理的结构特征，对公式的变形灵活使用。

（四）巩固练习,深化认识

练习1、2、3、4（分组完成）

1.已知4

9)4tan(=+πα，求αtan 的值。 2.在三角形ABC 中，设A tan B tan 是方程01832=-+x x 的两根，求C tan 的值。

3. 若αtan =3,B tan =2,求βα+。

4.已知A+B=450，证明：（A tan +1）(B tan +1)=1。

设计意图：在学生学习中，小组合作学习是个很好的形式，一道题放在小组中，大家经过讨论进行有选择性的商议，这时，学生的学习体验是快乐的，不同的人会获得不同的发展。只有这样，才能让学生从课堂中去体会数学的魅力和活力。

（五）、课堂小结：