初中数学分式方程的增根与无解专题辅导

分式方程的增根与无解

周奕生

甲：增根是什么？

乙：增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值，比如解方程、：

2

x x 222x 3x 1-=-+。① 为了去分母，方程两边乘以()2x x -，得()2x 32x -=+-②

由②解得0x =。

甲：原方程的解是0x =。

乙：可是当0x =时，原方程两边的值相等吗？

甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。哟！当0x =时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦？

乙：求解过程完全正确，没有任何的差错。

甲：那为什么会出现这种情况呢？

乙：因为原来方程①中未知数x 的取值范围是0x ≠且2x ≠，而去分母化为整式方程②后，未知数x 的取值范围扩大为全体实数。这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。

甲：如此说来，从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么，如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？

乙：很简单，两个字：检验。可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母，看是否使公分母等于0，如果公分母为0，则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。

甲：那么，这个题中0x =就是增根了，可原方程的解又是什么呢？

乙：原方程无解。

甲：啊？！为什么会无解呢？

乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论x 取何值，都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解，又如对于方程

0x

2=，不论x 取何值也不能使它成立，因此，这个方程也无解。 甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？

乙：不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看，方程x

1x x x 21x x 22+=+-+，去分母后化为()()01x 3x =+-，解得3x =或1x -=，此时，1x -=是增根，但原方程并不是无解，而是有一个解3x =，而方程1x

2x =+，去分母后化为2x 0-=⋅，原方程虽然无解，但原方程也没有增根。

甲：看起来增根并不是什么“好东西”，有没有办法可以避免增根？ 乙：有是有，不过解起来比较费劲，有时划不来，还不如解后再检验。比如解方程x 1x x x 21x x 22+=+-+，可先把右边化为0，得0x 1x x x 21x x 22=+-+-+。左边通分计算，

得()()01x x 1x 2x 22

2=++--，即()01x x 3x 2x 2=+--，分子分解因式，再约分，得0x 3x =-，由分子03x =-，得,3x =你看，原来那个增根1x -=就没有出现。

增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，如上面方程①的增根0x =，它虽然不是方程①的解，但却是去分母后所得整式方程②的解，利用这种关系可以解决分式方程的有关问题，你看：

已知关于x 的方程2

x x k 2x 21x 12-+=++-有增根，求k 的值。 首先把原方程去分母，化为()()k 1x 22x =-++。③

因为原方程的最简公分母是 ()()2x 1x +-，所以方程的增根可能是1x =或2x -= 若增根为1x =，代入方程③，得k 03=+，3k =；

若增根为2x -=，代入方程③，得k 60=-，6k -=。

故当3k =或6k -=时，原方程会有增根。

甲：虽然无解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定无解，但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙的关系，这是怎么一回事？

乙：你说的没错，增根与无解都是分式方程的“常客”，它们虽然还没有达到形影不离的程度，但两者还是常常相伴而行的，在有些分式方程问题中，讨论无解的情形时应考虑增根，例如：

已知关于x 的方程m 3

x m x =-+无解，求m 的值。 先把原方程化为()3x m m x -=+。④

（1）若方程④无解，则原方程也无解，方程④化为()m 4x m 1-=-，当0m 1=-，而0m 4≠-时，方程④无解，此时1m =。

（2）若方程④有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，所以，当方程④的解为3x =时原方程无解，3x =代入方程④，得0m 3=+，故3m -=。

综合（1）、（2），当1m =或3m -=时，原方程无解。