上海交大数值分析课件数值分析2-6(三次样条插值)
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S ( x0 0) S ( xn 0) S ( x 0 0 ) S ( x n 0 ) S ( x 0 0 ) S ( x n 0 )
周期样条
三、 求解方法之一：三转角方程
1.条件 设在[a,b]上给出插值条件：
xj
f (xj )m j
x0
f0
m
0
x1
f1
x2
f2
…
…
xn
fn
m
n
f(xj)
求三次样条插值函数 S(x)
思路: (1)首先要补条件：每个区间上构造三次多项式需要四 个条件，但现在最多有三个，故要补充条件，形成四个； (2)补什么条件：或函数值，或一阶导数值，或二阶导数值。 这里选一阶导数较合适；
(3)如何补？若随意给，则只能保证构造出的插值函数的函 数值和一阶导数值连续，但不一定能保证二阶导数值连续， 故只能选那组使二阶导数连续的一阶导数值。
同理可得S(x)在区间[xj-1 , xj]上的二阶导数：
S ( x ) 6 x 2 x h
j1 2 j1
4 x
j
m
j1
6 x 4 x h 6( x
j1
j1 2 j1
2 x
j
m
j
x h
3 j1
j
2 x )
( y
j
y
j1
)
2 4 6 于是S ( x 0 ) m m ( y y ) j j 1 j j j 1 2 h j 1 h j 1 h j 1
第二章 插值法 §5 三次样条插值
一、三次样条的产生和背景 二、三次样条函数的定义 三、三转角方程 四、三弯矩方程
预备知识
Hermite插值： 已知：4个条件
xi yi = f(xi)
f y (x ) i i
xk yk
yk
xk+1 yk+1
1 yk
求:一个次数不超过3的多项式H3(x)
2.样条的概念(Spline)
样条是工程设计中使用的一种绘图工具， 它是富有弹性的细木条或细金属条。绘 图员利用它把一些已知的点连接成一条 光滑曲线称为样条曲线，样条曲线在连 接点处有连续的曲率（即连续的二阶导 数），它实际上是分段三次曲线拼接而 成，在连接点上要求二阶导数连续。
二、 三次样条函数的定义
1.三次样条的定义
若函数 S(x)∈C2[a,b], 且在每个小区间 [xj,xj+1]上是三次多项式，其中
a =x0＜x1 ＜… ＜xn=b
是 给 定 节 点 ， 则 称 S(x) 是 节 点 x0 ， x1， … ，xn上的三次样条函数。 即： a.S(x)∈C2[a,b] b.S(x)在[xj,xj+1]上是三次多项式
~ H ( x ) H ( x ) 3 2 3 2
求解过程具体如下：
1.条件 设在[a,b]上给出插值条件：
xj
f(xj)
f (xj )m j
x0
f0
m
0
x1
f1
m
1
x2
f2
m
2
…
…
xn
fn
m
n
求三次样条插值函数 S(x)
设法求出
2.求解 mj 的思路
由内部节点上的二阶导数连续求出 考虑S(x)在[xj , xj+1]上的表达式
1°已知两端的一阶导数值，即：
S ( x ) f , S ( x ) f 0 0 n n
2°已知两端的二阶导数值，即：
S ( x ) f , S ( x ) f 0 0 n n
3°当 f(x) 是以 xn-x0 为周期的周期函数时，则要 求S(x)也是周期函数，即
xj
x0
f0
x1
f1
1
x2
f2
2
…
…
xn
fn
n
ห้องสมุดไป่ตู้
f(xj)
f (xj )m j
m
0
m
H 3(x)
m
H 3(x)
m
~ H 3 ( x)
共n-1个等式
x1处: x2处:
H ( x ) H ( x ) 3 1 3 1
得到与m0,m1,m2有关的等式 得到与m1,m2,m3有关的等式
由条件
S ( x 0 ) S ( x 0 ) ( j 1 ,..., n 1 ) j j
2.三次样条插值函数的定义
三次样条函数 +
S(xi) = yi
3. 求解三次样条插值函数的已知条件数和 未知条件数 未知参数个数
已知条件个数
4n
插值条件： n+1 S(x)∈C2[a,b] ：3(n-1) 共 计： 4n-2
缺少条件，通常在插值区间的端点给出，称 为边界条件。
4.常用的三种边界条件
结论：
H (x )y (x )y (x ) 3 k k k 1 k 1 (x y )y (x ) k k k 1 k 1
其中
x xk x xk1 2 k (x) (1 2 )( ) xk1 xk xk xk1 x xk1 x xk 2 k1(x) (1 2 )( ) xk xk1 xk1 xk
s( x ) ( x x
j1
) [h h
2
j 3 j
2 ( x x
j
)]
y )]
j
( x x
j
) [h
2
j
2 ( x h
3 j
x
j1
y
j1
( x x
j1
) h
2 2 j
( x x
j
)
m
j
( x x
j
)
2
( x x
2 j
j1
)
h
m
j1
hj=xj+1-xj
x xk1 2 k ( x) ( x xk )( ) xk xk1 x xk 2 k1 ( x) ( x xk1 )( ) xk1 xk
一、 三次样条的产生和背景
1.问题的产生
实际中有许多计算问题对插值函数的 光滑性有较高的要求，例如飞机机翼 外形、发动机进、排气口都要求有连 续的二阶导数。 显然我们前面介绍的方法 已不能解决这个问题。
对S(x)求二阶导数得：
S ( x ) 6 x 2 x h
j 2 j j 2 j
4 x
j 1
m
j
6 x 4 x h 6( x
j
2 x
j 1
m
j 1
x h
j 1 3 j
2 x )
( y
j 1
y
j
)
4 2 6 于是 S ( x 0 ) m m 2 ( y y ) j j j 1 j 1 j h j h j h j
周期样条
三、 求解方法之一：三转角方程
1.条件 设在[a,b]上给出插值条件：
xj
f (xj )m j
x0
f0
m
0
x1
f1
x2
f2
…
…
xn
fn
m
n
f(xj)
求三次样条插值函数 S(x)
思路: (1)首先要补条件：每个区间上构造三次多项式需要四 个条件，但现在最多有三个，故要补充条件，形成四个； (2)补什么条件：或函数值，或一阶导数值，或二阶导数值。 这里选一阶导数较合适；
(3)如何补？若随意给，则只能保证构造出的插值函数的函 数值和一阶导数值连续，但不一定能保证二阶导数值连续， 故只能选那组使二阶导数连续的一阶导数值。
同理可得S(x)在区间[xj-1 , xj]上的二阶导数：
S ( x ) 6 x 2 x h
j1 2 j1
4 x
j
m
j1
6 x 4 x h 6( x
j1
j1 2 j1
2 x
j
m
j
x h
3 j1
j
2 x )
( y
j
y
j1
)
2 4 6 于是S ( x 0 ) m m ( y y ) j j 1 j j j 1 2 h j 1 h j 1 h j 1
第二章 插值法 §5 三次样条插值
一、三次样条的产生和背景 二、三次样条函数的定义 三、三转角方程 四、三弯矩方程
预备知识
Hermite插值： 已知：4个条件
xi yi = f(xi)
f y (x ) i i
xk yk
yk
xk+1 yk+1
1 yk
求:一个次数不超过3的多项式H3(x)
2.样条的概念(Spline)
样条是工程设计中使用的一种绘图工具， 它是富有弹性的细木条或细金属条。绘 图员利用它把一些已知的点连接成一条 光滑曲线称为样条曲线，样条曲线在连 接点处有连续的曲率（即连续的二阶导 数），它实际上是分段三次曲线拼接而 成，在连接点上要求二阶导数连续。
二、 三次样条函数的定义
1.三次样条的定义
若函数 S(x)∈C2[a,b], 且在每个小区间 [xj,xj+1]上是三次多项式，其中
a =x0＜x1 ＜… ＜xn=b
是 给 定 节 点 ， 则 称 S(x) 是 节 点 x0 ， x1， … ，xn上的三次样条函数。 即： a.S(x)∈C2[a,b] b.S(x)在[xj,xj+1]上是三次多项式
~ H ( x ) H ( x ) 3 2 3 2
求解过程具体如下：
1.条件 设在[a,b]上给出插值条件：
xj
f(xj)
f (xj )m j
x0
f0
m
0
x1
f1
m
1
x2
f2
m
2
…
…
xn
fn
m
n
求三次样条插值函数 S(x)
设法求出
2.求解 mj 的思路
由内部节点上的二阶导数连续求出 考虑S(x)在[xj , xj+1]上的表达式
1°已知两端的一阶导数值，即：
S ( x ) f , S ( x ) f 0 0 n n
2°已知两端的二阶导数值，即：
S ( x ) f , S ( x ) f 0 0 n n
3°当 f(x) 是以 xn-x0 为周期的周期函数时，则要 求S(x)也是周期函数，即
xj
x0
f0
x1
f1
1
x2
f2
2
…
…
xn
fn
n
ห้องสมุดไป่ตู้
f(xj)
f (xj )m j
m
0
m
H 3(x)
m
H 3(x)
m
~ H 3 ( x)
共n-1个等式
x1处: x2处:
H ( x ) H ( x ) 3 1 3 1
得到与m0,m1,m2有关的等式 得到与m1,m2,m3有关的等式
由条件
S ( x 0 ) S ( x 0 ) ( j 1 ,..., n 1 ) j j
2.三次样条插值函数的定义
三次样条函数 +
S(xi) = yi
3. 求解三次样条插值函数的已知条件数和 未知条件数 未知参数个数
已知条件个数
4n
插值条件： n+1 S(x)∈C2[a,b] ：3(n-1) 共 计： 4n-2
缺少条件，通常在插值区间的端点给出，称 为边界条件。
4.常用的三种边界条件
结论：
H (x )y (x )y (x ) 3 k k k 1 k 1 (x y )y (x ) k k k 1 k 1
其中
x xk x xk1 2 k (x) (1 2 )( ) xk1 xk xk xk1 x xk1 x xk 2 k1(x) (1 2 )( ) xk xk1 xk1 xk
s( x ) ( x x
j1
) [h h
2
j 3 j
2 ( x x
j
)]
y )]
j
( x x
j
) [h
2
j
2 ( x h
3 j
x
j1
y
j1
( x x
j1
) h
2 2 j
( x x
j
)
m
j
( x x
j
)
2
( x x
2 j
j1
)
h
m
j1
hj=xj+1-xj
x xk1 2 k ( x) ( x xk )( ) xk xk1 x xk 2 k1 ( x) ( x xk1 )( ) xk1 xk
一、 三次样条的产生和背景
1.问题的产生
实际中有许多计算问题对插值函数的 光滑性有较高的要求，例如飞机机翼 外形、发动机进、排气口都要求有连 续的二阶导数。 显然我们前面介绍的方法 已不能解决这个问题。
对S(x)求二阶导数得：
S ( x ) 6 x 2 x h
j 2 j j 2 j
4 x
j 1
m
j
6 x 4 x h 6( x
j
2 x
j 1
m
j 1
x h
j 1 3 j
2 x )
( y
j 1
y
j
)
4 2 6 于是 S ( x 0 ) m m 2 ( y y ) j j j 1 j 1 j h j h j h j