自然数平方和公式的推导与证明

自然数平方和公式推导过程

自然数平方和公式推导过程在数学的奇妙世界里，自然数平方和公式就像一颗璀璨的明珠，闪耀着智慧的光芒。

今天，咱们就一起来揭开它神秘的面纱，看看这个公式到底是怎么推导出来的。

咱们先来说说啥是自然数平方和。

简单来讲，就是把 1 的平方、2的平方、3 的平方……一直加到 n 的平方。

用数学式子写出来就是 1² + 2² + 3² + …… + n²。

那怎么推导这个公式呢？我先给大家讲个我以前教学生的事儿。

有一次上课，我给学生们出了一道题：计算 1 到 10 的自然数平方和。

结果大家都开始埋头苦算，有的在纸上不停地写，有的皱着眉头苦思冥想。

这时候有个聪明的小家伙，他没有急着去算，而是先观察了一会儿，然后跟我说：“老师，我感觉这里面应该有规律。

”我一听，心里特别高兴，就鼓励他继续想。

咱们回到公式推导哈。

方法一呢，咱们用数学归纳法。

当 n = 1 时，1² = 1，公式显然成立。

假设当 n = k 时，公式1² + 2² + 3² + …… + k² = k(k + 1)(2k + 1) / 6 成立。

那么当 n = k + 1 时，我们有 1² + 2² + 3² + …… + k² + (k + 1)² ，把前面的部分用假设的公式替换，就得到 k(k + 1)(2k + 1) / 6 + (k + 1)²。

经过一系列化简，最终可以得到 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) / 6 ，这就证明了当 n = k + 1 时公式也成立。

所以，对任意的正整数 n，这个公式都成立。

方法二，咱们用立方差公式。

我们知道 (n + 1)³ - n³ = 3n² + 3n + 1 。

把 n 从 1 到 n 依次代入上式，得到：2³ - 1³ = 3×1² + 3×1 + 13³ - 2³ = 3×2² + 3×2 + 14³ - 3³ = 3×3² + 3×3 + 1……(n + 1)³ - n³ = 3×n² + 3×n + 1把这些式子加起来，左边很多项就消掉了，只剩下 (n + 1)³ - 1³。

自然数平方和公式及证明

自然数平方和公式证明1：此式对于任何自然数n都成立。

依次把n=1，2，3,...,n-1,n代入止式可得把这n个等式的左边与右边对应相加，则n个等式的左边各项两两相消，最后只剩下；而前n个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n个自然数的和，第三列是n个1。

因而我们得到。

现在这里对这个结果进行恒等变形可得移项，合并同类项可得即证明2:设12+ 22 + … + n 2 =An 3+Bn 2+Cn+D,令n=1，2，3，4得关于A ，B ，C 。

D 的四元一次方程组，可解得A=C=16 ，B=12 ，D=0，再用数学归纳法证明。

证明3:设f(x)=(1+x)2+ (1+x)3 +… +(1+x)n ,则x 2的系数和为 C 22 + C 23 +… + C 2n=12 [12+ 22 + … + n 2]-12 (1+2+… + n) = 12 [12+ 22 + … + n 2]- -14n(n+1) 又f(x)=(1+x)2-(1+x)n+1x,其中x 2的系数为C 3n+1 ,于是有12 [12+ 22 + … + n 2]- -14 n(n+1)= C 3n+1 ，解得 12+ 22 + … + n 2 = n(n+1)(2n+1)6关于自然数平方和的几个模型归纳法、变换数学公式、组合恒等式等证明外，还可以构造模型来证明示k 个k 之和(图1(1))．旋转此三角形数阵得到另两个三角形数阵(图1(2)、1(3))，每一线段上的数字顺序成等差数列，再重叠三个数阵，则每一点上的数字和为(2n ＋1)．于是透了运动的思想，动静结合，相得益彰．割补、数形结合来证明．(n－1)(2n－1)个单位正方形；再给前n－2层各补(2n－3)个单位正方形，共补(n－2)(2n－3)个；……，最后给第一层补3个，这样添补的单位正模型2数形结合，以形助数，比较直观．而应用映射方法将求和问题映射成几何上的求堆垒总数问题，再利用几何体的割补求和，也体现了化归思想．而添补的立方体个数为1×3＋2×5＋…＋n(2n＋1)，原有立方体个数以上三个均属构造的数学模型，另外还可以构造物理模型，从物理意义上进行探讨．垂线段上分别等距离地放1个，2个，…，n个重量为1个单位的质点．则这些质点对原点的力矩数学知识结构之间的相互联系，为我们解决问题提供了丰富的源泉．数学问题的模型是多样的．通过对不同模型的探讨，将有助于开阔我们的视野，有助于提高我们的分析问题和解决问题的能力．前n 个连续自然数的平方和公式的最新证明方法关于前n 个连续自然数的平方和： )12)(1(61 (222)2321++=++++n n n n 的证明方法很多，这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法，方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教学效果很好. 我们先来计算：321222++=1×1+2×2+3×3，即1个1与2个2与3个3的和。

自然数平方和公式推导

我们把S(n)拆成数字排成的直角三角形：12 23 3 34 4 4 4……n n …… n这个三角形第一行数字的和为12，第二行数字和为22，……第n行数字和为n2，因此S(n)可以看作这个三角形里所有数字的和接下来我们注意到三角形列上的数字，左起第一列是1,2,3,……,n，第二列是2,3,4,……n这些列的数字和可以用等差数列的前n项和来算出，但是它们共性不明显，无法加以利用如果求的数字和是1,2,3,……,n，1,2,3,……,n-1这样的，便可以像求1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+……n)一样算出结果，那么该怎样构造出这样的列数字呢注意上面那个直角三角三角形空缺的部分，将它补全成一个正方形的话，是这样的：1 1 1 (1)2 2 2 (2)3 3 3 (3)4 4 4 (4)……n n n …… n这个正方形所有的数字和为n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2而我们补上的数字是哪些呢？1 1 1 …… 1 (n-1)个的12 2 …… 2 (n-2)个的23 …… 3 (n-3)个的3………n-1又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和T(n)，再用刚才算的正方形数字和减去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。

而这个三角形的每一列数字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……，最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根据等差数列前n项和公式，这个三角形第n列的数字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相当于(12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)……+[(n-1)2/2+(n-1)/2]将各个扩号内的第一项和第二项分别相加，得T(n)=[12+22+32+……+(n-1)2]/2+(1+2+3+……+n-1)/2=S(n-1)/2+(n-1)*n/4=S(n-1)/2+n2/4-n/4也就是说，S(n)=n3/2+n2/2-T(n)=n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4=n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 ……①因为S(n)=12+22+32+……+n2，S(n-1)=12+22+32+……+(n-1)2可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入①式，得到S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/23S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/43S(n)=n3+3n2/2+n/2S(n)=n3/3+3n2/6+n/6上面这个式子就是我们熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)/6另外一种经典的方法设：S=12+22+32+…+n2另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。

自然数平方和公式的推导与证明

※自然数之和公式的推导法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：由 1 + 2 + … + n-1 + nn + n-1 + … + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法”※等差数列求和公式的推导一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。

我们用两种方法表示：①②由①+②，得由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。

2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。

例如：====这两个公式是可以相互转化的。

把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。

第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。

这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

自然数平方和公式的推导与证明（一）12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。

其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。

一、设：S=12+22+32+…+n2=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题另设：S1的关键，一般人不会这么去设想。

有了此步设题，第一：S=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，1(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22)+( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即=2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1)S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：第二：S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：S122+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+(22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3 )由(2)+ (3)得：=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4)S1由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]= n(2n2+3n+1)= n(n+1)(2n+1)S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即：S=12+22+32+...+n2= n(n+1)(2n+1)/6 (5)以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。

自然数平方之和公式推导

自然数平方之和公式推导摘要：1.引言2.自然数平方和公式的推导过程3.结论正文：【引言】在数学领域，自然数平方和公式是一个非常有趣的公式。

它可以帮助我们计算前n 个自然数平方的和，从而为我们解决一些实际问题提供便利。

那么，如何推导自然数平方和公式呢？接下来，我们将详细地介绍自然数平方和公式的推导过程。

【自然数平方和公式的推导过程】我们先从最简单的情况开始，即当n=1 时，自然数平方和公式为：1^2 = 1当n=2 时，自然数平方和公式为：1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5当n=3 时，自然数平方和公式为：1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14通过观察以上例子，我们可以猜测自然数平方和公式的一般形式为：1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2 = (1 + 2 + 3 +...+ n)^2现在，我们需要证明这个猜测。

为了证明这一点，我们可以使用数学归纳法。

首先，当n=1 时，等式成立：1^2 = (1)^2假设当n=k 时等式成立，即：1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ k^2 = (1 + 2 + 3 +...+ k)^2我们需要证明当n=k+1 时等式仍然成立：1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ k^2 + (k+1)^2 = (1 + 2 + 3 +...+ k +(k+1))^2将等式右侧展开：(1 + 2 + 3 +...+ k + (k+1))^2 = (1 + 2 + 3 +...+ k)^2 + 2 * (1 + 2 + 3 +...+ k) * (k+1) + (k+1)^2由于我们已经假设当n=k 时等式成立，所以：(1 + 2 + 3 +...+ k)^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ k^2因此，我们只需要证明：2 * (1 + 2 +3 +...+ k) * (k+1) + (k+1)^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 +...+k^2 + (k+1)^2这可以通过数学归纳法证明。

关于1^2+2^2+3^2+…+n^2的多种推导证明方法

关于1^2+2^2+3^2+…+n^2的多种推导证明方法关于前n 个自然数的平方和公式的证明方法湘西州花垣县边城高级中学-张秀洲在《数列》教学过程中，大家都能熟练掌握前n 个自然数的平方和公式：2222211234(1)(21)6n S n n n n =+++++=++，但多数学生不知道如何去证明与推导，为了能让学生了解书本知识，并能有所拓展，特总结如下几种证明方法，一方面解决学生的疑惑，另一方面能使学生举一反三，有所创新。

在和学生探讨证明方法时，许多学生想到了用数学归纳法。

方法一：数学归纳法当1n =时，左边=211=，右边=11(11)(211)16⨯⨯+⨯⨯+= 左边=右边 ∴1n =时，原式成立.当2n =时，左边=221+25=，右边=12(21)(221)56⨯⨯+⨯⨯+= 左边=右边 ∴2n =时，原式成立.假设n k =时，22221123(1)(21)6k k k k ++++=++成立，则1n k =+时，22222222123(1)1(1)(21)(1)617(1)(1)361(1)(276)61(1)(2)(23)61(1)[(1)1][2(1)1]6k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++=++++=+++=+++=+++=+++++左边左边=右边 ∴1n k =+时，原式成立.22221123=(1)(21)6n n n n ∴++++++方法四：巧用“1”法11(1)1(1)[(2)(1)](1)[(1)(2)(1)(1)]33n n n n n n n n n n n n n n +=⨯+=+--⨯+=++--+122334(1)n A n n ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+111[123012][234123][345234]333=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+1[(1)(2)(1)(1)]3n n n n n n +++--+1[1230122341233452343=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+(1)(2)(1)(1)]n n n n n n +++--+11[(1)(2)012](1)(2)33n n n n n n =++-⨯⨯=++2222123122334(1)(123)n n n n ∴++++=⨯+⨯+⨯+⨯+-++++1(1)1(1)(2)(1)(21)326n n n n n n n n +=++-=++ 方法五：构造法（利用组合公式11m m m n n n C C C -++=）22222223222342224522211124133936416610n n C C C C C C Cn C C +====+=+==+=+==+=+=+把上述n 个等式累加得：222222222232234111(1)(21)12342()26n n n n n n n n C C C C C C C ++++++++++=+++++=+=方法六：平面几何法图中有n 个正方形（边长每次加1）(我只画出5个)，都置于图中最大的矩形中。

自然数平方和公式的推导与证明

※自然数之和‎公式的推导‎法计算1，2，3，…，n，…的前n项的‎和：由 1 + 2 + … + n-1 + nn + n-1 + … + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）可知上面这种加‎法叫“倒序相加法‎”※等差数列求‎和公式的推‎导一般地，称为数列的‎前n项的和‎，用表示，即1、思考：受高斯的启‎示，我们这里可‎以用什么方‎法去求和呢‎？思考后知道‎，也可以用“倒序相加法‎”进行求和。

我们用两种‎方法表示：①②由①+②，得由此得到等‎差数列的前‎n项和的公‎式对于这个公‎式，我们知道：只要知道等‎差数列首项‎、尾项和项数‎就可以求等‎差数列前n‎项和了。

2、除此之外，等差数列还‎有其他方法‎（读基础教好‎学生要介绍‎）当然，对于等差数‎列求和公式‎的推导，也可以有其‎他的推导途‎径。

例如：====这两个公式‎是可以相互‎转化的。

把代入中，就可以得到‎引导学生思‎考这两个公‎式的结构特‎征得到：第一个公式‎反映了等差‎数列的任意‎的第k项与‎倒数第k项‎的和等于首‎项与末项的‎和这个内在‎性质。

第二个公式‎反映了等差‎数列的前n‎项和与它的‎首项、公差之间的‎关系，而且是关于‎n的“二次函数”，可以与二次‎函数进行比‎较。

这两个公式‎的共同点都‎是知道和n‎，不同点是第‎一个公式还‎需知道，而第二个公‎式是要知道‎d，解题时还需‎要根据已知‎条件决定选‎用哪个公式‎。

自然数平方‎和公式的推‎导与证明（一）12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学‎中是用数学‎归纳法证明‎的一个命题‎，没有给出其‎直接的推导‎过程。

其实，该求和公式‎的直接推导‎并不复杂，也没有超出‎初中数学内‎容。

一、设：S=12+22+32+…+n2另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是‎解题的关键‎，一般人不会‎这么去设想‎。

关于1^2+2^2+3^2+…+n^2的多种推导证明方法

关于前n 个自然数的平方和公式的证明方法湘西州花垣县边城高级中学-张秀洲在《数列》教学过程中，大家都能熟练掌握前n 个自然数的平方和公式：2222211234(1)(21)6n S n n n n =+++++=++L ，但多数学生不知道如何去证明与推导，为了能让学生了解书本知识，并能有所拓展，特总结如下几种证明方法，一方面解决学生的疑惑，另一方面能使学生举一反三，有所创新。

在和学生探讨证明方法时，许多学生想到了用数学归纳法。

方法一：数学归纳法当1n =时，左边=211=，右边=11(11)(211)16⨯⨯+⨯⨯+= 左边=右边 ∴1n =时，原式成立.当2n =时，左边=221+25=，右边=12(21)(221)56⨯⨯+⨯⨯+= 左边=右边 ∴2n =时，原式成立.假设n k =时，22221123(1)(21)6k k k k ++++=++L 成立，则1n k =+时，22222222123(1)1(1)(21)(1)617(1)(1)361(1)(276)61(1)(2)(23)61(1)[(1)1][2(1)1]6k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++=++++=+++=+++=+++=+++++L 左边左边=右边 ∴1n k =+时，原式成立.∴对任意n N +∈，2222211234(1)(21)6n S n n n n =+++++=++L 都成立。

数学归纳法步骤简单、计算方便。

但是，归纳法只适用于知道了这个公式“长什么样”后进行理论证明.当初第一个推导出这个公式的人,肯定不是用归纳法,而是通过等式左边的222221234n +++++L ,一步步把右边的1(1)(21)6n n n ++“从无到有”地推算出来的.方法二：观察规律法记22222212()12345,()12345S n n S n n =++++++=++++++L L发现规律 21()()3326S n S n ∴==⋅=方法三：代数推导法由公式33223()33a b a a b ab b +=+++，得33322333322332333223323332233233321(01)0301301112(11)131131111313113(21)232132112323214(31)33313311333331(11)(1)3(1)13(1)1n n n n n =+=+⨯⨯+⨯⨯+==+=+⨯⨯+⨯⨯+=+⨯+⨯+=+=+⨯⨯+⨯⨯+=+⨯+⨯+=+=+⨯⨯+⨯⨯+=+⨯+⨯+=-+=-+⨯-⨯+⨯-⨯L23323321(1)3(1)3(1)1(1)331n n n n n n n +=-+⨯-+⨯-++=+++将以上n +1个等式累加，得：32222(1)3(123)3(123)1n n n n +=⨯+++++++++++L L22223(1)(1)(21)3(123)(1)3122n n n n n n n n +++∴⨯++++=+-⋅++=L22221123=(1)(21)6n n n n ∴++++++L方法四：巧用“1”法11(1)1(1)[(2)(1)](1)[(1)(2)(1)(1)]33n n n n n n n n n n n n n n +=⨯+=+--⨯+=++--+Q122334(1)n A n n ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+L 111[123012][234123][345234]333=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+1[(1)(2)(1)(1)]3n n n n n n +++--+L 1[1230122341233452343=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+(1)(2)(1)(1)]n n n n n n +++--+L 11[(1)(2)012](1)(2)33n n n n n n =++-⨯⨯=++2222123122334(1)(123)n n n n ∴++++=⨯+⨯+⨯+⨯+-++++L L L1(1)1(1)(2)(1)(21)326n n n n n n n n +=++-=++ 方法五：构造法（利用组合公式11m m m n n n C C C -++=）22222223222342224522211124133936416610n n C C C C C C C n C C +====+=+==+=+==+=+=+L把上述n 个等式累加得：222222222232234111(1)(21)12342()26n n n n n n n n C C C C C C C ++++++++++=+++++=+=L L 方法六：平面几何法图中有n 个正方形（边长每次加1）(我只画出5个)，都置于图中最大的矩形中。

自然数平方和公式是如何推导的？

自然数平方和公式是如何推导的？大家都知道自然数前n项和公式：1 2 ... n=n(n 1)/2。

它的推导方法很简单，就是利用所谓的倒序相加法（据传德国大数学家高斯在其读小学的时候就已经独自想出这一方法）。

令Sn=1 2 3 ... (n-2) (n-1) n则Sn=n (n-2) (n-1) ... 3 2 1所以2Sn=(1 n) [2 (n-1)] [3 (n-2)] ... [(n-2) 3] [(n-1) 2] (n 1) (*) 注意到1 n=2 (n-1)=3 (n-2)=...=(n-2) 3=(n-1) 2=n 1也就是说（*）式右边每一项均等于n 1，一共有n项，因此有2Sn=n(n 1)，所以Sn=n(n 1)/2。

即：1 2 ... n=n(n 1)/2。

但是对于自然数前n项的平方和公式，恐怕很多朋友就不是很清楚了，现在推导如下。

首先回顾一个重要公式，两个数的和的立方展开式(a b)^3=a^3 3*(a^2)*b 3*a*(b^2) b^3 所以：(n 1)^3=n^3 3*n^2 3*n 12^3=(1 1)^3=1^3 3*1^2 3*1 13^3=(2 1)^3=2^3 3*2^2 3*2 14^3=(3 1)^3=3^3 3*3^2 3*3 1......(n 1)^3=n^3 3*n^2 3*n 1等式左右两边相加得，消掉相同的立方项得：(n 1)^3=1^3 3*(1^2 2^2 ... n^2) 3*(1 2 ... n) n令Sn=1^2 2^2 ... n^2，则(n 1)^3=1 3Sn 3n(n 1)/2 n化简后易得Sn=n(n 1)(2n 1)/6即：1^2 2^2 ... n^2=n(n 1)(2n 1)/6顺便说一句，利用同样的方法还可以得出1^3 2^3 ... n^3=n^2*(n 1)^2/4=[n(n 1)/2]^2=(1 2 ... n)^2这是一个非常有趣的结论，大家可以自己尝试去证明一下！。

平方的和公式推导过程

平方的和公式推导过程咱们在数学的世界里溜达，经常会碰到各种各样的公式，其中平方的和公式那可是相当重要。

那这公式到底是咋来的呢？咱们一起来瞅瞅。

咱先来说说平方的和公式是啥，就是1² + 2² + 3² + …… + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6 。

那它是咋推导出来的呢？咱们来一步步分析。

咱们先想想，如果要算 1 到 n 这几个连续自然数的平方和，是不是感觉有点头疼？那咱换个思路，从简单的开始。

比如说，咱们先算一下 (k + 1)³ - k³是多少。

展开一下，(k + 1)³ = k³ + 3k² + 3k + 1 ，所以 (k + 1)³ - k³ = 3k² + 3k + 1 。

接下来，咱们让 k 从 1 取到 n ，把这些式子都加起来。

左边就是 2³ - 1³ + 3³ - 2³ + 4³ - 3³ + …… + (n + 1)³ - n³，一消，左边就剩下 (n + 1)³ - 1 。

右边呢，就是3×(1² + 2² + 3² + …… + n²) + 3×(1 + 2 + 3 + …… + n) + n 。

咱们先不看平方和这部分，先瞅瞅 1 + 2 + 3 + …… + n ，这个咱们知道，它等于 n(n + 1) / 2 。

把这个代到刚才右边的式子，整理一下，就能得到 3×(1² + 2² + 3²+ …… + n²) = (n + 1)³ - 1 - 3×n(n + 1) / 2 - n 。

再整理一下，就能求出1² + 2² + 3² + …… + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6 ，这就是咱们要的平方的和公式。

1到n的平方求和公式推导过程

1到n的平方求和公式推导过程好的，以下是为您生成的文章：咱来聊聊从 1 到 n 的平方求和公式的推导过程，这可有意思啦！还记得上学那会，我有个同桌，特别聪明。

有一次数学课上，老师刚提出这个从 1 到 n 的平方求和的问题，大家都还在抓耳挠腮，他就已经开始动笔算了。

咱们先从最简单的开始，1 的平方是 1，2 的平方是 4，3 的平方是9，那 1 到 3 的平方和就是 1 + 4 + 9 = 14。

但如果数字越来越多，这样一个个算可太费劲了，咱得找个规律。

我们先设从 1 到 n 的平方和为 S_n ，也就是 S_n = 1² + 2² + 3²+ …… + n² 。

那咱们来试试用一些巧妙的方法。

我们知道 (n + 1)³ - n³ = 3n² + 3n + 1 。

把 n 依次从 1 取到 n ，得到：2³ - 1³ = 3×1² + 3×1 + 13³ - 2³ = 3×2² + 3×2 + 14³ - 3³ = 3×3² + 3×3 + 1……(n + 1)³ - n³ = 3n² + 3n + 1把这些式子加起来，左边就会消去很多项，只剩下 (n + 1)³ - 1³，右边就是3×(1² + 2² + 3² + …… + n²) + 3×(1 + 2 + 3 + …… + n) + n 。

先看右边中间那部分1 + 2 + 3 + …… + n ，这有个求和公式是 n×(n + 1)÷2 。

把这个代进去，就得到：(n + 1)³ - 1³ = 3S_n + 3×[n×(n + 1)÷2] + n化简一下：(n + 1)³ - 1 = 3S_n + 3n×(n + 1)÷2 + n(n + 1)³ - 1 = 3S_n + 3n²/2 + 3n/2 + n3S_n = (n + 1)³ - 1 - 3n²/2 - 5n/23S_n = n³ + 3n² + 3n + 1 - 1 - 3n²/2 - 5n/23S_n = n³ + 3n² + 3n - 3n²/2 - 5n/23S_n = n³ + 3n²/2 + n/2S_n = [n³ + 3n²/2 + n/2]÷3S_n = n(n + 1)(2n + 1)/6你看，这不就推导出来啦！就像我那个聪明的同桌，他就是靠着这种不断尝试和探索的精神，后来数学成绩一直特别好。

自然数平方和公式的推导与证明

※自然数之和公式的推导法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：由 1 + 2 + … + n-1 + nn + n-1 + … + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法”※等差数列求和公式的推导一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。

我们用两种方法表示：①②由①+②，得由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。

2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。

例如：====这两个公式是可以相互转化的。

把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。

第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。

这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

自然数平方和公式的推导与证明（一）12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。

其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。

一、设：S=12+22+32+…+n2=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题另设：S1的关键，一般人不会这么去设想。

有了此步设题，第一：S=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，1(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22)+( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即=2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1)S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：第二：S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：S122+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+(22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3 )由(2)+ (3)得：=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4)S1由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]= n(2n2+3n+1)= n(n+1)(2n+1)S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即：S=12+22+32+...+n2= n(n+1)(2n+1)/6 (5)以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。

连续自然数平方和公式推导

连续自然数平方和公式推导推导连续自然数数平方和公式有多种方法，今天我们主要用代数法和三角形数阵图法来推导连续自然数求和公式。

代数法推导过程：用代数法推导连续自然数求和公式，我们需要知道以下两个公式。

（1）连续自然数求和公式：这个公式很容易可以证明，就不再赘述。

(2)整数列项公式：对于这个公式，我们可以对每一项作如下拆分。

比如3✖️4=（3✖️4✖️5-2✖️3✖️4）➗33✖️4后面加一个因数5扩大5倍，前面加一个因数2扩大2倍，作减法后扩大3倍，因此后面除以3。

然后把每一项都作上述拆分并相加，相加后几乎所有项都可以抵消，只剩最小的第一项和最大的最后一项，因为第一项是0✖️1✖️2=0，因此省略。

得如上公式形式。

上述从1✖️2开始的整数列项如果用语言表述，就是最后一项后边添一项，然后再除以3.（3）推导过程：把每个平方数拆为两数相乘形式，并把其中一个因数写成一个数减1的形式，或一个数加1的形式。

比如3✖️3=3✖️（4-1）或3✖️3=3✖️（2+1）。

这两种形式选一种即可。

我们选择相减，拆分后如下。

1×(2-1)+2×(3-1)+3×(4-1)+…+n×[(n+1)-1]然后再把括号展开变为如下形式1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)-(1+2+3+4+…+ n)然后按照上面所讲的整数裂项公式和连续自然数求和公式求得结果如下最后通分相减得出公式：这个就是连续自然数求和公式的结果数阵图法推导过程看如下三角形数阵图这个数阵图每一行的和刚好是该行数字的平方，比如倒数第2行，2个2就是2的平方。

因此这个数阵图的所有数字和就是从1开始的连续自然数平方和。

下面我们对数阵图进行变形这三个数阵图的数字一样，只是排列方式不一样，你会发现这三个数阵相同位置的三个数字和都是2n+1,因此这三个数阵图的所有数字和是：(1+2+3+…+n)×(2n+1)。

关于自然数平方和公式的十种证明方法

关于自然数平方和公式的十种证明方法潮阳区谷饶中学张泽锋摘要：在《数列》的教学过程中，大家都能够熟练掌握前n 个自然数的平方和公式：22221123=(1)(21)6n S n n n n =++++++，但涉及到如何进行推导证明，很多学生却无从下手。

为了让学生在理解的基础上掌握数学公式，特收集整理了如下关于自然数平方和公式的十种证明方法，一方面解决学生的疑惑，另一方面以期学生能够举一反三，并有所创新。

关键词：自然数，平方和公式，十种证法，组合数性质，数学归纳法方法一：观察、猜想、数学归纳法证明对于自然数平方和公式的证明，通过观察、分析，得出猜想：2222321n S n ++++= 应该是一个与n 有关的一个多项式，不妨设D n C n B n A S n +⋅+⋅+⋅=23，分别取4,3,2,1=n 时，得到：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧====⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++0612131304166414392752481D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A)12)(1(6161213123++=++=∴n n n n n n S n下面利用数学归纳法进行证明：证明：（1）当1n =时，左边=211=，右边=11(11)(211)16⨯⨯+⨯⨯+=，左边=右边∴当1n =时，原式成立.（2）假设当)(+∈=N k k n 时，22221123(1)(21)6k k k k ++++=++成立，则当1n k =+时，22222222123(1)1(1)(21)(1)617(1)(1)361(1)(276)61(1)(2)(23)61(1)[(1)1][2(1)1]6k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++=++++=+++=+++=+++=+++++左边左边=右边 ∴当1n k =+时，原式也成立.∴由（1）、（2）可知，2222211234(1)(21)6n S n n n n =+++++=++对任意n N +∈ 都成立。

关于1^2+2^2+3^2+…+n^2的多种推导证明方法

关于前n 个自然数的平方和公式的证明方法湘西州花垣县边城高级中学-张秀洲在《数列》教学过程中，大家都能熟练掌握前n 个自然数的平方和公式：2222211234(1)(21)6n S n n n n =+++++=++L ，但多数学生不知道如何去证明与推导，为了能让学生了解书本知识，并能有所拓展，特总结如下几种证明方法，一方面解决学生的疑惑，另一方面能使学生举一反三，有所创新。

在和学生探讨证明方法时，许多学生想到了用数学归纳法。

方法一：数学归纳法当1n =时，左边=211=，右边=11(11)(211)16⨯⨯+⨯⨯+= 左边=右边 ∴1n =时，原式成立.当2n =时，左边=221+25=，右边=12(21)(221)56⨯⨯+⨯⨯+= 左边=右边 ∴2n =时，原式成立.假设n k =时，22221123(1)(21)6k k k k ++++=++L 成立，则1n k =+时，22222222123(1)1(1)(21)(1)617(1)(1)361(1)(276)61(1)(2)(23)61(1)[(1)1][2(1)1]6k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++=++++=+++=+++=+++=+++++L 左边左边=右边 ∴1n k =+时，原式成立.∴对任意n N +∈，2222211234(1)(21)6n S n n n n =+++++=++L 都成立。

数学归纳法步骤简单、计算方便。

但是，归纳法只适用于知道了这个公式“长什么样”后进行理论证明.当初第一个推导出这个公式的人,肯定不是用归纳法,而是通过等式左边的222221234n +++++L ,一步步把右边的1(1)(21)6n n n ++“从无到有”地推算出来的.方法二：观察规律法记22222212()12345,()12345S n n S n n =++++++=++++++L L发现规律 21()()3326S n S n ∴==⋅=方法三：代数推导法由公式33223()33a b a a b ab b +=+++，得33322333322332333223323332233233321(01)0301301112(11)131131111313113(21)232132112323214(31)33313311333331(11)(1)3(1)13(1)1n n n n n =+=+⨯⨯+⨯⨯+==+=+⨯⨯+⨯⨯+=+⨯+⨯+=+=+⨯⨯+⨯⨯+=+⨯+⨯+=+=+⨯⨯+⨯⨯+=+⨯+⨯+=-+=-+⨯-⨯+⨯-⨯L23323321(1)3(1)3(1)1(1)331n n n n n n n +=-+⨯-+⨯-++=+++将以上n +1个等式累加，得：32222(1)3(123)3(123)1n n n n +=⨯+++++++++++L L22223(1)(1)(21)3(123)(1)3122n n n n n n n n +++∴⨯++++=+-⋅++=L22221123=(1)(21)6n n n n ∴++++++L方法四：巧用“1”法11(1)1(1)[(2)(1)](1)[(1)(2)(1)(1)]33n n n n n n n n n n n n n n +=⨯+=+--⨯+=++--+Q122334(1)n A n n ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+L 111[123012][234123][345234]333=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+1[(1)(2)(1)(1)]3n n n n n n +++--+L 1[1230122341233452343=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+(1)(2)(1)(1)]n n n n n n +++--+L 11[(1)(2)012](1)(2)33n n n n n n =++-⨯⨯=++2222123122334(1)(123)n n n n ∴++++=⨯+⨯+⨯+⨯+-++++L L L1(1)1(1)(2)(1)(21)326n n n n n n n n +=++-=++ 方法五：构造法（利用组合公式11m m m n n n C C C -++=）22222223222342224522211124133936416610n n C C C C C C C n C C +====+=+==+=+==+=+=+L把上述n 个等式累加得：222222222232234111(1)(21)12342()26n n n n n n n n C C C C C C C ++++++++++=+++++=+=L L 方法六：平面几何法图中有n 个正方形（边长每次加1）(我只画出5个)，都置于图中最大的矩形中。

自然数平方和公式的论证方法集锦

自然数平方和公式的论证方法集锦一、数学归纳法（1）设$1=1^2,2=2^2##,...$（2）设$n(n+1)(2n+1)=6S_n$（3）证明：将$1^2+2^2+...+n^2$整理成$n(n+1)(2n+1)/6$（4）对$S_1,S_2,...,S_n$这n个元素逐个进行数学归纳法的证明：（a）设$1^2+2^2+...+k^2=S_k$为已证定的结论（b）再设$1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=S_k+(k+1)^2=1^2+2^2+...+(k+1)^2=S_{k+1}$ 二、推导出特殊情形（1）先考虑$n=2$的情况，可以得到$$S_2=1^2+2^2=1+4=5$$（2）化简$$n(n+1)(2n+1)/6=2(2+1)(2x2+1)/6=3(4+1)/6=7$$（3）结论得证：$S_2=5=7$，由此可以证明$$n(n+1)(2n+1)/6=S_n$$ 三、反证法（1）取假设：$$n(n+1)(2n+1)/6≠S_n$$（2）分别将$S_n$表示为以下两种形式：$$S_n=1^2+2^2+...+n^2$$ （3）令$m=1^2+2^2+...+n^2-n(n+1)(2n+1)/6$，则：$$m=0$$（4）结论得证：$m=0$，与前面带入$m$得到的假设结果冲突，因此假设不成立，$$n(n+1)(2n+1)/6=S_n$$四、数学归纳法结合代数律（1）先假设$S_n =1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2$，将n的平方和的公式变成如下形式：$$S_n=(n^2 + n) *n/2$$（2）选取n=2时，计算如下，$$S_2=(2^2 + 2) *2/2=5$$（3）令$m=(2^2 + 2) *2/2-n(n+1)(2n+1)/6$，则：$m=0$，（4）结论得证：$m=0$，此结果等于0，说明公式正确，即$$S_n=n(n+1)(2n+1)/6$$。