自然数平方和公式的推导与证明

※自然数之和公式的推导

法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：

由 1 + 2 + … + n-1 + n

n + n-1 + … + 2 + 1

（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）

可知

上面这种加法叫“倒序相加法”

※等差数列求和公式的推导

一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即

1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？

思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。

我们用两种方法表示：

①

②

由①+②，得

由此得到等差数列的前n项和的公式

对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。

2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）

当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：

=

=

=

=

这两个公式是可以相互转化的。把代入中，就可以得到

引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次

函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道和n，不同

点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

自然数平方和公式的推导与证明（一）

12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。

一、设：S=12+22+32+…+n2

=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题另设：S

1

的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，

第一：S

=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，1

(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22)

+( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即

=2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1)

S

1

=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：

第二：S

1

=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：

S

1

22+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2)

12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2

= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+

(22×n2-2×2×n+1)2

=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n

=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n

=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3 )

由(2)+ (3)得：

=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4)

S

1

由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n

即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n

= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]

= n(2n2+3n+1)

= n(n+1)(2n+1)

S= n(n+1)(2n+1)/ 6

亦即：S=12+22+32+...+n2= n(n+1)(2n+1)/6 (5)

以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。

由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n为最后一位自然数。

由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1为最后一位自然数。

二、由自然数平方和公式推导自然数立方和公式

设S=13+23+33+...+n3. (1)

有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+...+13 (2)

由(1)+ (2)得：2S=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+…+n3+13

=(n+1)(n2-n+1)

+

(n+1)[(n-1)2-2(n-1)+22)

+

(n+1)[(n-2)2-3(n-2)+32)

+

.

.

.

+

(n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+ n2)

即2S=( n+1)[2(12+22+32+…+n2)-n-2(n-1) -3(n-2)-…-n

(n-n+1)] (3)