虚位移原理(精)
虚功原理(虚位移原理)
§5、2虚功原理（虚位移原理）一、虚位移和实位移实位移：由于运动而实际发生的位移 dt v r d= 对应时间间隔dt ，同时满足运动微分方程虚位移：t 时刻，质点在约束允许情况下可能发生的无限小位置变更虚位移是可能位移，纯几何概念（非运动学概念），以i rδ表示（1）特点（本质）：想象中可能发生的位移，它只取决于质点在t 时刻的位置和约束方程，并不对应一段时间间隔（)0=t δ，它是一个抽象的等时变分概念（2）直观意义（求法）：对于非稳定约束，在t 时刻将约束“冻结”，然后考察在约束允许情况下的可能位移，即视约束方程中的t 不变（)0=t δ，对约束方程进行等时变分运算（同微分运算，注意)0=t δ即可得虚位移；对于稳定约束，由于约束方程中不显含t ，“冻结”已无实际意义，等时变分运算与微分运算完全相同。
Example 质点被限制在以等速u 匀速上升的水平面内运动，约束方程为 0=-ut z 0=z δ udt dz =（3）实位移是唯一的，虚位移可若干个；对稳定约束，实位移为若干个虚位移中的某一个；对非稳定约束，实位移与虚位移不一致。
见273p 图5.2－1二、理想约束实功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在实位移rd中所作的功 dW虚功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在任意虚位移rδ中所作的功 W δ其中 i R为第i 个质点受的约束力 若∑=⋅ii i r R 0δ体系所受诸约束反力在任意虚位移中所作元功之和等于零⇒理想约束例如 光滑曲面、曲线约束，刚性杆，不可伸长的绳索等刚性杆约束 022112111='+'-=⋅+⋅r f r f r f r f δδδδ （21f f-= 21f f =； 21r r '='δδ 刚性杆约束所允许） 由于引入了虚位移，巧妙的消取了约束反力（优点 亦是缺点）三、虚功原理（分析力学重要原理之一）（受约束力学体系的力学原理之一）体系受k 个几何约束，在主动力和约束力的共同作用下处于平衡状态，则其中每个质点均处于平衡状态，即 0=+i i R F （2,1=i ……)n 0=⋅+⋅ii i i r R r F δδ⇒对系统求和⇒0=⋅+⋅∑∑i i ii i ir R r Fδδ 对于理想约束∑=⋅ii i r R 0δ 则=W δ0=⋅∑i i ir Fδ∑=++ii iz i iy i ixz F y F x F)(δδδ 虚功原理⇒具有理想约束力学体系，其平衡的充要条件是所有主动力在任意虚位移中所作元功之和等于零 （1717 伯努利）说明：1、由=W δ0=⋅∑i i ir Fδ ，只能求出平衡条件，不能求出约束反力，欲求约束反力i R，需用拉格朗日未定乘数法2、运用虚功原理求平衡条件的方法步骤（1）确定系统自由度，选择合适的广义坐标；（2）将i r表示为广义坐标q的函数，并求出i rδ（i i i z y x δδδ,,）；（3）由虚功原理列出平衡方程，并令αδq 的系数为零，求出平衡条件。
虚位移与虚位移原理
虚位移与虚位移原理虚位移与虚位移原理2010-04-22 10：528.2.1虚位移为了便于理解虚位移的概念，现把虚位移和实位移进行对比阐述。
1实位移--位置函数的微分实位移是质点系在微小的时间间隔内实际发生的位移，可用位置函数的微分表示。
设由n个质点组成的完整约束系统，其自由度为k，选取一组广义坐标，则每个点的位置可用其位置矢径表示。
满足该质点系的约束方程，取其微分(8-4)式(8-4)中，是满足约束条件的增量，是系统受不平衡力系作用而实际发生的微小位移，由动力学方程和运动初始条件确定。
由上式得到的不但是约束许可的，而且其大小和方向还满足运动的初始条件，并有一组惟一的值，称为质点系的一组实位移，而称为质点系的一组广义实位移。
2虚位移--位置函数的变分虚位移是质点系在某瞬时发生的一切为约束允许的微小位移，可用位置函数的变分表示。
(8-5)与实位移不同，虚位移是约束许可的，与主动力和运动初始条件无关的，不需要经历时间的假想微小位移。
在某一时刻，质点的虚位移可以有多个。
系统静平衡时，实位移不可能发生，而虚位移则只要约束允许即可发生。
是质点系的一组虚位移，而称为质点系的一组广义虚位移。
在定常约束下，实位移一定是虚位移中的一个。
如图8.6所示单摆，虚位移可为和，而实位移仅为其一。
但在非定常约束下，实位移一般不可能是虚位移中的一个，如图8.2中所示小球，其实位移中，摆长随时间变化，而虚位移是在固定时刻，摆长不变时的位移，二者显然不同。
思考8-3①试画出思考8-1图(a)中质点B以及图(b)中套筒D的实位移和虚位移。
②试画出图8.5中双摆的虚位移。
3虚位移的计算计算质点系中各点的虚位移以及确定这些虚位移之间的关系涉及质点系的位形变化，内容十分广泛。
这里主要针对定常完整约束的刚体系统，介绍通常采用的几何法与解析法。
例8.1试确定图所示曲柄连杆机构中，A，B两点虚位移之间的关系。
解①几何法。
此处可用求实位移的方法来确定各点虚位移之间的关系。
理论力学教学材料-10虚位移原理
弹性力学中的虚位移分析
05
CHAPTER
虚位移原理的扩展与深化
广义虚位移原理
在经典力学中，虚位移是指在平衡状态下，系统内部各质点间的相对位移。广义虚位移原理则将这一概念扩展到整个力学系统，包括外部作用力、约束条件和能量变化等因素。
广义虚位移的求解方法
通过构建广义坐标和广义速度，将问题转化为求解广义动能的变分问题，进而得到系统的平衡条件和运动方程。
理论力学教学材料-10虚位移原理
目录
虚位移原理概述 虚位移原理的基本理论 虚位移原理的推论与结论 虚位移原理的实例分析 虚位移原理的扩展与深化
01
CHAPTER
虚位移原理概述
定义与概念
虚位移原理
在不受外力的情况下，系统的总虚位移为零。
虚位移
系统内各质点在虚设的外力作用下所发生的位移。
虚功
虚位移与实位移的区别与联系
静力学问题
虚位移原理可以用于解决静力学问题，例如求约束反力、分析刚体的平衡等。通过引入虚位移和虚力，可以将静力学问题转化为求解代数方程的问题。
动力学问题
在动力学问题中，虚位移原理可以用于分析系统的运动状态和受力情况。通过引入虚位移和虚力，可以将动力学问题转化为求解微分方程或积分方程的问题。此外，虚位移原理还可以用于求解约束系统的振动问题、稳定性问题等。
虚位移原理在动力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的实例分析
单个刚体的虚位移分析
总结词
在单个刚体的虚位移分析中，我们关注刚体的位置变化和力的作用。
详细描述
首先，我们需要确定刚体的初始位置和最终位置，然后分析在力的作用下刚体的位移变化。这个过程需要考虑到刚体的转动和移动，以及力和位移之间的关系。
第十四章 虚位移原理
xi δxi xi q1 δq1 ,q2 δq2 , ......,qk δqk
利用多元函数的台劳级数展开，并略去二阶以上的微量，
则有：
xi δxi
xq1 ,q2 ,.....,
qk
xi q1
δq1
xi δq2
......
xi δqk
δqk
xi
δxi
xq1 ,q2 ,.....,
约束与约束方程,自由度与广义坐标
1 约束
在静力学中，曾经将限制某物体运动的其它物体称为 约束，约束对被约束物体的作用表现为约束反力。
现在从运动学的观点来看约束的作用，给约束下一广义 的定义：
如一非自由质点系的位置和速度受到某些预定条件的 限制，这种限制条件称为约束。
y 例如，车轮限制在直线轨迹上作无滑动
由此可见，刚体平衡必要充分条件对一般的非自由质点系 统来说就不是充分的。因此，不能只依靠刚体平衡必要充分条 件去解决非自由质点系的平衡问题。
本章介绍虚位移原理，又称为分析静力学。 虚位移原理是非自由质点系平衡的一般规律，它给出了任 一非作自由质点系平衡的必要与充分条件，是解答平衡问题 的最一般的原理。 刚体在力的作用下不变形，在刚体静力学中仅从作用于刚 体上的力系的简化结果就可得出刚体的平衡条件。 由于非自由质点系中各质点间的相对位置可以改变，并且 相对位置的改变又因约束的存在而受到某些限制，问题较为复 杂。必须首先研究约束对质点运动的影响，以及质点系中各质 点所可能发生的位移等。
2 A
yA
2
xB xA
l12 2 yB
yA
2
l22
o
φ 1
L1 A(xA,yA )
L2
约束为完整约束，所以在
理论力学-虚位移原理
第六章 虚位移原理
§6-3 虚位移·自由度
虚位移
虚位移与实位移的区别：
●与实际发生的微小位移（简称实位移）不同，虚位移是纯 粹几何概念，是假想位移，只是用来反映约束在给定瞬时的 性质。它与质点系是否实际发生运动无关，不涉及运动时间、 主动力和运动初始条件。
●虚位移仅与约束条件有关，在不破坏约束情况下，具有任 意性。而实位移是在一定时间内真正实现的位移，具有确定 的方向，它除了与约束条件有关外，还与时间、主动力以及 运动的初始条件有关。
按照约束对质点系运动限制的不同情况，可将约束分类如下：
1.完整约束和非完整约束
其约束方程的一般形式为
fj( x 1 ,y 1 ,z 1 ;..x n , .y n ;,z n ;x 1 ,y 1 ,z 1 ,..x n. ,y n ;,zn;t)0 (j1,2,...s,)
式中n为系统中质点的个数，s为约束方程的数目。
第六章 虚位移原理
§6-1 概 述
虚位移原理是质点系静力学的普遍原理，它将 给出任意质点系平衡的充要条件，这和刚体静力学 的平衡条件不同，在那里给出的刚体平衡的充要条 件，对于任意质点系的平衡来说只是必要的，但并 不是充分的（参阅刚化原理）。
第六章 虚位移原理
§6-1 概 述
非自由质点系的平衡，可以理解为主动力通过约束的 平衡。约束的作用在于：
fj(x 1 ,y 1 ,z 1 ;.x .n ,.y n ;,z n ;t) 0 (j1,2,..s.),
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
1. 完整约束和非完整约束
y
A
完整约束
约束方程：
x
yA r
关于虚位移与虚位移原理──分析力学扎记之一
关于虚位移与虚位移原理──分析力学扎记之一
虚位移是分析力学中的一个非常有用的概念，它是一种现有的变形模型，可以帮助我们确定结构或体系在受力时的变形情况。
这种模型不仅在工程结构方面，还在许多行业中都用于解决实际应用中的问题。
下面我们就先详细来讲一讲虚位移的原理以及如何使用它。
虚位移的原理很简单，实质上就是计算受力情况下的位移的一种方法。
它的基本原理是，当给结构施加一个力时，每一点将受到一个同等的位移，但这个位移的方向会受到受力的方向的影响而不同。
虚位移的优点是它可以简化计算过程，减少计算量，并可以保证生成的数据准确可靠。
虚位移的具体使用方法首先要明确以下三点：一是确定施加力的方向；二是确定施加力的大小；三是确定每一点体系的位置。
接下来，我们就可以定义每一点在该力作用下的位移。
从定义上来看，虚位移是一个矢量，它由三个分量构成，包括弯杆方向的位移，即径向、轴向和切向位移三个方向。
比如一个弯杆受拉力，应用虚位移的话，拉力的方向已经确定，只需根据方向乘以施加的力的大小定义弯杆上每个点的位移，最终就可以定义出结构的变形情况。
总而言之，可以说虚位移的运用可以大大提高工程结构分析时的计算效率，并可以更好地解决实际应用中的问题。
根据虚位
移原理，我们可以通过求解和分析，正确准确地得出结构在受力情况下的变形情况。
理论力学教学材料-10虚位移原理
虚位移原理的基本假设
虚位移原理假设系统内部的所有约束不受到违反或松弛。这是这一原理应用于求解力学问题的前提条件。
虚位移原理的应用
1
受力分析
通过虚位移原理，我们可以更轻松地进行受力分析，理解并求解力学系统中各个 部分的受力情况。
2
平衡条件
虚位移原理帮助我们建立与求解系统的平衡条件，对于分析平衡或运动过程中的 约束非常有用。
培养分析能力
虚位移原理培养学生分析实际问题的能力，使他们能够从力学的角度独立思考与解决工程问 题。
拓展视野
理论力学教学中的虚位移原理可以帮助学生拓展对力学问题的视野，了解力学规律在实践中 的应用。
虚位移原理的实例分析
梁的弯曲
通过虚位移原理，我们可以推 导出梁的弯曲方程，并求解梁 的挠度与受力分布。
简谐摆动
应用虚位移原理，我们可以分 析简谐摆动的运动特性，并推 导出摆长与周期之间的关系。
弹簧质点系统
虚位移原理可用于分析弹簧质 点系统的受力与变形，推导系 统的运动方程与振动频率。
介绍了虚位移原理的概念、应用及实例分析。继续探索理论力学的更多知识， 可以进一步拓展对虚位移原理的理解与应用。
理论力学教学材料-10虚 位移原理
理论力学中的虚位移原理为我们解决实际问题提供了强有力的工具。本节将 介绍虚位移的概念、基本假设以及其在理论力学教学与实际问题中的应用。
虚位移的概念
虚位移是指系统在力学平衡状态下，对每个可变形约束上的广义坐标作微小的假想位移。通过引入虚位 移，我们可以对系统的平衡条件进行分析与求解。
3
能量方法
虚位移原理也可应用于能量方法中，帮助我们推导系统的稳定性与能量守恒等方 面的结论。
虚位移原理与实际问题的联系
虚位移原理
虚位移原理
虚位移原理是波动理论中的重要概念之一，它用来描述波的传播过程中的位移现象。
根据虚位移原理，当波传播到某一位置时，该位置上的物质并不发生实际的位移，而是被波动所“激发”产生了相对于平衡位置的微弱位移现象。
虚位移原理的提出主要是为了解释波动现象中的一些奇特现象，特别是在波的干涉和衍射现象中的一些观察结果。
在干涉现象中，当两个波相遇时，它们会产生明暗相间的干涉条纹。
根据虚位移原理，这些干涉条纹实际上是由波动所引起的位移造成的，而不是由物质实际的位移所引起的。
因此，虚位移原理解释了为什么在干涉实验中物质并没有发生实际的位移。
在衍射现象中，当波通过一个孔或一个边缘时，波会“弯绕”到非直线传播的路径上。
也是根据虚位移原理，我们可以解释为什么波在通过一个小孔时会扩散开来，形成衍射图样。
根据虚位移原理，通过小孔的波通过“弯绕”的方式传播，使得波的幅度在不同位置上有所变化，从而形成了衍射图样。
总的来说，虚位移原理为我们理解波动现象提供了一个重要的概念和解释框架。
它帮助我们解释了很多波动现象中观察到的奇特现象，并在波动理论的发展中起到了重要的作用。
理论力学13虚位移原理
在分析力学中，拉格朗日方程是描述系统动力学的关键方程。通过应用虚位移原理，可以推导出拉格朗日方程的形式和求解方法。
拉格朗日方程的推导
在分析力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的推导过程
定义
01
虚功是系统在虚位移上所做的功，等于作用力与虚位移的点积。
虚功原理表述
02
对于一个处于平衡状态的力学系统，所有外力在任何虚位移上所做的虚功总和为零。
理论与其他物理场的结合
在多物理场问题中，可以将虚位移原理与热力学、电磁学等领域的基本原理结合起来，以解决更为复杂的工程问题。
对理论的发展和推广
THANKS
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理论力学13虚位移原理
目录
虚位移原理的概述 虚位移原理的基本概念 虚位移原理的应用 虚位移原理的推导过程 虚位移原理的限制和推广
01
CHAPTER
虚位移原理的概述
虚位移
在理想约束条件下，系统发生的微小位移。
虚位移原理
在平衡状态下，系统所受的外力对任意虚位移所做的总虚功为零。
虚功
在虚位移过程中，作用力对机构所做的功称为虚功。
虚速度和虚加速度的推导
05
CHAPTER
虚位移原理的限制和推广
VS
虚位移原理主要适用于分析力学中，特别是对刚体和弹性体的平衡问题进行分析。
限制条件
虚位移原理仅适用于保守系统，即系统中不存在非保守力（如摩擦力）的情况。同时，该原理假定系统处于平衡状态，对于动态问题不适用。
适用范围
适用范围和限制条件
虚位移原理在工程领域中也有广泛应用，如机构分析、机器人学、车辆动力学等领域。
01
02
14.虚位移原理
O l
αA l
β
B
x
3. 混合法:
y xA lcos xA l sin yA l sin yA l cos xB l(cos cos )
P xB l sin l sin yB l(sin sin ) yB l cos l cos
例三. 曲柄滑块机构如图. 试用φ 角的变分表示B、C 点的虚位移.
i1
i1
对于理想约束:
n
F Ni ri 0
i1
n
F i ri 0
i1
( 充分性从略 )
◆:两种常 用的形式:
(1)矢量式
F i
ri
0
(几何法用)
(2) 直角坐标式 ( Fix xi Fiy yi Fiz zi ) 0 (解析法用)
例一. 图示螺旋压榨机. 其手柄上作用一水平面内的力偶, 其矩为2Fl . 设螺杆的螺距为h, 求平衡时作用于被压榨物体上的力. 解: 取系统分析, 设手柄顺力偶的方向
FDx
M b
3Fa b
FDx
M
D xD
将D 处的固定铰支座代之以
yC yB
活动铰支座及铅垂力FDY.
a
a
a
F 给D 处以铅垂虚位移yD, 相
应各处的虚位移如图示
A
C
B
DC 杆呈‘ 瞬时平动’.
b yD
M
D
FDy
yD yC
yB
3 2
yC
由虚位移原理:
FDy yD F yB 0
3 FDy yD F 2 yC 0
re rB sin2
OB
h
由虚位移原理: Msin2 h
F
虚位移原理
同样可得
二、虚位移的计算
或者，由于 为AB的瞬心，故
由正弦定理
16.2
虚 位 移 及 其 计 算
二、虚位移的计算
2、解析法
解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。例如
椭圆规机构如图，坐标
有约束方程
对上式进行变分运算得
16.2
虚 位 移 及 其 计 算
或者把 表示成 的函数，也可求出虚位移间的关系。
因为
作变分运算
所以
比较以上两种方法，可以发现，几何法直观，且较为简便，而解析法比较规范。
选广义坐标为φ
（解析法）
在x、y轴上的 分量：
各质点虚位移之间的关系的几何法
理论力学：第十六章 分析力学基础
16.1.4完整约束与非完整约束
完整约束 —— 约束方程不包含质点速度，或者包含质点 速度但约束方程是可以积分的约束(几何约束以及可以积分的运动约束)；
非完整约束 —— 约束方程包含质点速度、且约束方程不 可以积分的约束(不能积分的运动约束)。
理论力学：第十六章 分析力学基础
在本例中：可以选择 θ 为质点的广义坐标， A的直角坐标可以表示为：
y
x
O
A(x1, y1)
B(x2, y2)
a
b
理论力学：第十六章 分析力学基础
例如:双摆中摆的约束方程只有2个
其确定摆位置的两个坐标X1、X2、Y1、Y2中 只有2个是独立的
所以一般选择2个独立参量来确定摆的位置，
在本例中：可以选择 θ φ为质点的广义坐标， 摆锤的直角坐标可以表示为：
1. 虚位移
x
y
O
虚位移原理及应用
虚位移原理及应用虚位移原理是物理学中的一个基本原理，它描述了物质在受到力的作用下所发生的位移现象。
根据牛顿第二定律，物体受到的合外力等于物体的质量乘以加速度。
而根据虚位移原理，我们可以假设物体在受到合外力的作用下，其位移可以分解为两个部分：实位移和虚位移。
实位移是由物体受力所引起的真实运动，而虚位移则是由虚拟外力所引起的虚拟运动。
虚位移原理可以运用在很多物理问题的求解中，下面就让我们来看几个具体的应用。
1. 力学中的应用：虚位移原理在力学中应用非常广泛。
例如，在弹簧质量系统中，可以利用虚位移原理计算弹簧的变形量。
只需要假设弹簧的变形可以分解为实位移和虚位移，然后利用虚位移原理方程解出弹簧的变形量。
同样地，在弹性体受压缩或拉伸时，我们也可以利用虚位移原理来求解位移量。
2. 静电场中的应用：虚位移原理也可以应用到电场的计算中。
在计算电场中的能量和势能时，我们可以通过假设电荷的位移可以分解为实位移和虚位移，然后利用虚位移原理来求解电场的能量和势能。
3. 磁场中的应用：在磁场中，虚位移原理可以用来计算导线所受力和位移。
例如，在电磁铁中，我们可以通过假设导线上的电流产生的磁场可以导致引力或斥力，从而利用虚位移原理来计算导线所受的力和位移。
4. 光学中的应用：在光学中，虚位移原理可以应用到光线传播的计算中。
例如，我们可以假设光线的传播可以分解为实位移和虚位移，从而计算光线的折射、反射等现象。
总之，虚位移原理是物理学中非常重要的一个原理，它可以帮助我们理解物体在受力作用下的位移现象。
通过应用虚位移原理，我们可以计算弹簧变形、电场能量、磁场力和位移、光学现象等等。
虚位移原理的应用范围广泛，为我们研究物理现象和解决物理问题提供了有力的工具和方法。
因此，掌握虚位移原理对于物理学的学习和应用具有重要意义。
虚位移原理——精选推荐
虚位移原理虚位移原理提供了静力学问题的一种全新的解法，它还是分析力学的基础。
虚位移原理是设计用来消除平衡方程中的约束力，主要是用来求解平衡系统的主动力之间的关系或平衡位置。
另外，通过解除约束，将内力或约束力转化为主动力，则虚位移原理也可用来求解内力和约束力，而且这比以前的列平衡方程的常规方法更有效。
一、力的功元功：力在微小位移上所做的功称为元功。
其数学表达式为：t d W v F ∙=δ或r F d W ∙=δ，其中v 和r d 分别为力F 作用点的速度和微小位移。
变力在曲线路径上做的功可以用曲线积分计算。
等效力系做功定理: 等效力系在刚体的位移上所做的功相等。
即：若},,{},,{11m P P F F n =，则∑∑===mj jn i i P W F W 11)()(。
在计算力的功时，为计算方便，可以利用上述定理。
例如：图4-1(a)所示鼓轮上缠绕有柔索，在力F （大小和方向不变）作用下在地面上纯滚动。
计算在轮心沿直线移动S 距离过程中力F 所做的功。
(a) (b) 图4-1由于力F 的作用点的位移不易计算，我们可将F 平移到轮心，同时附加一力偶M (其力偶矩的大小为=M Fr ,如图4－1b 所示）以保持力系等效，即},{}{M F F =。
新的力系},{M F 在轮心沿直线移动S 距离过程中所作的功较易计算：ϕθM FS W +=cos ，其中：ϕ为圆盘轮心移动S 距离时，圆盘转动的角度，即RS ＝ϕ，于是上式可写成cos SW FS Fr R θ=+⋅ 它等于在轮心沿直线位移S 距离过程中力F 所做的功。
返回主目录二、约束及其分类约束：对质点或质点系运动所加的限制。
如某质点被限制在固定曲面上运动,则该质点就是受到了约束。
约束体对被约束体的运动是通过力的作用(称为约束力)来加以限制的,但是约束与受力是应区别对待的两个不同概念,这可以通过下面的例子来区分.(a)(b) (c)图4-2对图4-2中所示的系统：在(a)中，质点A 被固定在刚性杆上并球铰链连接接在固定点o 。
第9章-虚位移原理资料
2. 虚位移关系分析
在非自由质点系中，不同点的虚位移不是完全独立的。独立虚位移的数目与系统的自由度相等。分析不同点的虚位移之间的关系，用独立的虚位移表示各点的虚位移，是运用虚位移原理的关键环节。 常用的方法有几何法、虚速度法与解析法。
解： （1）主动力与相应虚位移的确定：主动力为操纵杆的拉力F与被夹持物体的对夹钳的压力FN与FN′,二者大小相等，方向相反，如图所示。其余皆为理想约束力。
由于操纵杆EO只能水平平移，所以F的作用点O的虚位移为与F的力线一致的dr。由于夹板AD只能绕点D定轴转动，所以FN的作用点的虚位移为与AD垂直的drN。同理可定drN′ 。由对称性可知
物理坐标： x1,y1,z1 ; x2,y2,z2 ; 约束方程： x12+y12 = a2 z1 = 0 z2 = 0 (x2－x1)2+(y2－y1)2 = b2
广义坐标： a , b 坐标变换： x1 = asina , y1 = acosb , x2 = asina+bsinb , y2 = acosa+bcosb
例9-3 图示机构，在力F和力偶M作用下在图示位置平衡，求力F和力偶M对应的虚位移的关系。
解：此机构是一个自由度的系统，所以只有一个独立的虚位移。
dra、dre、drr分别视为点B的va、ve、vr。由速度合成定理，有
即为
而有
所以所求的虚位移关系为
（2）使用虚位移原理：由虚位移原理，有
系统只有一个独立的虚位移，需分析虚位移的关系。
(a)
（3）虚位移关系的分析： 操纵杆EO只能水平平移，所以铰C的虚位移
夹板AD只能绕点D定轴转动，所以夹板上铰B的虚位移
虚位移原理
虚位移原理
虚位移原理是指在分析物体的运动时，可以把物体的位移看作是由两个独立的分量相互叠加得到的。
这两个分量分别是平移位移和旋转位移。
虚位移原理的应用十分广泛，不仅在物理学中有着重要的地位，而且在工程领域也有着重要的应用。
下面将从物理学和工程领域两个方面来介绍虚位移原理的相关内容。
在物理学中，虚位移原理是描述物体运动的一个重要概念。
在分析物体的运动时，我们可以把物体的位移分解为平移位移和旋转位移。
平移位移是指物体整体上的位移，而旋转位移则是指物体围绕某一点的旋转运动所产生的位移。
通过虚位移原理，我们可以将物体的复杂运动分解为简单的平移和旋转运动，从而更加清晰地理解物体的运动规律。
虚位移原理在刚体力学、动力学等领域有着广泛的应用，为研究物体的运动提供了重要的理论基础。
在工程领域，虚位移原理同样具有重要的应用价值。
例如，在机械设计中，我们经常需要分析机械零件的运动规律，虚位移原理可以帮助我们更好地理解机械零件的运动特性，从而指导设计工作。
此外，在结构分析和材料力学中，虚位移原理也是一个重要的工具，可以帮助工程师们分析结构的受力情况，指导工程设计和施工。
总的来说，虚位移原理是一个十分重要的物理概念，在物理学和工程领域都有着广泛的应用。
通过虚位移原理，我们可以更加深入地理解物体的运动规律，为科学研究和工程实践提供重要的理论支持。
希望本文的介绍能够帮助读者更加深入地理解虚位移原理，并在学习和工作中加以应用。
虚位移(精)
FAx
FAy
m3 g
C2
研究AB 杆和滑块B
x
0
FNB
B F
FAx F 0 ( 2)
m2 g
(2) ( L) (1)
FL M 0
m3 g
a
D
a
F1
a
C
例：结构及其受 力如图所示，求Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ端的约束力偶。
M
A B
F r 0
i 1 i i
n
F2
a
D
a
F1
a
C 将固定端A的约束改为铰链 约束并添加约束力偶MA。
讨论： 哪些约束是理想约束?
1、光滑固定面和可动铰链支座 2、光滑固定铰链和轴承 3、连接物体的光滑铰链 4、二力杆和不可伸长的柔索
' FA
F
i 1
n
Ni
ri 0
A r
A
Foy
O
Fox
FA
FN
B rB
5、刚体在固定面上纯滚动(不计滚阻力偶)
一、虚位移原理(virtual work principle)
B F
m3 g
解：1、分析主动力作用点的虚位移；2、求主动力的虚功之和
rA
A
rC
M
m2 g
F r 0
i 1 i i
2
n
rC
[rA ]AB [rB ]AB
1
m1 g
O
rB
B
F
m3 g
rA rB rA rB L
W 0
FrB M 0
FL M ( FL M ) 0 0 LF M 0
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x y l
2 2
2
方程只与位置r 有关，是几何约束方程。
例 图13-2中，一个半径为r的车轮受到粗糙水 平直线道路的约束，它限制轮心必须作直线运 动，车轮则沿道路纯滚动，它们的约束方程为
yO＝r
vO—r＝0
dxO d r 0 dt dt
方程中包含了轮心的速度O和 车轮的角速度，或轮心坐标 xO和车轮转角对时间t的一阶 导数，因此这是运动约束方程。
k＝6N–s
如果质点系属于平面问题，例如在Oxy平面内， zi≡0，x＝y≡0，则为
k＝3N–s
例：自由刚体系：OA、AB；
自由度 ＝ 3×2 ＝ 6
约束方程： xO 0, yO 0,
x A x A , y A y A , yB 0
约束数 ＝ 5
质点系自由度 ＝ 6 — 5 ＝ 1
k＝3n–s
如果质点系属于平面问题，例如，在Oxy平面内，
zi≡0，则为
k＝2n–s
例：曲柄连杆机构：
自由质点系：A、B；
自由度 ＝ 2×2 ＝ 4
约束方程：
2 2 xA yA r 2 , yB 0
( x A xB ) 2 ( y A y B ) 2 l 2
约束数 ＝ 3
约束方程：用解析表达式表示的限制条件称为。
在静力学中，考虑的是：如何将约束 对物体的限制作用以约束力的形式表 现出来。 在虚位移原理中考虑的是：如何将约 束对物体的位置、形状以及运动的限 制作用，用解析表达式的形式表现出 来。
约束的分类
几何约束和运动约束
定常约束和非定常约束 完整约束和非完整约束 双面约束和单面约束
几何约束和运动约束
几何约束：约束只限制质点或质点系在空间 的位置。 运动约束：如果约束对于质点或质点系不仅有 位移方面的限制，还有速度或角速 度方面的限制，这种约束称为运动 约束。
例 图 13-1 中的单摆，摆 锤M可简化为一质点，受 到水平转轴 O 和摆杆 OM 的约束，且在 Oxy 平面内 绕 O 轴摆动，设摆杆长 l， 则几何约束方程为
定常约束和非定常约束
定常约束：约束方程中不显含时间变量t， 这种约束称为定常约束； 非定常约束：显含时间变量t的约束。
单摆、车轮 的约束，都 是定常约束。
x y l
2 2
2
vO—r＝0
图13-3为一变长度的单摆，摆锤M可简化为 质点，约束它的是一软线。此软线的起始长 度为l0 ，穿过固定在O点上的小圆环，以不 变的速度v0向左下方拉曳，迫使摆锤M在铅 直平面Oxyz内作变摆长的摆动。 在任意瞬时t，其约束 方程为1 , q2 ,, qk )
i 1,2,, n
第二节 虚位移 虚功
第十四章 虚位移原理
第一节 虚位移的基本概念
第二节 虚位移 虚功 第三节 虚位移原理及应用
第一节 虚位移的基本概念
约束和约束方程
约束的分类
自由度 广义坐标
约束和约束方程
自由质点系：质点的运动状态（轨迹、速度等等）只 取决于作用力和运动的起始条件。 其运动称为自由运动。 非自由质点系：质点系的运动状态受到某些预先给定 的限制（运动的起始条件也要满足这 些限制条件） 其运动称为非自由运动。 约束：非自由质点系受到的预先给定的限制。
图示平面双摆由刚体OA、AB及铰链O、 A组成。
N＝2，s＝4， k＝3×2–4＝2。
在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该 系统的自由度数。
设某质点系由n个质点、s个完整约束组成。该 系统有k＝3n-s个自由度。若选择 q1，q2，…， qk作为确定此系统位置的k个广义坐标。
系统任一质点Mi的坐标可以表示为广义坐标的 函数，即 xi xi (q1 , q2 ,, qk ) i 1,2,, n yi yi (q1 , q2 ,, qk ) z z ( q , q , , q ) i 1 2 k i
质点系自由度 ＝ 4 - 3 ＝ 1
质点系自由度 ＝ 自由质点系自由度 - 约束（方程）数
2. 以刚体作为基本单元 设某质点系由N个刚体、s个完整约束组成。一般
地说，要用3N个线位移坐标（例如直角坐标系的三个 直角坐标）和3N个角位移坐标（例如三个欧拉角）， 共计6N个坐标来确定这N个刚体在空间的位置；同时该 质点系还要受到s个约束方程的限制。确定该质点系位 置的独立坐标的数目亦即自由度数k为
约束方程：x 2 y 2 l 2
如改用不可伸长的软线约束，则只 能限制摆锤沿软线受拉方向的运动， 并不能限制摆锤沿软线受压方向的 运动，其约束为单面约束方程
约束方程: x y l
2 2
2
自由度
1. 以质点作为质点系的基本单元
设某质点系由n个质点、s个完整约束组成。在 直角坐标系中，用3n个坐标来确定n个质点在 空间的位置；但该质点系受到s个约束方程的限 制。因此，确定该质点系位置的独立坐标的数 目，即自由度数k为
dt
dt
b是积分常数，由运动的起始条件确定
非完整约束: 如果约束方程中包含坐标对时间 的导数，此导数还不能转换为有限形式，这种 约束称为非完整约束。
双面约束和单面约束
双面约束:约束不仅能限制质点在某一方向的运 动，还能限制其在相反方向的运动。 单面约束:约束只能限制某一方向的运动。 单摆如用摆杆约束，则为双面约束；
x2＋y2＝(l0–v0 t)2
式中显含时间变量t 是非定常约束
完整约束和非完整约束
完整约束: 如果在约束方程中不包含坐标对时间 的导数，或者虽然包含坐标对时间的导数，但是 它可以积分，转换为有限形式， 这种约束称为完整约束。 dxO d r 0 vO—r＝0
xO r b 0
质点系自由度
＝ 自由刚体系自由度 - 约束（方程）数
广义坐标 广义坐标：用来确定质点系位置的独立变参量 称为广义坐标。
若选1和2作广义坐标，则A、B两点的坐标方程为
xA yA xB yB
l1 cos 1 l1 sin 1 l1 cos 1 l2 cos 2 l1 sin 1 l2 sin 2