2014年广州市高中数学教师解题比赛决赛试题及答案

2014年广州市高中数学教师解题比赛

决 赛 试 题

（2014年4月13日上午9∶00－11∶00）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 在每小题给出的四个

选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上．

1．设集合{},,M a b c =，{}0,1N =，映射f ：M N →满足()()()f a f b f c +=，则映

射f ：M N →的个数为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．直角梯形ABCD 中，AB DC ，2AB CD =，45A ∠=

，

2AD =.以直线AB 为轴将梯形ABCD 旋转一周所得旋转体

的体积为

A ．

π328 B ．π3

4

C ．π3210

D ．π24

3．已知()f x 是奇函数，定义域为{}

,0x x x ∈≠R ，又()f x 在区间()0,+∞上是增函数，

且()10f -=，则满足()f x 0>的x 的取值范围是 A ．()1,+∞

B ．()()1,01,-+∞

C ．()0,1

D ．()(),11,-∞-+∞

4．已知虚数z =()2i x y -+，其中x 、y 均为实数，当1z =时，

y

x

的取值范围是 A

．33⎡-⎢⎣⎦

B

．,00,33⎡⎫⎛-⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦

C

．⎡⎣ D

．

)(

⎡⎣

5．设()2

f x x ax b =++，且()112f ≤-≤，()214f ≤≤，则点(),a b 在aOb （O 为坐标

原点）平面上的区域的面积是 A ．

12 B ．1 C ．2 D ．9

2

6．已知向量OP ()2,1=，OA ()1,7=，OB ()5,1=，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标

原点)，那么XB XA ⋅的最小值是

A ．－16

B ．－8

C ．0

D ．4

C

D

B

A

7．等比数列{}n a 的公比为q ，则“10a >，且1q >”是“∀*n ∈N ，都有1n n a a +>”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分又非必要条件

8．若不论k 为何值，直线2y kx b k =+-与曲线2

2

1x y -=总有公共点，则b 的取值范围是

A ．(

B ．⎡⎣

C ．()2,2-

D ．[]2,2-

9．已知集合A 、B 、C ，{}直线=A ，{}平面=B ，B A C =，若A a ∈，B b ∈，C c ∈，

给出四个命题: ①c a b c b a //⇒⎩⎨⎧⊥⊥；②c a b c b a ⊥⇒⎩⎨⎧⊥//；③c a b c b a //////⇒⎩⎨⎧；④c a b c b a ⊥⇒⎩

⎨⎧⊥//，

则正确命题的个数为

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

10．在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛（每两队之间赛两场），已知胜

一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.积分多的前两名可出线（积分相等则要比净胜球数或进球总数）.赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为 A ．22

B ．23

C ．24

D ．25

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卷的相应位置上． 11．已知x 是三角形的一个内角，满足2

3

1cos sin -=

+x x ，则x = * ． 12．已知正三棱锥S ABC -的高为3，底面边长为4，在正三棱锥内任取一点P ，使得

P ABC V -1

2

S ABC V -<的概率是 * ．

13．对于正整数n 和m ，其中n m <，定义!()(2)(3)()m n n m n m n m n km =----…，其中

k 是满足km n >的最大整数，则

=!

20!

1864 * ． 14．有两个向量1(1,0)=e ，2(0,1)=e ，今有动点P ，从0(1,2)P -开始沿着与向量12+e e 相同的

方向作匀速直线运动，速度为12+e e ；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232+e e 相同的方向作匀速直线运动，速度为1232+e e ．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0

Q 处，则当00PQ P Q ⊥

时，t = * 秒．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 15．（本小题满分12分）

若函数21()sin sin cos (0)

2

f x ax ax ax a =-->的图象与直线y m =相切，若函数()f x 图象的两条相邻对称轴间的距离为4

π

． （1）求m 的值；

（2）若点()0,0A x y 是()y f x =图象的对称中心，且00,2x π⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，求点A 的坐标．

16．（本小题满分12分）

一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n ∈*

N ）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．

（1）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；

（2）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；

（3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ，当n 取多少时，P 最大？ 17．（本小题满分14分）

如图所示，正四棱锥P ABCD -中，侧棱PA 与底面ABCD 所成角的正切值为2

6. （1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小；

（2）若E 是PB 中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；

（3）在侧面PAD 上寻找一点F ，使EF ⊥侧面PBC . 试确定F 点的位置，并加以证明.

P

D

E

A

C

B