电动力学习题集答案

电动力学第一章习题及其答案
1、 当下列四个选项:(A 、存在磁单级, B 、导体为非等势体, C 、平方反比定律不精确成立,D 、光速为非普
适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立、 2、 若 a 为常矢量 , r
= (x - x ')i + ( y - y ')
j + (z -
z ')k 为从源点指向场点的矢量 ,
E 0 , k 为常矢量,则
∇⋅(r 2 a
) =∇⋅(r 2 a ) = (∇r ⋅a =
2r ⋅a ,
)⋅a ) = ddrr ∇r ⋅a = 2r r r
2
∇r = (i +j + k ) (x - x ') + (y - y ') + (z - z ') = i +j y-y' + k = rr
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z 2 2 2 x-x' r z-z' r
r ⎛ ⎫ ⎪ 2(x -x ') = (x -
x ') ,同理, ∂ ∂x
(x -x ') 2
+(y - y ') 2 +(z -z ') 2 = r 2 (x -x ')2+(y -y ')2+(z -z ')2
⎝ ⎪
⎪ ⎭
(y -y ') (x -x ') +(y - y ') 2 +(z -z ') ∂ ∂y (x -x ') 2 +(y - y ') 2 +(z -z ') 2 = , ∂ ∂z 2 2 = (z -z ') r r
e e e x x x
∇⋅r = ∂(x-x')
∇⨯ r = + ∂(y-y') ∂y
+ ∂(z-z') = 3
∂z
, ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
x - x ' y - y ' z - z '
= 0, ∂x
∇⋅(a ⨯r )
=a ⋅(∇⨯r ) = 0 ,
) ⨯ r + r ∇ ⨯ r = ∇r 2r ⨯ r = ⨯ r = 0 r ∇ ⨯ rr = ∇( r
1 1 3
r a ,
,∇ ( ⋅ ) = ∂[ a x (x -x' )]
+ ∂[ a y (y - y')] j + [ a z ∂ (z -z')] = a r i k ∂x ∂y ∂z
∇⋅ r =∇ ⋅ + ∇⋅ =- ⋅ + = r r r 1
r 1 r r 3 r
2 3 r ,∇ ⋅ (∇ ⨯ A ) = __0___、 r r
∇ ⋅[E 0 sin(k ⋅
r )] = k ⋅ E 0 cos(k ⋅ r )
= __0__、 ∇ ⋅ (E 0 e ik ⋅r ) =
, 当 r ≠ 0 时 , ∇ ⨯ = (r / r 3)
ik ⋅ E 0 exp(ik ⋅r ) , ∇ ⨯ [rf (r )] = _0_、 ∇ ⋅ [ r f ( r
)] 3f (r )+r df (r )
dr
s
3、 矢量场 f 的唯一性定理就是说:在以 为界面的区域V 内,若已知矢量场在V 内各点的旋度与散
度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则
在 内唯一确定、 f V ∂ρ = 0 ,若 J
为稳恒电流情况下的电流密度 ,则 J 满足
4、 电荷守恒定律的微分形式为 ∇⋅ J + ∂t
∇ ⋅ J = 0 、
5、 场强与电势梯度的关系式为, E = -∇ϕ 、对电偶极子而言 ,如已知其在远处的电势为
ϕ = P ⋅ r
/(4πε 0
r ⎛ 4πε 0 ⎝ ⎫ E = 1 3(P ⋅r )r
- P
3
) ,则该点的场强为 ⎪ ⎪ 、 r 5 r 3
⎭
a (r > a ) 任意一点 D 的散度为 0,
Q 6、 自由电荷 均匀分布于一个半径为 的球体内,则在球外
内 (r < a )任意一点 D 的散度为 3Q / 4π a 3 、
ar
br 7、 已知空间电场为 E = + 3 (a ,b 为常数),则空间电荷分布为______、
r
r 2
ar
1 r 1 ∇ = - 3 ⇒ E = -b ∇ ⇒
r r r 2 r 2 1 a ∇⋅r - 2r ⋅∇r + 4πb δ(r )]
ρ = ε 0∇⋅E = ε 0(∇⋅ arr 2 -b ∇ r ) = ε 0[ r 2 r 3
3a 2r ⋅r + 4πb δ(r )]⇒ ρ = ε 0[ a 2 + 4πb δ(r )] = ε 0[ - r 2
r 4 r
a
8、 电流 I 均匀分布于半径为 的无穷长直导线内,则在导线外 (r > a ) 任意一点 B 的旋度的大
小为 0 , 导线内 (r < a )任意一点 B 的旋度的大小为 μ 0I / πa 2 、
D ε
9、 均匀电介质(介电常数为 )中 ,自由电荷体密度为 ρ f 与电位移矢量 的微分关系为
∇ ⋅ D = ρ f , 束缚电荷体密度为 ρ P 与电极化矢量 的微分关系为 ∇ ⋅ P = - ρ P ,则
P ρ = - ε - ε 0 ρ 、
f ρ P 与 ρ f 间的关系为 P ε
10、 无穷大的均匀电介质被均匀极化,极化矢量为 P ,若在
σ = -(P - P )
θ 2
1
R
= -(P cos θ - 0)
介质中挖去半径为 R 的球形区域,设空心球的球心到球 P
= - P ⋅R
面某处的矢径为 R ,则该处的极化电荷面密度为
R
- P ⋅ R / R 、
q ε 11、 电量为
的点电荷处于介电常数为 的均匀介质中,则点电荷附近的极化电荷 为 (ε 0 / ε - 1)q 、
H 12、 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为 J f ,磁化电流密度为 J M ,磁导率 ,磁场强度为 ,磁
μ 化强度为M ,则∇⨯ H = J
f ,
∇⨯ M =
J M , J
M 与J f 间的关系为
J
= (μ
/ μ 0 - 1)J f
、
M
13、 在 两 种 电 介 质 的 分 界 面 上 , D , E 所 满 足 的 边 值 关 系 的 形 式 为 n ⋅(D
2
- D
1
)=σ
f
,
- 1 -
n ⨯(E
2
- E
1
)= 0、
ε
14、 介电常数为 的均匀各向同性介质中的电场为 E 、 如果在介质中沿电场方向挖一窄缝 ,则缝中
电场强度大小为 E 、
ε
15、 介电常数为 的无限均匀的各项同性介质中的电场为 E ,在垂
1 n
2
直于电场方向横挖一窄缝,则缝中电场强度大小为________、
E
⎧D 2n - D 1n = 0 ⇒ ⎧ ⎨ ⎩
εE = ε 0E 缝 E 2τ = E 1 sin θ1 = 0 ⇒ E 缝 = εE / ε 0 , 、 E E
⎨ E 2τ - E 1τ = 0 ⎩ 16、 在半径为 R 的球内充满介电常数为ε 的均匀介质,球心
处放一点电荷,球面为接地导体球壳,如果挖去顶点在球 心的立体角等于 2的一圆锥体介质,则锥体中的场强与介 质中的场强之比为_1:1_、
E
σ1
n
E
2
ε
1
R
σ 2
极化电荷
D 2n = D 1n = 0 ⇒
E 1 = E 1τ = E 2τ = E 2 ⇒ E 1 : E 2 = 1:1
自由电荷
17、 在半径为 R 的球内充满介电常数为ε 的均匀介质,球心处放一点电荷,球面为接地导体球壳,
如果挖去顶点在球心的立体角等于 2 的一圆锥体介质,锥体处导体壳上的自由电荷密度与介质 附近导体壳上的自由电荷密度之比为ε 0 / ε 、
⎧ ⎨ ⎩ D 2n = D 1n = 0 E = E 1τ = E 2τ = E 2
σ = σ 1
D ε 0 D 2 ε 内球面上 ⇒ 1
= ⇒ ε 0 2 ⇒ σ 1 :σ 2 = ε 0 :ε ε 1
18、 在 两 种 磁 介 质 的 分 界 面 上 , H , B 所 满 足 的 边 值 关 系 的 矢 量 形 式 为
n ⨯ (H 2 - H 1)= α f ,
n ⋅ B 2 - B = 0 、
( ) 1
I μ2
19、一截面半径为 b 无限长直圆柱导体,均匀地流过电流 I ,则储存在单位长度导 μ1
体内的磁场能为__________________、
r
B ⋅ 2πr = μ 0I ππr 22
⇒ B = b
μ Ir
2
, 0 2πb
22πrdr =⎰
b 0 2μ0
b W =⎰
B μ I 2r 2 2 2πrdr =⎰ μ0I 2r 3dr
4πb 4
= μ0I 2b 4 16πb 4 = μ0I 2
16π
1
2μ0
1 0
4π 2b 4 0
20、在同轴电缆中填满磁导率为 μ1,μ 2的两种磁介质,它们沿轴各占一半空间。

设电流为 I (如图),
- 2 -。