数的开方复习课教案与知识点梳理
八年级上华东师大版数的开方全章教案
八年级上华东师大版数的开方全章教案一、教学目标：1. 让学生掌握数的开方概念，理解平方根、立方根的定义。
2. 培养学生运用数的开方解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新精神。
二、教学内容：1. 平方根的概念及求法。
2. 立方根的概念及求法。
3. 数的开方在实际问题中的应用。
三、教学重点：1. 平方根、立方根的定义及求法。
2. 数的开方在实际问题中的应用。
四、教学难点：1. 平方根、立方根的求法。
2. 数的开方在实际问题中的应用。
五、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索、发现问题。
2. 运用实例讲解，让学生直观理解数的开方概念。
3. 利用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
4. 进行课堂练习，及时巩固所学知识。
第1课时：数的开方概念导入1. 导入新课：讲解数的开方在实际生活中的应用，引发学生对数的开方的兴趣。
2. 讲解平方根的概念：介绍平方根的定义，举例说明平方根的求法。
3. 讲解立方根的概念：介绍立方根的定义，举例说明立方根的求法。
4. 课堂练习：让学生独立完成平方根、立方根的求解练习。
第2课时：数的开方计算方法1. 复习上节课的内容，提问学生对平方根、立方根的理解。
2. 讲解平方根、立方根的计算方法：介绍算术平方根、立方根的求法。
3. 举例演示：利用计算器验证平方根、立方根的计算结果。
4. 课堂练习：让学生独立完成平方根、立方根的计算练习。
第3课时：数的开方在实际问题中的应用1. 讲解数的开方在实际问题中的应用：举例说明数的开方在几何、物理等方面的应用。
2. 让学生尝试解决实际问题：给出实际问题，让学生运用数的开方进行解答。
3. 课堂练习：让学生独立完成数的开方在实际问题中的应用练习。
第4课时：数的开方与完全平方公式1. 讲解完全平方公式的推导过程：引导学生利用数的开方推导完全平方公式。
2. 让学生掌握完全平方公式的应用：举例说明完全平方公式的运用。
3. 课堂练习：让学生独立完成完全平方公式的应用练习。
数的开方复习)教案
数的开方复习教案教学目标：1. 理解数的开方的概念和性质；2. 掌握数的开方的基本运算法则；3. 能够运用数的开方解决实际问题。
教学内容：一、数的开方的概念和性质1. 引入数的开方概念，解释平方根、立方根等；2. 探讨数的开方的性质，如正数的开方是正数，负数的开方是负数等。
二、数的开方的基本运算法则1. 介绍数的开方的基本运算法则，如同底数幂的除法、乘法等；2. 通过例题讲解和练习，使学生熟练掌握这些法则。
三、数的开方在实际问题中的应用1. 引入实际问题，如计算面积、体积等；2. 演示如何运用数的开方解决这些实际问题；3. 学生练习解决类似问题。
四、数的开方与乘方的关系1. 探讨数的开方与乘方的关系，如平方根与平方的关系等；2. 通过例题和练习，使学生理解并能够运用这种关系。
五、数的开方在各数域中的应用1. 介绍数的开方在实数域中的应用，如物理、化学等；2. 引导学生思考数的开方在复数域中的应用。
1. 采用讲解和练习相结合的方式，让学生掌握数的开方的概念和性质；2. 通过例题和实际问题，引导学生运用数的开方解决实际问题；3. 提供充足的练习机会，帮助学生巩固数的开方的基本运算法则。
教学评估：1. 课堂练习：及时检查学生对数的开方的理解和掌握程度；2. 课后作业：布置相关的习题，巩固学生的学习成果；3. 单元测试：定期进行测试，评估学生对数的开方的掌握情况。
教学资源：1. 教学PPT：展示数的开方的概念、性质和运算法则；2. 练习题库：提供充足的练习题，供学生巩固学习内容；3. 实际问题案例：用于引导学生运用数的开方解决实际问题。
教学时间：1课时（45分钟）教学步骤：1. 引入：通过数轴或实物展示，引导学生回顾数的开方的概念和性质；2. 讲解：讲解数的开方的基本运算法则，并通过例题进行演示；3. 练习：学生练习解决一些数的开方的问题，教师进行指导和解答；4. 应用：引入实际问题，引导学生运用数的开方解决这些问题；扩展活动：1. 组织小组讨论，探讨数的开方在实际问题中的应用；2. 布置研究性学习任务，让学生深入研究数的开方在各数域中的应用。
《数的开方》全章复习与巩固--知识讲解(基础).doc
《数的开方》全章复习与巩固一知识讲解（基础）【学习目标】1.了解平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；了解开方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；2.理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化；3.能用适当的有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点一：平方根和立方根项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示±4a需性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论(V^)2 = a{a > 0)[~a(a < 0)(Va)3=a= 丽要点二：实数冇理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分:［拓［正有理数 止数2 ［正无理数 实数Jo要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数.其中有限小数和 无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数.（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如厉，迈等；②有特殊意义的数,如兀;③有特定结构的数，如0. 1010010001…（3） 凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4） -------------------------- 实数和数轴上点是 对应的. 2. 实数与数轴上的点的对应关系数轴上的任何一个点都对应一个实数,反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之 对应，即实数与数轴上的点一一对应.3. 实数的三个非负性及性质在实数范南内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1） 任何一个实数d 的绝对值是非负数，即丨。
数的开方、二次根式复习
值范围常转化为不等式（组）.
二 二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 2.已知x,y为实数,且 x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
方法：分母有理化
4．二次根式的运算 a b ＝___a_b__(a≥0，b≥0)；
a b
a ＝__b__(a≥0，b>0)．
二次根式加减时，可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__， 再将__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
考点分类
一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
∵16﹤17﹤25
∴4﹤ 17 ﹤5
则 - 5﹤ 17 ﹤- 4 所以b = - 4
∴a – b = 5 - ( - 4 ) = 9 a – b的平方根为±３
知识梳理
二 次 根 式
二次根式
三个概念 最简二次根式
两个公式
两个性质 四种运算
同类二次根式
1. ab a ba 0,b 0
4、实数与数轴：
知 识
无限不循环小数叫做无理数。
如：2，3，5，，3 2，3 3 ,2.030030003……等。
要 5.有理数与无理数统 有理数有限小数或无限循环小数
实数
负有理数
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
A.3
B.-3
C.1
D.-1
二 二次根式的非负性的应用
4. 若实数 x，y，m 满足等式 3x 5y 3 m +（2x+3y﹣m）2=
数的开方(复习)教案
数的开方(复习)教案八年级数学（上）教案第十二章数的开（复习）教学目标：1.掌握平方根、算术平方根、立方根的概念，正确理解平方根、算术平方根的联系与区别。
2.会用平方、立方的概念求某些数的平方根和立方根，并会用根号表示。
从而理解乘方与开方互为逆运算的关系。
3.了解无理数和实数的概念，知道实数的分类，建立实数与数轴上的点一一对应的数学思想。
4.能估计某些无理数的大小，培养数感与估算能力。
5.会进行简单的实数运算，并能以此解决一些实际问题，提高应用能力和解决问题的能力，从中体会数的运用价值。
教学重点：平方根、立方根、实数的概念、性质及应用教学难点：综合解决问题的能力教学过程：一.出示课题、目标今天我们一起来复习第12 章《数的开方》，通过本节学习，同学们要完成以下几个目标：上面的1.2.3.4.5二．指导学生自学：复习P1—P10, 时间（5分钟），结合下面提示:1.什么叫一个数a的平方根？算术平方根？怎样表示？其中a可以表示什么数？2.什么叫一个数a的立方根？怎样表示？其中a可以表示什么数？3.任何实数都有平方根吗？平方根有什么性质？任何实数都有立方根吗？立方根有什么性质？4.什么叫无理数？常见的无理数有几种形式？你能举出来吗？5.什么叫实数？实数如何分类？实数与数轴上的点有什么关系？6.实数a的相反数、倒数、绝对值的意义、以及实数的运算法则、运算律与有理数的一样吗？三、学生自行复习，教师巡视指导。
1.学生自学，讨论2.老师巡视四、检查验收学习效果教师点拨：（一）知识要点：1.平方根:若x2 = a, 则x叫做a的平方根.记作x = ±a（a≥0）算术平方根:正数a的正的平方根;记作a（a≥0）[注意]：当a≥0时，a≥0性质：（1）正数有两个平方根，且互为相反数。
（2）零只有一个平方根。
（3）负数没有平方根。
（C ）2.144.1-=- （D ）2.144.1±=3．若 ()227.0-=x ，则 x =（ ） (A) －0.7 (B) ±0.7 (C) 0.7 (D) 0.494．36 的平方根是（ ）（A ）6 （B ）±6 （C ）6 （D ）6±5.下列语句正确的是（ ）（A ）如果一个数的立方根是它本身，那么这个数一定是零；（B ）一个数的立方根不是正数就是负数；（C ）负数没有立方根；（D ）一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零。
数的开方复习教案
数的开方复习教案一、知识点：1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。
正数a 有两个平方根，它们互为相反数，记作±a ，a 称为被开方数．0的平方根只有一个，就是0，记作0＝0．负数没有平方根。
2、算术平方根：正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”．性质： ①正数有一个正的算术平方根。
②0的算术平方根是0 ③负数没有平方根，当然也没有算术平方根。
（4）a 的双重非负性 ①首先，a 要有意义，首先被开方数必须是一个非负数。
②其次，a 表示一个非数的算术平方根，它的值不可能是一个负数，即它的值是一个非负数。
综上： a 中 a ≥0 a ≥0 （5）初中所学的三类非负数 ⅰ：绝对值非负即|a|≥0 ⅱ：偶次方非负即a 偶次≥0 ⅲ：算术平方根非负即当a ≥0时 a ≥03、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根．4、立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根。
任何数（正数、负数或零）都有一个立方根．数a 的立方根，记作3a ，读作“三次根号a ”，a 称为被开方数，3称为根指数。
5、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
6、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
7、实数：有理数与无理数统称为实数。
8、实数与数轴上的点一一对应．二、知识点应用：1、49的平方根是 ，算术平方根是 .2、5是 的平方根，-9的平方根 .3、1是 的立方根，-1是 的立方根.4、-27的立方根是 ，0的立方根是 .5、若某数的一个平方根是2，则这个数是 ，它的另一个平方根是 .6、若某数的立方根是-3，则这个数是 .7、如果一个实数有且只有一个平方根，那么这个数是 .8、如果一个实数有且只有一个立方根，那么这个数是 .9、数轴上表示5-的点与原点的距离是________；10、2-的相反数是 ，3的倒数是 ，13-的相反数是 ；11、81的平方根是______，4的算术平方根是_______，12_______10_________,112561363=-=--，2224145-= ；13、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是 ；14、当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义；16、已知0)3(122=++-b a ，则=332ab ； 17、在实数0、3、6-、236.2、π、723、14.3中无理数的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、418、36的平方根是（ ）（A ）6 （B ）±6 （C ）6 （D ）6±19、一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（ ）．（A ） 1 （B ） 0 （C ） -1 （D ）1，-1或020、数3.14，2，π，0.323232…，71，9，21+中，无理数的个数为（ ）． （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个21、下列等式：①81161=，②()2233-=-，③()222=-，④3388-=-⑤416±=，⑥24-=-；正确的有13.已知212104a b ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，则a b =________．22、若一个正数的平方根分别是21a -和2a -+，则a = ，这个正数是23、若式子错误！未找到引用源。
11.3《数的开方》复习课教案
《数的开方》复习课教案教学目标1．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的平方根或立方根；2．会用计算器进行数的加、减、乘、除、乘方及开方运算；3．了解无理数的意义，会对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义；4．了解实数与数轴上的点一一对应，了解有理数的运算律适用于实数范围．会按结果所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数进行实数的四则运算．教学重难点1．平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义； 2．算术平方根的意义及实数的性质．教学准备课件、计算器．教学过程一、知识疏理,形成体系（课前要求学生对本章知识进行总结） 师：本章的主要内容是开方运算．从定义出发解题是解本章有关题目的基本方法，我们注意掌握用计算器进行数的计算的方法的同时，还必须注意区分清楚有理数与无理数的概念，掌握实数的四则运算．下面，我们以组为单位小结一下本章的知识点．生：我们认为这一章主要学习了一种新的运算——开方，开方与乘方是互为逆运算的关系．开方包括开平方与开立方．通过开平方可求一个非负实数的平方根；通过开立方可求一个实数的立方根．依据这一思路，我们画出的知识结构图是：()⎩⎨⎧−−−−−→←立方根开立方算术平方根平方根开平方开方乘方互为逆运算________ 师：好!他们组是以运算为线索总结的，侧重总结了开方运算，还有补充吗？ 生：我们认为平方根、算术平方根、立方根的定义、性质也都非常重要．因此我们是这样总结的：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−−−→←.00;;___00;.;00:,的立方根是方根负数有一个负的立方根正数有一个正的立性质定义立方根开立方的算术平方根是的正的平方根正数性质定义算术平方根负数没有平方根的平方根是们互为相反数根一个正数有两个平方性质定义平方根开平方开方乘方互为逆运算a 师：当求一个非负数的平方根时，可能会出现无理数，使得数的范围从有理数扩大到实数，所以实数的意义、分类以及相关的内容也需总结．生：我们是这样总结的：1．分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数负有理数正有理数有理数实数02．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点又都可以表示成一个实数，它们之间是一一对应的．师：有理数都可以表示成有限小数或无限循环小数．无理数是无限不循环小数，它不能表示成分数形式，任何一个无理数，都可以用给定精确度的有理数来近似地表示．二、强化基础，巩固拓展．（也可以由学生提出典型薄弱题型进行讲解） 1．求下列各数的平方根：（1）972；（2）25；（3）252⎪⎭⎫ ⎝⎛-． 师：本题要审清是求哪个实数的平方根，只有非负实数才有平方根． 生：（1）是求925的平方根；（2）是求5的平方根；（3）是求254的平方根． 由学生独立完成．2．x 取何值时，下列各式有意义．（1）x -2； （2）12+x ．师：a 在什么情况下有意义？生：对于a ，必须满足a ≥0，它才有意义，所以被开方数必须是非负数． （1）2－x ≥0；（2）x 2＋1≥0．师：如何求出x 的范围呢？生：我们讨论后，得出如下结论：（1）x ≤2；（2）不论x 取什么实数，x 2≥0，x 2＋1＞0，即x 的取值范围是：x 为全体实数．3．求下列各数的值：（1）()23π-；（2）122+-x x （x ≥1）．师：如何化简2a 呢？生：我们认为首先应考虑2a 中a 的范围．（1）当a ≥0时，2a ＝a ；（2）当a ＜0时，2a ＝－a ．师：求下列各数的值，必须先确定a 的范围．生：因为3－π＜0，所以()23π-＝－（3－π）＝π－3．师：如何化简122+-x x 呢？生：将122+-x x 化为2a 的形式，即()22112-=+-x x x再考虑x －1的范围，由学生独立完成．4．已知：|x －2|＋3-y ＝0，求：x ＋y 的值．师：认真审题，考虑一下所给的这些数有什么特点．生：|x －2|和3-y 都是非负数．师：两个非负数的和可能是0吗？生：只有当两个非负数都取0时，其和才为0，其他情况下，都大于0． 由学生独立完成．师：哪些数为非负数呢？生：实数a 的绝对值，表示为|a |，|a |是非负数；实数a 的平方，表示为a 2，a 2是非负数；非负实数a 的算术平方根表示为a ，a 是非负数．师：非负数有什么特点？生：（1）几个非负数的和仍为非负数；（2）若几个非负数的和为0，则每一个非负数都必须为0．师：绝对值、平方数、算术平方根都是非负数，解题时要注意这一隐含条件，不可把0漏掉．5．计算：32725-+（精确到0.01）． 师：无理数是开方开不尽的数，那么如何计算呢？生：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算． 因为精确到0.01，所以在计算过程中可用2.236代替、5，1.732代替3． 由学生独立完成．6．在实数2-、13.0 、3π、71、0.80108中，无理数的个数为_______个． 师：如何判断一个数是无理数？生：一个无理数不能表示成分数形式，或者说成数位无限，且不循环． 7．|x |＜2π，x 为整数，求x师：|x |＝2π，x 的值是多少？生：当x ＝2π，x ＝－2π时，|x |＝2π，所以|x |＜2π时，x ＝±2π．师：|x |＝2π的含义？生：实数x在数轴上所对应点到原点的距离等于2π．师：|x|＜2π的含义呢？生：实数x在数轴上所对应点到原点的距离小于2π．师：结合数轴，你能说出满足|x|＜2π这一条件的点在数轴的什么位置上吗？生：→在如图所示的范围内，因为x为整数，所以x＝6、5、4、3、2、1、0、－1、－2、－3、－4、－5、－6．师：非常好!三、查缺补漏，归纳提升．1．通过今天的探究学习，你们有哪些收获？2．非负数的和等于零的条件是：当且仅当每个非负数的值都等于零．此性质在解题时经常会被用到．3．对于本章的内容你还有那些疑问？四、作业1．教科书第15页复习题A组五、板书设计第11章数的开方1．知识疏理2．巩固训练3．归纳提升六、教学反思（略）七、课堂小卷一、填一填:1.16的平方根记作_______,等于________.16________.-=________.3.31-23(1)_______.55.两个无理数的和为有理数,这两个无理数可以是______和_______.6.若│x 2-则x=_______,y=_______.7.已知x 的平方根是±8，则x 的立方根是________.二、选一选:8.4的平方根是（ ）A.2B.-2C.±2 9.下列各式中,无意义的是（ ）B. 10.下列各组数中,互为相反数的一组是（ ）A.-2与B.-2C.-2与-12D.│-2│与2 11. 下列说法正确的是 （ ）A.1的平方根是1;B.1的算术平方根是1;C.-2是2的平方根;D.-1的平方根是-1三、做一做：12. 求下列各数的平方根:（1）81;（2）1625;（3）1.44;（4）214; （513. 求下列各式中的x:①x 2=1.21; ②27（x+1）3+64=0.14. a≥0a 的算术平方根.由此你会求下列各式有意义时x 的取值范围吗？试试看:（1 （2; （3 （415.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求a+2b 的平方根.。
华师大版八年级上册《第11章-数的开方》复习课教案
《第11章数的开方》复习课教案四川省眉山市东坡区东坡中学严光霞教学目标（核心素养）：知识与技能：1、了解平方根、立方根的概念，会用平方运算求某些非负数的平方根、算术平方根；会用立方运算求某些数的立方根。
2、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
3、会进行实数大小比较与运算，能估算无理数。
过程与方法：1、通过引导学生梳理本章知识，让学生建构本章的知识体系。
2、通过考点分析，错例剖析，培养学生观察、分析、比较和运用知识综合解决问题的能力，渗透分类、数形结合等数学思想和方法。
情感态度与价值观：通过复习课的教学，培养学生动脑、动手的良好习惯和勇于克服困难探索知识的信心和勇气。
教学重点：平方根、立方根的概念及性质的运用及实数的概念与运算，形成本章的知识体系。
教学难点：概念解析及解题思想方法的点拨。
教学过程：一、知识引领：（一）教师引导学生理清本章的知识脉络。
学段：小学初一初二初三、高中数：正数和0 有理数实数……运算：加、减、乘、除乘方开方……（二）教师引导学生回顾本章知识要点：知识要点：1、平方根与立方根：，其中a0。
= =、实数：（1）无理数： 叫无理数。
常见形式： 。
223.14157π-、这5个实数中，无理数有 。
（2）实数： 和 统称实数。
（31 实数2 实数3、 与数轴上的点一一对应。
4、有理数的相关概念与性质及运算在实数范围内仍然适用。
设计意图：通过教师引导学生回顾本章节知识要点，让学生理清本节的知识脉络，对知识加深理解。
二、考点分析：（一）求平方根与立方根例1、（1）9的平方根是 ，算术平方根是 ， 278-的立方根是 。
（2）327-= ，()72--= 。
（3）()52-的平方根是 ，16的平方根是 ，±64的立方根是 。
例2、已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是2，则 a+2b= 。
（二）a 的非负性的运用()=+=++-+-z x ，z y x 、y 求若例033132。
数的开方小结与复习 公开课教学设计
《数的开方》小结与复习一、教学目标1、了解平方根、算术平方根、立方根以及实数的概念，能熟练地应用，了解实数与数轴上的点一一对应，了解有理数运算在实数范围内仍然适用，会使用计算器求平方根和立方根。
2、经历探索从有理数到实数的扩充过程，体会实数的实际意义，明确实数与数轴之间的内在联系。
3、培养数形结合的思想，鼓励积极参与和思维多样化，尊重在解决问题过程中所表现出来的不同水平。
二、教学重点与难点重点：掌握实数的概念，理解无理数的内涵，学会应用。
难点：对无理数的理解。
三、教学过程（一）复习回顾：1、 知识结构：见课本P122、 概括：（1）掌握平方根和算术平方根、立方根的意义是学习本章的关键．在研究时要抓住平方根（立方根）与平方（立方）之间的关系。
例如，可以通过平方（立方）运算来寻求平方根（立方根），并可以用来验证开平方（开立方）的正确性．（2）任意一个正实数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负实数没有平方根．而任意一个实数有且只有一个立方根，正数的立方根为正数，0的立方根是0，负数的立方根为负数．（3）有理数与无理数统称为实数，实数与数轴上的点之间有着一一对应关系．（二）问题提出：1、每一个实数都有平方根吗？立方根呢？每个正实数有多少个平方根呢？2、举例说出几个无理数。
3、怎样比较两个实数的大小呢?（三）范例分析例1、比较39-与3265.4-的大小 答案：39-＜3265.4-例2、计算：（结果保留2位小数）（1）π+5 (2)322⨯ 答案：（1） （2）（四）课堂练习：课本P13复习题第1、2题（五）课后作业：课本P13复习题第3、4、5题。
数的开方教案
数的开方教案教案标题：数的开方教案教学目标：1. 理解数的开方的概念和意义。
2. 学会使用数的开方运算符号。
3. 掌握求解简单数的开方运算。
教学准备：1. 教师准备一些平方数的卡片，如1、4、9、16等。
2. 学生准备纸和铅笔。
教学过程：引入活动：1. 教师出示一些平方数的卡片，让学生观察并思考：这些数有什么特点？它们和其他数有什么不同？2. 引导学生回顾平方数的定义：平方数是某个数与自身相乘的结果。
例如，2的平方是4，3的平方是9等。
探究活动：1. 教师引导学生思考：如果给你一个数，你如何求这个数的平方根呢？请尝试一下。
2. 学生独立尝试求解一些简单数的平方根，如1的平方根是多少？4的平方根是多少？3. 学生互相交流并分享自己的解答，教师引导学生总结出求解平方根的方法。
概念讲解：1. 教师通过示例，向学生讲解数的开方运算符号√的意义和使用方法。
例如，√9表示求9的平方根。
2. 教师解释平方根的定义：对于一个非负数a，如果存在一个非负数b，使得b 的平方等于a，那么b就是a的平方根。
练习活动：1. 学生进行一些简单的数的开方计算练习，如√16、√25等。
2. 学生互相交流并核对答案。
3. 教师提供一些挑战性的开方问题，如√2、√7等，鼓励学生尝试解答。
拓展活动：1. 学生自主选择一些数，计算它们的平方根，并绘制一个数的开方表格。
2. 学生互相交流并分享自己的表格，讨论不同数的平方根的特点和规律。
总结活动：1. 教师引导学生总结本节课学到的知识点和方法。
2. 学生回答教师提出的问题，巩固对数的开方的理解。
评估活动：教师布置一些练习题，让学生独立完成并交卷，检验学生对数的开方的掌握程度。
教学延伸：对于高年级学生，可以引入负数的开方概念，并进行相关的拓展讨论。
注意事项：1. 在引入活动中，教师要引导学生主动思考和发现数的开方的规律。
2. 在概念讲解中，教师要结合具体的示例进行解释，让学生更好地理解数的开方的概念。
数的开方复习用
一.知识点归纳：
1、平方根 （1）平方根的意义：
如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。
a的平方根记作: a
。
求一个数a的平方根的运算叫做开平方.
（2）平方根的性质
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数 ②0有一个平方根，它是0本身 ③负数没有平方根。
（3）平方和开平方互为逆运算；
（5） (2x 1)3 8
（6） x 5
课堂小结 ： 1:由根式定义确定字母的取值范围的解题. 2:算术平方根的非负性的应用. 3：由数轴给的字母取值条件对代数式化简 4：由方根的情况进行讨论 5：在勾股定理中的应用
有关数的开方的应用我们将在下节课继续复习。
作业：
1．已知 x 2y 11＋|2x－3y－18|＝0，求x－6y 的立
3、算术平方根的非负性的应用.
例3.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的
值.
练习：1、已知实数满足12 a b
2b c (c 1)2 0 2
求a(b c) 的值
2、已知：实数、满足条件 a 1 (ab 2)2 0
1
试求 的值．ab
(a
(3).实数与数轴关系 实数与数轴上的点一一对应。
二.典型问题 1、由根式定义解题
例1.已知A ab2 a 3是a 3的算术平方根， B 2ab4 b 2是b 2的立方根，求A B的平方根
练习:1、已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的
平方根是 4 ，求a+2b的平方根。
（6） 104
31 16
+
3 (1 7 )2 8
数的开方知识点与复习
数的开方知识点与复习数的开方是数学中的一个重要概念，它在解决实际问题和进一步学习数学知识中都有着广泛的应用。
下面让我们一起来详细了解数的开方的相关知识点，并进行复习巩固。
一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
即若 x²＝a，则 x 叫做 a 的平方根，记作±√a。
例如，因为 3²＝ 9，（－3)²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3，记作±√9 ＝ ±3。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0 的平方根是 0。
（3）负数没有平方根。
3、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a。
0 的算术平方根是 0。
例如，4 的算术平方根是 2，即√4 ＝ 2。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
即若 x³＝a，则 x 叫做 a 的立方根，记作³√a。
例如，因为 2³＝ 8，所以 8 的立方根是 2，记作³√8 ＝ 2。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0。
三、开方运算1、开平方运算求一个数的平方根的运算叫做开平方。
开平方运算与平方运算是互逆运算。
例如，因为(±5)²＝ 25，所以±√25 ＝ ±5。
2、开立方运算求一个数的立方根的运算叫做开立方。
开立方运算与立方运算是互逆运算。
例如，因为 3³＝ 27，所以³√27 ＝ 3。
四、实数1、实数的分类实数包括有理数和无理数。
有理数可以分为整数和分数，无理数是无限不循环小数。
例如，π、√2 等都是无理数；－3、0、2/3 等都是有理数。
2、实数与数轴上的点一一对应数轴上的每一个点都表示一个实数，反过来，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。
华师大版八年级数学上册第11章《数的开方》复习教案 .docx
第11章《数的开方》复习教案八年级数学组复习目标：通过复习让学生对本章的知识有一个系统的了解和掌握。
教学重点与难点：经历本章知识结构图的认识过程，体会数学知识的前后连贯性，体验综合应用学过的知识解决问题的方法。
教学过程：一、自学提纲：1、看书本14页本章知识结构图，并完成下列填空。
2、若x2=a则----是-----的平方根，a的平方根记作-----，a的算术平方根记作-------3、正数有------个平方根，它们的关系是---------，负数有平方根吗？若没有说明原因。
0的平方根为---------。
-------叫开平方，它与-------互为逆运算。
4、若x3=a 则--------是-------的立方根，记作---------。
正数的立方根是-------数负数的立方根是-------数0的立方根是-------数5、--------叫开立方，开立方与--------互为逆运算。
6、-------是无理数。
-------和------统称为实数，实数与数轴上的点是---------关系。
二、知识应用：1、 填空：（1）254的平方根是-------，81的算术平方根是-------- （2） ------的平方等于169 ，-278 的立方根是------- （3） 平方根等于本身的数-------立方根等于本身的数-------算术平方根等于本身的数-------（4）若︳x ︳=2 ，则 x= -------- -2 的相反数是-------- -2 的绝对值是-------2、 将下列各数按从小到大的顺序排列:3、 3,-2,︳1-3︳,1+24、 一个立方体的体积为285cm 3，求这个立方体的表面积。
（保留三个有效数字）三、课堂小结：四、作业：1、课本25页1、2题2、补充题：已知(2x)2=16,y 是(-5)2的正的平方根，求代数式y z x ++yx x -的值. 教后反思：第12章《整式的乘除》复习教案一八年级数学组一、复习目标：1.掌握正整数幂的运算性质，会用它们进行计算2.掌握整式的乘法法则，并会进行整式的乘法运算二、 知识结构：同底数幂相乘，底数不变，指数相加同底数幂的乘法(),m n m n a a am n +•=为正整数幂的乘方，底数不变，指数相乘幂的乘法幂的乘法(),m n mn a a m n =（）为正整数积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘积的乘方()n n n ab a bn =•（）为正整数同底数幂相除，底数不变，指数相减幂的除法(,0)m n m n a a an m n a -÷=>≠一般地，为正整数，1、单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。
数的开方知识点与复习
数的开方知识点与复习在数学中，数的开方是一个常见的运算方法。
开方是求一个数的平方根，即找到一个数，使得它的平方等于给定的数。
本文将介绍数的开方的基本概念和方法，并提供相关的复习知识点。
一、开方的概念开方是数学中的一种运算方法，用于求给定数的平方根。
开方运算的结果称为方根。
例如，2的平方根是√2，记作√2 = 2^(1/2)。
二、整数的平方根1. 完全平方数的平方根完全平方数是指可以写成某个整数的平方的数。
例如，4、9、16等都是完全平方数。
完全平方数的平方根一定是一个整数。
例如，√4 = 2，√9 = 3。
2. 非完全平方数的平方根非完全平方数的平方根是无限不循环小数，不能精确表示为一个整数或有限小数。
我们通常使用近似值来表示非完全平方数的平方根。
例如，√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732。
三、分数的平方根分数的平方根是指对一个分数进行开方运算。
分数的平方根可以是一个整数或者一个无限循环小数。
例如，√(1/4) = 1/2，√(1/9) = 1/3。
四、小数的平方根小数的平方根是指对一个小数进行开方运算。
小数的平方根可以是一个无限循环小数，或者是一个不能写成有限小数或无限循环小数的数。
例如，√0.25 = 0.5，√0.8 ≈ 0.894。
五、负数的平方根在实数范围内，负数的平方根是无法表示为一个实数的。
这是因为假设有一个实数x，它的平方等于一个负数，即x^2 = -a，其中a为正数。
根据乘法的性质，两个正数相乘的结果是正数，因此不存在一个实数的平方等于负数。
六、复数的平方根为了解决负数的平方根问题，我们引入了虚数单位i，定义为i = √(-1)。
利用虚数单位i，我们可以定义复数，其中实部和虚部都可以是实数。
例如，√(-4) = 2i，√(-9) = 3i。
复习知识点：1. 完全平方数的特点；2. 完全平方数的平方根是一个整数；3. 如何使用近似值表示非完全平方数的平方根；4. 分数和小数的平方根的计算方法；5. 负数的平方根无法表示为一个实数，需要引入虚数单位i来定义复数；6. 虚数单位i的定义及其应用。
数的开方复习教案
数的开方复习教案第一章：数的开方概念复习1.1 目标：让学生复习并掌握数的开方的概念。
1.2 教学内容：数的开方的定义。
平方根、立方根等基本根式的概念。
1.3 教学步骤：1. 复习数的开方的定义，解释开方是将一个数的平方根求出来的运算。
2. 举例说明平方根和立方根的概念，让学生理解并能够区分它们。
3. 让学生进行一些数的开方练习，巩固所学的概念。
1.4 作业：完成练习题，包括求平方根和立方根的题目。
第二章：数的开方计算方法复习2.1 目标：让学生复习并掌握数的开方的计算方法。
2.2 教学内容：数的开方的计算方法。
估算平方根和立方根的方法。
2.3 教学步骤：1. 复习数的开方的计算方法，解释如何使用计算器或手工计算数的开方。
2. 教授估算平方根和立方根的方法，让学生能够快速准确地估算出数的开方。
3. 让学生进行一些数的开方计算练习，巩固所学的计算方法。
2.4 作业：完成练习题，包括数的开方计算和估算题目。
第三章：数的开方在实际问题中的应用复习3.1 目标：让学生复习并掌握数的开方在实际问题中的应用。
3.2 教学内容：数的开方在实际问题中的应用实例。
3.3 教学步骤：1. 举例讲解数的开方在实际问题中的应用，如计算物体的体积、求解方程等。
2. 让学生分组讨论并找出其他实际问题中应用数的开方的情景。
3. 让学生进行一些实际问题中的数的开方练习，巩固所学的应用方法。
3.4 作业：完成练习题，包括数的开方在实际问题中的应用题目。
第四章：数的开方与其他数学概念的联系复习4.1 目标：让学生复习并掌握数的开方与其他数学概念的联系。
4.2 教学内容：数的开方与其他数学概念的联系，如平方、立方等。
4.3 教学步骤：1. 讲解数的开方与其他数学概念的联系，如平方根与平方、立方根与立方的关系。
2. 举例说明数的开方在其他数学概念中的应用，如解方程、求解函数等。
3. 让学生进行一些数的开方与其他数学概念联系的练习，巩固所学的联系。
第11章 数的开方 复习课一 基础知识
第11章 数的开方 复习课 基础知识一、知识归纳 1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做 a 的平方根。
a 的平方根记作:或 。
求一个数a 的平方根的运算叫做开平方. （2）平方根的性质： ①一个正数有 个平方根，它们互为相反数②0有 个平方根，它是 。
③负数 平方根。
（3）平方和开平方互为逆运算；2、算术平方根 （1）算术平方根的定义： 。
一个非负数a 的平方根用符号表示为：“ ”，读作：“ ”，其中 叫做被开方数（2）算术平方根的性质：①正数a 的算术平方根是 ；②0的算术平方根是 ；③负数 算术平方根（3）重要性质：3、立方根 （1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的 （也叫 ）。
如果x 3=a ，则 叫做 的立方根。
记作： ,读作“ ” 。
求一个数的立方根的运算叫做 。
（2）立方根的性质 ：①一个正数的立方根是 ；②一个负数的立方根是 ；③0的立方根是 。
（3）重要性质：4、实数基础知识 （1）．无理数的定义: 叫做无理数（2）．有理数与无理数的区别： 有理数总可以用 或 表示；反过来，任何 或 也都是有理数。
而无理数是 小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。
（3）.常见的无理数类型○1一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨··· ○2看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
○3有特定意义的数，如：π=3.14159265··· ○4.开方开不尽的数。
如35,3（4） 实数概念：________和________统称为实数。
（5）、实数的有关性质⑴若a 与b 互为相反数则a+b=⑵若a 与b 互为倒数则ab= ⑶任何实数的绝对值都是非负数，即a ⑷互为相反数的两个数的绝对值相等, 即a =⑸正数的倒数是 数;负数的倒数是 数;零 倒数.实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点是 关系（6）.正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的 。
数的开方与二次根式复习课教案
数的开方与二次根式复习课教学目标：1、理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。
会求实数的平方根、算术平方根和立方根。
2、了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。
掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简。
3、掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
教学重点：使学生掌握二次根式的有关概念、性质及根式的化简。
教学难点：二次根式的化简与计算。
教学过程：一、课前预习（一）知识梳理1.平方根与立方根(1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的 。
一个正数有 个平方根，它们互为 ；零的平方根是 ； 没有平方根。
叫做a 的算术平方根。
零的算术平方根是 。
正数a 的算术平方根用符号 表示；则正数a 的平方根可用符号 表示。
和 的算术平方根都只有一个。
已知正数a ，则符号a 表示 ，符号-a 表示 ，±a 表示 ，当 时，a 有意义，当 时，a 没有意义。
（2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的 。
一个正数有一个 的立方根；一个负数有一个 的立方根；零的立方根是 ；2.二次根式（1）一般地，式子 叫做二次根式。
（2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
①②（3）几个二次根式 ，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
（4）二次根式的性质①20,a ≥=若则 ；③= (0,0)a b ≥≥()()a a a ⎧==⎨-⎩0,0)a b =≥（5）二次根式的运算①加减法：先化为 ，再合并同类二次根式；0,0)a b =≥≥；0,0)a b =≥④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。
(二）课前练习1、填空题。
81的平方根是 ，81的算术平方根是 ，81的平方根是 ， 3的平方根是 ，23 的算术平方根是 ，3的算术平方根是 ， 的平方根是±4，算术平方根是4的数是 ，16的负的平方根是 ，27-）（的算术平方根是 ，±361= ，-6)10(--= 。
初三数学数的开方复习教学案
初三数学数的开方复习教学案【】初三数学数的开方复习教学案本课着重通过例题讲解，进一步熟悉有关数的开方与实数的运算。
教学重点：通过数的开方与实数的运算，培养学生综合运用知识及解决问题的能力。
教学难点：使学生能够综合运用知识并解决问题。
教具准备：一副三角板教学方法：精讲多练教学过程：新课讲解：这堂复习课，主要是在上一课对知识梳理的基础上，共同研究一些例题，从而提高同学们解决问题的能力。
例1 求下列各式的值：( 1 ) ( 2 ) - + 解：( 1 ) = =( 2 ) - + =0. 5-21. 2+10-4= 0. 5-2. 4+0. 0001= -1. 8999例2 求下列各式中的 x ： ( 1 ) (2) 分析：要求满足的 x ，可以象解一元一次方程那样，先将等式适当变形，得出 x 的表示式，然后通过开平方求出 x 的值。
解：( 1 ) ∵ ( 2 ) ∵ 例3 ( 1 ) 要造一个面积为 30 米2圆形花坛，它的半径应是多少( 取 3. 14结果保留 2 位有效数字 )? ( 2 ) 要造一个高与底面圆直径相等的圆柱形容器，并使它的容积为5米。
这个容器的底面圆半径应是多少 ( 取 3.14 结果保留2 位有效数字 )?解：( 1 ) 设圆形花坛的半径为 x 米，根据题意得： x2= 30 即3. 14 x 2= 30 x2 9 . 55 x = 3. 090 3. 1 ( 米 ) 答：圆形花坛的半径应为 3. 1 米。
( 2 ) 设这个容器的底面圆半径为 x 米，根据题意得： x22 x = 5 3.14 2 x 3 = 5 x3 0. 796 x=0. 9268 0. 93答：这个容器的底面圆半径应为 0. 93 米。
例4 计算： + - | 3. 14- | ( 精确到 0. 01 )解： + - | 3. 14- |= 0.125 + 2. 080 - | 3.14 - 3. 175 |= 0.125 + 2. 080 - 0. 035= 2. 170= 2. 17课外作业：教科书第 160 页习题 A 组 6、7、8同步精练复习 ( 二 )。
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数的开方
学习目标
1.进一步理解一个数的平方根、算术平方根及立方根的意义；
2.理解无理数和实数的意义；
3.熟练地求出一个正数的平方根、算术平方根和实数的立方根；
4.会对实数分类以及进行实数的近似计算.
重点：平方根、算术平方根、实数的概念及其计算.
难点：算术平方根、实数的综合运算和代数与几何的综合运用
一、知识归纳
1、平方根
（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。
a 的平方根
记作: 或 。
求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.
（2）平方根的性质
①一个正数有 个平方根，它们互为相反数
②0有 个平方根，它是 。
③负数 平方根。
（3）平方和开平方互为逆运算；
2、算术平方根
（1）算术平方根的定义： 。
一个非负数a 的平方根用符号表示为：“ ”，读作：“ ”，其中 叫做被开方数
（2）算术平方根的性质
①正数a 的算术平方根是 ；
②0的算术平方根是 ；
③负数 算术平方根
（3）重要性质：
3、立方根
（1）立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的 （也叫 ）。
如果x 3=a ，
则 叫做 的立方根。
记作： ,读作“ ” 。
求
一个数的立方根的运算叫做 。
（2）立方根的性质
①一个正数的立方根是 ；
②一个负数的立方根是 ；
③0
（3）4、实数基础知识
=2a ()
=2a （a ≥0）
（1）．无理数的定义: 叫做无理数
（2）．有理数与无理数的区别： 有理数总可以用 或 表示；反过来，任何 或 也都是有理数。
而无理数是 小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。
（3）.常见的无理数类型
○1一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···
○2看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加
1)。
○3有特定意义的数，如：π=3.14159265···
○
4.开方开不尽的数。
如35,3 （4） 实数概念：________和________统称为实数。
（5）分类
_______
________
_______
________ 有限小数或___ ___小数
实数 ________
_________
________ 无限不循环小数
_________
（6）、实数的有关性质
⑴若a 与b 互为相反数则a+b= ⑵若a 与b 互为倒数则ab=
⑶任何实数的绝对值都是非负数，即
⑷互为相反数的两个数的绝对值相等, 即a =
⑸正数的倒数是 数;负数的倒数是 数;零 倒数.实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点是 关系
（6）.正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的 。
一般情况下，非负数有三种形式，即a ≥0 ；2a ≥0；a ≥0
二、典型例题
例1、x 为何值时，下列代数式有意义。
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
x 23+x x -+-2232+x 131-x 1
1-+x x 2)1(--x
例2.求下列各数的平方根和算术平方根：
（1）
425 （2）()24- （3）()()82-⋅-．
例3.计算：
（1）256 （2）44.1- （3）25
16±
（4）01.0
（5）232⎪⎭⎫ ⎝⎛± （6）410± （7）3125.0-1613+23)871(-
（8）2-+---)5
4(1)6()31(22 （9）※21418232383-+-
例4、解方程：
（1）942=x （2）()112=+x （3）()049
121352=--x ．
（4）(x+3)3=27 （5）8
x（6）64(x-1)3+125=0
=
-
)1
2(3-
例5．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。
例6、已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是±4 ，求a+2b的平方根。