数的开方复习课教案与知识点梳理

数的开方

学习目标

1.进一步理解一个数的平方根、算术平方根及立方根的意义；

2.理解无理数和实数的意义；

3.熟练地求出一个正数的平方根、算术平方根和实数的立方根；

4.会对实数分类以及进行实数的近似计算.

重点：平方根、算术平方根、实数的概念及其计算.

难点：算术平方根、实数的综合运算和代数与几何的综合运用

一、知识归纳

1、平方根

（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。a 的平方根

记作: 或 。 求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.

（2）平方根的性质

①一个正数有 个平方根，它们互为相反数

②0有 个平方根，它是 。

③负数 平方根。

（3）平方和开平方互为逆运算；

2、算术平方根

（1）算术平方根的定义： 。

一个非负数a 的平方根用符号表示为：“ ”，读作：“ ”，其中 叫做被开方数

（2）算术平方根的性质

①正数a 的算术平方根是 ；

②0的算术平方根是 ；

③负数 算术平方根

（3）重要性质：

3、立方根

（1）立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的 （也叫 ）。如果x 3=a ，

则 叫做 的立方根。记作： ,读作“ ” 。求

一个数的立方根的运算叫做 。

（2）立方根的性质

①一个正数的立方根是 ；

②一个负数的立方根是 ；

③0

（3）4、实数基础知识

=2a ()

=2a （a ≥0）

（1）．无理数的定义: 叫做无理数

（2）．有理数与无理数的区别： 有理数总可以用 或 表示；反过来，任何 或 也都是有理数。而无理数是 小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。

（3）.常见的无理数类型

○1一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···

○2看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加

1)。

○3有特定意义的数，如：π=3.14159265···

○

4.开方开不尽的数。如35,3 （4） 实数概念：________和________统称为实数。

（5）分类

_______

________

_______

________ 有限小数或___ ___小数

实数 ________

_________

________ 无限不循环小数

_________

（6）、实数的有关性质

⑴若a 与b 互为相反数则a+b= ⑵若a 与b 互为倒数则ab=

⑶任何实数的绝对值都是非负数，即

⑷互为相反数的两个数的绝对值相等, 即a =

⑸正数的倒数是 数;负数的倒数是 数;零 倒数.实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点是 关系

（6）.正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的 。

一般情况下，非负数有三种形式，即a ≥0 ；2a ≥0；a ≥0

二、典型例题

例1、x 为何值时，下列代数式有意义。

（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

x 23+x x -+-2232+x 131-x 1

1-+x x 2)1(--x

例2.求下列各数的平方根和算术平方根：

（1）

425 （2）()24- （3）()()82-⋅-．

例3.计算：

（1）256 （2）44.1- （3）25

16±

（4）01.0

（5）232⎪⎭⎫ ⎝⎛± （6）410± （7）3125.0-1613+23)871(-

（8）2-+---)5

4(1)6()31(22 （9）※21418232383-+-

例4、解方程：

（1）942=x （2）()112=+x （3）()049

121352=--x ．

（4）(x+3)3=27 （5）8

x（6）64(x-1)3+125=0

=

-

)1

2(3-

例5．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。

例6、已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是±4 ，求a+2b的平方根。