河北省唐山一中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学(理)试题Word版含答案
河北省唐山一中等五校2015届高三上学期第二次联考数学(理)试题含答案
唐山一中等五校2015届高三上学期第二次联考数学（理）试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．1．设集合2{|2150}M x x x =+-<，2{|670}N x x x =+-≥，则MN =（ ）A ．(5,1]-B ．[1,3)C ．[7,3)-D ．(5,3)- 2． 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，则m nim ni+=-（ ）A ．1-B ．1C ．i -D ．i3．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值为 A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-4．设,a b 为两个非零向量，则“||a b a b ⋅=⋅”是“a 与b 共线”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．右图中，321,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当5.8,9,621===p x x 时，3x 等于A ．11B ．8.5C ．8D ．7 6．已知()0,θπ∈，且 sin()410πθ-=，则 tan 2θ= A ．43 B ．34 C ．247- D ．2477．已知1,3O A O B ==,0,OA OB =点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设,O C m O A n O B =+(),mn R ∈，则nm等于（ ） A ．31 B ．3 C ．33D ．38．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1021=+a a ，436S =，则过点),(n a n P 和),2(2++n a n Q (*∈N n )的直线的一个方向向量是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,21 B ．()1,1-- C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,21 D ．⎪⎭⎫⎝⎛21,2 9．函数1)3(log -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上，其中0,0m n >>，则21m n+的最小值为( )A． B ．4 C ．52 D ．9210．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦上分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上且离心率小于2的椭圆的概率为 （ ） A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位cm ）A．28+ B．30+ C．30+ D．28+12．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为A ．2,8e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．20,8e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．20,4e ⎛⎤⎥⎝⎦第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上． 13．()522x x -+的展开式中3x 的系数为 ＊ ＊ ．14．若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为 ＊ ＊ ．15．设点(,)P x y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧+≤≥≤2200x y y x ，点(,)(0,0)Qaba b ≤≥满足1≤⋅OQ OP 恒成立，其中O 是坐标原点，则Q 点的轨迹所围成图形的面积是 ＊ ＊ ．16．在ABC ∆中，,sin 22tanC BA =+若1AB =，则12AC BC +的最大值 ＊ ＊ ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+=（Ⅰ）求证数列{}n a 是等差数列；（Ⅱ）设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求n T ． 18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．已知四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，底面ABCD 是边长为a 的菱形，120BAD ∠=︒，PA b =．（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，若二面角O PM D --的正切值为:a b 的值．20．已知抛物线24y x =，直线:l 12y x b =-+与抛物线交于,A B 两点．（Ⅰ）若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ∆面积的最大值．21．已知函数2()()xf x ax e a R =-∈（Ⅰ）当1a =时，判断函数()f x 的单调区间并给予证明；（Ⅱ）若()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，证明：1()12ef x -<<-．请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 AC已知,A B C A B A C ∆=中，D A B C ∆为外接圆劣弧上的点（不与点A 、C 重合），延长BD 至E ,延长AD交BC 的延长线于F ．（Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知1a b +=，对,(0,)a b ∀∈+∞，14|21||1|x x a b+≥--+恒成立，求x 的取值范围．河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）理科数学(答案)第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：BDADC CBADB AC 二、填空题： 13． -200 ．14．．15． 12．16．． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+=（Ⅰ）求证数列{}n a 是等差数列； （Ⅱ）设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求.n T 解：（Ⅰ）)(2)1(*N n a a S n n n ∈+=①)2(2)1(111≥+=---n a a S n n n ②①-②得：21212----+=n n n nn a a a a a ()2≥n 整理得：()111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a 数列{}n a 的各项均为正数，,01≠+∴-n n a a )2(11≥=-∴-n a a n n1=n 时，11=a ∴数列{}n a 是首项为1公差为1的等差数列 6分（Ⅱ）由第一问得22n n S n += 222112(1)1n b n n n n n n ⎛⎫∴===- ⎪+++⎝⎭1111111122(1)()2122334111n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12分18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； （Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中高一学生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率） 解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．所以 0.0125x =． 3分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=，因为12000.12144⨯=，所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿． 6分 （Ⅲ）X 的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 411(4)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭． 10分 所以X 的分布列为：0123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（或414EX =⨯=）所以X 的数学期望为1． 12分19．已知四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，底面ABCD 是边长为a 的菱形，120BAD ∠=︒，PA b =．（Ⅰ）求证：PBD PAC ⊥平面平面； （Ⅱ）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，若二面角O PM D --的正切值为，求:a b 的值．19．解：（Ⅰ） 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ………………2分 又ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD,所以BD ⊥平面PAC ………………4分 从而平面PBD ⊥平面PAC ． ……………6分（Ⅱ）方法1． 过O 作OH ⊥PM 交PM 于H ，连HD因为DO ⊥平面PAC ，可以推出DH ⊥PM,所以∠OHD 为O-PM-D 的平面角………………8分又3,,244a aOD a OM AM ===，且OH AP OM PM =………………10分从而·4a OH ==………………11分tan ODOHD OH ∠===所以22916a b =，即43a b =． ………………………12分法二：如图,以A 为原点,,AD AP 所在直线为y 轴,z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,),(0,,0)P b D a,3,,0)8M a,1,,0)4O a …………8分 从而333(0,,),(,,)88PD a b PM a b =-=-3(,,0)44OD a a =-………………9分 因为BD ⊥平面PAC,所以平面PMO 的一个法向量为3(,,0)44OD a a =-．……10分 设平面PMD 的法向量为(,,)n x y z =,由,PD n PM n ⊥⊥得3330,08PDn ay bz PM n ay bz ⋅=-=⋅=+-=取,,x y b z a ===，即,,)n b a = (11)分设OD 与n 的夹角为θ，则二面角O PM D --大小与θ相等 从而tan θ=cos 15θ=531cos 5||||ab abOD n OD n a θ-+⋅===⋅从而43b a =，即:4:3a b =． ……………12分20．已知抛物线24y x =，直线:l 12y x b =-+与抛物线交于,A B 两点． （Ⅰ）若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ∆面积的最大值．解：（Ⅰ）联立2124y x by x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消x 并化简整理得2880y y b +-=． 依题意应有64320b ∆=+>，解得2b >-． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-，设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-． 因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==，又||AB ．所以 ||28AB r =，解得85b =-．所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-．故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=． （Ⅱ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<， 直线l ：12y x b =-+整理得220x y b +-=，点O 到直线l 的距离d =，所以1||42AOB S AB d ∆==- 令32()2g b b b =+，20b -<<， 24()343()g b b b b b '=+=+，由上表可得()g b 的最大值为432()327g -= ．所以当43b =-时，AOB ∆21．已知函数2()()xf x ax e a R =-∈（Ⅰ）当1a =时，判断函数()f x 的单调区间并给予证明； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，证明：1()12ef x -<<-． 解：（Ⅰ）1a =时，2(),()2,x xf x x e f x x e '=-=-()2xf x e ''=-易知m a x ()(l n 2)2l n 220,f x f ''==-<从而()f x 为单调减函数．………………４分 （Ⅱ）()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，即()20x f x ax e '=-=有两个实根1212,()x x x x <，所以()20x f x a e ''=-=，得ln 2x a =．(ln 2)2ln 220f a a a a '=->，得ln 212a a e >⇒>．………………6分又(0)10f '=-<，(1)20f a e '=-> 所以101ln 2x a <<<………………8分111()20x f x ax e'=-=，得112x e ax =111121111()122x x x x x e f x ax e x e e ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭1(01)x <<………………10分1111()02x x f x e ⎛⎫-'=< ⎪⎝⎭，1(1)()(0)12ef f x f -=<<=-………………12分另解：2()x e a p x x ==由两个实根，2(1)()x e x p x x -'=， 当0x <时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x =<，不能满足条件． 当01x <<时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x => 当1x >时，()0,p x '>所以()x e p x x =单调递增且()0xe p x x=>， 故当0x <时，min ()(1)p x p e ==，当0x →时()xe p x x =→+∞，当x →+∞时②()x e p x x =→+∞，所以2()xe a p x x==由两个实根需要2(1)a p e >=．即2e a >1()0,f x '=即112x e a x =，111122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．()20xf x ax e '=-=有两个实根1212,()x x x x <，0x =不是根，所以2()xe a p x x ==由两个实根，2(1)()x e x p x x-'=， 当0x <时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x=<，不能满足条件． 当01x <<时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x=> 当1x >时，()0,p x '>所以()x e p x x =单调递增且()0xe p x x=>， 故当0x <时，min ()(1)p x p e ==，当0x →时()xe p x x=→+∞，当x →+∞时②()x e p x x =→+∞，所以2()xe a p x x==由两个实根需要2(1)a p e >=．即2e a > 1()0,f x '=即112x e a x =，111122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲弧AC 上已知,ABC AB AC ∆=中，D ABC ∆为外接圆劣的点（不与点A C 、重合）,延长BD 至E ,延长AD 交BC 的延长线于F ．（Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．解：(Ⅰ)证明：A 、B 、C 、D 四点共圆∴CDF ABC ∠=∠．………………2分AB AC =ABC ACB ∴∠=∠且ADB ACB ∠=∠,EDF ADB ACB ABC ∠=∠=∠=∠,……………4分∴CDF EDF ∠=∠．………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得ADB ABF ∠=∠,又BAD FAB ∠=∠,所以BAD ∆与FAB ∆相似,AB AD AF AB∴=2AB AD AF ∴=⋅，…………7分 又AB AC =, A B A C A D∴⋅=⋅，∴AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅ 根据割线定理得DF AF FC FB ⋅=⋅，……………9分AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．……………10分23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲 已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ= ……………………………………………2分又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，[所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=…………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得4(2)3y x =--… ………6分 令0y =，得2x =，即M 点的坐标为(2，0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1r =，则MC = ……8分所以1MN MC r +≤………………………10分24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知1a b +=，对,(0,)a b ∀∈+∞，14|21||1|x x a b +≥--+恒成立，求x 的取值范围．解：∵ a ＞0，b ＞0 且a+b=1 ∴1a +4b =(a+b)( 1a +4b )=5+b a +4a b ≥9 ，故1a +4b的最小值为9，……5分 因为对a ，b ∈(0，+∞)，使1a +4b≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x≤-1时，2-x≤9，∴ -7≤x≤-1，当 -1＜x＜12时，-3x≤9，∴ -1＜x＜12，当 x≥12时，x-2≤9，∴12≤x≤11，∴ -7≤x≤11 …… 10分。
河北省唐山一中2013-2014学年高二数学上学期12月第二次月考试题 理
唐山一中12月份月考高二年级数学（理）试卷说明：1.考试时间120分，满分150分。
2.将卷I 答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷II 用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。
卷Ⅰ（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 2、若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:163、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,则双曲线C 的方程是（ ）A．2214x =B ．22145x y -= C ．22125x y -=D．2212x =4、已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不．可能．．是（ ） A ．1BCD5、抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ ）A ．12BC ．1 D6、已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）A．2B．C ．132D．7、椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值ABC1A DE F1B1C范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，8、设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程是（ ） A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =9、已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（ ） A．4B1C．6-D10、已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值为（ ） A ．23BCD ．1311、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =（ ） A ．1B ．32C ．2D ．312、在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则（ ） A ．平面α与平面β垂直 B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045 C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060卷Ⅱ（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是DA1AC 1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.14、设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若a PF PF 6||||21=+且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为_____ 15、如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.16、如图,正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_____(写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时,S为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D的交点R 满足;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S 的面积为2三．解答题：(17题10分，其它题目每小题12分)17.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1, (1)证明:直线BC 1平行于平面D 1AC, (2)求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.18、如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面, C 是圆上的点.(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II)若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C-PB －Ａ的 余弦值。
唐山市2014~2015学年第一学期高二理科数学试题与答案
（A）1＋
2 3
（B）3＋ 2
（C）
3 2
（D）3
1
正视图
1
侧视图
（8）圆 x2＋y2＝4 上与直线 l：4x－3y＋12＝0 距离最小的点的 坐标是
（A）(
8 5
，
65 )
( ) （B）
8 5
，－ 56
( ) （C）
－
8 5
，
6 5
( ) （D）
－
85 ，－
6 5
1
1
俯视图
（9）三棱锥 S-ABC 的顶点都在同一球面上，且 SA＝AC＝SB＝BC＝ 2，SC＝2，则该球的体积为
B
高二理科数学 A 卷 第 3 页（共 8 页）
唐山市高中数学教师群 244569647
得分 评卷人
（21）（本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 ABC -A1B1C1 中，已知 AB⊥侧面 BB1C1C，BC＝ 2，AB＝BB1
D1 A1
D
C1 B1
C
A
B
（6）若直线 y＝k(x＋4)与曲线 x＝ 4－y2有交点，则 k 的取值范围是
[ ] （A）
－
1 2
，
1 2
( （B） －∞，－12
]∪[
1 2
，＋∞)
[ ] （C）
－
3 3
，
3 3
( （D） －∞，－
3 3
]∪[
) 3
3
，＋∞
（7）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
得分 评卷人 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在题中横线 上．
（13）抛物线 y＝4x2 的准线方程为________________．
河北省唐山一中2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理
唐山一中2014—2015学年第二学期期中考试高二数学理科试卷说明：1．考试时间120分 钟，总分为150分。
2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用黑色字迹的签字笔答在答题纸上。
3．卷Ⅱ卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后5位。
卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分．1. 假设复数z 满足i i z -=+1)1(〔i 是虚数单位)，如此z 的共轭复数为 〔 〕 A ．i -B ．i 2-C ．iD ．i 22. 〔1〕332p q +=，求证：2≤+q p .用反证法证明时，可假设2≥+q p ；〔2〕假设R b a ∈、，1<+b a ，求证：方程02=++b ax x 的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11≥x ； 以下结论正确的答案是〔 〕Ａ．〔1〕与〔2〕的假设都错误 Ｂ．〔1〕的假设正确；〔2〕的假设错误 Ｃ．〔1〕与〔2〕的假设都正确Ｄ．〔1〕的假设错误；〔2〕的假设正确3. 设随机变量ξ服从正态分布p p N =>)1(1,0ξ），（，如此)01(<<-ξP ( )A.12p B ．12p - C ．1－2p D. 1－p 4. 用数学归纳法证明不等式：2413212111>+++++n n n (1>n ，*∈N n )，在证明1+=k n 这一步时，需要证明的不等式是〔 〕A ．2413212111>+++++k k kB ．2413121213111>+++++++k k k k C ．2413121213121>+++++++k k k k D ．2413221121213121>+++++++++k k k k k 5. 曲线313y x x =+在点〔1,43〕处的切线与坐标轴围成的三角面积为( )A ．91B ．92C ．31D ．326. 随机变量X 服从二项分布X ～B(6，13)，如此P(X ＝2)等于( ) A.1316 B. 4243 C.13243 D.802437.把13个一样的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，如此不同的放入方法种数为 〔 〕 A ．36 B. 45 C.66 D.78 8. 假设函数a x x y +-=2323在[－1,1]上有最大值3，如此该函数在[－1,1]上的最小值是 〔 〕A. 12-B.0C. 12D.19.向边长分别为5，6M ，如此该点M 与三角形三个顶点距离都大于1的概率为 〔 〕 A.118π-B.112π-C.19π-D.14π- 10.f(x)是R 上的可导函数，且f(x)+ x ()f x '>0对x ∈R 恒成立，如此如下恒成立的是〔 〕 A. f(x)>0 B. f(x)<0 C. f(x)>x D. f(x)<x 11.曲线1=+y x 与两坐标轴所围成图形的面积为 〔 〕A ．21 B ．31 C ．61D ．8112.定义域为R 的函数)(x f 对任意的x 都有)2()2(x f x f -=+，且其导函数)(x f '满足：02)(>-'xx f ，如此当42<<a 时，如下成立的是 〔 〕 A ．)2()2()(log 2af f a f << B ．)2()(log )2(2f a f f a<< C ．)(log )2()2(2a f f f a<< D ．)2()2()(log 2f f a f a<<卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题：本大题共4小题，每一小题5分，共20分．13.将4名大学生分配到A 、B 、C 三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名，如此大学生甲分配到乡镇A 的概率为〔用数字作答〕．14. 设常数R a ∈，假设52⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的二项展开式中项的系数为-10，如此a = ．15.在等差数列{}n a 中，假设010=a ，如此有n n a a a a a a -+++=+++192121)19(*∈<N n n ，且成立．类比上述性质，在等比数列{}n b 中，假设19=b ，如此存在的类似等式为________________________． 16.设函数()f x 在上存在导数()f x '，x R ∀∈，有2()()f x f x x -+=，在），∞+0(上x x f <')(，假设m m f m f 48)()4(-≥--，如此实数m 的取值范围是_____________.三．解答题：〔本大题共６小题，共70分〕 17．〔本小题总分为10分〕n m x x x f )31()1()(+++= (*∈N n m 、)的展开式中x 的系数为11.〔1〕求2x 的系数的最小值；〔2〕当2x 的系数取得最小值时，求)(x f 展开式中x 的奇次幂项的系数之和.18．〔本小题总分为12 分〕如图，在四棱锥P A B -//A D B C ，90A B C P A D ∠=∠=︒，侧面P A D ⊥底面A B C D ， 假设12P A A B B C A D ===.〔1〕求证：C D ⊥平面PAC ；〔2〕求二面角APDC --的余弦值.A BPCD19．〔本小题总分为12 分〕函数)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b ∈R ，都满足)()()(a bf b af b a f +=⋅，假设)21(f =1，n f a n n )2(-=. 〔1〕求)41(f 、)81(f 、)161(f 的值；〔2〕猜测数列{}n a 通项公式，并用数学归纳法证明. 20. 〔本小题总分为12 分〕某理科考生参加自主招生面试，从7道题中〔4道理科题3道文科题〕不放回地依次任取3道作答.〔1〕求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率； 〔2〕规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为32，答对文科题的概率均为41，假设每题答对得10分，否如此得零分.现该生已抽到三道题〔两理一文〕，求其所得总分X 的分布列与数学期望)(X E . 21. 〔本小题总分为12 分〕抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 和椭圆22143x y +=的右焦点重合.〔1〕求抛物线C 的方程；〔2〕假设定长为5的线段AB 两个端点在抛物线C 上移动，线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时M 点坐标. 22．〔此题总分为12分〕函数()e xf x kx x =-∈R ，.〔1〕假设e k =，试确定函数()f x 的单调区间；〔2〕假设0k >，且对于任意R x ∈，(||)0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； 〔3〕设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e2)()nn F F F n n +*>+∈N .唐山一中2014—2015学年第二学期期中考试高二理科数学参考答案一、选择题：CDBD,ADAC,AACB. 二、填空题：13、61；14、-2；15、n n b b b b b b -=172121 )17(*∈<N n n ，且； 16、），∞+2[. 三、解答题：17．解：〔1〕由题意得：11311=+n m C C ，即：m+3n=11.-----------------------2分x 2的系数为：19)2(9553692)1(92)310)(311(2)1(92)1(322222+-=+-=-+--=-+-=+n n n n n n n n n m m C C n m --------------------4分当n=2时，x 2的系数的最小值为19，此时m=5 --------------------- 6分〔2〕由〔1〕可知：m=5，n=2，如此f 〔x 〕=〔1+x 〕5+〔1+3x 〕2设f 〔x 〕的展开式为f 〔x 〕=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 5x 5----------------------8分 令x=1,如此f(1)=a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5令x=-1,如此f(-1)=a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5 -------------------------------------10分 如此a 1+a 3+a 5=2)1()1(--f f =22,所求系数之和为22--------------------------------12分18．解：〔1〕因为 90PAD ∠=︒，所以PA AD ⊥. 又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD底面ABCD AD =，所以PA ⊥底面ABCD .而CD ⊂底面ABCD ，所以PA ⊥CD . 在底面ABCD 中，因为90ABC BAD ∠=∠=︒，12AB BC AD ==，所以2AC CD AD ==， 所以AC ⊥CD . 又因为PA AC A =， 所以CD ⊥平面PAC . 6分〔2〕法一：设G 为AD 中点，连结CG ，如此CG ⊥AD .又因为平面ABCD ⊥平面PAD ，所以 CG ⊥平面PAD .过G 作GH PD ⊥于H ，连结CH ，如此：CH PD ⊥. 所以GHC ∠是二面角A PD C --的平面角。
河北省唐山一中等五校2015届高三数学第二次联考试题 理(含解析)新人教A版
河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）理科数学【试卷综述】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点来挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.【题文】第I 卷（选择题，共60分）【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．【题文】1．设集合2{|2150}M x x x =+-<，2{|670}N x x x =+-≥，则MN =（ ）A ．(5,1]-B ．[1,3)C ．[7,3)-D ．(5,3)- 【知识点】交集的基本运算.A1【答案】【解析】B 解析：由题意得：{}2{|2150}=|53M x x x x x =+-<-<<，同理： {}2{|670}|17N x x x x x x 或=+-≥=≥≤-，所以M N =[1,3)，故选B 。
【思路点拨】先根据题意求出集合M 、N 后再求MN 即可。
【题文】2． 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，则m nim ni+=-（ ）A ．1-B ．1C ．i -D ．i 【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4【答案】【解析】D 解析：因为m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，所以可得：7m mi ni +=+，解得7,7m n ==，所以7777m ni ii m ni i++==--，故选D.【思路点拨】利用复数相等的条件求出m 和n 的值，代入m nim ni +-后直接利用复数的除法运算进行化简．【题文】3．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-【知识点】定积分；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．B13 B8 【答案】【解析】A 解析：由题意可知()1lg10f ==，又((1))1f f =，所以()200031af t dt =+=⎰，故31a =，解得1a =，故选A ．【思路点拨】求出()1f 的值，然后利用((1))1f f =，通过积分求解a 的值．【题文】4．设,a b 为两个非零向量，则“||a b a b ⋅=⋅”是“a 与b 共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 【答案】【解析】D 解析：若||a b a b ⋅=⋅，则|||cos<,>=|||||cos<,>|a b a b a b a b ，即cos<,>=|cos<,>|a b a b ，则cos<,>0a b ，则a 与b共线不成立，即充分性不成立．若a 与b 共线，当<,>=a b ，cos<,>=1a b ，此时||a b a b ⋅=⋅不成立，即必要性不成立， 故““||a b a b ⋅=⋅”是“a 与b 共线”的既不充分也不必要条件， 故选：D ．【思路点拨】根据充分条件和必要条件的定义，利用向量共线的等价条件，即可得到结论． 【题文】5．右图中，321,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当5.8,9,621===p x x 时，3x 等于（ ）A ．11B ．8.5C ．8D ．7【知识点】程序框图.L1【答案】【解析】C 解析：根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分．根据126,9,x x ，不满足12||2x x ，故进入循环体，输入3x ，判断3x 与1x ，2x 哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分．因此由398.5=2x ，解出3x =8．故选C ． 【思路点拨】利用给出的程序框图，确定该题最后得分的计算方法，关键要读懂该框图给出的循环结构以及循环结构内嵌套的条件结构，弄清三个分数中差距小的两个分数的平均分作为该题的最后得分．【题文】6．已知 ()0,θπ∈，且 sin()410πθ-=，则 tan 2θ=（ ） A ．43 B ．34 C ．247- D ．247【知识点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正切．C4 C5【答案】【解析】C 解析：∵()0,θπ∈，且 sin()410πθ-=，∴72cos()410， ∴tan 11tan()411tan 7，∴4tan 3，∴22tan 24tan 21tan 7，故选：C ．【思路点拨】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos()4，可得tan()4，解方程求得tan ，最后可求得tan 2的值．【题文】7．已知1,3OA OB ==,0,OA OB =点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设,OC mOA nOB =+(),m n R ∈，则nm等于（ ） A ．31 B ．3 C ．33 D ．3 【知识点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点．F3【答案】【解析】B 解析：∵1,3OA OB ==,0,OA OB =∴OAOB ,13||2OC OB OC ,31||2OC OA OC ,∴OC 在x 轴方向上的分量为1||2OC ,OC 在y 轴方向上的分量为||2OC∵3OC mOA nOBni m j∴13||3,||22OC n OC m 两式相比可得：3m n．故选B.【思路点拨】先根据0,OA OB =可得OA OB ，再计算出OC OBOC OA ，又根据,OC mOA nOB =+，可得答案．【题文】8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1021=+a a ，436S =，则过点),(n a n P 和),2(2++n a n Q (*∈N n )的直线的一个方向向量是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,21 B ．()1,1-- C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,21 D ．⎪⎭⎫⎝⎛21,2 【知识点】直线的斜率.H1【答案】【解析】A 解析：等差数列{}n a 中，设首项为1a ，公差为d ， 由1021=+a a ，436S =，得112104636a d a d，解得1a =3，d =4．∴1141na a n d n ．则,41P n n ，2,47Q n n ．∴过点P 和Q 的直线的一个方向向量的坐标可以是12,84,22．即为⎪⎭⎫⎝⎛--2,21，故选A ．【思路点拨】由题意求出等差数列的通项公式，得到P ，Q 的坐标，写出向量PQ 的坐标，找到与向量PQ 共线的坐标即可．【题文】9．函数1)3(log -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上，其中0,0mn >>，则21m n +的最小值为( ) A ．．4 C ．52 D ．92【知识点】基本不等式在最值问题中的应用．E6【答案】【解析】D 解析：∵x=﹣2时，y=log a 1﹣1=﹣1，∴函数1)3(log -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A （﹣2，﹣1）， ∵点A 在直线mx+ny+2=0上，∴﹣2m ﹣n+2=0，即2m+n=2， ∵mn＞0，∴m ＞0，n ＞0，()211211229=25222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ． 【思路点拨】根据对数函数的性质先求出A 的坐标，代入直线方程可得m 、n 的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．【题文】10．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦上分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为 （ ） A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 【知识点】几何概型;椭圆的简单性质．H5 K3【答案】【解析】B 解析：∵22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于32，∴0,2ab a b ，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程22221x y a b+=表示焦点在x 3111132115222=1-2432S PS 阴影矩形，故选B ．【思路点拨】表示焦点在x 3的椭圆时，（a ，b ）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a ，b ）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．【题文】11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位cm ）A ．2845+B ．3045+C ．30410+D ．28410+【知识点】三视图求表面积.G2【答案】【解析】A 解析：根据多面体的三视图可知该几何体如下图所示：由题意得：4,4,4BC CD AE ===,所以25,6,42AB AC AD BD ====, 所以14482BCDS=⨯⨯=,14482ABCS =⨯⨯=,1425452ADCS =⨯⨯=在三角形ABD 中，10cos 22542B ==⨯⨯310s 10inB ∴=,1310254212210ABDS ∴=⨯=,所以该几何体的表面积为这四个面的面积和2845+，故选A 。
河北省唐山市滦南一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
河北省唐山市滦南一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）圆心在（2，﹣1）上，半径为3的圆的标准方程为（）A．（x﹣2）2+（y+12）=3 B．（x﹣2）2+（y+12）=9 C．（x+2）2+（y ﹣12）=3 D．（x+2）2+（y﹣12）=92．（5分）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x3．（5分）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β4．（5分）设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|=5，则|PF2|=（）A．5B．3C．7D．3或75．（5分）α，β为平面，m为直线，如果α∥β，那么“m∥α”是“m⊆β”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件6．（5分）若△ABC的三个内角成等差数列，三边成等比数列，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形7．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+8．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，在双曲线右支上存在一点P满足PF1⊥PF2且∠PF1F2=，那么双曲线的离心率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知椭圆+=1的长轴的左、右端点分别为A、B，在椭圆上有一个异于点A、B的动点P，若直线PA的斜率k PA=，则直线PB的斜率k PB为（）A．B．C．﹣D．﹣10．（5分）已知△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=90°，平面ABC外一点，P满足PA=PB=PC=，则三棱锥P﹣ABC的体积是（）A．1B．C．D．11．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=112．（5分）直线x+y=a 与圆x2+y2=1交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若=a，则a的值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）直线3x+4y﹣6=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0截得的弦长为．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．15．（5分）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是．16．（5分）圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．命题q：当x∈时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．18．（12分）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．19．（12分）已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0）．动点P满足•=k||2．（其中k为常数）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAD丄底面ABCD，∠APD=．（I ）求证：平面PAB丄平面PCD；（II）如果AB=BC，PB=PC，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．21．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x 轴负半轴上有一点B，满足=，AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率．（Ⅱ）D是过A，B，F2三点的圆上的点，D到直线l：x﹣y﹣3=0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C的方程．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．河北省唐山市滦南一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）圆心在（2，﹣1）上，半径为3的圆的标准方程为（）A．（x﹣2）2+（y+12）=3 B．（x﹣2）2+（y+12）=9 C．（x+2）2+（y ﹣12）=3 D．（x+2）2+（y﹣12）=9考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：直接根据圆心为（2，﹣1），半径为3，可得圆的标准方程．解答：解：根据圆心为（2，﹣1），半径为3，可得圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+12）=9，故选B．点评：本题主要考查圆的标准方程的特征，属于中档题．2．（5分）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题，利用特称命题写出命题的否定命题．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，∴命题的否定是：∃x0∈R，=x0．故选：D．点评：本题考查了全称命题的否定，要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否定是特称命题．3．（5分）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．解答：解：A、B、D的反例如图．故选C．点评：本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件的含义及空间想象能力．4．（5分）设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|=5，则|PF2|=（）A．5B．3C．7D．3或7考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．解答：解：双曲线x2﹣=1中a=1，∵|PF1|=5，∴P在双曲线的左支、或右支上∴由双曲线的定义可得||PF2|﹣|PF1||=2，∴|PF2|=7或3．故选：D．点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．5．（5分）α，β为平面，m为直线，如果α∥β，那么“m∥α”是“m⊆β”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：“m⊆β”⇒“m∥α”，反之，若“m∥α”，则“m⊆β”不一定成立．由此能求出结果．解答：解：由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：“m⊆β”⇒“m∥α”，反之，若“m∥α”，则“m⊆β”不一定成立．∴“m∥α”是“m⊆β”的必要非充分条件．故选B．点评：本题考查平面的性质定理及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．（5分）若△ABC的三个内角成等差数列，三边成等比数列，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：先确定三角形必有一内角为60°，再根据对应三边成等比数列，结合余弦定理，即可求得结论．解答：解：由题意不妨设A，B，C成等差数列则2B=A+C∵A+B+C=π∴B=，A+C=∵a，b，c成等比数列∴b2=ac，∵b2=a2+c2﹣2accos60°=a2+c2﹣ac∴a2+c2﹣ac=ac∴（a﹣c）2=0∴a=c∵B=60°，∴三角形为等边三角形，故选C．点评：本题考查等差数列与等比数列，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积．解答：解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+故选C点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，其方法是分部来求，再求总体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．8．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，在双曲线右支上存在一点P满足PF1⊥PF2且∠PF1F2=，那么双曲线的离心率是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用PF 1⊥PF2且，可得，结合双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．解答：解：因为PF 1⊥PF2且，所以，又，所以，即双曲线的离心率为，故选C．点评：本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．9．（5分）已知椭圆+=1的长轴的左、右端点分别为A、B，在椭圆上有一个异于点A、B的动点P，若直线PA的斜率k PA=，则直线PB的斜率k PB为（）A．B．C．﹣D．﹣考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（m，n），则+=1．即有n2=（4﹣m2），由椭圆方程可得左右顶点A，B，再利用斜率的计算公式化简整理代入即可得到PA，PB的斜率之积，再由PA的斜率，即可得到PB的斜率．解答：解：由椭圆+=1 得a2=4，解得a=2，即有A（﹣2，0），B（2，0），设P（m，n），则+=1．即有n2=（4﹣m2），则k PA=，k PB=，即有k PA•k PB=•===﹣．由于直线PA的斜率k PA=，则直线PB的斜率k PB为﹣×2=﹣，故选D．点评：本题主要考查椭圆的几何性质，考查斜率公式的运用，以及化简整理和代入的能力，属于中档题．10．（5分）已知△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=90°，平面ABC外一点，P满足PA=PB=PC=，则三棱锥P﹣ABC的体积是（）A．1B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知得棱锥顶点P在底面投影为△ABC的外心，CA=，外接圆半径R==，高h==1，S△ABC==1，由此能求出三棱椎P﹣ABC的体积．解答：解：∵PA=PB=PC=，∴棱锥顶点P在底面投影为△ABC的外心∴先求外接圆半径R，∵CA2=22+12﹣2•2•1cos90°=5，CA=，∴R==，∴高h==1，S△ABC==1，三棱椎P﹣ABC的体积V=×1×1=．故选：B．点评：本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．11．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1考点：圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C：+=1．利用，即可求得椭圆方程．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上∴又∵∴∴a2=4b2∴a2=20，b2=5∴椭圆方程为：+=1故选D．点评：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关键．12．（5分）直线x+y=a 与圆x2+y2=1交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若=a，则a的值为（）A．B．C．D．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：联立方程得到方程组，消元得到2x2﹣2ax+a2﹣3=0，由韦达定理得x1x2，y1y2的值，再由•=a，代入可求解．解答：解：联立直线x+y=a与圆x2+y2=1，消掉y并整理得：2x2﹣2ax+a2﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由韦达定理得：x1+x2=a，x1x2=，∴y1y2=（a﹣x1）（a﹣x2）=a2﹣a（x1+x2）+x1x2 =a2﹣a2+x1x2=．又=a，∴x1x2+y1y2=a，代入可得a2﹣a﹣1=0，解得a=或a=．由题意可得∈，∴a=，故选：B．点评：本题考查直线与圆的位置关系，注意韦达定理及整体思想的运用，属基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）直线3x+4y﹣6=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0截得的弦长为2．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：将圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理即可求出弦长．解答：解：将圆方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，∴圆心（1，2），半径r=2，∵圆心到直线3x+4y﹣6=0的距离d==1，∴直线被圆截得的弦长为2=2．故答案为：2点评：此题了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为80．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图得出该几何体是下部正方体，上部是四棱锥的组合体，求出它的体积即可．解答：解：根据几何体的三视图知，该几何体是下部是楞长为4的正方体，上部是高为3的四棱锥的组合体，∴该几何体的体积是V组合体=V正方体+V四棱锥=43+×42×3=80．故答案为：80．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求几何体的体积的应用问题，是基础题．15．（5分）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是2个．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：分别加以判断：若m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，则m∥α，n∥α，但m 不平行于n，故①不正确；若m∥α，则在α内可以找到直线m′，使m′∥m，再结合n⊥α，可得n⊥m′，最终得到n⊥m，故②正确；若m∥β，则在β内可以找到直线m′，使m′∥m，结合m⊥α，得m′⊥α，β经过α的垂线，所以α⊥β，故③正确．解答：解：对于①：设m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，∵β∥α∴m∥α，n∥α，而m不平行于n，故①不正确；对于②：∵m∥α，∴在α内可以找到直线m′，使m′∥m，又∵n⊥α，m′⊂α∴n⊥m′，结合m′∥m，得到n⊥m，故②正确；对于③：∵m∥β，∴在β内可以找到直线m′，使m′∥m，又∵m⊥α，得m′⊥α，∵β经过α的垂线，∴α⊥β，故③正确．故答案为：2个点评：本题考查了空间两直线、直线与平面位置关系等知识点，属于中档题．熟练掌握直线与平面平行垂直和平面与平面的平行与垂直的判定与性质，是解好本题的关键．16．（5分）圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是．考点：关于点、直线对称的圆的方程．专题：计算题；转化思想．分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线2ax﹣by+2=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由a表示出b，设m=ab，将表示出的b代入ab中，得到m关于a的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2=4，∴圆心坐标为（﹣1，2），半径r=2，根据题意可知：圆心在已知直线2ax﹣by+2=0上，把圆心坐标代入直线方程得：﹣2a﹣2b+2=0，即b=1﹣a，则设m=ab=a（1﹣a）=﹣a2+a，∴当a=时，m有最大值，最大值为，即ab的最大值为，则ab的取值范围是（﹣∞，]．故答案为（﹣∞，]．点评：本题以直线与圆为载体，考查对称性，考查了直线与圆相交的性质，以及二次函数的性质．根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．命题q：当x∈时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．可得0＜a＜1．命题q：当x∈时，函数f（x）=x+＞恒成立，可得，利用基本不等式即可得出．由p或q为真命题，p且q为假命题，可得p，q中必然一个真命题一个为假命题．解出即可．解答：解：由a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．∴0＜a＜1．命题q：当x∈时，函数f（x）=x+＞恒成立，∴，∵x∈时，函数f（x）=x+=2，当且仅当x=1时取等号．∴，又a＞0，∴．∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p，q中必然一个真命题一个为假命题．①当p真q假时，，解得，a的取值范围是．②当q真p假时，，解得a≥1，a的取值范围是平方后再整理，得x2+y2=16．（5分）（2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）．（6分）由于A（2，0），且N为线段AM的中点，所以，所以有x1=2x﹣2，y1=2y①（8分）由（1）题知，M是圆x2+y2=16上的点，所以M坐标（x1，y1）满足：x12+y12=16②（9分）将①代入②整理，得（x﹣1）2+y2=4．（11分）所以N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆（12分）点评：本题考查轨迹方程，解题时要认真审题，仔细求解，注意公式的合理运用．19．（12分）已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0）．动点P满足•=k||2．（其中k为常数）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型．考点：轨迹方程．专题：综合题；直线与圆．分析：根据题意，给出=（x，y﹣1），=（x，y+1），=（1﹣x，﹣y），由•=k||2建立关于x、y的方程，化简得（1﹣k）x2+（1﹣k）y2+2kx﹣（k+1）=0．根据k是否等于1讨论，可得方程所表示的曲线类型．解答：解：（1）设动点P（x，y），可得=（x，y﹣1），=（x，y+1），=（1﹣x，﹣y），∵•=k||2，∴x2+y2﹣1=k（x﹣1）2+ky2化简得（1﹣k）x2+（1﹣k）y2+2kx﹣（k+1）=0①当k=1时，方程为x=1，表示直线；…5分②当k≠1时，方程为，方程表示（，0）为圆心、为半径的圆．点评：本题给出动点P满足的条件，求P的轨迹方程，并求向量模的取值范围．着重考查了向量的坐标运算、向量数量积的运算性质和动点轨迹方程求法等知识，属于中档题．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAD丄底面ABCD，∠APD=．（I ）求证：平面PAB丄平面PCD；（II）如果AB=BC，PB=PC，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（I）利用ABCD的底面是矩形，可得CD⊥AD，再利用面面垂直的性质及侧面PAD⊥底面ABCD，可得CD⊥PA．由已知可得PA⊥PD，进而得到PA⊥平面PCD．利用面面平行的判定定理即可证明平面PAB⊥平面PCD．（II）如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：因为四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，所以CD⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，所以CD⊥PA．又∠APD=，即PA⊥PD，而CD∩PD=D，所以PA⊥平面PCD．因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．（Ⅱ）解：如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．设AB=2，P（0，a，b）（a＞0，b＞0），则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）．由PA⊥PD，=（0，﹣a，﹣b），=（0，2﹣a，﹣b），得﹣a（2﹣a）+b2=0．①因为PB=PC，所以22+a2+b2=22+（2﹣a）2+b2．②由①，②得a=1，b=1．由（Ⅰ）知，=（0，﹣1，﹣1）是面PCD的一个法向量．设面PBC的一个法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0，又=（2，﹣1，﹣1），=（0，2，0），所以取=（1，0，2）．因为cos ＜，＞ =﹣，又二面角B﹣PC﹣D为钝角，所以二面角B﹣PC﹣D的余弦值﹣．点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定与性质定理、通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量求二面角的余弦值等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．21．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x 轴负半轴上有一点B，满足=，AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率．（Ⅱ）D是过A，B，F2三点的圆上的点，D到直线l：x﹣y﹣3=0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C的方程．考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）设B（x0，0），由F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b），由=，可得x0=﹣3c．由AB⊥AF2，可得=﹣3c2+b2=0，再利用a2=b2+c2．即可得出．（II）由（1）知，得．由题意知△ABF2为直角三角形，BF2为斜边，△ABF2的外接圆圆心为F1（﹣，0），半径r=a．D到直线l：x﹣y﹣3=0的最大距离等于2a，圆心到直线的距离为a，利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：（I）设B（x0，0），由F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b），∵满足=，∴（﹣c﹣x0，0）=（2c，0），∴﹣c﹣x0=2c．解得x0=﹣3c．∵AB⊥AF2，=（﹣3c，﹣b），=（c，﹣b）．∴=﹣3c2+b2=0，∴a2=b2+c2=4c2．∴a=2c．故椭圆C的离心率．（II）由（1）知，得．可得B，．由题意知△ABF2为直角三角形，BF2为斜边，∴△ABF2的外接圆圆心为F1（﹣，0），半径r=a．D到直线l：x﹣y﹣3=0的最大距离等于2a，∴圆心到直线的距离为a，∴，解得a=2，解得c=1，b=．∴椭圆C的方程为．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的外接圆的性质、点到直线的距离公式、直角三角形的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得，由此，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意；当直线AB与x 轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线AB的方程．解答：解：（Ⅰ）由题意，，解得．即椭圆方程为（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时S=不符合题意，故舍掉；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以．原点到直线的AB距离，所以三角形的面积．由可得k2=2，∴，所以直线或．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理确定三角形的面积是关键．。
河北省唐山一中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学(理)试题
河北省唐山一中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学（理）试题试卷Ⅰ（共 60 分）一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ，每题5分，共60分。
请把答案填涂在答题卡上）1.下列命题是真命题的是 （ ）A ．22bc ac b a ＞是＞的充要条件B ．11,1＞是＞＞ab b a 的充分条件 C ．0,00≤∈∃x eR x D ．若q p ∨为真命题，则q p ∧为真2.若当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝ ( )A.3π4B.π4C.3π2D.5π43.两直线y ＝x ＋2a,y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．－15 ＜a ＜1 B ．a ＞1或＜－15 C ．－15≤a ＜1 D ．a ≥1或a ≤－154. 已知:1:1.:||12p q x a x ≥-<-若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,3]B ．[2,3]C ．(2,3)D ．(,3]-∞5. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．46.已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则 （ ） A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l7．正四面体ABCD 的棱长为1，G 是△ABC 的中心，M 在线段DG 上，且∠AMB ＝90°，则GM的长为( )A ．12B ．22C ．33D ．668.如图在三棱锥ABC S -中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，⊥SO 底面ABC ，O 为垂足，则侧棱SA 与底面ABC 所成角的余弦值为 ( )A ．23B ．21C ．33 D ．63 9.直三棱柱111ABC A B C -中，090=∠BCA ，M N 、分别是1111A B A C 、的中点，1B C C A C C ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为 ( ) A ．110 B ．25C．D10.若双曲线12222=-by a x 的离心率为,则其渐近线方程为 ( )A ．B．y = C ．D ．11.已知双曲线)0,(12222>=-b a bya x 的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为, 则p = ( )A ．1B ． 23C ．2D ．312.已知双曲线的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1试卷Ⅱ（共 90 分）二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是__________.SBACO14. 设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面βα,截球O 的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角βα--l 的平面角为2π，则球O 的表面积为 . 15.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上的任意一点，若以12,,F F P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .16.已知直线y=a 交抛物线y=x 2于A,B 两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB 为直角, 则a的取值范围为 .三、解答题（本题共6个小题，其中第17题10分，其余各题12分共计70分。
河北省唐山一中高二数学上学期12月第二次月考试题 理 新人教A版
说明：1.考试时间120分，满分150分。
2.将卷I 答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷II 用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。
卷Ⅰ（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 2、若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:163、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,则双曲线C 的方程是（ ）A．2214x -=B ．22145x y -= C ．22125x y -=D．2212x =4、已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不．可能．．是（ ） A ．1BC．2D．25、抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ） A ．12BC ．1 D6、已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）A．2B．C ．132D．7、椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）C1AF1B1CA ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，8、设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程是（ ） A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =9、已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（ ） A．4B1-C．6-D10、已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值为（ ） A ．23B．3C．3D ．1311、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A ,B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =（ ）A ．1B ．32C ．2D ．312、在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则（ ） A ．平面α与平面β垂直 B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045 C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060卷Ⅱ（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,D 1A 1DC B AB 1C 1EP三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.14、设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若a PF PF 6||||21=+且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为_____ 15、如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.16、如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_____(写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S 的面积为6.三．解答题：(17题10分，其它题目每小题12分)17.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1, (1)证明:直线BC 1平行于平面D 1AC, (2)求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.18、如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面, C 是圆上的点.(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II)若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C-PB －Ａ的 余弦值。
[套卷]河北省唐山一中2014届高三第一学期第二次调研考试数学理试题
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河北省唐山一中2014届高三第一学期第二次调研考试数学理试题一 选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.若集合},2,1,0{x A =，A B A x B =⋃=},,1{2，则满足条件的实数x 的个数有 A ．1个 B 2个 C ．3个 D 4个2.已知α是第二象限角，且sin(53)-=+απ，则tan2α的值为 A.54B.723-C.724D.724-3. 向量，均为单位向量，其夹角为θ，则命题“1:>-p ”是命题“)65,2[:ππθ∈q ”的（ ）条件A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件 4. 为了得到函数x x x y 2cos 21cos sin 3+=的图象,只需将函数x y 2sin =的图象 A ．向左平移12π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位D ．向右平移6π个长度单位5. 设向量a ，b 是非零向量，若函数()()f x xa b =+ ·()()a xb x R -∈的图象不是直线，且在0=x 处取得最值，则必有 A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．a ，b不垂直且=D ．a ，b≠6．若曲线x a x f cos )(=与曲线1)(2++=bx x x g 在交点),0(m 处有公切线，则b a += A.-1 B. 0 C. 1 D. 27．半圆的直径AB ＝4, O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC的中点，则PC PB PA ∙+)(的值是A. －2 B . －1 C . 2 D. 无法确定，与C 点位置有关8. 能够把圆O :1622=+y x 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数不是圆O 的“和谐函数”的是A ．3()4f x x x =+B ．5()15x f x nx -=+ C ．()tan 2xf x = D.()x x f x e e -=+ 9.数列}{n a 的前n 项和为)()1(,1*2N n a b n n S n n n n∈-=++=,则数列}{n b 的前50项的和为A ．49B ．50C ．99D ．10010. 已知函数⎩⎨⎧≤<+-<≤---=)10(1)01(1)(x x x x x f ，则1)()(->--x f x f 的解集为A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.[-1,-21)∪(0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.[-1,-21]∪(0,1) 11. 已知函数2()e 1,()43x f x g x x x =-=-+-,若有()()f a g b =,则b 的取值范围.A .2⎡+⎣B .(2C .[]1,3D .)3,1(12. 定义域为[,a b ]的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，M(x ，y)是()f x 图象上任意一点，其中[]1,0,)1(∈-+=λλλb a x ．已知向量()λλ-+=1，若不等k ≤恒成立，则称函数)(x f 在[]b a ,上“k 阶线性近似”．若函数xx y 1-=在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为A. [0,)+∞B. 1[,)12+∞ C. 3[)2+∞ D. 3[)2+∞唐山一中2013—2014学年度第二次调研考试高三年级数学试卷（理）卷Ⅱ(非选择题 共90分)二 填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知)3,1(2-=-b a ，)3,1(=c ，且3=⋅c a ，4=，则b 与c 的夹角为 .14. 数列{}n a 中，)2,(122,511≥∈-+==*-n N n a a a n n n ，若存在实数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+nn a 2λ为等差数列，则λ= . ____________ 考号______________15．设偶函数)s i n ()(ϕω+=x A x f （,0>A )0,0πϕω<<>的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形 （其中K ，L 为图象与x 轴的交点，M 为极小值点），∠KML =90°，KL ＝21，则1()6f 的值为_______. 16.△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为c b a ,,，重心为G ，若033=++GC c GB b GA a ，则∠A= . 三 解答题 （本大题共６小题，共70分）17.（10分）已知函数)(1cos 2)62sin()(2R x x x x f ∈-+-=π（1）求)(x f 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，三内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,,已知21)(=A f ， c a b ,,成等差数列，且9=⋅AC AB ，求a 的值.18. （12分）在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足co s (3)co s b C a c B =-. （1）求B cos ；（2）若4BC BA ⋅=，b =a ，c 的值.19. （12分）已知△ABC 的面积S 满足2323≤≤S ，且3=⋅BC AB ,AB 与BC 的夹角为θ．(1)求θ的取值范围；(2)求函数θθθθθ22cos cos sin 32sin3)(++=f 的最大值及最小值．20. （12分） 已知A B C 、、是ABC △的三个内角，且满足2sin sin sin B A C =+，设B的最大值为0B ．（Ⅰ）求0B 的大小； （Ⅱ）当034B B =时，求cos cos AC -的值．21. （12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知122()n n a S n N *+=+∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)在n a 与1n a +之间插入n 个数,使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列,设数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和nT ,证明:1516n T <.22. （12分）已知定义在(0,)+∞上的三个函数()ln f x x =，2()()g x x af x =-，()h x x =-，且()g x 在1x =处取得极值．（Ⅰ）求a 的值及函数()h x 的单调区间.（Ⅱ）求证：当21x e <<时，恒有2()2()f x x f x +<-成立.唐山一中2013—2014学年度第二次调研考试高三年级数学试卷（理）答案二、填空题(每小题5分，共20分13. π3 14.-1 15. 81 16. 6π17（10分）（1）x x x x x x f 2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2+-=-+-=π)62sin(2cos 212sin 23π+=+=x x x 令)(226222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ )(x f 的单调递增区间为)](6,3[Z k k k ∈+-ππππ（2）由21)(=A f ，得21)62sin(=+πA ∵62626ππππ+<+<A ，∴6562ππ=+A ，∴3π=A 由b,a,c 成等差数列得2a=b+c∵9=⋅AC AB ，∴9cos =A bc ，∴18=bc由余弦定理，得bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+= ∴183422⨯-=a a ，∴23=a18（12分）解：（1）由正弦定理和cos (3)cos b C a c B =-，得sin cos (3sin sin )cos B C A C B =-， …………………2分 化简，得sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B +=即sin3sin cos B C A B +=（）， …………………4分 故sin 3sin cos A A B =.所以1cos =3B . …………………6分 （2）因为4BC BA ⋅=， 所以4cos ||||=⋅⋅=⋅B所以12BC BA ⋅=，即12ac =. （1） …………………8分又因为2221cos =23a cb B ac +-=, 整理得，2240a c +=. （2） …………………10分联立（1）（2） 224012a c ac ⎧+=⎨=⎩，解得26a c =⎧⎨=⎩或62a c =⎧⎨=⎩. ………19. （12分）(1)解：因为3AB BC ⋅= ，AB 与BC的夹角为θ与的夹角为θ 所以||||cos 3AB BC θ⨯⨯=2分113||||sin()||||sin tan 222S AB BC AB BC πθθθ=⨯⨯-=⨯⨯=⨯ 4分又32S ≤，所以33tan 22θ≤，即tan 1θ≤，又[0]θπ∈，，所以[]64ππθ∈，．6分(2)解：22()3sin cos cos 2cos 22f θθθθθθθ=+⋅+=-+2sin(2)26πθ=-+ 8分因为64ππθ≤≤，所以2663πππθ-≤≤， 10分从而当6πθ=时，()f θ的最小值为3，当4πθ=时，()f θ2．12分20.（12分）（Ⅰ）由题设及正弦定理知，2b a c =+，即2a cb +=． 由余弦定理知，2222222cos 22a c a c a c b B ac ac+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭== ·········································· 2分223()23(2)21882a c ac ac ac ac ac +--=≥=． ······································································ 4分因为cos y x =在(0,)π上单调递减，所以B 的最大值为03B π=．······························· 6分 （Ⅱ）解：设cos cos A C x -=， ··························································································· ① ··················································································································································· 8分由（Ⅰ）及题设知sin sin A C += ················································································· ② 由①2+②2得，222cos()2A C x -+=+． ······································································· 10分 又因为4A CB πππ+=-=-，所以x =cos cos A C -= ······································································· 12分21（12分）解(Ⅰ)由122(n n a S n +=+∈N *)得122(n n a S n -=+∈N *,2n ≥),两式相减得:12n n n a a a +-=, 即13(n n a a n +=∈N *,2n ≥),∵{}n a 是等比数列,所以213a a =,又2122,a a =+ 则11223a a +=,∴12a =, ∴123n n a -=(Ⅱ)由(1)知123n n a += ,123n n a -=∵1(1)n n n a a n d +=++ , ∴1431n n d n -⨯=+,令123111n T d d d =+++1nd +, 则012234434343n T =++⨯⨯⨯+1143n n -++ ①+⋅+⋅=2134334231n T 114343n n n n -+++ ②①-②得01222113434343n T =+++ 1114343n nn -++- 111(1)111525331244388313n n nn n --++=+⨯-=-- 11525151616316n n n T -+∴=-<22．（12分）解：（Ⅰ）22()()ln g x x af x x a x =-=-，()2ag x x x'=-，(1)20g a '=-=，∴2a =．···················································································································································· 2分而()h x x =-()1h x'=-()10h x '=->得1x >；令()10h x '=-<得01x <<．∴函数()h x 单调递增区间是(1,)+∞；单调递减区间是(0,1)． ·························· 4分（Ⅱ）∵21x e <<，∴0ln 2x <<，∴2ln 0x ->，欲证2()2()f x x f x +<-，只需要证明[2()]2()x f x f x -<+，即证明2(1)()1x f x x ->+， ····· 6分记2(1)2(1)()()ln 11x x k x f x x x x --=-=-++，∴22(1)()(1)x k x x x -'=+， 当1x >时，()0k x '>，∴()k x 在(1,)+∞上是增函数，∴()(1)0k x k >=，∴()0k x >，即2(1)ln 01x x x -->+，∴2(1)ln 1x x x ->+，故结论成立．。
河北省唐山一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)
河北省唐山一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分．请把答案涂在答题卡上）1．（5分）若0＜α＜，则经过两点P1（0，cosα），P2（sinα，0）的直线的倾斜角为（）A．α\frac{π}{2}$+αC．π﹣αD．﹣α2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+（1﹣a）y=3”与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=1，则a2+b2+c2≤”的否命题是（）A．若a2+b2+c2≥1，则a+b+c=B．若a+b+c=1，则a2+b2+c2＜C．若a+b+c≠1，则a2+b2+c2＜D．若a+b+c≠1，则a2+b2+c2＞4．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=05．（5分）点P是直线3x+y+10=0上的动点，PA，PB与圆x2+y2=4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（）A．B．2C．2D．46．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则|BF|的值为（）A．3B．4C．5D．107．（5分）若直线y=2x+b与曲线y=2﹣有公共点，则b的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，）C．（1，1+）D．（1+，+∞）9．（5分）已知曲线C：﹣=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣8x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）11．（5分）圆C1的方程为x2+y2=，圆C2的方程（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2=（θ∈R），过C2上任意一点P作圆C1的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则∠MPN的最大值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13．（5分）过点P（6，﹣1），在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且满足a=3b的直线方程为．14．（5分）圆心在直线x﹣y﹣4=0上，并且经过圆x2+y2+6x﹣4=0与圆x2+y2+6y﹣28=0交点的圆的方程为．15．（5分）设P，Q分别为x2+（y﹣6）2=2和椭圆=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是．16．（5分）若F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，PF1⊥PQ，且4|PF1|=3|PQ|，则椭圆的离心率为．三、解答题（本题共6个小题共计70分．请把解答过程写在答题纸上）17．（10分）已知命题p：关于x的一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根，命题q：函数f（x）=lg （mx2﹣x+m）的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）已知圆c关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x分成两段弧长之比为1：2，求圆c的方程．19．（12分）已知双曲线及点P（2，1），是否存在过点P的直线l，使直线l被双曲线截得的弦恰好被P点平分？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．20．（12分）一座拱桥桥洞的截面边界由抛物线弧段COD和矩形ABCD的三边组成，拱的顶部O 距离水面5m，水面上的矩形的高度为2m，水面宽6m，如图所示，一艘船运载一个长方体形的集装箱，此箱平放在船上，已知船宽5m，船面距离水面1.5m，集装箱的尺寸为长×宽×高=4×3×3（m）．试问此船能否通过此桥？并说明理由．21．（12分）已知直线l与圆x2+y2+2x=0相切于点T，且与双曲线x2﹣y2=1相交于A、B两点．若T是线段AB的中点，求直线l的方程．22．（12分）设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点．（1）若P是该椭圆上的一个动点，求向量乘积的取值范围；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．（3）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．河北省唐山一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分．请把答案涂在答题卡上）1．（5分）若0＜α＜，则经过两点P1（0，cosα），P2（sinα，0）的直线的倾斜角为（）A．α\frac{π}{2}\frac{﹣cosα}{sinα}\frac{π}{2}\frac{π}{2}\frac {π}{2}$+α．故选：B．点评：本题考查直线的斜率，正确运用斜率与倾斜角的关系是关键．2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+（1﹣a）y=3”与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据直线垂直得出a（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0，求出a=1或a=﹣3，再根据充分必要条件的定义可判断．解答：解：∵“直线l1：ax+（1﹣a）y=3”与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，∴a（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0，即a=1或a=﹣3，根据充分必要条件的定义可判断：“a=1”是“直线l1：ax+（1﹣a）y=3”与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直的充分不必要条件，故选：A点评：本题考查了直线的方程，位置关系，充分必要条件的定义属于容易题．3．（5分）已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=1，则a2+b2+c2≤”的否命题是（）A．若a2+b2+c2≥1，则a+b+c=B．若a+b+c=1，则a2+b2+c2＜C．若a+b+c≠1，则a2+b2+c2＜D．若a+b+c≠1，则a2+b2+c2＞考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：本题考察命题的否命题，否定原命题的条件做为否命题的条件，原命题的结论否定作为否命题的结论即可．解答：解：命题“若a+b+c=1，则a2+b2+c2≤”的否命题是“若a+b+c≠1，则a2+b2+c2＞”，故选：D．点评：注意否命题和命题的否定的区分，命题的否定不是四种命题中的任何一种，而且是对整个命题的否定，与原命题真假性相反．4．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．解答：解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=，，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．故选：A．点评：本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．5．（5分）点P是直线3x+y+10=0上的动点，PA，PB与圆x2+y2=4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（）A．B．2C．2D．4考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB则要求S PAOB=2S△PAO=2PA的最小值，转化为求PA最小值，由于PA2=PO2﹣4，当PO最小时，PA最小，结合点到直线的距离公式可知当PO⊥l时，PO有最小值，由点到直线的距离公式可求解答：解：由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB，S PAOB=2S△PAO=2PA又∵在Rt△PAO中，由勾股定理可得，PA2=PO2﹣4，当PO最小时，PA最小，此时所求的面积也最小点P是直线l：3x+y+10=0上的动点，当PO⊥l时，PO有最小值d=，PA=所求四边形PAOB的面积的最小值为2．故选：C．点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系中的重要类型：相切问题的处理方法，解题中要注意对性质的灵活应用，体现了转化思想在解题中的应用．6．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则|BF|的值为（）A．3B．4C．5D．10考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的距离公式可求得．解答：解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p＞0，﹣=﹣2即p=4，∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2，又导数y′=2，则在切点处的斜率为，∴即m+2=2﹣3，解得：=2或（（舍去），∴切点B（8，8），又F（2，0），∴|BF|==10故选B．点评：本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．7．（5分）若直线y=2x+b与曲线y=2﹣有公共点，则b的取值范围是（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：先将曲线化简并作出图象，分析直线，做出判断，找出截距最大和最小的两条直线，求解．解答：解：曲线y=2﹣化简为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4（y≤2），如图，是以（2，2）为圆心，以2为半径的圆的下半部分，直线y=2x+b与曲线有公共点，则满足条件的直线斜率为2，在过（0，2）和圆的切线之间的一族平行线，b为直线在y轴上的截距，可求，当直线y=2x+b平移到过点（0，2）时，方程为y=2x+2，此时b=2，当直线平移到与曲线相切时，有圆心（2，2）到直线的距离d等于半径长2，即=2，解得b=2﹣2（舍去）或b=﹣2﹣2，综上，b的取值范围是，故选：C．点评：本题考察圆与直线的位置关系，需要注意曲线不是整个的圆，而是半圆．8．（5分）已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，）C．（1，1+）D．（1+，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△ABC为等腰三角形，所以△ABF2为钝角三角形只要∠AF2B为钝角即可，由此可知，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围．解答：解：由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，所以有，即2ac＜c2﹣a2，解出e∈（1+，+∞），故选D．点评：本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘．9．（5分）已知曲线C：﹣=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由曲线C：﹣=1可知=﹣，利用直线PA2斜率的取值范围是，可得直线PA1斜率的取值范围．解答：解：由曲线C：﹣=1可知﹣=﹣，∴=﹣，∵直线PA2斜率的取值范围是，∴直线PA1斜率的取值范围是故选：D．点评：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．10．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣8x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：曲线C1表示以C1：（4，0）为圆心、半径等于4的圆；①当m≠0时，曲线C2表示x轴及过点（﹣1，0）且斜率为m的直线，要使两条曲线有四个不同交点，需y=m（x+1）和圆（x﹣4）2+y2=16 相交，根据圆心到此直线的距离小于半径，求得m的范围．②当m=0时，检验不满足条件．综合可得m的范围．解答：解：曲线C1：x2+y2﹣8x=0 即（x﹣4）2+y2=16，表示以C1：（4，0）为圆心、半径等于4的圆．对于曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0，①当m≠0时，曲线C2即y=0，或y=m（x+1），表示x轴及过点（﹣1，0）且斜率为m的直线，要使两条曲线有四个不同交点，需y=m（x+1）和圆（x﹣4）2+y2=16 相交，故有＜4，求得﹣＜m＜，且m≠0．②当m=0时，曲线C2：即y2=0，即y=0，表示一条直线，此时曲线C2和曲线C1 只有一个交点，不满足条件．综上可得，实数m的取值范围是（﹣，0）∪（0，），故选：B．点评：本题主要考查曲线的方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了转化的数学思想，属于基础题．11．（5分）圆C1的方程为x2+y2=，圆C2的方程（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2=（θ∈R），过C2上任意一点P作圆C1的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则∠MPN的最大值为（）A．B．C．D．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先判断圆与圆的位置关系，进一步利用特殊位置把结论转化为解三角形问题，最后求出∠MPN的最大值．解答：解：圆C1的方程为x2+y2=，圆心坐标为：C1（0，0）半径r=圆C2的方程（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2=，圆心坐标为：C2（cosθ，sinθ）半径R=由于cos2θ+sin2θ=1|c1c2|＞R+r所以两圆相离．过C2上任意一点P作圆C1的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则要求∠MPN的最大值只需满足：在圆c2找到距离圆c1最近点即可．所以：如下图所示：|PC1|=1﹣=|MC1|=在Rt△MPC1中，根据|PC1|=，|MC1|=解得：所以：∠MPN=即∠MPN的最大值为：故选：C点评：本题考查的知识要点：圆于圆的位置关系，特殊位置出现相关的三角形知识，及角的最值问题．12．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2考点：椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．解答：解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos=（r1）2+（r2）2﹣r1r2，由，得，∴=，令m===，当时，m，∴，即∴的最大值为，故选：A点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13．（5分）过点P（6，﹣1），在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且满足a=3b的直线方程为y=﹣x+1或y=﹣x．考点：直线的截距式方程．专题：计算题．分析：设出直线方程，求出a，b，利用a=3b，求出直线的斜率，然后求出直线方程．解答：解：设直线的斜率为k，所以直线方程为：y=k（x﹣6）﹣1．由题意可知a=+6，b=﹣6k﹣1，因为a=3b，所以+6=3（﹣6k﹣1），解得k=﹣或k=﹣，故所求的直线方程为：y=﹣x+1或y=﹣x．故答案为：y=﹣x+1或y=﹣x．点评：本题考查直线方程的求法，直线的截距式方程的应用，考查计算能力．14．（5分）圆心在直线x﹣y﹣4=0上，并且经过圆x2+y2+6x﹣4=0与圆x2+y2+6y﹣28=0交点的圆的方程为x2+y2﹣x+7y﹣32=0．考点：圆的一般方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设要求的圆的方程为（x2+y2+6x﹣4）+λ（x2+y2+6y﹣28）=0，根据它的圆心（﹣，﹣）在直线x﹣y﹣4=0上，求出λ的值，可得所求圆的方程．解答：解：设经过两圆x2+y2+6x﹣4=0和x2+y2+6y﹣28=0的交点的圆的方程为（x2+y2+6x﹣4）+λ（x2+y2+6y﹣28）=0，即x2+y2+x+y﹣=0，则它的圆心坐标为（﹣，﹣）．再根据圆心在直线x﹣y﹣4=0上，可得﹣﹣（﹣）﹣4=0，解得λ=﹣7，故所求的圆的方程为x2+y2﹣x+7y﹣32=0，故答案为：x2+y2﹣x+7y﹣32=0．点评：本题主要考查利用待定系数法求满足条件的圆的方程，属于中档题．15．（5分）设P，Q分别为x2+（y﹣6）2=2和椭圆=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆=1上的点Q（4cosθ，2sinθ）（θ∈0，2π））．由x2+（y﹣6）2=2可得圆心C（0，6），半径R=．∴|CQ|==≤8．∴P，Q两点间的最大距离是8+．故答案为：．点评：本题考查了椭圆的参数方程、圆的标准方程、两点之间的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．16．（5分）若F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，PF1⊥PQ，且4|PF1|=3|PQ|，则椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，设|QF2|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义可得|QF1|=2a﹣m，|PF1|=2a﹣n．由4|PF1|=3|PQ|，可得4（2a﹣n）=3（m+n）．由PF1⊥PQ，利用勾股定理可得：（2a﹣n）2+n2=4c2，（2a ﹣n）2+（m+n）2=（2a﹣m）2．联立解得即可．解答：解：如图所示，设|QF2|=m，|PF2|=n，则|QF1|=2a﹣m，|PF1|=2a﹣n．∵4|PF1|=3|PQ|，∴4（2a﹣n）=3（m+n），∵PF1⊥PQ，∴（2a﹣n）2+n2=4c2，（2a﹣n）2+（m+n）2=（2a﹣m）2．联立，化为n=a，代入可得a2=2c2．解得e=．故答案为：．点评：本题考查了椭圆的定义及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本题共6个小题共计70分．请把解答过程写在答题纸上）17．（10分）已知命题p：关于x的一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根，命题q：函数f（x）=lg （mx2﹣x+m）的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：先将命题p，q化简，然后由“p或q为真命题，p且q为假命题”得p和q一真一假，分类讨论即可．解答：解：∵方程x2+2x+m=0没有实数根，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1，即命题p：m＞1，∵函数f（x）=lg（mx2﹣x+m）的定义域为R，∴mx2﹣x+m＞0对x∈R恒成立，即，解得m＞2，即命题q：m＞2，又∵若p或q为真命题，p且q为假命题，∴p和q一真一假，若p真q假，则1＜m≤2，若p假q真，则m≤1且m＞2，无解，综上，实数m的取值范围是1＜m≤2．点评：本题考查复合命题的真假判断，由“p或q为真命题，p且q为假命题”得出p和q一真一假为解题的关键．18．（12分）已知圆c关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x分成两段弧长之比为1：2，求圆c的方程．考点：圆的标准方程．专题：计算题．分析：根据题意设出圆的标准方程，圆c关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，被直线y=x 分成两段弧长之比为1：2，写出a，r的方程组，解方程组得到圆心和半径．解答：解：设圆C的方程为x2+（y﹣a）2=r2∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）∴1+a2=r2 ①又直线y=x分圆的两段弧长之比为1：2，可知圆心到直线y=x的距离等于半径的；∴②解①、②得a=±1，r2=2∴所求圆的方程为x2+（y±1）2=2点评：本题考查求圆的标准方程，在题目中有一个条件一定要注意，即圆c关于y轴对称，这说明圆心在y轴上，设方程的时候，要引起注意．19．（12分）已知双曲线及点P（2，1），是否存在过点P的直线l，使直线l被双曲线截得的弦恰好被P点平分？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设点代入双曲线方程，作差，假设P为AB的中点，求出直线的斜率，从而可得方程，再代入双曲线方程验证，可知这样的直线不存在．解答：解：假设符合题意的直线l存在．…（1分）设直线l与双曲线的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．∴．…（5分）∵P（2，1）为AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2．…（7分）∴．…（8分）∴直线l的方程为…（10分）由过p与双曲线有两个焦点时即…（11分）∴不存在符合题意的直线l．…（12分）点评：本题的考点是双曲线的简单性质，主要考查点差法求解中点弦问题，应注意验证结论是否满足题意．20．（12分）一座拱桥桥洞的截面边界由抛物线弧段COD和矩形ABCD的三边组成，拱的顶部O 距离水面5m，水面上的矩形的高度为2m，水面宽6m，如图所示，一艘船运载一个长方体形的集装箱，此箱平放在船上，已知船宽5m，船面距离水面1.5m，集装箱的尺寸为长×宽×高=4×3×3（m）．试问此船能否通过此桥？并说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：根据抛物线特点设出二次函数解析式，把C坐标代入即可求得解析式，求出x=2时的点距水面的距离，即可得到结论．解答：解：设抛物线弧段COD的方程为y=ax2，由题意得C（3，﹣3），∴﹣3=9a，∴a=﹣∴y=﹣x2，当x=2时，，此时该点距水面5﹣=＜3+1.5∴此船不能通过此桥点评：本题考查抛物线模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，确定抛物线的解析式是关键．21．（12分）已知直线l与圆x2+y2+2x=0相切于点T，且与双曲线x2﹣y2=1相交于A、B两点．若T是线段AB的中点，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：设l的方程为x=ky+a，代入双曲线方程整理，利用根与系数的关系求得点T的坐标，把点T的坐标代入圆的方程得到k2=a+2，由O'T⊥l 得k O'T•k l=﹣1，可得k=0，或k2=2a+1．分类讨论求得a值，即得k值，从而得到所求直线l的方程．解答：解：直线l与x轴不平行，设l的方程为x=ky+a，代入双曲线方程整理得（k2﹣1）y2+2kay+a2﹣1=0．而k2﹣1≠0，于是，从而，即T（，）．∵点T在圆上，∴，即k2=a+2，由圆心O'（﹣1，0），O'T⊥l 得k O'T•k l=﹣1，则k=0，或k2=2a+1．当k=0时，由①得a=﹣2，∴l 的方程为x=﹣2；当k2=2a+1时，由①得a=1，∴l的方程为．故所求直线l的方程为x=﹣2或．点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，两直线垂直的性质，体现了分类讨论的数学思想，得到k=0，或k2=2a+1是解题的关键，属于中档题．22．（12分）设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点．（1）若P是该椭圆上的一个动点，求向量乘积的取值范围；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．（3）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：（1）由题设知，，设P（x，y），则=x2+y2﹣3=．由此能够求出向量乘积的取值范围．（2）设直线l：y=kx﹣2，M（x1，y1），B（x2，y2），联立，得：，由韦达定理和根的判别式知：或k，又0°＜∠MON＜90°⇔cos∠MON＞0⇔＞0，由此能求出直线l的斜率k的取值范围．（3）由题设|BO|=1，|AO|=2．设y1=kx1，y2=kx2，由x2＞0，y2=﹣y1＞0，故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2=，由此能求出S的最大值．解答：解：（1）根据题意易知，所以，设P（x，y），则=x2+y2﹣3==．故﹣2．（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，M（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y，整理得：，∴，由，得：或k，又0°＜∠MON＜90°⇔cos∠MON＞0⇔＞0，∴x1x2+y1y2＞0，又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4==．∵，即k2＜4，∴﹣2＜k＜2．故由①、②得，或．（3）由题设，|BO|=1，|AO|=2．设y1=kx1，y2=kx2，由x2＞0，y2=﹣y1＞0，故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2==≤=2，当x2=2y2时，上式取等号．所以S的最大值为2．点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．。
河北唐山一中14-15学年度高二下学期开学调研考试——数学理(数学(理))
河北唐山一中2014—2015学年度下学期开学调研考试高二数学理试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列选项叙述错误的是（ ）A ．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B ．若命题，则命题是C ．若为真命题，则，均为真命题D ．“”是“”的充分不必要条件2.已知是公比为的等比数列，且成等差数列，则＝（ ） A ． B ． C ． D ．或3．已知满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+,0,0,033y x y x 则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．给出下面四个命题：①“”的充要条件是“平行于所在的平面”；②“直线平面内所有直线”的充要条件是“平面”；③“直线为异面直线”的充分而不必要条件是“直线不相交”；④“平面//平面”的必要而不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”． 其中正确命题的序号是（ ）A.①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 5．设是三角形的一个内角，且，则曲线表示（ ） A ．焦点在轴上的椭圆 B ．焦点在轴上的椭圆 C ．焦点在轴上的双曲线 D ．焦点在轴上的双曲线 6. 正四棱柱中,,则与平面所成角的正弦值等于（ ） A ． B ． C ． D ．7．已知双曲线的离心率，且与椭圆有相同的焦点，该双曲线的渐近线方程是（ ） A ． B ． C ． D ．8．过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于，则为（ ） A ． B ． C ． D ． 9．设点是曲线：（为实常数）上任意一点，点处切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ．[0，]∪ D ．[0，]∪10.是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．如图，正方体的棱长为，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则动点的轨迹是（ ） A ．圆 B ．抛物线 C ．双曲线D ．直线12.()()().3(ln 2)2(ln 3).3(ln 2)2(ln 3).3(ln 2)2(ln 3).3(ln 2)2(ln 3)f x x R f x f x A f f B f f C f f D f f '∈>>=<若函数对任意的都有恒成立，则（ ）与的大小不确定二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.正四棱锥的所有棱长相等，为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值等于 ．14.过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 ．15．在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点到截面的距离是 ． 16．已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围为 ．三．解答题（本大题共6小题，共70分．必须写出相应的文字说明、过程或步骤） 17.（本题满分10分）已知:命题；命题{}2|(2)10,,A x x a x x R =+++=∈.求使命题为假时实数的取值范围.18.（本题满分12分）如图，在直三棱柱中，平面 侧面且. （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与平面所成的角为,求锐二面角的大小. 19．（本题满分12分）已知为实数，函数． (Ⅰ) 若，求函数在上的最大值和最小值；(Ⅱ)若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围．20.（本题满分12分）抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然.如图所示，今有抛物线，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点，反射后，又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线上的点，再反射后又射回点设两点的坐标分别是， (Ⅰ)证明：;(Ⅱ)求抛物线方程.21．（本题满分12分）已知椭圆错误！未找到引用源。
河北唐山市第一中学2014-2015学年高二下学期期末考试理数试题Word版含解析
山一中2014—2015学年度第二学期期末考试高二年级数学（理）试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数i z 21--=，则z1在复平面上表示的点位于 （ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知()(){}3,3,,202y M x y N x y ax y a x ⎧-⎫===++=⎨⎬-⎩⎭且∅=⋂N M ，则=a （ ）A ．-6或-2B ．-6C ．2或-6D ．2【答案】A 【解析】试题分析：(){}3,2,033,≠≠=--=y x y x y x M ，若ϕ=N M ,则两直线平行，或直线过点()3,2两种情况，当平行时，6-=a ，当过点()3,2时，代入0322=+⨯+⨯a a ，解得：2-=a ，故先A.考点：1.集合的运算；直线的位置关系.3.已知具有线性相关的两个变量x,y 之间的一组数据如下：且回归方程是6.295.0ˆ+=x y,则t= （ ） A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.54.设b 、a 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-b a ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设集合}16241|{<<=x x A ,)}3ln(|{2x x y x B -==,从集合A 中任取一个元素,则这个元素也是集合B 中元素的概率是 ( ) A.61 B.31 C.21 D.32 【答案】C 【解析】试题分析：{}42<<-=x x A ，{}30<<=x x B ，{}30<<=x x B A ，所以()212403=---=P考点：1.解不等式；2.几何概型. 6.下列四个结论：①若0>x ，则x x sin >恒成立；②命题“若0,0sin ==-x x x 则”的逆命题为“若0sin ,0≠-≠x x x 则”； ③“命题q p ∨为真”是“命题q p ∧为真”的充分不必要条件； ④命题“0ln ,>-∈∀x x R x ”的否定是“0ln ,000≤-∈∃x x R x ”.其中正确结论的个数是 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.已知函数()()ϕ-=x x f sin ，且()0320=⎰dx x f π，则函数()x f 的图象的一条对称轴是( )A ．65π=x B ．127π=x C ．3π=x D ．6π=x8.设随机变量X 服从正态分布(3,4)N ，则2(13)(7)P X a P X a <-=>+成立的一个必要不充分条件是 （ ）A ．1a =或2B ．1a =±或2C ．2a =D ．a =【答案】B 【解析】试题分析：若等式成立，那么673-12=++a a ，解得0232=+-a a ，解得1=a 或2=a ，所以必要不充分条件是B .考点：1.正态分布；2.必要不充分条件.9.用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n ）=2n·1·3·…·（2n －1）”，从“k 到k+1”左端需增乘的代数式为 （ ） A.2k+1 B.2（2k+1） C.112++k k D.132++k k10.设0>>b a ，则ba b a -++11的最小值为 （ ） A. 2 B.3 C.4 D. 223+11.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为（ ）A ．252B ．216C ．72D ．42【答案】A 【解析】试题分析：将集合分为：{}9630，，，=A ,{}741，，=B ,{}852，，=C ,若z y x ++是3的倍数，那么3个集合各取3个数， 共有36333334=++A A A ,或各取1个，共21633433=⨯⨯⨯A ,所以25221636=+ 考点：排列12.设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 7第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.65()(3)(3)f x x x x =---的展开式中，含3x 项的系数为_________.（用数字作答）14.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且)2(+x f 为偶函数．若1)1(=f ，则=+)9()8(f f __________【答案】1 【解析】试题分析：因为()2+x f 是偶函数，所以()()22+=+-x f x f ，所以函数关于2=x 对称，那么()()()x f x f x f -=+=-4，所以函数满足()()()x f x f x f =+-=++444，所以函数是8=T 的周期函数，所以()()()()11098=+=+f f f f 考点：函数的性质15.函数()f x lnx ax ＝＋的图象存在与直线20x y －＝平行的切线，则实数a 的取值范围是______.据此规律，第n 个等式可为____________________________________.【答案】nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+- 【解析】试题分析：根据归纳推理，观察所得，等号左边，第n 行有n 2个数字加减，等号有边，第n 行有n 个数字相加，并且是后n 个，所以，猜想第n 个等式是nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+-. 考点：归纳推理三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题共10分）已知函数1)(-=x x f （1）解关于x 的不等式01)(2>-+x x f ;（2）若)()(,3)(x g x f m x x g <++-=的解集非空，求实数m 的取值范围.考点：1.含绝对值不等式的解法；2.含绝对值不等式的性质.18.（本小题共12分）在极坐标系中，曲线23)3cos(:),0(cos 2=->=πθρθρl a a C ：,曲线C 与l 有且仅有一个公共点. （1）求a 的值；（2）O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且3π=∠AOB ，求OB OA +的最大值.19.（本题满分12分）某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计（满分150分），其中120分（含120分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：（I ）根据以上两个直方图完成下面的22⨯列联表：（II ）根据()1中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（Ⅲ）若从成绩在[]130,140的学生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）53【解析】试题分析：(Ⅰ)每一个小矩形的面积，表示此分数段的频率，频率50⨯=人数，将不同等级的燃烧，填入表格；（Ⅱ）根据表格，计算相关系数844.42=k ，根据表841,3844.4>，得到结论；（Ⅲ）根据频率分布直方图得到成绩在[]140,130 的学生共有男生4人，女生2人，取到2人至少有1名女生的对立事件是2人都是男生，所以可以先按对立事件计算概率，然后用1减.试题解析：解：(1)……………4分20.（本小题满分12分）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面， DC ∥EB ，DC EB =，4=AB ，41tan =∠EAB ． ⑴证明：平面⊥ADE 平面ACD ；⑵当三棱锥ADE C -体积最大时，求二面角D AE B --的余弦值．【答案】(1)详见解析；（2）62-. 【解析】试题分析：(1)根据面面垂直的判定定理，线面垂直，则面面垂直，，所以证明⊥BC 平面ACD ,又可证明BC DE //,得证；（2）第一步，要先证明点C 在什么位置时，体积最大，首先根据上一问的垂直关系，和即0z=⎧⎪⎨-+=⎪⎩∴2(1,1,0)n =，121212cos,629n nn nn n∴===可以判断12,n n与二面角D AE B--的平面角互补∴二面角D AE B--的余弦值为6-.…………………12分考点：1.面面垂直的判定定理；2.空间向量求二面角；3.基本不等式求最值.21.已知中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆过点P ,且它的离心率21=e . (Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点,若椭圆上一点C 满足OM λ=+,求实数λ的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 22186x y +=;(Ⅱ)(0)(0,2)(Ⅱ) 因为直线l :y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切22.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若k 为正常数，设()()()g x f x f k x =+-，求函数()g x 的最小值；（Ⅲ）若0,0a b >>，证明：()()ln 2()()f a a b f a b f b ++≥+-.【答案】(Ⅰ) ()f x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭;(Ⅱ)2ln k k ；（Ⅲ）详见解析.【解析】试题分析：利用导数考察函数的综合问题，（Ⅰ）第一步，求函数的导数，定义域0>x ，第二步，求函数的极值点，并判断导数的正负区间，即单调区间；（Ⅱ）首先求函数()x g 和函数的定义域，然后求函数的导。
河北唐山市1415学年度上学期高二期末——数学(理)数学(理)
唐山市2014～2015学年度高二年级第一学期期末考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题：A 卷：AACDAACCBD DB B 卷：CACDBACBBD BD 二、填空题：（13）y ＝－116（14）23 （15）3 6 （16）(1，2)三、解答题：（17）解：若命题p 为真，则有∆＝m 2－6＜0，解得－6＜m ＜6． 若命题q 为真，则有⎩⎨⎧m －1＞0，m －3＜0，解得1＜m ＜3． …6分因为“p ∧q ”为真命题，所以p ，q 均为真命题，故有⎩⎨⎧－6＜m ＜6，1＜m ＜3，解得1＜m ＜6． 故所求实数m 的取值范围是1＜m ＜6． …10分（18）解：（Ⅰ）设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．因为O ，A ，B 三点都在圆C 上，所以它们的坐标都是圆C 方程的解， 故⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，50－D －7E ＋F ＝0，80＋8D －4E ＋F ＝0，解此方程组，得D ＝－6，E ＝8，F ＝0． 故所求圆C 的方程为x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0． …6分 （Ⅱ）直线AB 的方程为x －3y －20＝0，故设直线l 的方程为3x ＋y ＋m ＝0． 由题意，圆心C (3，－4)到直线AB 与直线l 的距离相等， 故有|3－3×(－4)－20|12＋(－3)2＝|3×3＋(－4)＋m |32＋12， 解得m ＝0或m ＝－10．所以直线l 的方程为3x ＋y ＝0或3x ＋y －10＝0． …12分（19）解：（Ⅰ）连结BD ，设BD ∩AC ＝O ，易知O 为DB 的中点．又E 为PD 的中点，所以在△PDB 中，OE 为其一条中位线，所以PB ∥OE ．又OE ⊂平面EAC ，PB ⊂/平面EAC ，故PB ∥平面EAC ．…6分（Ⅱ）因为FD ＝ 1 3PD ， 所以点F 到平面ACD （也是平面ABCD ）的距离与点P 到平面ABCD 的距离比为1∶3，又易知△ACD 的面积等于四边形ABCD 面积的一半，所以三棱锥F -ADC 与四棱锥P -ABCD 的体积比为1∶6．…12分（20）解：（Ⅰ）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线方程为x ＝－ p 2， 由抛物线的定义可知：|MF |＝1－(－ p 2)＝2，解得p ＝2， 因此，抛物线C 的方程为y 2＝4x ． …5分 （Ⅱ）F (1，0)，设直线l 的方程为x －1＝my ，将其代入y 2＝4x ，得 y 2－4my －4＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，则y 1＋y 2＝4m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2．因为OAPB 为平行四边形，所以⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2，即⎩⎨⎧x ＝4m 2＋2，y ＝4m ，消去m ，得y 2＝4(x －2)， 所以点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －2)．…12分（21）解： （Ⅰ）因为BC ＝2，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝ π 4， 在△BCC 1中，由余弦定理，可求得C 1B ＝2，所以C 1B 2＋BC 2＝CC 21，C 1B ⊥BC ．又AB ⊥侧面BCC 1B 1，故AB ⊥BC 1，又CB ∩AB ＝B ，所以C 1B ⊥平面ABC ． …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC ，BA ，BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则B (0，0，0)，A (0，2，0)，C (2，0，0)，C 1A →＝(0，2，－2)，C 1E →＝C 1B →＋λBB 1→＝C 1B →＋λCC 1→＝(－2λ，0，2λ－2)， 设平面AC 1E 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ·C 1A →＝0，m ·C 1E →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2λx ＋(2－2λ)z ＝0， 令z ＝2，取m ＝(2(λ－1)λ，1，2)， 又平面C 1EC 的一个法向量为n ＝(0，1，0)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝1___________√__________2(λ－1)2λ2＋3＝5 5，解得λ＝ 1 2． 所以当λ＝ 1 2时，二面角A -C 1E -C 的余弦值为5 5. …12分 （22）解：（Ⅰ）由题意，有B ( a 2， a2)，将点B 的坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1， 得a 2＝3b 2，即a 2＝3(a 2－c 2)，3c 2＝2a 2，故椭圆C 的离心率e ＝ c a ＝63． …5分（Ⅱ）由题意，得b 2＝1，a 2＝3．当直线l 的斜率不存在时，不妨设l 的方程为x ＝1，代入x 23＋y 2＝1， 得M (1，63)，N (1，－63)，|MN |＝263． …7分 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意， 有|m |1＋k2＝1，即m 2＝k 2＋1． 将y ＝kx ＋m 代入x 23＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6km 1＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－31＋3k 2， 所以|MN |＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 2＋x 1)2－4x 1x 2]＝1＋k 2×23(3k 2＋1－m 2)1＋3k 2＝26|k |1＋k 21＋3k 2 ＝26|k |1＋k 2(1＋k 2)＋2k 2≤26|k |1＋k 222|k |1＋k 2＝3（当且仅当k 2＝1时取“＝”）． 因为3 ＞263，所以|MN |的最大值为3 ． …12分。
河北唐山市第一中学2014-2015学年高二下学期期末考试理数试题 含解析
山一中2014—2015学年度第二学期期末考试高二年级数学(理）试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1。
已知复数iz 21--=，则z1在复平面上表示的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D 。
第四象限2。
已知()(){}3,3,,202y M x y N x y ax y a x ⎧-⎫===++=⎨⎬-⎩⎭且∅=⋂N M ,则=a( )A ．-6或-2B ．-6C ．2或-6D ．2【答案】A 【解析】试题分析：(){}3,2,033,≠≠=--=y x y x y x M ,若ϕ=N M ,则两直线平行，或直线过点()3,2两种情况，当平行时，6-=a ，当过点()3,2时，代入0322=+⨯+⨯a a ,解得:2-=a ，故先A 。
考点：1。
集合的运算;直线的位置关系。
3。
已知具有线性相关的两个变量x ，y 之间的一组数据如下：x1 2 3 4y2。
2 4。
3 t 4。
8 6。
7且回归方程是6.295.0ˆ+=x y，则t=（ ）A ．2。
5B ．3.5C ．4。
5D ．5.54.设b 、a 是两个单位向量，其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-b a ”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设集合}16241|{<<=x x A ,)}3ln(|{2x x y x B -==,从集合A 中任取一个元素，则这个元素也是集合B中元素的概率是（ )A 。
61 B 。
31 C 。
21 D 。
32【答案】C【解析】试题分析:{}42<<-=x x A ,{}30<<=x x B ，{}30<<=x x B A ，所以()212403=---=P考点：1。
解不等式;2.几何概型。
河北唐山市第一中学2014-2015学年高二下学期期末考试理数试题-Word版含解析
山一中2014—2015学年度第二学期期末考试高二年级数学（理）试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 复数i z 21--=，则z1在复平面上表示的点位于 （ ）2.已知()(){}3,3,,202y M x y N x y ax y a x ⎧-⎫===++=⎨⎬-⎩⎭且∅=⋂N M ，则=a （ ）A ．-6或-2B ．-6C ．2或-6D ．2【答案】A 【解析】试题分析：(){}3,2,033,≠≠=--=y x y x y x M ，若ϕ=N M ,则两直线平行，或直线过点()3,2两种情况，当平行时，6-=a ，当过点()3,2时，代入0322=+⨯+⨯a a ，解得：2-=a ，故先A. 考点：1.集合的运算；直线的位置关系.3.已知具有线性相关的两个变量x,y 之间的一组数据如下：x0 1 2 3 4 yt且回归方程是6.295.0ˆ+=x y,则t= （ ） A ．2.5 B ．3.5 C4.设b 、a 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-b a ”的 ( )5.设集合}16241|{<<=x x A ,)}3ln(|{2x x y x B -==,从集合A 中任取一个元素,则这个元素也是集合B 中元素的概率是 ( ) A.61 B.31 C.21 D.32 【答案】C 【解析】试题分析：{}42<<-=x x A ，{}30<<=x x B ，{}30<<=x x B A ，所以()212403=---=P考点：1.解不等式；2.几何概型. 6.下列四个结论：①若0>x ，则x x sin >恒成立；②命题“若0,0sin ==-x x x 则”的逆命题为“若0sin ,0≠-≠x x x 则”； ③“命题q p ∨为真”是“命题q p ∧为真”的充分不必要条件； ④命题“0ln ,>-∈∀x x R x ”的否定是“0ln ,000≤-∈∃x x R x ”.其中正确结论的个数是 ( )7.已知函数()()ϕ-=x x f sin ，且()0320=⎰dx x f π，则函数()x f 的图象的一条对称轴是( )A ．65π=x B ．127π=x C ．3π=x D ．6π=x(3,4)N ，则2(13)(7)P X a P X a <-=>+成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．1a =或2B ．1a =±或2C ．2a =D ．352a -= 【答案】B 【解析】试题分析：若等式成立，那么673-12=++a a ，解得0232=+-a a ，解得1=a 或2=a ，所以必要不充分条件是B .考点：1.正态分布；2.必要不充分条件.9.用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n ）=2n·1·3·…·（2n －1）”，从“k 到k+1”左端需增乘的代数式为 （ ） k+1 B.2（2k+1） C.112++k k D.132++k k0>>b a ，则ba b a -++11的最小值为 （ ） A. 2 B.3 C.4 D. 223+11.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为（ ）A ．252B ．216C ．72D ．42【答案】A 【解析】试题分析：将集合分为：{}9630，，，=A ,{}741，，=B ,{}852，，=C ,若z y x ++是3的倍数，那么3个集合各取3个数， 共有36333334=++A A A ,或各取1个，共21633433=⨯⨯⨯A ,所以25221636=+考点：排列函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 7第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.65()(3)(3)f x x x x =---的展开式中，含3x 项的系数为_________.（用数字作答）14.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且)2(+x f 为偶函数．若1)1(=f ，则=+)9()8(f f __________ 【答案】1 【解析】试题分析：因为()2+x f 是偶函数，所以()()22+=+-x f x f ，所以函数关于2=x 对称，那么()()()x f x f x f -=+=-4，所以函数满足()()()x f x f x f =+-=++444，所以函数是8=T 的周期函数，所以()()()()11098=+=+f f f f 考点：函数的性质15.函数()f x lnx ax ＝＋的图象存在与直线20x y －＝平行的切线，则实数a 的取值范围是______.据此规律，第n 个等式可为____________________________________. 【答案】nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+- 【解析】试题分析：根据归纳推理，观察所得，等号左边，第n 行有n 2个数字加减，等号有边，第n 行有n 个数字相加，并且是后n 个，所以，猜想第n 个等式是nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+-. 考点：归纳推理三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题共10分）已知函数1)(-=x x f （1）解关于x 的不等式01)(2>-+x x f ;（2）若)()(,3)(x g x f m x x g <++-=的解集非空，求实数m 的取值范围.考点：1.含绝对值不等式的解法；2.含绝对值不等式的性质.18.（本小题共12分）在极坐标系中，曲线23)3cos(:),0(cos 2=->=πθρθρl a a C ：,曲线C 与l 有且仅有一个公共点. （1）求a 的值；（2）O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且3π=∠AOB ，求OB OA +的最大值.19.（本题满分12分）某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计（满分150分），其中120分（含120分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：列联表：（I）根据以上两个直方图完成下面的22（II ）根据()1中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（Ⅲ）若从成绩在[]130,140的学生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）53【解析】试题分析：(Ⅰ)每一个小矩形的面积，表示此分数段的频率，频率50⨯=人数，将不同等级的燃烧，填入表格；（Ⅱ）根据表格，计算相关系数844.42=k ，根据表841,3844.4>，得到结论；（Ⅲ）根据频率分布直方图得到成绩在[]140,130 的学生共有男生4人，女生2人，取到2人至少有1名女生的对立事件是2人都是男生，所以可以先按对立事件计算概率，然后用1减.试题解析：解：(1)成绩性别 优秀 不优秀 总计 男生 13 10 23 女生 7 20 27 总计203050……………4分20.（本小题满分12分）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC EB =，4=AB ，41tan =∠EAB ． ⑴证明：平面⊥ADE 平面ACD ；⑵当三棱锥ADE C -体积最大时，求二面角D AE B --的余弦值．【答案】(1)详见解析；（2）62-. 【解析】试题分析：(1)根据面面垂直的判定定理，线面垂直，则面面垂直，，所以证明⊥BC 平面ACD ,又可证明BC DE //,得证；（2）第一步，要先证明点C 在什么位置时，体积最大，首先根据上一问的垂直关系，和即022220z x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩∴2(1,1,0)n =， 12121212cos ,629n n n n n n ∴=== 可以判断12,n n 与二面角D AE B --的平面角互补∴二面角D AE B --的余弦值为26-.…………………12分 考点：1.面面垂直的判定定理；2.空间向量求二面角；3.基本不等式求最值.21.已知中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆过点3)P ,且它的离心率21=e . (Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点,若椭圆上一点C 满足OC ON OM λ=+,求实数λ的取值范围.【答案】(Ⅰ) 22186x y +=;(Ⅱ)(2,0)(0,2)-(Ⅱ)因为直线l :y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切22.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若k 为正常数，设()()()g x f x f k x =+-，求函数()g x 的最小值；（Ⅲ）若0,0a b >>，证明：()()ln 2()()f a a b f a b f b ++≥+-.【答案】(Ⅰ) ()f x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭;(Ⅱ)2ln k k ；（Ⅲ）详见解析. 【解析】试题分析：利用导数考察函数的综合问题，（Ⅰ）第一步，求函数的导数，定义域0>x ，第二步，求函数的极值点，并判断导数的正负区间，即单调区间；（Ⅱ）首先求函数()x g 和函数的定义域，然后求函数的导。
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唐山一中2014—2015学年度第一学期高二年级第二次月考数学试题 （理科） 陈玉珍 审核人：姚洪琪试卷Ⅰ（共 60 分）一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ，每题5分，共60分。
请把答案填涂在答题卡上）1.下列命题是真命题的是 （ ）A ．22bc ac b a ＞是＞的充要条件B ．11,1＞是＞＞ab b a 的充分条件 C ．0,00≤∈∃x eR x D ．若q p ∨为真命题，则q p ∧为真2.若当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝ ( )A.3π4B.π4C.3π2D.5π43.两直线y ＝x ＋2a,y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．－15 ＜a ＜1 B ．a ＞1或＜－15 C ．－15≤a ＜1 D ．a ≥1或a ≤－154. 已知:1:1.:||12p q x a x ≥-<-若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,3]B ．[2,3]C ．(2,3)D ．(,3]-∞5. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．46.已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则 （ ） A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l7．正四面体ABCD 的棱长为1，G 是△ABC 的中心，M 在线段DG 上，且∠AMB ＝90°，则GM的长为( )A ．12B ．22C ．33D ．668.如图在三棱锥ABC S -中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，⊥SO 底面ABC ，O 为垂足，则侧棱SA 与底面ABC 所成角的余弦值为 ( )A ．23 B ．21C ．33 D ．63 9.直三棱柱111A B C A B C-中，090=∠BCA ，M N 、分别是1111A B A C 、的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为 ( )A ．110B ．25CD10.若双曲线12222=-by a x 的离心率为,则其渐近线方程为 ( )A ．B．y = C ．D ．11.已知双曲线)0,(12222>=-b a bya x 的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为, 则p = ( )A ．1B ． 23C ．2D ． 312.已知双曲线的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1试卷Ⅱ（共 90 分）二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯SBACO形，那么原平面图形的面积是__________.14. 设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面βα,截球O 的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角βα--l 的平面角为2π，则球O 的表面积为 . 15.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上的任意一点，若以12,,F F P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .16.已知直线y=a 交抛物线y=x 2于A,B 两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB 为直角, 则a的取值范围为 .三、解答题（本题共6个小题，其中第17题10分，其余各题12分共计70分。
请把解答过程写在答题纸上） 17.已知:p 关于x 的不等式23x m -<)0(>m ，:(3)0q x x -<，若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18. 已知过球面上三点A,B,C 的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=6，AB=4.计算球的表面积与体积.19．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点． (1)证明B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正AM 的长．20. 已知点P 是椭圆221167x y +=上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OP OMλ=.求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。
21. .已知抛物线24(0)y x x =>，是否存在正数m ，对于过点(,0)m 且与抛物线有两个交点,A B 的任一直线都有0FA FB ⋅<?若存在求出m 的取值范围，若不存在请说明理由。
22.设椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2 ，两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
答案一选择题： BAAAB DDDDB CA 二填空：22+ 16π三解答题 17. (0,3) 18.54π19.解：(方法一)(1)证明：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．易得11B C ＝(1,0，－1)，CE ＝(－1,1，－1)，于是11B C ·CE ＝0，所以B 1C 1⊥CE .(2)1BC ＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则10,0,B C CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,0.x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩ 消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)．由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故11B C ＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，11B C〉＝11117||||14B C B C ⋅==-⋅m m ， 从而sin 〈m ，11B C . 所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为7. (3)AE ＝(0,1,0)，1EC ＝(1,1,1)．设EM ＝λ1EC ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM ＝AE ＋EM ＝(λ，λ＋1，λ)． 可取AB ＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量． 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈AM ，AB 〉|＝AM AB AM AB⋅⋅＝=.6=，解得13λ=，所以AM (方法二)(1)证明：因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E B 1C 1EC 1 从而B 1E 2＝22111B C EC +，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ，又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1， 所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .(2)过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，连接C 1G .由(1)，B 1C 1⊥CE ，故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角． 在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E CC 1＝2，可得C1G ＝3. 在Rt △B 1C1G 中，B 1G ，所以sin ∠B 1GC 1， 即二面角B 1－CE －C 1的正弦值为7. (3)连接D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连接AH，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A1所成的角．设AM＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH x ，AH x .在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1EH13x =. 在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1， 由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos 135°，得2217111893x x x =++， 整理得5x 2－－6＝0，解得x所以线段AM20.设(,)M x y ，其中[]4,4x ∈-。
由已知222OP OMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222911216()x x y λ+=+。
整理得2222(169)16112x y λλ-+=，其中[]4,4x ∈-。
（i ）34λ=时。
化简得29112y = 所以点M的轨迹方程为44)3y x =±-≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段。
（ii ）34λ≠时，方程变形为2222111211216916x y λλ+=-，其中[]4,4x ∈-当304λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足44x -≤≤的部分。
当314λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足44x -≤≤的部分；当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆；21．（II ）设过点M （)0,m （)0>m 的直线l 与曲线C 的交点为A ),(11y x ，),(22y x B 设l 的方程为m ty x +=，由⎩⎨⎧=+=xy m ty x 42得0442=--m ty y ，0)(162>+=∆m t ，于是⎩⎨⎧-=∙=+m y y ty y 442121① 又),1(),,1(2211y x FB y x FA -=-=，01)()1)(1(021********<+++-=+--⇔<∙y y x x x x y y x x ②又42y x =于是不等式②等价于01]2)[(4116)(01)44(4421221212212221212221<+-+-+⇔<++-+∙y y y y y y y y y y y y y y ③ 把①式代入不等式③有22416t m m <+-④对任意实数t ，42t 的最小值是0，所以不等式④对于一切t 成立等价于0162<+-m m ， 即223-223+ m由此可知，存在正数m ，对于过点M （m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有0<∙FB FA ,且m 的取值范围是（)223,223+-22. 解:假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,即m ≥或m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r =,222228381318m m r m k ===-++,r =所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足3m ≥或3m ≤-,而当切线的斜率不存在时切线为3x =±与椭圆22184x y +=的两个交点为(,)33±或(33-±满足OA OB ⊥,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.。