两直线的位置关系及距离公式

题中，具有一定的综合性.
一、两条直线的位置关系及判定 平面内两条直线的位置关系有平行、相交、重合三种情
况．
1．利用斜率判定
已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. (1)l1∥l2⇔k1＝k2且 b1≠b2 ； (2)l1⊥l2⇔ k1k2＝－1 ；
(3)l1与l2重合⇔k1＝k2且 b1＝b2 .
立．
答案：B
(2)(理)由题意知 y′＝2ax－a，故曲线在(0,1)处的切线斜 率为 y′|x＝0＝－a，而直线 2x＋y＋1＝0 的斜率为－2，由条 件得－2×(－a)＝2a＝－1，解得 a＝－12.
答案：B
(文)当 m＝0 时两直线不垂直，故 m≠0，可得两直线斜 率分别为12，－m2 .由12·－m2 ＝－1 得 m＝1.
限，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，－1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：由题意知 k≠0，
由yy＝＝k－x－x＋11 得xy＝ ＝kkk＋ － ＋2 111， .
因为交点在第一象限，故kkk＋ －＋2 111＞＞00 答案：C
，解得 k＞1.
3．过点(1,0)且与直线x－2y＋2＝0平行的直线方程是( )
解析：两直线的斜率分别为 4－a 和－23， 由两直线垂直的充要条件知(4－a)·－23＝－1， 解得 a＝52. 答案：52
5 ． 直 线 2x ＋ 3y － 6 ＝ 0 关 于 点 (1 ， － 1) 对 称 的 直 线 方 程 为 ________________．
解析：设(x，y)为所求直线上任一点，它关于点(1，－1)的 对称点为(2－x，－2－y)，由题意知2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0， 化简得2x＋3y＋8＝0.即为所求直线方程．
(2)(理)曲线 y＝ax2－ax＋1(a≠0)在点(0,1)处的切线与直
线 2x＋y＋1＝0 垂直，则 a 等于
1 A.2
B．－12
1 C.3
D．－13
(2)(文)若直_.
(3)直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上， 则C的值为________．
考纲要求
考情分析
1.从考查内容看，本考点侧重
1.能根据两条直线的斜率判定 这两条直线平行或垂直． 2.能用解方程组的方法求两条 相交直线的交点坐标． 3.掌握两点间的距离公式、点 到直线的距离公式，会求两条 平行直线间的距离.
于对两直线位置关系、距离公 式及对称问题的考查，且常与 圆、圆锥曲线交汇在一起命 题． 2.从考查形式看，若单独考 查，则以选择题、填空题的形 式出现，难度不大；若与圆、 圆锥曲线结合，则出现在解答
题号 (1) (2) (3)
分析 根据直线平行的充要条件判断． 利用两直线垂直的充要条件求解． 先求出直线2x－3y＋4＝0与y轴的交点，再求C.
解 析 ： (1) 由 两 直 线 平 行 的 充 要 条 件 知 l1∥l2⇔an ＝ bm 且
ap≠cm或an＝bm且bp≠cn.故由l1∥l2可得an＝bm，反之不一定成
2．轴对称 解题方法：利用两对称点的连线与对称轴垂直以及两对称 点的中点在对称轴上列方程组，求出两对称点坐标间的关系后 解题．
1．原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离为( )
A．1
B. 3
C．2
D. 5
解析：d＝ |1－2＋5|22＝ 5. 答案：D
2．若直线l：y＝kx－1与直线x＋y－1＝0的交点位于第一象
答案：2x＋3y＋8＝0
【考向探寻】 1．求两条直线的交点． 2．两条直线平行、垂直的判定及应用．
【典例剖析】
(1)已知两条直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋
p＝0，则“an＝bm”是“直线l1∥l2”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．x－2y＋1＝0
B．x－2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
解析：设所求方程为x－2y＋c＝0，
由过点(1,0)，知1－2×0＋c＝0，所以c＝－1，
故所求直线方程为x－2y－1＝0.
答案：B
4．已知直线(a－4)x＋y＋1＝0与直线2x＋3y－5＝0垂直，则 a＝________.
答案：1
(3)在 2x－3y＋4＝0 中，令 x＝0 得 y＝43，故该直线与 y 轴交点为0，43.由条件知 A·0＋3×43＋C＝0.所以 C＝－4.
(2)若方程组无解，则两条直线 平行 ． (3)若方程组有无数个解，则两直线 重合 ．
，此解就
三、距离
两点 P1(x1，y1)，P2(x2， |P1P2|＝
y2)间的距离
x1－x22＋y1－y22
点 P0(x0，y0)到直线 l：
|Ax0＋By0＋C|
Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝
A2＋B2
两条平行线 Ax＋By＋
(2)l1⊥l2⇔ A1A2＋B1B2＝0
；
(3)l1与l2重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)．
二、两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
则两直线的 交点坐标
就是方程组的解．
(1) 若 方 程 组 有 惟 一 解 ， 则 两 条 直 线 相交 是 交点坐标 ．
|C1－C2|
C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝ d＝ A2＋B2
0 间的距离
点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式对直线方 程有什么要求？
提示：点到直线的距离公式中要求直线方程为一般式；两 平行线间的距离公式中要求方程为一般式，且x，y项的系数相 同．
四、对称问题 1．中心对称 解题方法：利用中点坐标公式． 特别地，两点关于原点对称时，解题的方法是以－x代替x， 以 －y 代替y.
若直线l1、l2的斜率都不存在，则l1、l2平行或重合； 若 直 线 l1 、 l2 中 一 条 没 有 斜 率 ， 另 一 条 斜 率l1⊥为l20 ，
则
.
2．利用直线方程的系数判定
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2⇔ A1B2＝A2B1 且A2C1≠A1C2(或B2C1≠B1C2)．