两直线的位置关系及距离公式
28知识讲解_两直线的位置关系、交点坐标与距离公式_提高
两直线的位置关系、交点坐标与距离公式编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离.3．熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件.【要点梳理】【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识要点1】要点一：直线的交点求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.要点二：过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．要点三：两直线平行设两条不重合的直线的斜率分别为.若，则与的倾斜角与相等.由，可得，即.因此，若，则.反之，若，则.要点诠释：1.公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则.要点四：两直线垂直21tan tan αα=21k k =1111110(0)A x B y C A B C ++=≠2222220(0)A x B y C A B C ++=≠11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩111222A B CA B C ==111222A B C A B C =≠1122A BA B ≠,x y 1111:0l A x B y C ++=2222:0l A x B y C ++=111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=λλ2220A x B y C ++=2l 21,l l 21,k k 21//l l 1l 2l 1α2α21αα=21//l l 21k k =21k k =21//l l 2121//k k l l =⇔21k k ，21l l 与21l l 与90︒21//l l设两条直线的斜率分别为.若，则.要点诠释：1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.要点五：两点间的距离公式两点间的距离公式为.要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.要点六：点到直线的距离公式点到直线的距离为要点诠释：（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.要点七：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为要点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x ，y 的系数分别是相同的，才能使用此公式.【典型例题】类型一、判断两直线的位置关系例1．是否存在实数a ，使三条直线，，能围成一个三角形？请说明理由．【思路点拨】 要使三条直线能围成一个三角形，则它们中任意两条都不平行，且三条直线不相交于同一点．【答案】a ≠1且a ≠－1且a ≠―221,l l 21,k k 21l l ⊥121-=⋅k k 12121-=⋅⇔⊥k k l l 111222()()P x y P x y ，，，12P P =00()P x y ，0Ax By C ++=d 00()P x y ，0Ax By C ++=P 10Ax By C ++=20Ax By C ++=d 2221||BA C C d +-=1:10l ax y ++=2:10l x ay ++=3:0l x y a ++=【解析】（1）当时，，即a=±1．（2）当时，―a=―1，即a=1．（3）当时，，即a=1．（4）当与、相交于同一点时，由得交点（―1―a ，1），将其代入ax+y+1=0中，得a=―2或a=1．故当a ≠1且a ≠－1且a ≠―2时，这三条直线能围成一个三角形．【总结升华】 本例分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意．举一反三：【变式1】直线5x+4y ―2m ―1=0与直线2x+3y ―m=0的交点在第四象限，求m 的取值范围．【答案】【解析】解得所以，解得．类型二、过两条直线交点的直线系方程例2．求经过两直线2x ―3y ―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y ―1=0平行的直线方程．【思路点拨】 可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系（平行系或过定点系）求直线方程．【答案】15x+5y+16=0【解析】解法一：设所求的直线为，由方程组得．∵直线和直线3x+y ―1=0平行，∴直线的斜率k=―3．∴根据点斜式有，即所求直线方程为15x+5y+16=0．12//l l 1a a-=-13//l l 23//l l 11a-=-1l 2l 3l 10x ay x y a ++=⎧⎨++=⎩3,22⎛⎫-⎪⎝⎭54210,230,x y m x y m +--=⎧⎨+-=⎩23727m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩2307207m m +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩3,22m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭l 233020x y x y --=⎧⎨++=⎩3575x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩l l 73355y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦解法二：∵直线过两直线2x ―3y ―3=0和x+y+2=0的交点，∴设直线的方程为2x ―3y ―3+(x+y+2)=0，即(+2)x+(―3)y+2―3=0．∵直线与直线3x+y －1=0平行，∴，解得．从而所求直线方程为15x+5y+16=0．【总结升华】直线系是直线和方程理论的发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用． 举一反三：【变式1】求证：无论m 取什么实数，直线(2m ―1)x+(m+3)y ―(m ―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．证法一：对于方程(2m ―1)x+(m+3)y ―(m ―11)=0，令m=0，得x ―3y ―11=0；令m=1，得x+4y+10=0．解方程组，得两直线的交点为（2，―3）．将点（2，―3）代入已知直线方程左边，得(2m ―1)×2+(m+3)×(―3)―(m ―11)=4m ―2―3m ―9―m+11=0．这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点（2，―3）．证法二：将已知方程以m 为未知数，整理为(2x+y ―1)m+(―x+3 y+11)=0．由于m 取值的任意性，有，解得．所以所给的直线不论m 取什么实数，都经过一个定点（2，―3）．类型三：两条直线平行的条件例3．已知ABCD 的三个顶点的坐标分别是A （0，1），B （1，0），C （4，3），求顶点D 的坐标．【答案】 （3，4）【解析】解法1：设D （m ，n ），线段AC 的中点为E （2，2），所以线段BD 的中点为E （2，2），则，解得m=3，n=4，所以D （3，4）．解法2：设D （m ，n ），由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB =k DC ，k AD =k BC ，所以，解得m=3，n=4，所以D （3，4）．【总结升华】 解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决．解决本题的关键是如何利用平行四边形的几何性质，其出发点是已知平行四边形的三个顶点如何作出第四个顶点，这两种作法对应着两种解法．举一反三：l l λλλλl 2323311λλλ+--=≠-112λ=31104100x y x y ---⎧⎨++=⎩2103110x y x y +-=⎧⎨-++=⎩23x y =⎧⎨=-⎩122022m n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩013104130041nmn m --⎧=⎪⎪--⎨--⎪=⎪--⎩【变式1】与直线平行，并且距离等于的直线方程是____________。
两直线的位置关系及距离公式
解：(1)取直线 2x－y＋2＝0 上一点 A(0,2)，设点 A(0,2) 关于直线 x＋y－5＝0 对称的点为 B(a，b)，
则a2b＋ －a b2＋ ＝2 21－5＝0
，解得ab＝ ＝35 ，
∴B(3,5)，
由2x＋ x－y－ y＋52＝＝00 ，解得xy＝ ＝14 ，
∴直线 2x－y＋2＝0 与直线 x＋y－5＝0 的交点为 P(1,4)，
线的距离公式，会求两条平行直 难度不大；若与圆、圆锥曲线结
线间的距离.
合，则出现在解答题中，具有一
定的综合性.
一、两条直线的位置关系及判定
平面内两条直线的位置关系有平行、相交、重合三种情况．
1．利用斜率判定
已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
(1)l1∥l2⇔k1＝k2且
；
(2)l1⊥l2⇔
∴|4a＋35b－2|＝2，即4a＋3b－2＝±10.
②
由①②得ab＝ ＝1－，4， 或ab＝ ＝2－77， 87.
∴所求点P的坐标为(1，－4)或277，－87.
【考向探寻】 1．解关于“中心对称、轴对称”的问题． 2．利用对称解决有关最值问题、光线反射问题．
【典例剖析】
(1)一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，则
反射光线所在的直线方程为
A．2x＋y－6＝0
B．x－2y＋7＝0
C．x－y＋3＝0
D．x＋2y－9＝0
(2)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求： ①点A关于直线l的对称点A′的坐标； ②直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
(1)利用入射光线上的点关于直线x＋y－5＝0的对称点在反射光线上解题． (2)①直线l为线段AA′的垂直平分线，利用垂直关系，中点坐标公式解方程 组求出A′点坐标；②转化为点关于直线的对称．
第2讲 直线的位置关系和距离公式
第2讲 直线的位置关系和距离公式【教学目标】知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的 几何问题。
过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充 分体会数形结合的优越性。
情感态度和价值观：体会事物之间的内在联系， 能用代数方法解决几何问题 。
教学重点：两点间距离公式的推导。
教学难点：应用两点间距离公式证明几何问题考点链接：理解直线的位置关系，掌握点到直线以及直线与直线的距离公式 [知识梳理]：1. 两点之间的距离公式⑴已知11(,)A x y ，22(,)B x y ，则(,)d A B⑵中点公式：已知12(,)A x x ，22(,)B x y ，则中点坐标为：122x x x +=，122y y y += 2. 两条直线的位置关系1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++= ⑴两条直线相交、平行与重合条件： ①相交的条件：12210A B A B -≠②平行的条件：12210A B A B -=且12120B C C B -≠ ③重合的条件：12A A λ=，12B B λ=，12(0)C C λλ=≠ ⑵两条直线垂直的条件：12120A A B B += 3. 点到直线的距离公式点00(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离d 的计算公式：d =[典型例题]例1.(1)过点P （5，-2）且与直线x -y -5=0相交成45°角的直线l 的方程 ． (2)两条直线l 1：3x-4y+9=0和l 2：5x+12y-3=0的夹角大小为 ．例2.(1)已知直线y=t 与函数f （x ）=3x 及函数g （x ）=4•3x 的图象分别相交于A 、B 两点，则A 、B 两点之间的距离为 ． (2)已知定义在上的函数y=2（sinx+1）与的图象的交点为P ，过P 作PP 1⊥x 轴于P 1，直线PP 1与y=tanx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为 ． 例3．(1)在极坐标系中，直线C 1：ρcosθ-ρsinθ=1与直线C 2：ρsinθ-2ρcosθ=1的夹角大小为 ．（用反三角表示）(2)已知直线l ：5x+2y+3=0，直线l′经过点P （2，1）且与l 的夹角等于45°，则直线l′的一般方程是 ．例4．(1)已知直线l 的方程为2x-y-3=0，点A （1，4）与点B 关于直线l 对称，则点B 的坐标为 ．(2)已知直线l1的方程为y=2x+3，若直线l2与l1关于直线y=-x对称，则直线l2的斜率为．例5.已知点A（-1，1），B（2，-2），若直线l：x+my+m=0与线段AB相交（包含端点的情况），则实数M的取值范围是．例6．两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（-3，-1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．求：（1）d的变化范围；（2）当d取最大值时两条直线的方程．[知识窗]：由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。
高三数学直线与直线的位置关系
g3.1075 直线与直线的位置关系一、知识要点（一）平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交。
(二)点到直线的距离、直线与直线的距离1、点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离为：d=)0(222200≠++++B A B A CBy Ax2、直线l 1∥l 2，且其方程分别为l 1：Ax+By+C 1=0,l 2：Ax+By+C 2=0,则l 1与l 2的距离为：d=)0(222221≠++-B A B A C C（三）两条直线的交角公式若直线l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，则（1）直线l 1到l 2的角满足：tan )1(1212112-≠+-=k k k k k k θ. （2） 直线l 1与直线l 2所成的角（简称夹角）θ满足：tan )1(1212112-≠+-=k k k k k k θ 说明：（1）当l 1和l 2的斜率都不存在时，所成的角为00；（2）当l 1与l 2的斜率有一个存在时，可画图、观察，根据另一条直线的斜率得出所求的角；（3）l 1到l 2的角1θ不同于l 2到l 1的角2θ，它们满足：πθθ=+21.（四）两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。
二、考试要求掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判定两直线的位置关系；会求两条相交直线的夹角和交点；掌握点到直线的距离公式。
三、基本训练1、点（4，a ）到直线4x －3y =1的距离不大于3，则实数a 的取值范围是………………………（ ）(A )[2，12] (B )[1，12] (C )[0，10] (D )[－1，9]2、两直线的斜率相等是两直线平行的： （ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3设方程f(x, y)=0表示定直线，M(x 0, y 0)是直线L 外的定点，则方程f(x, y)－f(x 0, y 0)=0表示直线：（ ）A 、过M 与l 相交，但与l 不垂直B 、过M 且与l 垂直C 、过M 与l 平行D 、以上都不对4、已知直线l 和直线m 的方程分别为2x －y+1=0，3x －y=0，则直线m 关于直线l 的对称直线m ′的方程为 。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式
两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程是相同的，具体为：1） 斜截式：直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b ⇔==。
2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B CA B C A B C ⇔==≠。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。
2．平行：如果两条直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。
1） 斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+平行1212,k k b b ⇔=≠ 2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=平行()1112222220A B C A B C A B C ⇔=≠≠。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论） 3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
1）斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k ⇔≠2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B ⇔≠ 3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。
例1：已知直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=，求适合下列条件的a的取值范围。
1）1l 与2l 相交； 2）12//l l ； 3）1l 与2l 重合。
例2：设三条直线21,23,345x y x ky kx y -=+=+=交于一点，求k 的值。
两直线的位置关系及距离公式
06
总结回顾与拓展延伸
总结回顾本次课程重点内容
两直线平行与重合的判定
两直线垂直的判定
点到直线的距离公式
两平行线间的距离公式
通过比较两直线的斜率，可以 判断两直线是否平行或重合。 若两直线斜率相等且不重合， 则两直线平行；若两直线斜率 相等且重合，则两直线重合。
两直线垂直的充分必要条件是 它们的斜率互为负倒数。即， 若一直线的斜率为m，另一直线 的斜率为-1/m，则这两直线垂 直。
通过比较两直线的斜率，若斜率 相等且截距不等，则两直线平行。
相交关系
定义
两直线在同一平面内，且斜率不相等，则称两直线相 交。
性质
相交直线有且仅有一个交点，且相交形成的角的大小 与两直线的斜率有关。
判定方法
通过比较两直线的斜率，若斜率不相等，则两直线相 交。
重合关系
定义
两直线在同一平面内，且斜率和截距都相等，则称两直线重合。
THANKS
感谢观看
在同一平面内，两条直线的位 置关系有平行、相交和重合三 种。
直线的倾斜角是直线与x轴正方 向之间的夹角，取值范围是[0,π)。
直线的方程形式
一般式
Ax + By + C = 0（A、B不 同时为0）。
斜截式
y = kx + b（k是斜率，b是 截距）。
点斜式
两点式
y - y1 = k(x - x1)（k是斜率， (x1, y1)三个顶点分别为$A(1, 2)$，$B(-3, -2)$， $C(5, 6)$，求三角形ABC的面积。
解析
首先求出三角形ABC的三边所在直线的方程，然后利用点 到直线的距离公式求出三角形的高，最后利用底和高求出 三角形的面积。
两直线之间的距离公式
两直线之间的距离公式
两直线间的距离公式如下：
1、两平行线分别为L1：Ax+By+C1=0，L2：Ax+By+C2=0。
在L2上任取一点P（x0，y0）。
则Ax0+By0+C2=0，Ax0+By0=-C2。
2、根据点到直线距离公式：
P到L1距离为：
|Ax0+By0+C1|/√（A²+B²）。
=|-C2+C1|/√（A²+B²）。
=|C1-C2|/√（A²+B²）。
两点间距离公式常用于函数图形内求两点之间距离、求点的坐标的基本公式，是距离公式之一。
两点间距离公式叙述了点和点之间距离的关系。
先看在X轴上的两点之间的距离，高两点的坐标分别是X1和X2，那么两点间距离是|X1-X2|，同理在Y轴上也是一样。
即|Y1-Y2|那么在平面直角坐标系中，任意两点间距离，可以连接两点，再分别过两点作两坐标轴的平行线，这样就构成了一个直角三角形。
通过第一段的叙述可以知道两的直角边分别是|X1-X2|，|Y1-Y2|，则利用勾股定理可知，斜边是根号下（|X1-X2|的平方+|Y1-Y2|的平方）这个就是两点间距离公式。
两直线的位置关系与距离公式
两直线的位置关系与距离公式[归纳·知识整合]1．两条直线的交点设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解， (1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立． [探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个交点时，两条直线重合．2．距离[探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x 、y 的系数对应相等．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析：选D d ＝|－5|12＋22＝ 5.2．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为( ) A ．10 B ．5 C ．8D ．6解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＝6，b ＝8，即A (6,0)，B (0,8)．所以|AB |＝(6－0)2＋(0－8)2＝36＋64＝10.3．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝( ) A ．－1 B ．－12C ．2D.12解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，将其代入x ＋by ＝0，得b ＝－12.4．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________． 解析：设直线l 1的方程为x ＋y ＋λ＝0，则 2＝|－1－λ|12＋12＝|λ＋1|2，解得λ＝1或λ＝－3.即直线l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝05．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________． 解析：设对称点为(a ，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.答案：(－4，－3)[例1] (1)经过直线l 1：x ＋y ＋1＝0与直线l 2：x －y ＋3＝0的交点P ，且与直线l 3：2x －y ＋2＝0垂直的直线l 的方程是________________．(2)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数m ，n 满足的条件是__________．[自主解答] (1)法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即点P (－2,1)，∵l 3⊥l ，∴k ＝－12，∴直线l 的方程为y －1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＝0.法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x ＋y ＋1＋λ(x －y ＋3)＝0， 即(1＋λ)x ＋(1－λ)y ＋1＋3λ＝0.∵l 与l 3垂直，∴2(1＋λ)－(1－λ)＝0，解得λ＝－13.∴直线l 的方程为23x ＋43y ＝0，即x ＋2y ＝0.(2)因为两直线l 1与l 2相交，所以当m ＝0时，l 1的方程为y ＝－n 8，l 2的方程为x ＝12，两直线相交，此时m ，n 满足条件m ＝0，n ∈R ；当m ≠0时，由两直线相交．所以m 2≠8m ，解得m ≠±4，此时，m ，n 满足条件m ≠±4，n ∈R .[答案] (1)x ＋2y ＝0 (2)m ≠±4，n ∈R若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”，试求l 的方程．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋1＝0，x －y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即点P (－2，1)．又l ∥l 3，即k ＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x ＋2)， 即2x －y ＋5＝0. ——————————————————— 经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(这个直线系方程中不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)或m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0.1．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)反证法：假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，则有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0得k 21＝k 22＝－2，显然不成立，与已知矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝⎛⎭⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1， 即交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．[例2] 已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．[自主解答] (1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见， 过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件， 此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过P 点与原点O 的距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线， 因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线． ——————————————————— 求两条平行线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式．2．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)， ∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1， ∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. ∵点P (a ，b )在上述直线上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|5＝2， 即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87.[例3] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． [自主解答] (1)设A ′(x ，y )，再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0， 得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. ——————————————————— 求点关于直线对称问题的基本方法(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直； (2)已知点与对称点的中点在对称轴上．利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题．3．直线y ＝2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线，若点A (－4,2)，B (3,1)，求点C 的坐标．解：把A ，B 两点的坐标代入y ＝2x 知，A ，B 不在直线y ＝2x 上，因此y ＝2x 为∠ACB 的平分线，设点A (－4,2)关于y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b )，则k AA ′＝b －2a ＋4，线段AA ′的中点坐标为⎝⎛⎭⎫a －42，b ＋22，∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4·2＝－1，b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，∴A ′(4，－2)．∵y ＝2x 是∠ACB 平分线所在直线的方程，∴A ′在直线BC 上，∴直线BC 的方程为y ＋21＋2＝x －43－4，即3x ＋y －10＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴C (2,4)．1条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0.1种思想——转化思想在对称问题中的应用一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决．2个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点 (1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑；(2)运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2的前提是将两方程中的x ，y 的系数化为分别相等.创新交汇——新定义下的直线方程问题1．直线方程是高考的常考内容，但一般不单独考查，常与圆、圆锥曲线、函数与导数、三角函数等内容相结合，以交汇创新的形式出现在高考中．2．解决新定义下的直线方程的问题，难点是对新定义的理解和运用，关键是要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中．[典例] (2013·上海模拟)在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义[OP ]＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点．对于以下结论：①符合[OP ]＝1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2； ②设P 为直线5x ＋2y －2＝0上任意一点，则[OP ]的最小值为1； 其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)．[解析] ①由[OP ]＝1，根据新定义得，|x |＋|y |＝1，上式可化为y ＝－x ＋1(0≤x ≤1)，y ＝－x －1(－1≤x ≤0)，y ＝x ＋1(－1≤x ≤0)，y ＝x－1(0≤x ≤1)，画出图象如图所示．根据图形得到四边形ABCD 为边长是2的正方形，所以面积等于2，故①正确；②当点P 为⎝⎛⎭⎫25，0时，[OP ]＝|x |＋|y |＝25＋0<1，所以[OP ]的最小值不为1，故②错误；所以正确结论有①.[答案] ① [名师点评]1．本题有以下创新点(1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙地结合创新．(2)考查新定义、新概念的理解和运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与思维习惯有所不同．2．解决本题的关键有以下两点(1)根据新定义，讨论x 的取值，得到y 与x 的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；(2)认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP ]的最小值为1是假命题． 3．在解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点 (1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；(3)注意新概念、新结论的正用会怎样，逆用会怎样，变形用又将会如何．[变式训练]四边形OABC 的四个顶点坐标分别为O (0,0)，A (6,2)，B (4,6)，C (2,6)，直线y ＝kx ⎝⎛⎭⎫13<k <3把四边形OABC 分成两部分，S 表示靠近x 轴一侧那部分的面积．(1)求S ＝f (k )的函数表达式；(2)当k 为何值时，直线y ＝kx 将四边形OABC 分为面积相等的两部分．解：(1)如图所示，由题意得k OB ＝32.①当13<k <32时，直线y ＝kx 与线段AB ：2x ＋y ＝14相交，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，2x ＋y ＝14， 解得交点为P 1⎝⎛⎭⎫14k ＋2，14k k ＋2.因为点P 1到直线OA ：x －3y ＝0的距离为d ＝14(3k －1)10(k ＋2)，所以S ＝12|OA |·d ＝14(3k －1)k ＋2；②当32≤k <3时，直线y ＝kx 与线段BC ：y ＝6相交于点P 2⎝⎛⎭⎫6k ，6，所以S △OP 2C ＝12|P 2C |·6＝6(3－k )k.又因为S 四边形OABC ＝S △AOB ＋S △OBC ＝14＋6＝20， 所以S ＝S 四边形OABC －S △OP 2C ＝26－18k .故S ＝f (k )＝⎩⎨⎧14(3k －1)k ＋2⎝⎛⎭⎫13<k <32，26－18k ⎝⎛⎭⎫32≤k <3.(2)若要直线y ＝kx 平分四边形OABC 的面积，由(1)，知只需14(3k －1)k ＋2＝10，解得k ＝1716.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12 B.32 C.322D.22解析：选C d ＝|1－(－1)×1＋1|12＋(－1)2＝322.2．(2013·海口模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3) 解析：选D 由题意知，直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)， 令x ＝0，得y ＝3，即点P 的坐标为(0,3)．3．(2013·南昌模拟)P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为 2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，|4x －6|＝2,4x －6＝±2，即x ＝1或x ＝2，故P (1,2)或(2，－1)．4．(2013·南京调研)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －5＝0C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.5.直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到l 的距离为10.则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0，得交点(2,2)，设l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0， ∵|5k －1＋2－2k |k 2＋(－1)2＝10，解得k ＝3.∴l 的方程为3x －y －4＝0.6．曲线|x |2－|y |3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围是( )A ．m >4或m <－4B ．－4<m <4C ．m >3或m <－3D ．－3<m <3解析：选A 曲线|x |2－|y |3＝1的草图如图所示．与直线y ＝2x ＋m 有两个交点．则m >4或m <－4.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知坐标平面内两点A (x ，2－x )和B ⎝⎛⎭⎫22，0，那么这两点之间距离的最小值是________．解析：d ＝ ⎝⎛⎭⎫x －222＋( 2－x )2＝2⎝⎛⎭⎫x －3242＋14≥12.即最小值为12.答案：128．与直线x －y －2＝0平行，且它们的距离为22的直线方程是________________．解析：设与直线x －y －2＝0平行的直线方程为x －y ＋c ＝0，则22＝|c ＋2|12＋(－1)2，得c ＝2或c ＝－6，即所求直线方程为x －y ＋2＝0或x －y －6＝0.答案：x －y ＋2＝0或x －y －6＝0 9．平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________(将你认为所有正确的序号都填上)．①0 ②12③1 ④2 ⑤3 解析：三条直线将平面分为6部分，则这三条直线相交于一点或有且只有两条平行，经验证可知，当k ＝0,1,2时均符合题意．答案：①③④三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.11．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0. 12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P ，(1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，解得λ＝2或λ＝12. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)．∴d max ＝|P A |＝10.1．记直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直时m 的取值集合为M ，直线x ＋ny ＋3＝0与直线nx ＋4y ＋6＝0平行时n 的取值集合为N ，则M ∪N ＝________.解析：当直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直时，m 满足(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，解得m ＝12或m ＝－2， 故M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，12； 直线x ＋ny ＋3＝0与直线nx ＋4y ＋6＝0平行，当n ＝0时，显然两直线不平行；当n ≠0时，两直线平行的充要条件是1n ＝n 4≠36，即n ＝－2，所以N ＝{－2}． 故M ∪N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，12. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，12 2．已知 A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上，则AC 所在直线方程是________________．解析：设点A 关于直线y ＝x ＋1对称的点A ′为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－1x 0－3＝－1，y 0＋12＝x 0＋32＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝4， 即A ′(0,4)． 故直线A ′B 的方程为2x －y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0，y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2， 即C (－3，－2)．故直线AC 的方程为x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝03．已知直线l 过点P (3,1)且被两平行线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．解：法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别是A (3，－4)，B (3，－9)，截得的线段长|AB |＝|－4＋9|＝5，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1，分别与直线l 1，l 2的方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，1－4k k ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，1－9k k ＋1. 由两点间的距离公式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k k ＋1－1－9k k ＋12＝25， 解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1.综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.法二：设直线l 与l 1，l 2分别相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0.两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5.①又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25，②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 2＝5，y 1－y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0，y 1－y 2＝5， 由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°，故所求的直线方程为x ＝3或y ＝1.法三：因为两平行线间的距离d ＝|6－1|2＝522， 如图，直线l 被两平行线截得的线段为5，设直线l 与两平行线的夹为角θ，则sin θ＝22， 所以θ＝45°.因为两平行线的斜率是－1，故所求直线的斜率不存在或为零．又因为直线l 过点D (3,1)，所以直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.4．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．解：(1)当直线l 在两坐标轴上的截距不为零时，可设方程为x ＋y ＋m ＝0(m ≠0)， 由已知|1＋3＋m |12＋12＝2，解得m ＝－2或m ＝－6， 故所求的直线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.(2)当直线l 在两坐标轴上的截距为零时，可设方程为y ＝kx ， 由已知|k －3|k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝1或k ＝－7， 故所求的直线方程为x －y ＝0或7x ＋y ＝0.综上，所求的直线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0或x －y ＝0或7x ＋y ＝0.。
直线的交点及距离公式
直线的交点坐标与距离公式小华以马路上的电线杆为起点，先向东走了5 m ，然后又向西走了8 m ，那么小华现在的位置离电线杆多远？对于这类问题，我们可以建立一个直线坐标系，确定出正、负方向，用向量的方式来解决．1．两条直线的交点坐标(1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．(2)应用：可以利用两直线的__交点个数__判断两直线的位置关系．一般地，将直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0． 当方程组__有唯一__解时，l 1和l 2相交，方程组的解就是交点坐标； 当方程组__无__解时，l 1与l 2平行； 当方程组__有无数组__解时，l 1与l 2重合． 2．两点间的距离公式两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝． 3．坐标法(1)定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法． (2)步骤：①建立__坐标系__，用坐标表示有关的量：②进行有关代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系．预习自测1．两条直线l 1：2x －y －1＝0与l 2：x ＋3y －11＝0的交点坐标为( B ) A ．(3,2) B ．(2,3) C ．(－2，－3)D ．(－3，－2)[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0x ＋3y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3.故选B ．2．已知M (2,1)、N (－1,5)，则|MN |＝__5__. [解析] |MN |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5．3．求经过两条直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程.[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－35y ＝－75．∵所求直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行∴直线l 的斜率k ＝－3，根据点斜式可得y －(－75)＝－3[x －(－35)]．即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0．4．直线l 经过原点，且经过另两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为( B )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y ＝0C ．x ＋2y ＝0D ．x －2y ＝0[解析] 解法1：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2∴k l ＝2.∴l 的方程为y ＋2＝2(x ＋1)，即2x －y ＝0． 解法2：设l ：2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0． ∵l 过原点∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴l 方程为2x －y ＝0．命题方向1 ⇨两直线的交点问题典例1 判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0； (3)l 1：x －y ＋1＝0，l 2：2x －2y ＋2＝0．[思路分析] 题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解的个数．[解析] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋3＝0x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0 ①2x ＋2y ＋3＝0 ②，①×2－②得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2．(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0 ①2x －2y ＋2＝0 ②，①×2得2x －2y ＋2＝0，因此，①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线．所以两直线重合．『规律方法』 两条直线相交的判定方法：(1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交； (2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交． 〔跟踪练习1〕(1)已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点坐标为( C ) A ．(－1，13)B ．(1，13)C ．(13，1)D ．(－1，－13)(2)若两直线l 1：x ＋my ＋12＝0与l 2：2x ＋3y ＋m ＝0的交点在y 轴上，则m 的值为( C ) A ．6 B ．－24 C ．±6D ．以上都不对[解析] (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝03x ＋5y －6＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13y ＝1，故交点为(13，1)．(2)分别令x ＝0，求得两直线与y 轴的交点分别为：－12m 和－m3由题意得－12m ＝－m 3解得m ＝±6.命题方向2 ⇨平面上两点间的距离典例2 已知A (a,3)和B (3,3a ＋3)的距离为5，求a 的值. [思路分析] 利用两点间距离公式列方程解得a 的值． [解析] ∵|AB |＝(a －3)2＋(3－3a －3)2＝5 即5a 2－3a －8＝0，∴a ＝－1或a ＝85．『规律方法』 两点间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，利用此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进行研究．我们求线段的长度时，常常使用两点间的距离公式．〔跟踪练习2〕已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为__(－5,0)或(11,0)__．[解析]设点P的坐标为(x,0)，由|P A|＝10得(x－3)2＋(0－6)2＝10解得x＝11或x＝－5．∴点P的坐标为(－5,0)或(11,0)．典例3 已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)、B(－1,3)、C(3,0).(1)判定△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．[解析](1)如图，△ABC可能为直角三角形，下面进行验证解法一：∵|AB|＝(－1－1)2＋[3－(－1)]2＝20＝2 5|AC|＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝ 5|BC|＝[3－(－1)]2＋(0－3)2＝25＝5∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．解法二：∵k AB＝3－(－1)－1－1＝－2，k AC＝0－(－1)3－1＝12∴k AB·k AC＝－1∴AB⊥AC∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．(2)∵∠A＝90°∴S△ABC＝12|AB|·|AC|＝5．『规律方法』三角形形状的判定方法：(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定思考的方向．(2)在分析三角形的形状时，要从两个方面来考虑，一是考虑角的特征；二是考虑三角形边的长度特征．〔跟踪练习3〕已知点A (1,2)、B (3,4)、C (5,0)则△ABC 的形状为( C ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形[解析] ∵|AB |＝(4－2)2＋(3－1)2＝2 2 |AC |＝(0－2)2＋(5－1)2＝2 5 |BC |＝(5－3)2＋(0－4)2＝2 5 ∴|AC |＝|BC |．又∵A 、B 、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．典例4 若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0共有三个不同的交点，则a 的取值范围为( D )A ．a ≠±1B ．a ≠1且a ≠－2C ．a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[错解] 选A 或选B[错因分析] 在解题过程中，若由①处得a ≠1且a ≠－2，错选B ，原因在于考虑问题不全面，只考虑三条直线相交于一点而忽视了任意两条平行或重合的情况．由②处得a ≠±1，错选A ，只考虑了三条直线斜率不相等的条件，忽视三条直线相交于一点的情况．[解析] 因为三条直线有三个不同的交点，需三条直线两两相交且不共点，由条件不易直接求参数，可考虑从反面着手求解．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0x ＋y ＋a ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1,1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2.①(2)若l 1∥l 2，由a ×a －1×1＝0，解a ＝±1，② 当a ＝1时，l 1与l 2重合．(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，解得a ＝1 当a ＝1，l 2与l 3重合．(4)若l 1∥l 3，则a ×1－1×1＝0得a ＝1 当a ＝1时，l 1与l 3重合．综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2； 当a ＝－2时，三条直线交于一点所以要使三条直线共有三个交点，需a ≠±1且a ≠－2．[正解] D 〔跟踪练习4〕若三条直线l 1：4x ＋y ＋4＝0，l 2：mx ＋y ＋1＝0，l 3：x －y ＋1＝0不能围成三角形，求m 的值．[错解] 当三条直线中至少有两条平行时，三条直线不能围成三角形．显然l 1与l 3不平行．当l 1∥l 2时，m ＝4；当l 2∥l 3时，m ＝－1．[错因分析] 错解直接认为只有当存在两条直线平行时，不能构成三角形，而忽略了三线共点时也不能构成三角形，此时只需求出两条直线的交点坐标，同时满足第三条直线即可．[正解] 显然l 1与l 3不平行，当l 1∥l 2或l 2∥l 3时，不能构成三角形，此时对应m 的值分别为m ＝4，m ＝－1；当直线l 1，l 2，l 3经过同一个点时，也不能构成三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，4x ＋y ＋4＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，代入l 2的方程，得－m ＋1＝0，∴m ＝1． 综上可得m ＝4或－1或1．[警示] 解决三条直线不能围成三角形的问题时，除了三条直线中至少有两条平行外，还要注意三线共点这一特殊情况．直经方程的设法技巧与直线系方程直线方程中含有参数时，由于参数的变化，方程表示不同的直线，当参数取遍所有实数时，方程表示一族平行或过定点的直线．(1)已知l ：y ＝kx ＋b ，与l 平行的直线方程设为y ＝kx ＋b 1；与l 垂直的直线方程设为y ＝－1kx ＋b 1(k ≠0)．(2)已知l ：Ax ＋By ＋c ＝0，与l 平行的直线方程设为Ax ＋By ＋C 1＝0，与l 垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋C 2＝0．(3)过定点P (x 0，y 0)的直线方程(斜率存在时)可设为y －y 0＝k (x －x 0)． (4)与x 轴交于点(x 0,0)的直线方程可设为x ＝my ＋x 0．(5)若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1与l 2相交于点P ，则过点P 的直线方程设为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括l 2)．(6)斜率为k 的直线方程设为y ＝kx ＋b ．典例5 已知直线l 1：x －2y ＋3＝0，l 2：2x ＋3y －8＝0.求经过l 1，l 2的交点且与已知直线3x ＋4y －2＝0平行的直线l 的方程.[思路分析] 可先求l 1与l 2的交点，再求过交点与已知直线平行的直线，也可以先写出所求直线的直线系方程，再利用平行条件确定参数的值．[解析] 解法一：解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝02x ＋3y －8＝0，得x ＝1，y ＝2，∴l 1与l 2的交点为(1,2)∵直线l 过点(1,2)且与直线3x ＋4y －2＝0平行 ∴设方程为3x ＋4y ＋c ＝0，把(1,2)代入得：c ＝－11 ∴所求方程为：3x ＋4y －11＝0．解法二：∵l 过l 1与l 2的交点，∴设l 的方程为x －2y ＋3＋λ(2x ＋3y －8)＝0 即(2λ＋1)x ＋(3λ－2)y ＋(3－8λ)＝0 ∵l 与直线3x ＋4y －2＝0平行 ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋13λ－2＝－348λ－33λ－2≠12，∴λ＝10∴l 的方程为x －2y ＋3＋10(2x ＋3y －8)＝0，即3x ＋4y －11＝0． 〔跟踪练习5〕求过两直线3x ＋4y －2＝0与2x ＋y ＋2＝0的交点且垂直于直线6x －7y －3＝0的直线方程．[解析] 解法一：设过两直线交点的直线方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0． 整理为一般式，得(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y －2＋2λ＝0，其斜率为－3＋2λ4＋λ.而直线6x －7y －3＝0的斜率为67，由垂直条件可得67×(－3＋2λ4＋λ)＝－1，解得λ＝2．故所求直线方程为(3＋2×2)x ＋(4＋2)y －2＋2×2＝0，即7x ＋6y ＋2＝0．解法二：将两直线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即两直线的交点坐标为(－2,2)．由于所求直线与直线6x －7y －3＝0垂直，故设所求直线的方程为7x ＋6y ＋m ＝0.而此直线过点(－2,2)，所以7×(－2)＋6×2＋m ＝0，所以m ＝2．故所求的直线方程为7x ＋6y ＋2＝0．1．直线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：2x ＋y ＋2＝0相交，则交点是( B ) A ．(2，－2) B ．(－2,2) C ．(－2,1)D ．(－1,2)[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝02x ＋y ＋2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．2．已知点A (2k ，－1)、B (k,1)，且|AB |＝13，则实数k 等于( A ) A ．±3B ．3C ．－3D ．0[解析] 由题意得(2k －k )2＋(－1－1)2＝13 解得k ＝±3．3．△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－4，－4)、B (2,2)、C (4，－2)，则三角形AB 边上的中线长为( A )A ．26B ．65C ．29D ．13[解析] AB 的中点D 的坐标为D (－1，－1)． ∴|CD |＝(－1－4)2＋(－1－(－2))2＝26 故选A ．4．不论λ取何值，直线(2＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋4－3λ＝0过定点__(－1，－2)__.[解析] 把直线方程整理为2x ＋y ＋4＋λ(x －2y －3)＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2，所以，不论λ取何值，直线(2＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋4－3λ＝0过定点(－1，－2)．A 级 基础巩固一、选择题1．点M (1,2)关于y 轴的对称点N 到原点的距离为( C ) A ．2 B ．1 C ．5D ．5[解析] N (－1,2)，|ON |＝(－1)2＋22＝ 5.故选C ． 2．已知A (2,1)、B (－1，b )，|AB |＝5，则b 等于( C ) A ．－3 B ．5 C ．－3或5D ．－1或－3[解析] 由两点间的距离公式知|AB |＝(－1－2)2＋(b －1)2＝b 2－2b ＋10 由5＝b 2－2b ＋10 解得b ＝－3或b ＝5．3．经过两点A (－2,5)、B (1，－4)的直线l 与x 轴的交点的坐标是( A ) A ．(－13，0)B ．(－3,0)C ．(13，0)D ．(3,0)[解析] 过点A (－2,5)和B (1，－4)的直线方程为3x ＋y ＋1＝0，故它与x 轴的交点的坐标为(－13，0)．4．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y ＝1，和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于( B ) A ．－2 B ．－12C ．2D ．12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝12x ＋3y ＋8＝0，得交点(－1，－2)代入x ＋ky ＝0得k ＝－12，故选B ．5．一条平行于x 轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A (2,1)，则它的另一个端点B 的坐标为( A )A ．(－3,1)或(7,1)B ．(2，－2)或(2,7)C ．(－3,1)或(5,1)D ．(2，－3)或(2,5)[解析] ∵AB ∥x 轴，∴设B (a,1)，又|AB |＝5，∴a ＝－3或7．6．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于( C ) A ．5 B ．4 2 C ．2 5D ．210[解析] 设A (x,0)、B (0，y )，由中点公式得x ＝4，y ＝－2，则由两点间的距离公式得|AB |＝(0－4)2＋(－2－0)2＝20＝25．二、填空题7．已知A (1，－1)、B (a,3)、C (4,5)，且|AB |＝|BC |，则a ＝__12__.[解析](a －1)2＋(3＋1)2＝(4－a )2＋(5－3)2解得a ＝12．8．直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线(a ＋2)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0不相交，则实数a ＝__－2或－23__.[解析] 由题意，得(a ＋2)(2a ＋3)－(1－a )(a ＋2)＝0，解得a ＝－2或－23．9．(2016～2017·哈尔滨高一检测)求平行于直线2x －y ＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形面积为9的直线方程.[解析] 设所求的直线方程为2x －y ＋c ＝0，令y ＝0，x ＝－c 2，令x ＝0，y ＝c ，所以12⎪⎪⎪⎪c ·⎝⎛⎭⎫－c 2＝9，解得c ＝±6，故所求直线方程为2x －y ±6＝0． 解法2：设所求直线方程为x a ＋yb ＝1．变形得bx ＋ay －ab ＝0．由条件知⎩⎨⎧b 2＝a－1①12|ab |＝9②由①得b ＝－2a 代入②得a 2＝9∴a ＝±3．当a ＝3时，b ＝－6，当a ＝－3时，b ＝6 ∴所求直线方程为2x －y ±6＝0． 三、解答题10．已知直线x ＋y －3m ＝0和2x －y ＋2m －1＝0的交点M 在第四象限，求实数m 的取值范围.[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3m ＝02x －y ＋2m －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝m ＋13y ＝8m －13．∴交点M 的坐标为(m ＋13，8m －13)．∵交点M 在第四象限∴⎩⎨⎧m ＋13>08m －13<0，解得－1<m <18．∴m 的取值范围是(－1，18)．B 级 素养提升一、选择题1．已知点A (2,3)和B (－4,1)，则线段AB 的长及中点坐标分别是( C ) A ．210，(1,2) B ．210，(－1，－2) C ．210，(－1,2)D ．210，(1，－2)[解析] |AB |＝(－4－2)2＋(1－3)2＝210，中点坐标为(2－42，3＋12)，即(－1,2)，故选C ．2．已知两点P (m,1)和Q (1,2m )之间的距离大于10，则实数m 的范围是( B )A ．－45＜m ＜2B ．m ＜－45或m ＞2C ．m ＜－2或m ＞45D ．－2＜m ＜45[解析] 根据两点间的距离公式|PQ |＝(m －1)2＋(1－2m )2＝5m 2－6m ＋2＞10，∴5m 2－6m －8＞0，∴m ＜－45或m＞2．3．(2016～2017·宿州高一检测)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( B )[解析] l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a由图A 中l 1知，－b >0，与l 2中－b <0矛盾，排除A ；同理排除D ．在图C 中，由l 1知－b <0，与l 2中，－b >0矛盾，排除C ．选B ．4．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( B )A ．24B ．20C ．0D ．－4[解析] ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1 ∴－m 4·25＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2 将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12 ∴m －n ＋p ＝20． 二、填空题5．已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是__－32<a <2__.[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2a ＋12x ＋3y ＝a，得⎩⎨⎧x ＝2a ＋37y ＝a －27.交点在第四象限，所以⎩⎨⎧2a ＋37>0a －27<0，解得－32<a <2．6．已知点A (5,2a －1)、B (a ＋1，a －4)，若|AB |取得最小值，则实数a 的值是__12__.[解析] 由题意得|AB |＝(5－a －1)2＋(2a －1－a ＋4)2＝2a 2－2a ＋25＝2(a －12)2＋492，所以当a ＝12时，|AB |取得最小值．C 级 能力拔高1．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、B 两点．若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程.[解析] 解法一：设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0，2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0－2x 0＋(2－y 0)－8＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4y 0＝2∴k AP ＝1－20＋4＝－14故所求直线l 的方程为：y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0．解法二：设所求直线l 方程为： y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于M 、N ．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1x －3y ＋10＝0，得N (73k －1，10k －13k －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12x ＋y －8＝0，得M (7k ＋2，8k ＋2k ＋2)．∵M 、N 的中点为P (0,1)则有： 12(73k －1＋7k ＋2)＝0，解得∴k ＝－14． 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0．2．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问是否在BC 上存在一点M ，使得两条小路AC 与DM 相互垂直？若存在，则求出小路DM 的长.[解析] 以B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD ＝5 m ，AB ＝3 m 所以C (5,0)、D (5,3)、A (0,3)． 设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM 所以k AC ·k DM ＝－1 即3－00－5·3－05－x＝－1． 所以x ＝3.2，即|BM |＝3.2即点M 的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC 与DM 相互垂直． 故在BC 上存在一点M (3.2,0)满足题意．由两点间距离公式得|DM |＝(5－3.2)2＋(3－0)2＝3345．。
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第2节两直线的位置关系距离公式教师用书
第二节 两直线的位置关系、距离公式考试要求：1．能根据两条直线的方程判定这两条直线平行或垂直(逻辑推理)．2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离(数学运算)．一、教材概念·结论·性质重现1．两条直线的位置关系(1)利用斜率关系判断对于不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2．l1∥l2k1＝k2l1⊥l2k1·k2＝－1特别地，当两直线的斜率都不存在时，l1∥l2；当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．(2)利用方程判断l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2，C2均不为0)，l1∥l2＝≠l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0l1与l2重合＝＝特别地，若A2，B2，C2中存在为0的情况，则利用斜率关系判断．(3)两直线相交交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．(1)与直线Ax＋2．三种距离(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝．(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中A2＋B2≠0，C1≠C2)间的距离d＝．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意：二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2．( × )(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为．( × )(4)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离为0．( × ) 2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为( )A．0 B．－8 C．2 D．10B 解析：由题意知＝－2，解得m＝－8．故选B．3．如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为( )A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0A 解析：因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1．设直线l的方程为y ＝x＋b，由题意知直线l过线段AB的中点，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0．故选A．4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为____ ____．C 解析：若直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3．5．已知两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2之间的距离为___ _____． 解析：两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，即两条直线l1：4x＋2y －3＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，它们之间的距离d＝＝．考点1 两直线平行与垂直判定及应用——基础性1．“m＝1”是“直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A 解析：直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行⇔m2＝1⇔m＝±1，“m＝1”是“m＝±1”的充分不必要条件．故选A．2．若直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，则a2＋b2的最小值为( )A． B．3C．5 D．C 解析：因为直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，所以2b＋2(2a－5)＝0，化简得b＝5－2a，所以a2＋b2＝a2＋(5－2a)2＝5a2－20a＋25＝5(a－2)2＋5≥5，当且仅当a＝2时取“＝”，所以a2＋b2的最小值为5．3．已知直线l1：mx＋y－1＝0，l2：(2m＋3)x＋my－1＝0，m∈R，若l1⊥l2，则m＝________．0或－2 解析：若l1⊥l2，则m(2m＋3)＋m＝0，解得m＝0或m＝－2，即l1⊥l2⇔m＝0或m＝－2．1．当方程的系数含有字母时，应考虑斜率不存在的特殊情况，否则容易漏解．2．利用平行、垂直等条件求出参数值后，应将求出的参数值回代，验证是否符合题意．如当两直线平行时，利用斜率相等求出的参数值可能会使两直线重合，应该代入验证是否舍去其中一个值．考点2 两直线的交点、距离问题——综合性(1)已知直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A．4 B．C． D．B 解析：由直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以直线分别为3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋＝0．它们之间的距离是＝．故选B．(2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为( )A．－24 B．24 C．6 D．±6 A 解析：直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，可设交点坐标为(a,0)，则即故选A．本例1(1)中，条件“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行”改为“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相垂直”，求两直线的交点坐标．解：因为两直线垂直，则18＋2m＝0，则m＝－9．由解得所以交点坐标为．1．求过两直线交点的直线方程的方法1．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为( )A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)C 解析：设P(x,5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，即x＝1或x＝2，故点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．故选C．2．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点Q，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为( )A．0 B．1C．2 D．3C 解析：由得即直线l过点Q(1,2)．因为|PQ|＝＝>2，所以满足条件的直线l有2条．故选C．考点3 对称问题——应用性考向1 点关于点对称过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．x＋4y－4＝0 解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0．考向2 点关于直线的对称点已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________． 解析：设A′(x，y)，由已知得解得故A′．则有(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决．考向3 直线关于直线的对称已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0．若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0B 解析：由得交点(1,0)，取l1上的点(0，－2)，其关于直线l的对称点为(－1，－1)，故直线l2的方程为＝，即x－2y－1＝0．1．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0B 解析：易知A(－1,1)．设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又－＝，所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x －2y＋5＝0．故选B．2．若函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝( )A． B．－C．2 D．－2C 解析：直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，所以x＝ay＋8与y＝－x＋b为同一直线，则所以a＋b＝2．故选C．。
高二数学点到直线的距离、两条直线的位置关系(学生版)
学科教师辅导讲义年 级： 高二 辅导科目： 数学 课时数：课 题 点到直线的距离及两条直线的位置关系教学目的1、 会求点到直线的位置关系；2、 熟练掌握判断两直线平行、垂直放入的方法。
教学内容 【知识梳理】1、点到直线的距离公式点),(00y x P 到直线:0l ax by c ++=的距离为：0022ax by cd a b ++=+（220a b +≠） 0022ax by ca b δ++=+在直线同侧的所有点，δ的符号是相同的，在直线异侧的所有点，δ的符号是相反的，2、平面两直线的位置关系⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩平行斜交相交垂直 一般地，设两条直线的方程分别为 1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）…… ①2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）……②（1）两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系：a.1l 与2l 相交⇔方程组(Ⅰ)有唯一解⇔0≠D 即1221b a b a ≠；b.1l 与2l 平行⇔方程组(Ⅰ)无解⇔0=D 且y x D D ,中至少有一个不为零；c.1l 与2l 重合⇔方程组(Ⅰ)有无穷多解⇔0===y x D D D 。
注：02211==b a b a D 时，1l 与2l 平行或重合，即02211==b a b a D 是1l 与2l 平行的必要非充分条件。
换言之，2112b a b a =1l ∥2l ;若两条直线不重合，则1221b a b a =⇔1l //2l（2）当直线平行于坐标轴时可结合图形进行考虑其位置关系。
（3）两直线的夹角公式为：121222221122cos a a b b a b a b θ+=+⋅+例5、求过点P（1，1）且被两平行直线3x－4y－13 = 0与3x－4y＋7 = 0截得线段的长为4 2 的直线方程。
变式练习：已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，直角边BC在直线2x+3y-6=0上，顶点A的坐标是(5，4)，求边AB和AC所在的直线方程.例6、设直线方程为（2m＋1）x＋（3m－2）y－18m＋5 = 0，求证：不论m为何值时，所给的直线经过一定点。
高三数学总复习《两条直线的位置关系、交点坐标与距离公式》
3两 条 平 行 直 线 的 距 离 .
l1:AxByC10与 l2:AxByC20的 距 离 d|C1C2|
A2B2
注意:应用此公式要把两平行直线化为一般形式且使 x,y的系数分别相等.
考点训练
1.(2009·上海)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x2y+3=0平行,则k的值是( )
第四十七讲 两条直线的位置关 系、交点坐标与距离公式
走进高考第一关 考点关 回归教材 1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行 两条不重合直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(b1≠b2),若l1∥l2,则 k1=k2,反之;若k1=k2,则l1∥l2,如果l1,l2的斜率都不存在,那么它 们的倾斜角都是90°,从而它们互相平行.
说明:判断两条直线平行时,要注意,两条直线的斜率,当两条直 线都与x轴垂直时,平行,当两条直线不与x轴垂直时,只要它们 的斜率相等,截距不等就平行.
(2)两条直线垂直
设直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2 若l1⊥l2,则k1k2=-1;反之,若k15k2=-1,则l1⊥l2. 特别地,对于直线l1:x=a,l2:y=b,l1⊥l2.
变式2:过点(-2,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为.
答案:2x+y+1=0
解 析 :直 线 x2y30的 斜 率 为 k1,则 所 求 直 线 的 2
斜 率 为 2,
故 所 求 直 线 方 程 为 y32x2,即 2xy10.
题型二 两条直线的交点 例3求过两直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点,并且与第一条 直线垂直的直线方程.
两条直线的交点坐标与距离公式
一、两直线的交点
已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与 l2:A2x+B2y+C2=0的交点坐标对应的是方程组
{A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
的解，
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其中①当A1B2-A2B1≠0时,两条直线 相交于一点 ， ② 当条A直1线B2无-A交2B点1=,0即且A1C2-A2平C1行，≠0③（当或AB11BC22--AB22BC11=≠00且）A时1C,两2A即2C1=0(或重B合1C. 2-B2C1=0)时,两条直线有无数个公共点,
二、距离公式
1.两点间的距离
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离 |P1P2|= (x 2-x1)2+(y 2-y1)2.
2.点到直线的距离
平| A面x0上+B一y点0 +PC(|x1,y1)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离
d=
A2 +B2
.
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3.两平行线的距离 若l1,l2是平行线，求l1,l2距离的方法： (1)求一条直线上一点到另一条直线的距离. (2)设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则
8 即m=0，n=8时,l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为-1.
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考点二 距离公式的应用
已知直线l过点P（3，1）且被两平行线l1：x+y+1=0，l2： x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.
【分析】可设点斜式方程，求与两直线的交点.利用两 点间距离公式求解.
【解析】解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的 方程为x=3，此时与l1，l2的交点分别是
两直线的位置关系、距离公式
两直线的位置关系、距离公式2020年2月20日一、知识要点1.两条直线的位置关系直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0的位置关系如下表:位置关系l1,l2满足的条件l3,l4满足的条件平行A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0垂直A1A2+B1B2=0相交A1B2-A2B1≠02.两直线的交点设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的就是方程组{A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解.(1)若方程组有唯一解,则两条直线,此解就是;(2)若方程组无解,则两条直线,此时两条直线,反之,亦成立.3.距离公式点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=常用结论1.若所求直线过点P(x0,y0),且与Ax+By+C=0平行,则方程为:A(x-x0)+B(y-y0)=0.2.若所求直线过点P (x 0,y 0),且与Ax+By+C=0垂直,则方程为:B (x -x 0)-A (y -y 0)=0.3.过两直线交点的直线系方程 若已知直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与l 2:A 2x+B 2y+C 2=0相交,则方程A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0(其中λ∈R,这条直线可以是l 1,但不能是l 2)表示过l 1和l 2的交点的直线系方程. 4.点(x ,y )关于原点(0,0)的对称点为(-x ,-y ).5.点(x ,y )关于x 轴的对称点为(x ,-y ),关于y 轴的对称点为(-x ,y ).6.点(x ,y )关于直线y=x 的对称点为(y ,x ),关于直线y=-x 的对称点为(-y ,-x ).7.点(x ,y )关于直线x=a 的对称点为(2a -x ,y ),关于直线y=b 的对称点为(x ,2b -y ).8.点(x ,y )关于点(a ,b )的对称点为(2a -x ,2b -y ).9.点(x ,y )关于直线x+y=k 的对称点为(k -y ,k -x ),关于直线x -y=k 的对称点为(k+y ,x -k ). 二、例题讲解题型一：两直线的位置关系【例题1】(1) 直线012:1=++my x l 与03)1(:2=+--my x m l 平行，求实数m 的值。
两条直线的位置关系与距离公式
四、课外训练题： 《五羊高考》 P199 课前热身 第1、4题
P200 例题3 + 变式拓展2、3
五、补充作业(二选一)：
1、已知点A(0,－1),设点B在直线;2y－3=0,求点B的坐标.
2、一直线过点（2，4），它被两平行直线 x－y+1=0和x－y－1=0所截得的线段的中点 在直线x+2y－3=0上，求此直线的方程.
则l1∥ l2 A1Ｂ2 －B1Ａ2=0
若直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0， 则l1⊥l2 A1A2+B1B2=0
注： 无论直线的斜率是否存在，上式均成立， 所以此公式用起来更方便.
二、题型分析
例1. 若直线l1：mx+2y+6=0和直线
l2: x+(m－1)y+m2－1=0平行但不重合，
一、知识要点
1．两条直线的平行与垂直： （1）直线方程是斜截式y=kx+b
两条直线有斜率且不重合，则l1∥l2k1=k2
两条直线都有斜率，l1⊥l2k1·k2= －1
注意：特殊地，当两条直线都垂直于x轴时……
当两条直线都平行于x轴时……
一、知识要点
（2）直线方程是一般式Ax+By+C=0 若直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，
则m的值是______.
例1变式1.《五羊高考》P199 课前热身 第2题
例1变式2.《五羊高考》P199 例题1
一、知识要点
2.距离公式： （1）点(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离为：：
第二节 两直线的位置关系与距离公式
命题方向三 线关于线的对称
考点突破 栏目索引
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典例5 直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是 ( A ) A.x-2y+3=0 B.x-2y-3=0 C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0
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解析 设P(x,y)为所求直线上任意一点,点P关于直线x-y+2=0的对称点为P'(x0,
即 4 =b,④
b
联立③④,解得 ba
-22, 或 ba
2, 3 2.
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考点二 距离问题
典例2 (1)已知点A(2,0),B(0,2).若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的
面积为2的点C的个数为 ( A )
A.4 B.3 C.2 D.1
(2)若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为 2 13 ,则c的值是
l2:x=0,
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l1与l2不垂直,故a=1不成立;
当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1与l2不垂直,
故a=0不成立;
当a≠1且a≠0时,
a
1
l1:y=- 2 x-3,l2:y=1-a x-(a+1),
由
-
a 2
·11-a
=-1,得a=23
.
解法二:由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,可得a=
栏目索引
第二节 两直线的位置关系与距 离公式
教材研读
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1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1、l2,若斜率分别为k1、k2,则有l1∥l2⇔① k1=k2 .特 别地,当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时,l1与l2② 平行 . (2)两条直线垂直 若两条直线l1、l2的斜率都存在,设为k1、k2,则有l1⊥l2⇔③ k1·k2=-1 .当一条 直线的斜率为零,另一条直线的斜率不存在时,两条直线互相④ 垂直 .
第5讲 两直线位置关系和距离公式(学生版)
第5讲 两直线位置关系和距离公式[玩前必备]1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[知识拓展]1．一般地，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.2．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0 (λ∈R )，但不包括l 2.【玩转典例】考点一 两直线平行与垂直的判定例1 (1)设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．2或12B.13或－1C.13D ．－1(3)(一题多解)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________． [玩转跟踪]1．已知直线4x ＋my －6＝0与直线5x －2y ＋n ＝0垂直，垂足为(t,1)，则n 的值为( ) A ．7 B ．9 C ．11D ．－72．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．考点二 直线的交点【例2】（2020·江苏昆山.高一期中）如果直线90x by ++=经过直线56170x y --=与直线4320x y ++=的交点，那么b 的值等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【玩转跟踪】1．（2020·哈尔滨市第一中学校高一期末）直线l 经过原点，且经过另两条直线2380x y ++=，10x y --=的交点，则直线l 的方程为（ ） A ．20x y +=B ．20x y -=C ．20x y +=D ．20x y -=2．（2020·内蒙古集宁一中高一期中）直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上，则k 的值为（ ） A ．-24B ．6C ．6±D ．-6考点三 距离公式的应用例3 (1)过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线方程为( )A．2x＋y－5＝0B．2x－y－3＝0C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0(2)若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是5，则m＋n＝()A．0 B．1C．－2 D．－1[玩转跟踪]1.已知点P(2，－1)．(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离．2．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．考点四对称问题例4 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.[玩转跟踪]1．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为()A．(－2,4) B．(－2，－4)C．(2,4) D．(2，－4)2．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．3．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|P A|＝|PB|，若直线P A的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是________________．[玩转练习]1．（2020•内江期末）已知点(1,3)M到直线:10l mx y+-=的距离等于1，则实数m等于()A．34B．43C．43-D．34-2．（2020•兴庆区校级期末）设有直线(3)1y k x=-+，当k变动时，所有直线都经过定点()A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)3．（2020•沙坪坝区校级期中）已知直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，则1l 与2l 的距离为( )A ．15B C ．35D 4．（2020•包头期末）点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值是( )A ．1B C ．2D ．5．（2020•河池期末）点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离的最小值为( )A ．4B ．C ．D ．6．（2020•平顶山期末）已知(1,2)P -，(2,4)Q ，直线:3l y kx =+．若P 点到直线l 的距离等于Q 点到直线l 的距离，则(k = ) A ．2.3或6B ．23C ．.0D ．.0或237．（2020•昆山市期中）已知(2,3)M -，(6,2)N ，点P 在x 轴上，且使得PM PN +取最小值，则点P 的坐标为( ) A ．(2,0)-B ．12(5，0)C ．14(5，0)D ．(6,0)8．（2020•宝安区校级模拟）已知0x <<，0y <<M M 的最小值为( )A ．B ．C ．2D ．9．（多选）（2020•江阴市期中）若两条平行直线1:20l x y m -+=与2:260l x ny +-=之间的距离是m n +的可能值为( )A ．3B ．17-C ．3-D ．1710．（多选）（2020•山东模拟）若三条直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，3:0l x y a ++=不能围成三角形，则a 的取值为( ) A ．1a =B ．1a =-C ．2a =-D ．2a =11．（2020•尖山区校级期末）两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=之间的距离为 ． 12．（2020•嘉兴期末）直线1:0l x y m --=与直线2:30l mx y -+=平行，则m = ；1l 与2l 之间的距离为 ．13．（2020•乐山期末）已知两条直线1:420l mx y +-=和2:10l x my ++=． （1）当12//l l 时，求m 的值；（2）在（1）的条件下，求1l 、2l 间的距离．14．（2020•沭阳县期中）已知直线:(12)(1)720l m x m y m ++-++=． （1）求证：不论m 为何实数，直线l 恒过一定点M ；（2）过定点M 作一条直线1l ，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线1l 的方程．15．（2020•宁城县期末）已知点ABC ∆三顶点坐标分别是(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ， （1）求A 到BC 边的距离d ；（2）求证AB 边上任意一点P 到直线AC ，BC 的距离之和等于d ．。
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题中，具有一定的综合性.
一、两条直线的位置关系及判定 平面内两条直线的位置关系有平行、相交、重合三种情
况．
1．利用斜率判定
已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. (1)l1∥l2⇔k1＝k2且 b1≠b2 ； (2)l1⊥l2⇔ k1k2＝－1 ；
(3)l1与l2重合⇔k1＝k2且 b1＝b2 .
立．
答案：B
(2)(理)由题意知 y′＝2ax－a，故曲线在(0,1)处的切线斜 率为 y′|x＝0＝－a，而直线 2x＋y＋1＝0 的斜率为－2，由条 件得－2×(－a)＝2a＝－1，解得 a＝－12.
答案：B
(文)当 m＝0 时两直线不垂直，故 m≠0，可得两直线斜 率分别为12，－m2 .由12·－m2 ＝－1 得 m＝1.
限，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，－1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：由题意知 k≠0，
由yy＝＝k－x－x＋11 得xy＝ ＝kkk＋ － ＋2 111， .
因为交点在第一象限，故kkk＋ －＋2 111＞＞00 答案：C
，解得 k＞1.
3．过点(1,0)且与直线x－2y＋2＝0平行的直线方程是( )
解析：两直线的斜率分别为 4－a 和－23， 由两直线垂直的充要条件知(4－a)·－23＝－1， 解得 a＝52. 答案：52
5 ． 直 线 2x ＋ 3y － 6 ＝ 0 关 于 点 (1 ， － 1) 对 称 的 直 线 方 程 为 ________________．
解析：设(x，y)为所求直线上任一点，它关于点(1，－1)的 对称点为(2－x，－2－y)，由题意知2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0， 化简得2x＋3y＋8＝0.即为所求直线方程．
(2)(理)曲线 y＝ax2－ax＋1(a≠0)在点(0,1)处的切线与直
线 2x＋y＋1＝0 垂直，则 a 等于
1 A.2
B．－12
1 C.3
D．－13
(2)(文)若直_.
(3)直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上， 则C的值为________．
考纲要求
考情分析
1.从考查内容看，本考点侧重
1.能根据两条直线的斜率判定 这两条直线平行或垂直． 2.能用解方程组的方法求两条 相交直线的交点坐标． 3.掌握两点间的距离公式、点 到直线的距离公式，会求两条 平行直线间的距离.
于对两直线位置关系、距离公 式及对称问题的考查，且常与 圆、圆锥曲线交汇在一起命 题． 2.从考查形式看，若单独考 查，则以选择题、填空题的形 式出现，难度不大；若与圆、 圆锥曲线结合，则出现在解答
题号 (1) (2) (3)
分析 根据直线平行的充要条件判断． 利用两直线垂直的充要条件求解． 先求出直线2x－3y＋4＝0与y轴的交点，再求C.
解 析 ： (1) 由 两 直 线 平 行 的 充 要 条 件 知 l1∥l2⇔an ＝ bm 且
ap≠cm或an＝bm且bp≠cn.故由l1∥l2可得an＝bm，反之不一定成
2．轴对称 解题方法：利用两对称点的连线与对称轴垂直以及两对称 点的中点在对称轴上列方程组，求出两对称点坐标间的关系后 解题．
1．原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离为( )
A．1
B. 3
C．2
D. 5
解析：d＝ |1－2＋5|22＝ 5. 答案：D
2．若直线l：y＝kx－1与直线x＋y－1＝0的交点位于第一象
答案：2x＋3y＋8＝0
【考向探寻】 1．求两条直线的交点． 2．两条直线平行、垂直的判定及应用．
【典例剖析】
(1)已知两条直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋
p＝0，则“an＝bm”是“直线l1∥l2”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．x－2y＋1＝0
B．x－2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
解析：设所求方程为x－2y＋c＝0，
由过点(1,0)，知1－2×0＋c＝0，所以c＝－1，
故所求直线方程为x－2y－1＝0.
答案：B
4．已知直线(a－4)x＋y＋1＝0与直线2x＋3y－5＝0垂直，则 a＝________.
答案：1
(3)在 2x－3y＋4＝0 中，令 x＝0 得 y＝43，故该直线与 y 轴交点为0，43.由条件知 A·0＋3×43＋C＝0.所以 C＝－4.
(2)若方程组无解，则两条直线 平行 ． (3)若方程组有无数个解，则两直线 重合 ．
，此解就
三、距离
两点 P1(x1，y1)，P2(x2， |P1P2|＝
y2)间的距离
x1－x22＋y1－y22
点 P0(x0，y0)到直线 l：
|Ax0＋By0＋C|
Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝
A2＋B2
两条平行线 Ax＋By＋
(2)l1⊥l2⇔ A1A2＋B1B2＝0
；
(3)l1与l2重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)．
二、两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
则两直线的 交点坐标
就是方程组的解．
(1) 若 方 程 组 有 惟 一 解 ， 则 两 条 直 线 相交 是 交点坐标 ．
|C1－C2|
C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝ d＝ A2＋B2
0 间的距离
点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式对直线方 程有什么要求？
提示：点到直线的距离公式中要求直线方程为一般式；两 平行线间的距离公式中要求方程为一般式，且x，y项的系数相 同．
四、对称问题 1．中心对称 解题方法：利用中点坐标公式． 特别地，两点关于原点对称时，解题的方法是以－x代替x， 以 －y 代替y.
若直线l1、l2的斜率都不存在，则l1、l2平行或重合； 若 直 线 l1 、 l2 中 一 条 没 有 斜 率 ， 另 一 条 斜 率l1⊥为l20 ，
则
.
2．利用直线方程的系数判定
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2⇔ A1B2＝A2B1 且A2C1≠A1C2(或B2C1≠B1C2)．