(完整版)高一数学复合函数讲解

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高一数学复合函数讲解

1、复合函数的概念如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。

例如：函数是由复合而成立。

函数是由复合而成立。

a是中间变量。

2、复合函数单调性由引例对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。

对任意，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。

∵当a＞1时，∵y=f（u）是上的递减函数∴∴∴是单调递减函数类似地，当0＜a＜1时，是单调递增函数一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。

有以下四种情况：（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。

注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。

例1、讨论函数的单调性（1）（2）又是减函数∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。

②x∈（-1，3）令∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。

∵是增函数∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。

注意：要求定义域练习：求下列函数的单调区间。

1、（1）减区间，增区间；（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；（3）减区间，增区间；（4）减区间，增函数。

2、已知求g（x）的单调区间。

提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。

高一数学复合函数

高一数学复合函数复合函数是高一数学中的一个重要概念，它在函数学习的过程中起着关键作用。

本文将详细介绍复合函数的定义、性质以及其在实际问题中的应用。

1. 复合函数的定义复合函数是由两个函数相互组合而成的新函数。

设有函数f(x)和g(x)，则复合函数记作f(g(x))，表示先用g(x)对x进行映射，然后再将结果代入f(x)进行映射。

2. 复合函数的性质（1）复合函数的定义域：复合函数的定义域取决于中间函数的定义域，要求中间函数的值域必须在f(x)的定义域内。

（2）复合函数的值域：复合函数的值域取决于最后一个函数的值域，要求最后一个函数的值域在f(x)的值域内。

（3）复合函数的可逆性：当复合函数中的所有函数都是可逆函数时，复合函数才是可逆的。

（4）复合函数的性质：复合函数满足结合律，即f(g(h(x)))=(f∘g)∘h(x)。

3. 复合函数的应用举例（1）物理问题：假设一辆汽车的速度与时间的函数关系为v(t)，而时间与位置的函数关系为s(t)，则汽车的位置随时间的变化可以用复合函数s(v(t))来表示。

（2）经济问题：假设某商品的价格与销量的函数关系为p(x)，而销量与利润的函数关系为l(x)，则利润随销量的变化可以用复合函数l(p(x))来表示。

（3）生物问题：假设某种细胞的密度与时间的函数关系为d(t)，而时间与增长率的函数关系为r(t)，则细胞的密度随时间的变化可以用复合函数d(r(t))来表示。

4. 复合函数的求导对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则来求导。

链式法则规定，复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数对自变量的导数。

通过链式法则，可以将复合函数的求导简化为对中间函数和最后一个函数的导数的求导。

5. 复合函数的图像复合函数的图像可以通过画出中间函数和最后一个函数的图像，并根据复合函数的定义进行变换得到。

具体来说，先画出中间函数的图像，然后根据复合函数的定义，将中间函数的输出作为最后一个函数的输入，再画出最后一个函数的图像。

高等数学第六讲复合函数

解 f g x egx esin x g f x sin f x sinex
外（层）内（层）
函数
函数
复合运算有条件吗？复合函数
例题
函数
y
D外 arcsin u
和
M内 u3
x2
能构成复合函数吗？
分 y arcsin 3 x2
析
y arcsin u u 3 x2
1 u 1
内层、外层分不清楚
分解不彻底
复合函数的分解
① ②③
（2） y = ln sin x
分解 y = lnu u = sint t x
复合 y = ln sin x 内外
外内
注意点 1. 函数的复合运算是有条件的
D外∩M内 ≠ ϕ
2. y = f [φ(x)]
分解（彻底）
y
=
f
(u)，u=φ(x)
u3
交集为空集
结 y arcsin u 和 u 3 x2 不能构成复合函数.
论
两个函数可以复合的条件 D外∩M内 ≠ ϕ
复合函数的概念
定义设函数 y f u 的定义域为 Df，函数 u x 的值域为 Z，若 Df Z ，则称函数 y f x 是由函数 y f u和 u x 复合而成的函数，u 称为中间变量.
复合
3. 需要搞清楚函数的内、外层位置关系
谢谢
复合函数
目录
01 函数的运算 02 复合函数的概念 03 复合函数的分解
函数的运算
四则运算
加 y x2 sin x 减 y x2 sin x
y sin x2

乘 y x2 sin x
除
y
sin x2

高中数学讲义：复合函数零点问题

复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =éùëû2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =éùëû函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。

例如：已知()()22,x f x g x x x ==-，计算()2g f éùëû解：()2224f ==()()2412g f g \==éùëû3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。

例如：已知()2x f x =，()22g x x x =-，若()0g f x =éùëû，求x 解：令()t f x =，则()2020g t t t =Þ-=解得0,2t t ==当()0020xt f x =Þ=Þ=，则x ÎÆ当()2222x t f x =Þ=Þ=，则1x =综上所述：1x =由上例可得，要想求出()0g f x =éùëû的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D Î，使得()00f x =，则称0x x =为()f x 的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =éùëû根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =éùëû的根的个数6、求解复合函数()y g f x =éùëû零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =éùëû中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围复合函数：二、典型例题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ì¹ï-=íï=î，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >¹）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。

高一必修一复合函数知识点

高一必修一复合函数知识点复合函数是高中数学中的一个重要概念，它在函数的运算和应用中扮演着重要的角色。

本文将详细介绍高一必修一中与复合函数相关的知识点。

一、复合函数的定义及表示方法复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，通过一系列的运算得到最终结果。

一般表示为f(g(x))，其中g(x)是先于f(x)进行的函数操作。

二、复合函数的求解方法1. 基本复合函数的求解：将内函数的输出作为外函数的输入，逐步代入求解。

2. 复合函数的符号表示法：若f(x) = u(x)和g(x) = v(x)，则复合函数可以表示为(u∘v)(x)，即f(g(x))。

3. 复合函数的运算规则：满足结合律，即(f∘g)∘h = f∘(g∘h)。

三、复合函数的图像变换1. 反函数的复合：若f(g(x)) = x，g(f(x)) = x，即f(x)和g(x)互为反函数，则(f∘g)(x) = (g∘f)(x) = x。

2. 复合函数的图像对称性：若f(x)在点x处对称，则(f∘g)(x)在g(x)处也有对称性。

四、复合函数的应用领域复合函数在高中数学的各个章节中都有广泛的应用，包括函数的求导、函数的极值、解函数方程等各个方面。

1. 函数的求导：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导，即[f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x)。

2. 函数的极值：根据函数的极值存在性定理，可以通过求解复合函数的导数等方法求得函数的极值。

3. 解函数方程：对于给定的函数方程f(g(x)) = 0，可以通过求解复合函数的根来解得方程的解。

综上所述，复合函数是高一必修一数学中重要的知识点之一。

它不仅在数学理论的研究中有重要应用，也在实际问题的求解中占据重要地位。

通过对复合函数的学习和理解，同学们可以更好地应用数学知识解决实际问题，提高数学水平。

希望本文对大家的学习有所帮助！。

高一数学-复合函数[原创] 精品

复合函数一、复合函数的定义：设y 是z 的函数y =f (z )，而z 又是x 的函数z =φ(x )，设X 表示φ(x )的定义域或其中的一部分，如果对于在X 上取值时所对应的值，函数y =f (z )均有定义，则y 成为x 的函数，记为y = f [φ(x )]。

这个函数叫做由y = f (z )及z =φ(x )复合而成的复合函数，它的定义域为X ，z 叫做中间变量，f 称为外层函数，φ称为内层函数。

要求掌握把复合函数分解为几个简单函数的方法，例如是由和两个函数复合而成的。

二、复合函数的解析式：例1：已知二次函数()x f 满足()569132+-=+x x x f ，求()x f 。

分析：本题可采用待定系数法求解，但待定系数法不是求模型函数的解析式的唯一定势，解答这类问题要具体情况具体分析。

本题用换元和“凑型”的办法解决。

解法一设13+=x t ,则31-=t x 。

把13+=x t 、31-=t x 分别代入569)13(2+-=+x x x f 的左边和右边得()53163192+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t f ，即()842+-=t t t f ，∴ ()()R x x x x f ∈+-=842 。

解法二由已知，569)13(2+-=+x x x f ∴()()()813x 413x 13x f 2++-+=+，把13x +视为一个整体，有()()R x x x x f ∈+-=842.例2 已知()0x x 1x x 1x f 22>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f 。

分析由22x 1x x 1x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求()x f 的对应法则，可设t =+x 1x ，则22221t x x =++，即21222-=+t xx ，问题很容易得到解决。

随后的问题是()x f 的定义域是什么？例3、设f(x)满足()3x x 12f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+，求f(x)分析：在已知的关系式中含有f(x)和f(x 1)，求出f(x),需要消去f(x1),所以需从已知的关系中再产生一个关于f(x)和f(x1)的关系式,然后联立解出f(x),这里只要以x 1代替x ,便可得关于f(x)和f(x 1)的又一等式.三、复合函数的定义域：⒈已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域例4、函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)=f(x+21)- f(x-21)的定义域是（）(A)[0,2](B)[23,21-](C)[25,21](D)[23,21]例5、已知函数f(x)的定义域是(]0,1,求g(x)=f(x+a)·f(x-a)⎪⎭⎫⎝⎛≤<-0a 21的定义域.⒉已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域例6、若函数f(x+1)的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛-,221，则f(x 2)的定义域是＿＿＿＿＿例7、函数f(x+1)的定义域为[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是( )(A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡250,(B)[-1,4](C)[-5,5](D)[-3,7]⒊由符合函数的定义域，求字母参数的取值.例8、函数96kx kx y 2+-=的定义域为R ，则k 的取值范围是＿＿＿＿＿.例9、已知函数()2bx ax x f 2++=的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21，求a+b 的值.四、复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下: ⒈复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上的单调性：引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.若函数)(x g u =在区间[]b a ,上是单调函数,函数)(u f y =在[])(),(b g a g 或[])(),(a g b g 上也是单调函数,那么复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上是即)(x g u =,)(u f y =增减性相同时, [])(x g f y =为增函数,)(x g u =,)(u f y =增减性相反时, [])(x g f y =为减函数.例10 求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3)解：(方法1)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3.由u ＞0, ∵u=x 2－4x+3，∴x 2－4x+3>0 解得原复合函数的定义域为x ＜1或x ＞3.当x ∈(－∞，1)时，u=x 2－4x+3为减函数，而y=log 4u 为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x ∈(3，±∞)时，u=x 2－4x+3为增函数y=log 4u 为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.(方法2)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3 u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＜2 (u 减)解得x ＜1.所以x ∈(－∞，1)时，函数u 单调递减.由于y=log 4u 在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x －2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间. u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＞2 (u 增)解得x ＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间. 例11 求下列复合函数的单调区间：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2x 2x 31log y 解: 设 u 31logy =,u=2x －x 2.由 u ＞0u=2x －x2解得原复合函数的定义域为0＜x ＜2. 由于u y 31log=在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x －x2的单调性正好相反. 易知u=2x －x 2=－(x －1)2+1在x ≤1时单调增.由 0＜x ＜2 （复合函数定义域） x ≤1，(u 增)解得0＜x ≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间. 又u=－(x －1)2+1在x ≥1时单调减，由 x ＜2， (复合函数定义域) x ≥1， (u 减)解得0≤x ＜2,所以[0，1]是原复合函数的单调增区间. 例12 求y=2x 6x 7--的单调区间.解: 设y=,u=7－6x －x 2,由u ≥0,u=7－6x －x 2解得原复合函数的定义域为－7≤x ≤1.因为y=在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.易知u=-x 2-6x+7=-(x+3)2+16在x ≤-3时单调增加。

高考数学复合函数基础理论总结

高考数学复合函数基础理论总结复合函数是高一数学学习的重点和难点之一，也是高考数学考试的常见考点。

理解和掌握复合函数的基础理论是学好高等数学、应用数学、物理、化学等学科的前提。

本文将围绕复合函数的定义、性质、运算规则以及应用进行总结和分析。

一、复合函数的定义复合函数的定义：设函数f的定义域为Df，值域为Rf，函数g的定义域为Dg，值域为Rg。

如果存在一个函数h(x)使得对于f的定义域Df中的每一个元素x，都有g的定义域Dg中恰有一个元素y与之对应，并且y是f(x)在g的范围内的唯一值，则称h(x)为f和g的复合函数，表示为h(x) = f(g(x))。

二、复合函数的性质1. 复合函数的定义域：复合函数的定义域由g的定义域和f的值域的交集构成，即Dh = {x|x∈Dg且g(x)∈Df}。

2. 复合函数的值域：复合函数的值域为f的值域的子集，即Rh ⊆ Rf。

3. 复合函数的单调性：若f(x)和g(x)在其定义域内单调增加（或单调减少），则h(x) = f(g(x))也在其定义域内单调增加（或单调减少）。

4. 复合函数的奇偶性：若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则h(x) = f(g(x))为奇函数；若f(x)和g(x)均为偶函数，则h(x) = f(g(x))为偶函数。

5. 复合函数的周期性：若f(x)的周期为T1，g(x)的周期为T2，则当T2是T1的正整数倍时，h(x) = f(g(x))的周期为T1。

三、复合函数的运算规则1. 复合函数的加法：设h1(x) = f1(g1(x))，h2(x) = f2(g2(x))，且f1(x)和f2(x)的值域相等。

则有(h1 + h2)(x) = f1(g1(x))+f2(g2(x))。

2. 复合函数的减法：设h1(x) = f1(g1(x))，h2(x) = f2(g2(x))，且f1(x)和f2(x)的值域相等。

则有(h1 - h2)(x) = f1(g1(x))-f2(g2(x))。

复合函数(知识点总结、例题分类讲解)

复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。

例如：函数212x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。

说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。

⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。

⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。

2．求有关复合函数的定义域① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法：已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。

实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。

通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。

② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法：若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。

实际上是已知直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。

先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。

3．求有关复合函数的解析式①已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。

②已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。

配凑法：就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。

高一数学函数知识总结及例题

高一数学函数知识总结及例题高一数学函数知识总结及例题第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1)、已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域思路：设函数f(x)的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f 对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x)D，解得xE，E为fg(x)的定义域。

例1.设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为_____________。

解析：函数f(u)的定义域为（0，1）即u(0，1)，所以f 的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以0lnx1解得x(1，e)，故函数f(lnx)的定义域为（1，e）1，则函数ff(x)的定义域为______________。

x11解析：先求f的作用范围，由f(x)，知x1x1例2.若函数f(x)即f的作用范围为xR|x1，又f对f(x)作用所以f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x应满足x1f(x)1x1即1，解得x1且x21x1故函数ff(x)的定义域为xR|x1且x2（2）、已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以xE，E为f(x)的定义域。

例3.已知f(32x)的定义域为x1，2，则函数f(x)的定义域为_________。

解析：f(32x)的定义域为1，2，即x1，2，由此得32x1，5所以f的作用范围为1，5，又f对x作用，作用范围不变，所以x1，5 即函数f(x)的定义域为1，5x2例4.已知f(x4)lg2，则函数f(x)的定义域为______________。

x82x2x20解析：先求f的作用范围，由f(x4)lg2，知2x8x82解得x44，f的作用范围为(4，)，又f对x作用，作用范围不变，所以2x(4，)，即f(x)的定义域为(4，)（3）、已知fg(x)的定义域，求fh(x)的定义域思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，f的作用范围为E，又f对h(x)作用，作用范围不变，所以h(x)E，解得xF，F为fh(x)的定义域。

高一复合函数知识点总结

高一复合函数知识点总结复合函数是高中数学中的重要概念之一，它是由两个或多个函数组合而成的函数。

在高一阶段学习复合函数时，需要掌握一些基本知识点和技巧。

本文将对高一复合函数的相关知识进行总结，包括定义、性质和常见解题方法等方面。

1. 复合函数的定义复合函数是由两个函数构成的函数。

设有函数f(x)和g(x)，则复合函数f(g(x))表示先对自变量进行g(x)的变换，再对结果进行f(x)的变换。

可以用以下形式表示：f(g(x))，也可以写作(f ∘g)(x)。

2. 复合函数的求解对于给定的复合函数f(g(x))，求解的方法如下：Step 1: 先确定内层函数g(x)的定义域和值域，保证f(g(x))有意义。

Step 2: 将g(x)的结果代入f(x)中，得到f(g(x))的表达式。

Step 3: 综合以上结果，确定f(g(x))的定义域和值域。

3. 复合函数的性质（1）复合函数的定义域：复合函数的定义域等于内层函数g(x)的定义域中，使得g(x) ∈ f(x)的值域。

（2）复合函数的值域：与内层函数g(x)的值域相对应，即g(x)的值域是f(g(x))的值域。

（3）复合函数的奇偶性：若f(x)是奇函数，g(x)是任意函数，则f(g(x))也是奇函数；若f(x)是偶函数，g(x)是任意函数，则f(g(x))也是偶函数。

（4）复合函数的单调性：若f(x)在[a, b]上单调增加（或单调减少），g(x)是单调函数，则f(g(x))在[a, b]上也单调增加（或单调减少）。

4. 复合函数的常见解题方法（1）求函数的复合逆：对于复合函数f(g(x))，若要求它的复合逆，可以先求g(x)的逆函数g^(-1)(x)，然后将g^(-1)(x)代入f(x)中即可。

（2）复合函数的导数：若已知内层函数g(x)可导，外层函数f(x)在g(x)的值域上可导，则可以利用链式法则求得复合函数的导数。

（3）复合函数与反函数的关系：若复合函数f(g(x))恒等于x，且g(x)为f(x)的反函数，则f(x)和g(x)互为反函数。

高一数学复习考点知识讲解课件46---简单复合函数的导数

高一数学复习考点知识讲解课件5.2.3简单复合函数的导数考点知识1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导．导语同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数．一、复合函数概念的理解问题1函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？提示y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数和外层函数复合而成，是复合函数．知识梳理复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．注意点：内、外层函数通常为基本初等函数．例1(多选)下列哪些函数是复合函数()A ．y ＝x ln xB ．y ＝(3x ＋6)2C ．y ＝e sin xD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3 答案BCD解析A 不是复合函数；BCD 都是复合函数．反思感悟若f (x )与g (x )均为基本初等函数，则函数y ＝f (g (x ))或函数y ＝g (f (x ))均为复合函数，而f (x )，g (x )不是复合函数．跟踪训练1(多选)下列哪些函数是复合函数()A ．y ＝log 2(2x ＋1)B ．y ＝2x 2－1xC ．y ＝2ln xD ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6 答案ACD二、求复合函数的导数问题2如何求函数y ＝sin2x 的导数？提示y ＝2sin x cos x ，由两个函数相乘的求导法则可知：y ′＝2cos 2x －2sin 2x ＝2cos2x ；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y ＝sin u ，它的导数y ′＝cos u ，内层函数是幂函数的线性组合u ＝2x ，它的导数是u ′＝2，发现y ′x ＝y ′u ·u ′x .知识梳理复合函数的求导法则一般地，我们有，若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a .注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．例2求下列函数的导数：(1)y ＝1(1－3x )4； (2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝log 2(2x ＋1)；(4)y ＝e 3x ＋2.解(1)令u ＝1－3x ，则y ＝1u 4＝u －4，所以y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3.所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12u －5＝12(1－3x )5. (2)令u ＝2x ＋π3，则y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (3)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝2u ln2＝2(2x ＋1)ln2. (4)设y ＝e u ，u ＝3x ＋2，则y ′x ＝(e u )′·(3x ＋2)′＝3e u ＝3e 3x ＋2.反思感悟(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．跟踪训练2求下列函数的导数：(1)y ＝11－2x； (2)y ＝5log 2(1－x )；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. 解(1)y ＝1212()x -－，设y ＝12u -，u ＝1－2x ，则y ′x ＝12(1))2(u x -'-'＝3221()·2u -⎛⎫- ⎪⎝⎭－＝3212()x -－.(2)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝5(log 2u )′·(1－x )′＝－5u ln2＝5(x －1)ln2. (3) 设y ＝sin u ，u ＝4x ＋π6，则y ′x ＝(sin u )′⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6′＝cos u ·4＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.三、复合函数的导数的应用例3已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值．解∵f ′(x )＝a (x 2)′＋2·12－x ·(2－x )′ ＝2ax －22－x， ∴f ′(1)＝2a －2，又f (1)＝a ＋2ln1＝a ，∴切线l 的方程为y －a ＝2(a －1)(x －1)，即2(a －1)x －y －a ＋2＝0.∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12，∴|2－a|4(a－1)2＋1＝12，解得a＝118.反思感悟正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3曲线y＝f(x)＝e2x·cos3x在点(0,1)处的切线与平行直线l的距离为5，求直线l的方程．解y＝e2x·cos 3x的导数为y′＝2e2x·cos 3x＋(－3sin 3x)·e2x＝e2x·(2cos 3x－3sin 3x)．曲线在点(0,1)处的切线斜率为e0·(2cos 0－3sin 0)＝2，则曲线在点(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1，设直线l：y＝2x＋t，由d＝|t－1|1＋4＝5，解得t＝6或－4.则直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.1.知识清单：(1)复合函数的概念．(2)复合函数的求导法则．(3)复合函数的导数的应用．2.方法归纳：转化法．3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．1．(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是()A．y＝u n，u＝x2－1B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝t n，t＝(x2－1)n D.t＝x2－1, y＝t n答案AD2．已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数是f′(x)，且f′(2)＝2，则实数a的值为()A.12B.23C.34D．1答案B解析求导得f′(x)＝aax－1，则f′(2)＝a2a－1＝2，解得a＝23.3．设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)等于()A．1B.32C．－1D．－2答案B解析f′(x)＝33x＋2－6x，故f′(0)＝32－0＝32.4．设曲线y＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________. 答案2解析易知y ′＝a e ax ，k ＝a e 0＝a ，故a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，则a ＝2. 课时对点练1．(多选)下列函数是复合函数的是()A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4答案BCD解析A 不是复合函数，B ，C ，D 均是复合函数，其中B 由y ＝cos u ，u ＝x ＋π4复合而成；C 由y ＝1u ，u ＝ln x 复合而成；D 由y ＝u 4，u ＝2x ＋3复合而成．2．设f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)等于()A ．ln3B ．－ln3C.1ln3D ．－1ln3答案C解析f ′(x )＝1(x －1)ln3，故f ′(2)＝1ln3.3．函数y＝x ln(2x＋5)的导数为()A．ln(2x＋5)－x2x＋5B．ln(2x＋5)＋2x2x＋5C．2x ln(2x＋5) D.x 2x＋5答案B解析∵y＝x ln(2x＋5)，∴y′＝ln(2x＋5)＋2x2x＋5.4．函数y＝f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f′(2)＝5，则a等于()A．1B．－1C．2D．－2答案A解析y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则f′(2)＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1(舍负)．5．曲线y＝2x e x－2在点(2,4)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．6D．2答案C解析∵y＝2x e x－2，∴y′＝2e x－2＋2x e x－2，∴k＝2e0＋4e0＝6，故选C.6．(多选)下列结论中不正确的是()A．若y＝cos 1x，则y′＝－1x sin1xB．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C．若y＝cos5x，则y′＝－sin5xD．若y＝12x sin2x，则y′＝x sin2x答案ACD解析对于A，y＝cos 1x，则y′＝1x2sin1x，故错误；对于B，y＝sin x2，则y′＝2x cos x2，故正确；对于C，y＝cos5x，则y′＝－5sin5x，故错误；对于D，y＝12x sin2x，则y′＝12sin2x＋x cos2x，故错误．7．已知f(x)＝x ln x，若f′(x0)＋f(x0)＝1，则x0的值为________．答案1解析因为f′(x)＝ln x＋1.所以由f′(x0)＋f(x0)＝1，得ln x0＋1＋x0ln x0＝1.解得x0＝1.8．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．答案2解析设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，又曲线的导数为y′＝1x＋a，∴k＝1x0＋a＝1，即x0＋a＝1.又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.9．求下列函数的导数：(1)y ＝ln(e x ＋x 2)；(2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝11－x 2； (4)y ＝sin2x cos3x .解(1)令u ＝e x ＋x 2，则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x ＋2x )＝e x ＋2x e x ＋x2. (2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u ·ln10·(2x ＋3)′＝2ln10·102x ＋3.(3)设y ＝12u -，u ＝1－x 2，则y ′x ＝122(()1)u x -''－223321()·21().2u x x x --=-－＝－ (4)∵y ＝sin2x cos3x ，∴y ′＝(sin2x )′cos3x ＋sin2x (cos3x )′＝2cos2x cos3x －3sin2x sin3x .10．曲线y ＝e 2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．解因为y ＝e 2x ＋1，所以y ′＝2e 2x ＋1，所以k ＝2，故曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程为2x －y ＋2＝0，设直线l 的方程为2x －y ＋m ＝0(m ≠2)，由||m －25＝5得，m ＝7或－3，所以直线l 的方程为2x －y ＋7＝0或2x －y －3＝0.11．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为() A.13B.12C.23D ．1答案A解析依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，k ＝－2e －2×0＝－2.所以曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在平面直角坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2，y ＝0与y ＝x 的图象，如图所示．因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为12×1×23＝13.12．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是() A.5B ．25C ．35D ．0答案A解析设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行．∵y ′＝22x －1， ∴k ＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴y 0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.13．(多选)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值可以是()A.π4B.π2C.3π4D.7π8答案CD解析因为y ＝4e x ＋1，所以y ′＝－4e x(e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2. 因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)，所以y ′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 14．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.答案π6解析∵f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)， ∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，令g (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，∵其为奇函数，∴g (0)＝0，即cos φ－3sin φ＝0， ∴tan φ＝33，又0<φ<π，∴φ＝π6.15．若曲线y ＝14sin2x ＋32cos 2x 在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线互相垂直，则|x 1－x 2|的最小值为()A.π3B.π2C.2π3D ．π答案B解析∵y ＝14sin2x ＋32cos 2x ＝14sin2x ＋32×1＋cos2x 2＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋34， ∴y ′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1. 不妨设在A 点处切线的斜率为1，则有2x 1＋π3＝2k 1π(k 1∈Z )，2x 2＋π3＝2k 2π＋π(k 2∈Z )，则可得x 1－x 2＝(k 1－k 2)π－π2＝k π－π2(k ∈Z )，所以|x 1－x 2|min ＝π2.16．(1)已知f (x )＝e πx sinπx ，求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12； (2)在曲线y ＝11＋x 2上求一点，使在该点的切线平行于x 轴，并求切线方程．解(1)∵f (x )＝e πx sinπx ，∴f ′(x )＝πe πx sinπx ＋πe πx cosπx＝πe πx (sinπx ＋cosπx )．∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝π2πe ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝π2πe . (2)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由题意可知k ＝0.又y ′＝－2x (1＋x 2)2，∴k＝－2x0(1＋x20)2＝0.解得x0＝0，此时y0＝1.即切点坐标为P(0,1)，切线方程为y－1＝0.。

数学公式知识：复合函数的概念与计算方法

数学公式知识：复合函数的概念与计算方法复合函数是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们解决很多实际问题。

本文将详细介绍复合函数的概念与计算方法，希望能够对读者有所帮助。

一、复合函数的定义先来看一个简单的例子，设有函数y=f(x)=x^2和函数y=g(x)=x+1，那么我们可以得到一个新的函数y=h(x)=f(g(x))。

这个新的函数h(x)就是复合函数。

复合函数的定义如下：设有函数f(x)与g(x)，则当g(x)的值域是f(x)的定义域时，可以定义出一个新的函数h(x)=f(g(x))，即h(x)为f(x)和g(x)的复合函数。

从上面的例子可以看出，复合函数是多个函数通过一定的运算组合而成的一个新函数。

它与单独的函数不同之处在于，复合函数的自变量x首先被代入g(x)中求出一个新的中间变量，然后再将这个中间变量代入f(x)中，得到复合函数的值。

二、复合函数的计算方法要想计算一个复合函数，我们需要先确定复合函数的定义域和值域。

下面我们将具体介绍复合函数的计算方法。

1.内层函数求解首先，我们需要求解复合函数中的内层函数，即先算g(x)。

例如，在上面的例子中，g(x)=x+1。

2.外层函数求解接着，我们将求出的中间变量代入外层函数中求解，即求解f(g(x))。

例如，在上面的例子中，f(x)=x^2，那么f(g(x))就是(f(x))^2，即(x+1)^2。

3.简化复合函数如果可以，我们可以简化复合函数的表达式。

例如，在上面的例子中，可以将(x+1)^2展开得到x^2+2x+1，因此f(g(x))=x^2+2x+1。

但是，在有些情况下，复合函数可能无法简化。

4.确定复合函数的定义域和值域最后，我们需要确定复合函数的定义域和值域。

对于复合函数h(x)=f(g(x))，它的定义域是g(x)的定义域，而它的值域是f(x)的值域。

我们需要通过分析g(x)和f(x)的定义域和值域来确定复合函数的定义域和值域。

三、复合函数的应用复合函数在数学和实际问题中都有广泛的应用。

高中数学求解复合函数的思路与方法详解

高中数学求解复合函数的思路与方法详解在高中数学中，复合函数是一个非常重要的概念。

理解和掌握复合函数的求解方法对于解决各类数学问题至关重要。

本文将详细介绍复合函数的思路与方法，并通过具体的例题进行分析和说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用复合函数。

一、复合函数的定义与思路复合函数是指由两个或多个函数构成的函数。

在求解复合函数时，我们需要按照一定的思路进行操作。

首先，要明确复合函数的定义，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

其次，要根据题目给出的条件，确定复合函数的具体形式。

最后，根据已知的函数关系，通过代入和运算等方法求解复合函数的值。

二、复合函数的求解方法1. 代入法代入法是求解复合函数的常用方法之一。

通过将已知的函数关系代入到复合函数中，可以得到复合函数的具体表达式。

例如，已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2，求解复合函数h(x) = f(g(x))。

我们可以将g(x)代入到f(x)中，得到h(x) = 2(x^2) + 1。

通过代入法，我们得到了复合函数h(x)的表达式。

2. 分解法分解法是求解复合函数的另一种常用方法。

通过将复合函数分解成多个简单的函数，可以更方便地求解复合函数的值。

例如，已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2，求解复合函数h(x) = f(g(x))。

我们可以先求解g(x)，再将g(x)的结果代入到f(x)中。

即先求解g(x) = x^2，再将g(x)的结果代入到f(x)中，得到h(x) = 2(x^2) + 1。

通过分解法，我们得到了复合函数h(x)的表达式。

三、具体例题分析与解答为了更好地理解和应用复合函数的思路与方法，我们将通过具体的例题进行分析和解答。

例题1：已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2，求解复合函数h(x) = f(g(x))。

解答：首先，我们可以通过代入法求解复合函数h(x)的表达式。

高一数学知识点总结复合函数

高一数学知识点总结复合函数高一数学知识点总结：复合函数在高一数学学习中，复合函数是一个重要的概念。

复合函数结合了两个或多个简单函数，通过将一个函数的输出作为另一个函数的输入，进而产生了一个新的函数。

本文将对复合函数的概念、性质和应用进行总结。

一、复合函数的定义与表示复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，并得到一个新的函数。

设有函数f(x)和g(x)，那么在定义域内存在h(x) = g(f(x))，其中h(x)表示函数f(x)和g(x)的复合函数。

我们可以将复合函数表示为h(x) = g(f(x))，其中f(x)为内函数，g(x)为外函数。

此时，内函数的定义域必须是外函数的值域。

二、复合函数的性质1. 交换律：f(g(x)) = g(f(x))。

即复合函数的结果与函数的先后顺序无关。

2. 结合律：(f(g(x))) • h(x) = f(g(h(x)))。

即复合函数连续运算的结果与加括号的方式无关。

3. 单位元：f(x) • 1 = 1 • f(x) = f(x)。

即复合函数与单位元的运算结果不变。

4. 复合函数不具有交换率。

5. 逆函数与复合函数：若f(g(x)) = x，g(f(x)) = x，则f(x)和g(x)互为逆函数。

三、复合函数的应用1. 函数的求值：复合函数可以用于求函数在特定点的值。

通过将内函数的输出作为外函数的输入，可以简化计算过程。

2. 函数的复合关系：复合函数可以帮助我们研究函数之间的关系。

通过分析复合函数的性质，可以得出函数的单调性、奇偶性等特征。

3. 函数的图像平移与变形：复合函数可以用于对函数图像进行平移、伸缩、镜像等操作，从而得到新的函数图像。

4. 物理问题的建模：复合函数在物理学中有广泛的应用。

例如，通过将距离与时间的函数复合，可以建立运动物体的位移函数。

总结：复合函数是数学中重要的概念之一，它将两个或多个函数进行组合，形成一个新的函数。

复合函数具有交换律、结合律和单位元等性质。

(完整版)高一必修一数学-复合函数定义域

复合函数的定义域讲解内容：复合函数的定义域求法讲解步骤：第一步：函数概念及其定义域函数的概念：设是,A B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的函数，记作：(),y f x x A =∈。

其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值.第二步：复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+；复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。

）第三步：介绍复合函数的定义域求法例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域；解：由题意得35x -<≤Q3325x ∴-<-≤ 137x -<≤1733x ∴-<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33⎛⎤- ⎥⎝⎦. 练1.已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。

解因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或即23-<≤-x 或10≤<x故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3Y -- 例2. 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域解:由题意得23x ∴-≤≤639x ∴-≤≤42311x ∴-≤+≤所以函数()f x 的定义域为：[]4,11-例3. 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。

高中复合函数

高中复合函数复合函数是数学中一种重要的函数，它把两个函数泛化为一个函数，二者在实践中有着许多有用的应用。

高中复合函数在数学教师的课堂中是常见的，分为数学考试题的考试内容。

本文将介绍复合函数的定义、性质、图象表示与常见高中复合函数，以帮助读者全面了解复合函数的内容。

一、定义复合函数的定义是把两个函数f（x）和g（x）结合起来构成一个新的函数，叫做复合函数。

通常形式为：h（x）=f（g（x））。

若f （x）、g（x）是定义在A和B上的函数，则复合函数h（x）也是定义在A上的函数。

二、性质1.合函数的定义域和值域分别是两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域的交集，并且复合函数h（x）的定义域可以更小。

2.果复合函数h（x）=f（g（x）），函数f（x）和g（x）可以互换，而新的复合函数H（X）=g（f（x））也是复合函数。

3.合函数可以看作由函数f（x）所包含的所有函数组成的集合，这些函数的参数都是有限的，由函数g（x）的值决定。

三、图象表示图象表示一个复合函数的形式是把每一步的函数用图形表示出来。

例如复合函数h（x）=f（g（x）），把f（x）和g（x）图象放在一起，它们的结合就可以表示复合函数h（x）的定义域和值域。

四、常见的高中复合函数1. 一阶复合函数：形式为h（x）=f（g（x）），其中f（x）和g （x）都是一阶函数，例如h（x）=x2+3x+3。

2. 二阶复合函数：形式为h（x）=f（g（x）），其中f（x）和g （x）都是二阶函数，例如h（x）=x3+3x2+3x+1。

3. 三阶复合函数：形式为h（x）=f（g（x）），其中f（x）和g （x）都是三阶函数，例如h（x）=x4+4x3+6x2+4x+1。

4.式复合函数：形式为h（x）=f（g（x）），其中f（x）和g（x）都是多项式，例如h（x）=x3+2x+1。

五、结论高中复合函数是数学考试的重要考察内容，其定义、特征、图象表示及常见的高中复合函数等有助于高中生更好的认识复合函数的内容，从而更高效的复习复合函数的内容。

复合函数(知识点总结、例题分类讲解)

千里之行，始于足下。

复合函数(知识点总结、例题分类讲解)复合函数是指由两个或多个函数相互作用形成的新函数。

在数学中，复合函数是一种常见的概念，并且在高等数学、线性代数、微积分等多个领域中都有应用。

本文将对复合函数的知识点进行总结，并通过分类讲解一些例题。

一、复合函数的定义：设有函数f和g，对于g的定义域中的每个x，存在f的定义域中的y，使得y=g(x)，则有一个复合函数h(x)=f(g(x))，它的定义域是所有能使得g(x)的值能成为f(x)定义域中的自变量的值的x。

二、复合函数的求解步骤：1. 确定复合函数的形式h(x)=f(g(x))。

2. 确定g(x)的定义域和f(x)的定义域，并找到能使得g(x)的值成为f(x)的自变量的值。

3. 将g(x)的值代入f(x)中，得到新的函数h(x)。

三、复合函数的性质：1. 复合函数的定义域是g(x)的定义域和f(x)的定义域的交集。

2. 复合函数的值域是f(x)的值域的子集。

四、复合函数的例题分类讲解：1. 简单的复合函数求导：例题1：已知f(x)=x²和g(x)=2x+1，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。

第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

解析：首先计算g'(x)=2，然后计算f'的导函数f'(x)=2x。

根据链式法则，h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=2(2x+1)*2=8x+4。

2. 复合函数中含有指数函数：例题2：已知f(x)=eˣ和g(x)=ln(x)，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。

解析：首先计算g'(x)=1/x，然后计算f'的导函数f'(x)=eˣ。

根据链式法则，h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=eˣ*(1/x)=eˣ/x。

3. 复合函数中含有三角函数：例题3：已知f(x)=sin(x)和g(x)=x²，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。

复合函数(讲义)

复合函数(讲义)1.复合函数定义如果函数y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f(g(x))就被称为复合函数，其中f(u)是外层函数，g(x)是内层函数，u是中间变量。

2.复合函数定义域的求法①如果y=f(x)的定义域为[a,b]，那么复合函数y=f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集；②如果y=f(g(x))的定义域为[a,b]，那么函数y=f(x)的定义域即为x∈[a,b]时g(x)的取值范围。

注：同一对应法则f下的范围相同，即f(u)、f(g(x))、f(h(x))三个函数中，u，g(x)，f(x)的范围相同。

3.复合函数的单调性口诀：同增异减。

已知函数y=f(g(x))，则求其单调区间的一般步骤如下：1）确定定义域；2）将复合函数y=f(g(x))分解成：y=f(u)，u=g(x)；3）分别确定这两个函数的单调区间。

4.复合函数的奇偶性口诀：有偶则偶，全奇为奇。

即：f(x)。

偶函数。

奇函数。

奇函数g(x)。

偶函数。

奇函数。

偶函数。

奇函数f(g(x))。

偶函数。

奇函数精讲精练】1.1）f(g(x))=2(3x-5)+3=6x-7，g(f(x))=3(2x+3)-5=6x+4 2）f(x+1)=(x+1)²+1= x²+2x+22.1）f(x²)，则x²≥0，即定义域为[0,+∞)f(x-2)，则x-2≥0，即定义域为[2,+∞)2）f(x+1)，则x+1∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]f(2)，则2∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]3）f(2x)，则2x∈[-1,+∞)，即定义域为[-1/2,+∞)f(log₂x)，则log₂x∈[-1,+∞)，即定义域为[1/2,+∞) 4）f(x)=log₃x，则定义域为(0,+∞)3.1）y=log₁⁄₂(x²+6x+13)，x²+6x+13>0，即x∈(-∞,-3]∪(-3,-2]∪(-2,+∞)，值域为(-∞,+∞)2）y=(f(x²)+f(2-x))/(2-x²)，x²≤2，即x∈[-√2,√2]，(2-x)²>0，即2-x≠0，即x≠2，值域为(-∞,a]∪[b,+∞)，其中a=f(2-√2)+f(√2-2)，b=f(2+√2)+f(-√2-2)3）y=log₂(4x²-1)，4x²-1>0，即x∈(-∞,-1/2)∪(1/2,+∞)，值域为(-∞,+∞)4.已知y=ax²/(x²+1)-11x²/(x²+4)，化简得y=-3x²(x²+1)/(x²+4)(x²+1)，x²+4>0，即x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)，x²+1>0，即x∈(-∞,+∞)，因此定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)，值域为(-∞,0]1.函数f(x)=3x^2-18x+24在x∈[1,8]时有最小值8，则函数的最小值为8，求a的值。

高数课件64复合函数求导法则

03
误区三
运算错误。有些同学在求导过程中由于运算不熟练或粗心大意导致出错。
要避免这种误区，需要加强运算练习，提高运算准确性和熟练度。
典型例题分析与解答
例题一
求函数$y = sin(2x)$的导数。
分析
这是一个典型的复合函数求导问题，其中外层函数是$sin u$，内层函数是$u = 2x$。根据复合函数求导法则，我们有$frac{dy}{dx} = frac{d(sin u)}{du} cdot frac{du}{dx} = cos u cdot 2 = 2cos(2x)$。
解答
$y' = 2cos(2x)$。
例题二
求函数$y = e^{tan x}$的导数。
分析
这也是一个复合函数求导问题，其中外层函数是$e^u$，内层函数是$u = tan x$。根据复合函数求导法则，我们有 $frac{dy}{dx} = frac{d(e^u)}{du} cdot frac{du}{dx} = e^u cdot sec^2 x = e^{tan x} cdot sec^2 x$。
解答
$y' = e^{tan x} cdot sec^2 x$。
07 总结与展望
课程内容总结
复合函数求导法则基本概念
讲解了复合函数、中间变量、链式法则等基本概念，为求导法则的学习打下基础。
复合函数求导法则的推导
详细推导了复合函数求导法则，包括一元复合函数、多元复合函数以及含参变量的复合函数的求导方法。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
04 复合函数求导法则的应用
单一复合函数的求导
链式法则
若函数u=g(x)在点x可导，函数 y=f(u)在对应点u=g(x)可导，则复合函数y=f[g(x)]在点x可导，且其导数为y'=f'(u)g'(x)或 dy/dx=dy/du * du/dx。

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