(完整版)高一数学复合函数讲解

1、复合函数的概念

如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。

例如：函数是由复合而成立。

函数是由复合而成立。

a是中间变量。

2、复合函数单调性

由引例对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。

对任意，

当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。

∵当a＞1时，

∵y=f（u）是上的递减函数∴

∴

∴是单调递减函数

类似地，当0＜a＜1时，

是单调递增函数

一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。

有以下四种情况：

（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；

（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；

（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；

（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。

注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。

例1、讨论函数的单调性

（1）（2）

又是减函数

∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。

②x∈（-1，3）

令

∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。

∵是增函数

∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。

注意：要求定义域

练习：求下列函数的单调区间。

1、（1）减区间，增区间；

（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；

（3）减区间，增区间；

（4）减区间，增函数。

2、已知求g（x）的单调区间。

提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）

的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。

例2、y=f（x），且lglgy=lg3x+lg（3-x）

（1）y=f（x）的表达式及定义域；

（2）求y=f（x）的值域；

（3）讨论y=f（x）的单调性，并求其在单调区间上相应的反函数。

答案：（1）x∈（0，3）

（2）（0，]

（3）y=f（x）在上单调递增函数，在上是单调递减函数

当x∈时，；

当x∈时，。

例3、确定函数的单调区间。

提示，先求定义域：（-∞，0），（0，+∞），再由奇函数，先考虑（0，+∞）上单调性，并分情况讨论。

函数的递增区间分别为（-∞，-1]， [0，+∞）

函数的递减区间分别为[-1，0），（0，1]。

1、求下列函数的单调区间。

（1）（2）（3）

2、求函数的递减区间。

3、求函数的递增区间。

4、讨论下列函数的单调性。

（1）（2）

答案：1（1）递减区间（2）递增区间（0，+∞）（3）递减区间（-∞，0]递增区间[2，+∞）

2、[，2]

3、（-∞，-2）

4、（1）在上是增函数，在上是减函数；

（2）a＞1时，在（-∞，1）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；

用待定系数法求函数解析式

一、填空题：

1、已知二次函数m x x y ++=32的图象与x 轴只有一个交点，则m ＝ 。

2、抛物线c bx x y ++=2过点(1，0)，与x 轴两交点间距离3，则b ＝ ，c ＝ 。

3、抛物线42++=bx x y 与x 轴只有一个交点，则b ＝ 。

4、抛物线的顶点是C(2，3)，它与x 轴交于A 、B 两点，它们的横坐标是方程0342

=+-x x 的两个根，则AB ＝ ，S △ABC ＝ 。

5、如图，二次函数5)2(2-+--=a x a x y 的图象交x

当线段AB 最短时，线段OC 的长是 。 6、若抛物线c x x y +-=2

12

的顶点在x 轴上，则c 7、抛物线12--=mx x y 与x 轴有 个交点。

二、选择题 1、抛物线()5322

--=x y 与y (A)(0，－5)； (B) (0，13)； (C) (0，4)； 2、抛物线x x y --

=22

1的顶点坐标为( ) (A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛211，－ (B) ⎪⎭⎫ ⎝

⎛211，－ (C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21－ (D) (－1，0) 3、若抛物线()322++--=m x m x y 的顶点在y 轴上，则m 的值为( ) (A)－3 (B)3 (C)－2 (D) 2

4、若抛物线c x x y +-=2

12

的顶点在x 轴上，则c 的值为( ) (A) 41； (B) 41－； (C) 16

1； (D) 161－ 5、函数()x x y -=32图象可能为( )

，5)c bx ++上的两点，那么它的对称轴为直线( )

(A) a

b x -

= (B) 1=x (C) 2=x (D) 3=x 7、抛物线12--=mx x y 与x 轴的交点个数是( ) (A)0； (B)1； (C)2； (D)无数个。

三、求符合下列条件的二次函数式图象：

1、过点(0，1)，(1，1)，(－1，－1)；

2、对称轴是x ＝2，经过(1，4)和(5，0)两点。

3、抛物线与x 轴的一个交点(6，0)，顶点是(4，－8)

4、当x ＝3时，y 有最大值为－1，且抛物线过点(4，－3)。

5、抛物线以点(－1，－8)为顶点，且与y 轴交点纵坐标为－6。

6、顶点在x 轴上，对称轴方程x ＝－3，且经过点(－1，4)。

7、求二次函数)4()232-+-+=m m x m x y （

的图象与x 轴两交点间的距离的最小值，此时m 的值是多少？

8、二次函数图象经过A(0，2)和B(5，7)两点，且它的顶点在直线y ＝－x 上。