量子论基础
第一章 量子力学基础
氧化锆晶体的X射线衍射图 (Debye-Scherrer图)
de Broglie还利用他的关系式为Bohr的轨道角动 量量子化条件
h mvr n 2
作了一个解释：由这一条件导出的
nh h S 2r n n mv p
表明圆轨道周长S是波长的整数倍，这正是在圆周上形 成稳定的驻波所需要的，如同琴弦上形成驻波的条件是 自由振动的弦长为半波长的整数倍一样. 尽管这种轨迹确定的轨道被不确定原理否定了， 但“定态与驻波相联系”的思想还是富有启发性的.
测物理量. 波函数应具有品优性 , 包括单值性、连续性 、平方可积性.
波函数的概率解释
例如, 坐标与相应的动量分量、方位角与动量矩等.
不确定原理可以用不同的方式来阐述, 最容易理解也 最常用的是电子的单缝衍射实验:
波是不确定性的表现
单 缝 衍 射
这个象征着科学 的标志, 迄今仍被有 些人认为是原子模型 的真实图像. 实际上, 它只是照耀过科学历 程的星光:
由于坐标与相应 的动量分量不可能同 时精确测定, 所以， 原子中的电子不可能 具有这种轨迹确切的 轨道.
(photoelectric effect), 后来导致了光的粒子学说. 1889年, 斯托列托夫提出获得光电流的电池方案(下图G为电 流表, V为电压表; C为阴极, A为阳极):
1898年，P.勒纳特确认放电粒子为电子, 并于1902年指出: 1.入射光线的频率低于一定值就不会放出光电子; 2.光电子的动能与光强度无关而与光的频率成正比; 3.光电流强度与光强成正比。
de Broglie波不仅对建立量子
力学和原子、分子结构理论有重要
意义，而且在技术上有重要应用.
使用de Broglie波的电子显微镜分辨率
量子力学基本原理
量⼦⼒学基本原理量⼦⼒学是到现在为⽌⼈们能够给出的最好的理论，然⽽不应当认为它将永远的存在下去。
假如我们要重新引⼊决定论的观点，那就应当以某种⽅式付出代价，这种⽅式是什么，现在还⽆法推测。
——狄拉克狄拉克23岁成为量⼦⼒学创始⼈之⼀本⽂主要从量⼦论起源、能量⼦假设、光电效应、康普顿散射、玻尔量⼦论、德布罗意物质波、概率波函数、量⼦叠加态原理、不确定性原理、薛定谔⽅程等⼗⼤概念理解量⼦⼒学基本原理，见证⼆⼗世纪真正的神话。
量⼦⼒学其实描述的是物质的⾏为，特别是发⽣在原⼦尺度范围内的事件。
在极⼩尺度下事物的⾏为与我们有着直接经验的任何事物都不相同。
它们既不像波动，⼜不像粒⼦，也不像云雾，或悬挂在弹簧上的重物，总之不像我们曾经见过的任何东西。
费曼1、量⼦论起源量⼦论的起源来⾃⼀个⼤家熟悉的现象，这⼀现象并不属于原⼦物理学的核⼼部分。
任何⼀块物质在被加热时都会发光，并在⾼温度下达到红热和⽩热，发光的亮度与材料的表⾯关系不⼤，⽽对于⿊体，只与温度有关。
因此，⿊体在髙温下发出的辐射作为物理学研究的适当对象，被认为应该可以根据已知的辐射和热学定律找到⼀个简单的解释。
但是物理学家瑞利和⾦斯在⼗九世纪末的努⼒却以失败告终，揭⽰了⿊体辐射问题的严重性。
瑞利和⾦斯⼀切⼈类的直接经验和直觉都只适⽤于宏观物体。
——费曼2、能量⼦假设难以置信的是这个公式已经触动了我们描述⾃然的基础，我感到，我可能已经完成了⼀个第⼀流的发现，或许只有⽜顿的发现才能和它相⽐。
——普朗克普朗克⼤胆舍弃了“能量均分定理”，代之以“量⼦假设”——能量只能以分⽴的能量⼦的形式发射或吸收，这在概念上是⼀次⾰命性的突破，以致它不再适合于物理学的传统框架。
频率为v的电磁波和原⼦、分⼦等物质发⽣能量转换时候，能量不能连续变化，只能⼀份⼀份的跳变，且每份“能量⼦”为：ε=hv=ℏω，其中约化普朗克常数ℏ=h/(2π)普朗克普朗克公式普朗克根据能量的量⼦化，得出⾓频率为ω的电磁振动模式在温度T下的平均能量不再取“能量均分定理”给出的KT，⽽是：E(ω)=ℏω/(e^(ℏω/kT)-1)利⽤热⼒学和物理统计理论，导出了著名的（描述电磁波能量和⾓频率关系）的普朗克公式：ρ (ω)=(ℏω³/π²c³)/(e^(ℏω/kT)-1)3、光电效应年轻的爱因斯坦是物理学家中⼀个有⾰命性的天才，他不怕进⼀步背离旧的观念。
结构化学 第1章 量子力学基本原理---量子论
光是一种电磁波
➢1856年，Maxwell建立电磁场理论，预言了电 磁波的存在。 ➢理论计算出电磁波以3×108m/s的速度在真空 中传播，与光速度相同，所以人们认为光也是 电磁波。 ➢1888年，Hertz探测到电磁波。 ➢光作为电磁波的一部分，在理论上和实验上就 完全确定了。
L. Rayleigh（瑞利） 1911年Nobel物理奖
➢R － J 方 程 只 在 波 长 很 大时与实际情况比较符
。实验 -- 维恩 -- 瑞利－金斯
合 ， 随 着 λ 减 小 ， ρλ 单调增大，与实验结果
呈现巨大分歧。
➢推 论 ： 黑 体 的 单 色 辐
射强度将随波长变短而
趋于“无限大”。
光子学说对光电效应的解释
当光照射金属中的电子时，电子吸收光子的能量，
体现为逸出功(W0)和光电子动能(Ek) ：
hn
1 mv2 2
W0
n0=W0/h，为金属材料的特征值。
当n＞n0时，如果光的强度越大，则单位体积内
通过的光子数目就越多，因而光电流也越大。
W0
W0
W0 ,逸出功, 或称为功函数，F
结构化学 —— 第一章量子力学原理
第一章
I 量子论的形成 新理论的产生
为世人接受的新 观念和新理论
传统观念 和经典理论
不能解释 实验新发现
解释实验且为 其他实验证实
修
新观念 新假设
正
结构化学 —— 第一章量子力学原理
经典物理学
1900年以前，物理学的发展处于经典物理学 (classical physics)阶段: 由经典力学，电磁波理论， 统计物理学和热力学等组成。
与此相反，Wien方程只在
－－“紫外灾难” 高频区符合。
第一章_量子力学的基础知识
m
0
c2
h
c2
（4）光子的动量为 pmh c/ch /
（5）光子与电子碰撞时服从能量守恒和动量守恒定律
1
①
hν < W 0
②
hν > W 0
W0
1 m2 2
W0
① 当 h < W0 (ho) 时，光子
没有足够的能量使电子克服 电子的束缚能而成为自由电 子，则不发生光电效应；
② 当 h > W0 (ho) 时，
D
狭缝到底片的距离远大于狭
缝宽度, CP≈AP，
e
sin＝OC/AO =/D
x A OC
P y
在p点的动量在x轴的分量就 是在该方向的不确定量
△px＝psin＝p/D=h/D 而坐标x的不确定量Δx即为 单缝宽度D
△x＝D, 所以 △x△px＝h
Q A
C O
P
psin
电子单缝衍射实验示意图
考虑二级以上衍射， x px ≥h 1
金属中发射的电子具有 一定的动能，发生光电
流，并随 增加而增加。
1
光电子动能mv 2/2
光子能量: E=hν 光子动量: p=h/λ 光电效应方程: mv2/2 =hν-W
(λ为入射光的波长, W为金属的功函数, m和v为光电子的质量和速度)
斜率为h
光频率ν
1
只有把光看成是由光子组成的光束才能理解光电效 应，而只有把光看成波才能解释衍射和干涉现象。光表 现出波粒二象性，即在一些场合光的行为像粒子，在另 一些场合光的行为像波。粒子在空间定域，而波却不能 定域。光子模型得到的光能是量子化的，波动模型却是 连续的，而不是量子化的。
1
按经典物理学理论
量子力学基础
结论
对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是没有意义的。 波函数所反映的只是微观粒运动的统计规律。 区别 宏观物体：讨论它的位置在哪里 宏观物体：讨论它的位置在哪里 位置 微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大 微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大 几率
波函数的性质
(1) 波函数具有归一性 粒子在整个空间出现的几率：W = ∫ dw = (2) 单值性： 单值性： (3) 连续性 (4) 有限性 波函数的统计解释(玻恩诠释 波函数的统计解释 玻恩诠释) 玻恩诠释
不确定关系
ℏ ∆X ⋅ ∆Px ≥ h ∆X ⋅ ∆Px ≥ 2 ∆t ⋅ ∆E ≥ h ℏ ∆t ⋅ ∆E ≥ 2 尔格秒)，因而在宏观 ℏ 是一个小量(1.05 × 10 −27 世界中，不能得到直接体现。
假如：X的位置完全确定，即∆X → 0 ，则粒子的 动量就完全不能确定，即∆Px → ∞ ， 假如粒子处于 Px 数值完全确定的状态时( ∆Px → 0 ) ，则无法在X方向上把粒子固定住，即X的位置是 完全不确定的。
若体系具有一系列不同的可能状态， 若体系具有一系列不同的可能状态，{Ψ1, Ψ2···}， } 则它们的线性组合Ψ=C1Ψ1,+C2Ψ2+··· 也是该体系的 则它们的线性组合Ψ 一个可能的状态。其中C 为任意复常数。 一个可能的状态。其中C1, C2 ···为任意复常数。 为任意复常数 态叠加原理：统计规律中的几率幅相加律。 （而不是几率的相加律）
量子学说
能量量子化(能量子)的观点违背日常生活经 验，当时没有被人接受，而普朗克本人也 踌躇不前。 其实，从这个假说出发，如果再向前一步 ，就可以得出电磁场能量具有不连续性的 结论，甚至可以得出电磁场包括光在内还 有粒子性的结论，但他没有迈出这关键的 一步。
第17章量子物理基础19世纪末、二十世纪初,为解决经典物理在解释一
第17章量子物理基础19世纪末、二十世纪初，为解决经典物理在解释一系列物理实验（如黑体辐射、光电效应、康普顿散射等）时所遇到的巨大困难，物理学家们创立了量子理论，它与相对论理论一起，是现代物理学的两大理论支柱。
本章介绍量子理论基础。
主要内容有：普朗克能量子假设；爱因斯坦光量子假设和光电效应方程；光子和自由电子互相作用的康普顿效应；德布罗意物质波假设；不确定关系；量子力学波函数；薛定谔方程以及薛定谔方程用于求解一维势阱和势垒问题；氢原子的玻尔理论、量子力学关于氢原子的主要结果和原子的壳层结构等。
17.1 黑体辐射普朗克量子假设17.1.1 热辐射黑体辐射定律当加热一块铁块时，温度在3000C以下，只感觉到它发热，看不见发光。
随着温度的升高，不仅物体辐射的能量越来越大，而且颜色开始呈暗红色，继而变成赤红、橙红、黄白色，达15000C，出现白光。
其它物体加热时发光的颜色也有类似随温度而改变的现象。
这说明在不同温度下物体能发出不同波长的电磁波。
实验表明，任何物体在任何温度下，都向外发射波长不同的电磁波，在不同的温度下发出的各种电磁波的能量按波长的分布不同。
这种能量按波长的分布随温度而不同的电磁辐射叫做热辐射。
实验表明:热辐射具有连续的辐射能谱,并且辐射能按波长的分布主要决定于物体的温度。
温度越高,光谱中与能量最大的辐射所对应的波长越短。
同时随着温度升高,辐射的总能量也增加。
为定量描述某物体在一定温度下发出的能量随波长的分布，引入“单色辐射本领”（也叫单色辐射度）的概念：温度为T时,辐射体表面上单位面积在单位时间内所辐射的波长在λ附近单位波长范围内电磁波能量。
通常用e(λ,T)表示，单位:瓦/米3（W/m3）。
任何物体在任何温度，不仅能辐射电磁波，还能吸收电磁波。
不同物体发射(或吸收)热辐射的本领往往是不同的。
理论和实验表明：热辐射吸收本领大的物体，发射热辐射的本领也大。
白色表面吸收热辐射的能力小,在同温度下它发出热辐射的本领也小;表面越黑, 吸收热辐射的能力就越大,在同温度下它发出热辐射的本领也越大。
量子论基础填空1经典物理学不能解释_________
第一章量子论基础一、填空1.经典物理学不能解释：___、___、___、___ 和___等问题。
2.1900年，为解决黑体辐射的困难，普朗克提出了____的概念，导出了以他名字命名的普朗克公式____；1905年，普朗克的量子化概念被爱因斯坦进一步推广，得到了光子的动量和波矢量的关系式____。
这两个关系式合称为普朗克－爱因斯坦关系式。
3.利用普朗克－爱因斯坦关系式，可以解释____、____和____实验结果。
二、概念与名词解释1.黑体辐射2.玻尔的量子论3.光的波粒二象性4.德布罗意关系5.杜隆－珀蒂定律三、计算1.设一电子为电势差V所加速，最后打在靶子上.若电子的动能转化为一个光子，求当这个光子相应的光波波长分别为500nm（可见光）、0.1nm（X射线）以及0.0001nm（γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？2.求下列各粒子的德布罗意波的波长：(1)能量为0.1eV，质量为1g的质点；(2)T=1K 时，具有动能E=3kT/2（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子；(3)速度为500m/s ，质量为20g 的子弹.3.利用玻尔量子化条件求：(1)一维谐振子的能量 ；(2)在均匀磁场中作圆周运动的电子的可能轨道半径.4.设箱的长宽高分别为a 、b 、c ，用玻尔量子化条件求箱内运动粒子的能量。
5.利用玻尔量子化条件求转动惯量为I 的平面转子的能量.6.由p=mv 及220/c v -1/m m =出发，利用202c m -mc T =，导出相对论粒子德布罗意波长与动能的关系。
m 0为该粒子的静止质量。
7.一个德布罗意波在k 空间的表示/4)k -(k a -1/4202e )(2a C(k)π=，求： (1)ψ(x,t)和|ψ(x,t)|2，在时刻t 这是否是个高斯波包？(2)波包的宽度Δ(x,t)； (3)⎰+∞∞-ψdx t)(x ,2是否依赖于t?8.两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对. 如果两光子的能量相等, 问要实现这种转化, 光子的波长最大是多少?9.当自由电子与中子的德布罗意波长均为10-10m 时，求它们各自具有的能量。
第一章 量子力学基础
1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
1913年, Bohr提出一个新模型: 原子中的电子在确定的分 立轨道上运行时并不辐射能量; 只有在分立轨道之间跃迁时才有 不连续的能量辐射; 分立轨道由“轨道角动量量子化”条件确定:
m、v、r分别是电子的质量、线速度和轨道半径，n是一系列正 整数. 由此解释了氢原子的不连续线状光谱. 1922年, Bohr获诺 贝尔物理学奖.
假设 1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函数Ψ（x, y, z, t） 描述， Ψ（x, y, z, t）决定了体系的全部可测物理量. 波函数应具有品优性, 包括单值性、连续性、平方可积性.
z 定态波函数 不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。 （定态：概率密 度与能量不随时间改变的状态） z 波函数的具体表示形式 用量子力学处理微观体系时，要设法求出波函数的具体表示形 式。而波函数的具体表达式是由解Schrödinger方程得到的。 例如氢原子的1s态的波函数为： ψ 1s =
n=5 n=4 n=3 n=2
n=1
1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
Bohr模型对于单电子原子在多方面应用得很有成效，也 能解释原子的稳定性. 但它竟不能解释 He 原子的光谱，更不 必说较复杂的原子；也不能计算谱线强度。 量子化条件是对的，半径有问题，角动量是错的； 仍属于经典力学，只是认为附加了一些量子化条件——称 为旧量子论
E = hv
λ= h / p
1.1.4 实物微粒的波粒二象性
1927年，戴维逊、革末用电子束单晶衍射法，G.P.汤姆逊用 多晶透射法证实了物质波的存在. 1929年, de Broglie获诺贝尔物 理学奖；1937年，戴维逊、革末、G.P.汤姆逊也获得诺贝尔奖.
量子力学基础
23.03.2020
17
% 1
R°H
1
n12
1 n22
R° 为H 里德堡常数， R°=H 1.09677576×107m-1
莱曼系（Lyman） n1=1 n2 =2，3... 远紫外区 巴尔麦线系（Balmer） n1=2 n2 =3，4... Hα，Hβ，Hγ，
Hδ为可见区，其 余为近紫外区 帕邢系（Paschen） n1=3 n2 =4，5... 近红外区
23.03.2020
10
Ek 0 ν0
23.03.2020
②对于每一种金属电极， 仅当入射光的频率大于 某一频率时，才有电流 产生，称临阈频率，与 金属性质有关。
③光电效应产生的电子
ν
的初动能随光的频率增 大而增加而与光的强度
无关。
④入射光照射到金属表 面立即有电子逸出，二 者几乎无时间差。
11
根据光波的经典图象，光波的能量与它 的强度（振幅的平方）成正比，而与频率 无关。因此只要有足够的强度，任何频率 的光都能产生光电效应，而电子的动能将 随着光强的增加而增加，与光的频率无关， 这些经典物理学家的推测与实验事实不符。
23.03.2020
电子的波性是和微 粒行为的统计性联
系在一起的。
29
原子和分子中的电子其运动具有波性， 其分布具有几率性。原子和分子的运 动可用波函数描述，而电子出现的几 率密度可用电子云描述。
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30
3.不确定关系（测不准原理）
测不准原理是由微观粒子本质特性决定的。 1927年海森堡（ （Heisenberg）提出：一个粒子不能同时具有确定的坐标和动 量（也不能将时间和能量同时确定），它要遵循测不准关系。
@第一章 量子力学基础
量子力学基本假设
如果一个体系的可观测力学量的平均值不随时
间而改变，这个体系就被说成是处于一个定态。
注意：定态不等于静止。
本课程中主要讨论定态波函数。
C为一个常数因子（可以是实数或复数）时，Ψ 和 C Ψ描述同一状态。（为什么？）
由于波函数描述的是几率波，所以ψ必须满足3个条 件，即品优波函数或合格波函数： •单值，即在空间每一点ψ只能有一个值
一维势箱
一维势箱中最低能量值：n=1，E1=h2/8ml2， 对应1状态
（3）零点能
E1即为零点能（能量最低的状态1所具有的 能量） 由于箱中V(x)=0，故E1全是动能
箱中动能恒大于0，粒子处在最低的能量 状态，也在运动 能量最低的状态叫基态，基态公式可以看出，当l增大，即粒子的活动 范围扩大时，相应的能量会降低。 这种由于粒子的活动范围扩大而使体系能量降 低的效应称为“离域效应” 在有机化学中，共轭化合物的体系，因离域 效应而使得化合物更加稳定；对当代一些光 电材料学科也具有重要的意义。
电子1/2mv2 = eV； = h/mv = h/(2me)1/2(V)1/2 =1.226×10-9/V1/2(m)
实物微粒波的证明及其统计解释
1926年，波恩提出实物微粒波的统计解 释：他认为在空间任何一点上波的强度和粒 子出现的概率成正比，按照这种解释描述的 粒子的波称为概率波。 1927年，德布罗意的假设被戴维逊-革 末的镍单晶电子衍射实验和汤姆逊的多晶金 属箔电子衍射实验所证实。 1928年后，实验进一步证明，分子，原 子、质子、中子等一切微观粒子都无不具有 介绍 波动性。
量子力学基本假设
假设Ⅳ 态叠加原理
若ψ1，ψ2，…，ψn为某一微观状态的可 能状态，由它们线性组合所得的ψ也是该体系的 可能状态：
第一章量子力学基础
（3）粒子的动量平方px2值
假设三：本征方程
2 2 2 nx h d 2 ˆ x n 2 2 p sin 4 dx l l h 2 d n 2 nx 2 cos 4 dx l l l
h n 2 nx 2 sin 4 l l l
l
2 l nx ih d nx sin sin dx l 0 l 2 dx l
ih l
nx nx d sin 0 sin l l
l
2 xl
ih sin (nx / l) 0 l 2 x 0
2 ˆ ˆ H － 2 ＋V 8 m h2
：拉普拉斯算符
2 2 2 2 ＝ 2 ＋ 2 ＋ 2 x y z
19
假设三：本征方程
Schrö dinger方程算法解析
一个质量为m的 粒子，在一维 势井中的运动。
0 ， 0 ﹤x ﹤ l V= ∞ ， x ≤0 和 x≥ l
一维势箱中粒子的波函数、能级和几率密度
假设三：本征方程
总结: 势箱中粒子的量子效应：
1.存在多种运动状态，可由Ψ1 ，Ψ2 ，…，Ψn 等描述；
2.能量量子化；
3.存在零点能；
4.没有经典运动轨道，只有几率分布；
5.存在节点，节点多，能量高。
假设三：本征方程 箱中粒子的各种物理量
（1）粒子在箱中的平均位置
力学量 算符 力学量 算符
位置
x
ˆx x
ˆ p
ih ＝ － x 2 π x
x y y x
势能 V
MATLAB可视化大学物理学
5．玻尔的氢原子理论
(1)定态假设：原子系统只能处于一系列不连 续的稳定状态(简称定态)，在这些稳定状态上 具有能量E1，E2，E3，…，原子不辐射能量。
(2)量子跃迁假设：当原子从一个稳定 态En跃迁到另一稳定态Em时才发射或 吸收辐射，发射和吸收光子的频率为
En Em
h
(3)轨道角动量量子化假设：电子 轨道的角动量L是h/2π的整数倍 L
(1)能量 量子化
En
E0
1 n2
(n
=
1，2，3，…)n1称3.6为eV主称量为子基数态，能E量n =。-
(2)角动量量子化 L l(l 1)h (l = 0，1，2，…，n - 1)
其中，l称为角量子数或副量子数。
(3)角动量空间量子化Lz = mlħ (ml = 0，±1， ±2，…， ±l) 其中，ml称为磁量子数。 氢原子中的电子还有自旋 S s(s 1)h 3 h
{范例14.8} 角动量空间量子化矢量模型
*{范例14.9} 氢原子的角向概率密度和径向概率密度
*{范例14.10} 氢原子的电子云图和概率密度等值面图
基本内容
1．黑体辐射的规律 (1)辐射能量
M(λ,T)的单
1)单色辐射本领(能力)：物体表面在单位时间 位是W/m3。
内在单位面积上所发射的波长在λ到λ + dλ范围 内的辐射能量dP(λ,T)与波长间隔dλ之比
n
h 2π
n称为量子数，角动量是量子化的。
(n = 1，2，3，…)
6．德布罗意波
德布罗意认为：微观粒子除了粒子性之外也同样具有波动性。
一个具有能量E和动量p运动 粒子的频率和波长分别为
E h
,
h
高校化工专业课件第25章量子力学基础(分析化学)
解： 电子横向位置的不确定量
x
2mx
1.051034 J s 29.111031 kg1104 m
0.58 m s
x 0.01cm
eU 1 mv2 2
v 6107 m / s
n E E 以，经典物理可以看作是量子物理中量子数 n
时的极限情况。
n
n
一维无限深势阱
例题： 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大 值的位置。
高校化工专业课件第25章量子力学基 础(分析化学)
§25-1 德布罗意假设 波-粒二象性
1. 德布罗意假设
德布罗意在光的波粒二象性的启发下，提出了实物粒子（如电子、质子等）也 具有波-粒二象性的假设。
E mc2 h
p mv h
——德布罗意公式
与实物粒子相联系的波 —— 德布罗意波(物质波)
1927年德国物理学家海森伯（W.Heisenberg）根据量子力学 推出微观粒子在位置与动量两者不确定量间的关系
在某一方向(如x方向)粒子的位置不确定量x和该方向上的动量的不确定量 px有
xpx / 2 h 1.051034 J s
2
二. 简单推导 x
电子束v x
电子的单缝衍射
px
p
2
——概率密度
表示在某一时刻在某点处单位体积内粒子出现的概率。
3. 波函数的归一化条件 粒子在任意时刻在整个空间出现的概率等于1
2dV 1
——波函数的归一化条件 4. 波函数的标准条件
单值, 有限, 连续, 归一化
三. 薛定锷方程
量子论和量子力学基础
= MB(T ) = 恒量
B( , T )
对于黑体 B(,T) = 1
所以
M (T )
(,T)
=ห้องสมุดไป่ตู้
MB(T )
基尔霍夫辐射定律：任何物体的单色辐出度和
单色吸收比之比，等于同一温度绝对黑体的
单色辐出度。 基尔霍夫辐射定律表明：
M (T )
(,T)
=
MB(T )
（1）各物体单色辐出度和吸收比之比为一
[解] 太阳每秒钟辐射的能量：W 4d 2I
太阳辐出度：M
W
4R2
4d 2I 4R2
d2 R2
I
T 4
1
T
(d
/ R)2
I
4
5798K 0
2、黑体辐射实验定律的经典理论 问题：如何从理论上找到符合实验的函数式
M B f ( , T ) ?
瑞利--金斯公式
MB ( , T )
=
2 hc 2 5 hc
e kT 1
维恩公式
C 3
MB (
,T
)
= C2
e T
5
M Bλ
实验值
紫 外 灾
难 瑞利--金斯
维恩
o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 λ(μm)
3、 普朗克的量子假说 普郎克公式
问题：如何从理论上寻找符合实验曲线的函
数式
M B f ( , T ) ?
普朗克量子假说
（1）辐射物质中具有带电的线性谐振子， 它和周围电磁场交换能量。
态跃迁到另一个状态。
在量子假说基础上，普朗克得到了黑体辐射
公式：
MB ( , t )
2 hc 2
高考知识点波尔理论
高考知识点波尔理论高考知识点：波尔理论波尔理论，又被称为量子力学波尔理论或旧量子论，是20世纪初量子力学的基础之一。
波尔理论由丹麦物理学家尼尔斯·波尔于1913年提出，为我们理解原子结构和原子现象的本质提供了重要的框架。
一、波尔理论的基本原理波尔理论提出了几个基本原理，其中最重要的是能级概念和量子条件。
在波尔的理论中，原子中的电子只能在特定的能级中存在，而且在这些能级之间跃迁时的能量变化是不连续的，即量子化的。
这表明电子的能量是离散的，而不是连续的。
二、波尔理论的能级结构根据波尔的理论，电子在原子中的运动轨迹是固定的，电子绕原子核旋转的轨道称为能级。
波尔理论认为电子处于静态轨道上，不会辐射能量。
而当电子吸收或释放能量时，会发生能级的跃迁。
三、波尔理论的量子条件波尔理论还提出了量子条件，它描述了电子从一个能级跃迁到另一个能级时所满足的条件。
量子条件包括能级之间的能量差等于辐射或吸收的光子的能量，以及辐射或吸收的光子的频率与跃迁的能级差之间存在一定的关系。
四、波尔理论的应用波尔理论的提出为解释原子光谱、氢原子的结构和其他原子现象提供了重要的工具。
波尔理论对于解释原子光谱的谱线位置和强度起到了关键作用，为后续量子力学的发展奠定了基础。
五、波尔理论的局限性尽管波尔理论为量子力学的发展开辟了道路，但它也存在一些局限性。
波尔理论无法解释更复杂的原子结构和原子间的相互作用，因此在解释重原子物质和分子物质等方面有一定的局限性。
六、波尔理论与现代量子力学的关系波尔理论的提出催生了现代量子力学的发展。
20世纪20年代，量子力学得到了飞速发展，以德布罗意的波粒二象性理论和薛定谔方程为代表的现代量子力学逐渐取代了波尔理论，并提供了更深入和完整的对原子结构和原子现象的理解。
综上所述，波尔理论作为高考知识点之一，对我们理解原子结构和原子现象的本质具有重要意义。
虽然它在现代量子力学中的地位已经被取代，但波尔理论为量子力学的发展起到了关键的作用，并为我们提供了解释原子光谱等现象的框架。
第一章-量子论基础
第五章 近似方法一、概念与名词解释 1. 斯塔克效应 2. 跃迁概率 3. 费米黄金规则 4. 选择定则 二、计算1. 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r o ,电荷均匀分布的小 球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正 .2. 转动惯量为I ，电矩为D 的空间转子处在均匀电场 E 中，如果电 场较小，用微扰理论求转子基态能量的二级修正 .3. 转动惯量为I ，电矩为D 的平面转子处在均匀弱电场 E 中，电场 处在转子运动的平面上，用微扰法求转子的能量的二级修正 .E 0a b4. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是 E la 0b ,a 、b 是实数.b E 02 a(1) 用微扰公式求能量至二级修正；(2) 直接用求解能量本征方程的方法求能量的准确解， 并与(1)的结果 比较.E 10 0 a5. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是 0 E 10b，(E 02 E 10)* *E 0a bE2(1) 用简并微扰方法求能量至二级修正； (2) 求能量的准确值，并与 (1)的结果比较 .6. 在简并情况下，求简并微扰论的波函数的一级修正和能量的二级 修正.7. 线谐振子受到微扰aexp(-似2)的作用，计算基态能量的一级修正， 其中常数(3>0.8. 设线谐振子哈密顿算符用升算符a +与降算符a 表示为H o (a a 1/2)，此体系受到微扰I?'(a a)的作用，求体系的能级到二级近似.已知升与降算符对H o 的本征态|n>的作用为 a |n J n l|n 1J; an) Vn|n —1.9. 一个电荷为q 的线谐振子受到恒定弱电场E i 的作用，利用微扰 论求其能量至二级近似，并与其精确结果比较.10. 一维非简谐振子的哈密顿量为 H=p 2/2m+m 忍x 2/2+仅3. B 是常数， 若将H' x 3看成是微扰，用微扰论求能量至二级修正，求能量本 征函数至一级修正.11. 二维耦合谐振子的哈密顿量为H=(p x 2+P y 2)/2卩+卩w (x 2+y 2)/2+ ?xy.若X<1，试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数.12. 在各向同性三维谐振子上加一微扰 H' axy bz 2,求第一激发态的 一级能量修正.13. 一维无限深势阱(0<xva)中的粒子，受到微扰H' 2 x/a/、(「旳作用，求基态能量的一级修正.2x(1 - x/a) (a/2 x a)14. 处于一维无限深势阱(0<xva)中的粒子，受到微扰H' ° (°x a/3,2a/3 x a)的作用，计算基态能量的一级修正.-V1 (a/3 x 2a/3)15. 在一维无限深势阱(0<x<a)中运动的粒子，受微扰16. 一个粒子处在二维无限深势阱V(x,y) 0 (0 a)中运动，现加(其他) 上微扰H' xy(0 x,y a), 求基态能量和第一激发态的能量修正值.2 2 217. 粒子在如下势阱中运动V(x)－2 2sin( x/a)/80 a2 (0 x a),求其(x 0,x a) 基态能量的一级近似.0 (0 x a/2)18. 粒子处于如下势阱中V(x) 2 2/80 a2 (a/2 x a) , 求其能级的一(x 0,X a)级近似值.19. 自旋为?/2的粒子处于一维无限深方势阱(0<xva)中，若其受到微扰H'cos(2 x/a)s?y(0 x a)的作用，求基态能量至一级修正，0 (x 0,x a)其中入为一小量.20. 两个自旋为?/2，固有磁矩算符分别为?1 ?1和?2 ?2的粒子，处于均匀磁场 B B0k 中，若粒子间的相互作用?1 ?2可视为微扰，求体系能量的二级近似，其中a仅丫为实常数.21. 类氢原子中，电子与原子核的库仑作用为U(r)= —Ze2/r，当核电荷增加e(从Z-Z+1)，相互作用增加H' -e2/r，试用微扰论求能量的一级修正并与严格解比较.22. 设氢原子处于均匀的弱电场0k 和弱磁场 B B0k 中，不考虑自旋效应，用微扰论讨论其n=2的能级劈裂情况.23. 求氢原子n=3简并度n2=9时的斯塔克效应.24. 设在t=0时，电荷为e的线性谐振子处于基态.在t>0时起，附加一与谐振子振动方向相同的恒定外电场£,求其处在任意态的概率.25. 一个自旋为？/2,磁矩为？ g?的粒子处于如下弱旋转磁场中B B°cos( t)i B o s in (t)j Bk ,粒子与磁场的作用为-g?B.若粒子开始处于S z= ?/2的状态，讨论跃迁情况并计算跃迁概率.26. 求氢原子的第一激发态的自发辐射系数.27. 一个处在第一激发态(2p)的氢原子位于一空腔中，求空腔温度等于多少时，自发跃迁概率和受激跃迁概率相等.28. 一个粒子在吸引势V(r)二-g2/r3/2中运动，试用类氢原子的波函数作为尝试波函数，求基态能量.29. 以(r) exp(-cr2)为试探波函数，求氢原子基态能量与波函数，其中c>0.30. 设一维非简谐振子的哈密顿算符为I? p2/2 x4,以(x) . a/ exp(-a 2x2/2)为试探波函数，a为变分参数，求其基态能量.231. 取尝试波函数为Ce-ax , C为归一化常数，a是变分参数，试用变分法求谐振子的基态能量和基态波函数，并算出归一化常数 C. 32. 设粒子在中心力场V(r)二-Ar n(n为整数)中运动，选R(r)=Nexp(-町为试探波函数，求其基态能量.进而求出库仑场(n= -1,A>0)和谐振子势(n=2,A<0)的结果，并与严格解比较.33. 试用①二exp[-f(x-1)2(x+2)/3]/(x+1)为试探波函数，f为变分参数，求势场为V(x)=g2(x2-1)2/2的基态能量，其中g是个很大的常数.三、1.在无简并的微扰论中，证明 (0) nE (0) 匚n E⑴(0) n(1)\ n /E (0)E n⑴ nW -E (1)1— n(1)、\ n/nm2m nm (nxm)|/ , m 是粒子质量，求证:nm0 (在(xy )/b z /a(其他地方)1内),其中 a 探(1+2 卩3), b^R(1- 03)，且2. 一维运动的体系，定义从|m ＞态跃迁到|n ＞态相应的振子强度为3. 设体系在t=0时处于基态|0＞，若长时间加上微扰V?(x, t) F(x)exp(-t/ ),证明该体系处于另一能量本征态|1＞的概率为(E i -E o )2~~亍四、综合题1. 一根长度为d 质量均匀分布的棒可绕其中心在一平面内转动，棒 的质量为M.在棒的两端分别有电荷+Q 和-Q. (1)写出体系的哈密顿量、本征函数和本征值；⑵ 如果在转动平面内存在一电场强度为 E 的弱电场，准确到一级修正，它的本征函数和能量如何变化？⑶如果这个电场很强，求基态的近似波函数和相应的能量值 .2.对于一个球形核来说，可以假定核子处在一个半径为R 的球对称势阱中，势场是V 0(r R).相应地，对发生微小形变的核，可以认为核子处在椭球形势阱中，势壁高仍为无限大，即势场是〈n 爭〈n 爭E (?)E ⑴np＜＜1，利用微扰论，准确到一级近似，求椭球形核相对于球形核这里C、a是复数，(x)0 (x 0)1 (x 0)基态能量的变化•(提示：作变量代换，将椭球形势阱化成球形势阱后再讨论微扰影响.)3. 一个量子体系由哈密顿量H=H o+H'描述，其中H' = i兀A,H°]是一个加在非微扰哈密顿量H o上的微扰，A是个厄米算符，入是个实数. 设B是另一个厄米算子，而且C=i[B,A].(1)已知A、B、C在无微扰(非简并)基态的平均值为<A>o、<B>o、<C>o•当微扰加入时，求B在微扰后的基态上的平均值至入的第一级；_ 3p2 1⑵ 将这个结果用到如下三维问题上：H o 匹丄m 2x2 , H' X3.i i 2m 2计算X i在基态的平均值<X i>(i=1,2,3)至入的最低阶，并将这个结果和精确解相比较.4. 把处在基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为z轴方向.电场沿z轴方向，可视为均匀电场.设电容器突然充电，然后放电，电场随时间的变化是⑴°t/(t o )(为常数).求时间充o e-t/(t o)分长后，氢原子跃迁到2s态和2p态的概率.5. 考虑势U=g|x|的能级.(1)用量纲分析，推导本征值和参数(质量m、？、g)的关系;⑵用尝试波函数忙C q x+a) &a-x)(1-|x|/a)对基态能量作变分计算⑶为什么忙c q x+c)q a-x)不是一个好的尝试波函数?(4)如果要求第一激发态能量，你将如何处理？6. 一个质量为m的粒子在汤川势U(r)=-洽口斤中运动，用变分法，取尝试波函数©= e-ar,问入的临界值加等于多少时，能使得 e 无束缚态，> b有束缚态？7. 介子一般可看成夸克和反夸克(q可的束缚态.考虑S态介子，设夸克质量为mq,束缚q和q的势U=A/叶Br , A<0 , B>0.(1) 选用类似于氢原子基态波函数的©= e-r/a作为尝试波函数，用变分法求基态能量(在用变分法决定a的方程中，可近似取A = 0来简化计算).(2) 用不确定性原理估算基态能量，并和变分法的结果(1)比较.。
第一章 量子力学基础课后习题
第一章量子力学基础第八组：070601337刘婷婷 070601339黄丽英 070601340李丽芳 070601341林丽云070601350陈辉辉 070601351唐枋北【1．1】经典物理学在研究黑体辐射、光电效应与氢光谱时遇到了哪些困难？什么叫旧量子论？如何评价旧量子论？[解]：困难：（1）黑体辐射问题。
黑体就是理论上不反射任何电磁波的物体，黑体辐射是指这类物体的电磁波辐射，由于这类物体不反射,所以由它释放出来的电磁波都来自辐射，实验中在不同的能量区间对黑体辐射规律给出了不同的函数，然而这两个函数无法兼容，是完全不同的，而事实上黑体辐射本该遵循某个唯一的规律。
况且经典理论还无法说明这两个函数中的任意一个.这个问题研究的是辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长（或频率）的分布。
实验得出的结论是：热平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。
这一结果用经典理论无法解释。
（2）光电效应。
光照射到金属上时，有电子从金属中逸出。
实验得出的光电效应的有关规律同样用经典理论无法解释。
（3）按照经典电动力学，由于核外电子作加速运动，原子必然坍缩。
经典物理学不能解释原子的稳定性问题。
原子光谱是线状结构的，而按照经典电动力学，作加速运动的电子所辐射的电磁波的频率是连续分布的，这与原子光谱的线状分布不符。
定义：从1900年普朗克提出振子能量量子化开始，人们力图以某些物理量必须量子化的假定来修正经典力学，用于解释某些宏观现象，并且给出其微观机制。
这种在量子力学建立以前形成的量子理论称为旧量子论。
评价：旧量子论冲破了经典物理学能量连续变化的框框。
对于黑体辐射、光电效应与氢光谱等现象的解释取得了成功。
但是，旧量子论是一个以连续为特征的经典力学加上以分立为特征的量子化条件的自相矛盾的体系，本质上还是属于经典力学的范畴。
由于把微观粒子当作经典粒子，并把经典力学的运动规律应用于微观粒子，因而必然遭到严重的困难。
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第一章 量子论基础§1.1经典物理学的困难19世纪末20世纪初，经典物理学，主要是经典力学、热力学和经典统计物理学、经典电动力学，已经发展得相当完善。
比方说，速度 远小于光速的物体的机械运动遵从牛顿力学规律;电磁现象满足麦克斯韦方程组;光的现象满足光的波动理论;特别是当时已认识到热 辐射和光辐射都是电磁波，还提出了热辐射满足的基尔霍夫(Kirchhoff) 定律和斯式藩(Stefan)定律-玻耳兹曼（Boltzmann ），证实黑体辐射场的 能量密度与温度的四次方成正比。
对于热现象，除了已经有了非常系统的热力学理论外，还有玻耳兹曼、吉布斯（Gibbs ）等人提出的统计物理学。
经典物理学的大厦已经建立得相当完美了。
但是，在和实验进一步对比的过程中，也出现了一些困难，而且这些困难，在经典物理的范畴内是无法解释的。
这主要表现在:1. 黑体辐射.任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。
物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。
一般地，物体只吸收投射到它表面上的部分能量，吸收系数小于1。
如果一个物体，能吸收投射到它表面上的全部辐射，即其吸收系数为1时，则称这个物体为绝对黑休，简称黑体。
一个开有一个小孔的空腔可近似视为黑体。
因为一旦光线通过小孔射入空腔后，就很难再通过小孔反射出来。
另一方面，由于腔壁具有一定温度，它还会发出热辐射。
当空腔和内部的热辐射达到平衡后，实验发现，在频率υυυd +→之间的辐射能量密度只与频率和热力学温度T 有关，在不同度下,ρν随ν的变化曲线如图1.1.1所示。
实验曲线存在维恩(Wien)位移:辐射能量密度按波长分布的最大值m λ与T 的乘积为常数:K m T m •⨯=-2102898.0λ (1.1.1) 而且满足⎰∞==4aT d E υρυ (1.1.2) 其中a 是常数。
1983年，维恩利用经典热力学和电动力学给出了辐射能量密度的经验公式是υυυρυυd e C d T C 231-= （1.1.3）(1.1.3)式称为维恩公式，式中c ，.C ，是经验参数。
与实验结果比较后发现，维恩公式只适用于高频区。
1899年，瑞利（Rayleigh ）和金斯（Jeans ）利用经典统计物理学和电磁理论，推导出公式υυπυρυd kT cd 238= （1.1.4） （1.1.4）式称为瑞利-金斯公式，式中k 是玻耳兹曼常数，c 是光速。
它只在低频区与实验相符。
在高频区，当∞→υ时，∞→υρ而且能量密度发散，这个结果称为紫外灾难。
2.光电效应1888年，赫兹（Hertz)在验证电磁波存在的实验中，发现当用紫外光照到火花隙的负极上时，放电比较容易发生。
1897年汤姆孙(J. J. Thornson)通过气体放电和阴极射线的研究发现电子后，人们逐渐认识到这种现象是由于紫外光照射到金属表面上，金属中的电子吸收了光的能量而从金属表面逸出所至。
这种逸出的电子称为光电子。
对于表面光洁的金属材料，光电效应的实验结果是:(i)存在临界频率o υ，当入射光的频率0υυ<时，无论光的强度多大，都无光电子逸出。
只有在0υυ≥时，无论光的强度多大，都无光电子逸出。
只要光照到金属表面上，几乎在10-9的极短时间内，就能观测到光电子。
(ii)出射的光电子的能量只与入射光的频率ν有关，而与入射光的强度无关。
(iii)人射光的强度只影响光电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积上逸出的光电子的数目。
显然，这些实验结果，特别是(i)和(ii)，无法用经典电磁理论、解释。
因为按经典电动力学，光是电磁波。
电磁波的能量决定于它的强度，即只与电磁波的振幅有关，而与电磁波的频率无关。
而要释放光电子，显然需要有足够的能量。
3. 原子的线状光谱1885年，巴耳末(Bermer))通过对氢的光谱线分析研究后，发现氢原子可见光的光谱线满足经验公式⎪⎭⎫ ⎝⎛-===221211~n R H λυλυ （n=3,4,5...） (1.1.6) 石为波长的倒数，称为波数。
RH 称为里德伯(Rydberg)常数，数值上等于109677. 581cm -1。
以后又陆续发现了其他线系,1889年，里德伯把氢的所有谱线归纳为一个里德伯方程，即()()n T n T n n R H '-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-==22111~λυ （1.1.7）式中，n=1,2,3，…;对于每一个n ，有n '=n+1,n+2,n+3...构成一个谱线系.T(n)称为光谱项。
由(1.1.7)式可见，如果光谱中有频率为1υ和2υ的两条谱线，则也有频率为21υυ+及21υυ-的谱线。
这个结果称为里兹(Ritz)的并合原则。
原子的线状光谱用经典理论也是无法解释的。
因为按卢瑟福模型，原子中电子绕原子核运动。
这是一种加速运动。
但按经典电动力学，加速电荷应不断发出辐射。
于是电子不断损失能量。
而且，加速电荷发出的辐射的频率是连续分布的，不可能产生线状光谱。
此外，按电动力学，若体系发出频率为ν的波，则它也可能发出频率为ν的整数倍的其他谐波。
这个结论也与并合原则不符。
4. 原子的稳定性原子结构的卢瑟福模型在经典理论中是无法理解的。
因为电子既然绕原子核运动，则在这一加速运动过程中，由于辐射能量，必然使电子绕核运动的轨道变小。
最后“落到”原子核中去。
也就是说，按经典理论，卢瑟福的原子模型是不稳定的。
这种原子最后、必然坍缩成一团。
但是现实世界中原子是稳定的。
经典理论无法解释原子的稳定性。
5. 比热经典物理学的比热理论建立在能量均分定理的基础上。
在和实验比较后发现，经典的比热理论存在着下列困难：(i)固体比热的杜隆-珀蒂（Dulong-Petit ）定律R C C v p 3=≈ （1.1.8）与温度T 无关。
这个结果只在常温下与实验相符。
在极低温下，固体比热服从德拜（Debye ）T 3定律：(ii)不能解释为什么原子中处于束缚态的电子对比热的贡献可以略去。
因为按原子模型，原子核外的电子在运动。
而按能量均分定理，每个电子运动的平均动能为要kT 23，相应的定容比热应为k 23(iii)不能解释为什么绝大部分双原子分子，多原子分子在常温下振动自由度被冻结，对比热没有贡献。
除了当时已出现的这些困难外，1923年发现的康普顿(Compton )效应，也不能用经典理论解释。
实验发现，高频率的x 射线被轻元素的电子散射后，散射波的波长随散射角的增大而增大。
这个结果也无法用经典理论说明。
因为散射过程只涉及入射光与电子之间的能量和动量交换，而按经典理论，电磁波的能量只与振幅有关，而与波长无关，能量、动量的交换不应导致波长的变化。
对于经典物理学的这些困难，19世纪的许多有为的物理学家，其实是早有察觉，忧虑重重的。
1859年，气体分子运动论的奠基人之一麦克斯韦，就明确指出了经典比热理论的困难。
十年后他又重复强调了这个困难，并且指出这里存在着一些经典物理根本不可能解释的东西。
以后，金斯等人又作过许多讨论。
正是麦克斯韦等人的这些真知灼见，使得美国著名物理学家费曼(Feymann )得以有根据地说;“人们经常听说19世纪后期的物理学家认为，他们已经了解了所有有意义的物理规律，因而以后所能作的只是去计算更多的小数位。
某个人可能这么说过一次，其他人就争相传抄。
但是彻底查阅当时的文献表明，他们所有的人都是对某些问题忧虑重重的。
”①正是因为当时这些有为的物理学家们，根本不像有些人所说的那样，躺倒在经典物理学的大厦里恬然自得，以为已经最后解决了一切物理学问题。
恰恰相反，他们多年如一日地深入思考着经典物理学的困难，不固步自封，勇于进取，寻找解决这些困难的途径，提出各种新的物理概念和方法，这才会有量子论，继而有量子力学的出现，使人们的视野真正深入到原子世界中去。
§1.2光量子和普朗克一爱因斯坦关系深入考察一下经典物理学的许多困难后会发现，这些困难都来自以往经典电动力学中，电磁波的能量只与振幅有关与频率无关，而且能量连续变化的结论。
要 统一解决这些困难，应该从它们的共性着手。
重新考察这一经典物理中过去认为颠扑不破，奉为基石的理论可通过光量子假说解决。
于是，1900年，为解决黑体辐射的困难，普朗克提出了能量子化的观念。
他假定黑体相当于一组连续振动的谐振子，振子的能量只能取最小能量单位ε的整数倍的值。
黑体吸收或发射电磁辐射能量的方式是不连续的，只能以发射或吸收ε为单位的“量子”的方式进行。
每个量子的能量与频率ν成正比,υεh = (1.2.1)式中的比例常数h 称为普朗克常量。
这和过去经典电动力学中电磁波的能量只与振幅有关而与频率无关完全不同。
而且能量的吸收和发射是量子化的。
利用能量量子化的概念和统计物理学，普朗克推导出了以他的名字命名的普朗克公式，成功的解释了黑体辐射的实验结果。
1905年，普朗克的量子化概念被爱因斯坦进一步推广。
爱因斯坦提出，不仅黑体和辐射场的能量交换是量子化的，而且辐射场本身就由不连续的光量子组成。
每一个光量子的能量ε与辐射场频率ν，之间仍满足(1.2.1)式。
爱因斯坦的光量子其实就是光子。
由于光子以光速运动，根据狭义相对论的质能关系式有22422c p c m o +=ε (1.2.2)c 是光速，m o 是光子的静质量为零。
因此得到光子的能量和动量cp =ε (1.2.3)联立(1.2.1)和(1.2.3)式得 k e e h e c h P n n n ====λπλυ2 (1.2.4) 式中e n 是光子运动方向上的单位向量，s J h .10054573.12/34-⨯==πn e k λπ2=. (1.2.5)是波矢量。
公式（1.2.1）和（1.2.4）称为普朗克—爱因斯坦（Planck-Einstein ）关系式。
利用普朗克—爱因斯坦关系，可以解释下述实验结果：1.黑体辐射光子可以被物质发射和吸收。
黑体向辐射场发射或吸收能量by 的过程就是发射或吸收光子的过程。
因此光子数不守恒。
相应地光子的化学势为零。
另外，光子是玻色子，自旋s=1,简并度g=2s+1应等于3。
但由于电磁场存在横波条件，满足一个约束方程，所以实验上光子的自旋简并度g 应取为2。
在物理上就表现为光子具有两个不同的偏振方向。
根据爱因斯坦光量子假说，将辐射场看成是光子气。
利用玻色一爱因斯坦分布和(1..2.1)式，可得光子气在频率间隔ν→ν+d ν中的能量密度是dp Vp e h Vh g d kT h 2341πυυρυυ-== (1.2.6) 再利用（1.2.3）式，最后得 υυπυρυυd e h c d kT h 1833-= （1.2.7） （1.2.7）式称为普朗克公式。
可以证明，普朗克公式给出的场能量密度满足斯忒藩-玻尔兹曼定律。